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ROBOTICA Prof. Fabrizio Caccavale JACOBIANO GEOMETRICO T (q )= R(q ) p(q ) 0 T 1 Obiettivo: scrivere l’equazione della cinematica differenziale diretta ˙ p = J P (q ) ˙ q ω = J O (q ) ˙ q v = J (q ) ˙ q v = ˙ p ω J = J P J O J : Jacobiano geometrico

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JACOBIANO GEOMETRICO

T (q) =

R(q) p(q)

0T 1

• Obiettivo: scrivere l’equazione della cinematica differenziale diretta

p = JP (q)q

ω = JO(q)q⇒ v = J(q)q

v =

[

]

J =

[

JP

JO

]

J : Jacobiano geometrico

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Derivata di una matrice di rotazione

• Essendo

R(t)RT (t) = I ⇒ R(t)RT (t) +R(t)RT (t) = O

• Posto: S(t) = R(t)RT (t)

R(t) = S(t)R(t)

con S(t) + ST (t) = O ⇒ S(t) e una matrice antisimmetrica

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• Interpretazione (p′ costante): p(t) = R(t)p′

p(t) = R(t)p′ ⇒ p(t) = S(ω(t))R(t)p′

essendo (dalla meccanica dei corpi rigidi)

p(t) = ω(t)×R(t)p′

si puo interpretare S(ω) come l’operatore matriciale che descrive il prodotto vettoriale ω×

Pertanto

R(t) = S(ω(t))R(t)

con

S(ω) =

0 −ωz ωy

ωz 0 −ωx

−ωy ωx 0

• Proprietà: RS(ω)RT = S(Rω)

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• Esempio: rotazione elementare intorno a z: Rz(α(t)) =

cosα(t) −sinα(t) 0sinα(t) cosα(t) 0

0 0 1

S(ω(t)) =

−α sinα(t) −α(t) cosα(t) 0α cosα(t) −α(t) sinα(t) 0

0 0 0

cosα(t) sinα(t) 0−sinα(t) cosα(t) 0

0 0 1

⎦ =

0 −α(t) 0α(t) 0 00 0 0

Dunque: ω(t) =

00α(t)

⎦ come previsto dalla meccanica

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• Velocita di una ternap0 = o0

1 +R01p

1 = o01 + r01

p0 = o01 +R0

1p1 + R0

1p1

= o01 +R0

1p1 + S(ω0

1)R01p

1

= o01 +R0

1p1 + ω0

1 × r01

• Se p1 fisso: p0 = o01 + ω0

1 × r01

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Velocita di un braccio

• Velocita lineare (per le quantita espresse in Σ0 si omette l’apice 0)

pi = pi−1 +Ri−1ri−1i−1,i = pi−1 + ri−1,i

pi = pi−1 +Ri−1ri−1i−1,i + ωi−1 ×Ri−1r

i−1i−1,i

= pi−1 + vi−1,i + ωi−1 × ri−1,i

con vi−1,i = Ri−1ri−1i−1,i (velocita di Oi rispetto a Oi−1 espressa in Σ0)

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• Velocita angolare

Ri = Ri−1Ri−1i

S(ωi)Ri = S(ωi−1)Ri +Ri−1S(ωi−1i−1,i)R

i−1i

= S(ωi−1)Ri + S(Ri−1ωi−1i−1,i)Ri

ωi = ωi−1 +Ri−1ωi−1i−1,i

= ωi−1 + ωi−1,i

con ωi−1,i = Ri−1ωi−1i−1,i (velocita angolare di Σi rispetto a Σi−1 espressa in Σ0)

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pi = pi−1 + vi−1,i + ωi−1 × ri−1,i

ωi = ωi−1 + ωi−1,i

• Giunto prismatico:

{

ωi−1,i = 0

vi−1,i = dizi−1

{

ωi = ωi−1

pi = pi−1 + dizi−1 + ωi × ri−1,i (ωi = ωi−1)

• Giunto rotoidale:

{

ωi−1,i = ϑizi−1

vi−1,i = ωi−1,i × ri−1,i

{

ωi = ωi−1 + ϑizi−1

pi = pi−1 + ωi × ri−1,i

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Calcolo dello Jacobiano

• Lo Jacobiano geometrico si puo scrivere come

J = [ ȷ1 . . . ȷn ] =

ȷP1 ȷPn

. . .ȷO1 ȷOn

dove ȷiqi =

[

ȷPi

ȷOi

]

qi rappresenta il contributo del giunto i-esimo a v =

[

]

