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Prof. Dr.-Ing. Rolf Katzenbach Direktor des Institutes und der Versuchsanstalt für Geotechnik der TU Darmstadt Studienunterlagen Geotechnik Seite V-1

V Setzungen 21.10.2013

Belastung

Δs (Sackung infolge Wasserzuführung)

Set

zung

V Setzungen

1 Einführung

Infolge äußerer oder innerer Einwirkungen (z.B. Bauwerkslast, Dammschüttung,

Grundwasserabsenkung, Grundwasserströmung, Temperaturunterschiede) treten im

Baugrund Verschiebungen auf. Ihre Größe, Richtung, Ursache sowie ihr zeitlicher Verlauf

können sehr unterschiedlich sein, so dass zwischen Senkung, Sackung und Setzung

differenziert wird. Eine Verschiebung ist die Lageänderung eines Bodenelements in

beliebiger Richtung.

Senkung: Eine Senkung ist die Verschiebung in Richtung der Schwerkraft

infolge Materialentzug. Sie entsteht beispielsweise infolge eines Einbruchs in

größerer Tiefe. Aufgrund der sehr unterschiedlichen Ursachen lassen sich für

die Ermittlung der Senkung keine allgemein gültigen Verfahren zur

mathematischen Beschreibung angeben.

Sackung: Eine Sackung ist die Verschiebung in Richtung Schwerkraft

infolge einer lastunabhängigen Umlagerung des Korngerüstes bei starkem

Durchnässen des Bodens.

Abb. V-1 Last-Setzungsdiagramm

Das Wasser, das sich in den Winkeln der Poren eines Korngerüstes um die

Berührungspunkte der Körner sammelt, verursacht Haftkräfte. Diese scheinbare Kohäsion,

die ein großes Porenvolumen bedingt, verschwindet infolge Wassersättigung oder

Austrocknung. Dadurch wird eine Kornumlagerung möglich, die zu einer plötzlichen

Verminderung des Rauminhaltes führt. Bei locker gelagerten Sandböden kann das

Sackungsmaß bei Durchnässung bis etwa 5 % der Schichtdicke betragen, bei dicht

gelagerten Sanden ca. 1 bis 2 %.



Setzung: Eine Setzung ist die lotrechte Verschiebung der Oberfläche oder

eines Punktes im Inneren des Bodens in Richtung der Schwerkraft infolge

einer Spannungsänderung. Setzungen ergeben sich aus einer

Gestaltsänderung und bzw. oder aus einer Volumenänderung. Die Anteile

infolge Gestaltsänderungssetzungen werden durch Schubspannungen bedingt.

Setzungen infolge Volumenänderung können als Verdichtungssetzungen

bezeichnet werden. Bei nichtbindigen Böden kommt es dabei zu einer

Erhöhung der Lagerungsdichte. Bei bindigen Böden wird das Porenwasser in

einem langandauernden Prozeß ausgepresst und damit das Porenvolumen

verkleinert.

Die Setzung von Böden setzt sich aus den drei Setzungsanteilen Sofortsetzung,

Primärsetzung (auch Konsolidierungsssetzung) und Sekundärsetzung (auch Kriechsetzung)

zusammen.

Die Sofortsetzung ist eine zeitunabhängige Setzung infolge der Anfangsschubverformung

und bzw. oder der Sofortverdichtung. Die Setzung infolge Anfangsschubverformung ist

die bei wassergesättigten bindigen Böden gesondert ermittelbare Setzung infolge einer

Belastung (volumentreue Gestaltsänderung). Der Setzungsanteil infolge Sofortverdichtung

ist der bei nicht wassergesättigten Böden unmittelbar nach Lastaufbringung auftretende

Setzungsanteil.

Abb. V-2 Setzungsanteile

Unter Primärsetzungen werden zeitlich verzögerte Konsolidiationssetzungen in bindigen,

wassergesättigten Böden infolge einer Spannungsänderung verstanden. Die

Konsolidierungsssetzungen sind mit einer Volumenminderung bedingt durch das

Auspressen von Porenwasser und Porenluft verbunden.

Set

zung

s

Zeit t

Primärsetzung

Sofortsetzung

Gesamt- setzung s

Sekundärsetzung



In einem bindigen, wassergesättigten Boden entsteht bei Aufbringung der

Spannungsänderung zunächst ein Porenwasserüberdruck u = . Aufgrund der

geringen Durchlässigkeit des bindigen Bodens strömt das Porenwasser nur langsam ab.

Mit dem abströmenden Porenwasser geht der Abbau des Porenwasserüberdruckes u

einher. Infolge der Abnahme des Porenwasserüberdruckes u erhöhen sich die wirksamen

Spannungen auf das Korngerüst und führen zu einer Zunahme der Setzung.

Bei nichtbindigen Böden treten wegen der hohen Durchlässigkeit die Primärsetzungen

bereits unmittelbar (zum Zeitpunkt t = 0) auf.

Sekundärsetzungen sind Kriechverformungen des Korngerüstes, die insbesondere bei

bindigen Böden auftreten.



2 Eindimensionaler Kompressionsversuch (Ödometerversuch)

Die Verformungen eines belasteten Bodenkörpers setzen sich aus reversiblen und

irreversiblen Anteilen zusammen. Die irreversiblen Verformungen sind auf

Volumenänderungen bzw. auf eine Verringerung des Porenraumes (bei wassergesättigten

Böden verbunden mit einer Abnahme des Wassergehaltes) zurückzuführen.

Die betragsmäßige Zusammendrückbarkeit des Bodens in Abhängigkeit von der

aufgebrachten Druckbelastung bei verhinderter Seitendehnung kann mittels eines

Kompressionsgerätes (Ödometer) ermittelt werden.

Abb. V-3 Ödometer (Kompressionsgerät)

Dabei wird eine ungestörte oder aufbereitete Bodenprobe in einen Metallring

(Probeaufnahmering) eingebaut. Der Metallring verhindert das seitliche Ausweichen der

Probe während der Belastung. Um versuchstechnische Ungenauigkeiten infolge

Wandreibung, unebenen Oberflächen usw. bei der Versuchsdurchführung zu minimieren,

wird im Allgemeinen ein Probendurchmesser gewählt, der fünfmal größer ist als die

Probenhöhe.

Das Porenwasser gesättigter Proben kann während der Versuchsdurchführung über

Filtersteine frei ab- bzw. zuströmen. Die Last wird als vertikale Kraft über eine Kopfplatte

(Druckplatte) in Stufen aufgebracht. Die letzte Laststufe sollte der in-situ Vorbelastung

zuzüglich der etwa 1,5-fachen Einwirkung des Bauwerkes, für das die anschließende

Setzungsbetrachtung durchgeführt wird, entsprechen. Neben Belastungen werden auch

Entlastungen untersucht. Während des Versuches werden die Setzungen zu verschiedenen,

Druckplatte

Filterdruckplatte

Filtersteine

Bodenprobe Probeaufnahmering



Zeit

Bez

ogen

e S

etzu

ng

Zeit t

=0h

Δh

log t

definierten Zeitpunkten gemessen. Als Ergebnisse des Versuches ergeben sich im

Wesentlichen eine Zeit-Setzungslinie und eine Druck-Setzungslinie.

Bei der Zeit-Setzungslinie wird die bezogene Setzung (auch Zusammendrückung oder

Stauchung), die sich aus der Ausgangshöhe der Bodenprobe h0 und der gemessenen

Setzung h ergibt, über die Zeit für die jeweilige Laststufe aufgetragen. Dabei wird die

Zeitachse entweder linear oder logarithmisch dargestellt.

a) b)

Abb. V-4 Zeit-Setzungslinie a) lineare Zeitachse, b) logarithmische Zeitachse

Mittels der Zeit-Setzungslinie und dem Modellgesetz können die drei Setzungsanteile

bestimmt und der zeitliche Verlauf der in-situ Setzungen abgeschätzt (siehe Abschnitt 5.5)

werden.

Abb. V-5 Zeit-Setzungskurve für einen bindigen Boden

Bez

ogen

e S

etzu

ng

Zeit log t

Tangente an den Wendepunkt des s-förmigen Teils der Zeit-

100 % der Gesamtsetzung

100 % der Primärsetzung Verlängerung der Geraden

0h

Δh

¼ t1 ¼ t2 t1 t2 0% der Primärsetzung

a b a

Sofortsetzung

Primärsetzung

Sekundärsetzung



Die Primärsetzung (Konsolidierungsssetzung) beginnt bei bindigen Böden nicht

unmittelbar nach Lastaufbringung (t = 0), sondern es stellt sich zuvor die Sofortsetzung

ein. Der Übergang von Sofortsetzung zu Primärsetzung ergibt sich aus der

modelltheoretischen Annahme, dass die Zeit-Setzungslinie einen parabelförmigen Verlauf

in der Anfangszeit aufweist. Wird für den beliebigen Zeitpunkt ¼ t1 die Differenz der

bezogenen Setzung a

11

0 0

th ha (t t ) (t )

h h 4

(Gl. V-1)

von der Zeit-Setzungslinie vertikal in Richtung Zeitachse aufgetragen, ergibt sich ein

Zwangspunkt für eine Parallele zur Zeitachse. Diese Linie ist die Nullachse für die

Primärsetzung (0% Primärsetzung). Zur Kontrolle kann für einen weiteren Zeitpunkt t2 ein

Punkt konstruiert werden, der ebenfalls auf der Parallelen liegen muss.

