1/4

KAĞIT KALİTESİNDE STANDART SAPMA ( σ=sigma) NEDİR?

Münir Karıncaoğlu, Elektrik Mühendisi

Aritmetik ortalamanın bulunması

Bir veri topluluğunda, verilerin ortalama değeri, her bir verinin alt alta toplanarak, toplam miktarın veri sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Buna aritmetik ortalama da denir. Şimdi belirli bir veri grubunun aritmetik ortalamasını bulalım:

Kâğıt makinası üzerinde 100 gr/m² hedef değer olarak üretilmekte olan fluting kâğıttan, bir metre boyunda ve kağıt makinası eni olan 250 cm eninde alınan örnekte, aşağıdaki değerler ölçülmüş olsun. (hesaplamanın kolaylığı açısından hamur kasasında cetvel ağzının 10 bölgeye ayrılmış olarak kontrol edildiği varsayılıyor).

1.böl. 2.böl. 3.böl. 4.böl. 5.böl. 6.böl. 7.böl. 8.böl. 9.böl. 10.böl.

Tampondan alınan örnek şerit, hamur kasası bölümlerine uygun olarak kesildiğinde,karşımıza aşağıdaki laboratuar verileri çıkmış olsun:

1. Bölge gramajı: 103 gr/m²2. Bölge gramajı: 102 gr/m²3. Bölge gramajı: 101 gr/m²4. Bölge gramajı: 100gr/m²5. Bölge gramajı: 99 gr/m²6. Bölge gramajı: 101gr/m²7. Bölge gramajı: 102gr/m²8. Bölge gramajı: 100gr/m²9. Bölge gramajı: 98gr/m²10.Bölge gramajı: 104 gr/m²

Kâğıdın ortalama gramajı= (103+102+101+100+99+101+102+100+98+104)/10= 101gr/m²olarak hesaplanır.

Yukarıdaki değerlerden bazıları, ortalama değer olan 101 gr/m² ye eşit veya ona yakın olmasına rağmen, bazı veriler ortalama değerden uzaktadır. Özellikle 98 gr/m² ve 104 gr/m² olan değerler uç değerlerdir. Buna karşılık hedef değer olarak alınan 100 gr/m² değer ise sadece 2 bölgede yakalanabilmiştir. Bu durumda, gerekli şartı sağlayan kısım kağıdın sadece 2/10 u, yani % 20 lik kısmıdır. Hedef değerin sürekli kesin doğrulukta yakalanabilmesi fiziksel olarak mümkün olmadığından, hangi değerlerin kabul edilebilir sınırlar içinde olduğunun bilinmesi gerekir. Bunun için kullanılan hesaplama yöntemi standart sapma denilen bir değerdir.

Standart sapmanın (σ) hesaplanması

2/4

Standart sapma değeri, ortalama değerden nekadar uzaklaşıldığını belirtmek için kullanılan bir ölçüdür. Büyük sapma miktarı ortalama değerden çok uzaklaşıldığını yani,verilerin büyük çoğunluğunun ortalama değerden uzak olduklarını, kalitenin bozuk olduğunu, küçük sapma miktarı ise ortalama değere yaklaşıldığını, yani verilerin büyük çoğunluğunun ortalama değer civarında kümelendiğini, dolayısıyla kalitenin yüksek olduğunu gösterir.

Standart sapmanın dikkate alınmaması, saece ortalama değere bakılması hata yaratcaktır. Bunun neden hatalı olduğunu bir örnekle açıklamak gerekir. Aşağıdaki örneğe bakalım:

1. Bölge gramajı: 103 gr/m²2. Bölge gramajı: 102 gr/m²3. Bölge gramajı: 101 gr/m²4. Bölge gramajı: 100 gr/m²5. Bölge gramajı: 97 gr/m²6. Bölge gramajı: 98 gr/m²7. Bölge gramajı: 99 gr/m²8. Bölge gramajı: 100gr/m²9. Bölge gramajı: 96 gr/m²10.Bölge gramajı: 104 gr/m²

Kâğıdın ortalama gramajı= (103+102+101+100+97+98+99+100+96+104)/10= 100gr/m²

Görüldüğü gibi kağıdın ortalama değeri tam 100gr/m². Bu hedeflenen rakam olmasına rağmen kağıdın sadece 2/10 bölgesi yani yüzde onluk kısmı istenilen gramajdadır. Yani kağıdın kalitesi bozuktur. Bu nedenle ortalama değerin yanında standart sapma denilen başka bir değerin daha bilinmesi gerekir.

Standart sapmanın hesaplanabilmesi için öncelikle ortalama değerin biliniyor olması, daha sonra da, her verinin ortalama değere olan uzaklığı bilinmelidir.Şimdi ikinci örnek üzerinden standart sapmayı bulalım.

Gene bölgelere göre ortalama değerden uzaklıklar hesaplandığında:

1. Bölge’nin ortalama değere uzaklığı: 3 gr/m²2. Bölge’nin ortalama değere uzaklığı: 2 gr/m²3. Bölge’nin ortalama değere uzaklığı: 1 gr/m²4. Bölge’nin ortalama değere uzaklığı: 0 gr/m²5. Bölge’nin ortalama değere uzaklığı: 3 gr/m²6. Bölge’nin ortalama değere uzaklığı: 2 gr/m²7. Bölge’nin ortalama değere uzaklığı: 1 gr/m²8. Bölge’nin ortalama değere uzaklığı: 0 gr/m²9. Bölge’nin ortalama değere uzaklığı: 4 gr/m²10. Bölge’nin ortalama değere uzaklığı: 4 gr/m²

Ortalama değer ve her verinin ortalama değere olan uzaklığı bilindiğine göre, standart sapma hesaplanabilir. Verilerin ortalama değere olan uzaklıklarının karelerinin toplamının ortalamasının kare köküne standart sapma denir.

