Doç. Dr. Gökhan Kiper

20-21 Kasım 2019

ODTÜ Makina Mühendisliği Bölümü, Ankara

Kalibrasyon Çalışmaları

Kalibrasyon – Gizli Robot Kavramı

Gerçek model Gizli robot modeli

Kinematik denk sistem:

(θ1, θ2) (x, y)

Kiper G, Dede MİC, Uzunoğlu E, Mastar E (2015) Use of hidden robot concept for calibration of an over-constrained mechanism. 14th

IFToMM World Congress Bildiri Kitabı Taipei, Taiwan, 25-30 Ekim 2015

KalibrasyonGizli robot için

uzuv boyutlarını tespit et

Kinematik modelde uzuv

boyutlarını güncelle

Küçük aralıklarda çalışma

uzayından ölçümler al

Hata matrisi oluştur

Rastgele noktalardan

ölçüm al

Konumlama ve tekrarlanabilirlik

hassasiyeti hesapla

Hedefler:

• Konumlama hassasiyeti ≤ 30 mm

• Tekrarlanabilirlik ≤ 15 mm

Renishaw

Lazer Kafa

InterferometreReflektör

100 mm x 150 mm Çalışma

Uzayında 9 Noktada Ölçüm

İstenen Ölçülen

xi

(mm)

yi

(mm)

xi

(mm)

yi

(mm)

212.132 0 212.132 0

212.132 75 212.55 74.95

262.132 75 262.32 74.85

262.132 0 262.03 0.04

262.132 -75 261.82 -74.87

212.132 -75 211.69 -74.96

162.132 -75 160.65 -75.18

162.132 0 162.22 -0.01

162.132 75 163.19 75.08

Model Parametrelerinin Tespiti

9 noktada hatalar hesaplanır:

(δx1, δy1), (δx2, δy2), ..., (δx9, δy9)

İstenen Ölçülen Hata

iΘ1

()

Θ2

()

xI

(mm)

yi

(mm)

xi

(mm)

yi

(mm)

δxi(μm)

δxi

(μm)

1 45 -45 212.132 0 212.132 0 0 0

2 60.88 -21.94 212.132 75 212.55 74.95 418 -50

3 40.62 -8.69 262.132 75 262.32 74.85 188 -150

4 29.10 -29.10 262.132 0 262.03 0.04 -102 40

5 368.69 319.38 262.132 -75 261.82 -74.87 -312 130

6 381.94 299.12 212.132 -75 211.69 -74.96 -442 40

7 388.63 281.72 162.132 -75 160.65 -75.18 -1482 -180

8 57.29 -57.29 162.132 0 162.22 -0.01 88 -10

9 78.28 -28.63 162.132 75 163.19 75.08 1058 80

Maksimum hata 1482 μm!!!

Model Parametrelerinin TespitiUzuv boyutları polinom yaklaştırımı

ya da kareler toplamının en küçüğü

yaklaştırımı ile hesaplanır.

Polinom yaklaştırımında N = 9 nokta

arasından n = 2 «hassasiyet noktası»

seçilir. ( olası seçim)

N!36

n! N n !

2 22 2i 1i i 1i

2 2 2i i i i

22i i 1 1 i 2

j j i i 2 2

21i 1i

2

j 1 2 i i i i i1 i i

1i

i 1

AC x a cos y a sin b

b 2a x cos y x y

x , ,P b ,f 1,P aPf F

f 2 x co

a

s y

sin

a

si Fn , x y

x xx x

x x

Model Parametrelerinin Tespiti

2 211 1 1 1

2 222 2 2 2

2 22 2 1 1

2 21 1 2 2

2

1

2 2 1 1

2 2 2 22 2 1 1

11 11

12 12

12 12

11 11

12 1 11 11

1

2

2 2

P1 2 x cos y x y

P1 2 x cos y x y

x cos y x y

x cos y x yP

x cos y x cos y

x y x yP

2 x cos y

sin

sin

sin

sin

sin sin

2 1 1

2

1

2

12 11

1

1sin si2 x cos y

a P ; b P a

n

Model Parametrelerinin Tespiti

2 22 2 1 1

2 21 1 2 2

1

2 2 1 1

2 2 2 22 2 1 1

2

2 2 1 1

2

22 22

21 21

22 22 21 21

22 22 2

2

21

1

1

sin

sin

sino s

x cos y x y

x cos y x yP

x c s y x cos y

x y x yP

2 x cos y 2 x cos y

d P ;

in

si i

n

c

n s

P d

2 22 2i 2i i 2i

2 2 2i i i i

21 1 i 2

2 2

21i 1i

2

2i 22 ii i i i i i

BC x d cos y d sin c

c 2d x cos y x y

P c ,f 1,P d

f

n

2 x cos F

d si

d

siny , x y

x

x x

Model Parametrelerinin Tespiti

Bulunan a, b, c, d uzuv boyutları ile tekrar istenen (x, y) koordinatları

hesaplanır. 9 nokta için hatalar hesaplanıp ortalama karekökü

(RMS) bulunur. 1 ve 8 nolu noktalar minimum hatayı veriyor.