Die Grenze zwischen Primärsetzung und Sekundärsetzung ergibt sich aus dem

Schnittpunkt der Tangente am Wendepunkt des s-förmigen Teils der Zeit-Setzungslinie

und der geraden Verlängerung der Zeit-Setzungslinie im Endzustand.

Abb. V-6 Druck-Setzungslinie (linearer Maßstab)

Bei der Druck-Setzungslinie wird auf der Abszisse die im Versuch aufgebrachte Belastung

linear oder logarithmisch aufgetragen. Die Ordinate beinhaltet die bezogene Setzung . Hierbei ist zu beachten, dass nur Änderungen der wirksamen Spannungen ’ Setzungen

hervorrufen können.

Δσ’

Δ

Bez

ogen

e S

etzu

ng

Belastung σ´

=0h

Δh



Statt der bezogenen Setzung kann bei der Auswertung des Druck-Setzungsdiagrammes

die Porenzahl e aufgetragen werden. Damit ergibt sich ein Druck-Porenzahldiagramm. Die

bezogene Setzung lässt sich mittels Gleichung V-2 in die Porenzahl e überführen.

0

0 0 0

e eh e

h 1 e 1 e

0 0e e (1 e ) (Gl. V-2)

Feste Phase

e

e

h0 h

h

e0

1

Zusammendrückung infolge’

Abb. V-7 Beziehung zwischen Porenzahl e und bezogener Setzung

Dabei entspricht die Porenzahl e0 dem Wert der Bodenprobe vor Versuchsbeginn (e0 für

= 0). Die Porenzahl e0 wird folglich durch eine Verringerung des Porenvolumens auf den

Wert e reduziert.

Erstbelastung

Wiederbelastung

Entlastung

Spannung ��

D s¢

D e

ee

ep

e

Bez

og

ene

Set

zun

g�

s1¢

Abb. V-8 Erstbelastung, Wiederbelastung und Entlastung



Bei einer Entlastung der Bodenprobe von ’1 auf ’ = 0 ergibt sich eine Entlastungskurve,

die mit einer Zunahme der Porenzahl einhergeht. Eine erneute Wiederbelastung des

Bodens führt bis ’1 zu einer Wiederbelastungskurve und anschließend wieder zur

Erstbelastungskurve. Eine Entlastung führt dabei nicht zu einer vollständigen Rückbildung

der bezogenen Setzung. Es verbleibt eine plastische Zusammendrückung P

Abb. V-9 Berechnung des Steifemoduls Es aus dem Druck-Setzungsdiagramm

Aus der Neigung der Sehne im Druck-Setzungsdiagramm (linearer Maßstab) ergibt sich

der Steifemodul Es. Der Steifemodul ist somit spannungsabhängig.

s

'E

(Gl. V-3)

Der Kehrwert zum Steifemodul Es wird als Verdichtungsziffer mv bezeichnet.

Analog zur Abbildung V-8 wird unterschieden zwischen einem Steifemodul für

Erstbelastung Es,E, Wiederbelastung Es,W und Entlastung Es,Ent.

Wird der Boden nach einer Entlastung wieder belastet, so zeigt er bis zum Erreichen der

ursprünglichen Last ein steiferes Verhalten als beim Steigern der Last darüber hinaus. Der

Steifemodul für die Wiederbelastung Es,W ist folglich größer als der Steifemodul für die

Erstbelastung Es,E.

Der Aushub einer Baugrube stellt beispielsweise eine Entlastung des Untergrundes dar.

Die Setzung infolge Bauwerkseigengewicht o.ä. erfolgt daher bis zum Erreichen der

Aushublast unter Berücksichtung des Steifemoduls für Wiederbelastung.

Δ Bez

ogen

e S

etzu

ng

σ´

Δσ´



Erst nach Überschreiten der Aushublast ergibt sich die weitere Setzung unter Ansatz des

Steifemoduls für Erstbelastung.

Abb. V-10 Kompressionsbeiwert CC

In einem Druck-Porenzahldiagramm mit logarithmischer Auftragung der Spannung kann

für den Bereich der Erstbelastung die Beziehung zwischen Spannung und Porenzahl

näherungsweise als Gerade mit der Steigung CC beschrieben werden. CC wird dabei als

Kompressionsbeiwert bezeichnet:

C

eC

log '

(Gl. V-4)

Aus Abbildung V-10 ergibt sich für die Porenzahl e:

1 C 1 C 11

e e C log e C (log log )

(Gl. V-5)

Mit den Gleichungen V-2, V-3 und V-5 ist es möglich, den Steifemodul Es als Funktion

vom Kompressionsbeiwert CC darzustellen:

0s

2C

1

(1 e )E

C log

(Gl. V-6)



Analog kann bei einer Entlastung die Hebung näherungsweise mit dem Schwellwert Cs

nach

2 S 2 S 22

e e C log e C (log log )

(Gl. V-7)

bestimmt werden, wenn gilt ’ < ’2.

Der teilweise große Anteil der Sofortsetzung an der Gesamtsetzung (im tertiären

Frankfurter Ton 50 – 70 % bei Rohbaufertigstellung) infolge der Anfangsschubverformung

kann sich im Kompressionsversuch wegen der verhinderten Seitendehnung nicht

einstellen. Für die Abschätzung der Sofortsetzung eignet sich der Triaxialversuch.



3 Steifemodul

Der Steifemodul Es ist eine der maßgebenden Größen bei der Setzungsermittlung. Er ist

nicht konstant sondern ein spannungsabhängiger Parameter.

Abb. V-11 Spannungen an einem Bodenelement

Für ein Bodenelement mit den Abmessungen dx, dy und dz und der Poissonzahl ergeben

sich die Dehnungen bei Annahme der Gültigkeit der Elastizitätstheorie mit dem

Hooke’schen Gesetz zu:

11 2 3( )

E E

(Gl. V-8)

22 1 3( )

E E

(Gl. V-9)

33 1 2( )

E E

(Gl. V-10)

Bei verhinderter Seitendehnung gilt = 3 = 0 und 2 = 3. Damit lässt sich für die

horizontalen Spannungen 2 bzw. 3 schreiben:

33 1 2( ) 0

E E

2 3 1 0 1K(1 )

(Gl. V-11)

Der Faktor K0 wird als Erdruhedruckbeiwert bezeichnet (siehe Kapitel „Erddruck“), der

hier mit der Modellannahme der Elastizitätstheorie ermittelt wurde.

σ1

σ2 σ3

dx

dz

dy



Zwischen dem Elastizitätsmodul E nach dem Hooke’schen Gesetz und dem Steifemodul Es

bei verhinderter Seitendehnung lässt sich somit folgender Zusammenhang herstellen:

11 2 3( )

E E

(Gl. V-12)

1 1 0 1 0 1

10

1

1

1( (K K )

E

(1 2 K )E

2 ²1

E 1

1 2 ²

E 1

11

sE

(Gl. V-13)

s

1E E

1 2 ²

(Gl. V-14)

Die Setzungsberechnungen erfolgen im Allgemeinen mit einem für eine Bodenschicht

konstanten Steifemodul. Für genauere Betrachtungen kann es jedoch erforderlich werden,

die Tiefenabhängigkeit des Steifemoduls infolge des zunehmenden Überlagerungsdruckes

zu berücksichtigen. Für den Erstbelastungssteifemodul Es,E des Frankfurter Tons gilt

beispielsweise folgende Näherung:

s,E s,0E E 1 z (Gl. V-15)

mit: Es,E Steifemodul für Erstbelastung [MN/m²]

Es,0 Steifemodul in der Gründungssohle [MN/m²]

Es,0 = 7 MN/m²

Steigungsmaß [1/m]

= 0,35 m-1

z Tiefe unter der Gründungssohle [m]



4 Setzungsermittlung

4.1 Allgemeines

Bei den rechnerischen Verfahren zur Bestimmung der Setzungen wird im Allgemeinen ein

für eine Bodenschicht konstanter mittlerer Steifemodul angesetzt. Dabei wird der

Steifemodul durch eine Sehne in der versuchstechnisch bestimmten, nichtlinearen Druck-

Setzungslinie angenähert.

b

d

KennzeichnenderPunkt

Einflusstiefe

V

â

å

z

Mittlere Sohlnormalspannung

Spannungen aus Bauwerkslastabzüglich Aushub zur Ermittlungder Setzungen infolge Erstbelastung

Druck-Setzungslinie ausKompressionsversuch

in-situ

in-situ

E = tans �

� � �’ = ’ - · d1 0

�’ =0

� �’ = ’ · i1

�’

V

a · b

= d+z)��’

�’

�’

�’1

�’

in-situ= · z��’

�’0

Abb. V-12 Setzungsberechnung für eine homogene Schicht

Für die Ermittlung der setzungserzeugenden Spannungen, die infolge der Entlastung durch

den Baugrubenaushub bzw. infolge der Belastung durch das Bauwerk zusätzlich im

Baugrund auftreten, und den daraus resultierenden Setzungen wird der Baugrund als ein

homogener, isotroper, elastischer Körper mit einer unendlich ausgedehnten Oberfläche in

Höhe der Gründungssohle aufgefasst (Elastizitätstheorie).

Für Linienlasten, Streifen- und begrenzte Flächenlasten bei gleichmäßiger und

dreieckförmiger Belastung kann die Verteilung der lotrechten Normalspannung ’z unter



einem beliebigen Punkt innerhalb und außerhalb der Lastfläche mittels der so genannten i-

Tafeln ermittelt werden (siehe Kapitel „Spannungen im Boden“).

