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71 Aide mémoire de mécanique des sols Les publications de l’ENGREF Chapitre 6 POUSSÉE ET BUTÉE - MURS DE SOUTÈNEMENT 6.1 - ÉTAT DES SOLS AU REPOS A la profondeur z sous un remblai indéfini : . la contrainte effective verticale (sur une facette horizontale) est σ v = γ’.z . la contrainte horizontale (sur une facette verticale) est : σ h =K 0 .σ v s’il n’y a pas de déplacement latéral, K 0 étant, par définition, le coefficient de poussée du sol au repos (figure 32). Pour un sable, JAKY a montré expérimentalement que K 0 = 1 - sinϕ. Pour les argiles molles et les vases, K 0 = 1. Pour les argiles normalement consolidées, K 0 0,5. Figure 32 - contrainte au repos z v h niveau remblai

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  • 71 Aide mmoire de mcanique des solsLes publications de lENGREF

    Chapitre 6

    POUSSE ET BUTE - MURS DE SOUTNEMENT

    6.1 - TAT DES SOLS AU REPOS

    A la profondeur z sous un remblai indfini :

    . la contrainte effective verticale (sur une facette horizontale) est v = .z

    . la contrainte horizontale (sur une facette verticale) est : h =K0. v sil ny a pas de dplacement latral, K0 tant, par dfinition, le coefficient de pousse du sol au repos (figure 32).

    Pour un sable, JAKY a montr exprimentalement que K0 = 1 - sin. Pour les argiles molles et les vases, K0 = 1. Pour les argiles normalement consolides, K0 0,5.

    Figure 32 - contrainte au repos

    z

    v

    h

    niveau remblai

  • 72Aide mmoire de mcanique des solsLes publications de lENGREF

    6.2 - NOTION DE POUSSE ET DE BUTE

    Imaginons un cran mince vertical lisse dans un massif de sable. Il est soumis par dfinition la pousse au repos. En supprimant le demi massif de gauche, et en dplaant lcran paralllement lui mme vers la droite, il se produit un quilibre dit de bute (ou passif). En le dplaant vers la gauche, il se produit un quilibre de pousse (ou actif). La figure 33 reprsente la force horizontale F appliquer cet cran pour le dplacer dune longueur .

    6.3 - THORIE DE COULOMB (1773)

    Cette thorie, dj ancienne, permet la dtermination de la force de pousse sexerant sur un cran dorientation verticale ou incline (voir la figure 34).

    Hypothses : - le sol est homogne et isotrope ;

    - le mur est rigide ;

    - la surface de rupture est plane ;

    - langle de frottement entre le mur et le sol est connu ( est langle entre la rsultante des forces de pousse et la perpendiculaire au mur) ;

    - la cohsion nest pas prise en compte.

    Figure 33 : principe de la pousse et de la bute

    pousse

    bute

    rupture

    rupture

    en pousse

    en bute

    tat au repos

    F

  • 73 Aide mmoire de mcanique des solsLes publications de lENGREF

    12

    .H 2.KaFa = o Ka coefficient de pousse, est donn par la

    formule de Poncelet :

    Pour = 0, = /2 et = 0 (mur lisse), on obtient :

    Ka = 1 - sin1 + sin = tan2 ( )4

    2 .

    6.4 - THORIE DE RANKINE (1860)

    Hypothses :

    - le sol est isotrope ;

    - le mur ne modifie pas la rpartition des contraintes verticales :

    v=.h pour un sol surface horizontale ;

    v=.h.cos pour un sol surface incline dun angle sur lhorizontale.

    Nous considrerons seulement le cas dun cran vertical.

    Figure 34 - pousse sur un mur selon Coulomb

    HFa

    sin(+).sin (+)sin(+).sin()

    -2

    1+Ka =sin2 .sin ()

    sin2 ()

  • 74Aide mmoire de mcanique des solsLes publications de lENGREF

    Pour les sols pulvrulents (c = 0) et surface horizontale.