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• Velocita angolare

⋆ giunto i prismatico (ωi,i−1 = 0)

qiȷOi = 0 =⇒ ȷOi = 0

⋆ giunto i rotoidale (ωi,i−1 = ϑizi−1)

qiȷOi = ϑizi−1 =⇒ ȷOi = zi−1

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• Velocita lineare

⋆ giunto i prismatico (vi−1,i = dizi−1)

qiȷPi = dizi−1 =⇒ ȷPi = zi−1

⋆ giunto i rotoidale (vi−1,n = ωi−1,i × ri−1,n = ϑizi−1 × ri−1,n)

qiȷPi = ωi−1,i × ri−1,n = ϑizi−1 × (p− pi−1) =⇒ ȷPi = zi−1 × (p− pi−1)

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• Colonna dello Jacobiano geometrico

[

ȷPi

ȷOi

]

=

[

zi−1

0

]

per un giunto prismatico[

zi−1 × (p− pi−1)zi−1

]

per un giunto rotoidale

⋆ zi−1 = R01(q1) . . .R

i−2i−1(qi−1)z0 : da A0

i−1 (III colonna)

⋆ p = A01(q1) . . .A

n−1n (qn)p0 : da T 0

n (IV colonna)

⋆ pi−1 = A01(q1) . . .A

i−2i−1(qi−1)p0 : da A0

i−1 (IV colonna)

con z0 =

001

⎦ e p0 =

0001

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• Rappresentazione in terna differente

[

pu

ωu

]

=

[

Ru OO Ru

] [

]

=

[

Ru OO Ru

]

Jq

Ju =

[

Ru OO Ru

]

J

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Manipolatore planare a tre bracci

J(q) =

[

z0 × (p− p0) z1 × (p− p1) z2 × (p− p2)z0 z1 z2

]

p0 =

000

⎦ p1 =

a1c1a1s10

⎦ p2 =

a1c1 + a2c12a1s1 + a2s12

0

p =

a1c1 + a2c12 + a3c123a1s1 + a2s12 + a3s123

0

z0 = z1 = z2 =

001

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J =

−a1s1 − a2s12 − a3s123 −a2s12 − a3s123 −a3s123a1c1 + a2c12 + a3c123 a2c12 + a3c123 a3c123

0 0 00 0 00 0 01 1 1

JP =

[

−a1s1 − a2s12 − a3s123 −a2s12 − a3s123 −a3s123a1c1 + a2c12 + a3c123 a2c12 + a3c123 a3c123

]

Solo 3 righe non nulle (vz , ωx e ωy nulle)

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Manipolatore antropomorfo

J =

[

z0 × (p− p0) z1 × (p− p1) z2 × (p− p2)z0 z1 z2

]

p0 = p1 =

000

⎦ p2 =

a2c1c2a2s1c2a2s2

p =

c1(a2c2 + a3c23)s1(a2c2 + a3c23)a2s2 + a3s23

z0 =

001

⎦ z1 = z2 =

s1−c10

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J =

−s1(a2c2 + a3c23) −c1(a2s2 + a3s23) −a3c1s23c1(a2c2 + a3c23) −s1(a2s2 + a3s23) −a3s1s23

0 a2c2 + a3c23 a3c230 s1 s10 −c1 −c11 0 0

Solo 3 righe linearmente indipendenti (solo 3 g.d.m.) e s1ωy = −c1ωx (ω non arbitraria)

JP =

−s1(a2c2 + a3c23) −c1(a2s2 + a3s23) −a3c1s23c1(a2c2 + a3c23) −s1(a2s2 + a3s23) −a3s1s23

0 a2c2 + a3c23 a3c23

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JACOBIANO ANALITICOp = p(q)

φ = φ(q)

}

→ x = k(q)

p =∂p

∂qq = JP (q)q

φ =∂φ

∂qq = Jφ(q)q

→ x =

[

p

φ

]

=∂k(q)

∂qq =

[

JP (q)Jφ(q)

]

q = JA(q)q

• Jacobiano analitico: JA(q) =∂k(q)

∂q

• J = JA poiche ω = φ

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• Velocita di rotazione in terna corrente di angoli di Eulero ZYZ

⋆ per effetto di ϕ: [ωx ωy ωz ]T = ϕ [ 0 0 1 ]T

⋆ per effetto di ϑ: [ωx ωy ωz ]T = ϑ [−sϕ cϕ 0 ]T

⋆ per effetto di ψ: [ωx ωy ωz ]T = ψ [ cϕsϑ sϕsϑ cϑ ]

T

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• Composizione di velocita di rotazione elementari