Die Setzung s ergibt sich nach Gleichung V-13 als Integral der bezogenen Setzungen über die Tiefe z zu:

2 2 2

1 1 1

z z z

zz z

s sz z z

1s dz dz dz

E E

(Gl. V-16)

Zur näherungsweisen Lösung des Integrals (Gl. V-16) ist es ausreichend, die

Spannungsverteilung in Teilabschnitte mit der Dicke di zu zerlegen und für jeden

Teilabschnitt die gemittelte setzungserzeugende Spannung ’zi zu ermitteln.

Ds z1¢

Ds z2¢

Ds z3¢

Ds z4¢

Ds z5¢

d1

d2

d3

d4

d5

ES,II

ES,I

Schluff

Ton

Abb. V-13 Idealisierung der Spannungsverteilung

Damit ergibt sich die Gesamtsetzung vereinfacht zu:

zii

i si

s dE

(Gl. V-17)

Bei der Setzungsermittlung werden die setzungserzeugenden Spannungen in den Erst- und

in den Wiederbelastungsanteil aufgeteilt. Darüber hinaus wird, z.B. für die Betrachtung der

in der Umgebung der setzungserzeugenden Last auftretenden Verschiebungen, die

Entlastung des Bodens infolge Aushub berücksichtigt, wenn die zugehörigen

Massenbewegungen verschiebungsrelevant sind.



Für die Verschiebungsermittlung unter Berücksichtigung aller drei Einflüsse ergibt sich

somit:

2 2 2

1 1 1

z z z

z,E z,W z,Ents,E s,W s,Entz z z

1 1 1s dz dz dz

E E E (Gl. V-18)

mit: z,E Setzungserzeugende Erstbelastungsspannung

z,W Setzungserzeugende Wiederbelastungsspannung

z,Ent Hebungserzeugende Entlastungsspannung

Es,E Steifemodul infolge Erstbelastung

Es,W Steifemodul infolge Wiederbelastung

Es,Ent Steifemodul infolge Entlastung

Erst-belastung

Ent- bzwWiederbe-lastung

W

EE

W

W = 0

E

’z ’z ’z

’z,W ’z,W ’z,W

Vernachlässigung

der EntlastungVernachlässigung

der Entlastung und Wiederbelastung

Abb. V-14 Idealisierung des Last-Setzungsverhaltens



Bei den Berechnungen wird für die Lastfläche zwischen einem schlaffen und starren

Gründungskörper differenziert. Bei einem schlaffen Gründungskörper bildet sich eine

Setzungsmulde aus, der sich der Gründungskörper anpasst. Bei einem starren Fundament

bleibt die Form des Gründungskörpers erhalten.

Abb. V-15 Kennzeichnender Punkt bei einem Rechteckfundament

Die Setzung des schlaffen und des starren Fundamentes sind im kennzeichnenden Punkt Pk

identisch. Beim Rechteck liegt dieser Punkt Pk im Abstand von 0,74 mal der halben

Fundamentbreite von der Mitte entfernt, beim Kreis im Abstand von 0,845 r vom

Mittelpunkt.

Zur Abschätzung der Systemsteifigkeit dient die Gleichung:

3

B Platte B B

s s s

(E I) E b d³ E1 dK

E b L³ 12 E b L³ 12 E L

(Gl. V-19)

mit: K Systemsteifigkeit

EB Elastizitätsmodul des Fundamentbaustoffes

I Flächenträgheitsmoment der Fundamentplatte

Es Steifemodul des anstehenden Bodens

d Dicke des Fundamentkörpers

L Länge des Fundamentkörpers

Bei K > 0,1 kann von einem starren Fundament ausgegangen werden, für K < 0,001

hingegen von einem schlaffen. Für Werte von 0,001 K 0,1 spricht man von einem

biegesteifen Fundament.

Pk sschlaff

b0,74

2

b

2

sstarr

0 = konstant



4.2 Setzungsermittlung mittels f-Tafel

Bei der Setzungsermittlung mit f-Tafeln wird durch die Einführung des Beiwertes f die

Berechnung vereinfacht. Die Gleichung zur Setzungsermittlung infolge lotrechter und

mittiger Belastung für ein Rechteckfundament unter Verwendung des f-Wertes lautet:

0

s

bs f

E

(Gl. V-20)

mit: 0 Setzungserzeugende Sohlspannung

b Breite des Gründungskörpers

f Setzungsbeiwert

Es Steifemodul für Bodenkörper

Für ein kreisförmiges Fundament gilt:

0

s

rs f

E

(Gl. V-21)

mit: r Radius des Gründungskörpers

Der Setzungsbeiwert f beinhaltet die Integration der bezogenen Spannungen i = z’/0

zwischen zwei Grenzwerten über die bezogene Tiefe z/b (schraffierte Fläche in Abbildung

V-16) und ist abhängig von den Abmessungen der Gründungsfläche a/b.

u

o

z

bz

z 0b

dzf

b

(Gl. V-22)

u

o

z

0 z

z

f b dz (Gl. V-23)

u

o

z

0z

s s z

b 1s f dz

E E

(Gl. V-24)



zo

b

zu

b

b

a

i = /� �’z o� �’zm o/

z

b

Abb. V-16 i-Tafel zur Spannungsermittlung infolge 0

Die Benutzung der f-Tafeln kann auch auf ein mehrschichtiges System erweitert werden,

indem für jede Schicht in Abhängigkeit von zi/b der Setzungsbeiwert fi ermittelt wird. Die

Gesamtsetzung ergibt sich folglich zu:

1 2 1 n n 10

s1 s2 sn

f f f f fs b ...

E E E

(Gl. V-25)

Abb. V-17 Setzungsberechnung mit f-Tafeln bei geschichtetem Baugrund

z1

z

0 b

z2

zn

Schicht 1 (Es1)

Schicht 2 (Es2)

Schicht n (Esn)



f

z

b

0,0

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

16,0

18,0

20,0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

a/b=1 1,5 2 3

5

10

a

b

0

a>b

Abb. V-18 f-Tafel für den Eckpunkt einer schlaffen Rechtecklast



z b

f

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

a/b

=1

21,

53

5¥

10

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14

,0

16

,0

18,0

20,0

Abb. V-19 f-Tafel für den kennzeichnenden Punkt



Abb. V-20 f-Tafel für kreisförmige Lastflächen z r

0,0

1,0

2,0

2,5

2

1,5

x/r

=1

0,84

50,

750,

50,

250

3,0

3

4,0 5,0

f

0,0

0,5

1,0

1,5

1,0

r

0,2

5r

0,5

r

3,0

r

2,0

r

1,5

r

2,5

r

0,7

5r

0,8

45

r

�0

z



4.3 Einflusstiefe

Die Dicke der zusammendrückbaren Schicht bzw. des zu untersuchenden Schichtpaketes

wird bei der Setzungsermittlung im Allgemeinen durch die Einführung der Einflusstiefe

bzw. Grenztiefe, nachfolgend Einflusstiefe genannt, begrenzt.

Die Einflusstiefe ist durch den Punkt definiert, bei dem die lotrechten,

setzungserzeugenden Spannungen im kennzeichnenden Punkt 20% des ursprünglichen

Überlagerungsdruckes aus Bodeneigengewicht unterschreiten. Normalerweise tritt dies in

einer Tiefe zwischen z = b und z = 2 b auf.

Die Einflusstiefe ergibt sich jedoch oft dadurch, dass eine vergleichsweise steife Boden-

bzw. Felsschicht (ES ∞) vorhanden ist.

8E =S

Einflusstiefe z

�’in-situ

��’in-situ

Einflusstiefe z

Abb. V-21 Festlegung der Einflusstiefe

Die kleinere der beiden Tiefen ist dann maßgebend.



4.4 Verträgliche Setzungen und Setzungsunterschiede

Setzungsunterschiede können vielfältige Ursachen haben. Sie sind beispielsweise auf

Unregelmäßigkeiten bzw. Inhomogenitäten im Baugrund,

exzentrisch angreifende Lasten,

Spannungsüberlagerungen im Boden,

Auflasten bzw. Entlastungen neben dem Bauwerk,

schlaffe Gründungen

zurückzuführen.

Die Verträglichkeit von Setzungsunterschieden bzw. die daraus resultierende

Winkelverdrehung eines Bauwerkes sollte, wie folgt, begrenzt werden:

s

L

(Gl. V-26)

mit: Winkelverdrehung

s Setzungsunterschied zwischen zwei Punkten

L Abstand der Punkte

1

750 für maschinelle Einbauten (z.B. Fahrstühle)

1

500 für wasserdichte Behälter

1

300 für Risse in der Wandverkleidung

1

150 für große Risse in Täfelung und Ziegelmauern sowie Schäden

in der Konstruktion

Bei der Einhaltung der zulässigen Ausmittigkeit der Sohldruckresultierenden kann nach

den aktuellen, europaweit harmonisierten, nationalen technischen Regelwerken

angenommen werden, dass bei Einzel- und Streifenfundamenten auf mindestens

mitteldicht gelagertem nichtbindigem Boden bzw. mindestens steifem bindigem Boden

keine unzuträglichen Verdrehungen des Bauwerkes auftreten.