Sonuç: a = 149.868 mm, b = c = 150.000 mm, d = 149.890 mm

9 noktadaki azami hata: 93 μm

Model Parametrelerinin TespitiKareler toplamının en küçüğü yaklaştırımı yaklaştırımında

N = 9 nokta arasından n = 3~9 «tasarım noktası» seçilir.

( olası seçim)

N!

n! N n !

1 21 2

22 2 2

j j i i i i i i if

21i 1

j 1f

iPP F

Pf F b 1 a 2 x cos y x ya sinx x

2n n 22

i j j i ii 1 i 1 j 1

n

1 1 i 2 2 i i 1 ii 11

n

1 1 i 2 2 i i 2 ii 12

S Pf F

1 SP f P f F f 0

2 P

1 SP f P f F f 0

2 P

x x

x x x x

x x x x

Model Parametrelerinin Tespiti

n n n2

1 i 1 1 i 2 i 2 1 i ii 1 i 1 i 1

n n n2

1 i 2 i 1 2 i 2 2 i ii 1 i 1 i 1

21 11 1 2

22 21 2 2

21 2 2 1

1

f P f f P f F

f f P f P f F

P f Ff f f

P f Ff f f

f F f f F fP

x x x x x

x x x x x

22 2 1 1 1 2

22 22 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2

22 1

f f F f f F f f ; P

f f f f f f f f

a P ; b P a

Model Parametrelerinin Tespiti

2 21 2 2 1 2 2 1 1 1 2

1 22 22 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2

22 1

f F f f F f f f F f f F f fP ; P

f f f f f f f f

d P ; c P d

İkinci bacak için

1 21 2

2 2 2i i i i i

f

22i 2i

fPP F

c d 1 a 2 x c sos yiny x

Model Parametrelerinin Tespiti

Bulunan a, b, c, d uzuv boyutları ile tekrar istenen (x, y) koordinatları

hesaplanır. 9 nokta için mutlak hata hesaplanıp

maksimumu bulunur. Polinom yaklaşımı daha iyi sonuç vermektedir.

2 2x y

Model Parametrelerinin Tespiti

Ayrıca yandaki 6 uzuv boyutu

(a, b, c, d, e, f) olan model için de

polinom ve en küçük kareler

toplamı yaklaştırımları denenmiş, 4

uzuv boyutlu çözümden daha az

hatalı bir çözüm elde

edilememiştir.

A0

A

B0B

C(x, y)

θ1

θ2

x

y

θ3

O

θ4

b

a

c

df

e

Model Parametrelerinin Tespiti

Ayrıca yandaki 12 uzuv boyutu

olan (t = f) model için de

formülasyon çıkarılmıştır. 12

blinmeyenli 12 denklem

takımı elde edilir. Denklemler

sayısal metotlarla çözülebilir

ancak pratik değildir.

A0

A

B0B

θ1

θ2

x

y

θ3

O

θ4

E(x,y)

C

D

H0 H

J

a

bc

d

e

fg

hk

r

s

t

v

θ5

θ6θ7

Kalibrasyonda 2. aşama

Gizli robot için uzuv boyutlarını

tespit et

Kinematik modelde uzuv

boyutlarını güncelle

Küçük aralıklarda çalışma

uzayından ölçümler al

Hata matrisi oluştur

Rastgele noktalardan

ölçüm al

Konumlama ve tekrarlanabilirlik

hassasiyeti hesapla

Denetim sistemindeki düz/ters

kinematik formülasyonu yeni

uzuv boyutları ile (a = 149.868

mm, b = c = 150.000 mm, d =

149.890 mm) güncellenip

interferometre ile tekrar 9

noktada tekrar ölçüm

yapıldığında azami hata

yaklaşık 700 μm bulundu.

Kalibrasyonda 2. aşama

100 mm x 150 mm çalışma uzayında 5 mm’de bir ölçüm alınarak

31x21 hata matrisi elde edilir.