ω =

0 −sϕ cϕsϑ0 cϕ sϕsϑ1 0 cϑ

⎦ φ = T (φ)φ

• Essendo: det(T ) = −sϑ ⇒ T (φ) singolare per ϑ = 0,π ⇒ singolarita di rappresentazione(soluzione degenere per gli angoli)⋆ in tal caso si ha ω2

x + ω2y = ϑ2 ⇒ ωx e ωy non sono indipendenti

• Quindi:⋆ ∀ φ puo essere espressa mediante una ω equivalente⋆ ∃ω che non possono essere espresse mediante una φ equivalente (in singolarita di rappresentazione)

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• Significato fisico di∫

ω

ω = [π/2 0 0 ]T 0 ≤ t ≤ 1 ω = [ 0 π/2 0 ]T 0 ≤ t ≤ 1ω = [ 0 π/2 0 ]T 1 < t ≤ 2 ω = [π/2 0 0 ]T 1 < t ≤ 2

Due diverse leggi orarie per ω(t) corrispondenti allo stesso integrale∫ 2

0

ω(t)dt = [π/2 π/2 0 ]T

Viceversa,∫ 2

0

φ(t)dt = φ(2)− φ(0)

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Relazione tra Jacobiano analitico e Jacobiano geometrico

v =

[

I OO T (φ)

]

x = TA(φ)x

J = TA(φ)JA

• Jacobiano geometrico

⋆ grandezze di significato fisico

• Jacobiano analitico

⋆ grandezze differenziali di variabili nello spazio operativo

• Sono equivalenti in particolari casi (ad es., quando la struttura e in grado di imporre rotazioni dell’organoterminale solo intorno ad un asse fisso nello spazio)

⋆ Esempio: per il manipolatore planare a 3 bracci (con φ = ϑ1 + ϑ2 + ϑ3 ed eliminando le righenulle in J ) si ha J ≡ JA

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SINGOLARITA CINEMATICHE

v = J(q)q

• se J diminuisce di rango =⇒ singolarita cinematiche(a) perdita di mobilita ⇒ non e possibile imporre leggi di moto arbitrarie all’organo terminale(b) si possono avere ∞ soluzioni al problema cinematico inverso(c) nell’intorno di una singolarita si possono generare velocita elevate nello spazio dei giunti (a fronte

di velocita ridotte dell’organo terminale)

• Classificazione

⋆ Singolarita ai confini dello spazio di lavoro raggiungibile: manipolatore tutto steso o ripiegato

⋆ Singolarita all’interno dello spazio di lavoro raggiungibile: allineamento di assi di moto oconfigurazioni particolari dell’organo terminale

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• Manipolatore planare a due bracci

J =

[

−a1s1 − a2s12 −a2s12a1c1 + a2c12 a2c12

]

⇒ det(J) = a1a2s2

⋆ Due singolarita ai confini dello SdLR: s2 = 0 ⇒ ϑ2 = 0, ϑ2 = π

⋆ [−(a1 + a2)s1 (a1 + a2)c1 ]T parallelo a [−a2s1 a2c1 ]T (componenti di velocita dell’organoterminale non indipendenti)

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Disaccoppiamento di singolarita

• Manipolatori con struttura portante + polso sferico

⋆ Singolarita della struttura portante

⋆ Singolarita del polso

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• J ha una struttura a blocchi (3× 3)

J =

[

J11 J12

J21 J22

]

Con (ultimi 3 giunti rotoidali)

J12 =[

z3 × (p− p3) z4 × (p− p4) z5 × (p− p5)]

e J22 =[

z3 z4 z5]

Se p = pW =⇒ pW − pi paralleli a zi (i = 3, 4, 5)

J12 =[

0 0 0]

⇒ J e triangolare a blocchi ⇒ det(J) = det(J11)det(J22)

• Condizioni di singolarita (di struttura portante e di polso)

det(J11) = 0 e/o det(J22) = 0

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Singolarita di polso

• Essendo J22 = [ z3 z4 z5 ] (con z4 ⊥ z5)

• Due singolarita cinematiche per ϑ5 = 0, ϑ5 = π

⋆ z3 ∥ z5, verificabile ovunque nello SdLR

• Perdita di mobilita della struttura

rotazioni uguali e opposte di ϑ4 e ϑ6 non producono alcuna rotazione dell’organo terminale

la struttura non e in grado di imporre rotazioni intorno a direzioni ⊥ z3, z4

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Singolarita di struttura portante