Abb. V-22 Schadenskriterien infolge Winkelverdrehungen

Mögliche Ursachen für eine Fehleinschätzung der Setzungsprognose können sein:

unzureichende Anzahl und Tiefe der Bohrungen,

Fehleinschätzung des Schichtverlaufes (Störungen, Schichtneigungen),

Störung bei der Probenentnahme (Strukturstörung, Austrocknung,

Entmischung),

fehlerhafte Versuchsdurchführungen,

unzutreffende Modellvorstellung und

Fehleinschätzung der Eigengewichtsspannung.

Schadensgrenze für Rahmen mit Ausfachung

Grenze für setzungs- empfindliche Maschinen

10

1 100

1 200

1 300

1 400

1 500

1 600

1 700

1 800

1 900

1 1000

1

Sicherheitsgrenze zur Vermeidung jeglicher Risse

Grenze für erste Risse in tragenden Wänden Schwierigkeiten bei ausladenden Kränen

Sichtgrenze für die Schiefstellung hoher starrer Bauwerke

Erhebliche Risse in tragenden Wänden Sicherheitsgrenze für Ziegelwände h/l <1/4 Schadensgrenze für Bauwerke allgemein

Schiefer Turm von Pisa



t = (Endisochrone)

Einheitsbelastung p

t1

t2

Zeit t = 0 (Nullisochrone)

w

ph

Druckhöhe des Porenwassers

5 Konsolidierungstheorie

5.1 Einführung

Infolge der Belastung verringert sich der Porenraum zwischen der als starr angenommenen

festen Phase des Bodens. Die Verringerung des Porenraumes ist nur möglich, wenn das

dort vorhandene Porenwasser mit dem Aufbringen der Belastung entweicht. Dieses

zeitvariante Entweichen wird mittels der Konsolidierungstheorie für die Primärsetzung, die

auch als Konsolidierungssetzung bezeichnet wird, mathematisch beschrieben.

Die Entwicklung der Primärsetzungen infolge einer Spannungsänderung vollzieht sich in

wassergesättigten, bindigen Böden aufgrund der geringen Durchlässigkeit des Bodens sehr

langsam. Da das durch die Verkleinerung des Porenraumes unter Überdruck geratene

Porenwasser nicht schnell genug abströmen kann, entsteht im Boden infolge der Belastung

ein Porenwasserüberdruck u, der mit der Zeit abgebaut wird. Die Setzungen stellen sich

dabei erst mit der Abnahme des Porenwasserüberdruckes ein.

Abb. V-23 Kolbenmodell zur Erläuterung des Konsilidierungsvorganges

Schultze / Muhs beschreiben die Konsolidierungstheorie vereinfacht mit einem

Kolbenmodell. Das Modell besteht aus einem zylindrischen, mit Wasser gefüllten

Behälter, der eine Anzahl durchlöcherter Kolben enthält. Zwischen den Kolben befinden

sich Federn. Die Kolben und Federn sollen im Modell das Korngerüst simulieren, das

t = 0 t

Nullisochrone

u

t =

Isochrone Endisochrone

' wirksame Spannung

u Porenwasserüberdruck

''u



Wasser das Porenwasser. Wird der obere Kolben plötzlich flächig mit der

Einheitsbelastung p belastet, bleibt die Höhe der Federn zunächst unverändert, da das

Wasser zwischen den Kolben nicht schnell genug abfließen kann.

Da Federn nur eine Belastung aufnehmen, wenn sich ihre Federstrecke ändert, wird

zunächst (Zeitpunkt t = 0) die aufgebrachte Belastung vollständig durch einen Zusatzdruck

(Porenwasserüberdruck u) im Wasser getragen. Der Wasserspiegel stellt sich dabei in

allen Standrohren bei h = p/w ein.

Nach einer gewissen Zeit t1 fließt ein Teil des Wassers aus dem oberen Zylinderteil durch

die Löcher des obersten Kolbens ab, während sich im unteren Teil des Behälters noch

nichts ändert.

Das Abfließen des Wassers führt durch die Volumenabnahme zu einer

Zusammendrückung der obersten Federgruppe. Damit wird ein Teil der Last über die

Federn abgetragen (Zunahme der wirksamen Spannungen ’) und der Wasserdruck im

oberen Teil reduziert. Die Wasserspiegel in den Standröhren befinden sich in diesem

Zustand auf einer Kurve t1. Diese Kurve wird als Isochrone bezeichnet.

Für t = ∞ ist der Zusatzdruck im Wasser (Porenwasserüberdruck u = 0) komplett

abgebaut und die Last wird nur über die Federn (Korngerüst) abgetragen. Es stellt sich die

gesamte Konsolidierungssetzung ein.



v (Geschwindigkeit des Porenwassers)

dz

dzz

vv

Ausströmen

z

p

u(z,t) ’(z,t)

Isochronez.Zt. t + dt

Isochrone z.Zt. t

dz

Null-isochrone

( u)u(z, t) dt

t

''(z, t) dt

t

'dt

t

z

5.2 Eindimensionale Konsolidierungstheorie

Herleitung der Differentialgleichung des Konsolidierungsvorganges

Bei der eindimensionalen Konsolidierungstheorie wird eine Bodenschicht, eine so

genannte Lamelle, betrachtet. Die Ableitung der Differentialgleichung beruht auf der

Überlegung, dass die Volumenabnahme des Bodens infolge der Lastaufbringung p dem

Volumen des aufgrund des Porenwasserüberdruckes u ausströmenden Porenwassers

entspricht.

Abb. V-24 Ein- und Austrittsgeschwindigkeit des Porenwassers (links) und Isochronen in

der Lamelle dz (rechts)

Für die Ableitung der Differentialgleichung des Konsolidierungsvorganges gelten darüber

hinaus folgende Voraussetzungen:

1. Die Poren des Bodens sind vollständig mit Wasser gefüllt.

2. Das Wasser und die feste Bodenmasse sind inkompressibel.

3. Der Boden kann sich seitlich nicht verformen.

4. Der Steifemodul ist konstant.

5. Es gilt das Gesetz von Darcy.

6. Der Durchlässigkeitsbeiwert k ist konstant.



Bei der vertikalen wirksamen Spannung ’(z,t) handelt es sich um die setzungserzeugende,

zeit- und tiefenabhängige Spannungsänderung aus der Einwirkung p. Die neutralen

Spannungen u (Porenwasserdruck) setzen sich additiv aus dem hydrostatischen

Wasserdruck u0 und dem Porenwasserüberdruck u zusammen (u = u0 + u). In den

folgenden Abschnitten wird der hydrostatische Wasserdruck u0 nicht betrachtet, so dass

gilt u = u.

Die Zusammendrückung einer Lamelle (Bodenschicht) berechnet sich zu:

zs

1ds dz

E (Gl. V-27)

Für die Tiefe z zur Zeit t gilt nach Abbildung V-24:

Porenwasserüberdruck Wirksame Spannung

u(z, t) (z, t)

= konstant = p (Gl. V-28)

Differenziert nach der Zeit t ergibt sich:

( u)0

t t

(Gl. V-29)

Eine Änderung der wirksamen Spannungen um ’ im Zeitintervall dt liefert nach

Gleichung V-27 eine Zusammendrückung der Lamelle und damit eine Volumenabnahme

je Flächeneinheit von:

s

s 1ds dt dz dt

t E t

(Gl. V-30)

Unter Berücksichtigung von Gleichung V-29 lässt sich schreiben:

s

s 1 ( u)ds dt dz dt

t E t

(Gl. V-31)

Nach Abbildung V-24 wird aus der Lamelle im Intervall dt die Wassermenge

vdq dz dt

z

(Gl. V-32)

ausgepresst.



Mit dem Gesetz von Darcy

w

k ( u)v(z, t) k i

z

(Gl. V-33)

ergibt sich:

2

2w

k ( u)dq dz dt

z

(Gl. V-34)

Bei den geltenden Voraussetzungen ist die Volumenabnahme ds der Bodenlamelle dz

gleich dem Volumen dq des ausgepressten Wassers:

ds dq (Gl. V-35)

Damit ergibt sich:

2

2s w

1 ( u) k ( u)dz dt dz dt

E t z

2

s 2w

( u) k ( u)E

t z

(Gl. V-36)

Mit der Einführung des Verfestigungsbeiwertes cv

v sw

kc E

(Gl. V-37)

vereinfacht sich Gleichung V-36 zu:

2

v 2

( u) ( u)c

t z

(Gl. V-38)

Die Gleichung V-38 ist die Differentialgleichung des Konsolidierungsvorganges nach

Terzaghi (1923). Es handelt sich dabei um eine partielle, lineare und homogene

Differentialgleichung 2. Ordnung.



Lösungsansatz

Zur Lösung werden eine Anfangsbedingung (Nullisochrone) und zwei homogene

Randbedingungen (Entwässerungsbedingungen) benötigt. Es zeigt sich, dass der

Produktansatz von Bernouilli zielführend ist. Der Ansatz lautet:

u(z, t) (z) (t) (Gl. V-39)

ist dabei eine von t abhängige Funktion, eine von z abhängige Funktion. Durch

Differenzieren nach z bzw. t lässt sich die partielle Differentialgleichung V-39 in zwei

gewöhnliche Differentialgleichungen aufspalten.

2 2

2 2

( u) d(t)

z dz

(Gl. V-40)

( u) d(z)

t dt

(Gl. V-41)

Werden die Gleichungen V-40 und V-41 in Gl. V-38 eingesetzt, ergibt sich:

2

V 2

d d(z) c (t)

dt dz

(Gl. V-42)

Die Trennung der Veränderlichen t und z liefert:

2

2V

d 1 1 d 1

dt (t) c dz (z)

(Gl. V-43)

Die linke Seite der Gleichung V-43 ist eine Funktion der Variablen t, die rechte Seite eine

Funktion von z. Beide Seiten können einander nur gleich sein, wenn sie gleich derselben

Konstanten sind.