    La contrainte de pousse (active) est a = Ka .h avec :

    Ka = 1 - sin1 + sin = tan2 ( )4

    2

    valeur identique celle donne par

    la thorie de Coulomb avec les mmes hypothses. Cette formule

    se vrifie simplement sur le graphique de Mohr de la figure 35 o

    IA = OA.sin.

    De mme, la contrainte de bute (passive) est p = Kp .h avec :Kp = 1/Ka = 1 - sin1 + sin = tan

    2 ( )42

    .

    Pour les sols purement cohrents ( = 0).

    Pour les sols cohrents et frottants.

    Un changement dorigine sur laxe des tel que OO = H.cot an ramne au cas dun sol sans cohsion.

    Figure 35 - reprsentation des tats de pousse et de bute dans le plan de Mohr

    I

    J

    K Ka v v p v

    AO

    Ka = 1 - 2 c.hKP = 1 + 2 c.h

    c.hKa = tan

    2 ( ) 242 tan

    ( )42

    c.hKp = tan

    2 ( + )+ 242 tan

    ( )42

  • 75 Aide mmoire de mcanique des solsLes publications de lENGREF

    6.5 - CALCUL DES EFFORTS SUR UN MUR VERTICAL

    Les forces de pousse et de bute sont obtenues par intgration :

    Fa =Ka..h.dh = Ka..H 212 (La dernire galit nest valable que

    pour un sol pulvrulent car Ka est alors indpendant de h).

    De mme, 12

    Kp..H 2Fp = , si le sol est pulvrulent.

    Plans de rupture

    Le diagramme de Mohr (voir figure 36) montre que les surfaces de rupture, qui se dveloppent dans le massif en terre, font avec la direction de la contrainte principale majeure un angle de :

    +42

    pour la pousse (point I) ;

    4

    2

    pour la bute (point J).

    Figure 36 - surfaces de rupture en pousse et en bute

    I

    J

    a v p

  • 76Aide mmoire de mcanique des solsLes publications de lENGREF

    6.6 - TAPES DU CALCUL MODERNE DUN MUR DE SOUTNEMENT

    La dmarche est identique celle qui est plus compltement dtaille au paragraphe 7.2, concernant le calcul des fondations superficielles. Elle sappuie sur les rgles Techniques de Conception et de Calcul des Fondations des Ouvrages de gnie civil , C.C.T.G.1 applicable aux marchs publics de travaux - fascicule 62 - titre V. Il est fait appel aux notions rcentes de calculs aux tats limites : tat limite de service (ELS) et tat limite ultime (ELU). Ces deux tats marquent le passage dun ouvrage sr et efficace un ouvrage ne remplissant plus correctement sa fonction (ELS), puis un ouvrage avec risque de rupture (ELU).

    La dmarche comporte les tapes suivantes :

    1) analyse des zones o sexercent pousse et bute ;2) calcul des contraintes et des actions ;3) calcul des combinaisons dactions en ELS et en ELU ;4) calcul de lexcentricit e=M/N ;5) vrification de la stabilit au glissement (ELU) ;6) vrification de la stabilit au poinonnement (ELS et ELU) ;7) stabilit au renversement : vrifier pour ELU e < 0,45.B

    (B = largeur de la base de la fondation) ;8) non-dcompression du sol : vrifier pour ELS e < B/6 ;9) stabilit vis--vis dun glissement gnral ;10) calcul des tassements prvisibles (cf. chapitre 5).

    Le lecteur se reportera au paragraphe 7.2 pour les calculs dtaills lis chacune des tapes dcrites ci-dessus.

    1 CCTG : cahier des clauses techniques gnrales

  • 77 Aide mmoire de mcanique des solsLes publications de lENGREF

    Chapitre 7

    FONDATIONS SUPERFICIELLES

    On appelle ainsi des fondations telles que la profondeur dencastrement (D) reste infrieure 5 ou 6 fois la largeur de la fondation (B).