• Si noti che, nonostante si abbia JP = J11, si puo comunque utilizzare JP ai fini del calcolo dellesingolarita (ma i valori delle prime tre variabili di giunto andranno valutati rispetto a riferimenti diversi)

• Manipolatore antropomorfo

det(JP ) = −a2a3s3(a2c2 + a3c23) = 0 ⇔ s3 = 0 a2c2 + a3c23 = 0

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• Singolarita di gomito (s3 = 0)

ϑ3 = 0 ϑ3 = π

⋆ ai confini dello SdLR

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• Singolarita di spalla (a2c2 + a3c23 = 0)px = py = 0

⋆ ∞ configurazioni singolari caratterizzabili nello spazio cartesiano (asse di rotazione del giunto 1)⋆ ∞ soluzioni al problema cinematico inverso (∀ valore di ϑ1 genera lo stesso p)⋆ il manipolatore non e in grado di generare velocita lineari ⊥ al piano della struttura

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ANALISI DELLA RIDONDANZA

• Cinematica differenziale: v = J(q)q

⋆ n : numero di gradi di mobilita della struttura (dimensione di q)

⋆ r : numero di gradi di liberta del compito (componenti di v da specificare)

⋆ n− r : gradi di mobilita ridondanti

• Quindi

⋆ v : vettore (r × 1) delle componenti di velocita dell’organo terminale necessarie per specificare ilcompito

⋆ J : matrice (r × n) estratta dalla Jacobiano (righe corrispondenti alle componenti di v)

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• Cinematica differenziale: trasformazione (configurazione dipendente) fra due sottospazi

(sottospazio) immagine (range) di J : R(J) ⊆ IRr

(sottospazio) nullo di J : N (J) ⊆ IRn

⋆ in generale: dim(

R(J))

+ dim(

N (J))

= n

⋆ se ϱ(J) = r (Jacobiano di rango pieno): dim(

R(J))

= r e dim(

N (J))

= n− r

⇒ R(J) ricopre tutto IRr e N (J) e non vuoto se n > r

⋆ se ϱ(J) < r (singolarita): dim(

R(J))

< r e dim(

N (J))

> n− r

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• Se N (J) = ∅ (manipolatore ridondante), dato

⋆ un qualunque vettore di velocita ai giunti q∗ (con v∗ = Jq∗)

⋆ un proiettore P in N (J) (una matrice tale che R(P ) ≡ N (J))

il nuovo vettore velocita

q = q∗ + P q0 con q0 arbitrario

e tale che v∗ = Jq

• Infatti

Jq = Jq∗ + JP q0 = Jq∗ = v∗

poiche JP q0 = 0, ∀q0

• Il vettore di velocita q0 genera moti interni della struttura che non alterano v

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INVERSIONE DELLA CINEMATICA DIFFERENZIALE

• Equazione cinematica non lineare: soluzioni in forma chiusa della cinematica inversa ricavabili soloper strutture “semplici”, non ridondanti e in configurazioni non singolari

• Equazione cinematica differenziale lineare nelle velocita

• Data v(t) + condizioni iniziali =⇒ (q(t), q(t))

⋆ se n = r e J e di rango pienoq = J−1(q)v

q(t) =

∫ t

0

q(ς)dς + q(0)

⋆ regola di integrazione numerica (Eulero)

q(tk+1) = q(tk) + q(tk)∆t

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Manipolatori ridondanti

• J e (r × n) con r < n ⇒ ∞ soluzioni

⋆ Si pone un problema di ottimo vincolato

• Per una data configurazione q, trovare le soluzioni q che soddisfino la cinematica diretta (vincolo)

v = Jq

e che minimizzino

g(q) =1

2qTWq con W > O e simmetrica

• Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (λ ∈ IRr)

g(q,λ) =1

2qTWq + λT (v − Jq)

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• Condizioni necessarie(

∂g

∂q

)T

= 0 ⇒ Wq − JTλ = 0

(

∂g

∂λ

)T

= 0 ⇒ v − Jq = 0

• Soluzione ottima (J di rango pieno)q = W−1JT (JW−1JT )−1v

che corrisponde ad un minimo poiche∂2g

∂q2= W > O

• Se W = I (min locale di ||q||), la soluzione e

q = J†v

dove J† e la pseudo-inversa destra di J

J† = JT (JJT )−1

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• Utilizzo della ridondanza: per una data configurazione q, trovare le soluzioni q che soddisfino lacinematica diretta (vincolo)

v = Jq

e che minimizzino

g′(q) =1

2(qT − qT

0 )(q − q0) =1

2||q − q0||

2

(soluzioni “prossime” a q0 e che soddisfano il vincolo cinematico)