V

d 1 1a²

dt (t) c

(Gl. V-44)

2

2

d 1a²

dz (z)

(Gl. V-45)



Durch Umordnen ergeben sich zwei gewöhnliche Differentialgleichungen.

2Va c (t) 0 (Gl. V-46)

2a (z) 0 (Gl. V-47)

Die erste Gleichung V-46 lässt sich durch Trennen der Veränderlichen lösen. Nach

anschließender Integration ergibt sich:

2Va c t

1(t) C e (Gl. V-48)

Die Lösung der zweiten Gleichung V-47 hat die gleiche mathematische Form wie die der

aus der Mechanik bekannten Schwingungsgleichung. Sie lautet:

2 3(z) C sin(a z) C cos(a z) (Gl. V-49)

Zur Bestimmung der Konstanten a, C1, C2 und C3 müssen die verschiedenen

Entwässerungsbedingungen für eine Tonschicht als Randbedingungen und die

Anfangsbedingung eingearbeitet werden.



Randbedingung 1: Zweiseitig entwässernde Tonschicht

Bei einer zweiseitig entwässernden, offenen Tonschicht wird das Porenwasser sowohl über

die untere als auch obere Grenzfläche abgeführt. Die Dicke der Schicht wird aus Gründen

der Symmetrie mit h = 2 d definiert.

Abb. V-25 Randbedingungen bei zweiseitiger Entwässerung

Die homogenen Randbedingungen lauten:

u(0, t) 0 (Gl. V-50)

u(2d, t) 0 (Gl. V-51)

Mit den oben eingeführten Bezeichnungen lauten die Randbedingungen:

(0) 0 (Gl. V-52)

(2d) 0 (Gl. V-53)

Eingesetzt in Gleichung V-49:

3(0) 0 C (Gl. V-54)

2(2d) 0 C sin (a 2d) (Gl. V-55)

d

Symmetrie- achse

Sand

Ton

u(0,t) = 0

Isochrone z.Zt. t

Sand u(2d,t) = 0

z d

h



Die Gleichung V-55 ist für

n

na a mit n 1,2,3...

2d

(Gl. V-56)

erfüllt. Aus den Gleichungen V-48 und Gl V-49 werden somit:

n 2,n

n(z) C sin z

2 d

(Gl. V-57)

2

Vn

c t2 d

n 1,n(t) C e

(Gl. V-58)

Damit ergibt sich als partikuläres Integral der Gleichung V-38 aufgrund von

Gleichung V-39:

2

Vn

c t2 d

n n

nu (z, t) C e sin z

2 d

(Gl. V-59)

Wegen der Linearität der Differentialgleichung ist auch die Summe der partikulären

Integrale eine Lösung. Mit der Einführung des Zeitfaktors

vc tT

d²

(Gl. V-60)

gilt für die zweiseitige Entwässerung:

2n

T2

nn 1

nu(z, t) C e sin z

2 d

(Gl. V-61)



Randbedingung 2: Einseitig entwässernde Tonschicht

Bei der einseitig entwässernden Tonschicht kann das Porenwasser nur durch eine

Grenzfläche austreten. Die Dicke halb geschlossener Schichten wird mit h = d angegeben.

Abb. V-26 Randbedingungen bei einseitiger Entwässerung

Die Randbedingungen lauten hierfür:

u(0, t) 0 (Gl. V-62)

( u(d, t))0

z

(Gl. V-63)

Mit den oben eingeführten Bezeichnungen lauten die Randbedingungen:

(0) 0 (Gl. V-64)

(d)0

z

(Gl. V-65)

Unter Ausnutzung der Symmetrie und unter Berücksichtigung der Gleichung V-59 liefert

die Gleichung V-63:

2

Vn

c t2 d

n

( u(z, t)) n nC e cos z

z 2 d 2 d

(Gl. V-66)

Sandu(0,t) = 0

Ton

Isochrone z.Zt. t

z

h d

( u(d,t))0

z

Undurchlässige Schicht



2

Vn

c t2 d

n

( u(d, t)) n n0 C e cos

z 2 d 2

(Gl. V-67)

Die Gleichung V-67 ist für ungerade n (n = 1,3,5…) erfüllt. Für gerade n (n = 2,4,6…)

muss die Bedingung Cn = 0 erfüllt sein, d.h. die Summe der Gleichung V-61 enthält nur

Glieder mit ungeraden n. Damit ergibt sich für die einseitige Entwässerung:

2(2n 1)

T2

2n 1n 1

2n 1u(z, t) C e sin z

2 d

(Gl. V-68)

Anfangsbedingungen

Die Gleichungen V-61 und V-68 erfüllen die Randbedingungen. Zur vollständigen Lösung

muss darüber hinaus die Anfangsbedingung (Nullisochrone) eingearbeitet werden. Die

Anfangsbedingung lautet für beliebige Entwässerungsbedingungen:

u(z,0) f (z) (Gl. V-69)

Für eine gleichmäßig konstante, weit ausgedehnte Belastung p gilt:

u(z,0) f (z) p konstant (Gl. V-70)

Aus Gleichung V-61 bzw. V-68 ergibt sich damit:

nn 1

nu(z,0) f (z) C sin z

2 d

(Gl. V-71)

Cn sind die Fourierkoeffizienten der Funktion f(z), wenn die Funktion f(z) im

Intervall (0, h) in einer Sinusreihe entwickelt wird.

h

n

0

2 nC f (z) sin z dz

h 2d

(Gl. V-72)



Anfangsbedingung 1 für eine gleichmäßig konstante Belastung: Zweiseitig entwäs-

sernde Tonschicht

Abb. V-27 Anfangsbedingung bei zweiseitiger Entwässerung

Mit h = 2 d und f(z) = p ergibt sich aus Gleichung V-72:

2d

n

0

1 nC p sin z dz

d 2d

(Gl. V-73)

Die Integration liefert:

n

2C p (1 cos (n ))

n

(Gl. V-74)

Mit

1 cos (n ) 0 für n gerade

2 für n ungerade

wird aus Gleichung V-73:

n

4C p für n 1, 2,3...

(2n 1)

(Gl. V-75)

z

h

d

Sand

Sand

u(z,0) = f(z) = p = const.

Nullisochrone

d Ton



In Gleichung V-61 eingesetzt lautet die endgültige Lösung der Differentialgleichung zur

Beschreibung des Porenwasserüberdruckes für den betrachten Fall einer gleichmäßig

belasteten Tonschicht mit zweiseitiger Entwässerung:

2(2 n 1)

T2

n 1

4 1 (2 n 1)u(z, t) p e sin z

2n 1 2 d

(Gl. V-76)

Anfangsbedingung 2 für eine gleichmäßig konstante Belastung: Einseitig entwäs-

sernde Tonschicht

Abb. V-28 Anfangsbedingung bei einseitiger Entwässerung

Mit h = d ergibt sich aus Gleichung V-72 unter Beachtung von Gleichung V-68:

d

2n 1

0

2 (2n 1)C p sin z dz

d 2d

(Gl. V-77)

Die Integration liefert das gleiche Ergebnis wie im Falle der beidseitigen Entwässerung:

2n 1

4 2n 1C p 1 cos

(2n 1) 2

)

2n 1

4C p für n 1,2,3...

(2n 1)

(Gl. V-78)

z

h d

Sand

u(z,0) = f(z) = p = const.

Nullisochrone

Ton

Undurchlässige Schicht



uo

uu

Nulliso- chrone

h

z

In Gleichung V-68 eingesetzt ist die endgültige Lösung der Differentialgleichung zur

Beschreibung des Porenwasserüberdruckes für den betrachten Fall einer gleichmäßig

belasteten Tonschicht mit einseitiger Entwässerung:

2(2n 1)

T2

n 1

4 1 (2n 1)u(z, t) p e sin z

2n 1 2 d

(Gl. V-79)

Anfangsbedingung 3 für eine örtlich begrenzte Belastung: Zweiseitig entwässernde

Tonschicht

Die Voraussetzungen 3 und 6 sind nur für den Sonderfall der unbegrenzt gleichförmig

belasteten waagrechten Tonschicht mit gleich bleibender Dicke erfüllt. Im Falle einer

begrenzten Belastung findet in der Tonschicht ein räumlicher Porenwasserabfluss statt. Die

Voraussetzungen sind jedoch auch bei begrenzter und ungleichmäßiger Belastung

näherungsweise erfüllt, wenn die Dicke der Tonschicht im Vergleich zur Breite der

Lastfläche klein ist.