    7.1 - CALCUL DUNE FONDATION PAR LA THORIE DE LA PLASTICIT

    Sauf spcification contraire dans le texte, on tudie dans ce paragraphe le cas dune semelle filante de longueur infinie, de largeur B et supportant une charge P par mtre de longueur.

    Prandtl a tudi la rupture sous une fondation rugueuse, partir de la thorie de Rankine en considrant un schma de rupture (figure 37), avec un coin de sol sous la fondation en tat de pousse et un coin en tat de bute. qu est la contrainte qui provoque la rupture (u pour ultime).

    Nota : le calcul des fondations par la thorie de Prandtl est de moins en moins utilis en France. Les recommandations du fascicule 62 - titre V traites au paragraphe 7.2 nen font dailleurs pas tat.

  • 78Aide mmoire de mcanique des solsLes publications de lENGREF

    7.1.1- Sol pulvrulent non pesant et semelle enterre

    Le sol environnant applique une surcharge uniforme .D au plan passant par la base de la semelle (figure 37). Selon Prandtl, le sol sous la fondation est en rupture de pousse, les lignes de rupture tant des droites inclines de /4+ /2 sur lhorizontale.

    De part et dautre de la fondation, le sol est en rupture de bute, les lignes de rupture tant inclines de /4 /2 sur lhorizontale, cest dire perpendiculaires aux prcdentes. Toujours selon la thorie de Prandtl, la contrainte qui provoque la rupture est :

    qu = .D.Nq avec .4

    2

    Nq = tan2

    .etan

    7.1.2 - Sol pulvrulent, pesant

    Ajouter au terme prcdent : qu = N . Les valeurs du coefficient N figurent au tableau 7 ci-aprs en fonction de .

    Figure 37 - coins de pousse et de bute lors dune rupture plastique

    butepousse

    D .Dniveau sol

    P

    B2

  • 79 Aide mmoire de mcanique des solsLes publications de lENGREF

    7.1.3 - Sol non pesant, cohrent et frottant

    Selon le principe dj vu au 6.4, on se ramne au cas sans cohsion du 7.1.1 en appliquant une surcharge H = c.cotan la fois au sol environnant et la semelle elle mme.

    Do: qu+H = H.Nq soit qu = c.Nc avec Nc = tanNq -1 .

    7.1.4 - Sol la fois pesant, cohrent et frottant

    Finalement, la formule gnrale donnant la pression limite est :

    =.D.Nq+qu = N+ c.NcPB

    B2

    Nq, N et Nc sont donns en fonction de , dans le tableau 7 ci-aprs,

    pour des fondations rugueuses.

    0 5 10 15 20 25 30 35 40 45Nq 1,0 1,6 2,7 4,4 7 13 22 41 81 173N 0,0 0,5 1,2 2,5 5,0 10 20 43 100 300Nc 5,1 6,9 9,1 13 18 25 37 58 96 172

    Tableau 7 - Valeurs des coefficients Nq, N , Nc

    7.1.5 - Cas particuliers

    Rupture court terme dans un sol argileux

    Le sol est caractris par son poids volumique , sa cohsion non draine cu, et langle de frottement interne u = 0.

    Nq (0) = 1 N (0) = 0 Nc (0) = 5,14

    Do : qu = .D + 5,14.cu

  • 80Aide mmoire de mcanique des solsLes publications de lENGREF

    Fondation carrequ =.D.Nq+0,8 N+ 1,3.c.Nc

    B2

    Fondation circulairequ =.D.Nq+0,6 N+ 1,3.c.Nc

    B2

    Chargement vertical excentr

    Si e est lexcentrement de la charge, respectant e < B/6 (pas de tractions), la formule du 7.1.4 devient :

    qu = 1-2 (.D.Nq+c.Nc)+ 1-2B2

    eB

    eB

    N

    2

    Chargement inclin et centr

    Si dsigne langle dinclinaison du chargement, en degrs, la formule du 7.1.4 devient :

    qu = 1-2 (.D.Nq+c.Nc)+ 1-2B2

    90

    N

    2

    7.1.6 - Calcul de la contrainte admis