Kalibrasyonda 2. aşama

Hata giderme prosedürü:

1) Çalışma alanı boyunca x ekseninde i = 1,..., m ve y ekseninde j =

1,...,n noktaya bölünerek m x n adet nokta seçilir.

2) Bu noktalarda ölçülen değerlerden model ile tahmin edilen

değerler çıkarılarak hata matrisleri oluşturulur.

3) Seçilen noktaların haricindeki noktalarda hatalar hata matrisinde

en yakın dört noktadan bilineer interpolasyon ile bulunur.

4) Bir noktanın hatası (δx, δy) verildiğinde motor açılarındaki hata

giderme değerleri (δθ1, δθ2) kinematik modelin Jakobi matrisi

kullanılarak bulunur.

5) θ1 ve θ2 motor açıları θ1 – δθ1 ve θ2 – δθ2 şeklinde güncellenir.

mm

xi yi1 1,

Kalibrasyonda 2. aşama

Bilineer interpolasyon:

Q11(x1, y1), Q12(x1, y2), Q21(x2, y1), Q22(x2, y2)

noktalarında δ11 = δ(x1,y1), δ12 = δ(x1,y2),

δ21 = d(x2,y1), δ22 = δ(x2,y2) (x ya da y) hata

değerleri için P(x,y) noktasındaki hata δ(x,y):

y2

y1Q11

P

Q12 Q22

Q21

y

x1 x x2

2 2 11 2 1 12

1 2 21 1 1 22

2 1 2 1

x x y y x x y y

x x y y x x y yx,y

x x y y

2 11 1 121

2 1

y y y yx x x,y

y y

2 11 1 211

2 1

x x x xy y x,y

x x

Kalibrasyonda 2. aşama

Jakobi matrisinden:

3 x 3 y 4 x 4 y

1 2

1 3 2 4

c s c s ,

as ds

2 2

1 2 1 2

2 2 21

3 2 1 2 1

2 2 21

4 1 2 1 2

AB s ac dc as ds

b s catan2 dc ac ,ds as cos

2bs

c s batan2 ac dc ,as ds cos

2cs

Kalibrasyonda 3. aşama

Gizli robot için uzuv boyutlarını

tespit et

Kinematik modelde uzuv

boyutlarını güncelle

Küçük aralıklarda çalışma

uzayından ölçümler al

Hata matrisi oluştur

Rastgele noktalardan

ölçüm al

Konumlama ve tekrarlanabilirlik

hassasiyeti hesapla

Yeni uzuv boyutları ile ve

bileneer interpolasyon ile VDI

standartlarına göre ölçüm

alındığında azami konumlama

hassasiyeti: 37 μm/m (hedef

30 μm/m idi), tekrarlanabilirlik:

26 μm/m (hedef 15 μm/m

idi) bulundu.

VDI standardı: VDI/DGQ 3441 -

Statistical Testing of the

Operational and Positional

Accuracy of Machine Tools; Basis

Yeni Mekanizmada Kalibrasyon

j

Desired Measured

1 () 2 () xj yj xj yj

1 222.132 0 222.182 0.049 42.231 -42.231

2 272.132 75 272.098 74.774 35.201 -4.384

3 272.132 0 272.088 -0.064 24.891 -24.891

4 272.132 -75 272.092 -74.762 364.384 324.799

5 222.132 -75 222.208 -74.878 379.945 302.742

6 172.132 -75 172.398 -74.928 387.710 285.203

7 172.132 0 172.271 0.094 54.986 -54.986

8 172.132 75 172.298 74.986 74.797 -27.710

9 222.132 75 222.204 74.974 57.258 -19.945

Ölçüm alınan 9 nokta:

Ölçülen Ölçülen

1 ve 3 noktaları kullanılarak polinom yaklaştırımı ile gizli robot uzuv

boyutları belirlendi. Kalibrasyon sonucunda 282 μm 198 μm

İstenen

Yeni Mekanizmada Kalibrasyon

5 mm aralıkla ölçüm

31x21 hata düzeltme matrisiInterpolation

Motor girdi açılarının

güncellenmesi

Rastgele noktalardan

ölçüm

VDI 3441 Standardına göre

-X

+

X

-Y +Y

x’te max. Konumlama hassasiyeti y’de max. Konumlama hassasiyeti

Kalibrasyonsuz 180 mm (Nokta 1 +-) 117 mm (Nokta 1 +)

Kalibrasyonlu 76 mm (Nokta 8 -) 72 mm (Nokta 12 -)

Yeni Mekanizmada Kalibrasyon