Im Folgenden wird der Fall der begrenzten bzw. ungleichmäßigen Belastung als

Anfangsbedingung (Nullisochrone) in die an die Randbedingungen (Entwässerung)

angepassten Gleichungen eingearbeitet. Dabei kann die für technische Problemstellungen

genügende Annahme der linearen Nullisochrone verwendet werden.

uo Porenwasserüberdruck zur Zeit t = 0

am oberen Rand der Tonschicht

uu Porenwasserüberdruck zur Zeit t = 0

am unteren Rand der Tonschicht

Abb. V-29 Allgemeine lineare Anfangsbedingung

Die allgemeine Gleichung der Nullisochrone unter Annahme eines linearen Verlaufes lautet:

u oo

u uu(z,0) f (z) u z

h

(Gl. V-80)

Damit wird aus Gleichung V-72 für h = 2d:



2du o

n o

0

u u1 nC u z sin z dz

d h 2d

(Gl. V-81)


n o u 0

2 1 2C u (1 cos n ) ( u u ) cos (n )

n d n

(Gl. V-82)

mit

n 1cos (n ) ( 1)

1 cos (n ) 0 für n gerade

2 für n ungerade

wird:

n 1n o u 0

4 2C u ( u u ) ( 1)

(2n 1) n

(Gl. V-83)


Beschreibung des Porenwasserüberdruckes für den betrachten Fall einer örtlich begrenzt

belasteten Tonschicht mit zweiseitiger Entwässerung:

2(2n 1)

T2

on 1

4 1 (2n 1)u(z, t) u e sin z

2n 1 2 d

2nn 1 T2

u on 1

2 ( 1) n( u u ) e sin z

n 2 d

(Gl. V-84)



Anfangsbedingung 4 für eine örtlich begrenzte Belastung: Einseitig entwässernde

Tonschicht

Aus Gleichung V-72 mit V-80 wird unter Beachtung von Gleichung V-68:

du o

2n 1 o

0

u u2 (2n 1)C u z sin z dz

d h 2d

(Gl. V-85)


2n 1 o u 0

1 1C 4 u 8 ( u u )

(2n 1) (2n 1)² ²

(Gl. V-86)


Beschreibung des Porenwasserüberdruckes für den betrachten Fall einer örtlich begrenzt

belasteten Tonschicht mit einseitiger Entwässerung:

2(2n 1)

T2

on 1

4 1 (2n 1)u(z, t) u e sin z

2n 1 2 d

2(2n 1)n 1 T

2u o2 2

n 1

8 ( 1) (2n 1)( u u ) e sin z

(2n 1) 2 d

(Gl. V-87)



5.3 Isochronen

Mit den oben abgeleiteten Beziehungen für die Beschreibung des Porenwasserüberdruckes

u (für u0 = 0 gilt u = u) in Abhängigkeit der Zeit t und der Tiefe z lassen sich die

Isochronen für die verschiedenen Rand- und Anfangsbedingungen berechnen und

graphisch darstellen.

In den Abbildungen V-30 und 31 sind die Bezugsgröße z/d und der Verlauf der

Nullisochrone anzusetzen, um den zeitlichen Abbau des Porenwasserüberdruckes u als

bezogene Größe u/uo darzustellen.

0,5 1

u uu

z

d

u uo

z

d

0,5 1

T=

1,0 T

=0,5

T=

0,25

T=

0,1

T=

0,05

T = 0,025

T=

1,0

Nullisochrone

T = 0

Nullisochrone

T = 0

T=

0,5

T=

0,25

T = 0,1

T = 0,05

T = 0,025

1

2

1

2

u = Porenwasserüberdruck zur Zeit t

u = Porenwasserüberdruck am oberen Rand zum Zeitpunkt t = 0o

u = Porenwasserüberdruck am unteren Rand zum Zeitpunkt t = 0u

Fall 1: Fall 2:

2d

Nullisochrone

durchlässiger Rand

durchlässiger Rand

2d

Nullisochrone

durchlässiger Rand

durchlässiger Rand

Abb. V-30 Isochronenbilder für beidseitige Entwässerung

Der Fall der lotrechten Nullisochrone ist für die einseitige Entwässerung nicht explizit

dargestellt, da aus Symmetriegründen das Isochronenbild identisch ist mit der Abbildung

V-30 (Fall 1) für die zweiseitige Entwässerung im Bereich zwischen z/d = 0 bis z/d = 1.



0,5 1

u uo

zd

u uu

zd

0,5 1

T=

1,0

T=

0,5

durchlässiger Randdurchlässiger Rand

0,5

T=

1,0

T = 0,012T=

0,025T=

0,05T=

0,1T=

0,25Nullisochrone

T = 0

Nullisochrone

T = 0

T=

0,2

5

T=

0,1

T=

0,0

5

T=

0,0

25

T=

0,5

undurchlässiger Rand undurchlässiger Rand1

0,5

1

u = Porenwasserüberdruck zur Zeit t

u = Porenwasserüberdruck am oberen Rand zum Zeitpunkt t = 00

u = Porenwasserüberdruck am unteren Rand zum Zeitpunkt t = 0u

Fall 2:Fall 1:

d

undurchlässiger Rand

Nullisochrone

durchlässiger Rand

d

undurchlässiger Rand

Nullisochrone

durchlässiger Rand

Abb. V-31 Isochronenbilder für einseitige Entwässerung



5.4 Konsolidierungsgrad

Als Konsolidierungsgrad wird das Verhältnis der Setzung zur Zeit t zur Setzung zur Zeit

t = ∞ definiert:

K

s(t t)U

s(t )

(Gl. V-88)

Die Setzung einer Bodenschicht wird durch Integration der setzungserzeugenden

Spannung, dividiert durch den Steifemodul Es, ermittelt. Als setzungserzeugende

Spannung zur Zeit t ist die wirksame Spannung ’ in der Bodenschicht zum Zeitpunkt t

festgelegt.

' u (Gl. V-89)

Der Porenwasserdruck u (neutrale Spannung) setzt sich aus dem hydrostatischen

Wasserdruck u0 und den Porenwasserüberdruck u zusammen (Anmerkung: Bei der

Herleitung der Konsolidierungstheorie ist nur der Porenwasserüberdruck u relevant, so

dass gilt u = u).

Abb. V-32 Isochronen einer zweiseitig entwässernden Bodenschicht

Für den Zeitpunkt t = ∞ gilt für die wirksamen Spannungen:

(z, t ) f (z) (Gl. V-90)

h

z d

d

u(z,t = t)

Sand

Sand

1 2

3

4

Ton

u(z,t = ) Endisochrone

u(z,t = 0) = f(z) = σ’(z,t = ) Nullisochrone

5

6



Damit ergibt sich für die Setzung:

h123456

s s0

Fläche1s(t ) f (z) dz

E E (Gl. V-91)

Für den Zeitpunkt t = t betragen die wirksamen Spannungen

(z, t t) (z, t ) u(z, t t) f (z) u(z, t t) (Gl. V-92)

und die Setzung

h

s 0

1s(t t) f (z) u(z, t t) dz

E (Gl. V-93)

Der Konsolidierungsgrad ergibt sich damit zu:

(z,t ) u(z,t t )h h

s 0 0K h h

S 0 0 (z,t )

1f (z) u(z, t) dz f (z) u(z, t) dz

Es(t t)U

s(t ) 1f (z) dz f (z) dz

E

h

0K h

0

u(z, t) dz

U 1

(z, t ) dz

(Gl. V-94)

Der Konsolidierungsrad ist anschaulich das Verhältnis der schraffierten Fläche der

wirksamen Spannungen zur Zeit t zur Spannungsfläche 123456 (Abbildung V-32).

Zur Auswertung der Gleichung V-94 werden die in Abschnitt 5.2 angegebenen Lösungen

zur Beschreibung des Porenwasserüberdruckes u als Funktion der Zeit t und der Tiefe z

verwendet.



Fall 1: Zweitseitig entwässernde Tonschicht

Für die Gleichung V-80 ergibt sich:

h h 2d

0 0

f (z) dz (z, t ) dz

(Gl. V-95)

2du o o u

o

0

u u u uu z dz 2d

h 2

In der Gleichung V-84 sind nur die Glieder n

sin z2 d

und

(2n 1)sin z

2 d

von z

abhängig. Integriert ergibt sich für die Ausdrücke:

2d

0

n 4 dsin z dz

2 d (2n 1)

(Gl. V-96)

2d

0

(2n 1) 4 dsin z dz

2 d (2n 1)

(Gl. V-97)

Werden die Gleichungen V-95, 96 und 97 in die Gleichung V-94 eingesetzt, ergibt sich der

Konsolidierungsgrad UK in Abhängigkeit der Zeit t für die zweiseitige Entwässerung mit

linearer Nullisochrone zu:

2(2n 1)T

2K 2 2

n 1

8 1U 1 e

(2n 1)

(Gl. V-98)

Der Konsolidierungsgrad ist dabei unabhängig von der linear vorausgesetzten

Nullisochrone.



Fall 2: Einseitig entwässernde Tonschicht

Für die Gleichung V-80 ergibt sich:

h h d h d' u o o u(z,t ) o

0 0 0

u u u uf (z) dz dz u z dz d

h 2

(Gl. V-99)

In der Gleichung V-87 ist nur das Glied (2n 1)

sin z2 d

von z abhängig. Die Integration

führt zu:

h d

0

(2n 1) 2 dsin z dz

2 d (2n 1)

(Gl. V-100)

In die Gleichung V-94 zur Berechnung des Konsolidierungsgrades eingesetzt, ergibt sich

damit:

2 2(2n 1) (2n 1)n 1T T2 2

o u o2 2 3 3n 1 n 1

Ko u

16 1 32 ( 1)u e ( u u ) e

(2n 1) (2n 1)U 1

u u

(Gl. V-101)

Bei Unterscheidung verschiedener üblicher Anfangsbedingungen (Nullisochrone) lässt

sich die Gleichung V-101 vereinfachen:

a) uo = uu = konstant

2(2n 1)T

2K 2 2

n 1

8 1U 1 e

(2n 1)

(Linie C1) (Gl. V-102)

b) uo = 0

2(2n 1)n 1 T2

K 2 3n 1

32 ( 1)U 1 e

(2n 1)

(Linie C3) (Gl. V-103)



2d

drainierter Rand

beidseitig drainierte Tonschichten

d

undrainierter Rand

einseitig drainierte Tonschichten

C1

C1

C3

C1

C2

C1Kurve:

Kurve:

Nullisochrone

drainierter Rand

drainierter Rand

0 0,60,40,2 0,8 1,0100

1,2 1,4

Zeitfaktor T

Kon

soli

dier

ungs

grad

U [

%]

K

0

20

40

60

80

C3

C1

C2

vc tT

d²

c) uu = 0

2 2(2n 1) (2n 1)n 1T T2 2

K 2 2 3 3n 1 n 1

16 1 32 ( 1)U 1 e e

(2n 1) (2n 1)

(Gl. V-104)

(Linie C2)

Mittels den oben aufgeführten Ableitungen kann eine graphische Darstellung erfolgen, die

den Konsolidierungsgrad UK in Abhängigkeit von der Zeit t bzw. von dem Zeitfaktor T

zeigt.