3/4

St.Sapma (σ) = ((3²+2²+1²+0²+3²+2²+1²+0²+4²+4²)/10)½

St.Sapma (σ) = ((9+4+1+0+9+4+1+0+16+16)/10)½

St.Sapma (σ) = (60/10)½= 6½= 2.45 olarak bulunur.

Şimdi 1(bir) standart sapma (σ) içinde ve dışında kalan bölgelere bakalım.

1. Bölge 1 standart sapmanın dışıda2. Bölge 1 standart sapmanın içinde3. Bölge 1 standart sapmanın içinde4. Bölge 1 standart sapmanın içinde5. Bölge 1 standart sapmanın dışıda6. Bölge 1 satdart sapmanın içinde7. Bölge 1 standart sapmanın içinde8. Bölge 1 standart sapmanın içinde9. Bölge 1 standart sapmanın dışıda10. Bölge 1 standart sapmanın dışıda

Bu durumda kağıdın 4 bölgesi yani % 40 ı 1 (bir) standart sapmanın dışındadır. Yani kağıdın % 60 lık bölümü 1 standart sapma miktarından daha az bir hata ile üretilmiştir. Bu durumda kağıt kalitesi iyidir denilebilir mi?

İki sigma hata aralığı (2x2.45= 4,90) içinde üretilen kağıt ise % 100 olarak değerlendirilir. Çünkü104,90 gr/m² ve 95,10 gr/m² olarak üretilmiş kağıt bölgesi bulunmamakta tüm bölgeler bu değerlerin içinde kalmaktadır. Kağıdın % 100 ünün 2 (iki) sigma aralığında bulunması, halâ kâğıt kalitesinin düzgünlüğünü ifade etmez. Burada 3. bir değerin daha devreye girmesi beklenir.

Standart sapmanın büyüklüğünün sınırlandırılması

Kağıt fabrikalarında, kalitenin düzeltilmesi amacıyla, standart sapma büyüklüğünün belirlenmesi ve hedef alınması gerekir. Yukarıdaki örnekte, kaliteyi arttırıcı bir çalışmanınyapılmamış olduğu görülmektedir. Bu nedenle iki sigma değeri 4,90 olarak çıkmaktadır. 100 gr/m² kağıt için bu değer 4,90 gr/m² veya % 4,90 dır. Bu nedenle devreye girmesi gereken değerin iki standart sapma yüzdesi olması gerekmektedir. Bu değer ne kadar küçük se kağıt kalitesi o kadar iyi olacaktır. Kalite hedefi veye ana performans göstergelerinden biri olarak iki standart sapma büyüklüğünün alınması düşünülmelidir.

Örnek olarak, düzeltici önlemler alındıktan sonra, aynı makinada yapılacak ölçümlerde aşağıdaki sonuçların alındığını düşünelim:

1. Bölge gramajı: 101 gr/m²2. Bölge gramajı: 100 gr/m²3. Bölge gramajı: 100 gr/m²4. Bölge gramajı: 101gr/m²5. Bölge gramajı: 99 gr/m²6. Bölge gramajı: 101gr/m²7. Bölge gramajı: 100gr/m²

4/4

8. Bölge gramajı: 100gr/m²9. Bölge gramajı: 99gr/m²10.Bölge gramajı: 100 gr/m²

Ortalama değer=(101+100+100+101+99+101+100+100+99+100)/10=100.1 gr/m²

Standart sapma= ((0,9²+0,1²+0,1²+0,9²+1,1²+0,9²+0,1²+0,1²+1,1²+0,1²)/10)½

Standart sapma=(4,9/10)½= (0,49)½= 0,7

2 sigma sapma = 1,4 veya % 1,4 olacağından kalitede düzelme sağlandığı görülecektir.Bu durum makina performansında iyileşme anlamına gelmektedir.

Ancak kalite hedefini yükseğe çıkaran bir firmada 2 sigma değerinin daha da düşürülmek istenmesi, mesela % 0,5 olarak gerçekleştirilmesi durumunda kaliteyi yakalamak için oldukça çaba harcanması gerekecektir. Bunun anlamı firmanın kalite performansını gramaj için sürekli iyileştirme yönünde geliştirmesi olarak görülecektir.

Muhtemelen şöyle bir gramaj dağılımı olabilir.

1. Bölge gramajı: 100 gr/m²2. Bölge gramajı: 100 gr/m²3. Bölge gramajı: 100,5 gr/m²4. Bölge gramajı: 100,5 gr/m²5. Bölge gramajı: 100 gr/m²6. Bölge gramajı: 100,5 gr/m²7. Bölge gramajı: 99,5 gr/m²8. Bölge gramajı: 100 gr/m²9. Bölge gramajı: 100 gr/m²10.Bölge gramajı: 100 gr/m²

Ortalama değer=(100+100+100,5+100,5+100+100,5+99,5+100+100+100)/10=100.1 gr/m²

Standart sapma= ((0,1²+0,1²+0,4²+0,4²+0,1²+0,4²+0,4²+0,1²+0,1²+0,1²)/10)½

Standart sapma=(0,7/10)½= (0,07)½= 0,26

İki standart sapma yüzdesi = % 0.52