Abb. V-33 Konsolidierungsrad in Abhängigkeit vom Zeitfaktor T



5.5 Modellgesetz der Zeitsetzung

Bei einfach verdichteten bindigen Böden kann der ungefähre zeitliche Verlauf der

Setzungen infolge einer Spannungsänderung überschlägig aus den im Versuch gewonnen

Zeit-Setzungslinien abgeleitet werden.

Unter der Voraussetzung, dass der Abbau des Porenwasserüberdruckes im Modell und in

der Natur gleich ist, sind die Verfestigungsbeiwerte cV identisch.

v Modell v Naturc c (Gl. V-105)

Mit diesen Voraussetzungen wird der Konsolidierungsgrad des Modellbodens gleich dem

des Vergleichsbodens.

K Modell K NaturU U (Gl. V-106)

Aus den allgemeinen Gleichungen für den Konsolidierungsgrad lässt sich erkennen, dass

die Gleichung V-106 gilt, wenn die Exponenten der e-Funktion identisch sind. Daher gilt:

Modell NaturT T (Gl. V-107)

V Modell Modell V Natur Natur² ²Modell Natur

c t c t

d d

(Gl. V-108)

Daraus ergibt sich das Modellgesetz:

2Modell

Modell Natur 2Natur

dt t

d (Gl. V-109)



6 Beispiele zur Setzungsberechnung

6.1 Setzungsberechnung eines Tanks

Für den in Abbildung V-34 dargestellten Tank sind folgende Aufgabenteile zu bearbeiten:

1. Wie groß ist die maximale Durchbiegung des unten skizzierten Tankbodens?

2. Wie groß sind die Setzungen, die 1 Jahr nach Fertigstellung des Tanks

eingetreten sind?

3. Wie lange dauert es, bis die Endsetzungen eingetreten sind?

Abb. V-34 Schnitt durch den Tank

Tankgrundfläche: Kreis

p = 235 kN/m²

= 20

- 8,0

- 2,0

_ 0,0 +

Sand: = 17,5 kN/m³

Ton: r = 19,0 kN/m³

Es,E aus Druck-Setzungsdiagramm (Erstbelastung)

Es,W = (Wiederbelastung)

Fels: Es , wasserundurchlässig



Abb. V-35 Druck-Setzungsdiagramm aus Kompressionsversuch

13.000

14.000

15.000

16.000

17.000

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

Belastung ' [kN/m²]

Ste

ifem

odul

Es [

kN/m

²]

Abb. V-36 Steifemodul-Druckdiagramm

0h

ΔhΔ

5, 9

7

6, 4

1

6,90

7,38

)’

[‰]

[kN/m²]

100 200 300 400 500 ’

10

20

30

40

50

s

0

'E

h

h

0

h

h

s

100 kNE (100kN / m²) 13550

0,00738 m²



1. Durchbiegung des Tankbodens

Setzungserzeugende Einwirkung (Tankgewicht abzüglich Aushub, da der Steifemodul für

Wiederbelastung Es,W näherungsweise als unendlich groß angenommen wird).

kNp 235 2 17,5 200

m²

Setzungserzeugende Spannungen z p i

Tankmitte Tankrand

Kote

[m] z

[m] z/r

[-] i1

[-] 'z,1

[kN/m²] i2

[-] 'z,2

[kN/m²]

-2 0 0 1,0 200 0,5 100

-3,5 1,5 0,15 0,99 198 0,47 94

-5,0 3,0 0,3 0,95 190 0,45 90

-6,5 4,5 0,45 0,93 186 0,42 84

-8,0 6,0 0,6 0,87 174 0,39 78

Tabelle V-1 Setzungserzeugende Spannungen ’z

Bestimmung des Steifemoduls Es:

Der Steifemodul Es wird für die zwei Tiefen z = 1,5 m und z = 4,5 m aus dem Druck-

Setzungsdiagramm bzw. aus dem Steifemodul-Druckdiagramm bestimmt:

Tankmitte Tankrand

Kote [m]

'in-situ [kN/m²]

'z,1 [kN/m²]

'in-situ + 'z,1[kN/m²]

Es [kN/m²]

'z,2 [kN/m²]

'in-situ + 'z,2 [kN/m²]

Es [kN/m²]

-3,5 48,5 198 246,5 15000 94 142,5 13900

-6,5 75,5 186 261,5 15100 84 159,5 14100

Tabelle V-2 Bestimmung des Steifemoduls



Endsetzung und maximale Durchbiegung mit Es,W = Es,Ent = 0:

Mitte

Rand

Mitte Rand

1 (200 190) 1 (190 174)s 3,0 3,0 7,5cm

15000 2 15100 21 (100 90) 1 (90 78)

s 3,0 3,0 3,8cm13900 2 14100 2

s s s 7,5 3,8 3,7cm



(t)[%]

(t )

2. Setzungen nach einem Jahr

Naturt 1 Jahr 365 24 3600 31.536.000 s

dNatur = 6 m (einseitige Entwässerung)

dModell = 0,01 m (Vorgabe: Probenhöhe 20 mm, zweiseitige Entwässerung)

2Modell

Modell Natur 2Natur

d 0,01²t t 31536000 87,6s

d 6²

100% der Primärsetzungen

0% der Primärsetzungen

87,6

39,5

0

20

40

60

80

100

10 100 1000 10000 100000

Zeit t [s ]

Abb. V-37 Zeit-Setzungsdiagramm

aus Zeit-Setzungsdiagramm: K

0,395U 0,49

0,81

k

Mitte

Rand

Mitte Rand

s(t t) U s(t )

s 0,49 7,5 3,7 cm

s 0,49 3,8 1,9 cm

s s s 1,8 cm



3. Zeit bis zur Endsetzung

aus Zeit-Setzungsdiagramm: tModell = 1150 s

dNatur = 6 m (einseitige Entwässerung)

dModell = 0,01 m (Probenhöhe 20 mm, zweiseitige Entwässerung)

2Natur

Natur Modell 2Modell

d 6²t t 1150 414.000.000s 13Jahre

d 0,01²



6.2 Errichtung einer Fabrikhalle

Neben einer seit 20 Jahren bestehenden, 20 m x 60 m großen Fabrikhalle soll ein Anbau

errichtet werden. Die setzungserzeugende Last in der bestehenden Halle und im Anbau

beträgt inklusive Eigengewicht der Fundamentplatte p = 80 kN/m².

Folgende Punkte sind zu bearbeiten:

1. Ermitteln Sie aus dem Druck-Setzungsdiagramm den Steifemodul der

Tonschicht in Abhängigkeit von den wirksamen Spannungen.

2. Berechnen Sie die Endsetzung im Punkt A infolge der Last p der alten

Fabrikhalle (vor Erstellung des Anbaus).

3. Stellen Sie den zeitlichen Verlauf der Setzungen im Punkt B ab dem

Zeitpunkt der Errichtung des Anbaus dar.

4. Berechnen Sie die Verkantung zwischen den Punkten A und C infolge des

Anbaus.

5. Stellen Sie den Verlauf der neutralen Spannungen unter dem Punkt B für den

Zeitpunkt t = 3 d und t = 30 d nach Errichtung des Anbaus dar. (Hinweis: Die

Dauer für die Errichtung des Anbaus darf vernachlässigt werden).



bestehende Fabrikhalle

60,0 m

20,0 m 20,0 m 20,0 m

20,0 m

20,0 mAA

A

C

p

GW -3,0 m

GOK ± 0 m

-11,0 m

Sa1

-12,0 mCL

-18,5 m

Z-Tonstein

Sa2

Z-

Z-Z-

20,0 m

-1,0 m

B

Grundriss:

Schnitt A-A:

Bodenkennwerte:

Sand 1: Ton: Sand 2 : Tonstein:

= 19 kN/m³ = 18 kN/m³ = 19 kN/m³ ' = 11 kN/m³ ' = 9 kN/m³ ' = 11 kN/m³ k = 5 . 10-4 m/s k = 2 . 10-9 m/s k = 5 . 10-4 m/s Es,E = 40 MN/m² Es,E = 100 MN/m² Es,E = 150 MN/m² Es,W Es,W Es,W

Abb. V-38 Grundriss und Schnitt A-A



0

4

8

12

16

20

0 100 200 300 400 500 600

Spannung ' [kN/m²]

Bez

ogen

e S

etzu

ng

[%]

Abb. V-39 Druck-Setzungsdiagramm



1. Bestimmung des Steifemoduls

Der Steifemodul wird jeweils für ein Intervall ['u ; 'o] ermittelt. Es gilt:

' = 'o - 'u und = o - u.

Daraus folgt:

o us

o u

'E

bezogen auf eine mittlere Spannung ’m

o um 2

’u bis ’o

[kN/m²] ’m

[kN/m²]

[%] Es

[MN/m²]

0 – 100 50 5,4 1,9

100 – 200 150 4,3 2,3

200 – 300 250 3,4 2,9

300 – 400 350 3,0 3,3

400 – 500 450 1,9 5,3

500 – 600 550 0,9 11,1

Tabelle V-3 Tabellarische Auswertung des Druck-Setzungsdiagrammes



0

2

4

6

8

10

12

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60

Spannung ' [MN/m²]

Ste

ifem

odul

Es [

MN

/m²]

Abb. V-40 Steifemodul-Druckdiagramm



2. Endsetzung im Punkt A

Setzungserzeugende Einwirkung (Fabrikhalle abzüglich Aushub, weil der Steifemodul Es,W

näherungsweise als unendlich groß angenommen wird):

kNp 80 1 19 61

m²

Einflusstiefe:

Es(Tonstein) >> Es(Sand, Ton) => ze = 17,5 m (Kote -18,5 m unter GOF)

Setzungserzeugende Spannung:

Systemsteifigkeit (Gl. V-19): 3

1 30000 1K 0,0003 0,001

12 40 60

Die Fundamentplatte wird als schlaff angenommen.

Der Steifemodul wird für die Tonschicht aus Abbildung V-40 zu Es = 2,3 MN/m²

angenommen (siehe auch Abbildung V-12). Die Endsetzung für t = ∞ im Punkt A ergibt

sich damit zu:

A

A

61 60,7 60,7 59,5 59,5 56,82 2 2

1 1 50,0 47,82 2 2s 156,8 53,7 53,7 51,7 51,7 50,040.000 2.300 2

2 1 12 2 2

1 47,8 41,5 41,5 35,63 3,5

100.000 2 2

s 0,0143 0,0213 0,0027 3,8 cm

a = 30 m

b = 10 m

a = 30 m

b = 10 m A

a3

b



Kote

[m]

z

[m]

z/b

[-]

i

[-] 'z

[kN/m²]

-1 0 0 0,250 61,0

-3 2 0,2 0,249 60,7

-5 4 0,4 0,244 59,5

-7 6 0,6 0,233 56,8

-9 8 0,8 0,220 53,7

-10 9 0,9 0,212 51,7

-11 10 1,0 0,205 50,0

-12 11 1,1 0,196 47,8

-15 14 1,4 0,170 41,5

-18,5 17,5 1,75 0,146 35,6

Tabelle V-4 Setzungserzeugende Spannungen 'z für t = ∞ im Punkt A

mit z 4 i p



3. Zeitlicher Verlauf der Setzungen im Punkt B

Die Setzungen infolge der bestehenden Fabrikhalle können als abgeschlossen betrachtet

werden.

Endsetzungen im Punkt B für t = ∞:

Kote [m]

z [m]

z/b [-]

i [-]

'z [kN/m²]

-1 0 0 0,250 61,0

-5 4 0,4 0,240 58,6

-9 8 0,8 0,200 48,8

-11 10 1,0 0,175 42,7

-12 11 1,1 0,163 39,7

-15 14 1,4 0,130 31,7

-18,5 17,5 1,75 0,100 24,4

Tabelle V-5 Setzungserzeugende Spannungen 'z für t = ∞ im Punkt B

mit z 4 i p

B

Ton

1 61 58,6 58,6 48,8 48,8 42,7s 4 4 2

40.000 2 2 2

1 42,7 39,7 1 39,7 31,7 31,7 24,41 3 3,5

2.300 2 100.000 2 2

0,014 0,018 0,002 3,4 cm

B

b = 10 m

a = 10 m

a1

b



Zeitlicher Verlauf der Setzungen in der Tonschicht:

K K K

s(t t)U s(t t) U s(t ) U 1,80cm

s(t )

97s

Vw

k E 2 10 2300 m²c 4,6 10

10 s

V

d² Tt

c

d = 0,5 m (zweiseitige Entwässerung, Linie C1)

Uk [%]

T [-]

t [s]

s(t = t) [cm]

0 0 0 0

20 0,03 16.304 0,36

40 0,13 70.652 0,72

60 0,28 152.173 1,08

80 0,57 309.783 1,44

90 0,85 461.957 1,62

Tabelle V-6 Zeitlicher Verlauf der Setzungen in der Tonschicht



sTon

sobere Sandschicht

sSand gesamt

s(t = oo)

0,00

1,00

2,00

3,00

4,00

0 1 2 3 4 5 6

Zeit t [d]

Setz

ung

[cm

]

Abb. V-41 Zeitlicher Verlauf der Setzungen im Punkt B



4. Berechnung der Verkantung zwischen den Punkten A und C

Die Setzungen infolge der bestehenden Fabrikhalle können als abgeschlossen betrachtet

werden.

Punkt A:

Die Setzung im Punkt A kann mit den Aufgabenteilen 2) und 3) berechnet werden. Die

Spannungen im Punkt A werden durch eine Überlagerung (Subtraktion der entsprechenden

i-Werte) der unten dargestellten Flächen ermittelt. Diese Flächen wurden schon zur

Setzungsberechnung in den Aufgabenteilen 2) und 3) verwendet.

A

1 1s 3,8 3,4 0,2cm

2 2

Der Faktor 0,5 wird hier verwendet, da bei den Aufgabenteilen 2) und 3) jeweils 4

Teilflächen berücksichtigt wurden.

Punkt A

30 m

Punkt A

10 m

10 m a1

b

a3

b



Punkt C:

Kote [m]

z [m]

z/b [-]

i [-]

'z [kN/m²]

-1 0 0 0,250 30,5

-5 4 0,4 0,244 29,8

-9 8 0,8 0,218 26,6

-11 10 1,0 0,200 24,4

-12 11 1,1 0,190 23,2

-15 14 1,4 0,165 20,1

-18,5 17,5 1,75 0,135 16,5

Tabelle V-7 Setzungserzeugende Spannungen 'z für t = ∞ im Punkt C

mit z 2 i p

C

1 30,5 29,8 29,8 26,6 26,6 24,4s 4 4 2

40.000 2 2 2

1 24,4 23,2 1 23,2 20,1 20,1 16,51 3 3,5

2.300 2 100.000 2 2

0,0071 0,0103 0,0013 1,9cm

Die Verkantung ergibt sich damit zu:

s 1,9 0,2 1

L 1000 600

10 m

20 m

Punkt C

a2

b



5. Neutrale Spannungen

Zeitpunkt t = 3 d

t 3d 3 24 3600 259.200s

Abb V 33K7

VAbb V 30

o

U 75%c t 4,6 10

T 259.200 0,48 u0,4d² 0,5²

u

(Annahme: uo = uu → Fall 1)

o

(42,7 39,7) kNu(t 3d, z 11,5m) 0,4 u 0,4 16,5

2 m²

Zeitpunkt t = 30 d

t 30d 30 24 3600 2.592.000s

Abb V 33K7

VAbb V 30

o

U 100%c t 4,6 10

T 259.2000 4,8 u0d² 0,5²

u

ou(t 30d, z 11,5m) 0 u 0



0

4

8

12

16

20

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Porenwasserdruck u = u0 + u [kN/m²]

Tie

fe z

[m]

t = 30 d

t = 3 d

Abb. V-42 Porenwasserdruck Punkt B



Literatur

[1] Amann, P. (1975)

Verformungsverhalten des Baugrundes beim Baugrubenaushub und

anschließendem Hochhausbau am Beispiel des Frankfurter Tons.

Mitteilungen der Versuchsanstalt für Bodenmechanik und Grundbau der

Technischen Hochschule Darmstadt. Heft 15.

[2] Atkinson, J. H., Bransby, P. L. (1978)

The Mechanics of Soils – An Introduction to Critical Soil Mechnics.

MCGraw-Hill Book Company (UK) Limited.

[3] DIN 4019: Setzungsberechnungen bei lotrecht, mittiger Belastung

Beuth Verlag. Ausgabe 1979.

[4] Empfehlungen „Verformungen des Baugrunds bei baulichen Anlagen“ - EVB

Ernst und Sohn Verlag. Ausgabe 1993.

[5] Gross, D., Hauger, W., Schnell, W., Wriggers, P. (1993)

Technische Mechanik 4. Springer Verlag.

[6] Gudehus, G. (1981)

Bodenmechanik. Enke Verlag.

[8] Kany, M. (1974)

Berechnung von Flächengründungen. Ernst und Sohn Verlag. 2. Auflage.

[9] Katzenbach, R., Breth, H. (1980)

Das Setzungsverhalten von Steinschüttdämmen nach der Inbetriebnahme der

Talsperre. Wasserwirtschaft 70. H. 5, 202-205.

[10] Schultze, E., Muhs, H. (1967)

Bodenuntersuchungen für Ingenieurbauten. Springer Verlag.

[11] Smoltczyk, U. (1996)

Grundbau-Taschenbuch. Teil 1. Ernst und Sohn Verlag. 5. Auflage.

[12] Zilch, K, Diederichs, C. J., Katzenbach, R. (2002)

Handbuch für Bauingenieure. Springer Verlag.

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