• Procedendo sempre con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange

g′(q,λ) =1

2(qT − qT

0 )(q − q0) + λT (v − Jq)

si ha la soluzione ottimaq = J†v + (I − J†J)q0

I−J†J e un proiettore in N (J) ⇒ (I−J†J)q0 rappresenta moti interni della struttura (soluzioneomogenea)

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• Caratterizzazione dei moti interni: funzione obiettivo “secondaria”, w(q), da massimizzare(localmente) compatibilmente con l’obiettivo “primario” (vincolo cinematico)

q0 = k0

(

∂w(q)

∂q

)T

, k0 > 0

⋆ misura di manipolabilitaw(q) =

det(

J(q)JT (q))

⋆ distanza dai fine-corsa dei giunti

w(q) = −1

2n

n∑

i=1

(

qi − qiqiM − qim

)2

⋆ distanza da un ostacolo

w(q) = minp,o

∥p(q)− o∥

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Singolarita cinematiche• Le soluzioni precedenti valgono solo se J e di rango pieno

• Se J non e di rango pieno (singolarita) ⇒ il sistema v = Jq contiene equazioni linearmentedipendenti

⋆ se v ∈ R(J) ⇒ soluzione q estraendo tutte le equazioni linearmente indipendenti (traiettoria“fisicamente” eseguibile)

⋆ se v /∈ R(J) ⇒ il sistema non e risolvibile (traiettoria non eseguibile)

• Inversione nell’intorno di singolarita: det(J) piccolo ⇒ q elevate

⋆ inversa a minimi quadrati smorzata (k > 0: fattore di smorzamento che rende meglio condizionatal’inversione matriciale)

J⋆ = JT (JJT + k2I)−1

⋆ dove q minimizza (vincolo cinematico incorporato in g′′)

g′′(q) = ∥v − Jq∥2 + k2∥q∥2

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ALGORITMI PER L’INVERSIONE CINEMATICA

• Cinematica differenziale diretta

v = J(q)q oppure x = JA(q)q

⋆ Traiettoria desiderata (assegnata)

{pd(t),Rd(t)} ,vd(t) =

[

pd(t)ωd(t)

]

oppure xd(t), xd(t)

• Cinematica differenziale inversa

⋆ soluzione per manipolatore non ridondante e non in singolarita

q = J−1(q)vd oppure q = J−1A (q)xd

⋆ soluzione per manipolatore ridondante e non in singolarita

q = J†(q)vd+(

I − J†(q)J(q))

q0 oppure q = J†A(q)xd+

(

I − J†A(q)JA(q)

)

q0

⋆ soluzione con gestione delle singolarita

q = J⋆(q)vd oppure q = J⋆A(q)xd

• Integrazione (q(σ) = una delle soluzioni di cinematica differenziale inversa)

q(t) = q(0) +

∫ t

0

q(σ) dσ

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• Integrazione numerica mediante regola di Eulero (q(tk) = una dellesoluzioni di cinematica differenziale inversa)

q(tk+1) = q(tk) + q(tk)∆t

⋆ fenomeni di deriva della soluzione

• Soluzione algoritmica

⋆ errore nello spazio operativo

e = xd − x = xd − k(q)

e = xd − x

= xd − JA(q)q

⋆ trovare q = q(e): e → 0 (fascia di tolleranza)

⋆ errore nello spazio operativo meno facile da esprimere se si usa J

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(Pseudo-)inversa dello Jacobiano

• Linearizzazione della dinamica di errore

q = J−1A (q)(xd +Ke)

Se K > O ⇒ limt→∞ e(t) = 0

• Per un manipolatore ridondante

q = J†A(xd +Ke) + (I − J

†AJA)q0

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Trasposta dello Jacobiano

• Si utilizzano solo funzioni di cinematica diretta (k(q) e JA(q))

q = JTA (q)Ke

Se K > O, xd = 0:

JA di rango pieno ⇒ limt→∞ e(t) = 0

JA non di rango pieno ⇒ N (JTA ) = ∅; dunque, se Ke ∈ N (JT

A ) ⇒ q = 0 con e = 0 (stallo)

Se K > O, xd = 0: e(t) limitato (diminuisce all’aumentare della norma di K)

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• Esempio

JTP =

0 0 0−c1(a2s2 + a3s23) −s1(a2s2 + a3s23) 0

−a3c1s23 −a3s1s23 a3c23

⎦ ⇒ N (JTP ) :

νyνx

= −1

tanϑ1, νz = 0

• Se K = kI3⋆ e ∈ N (JT

P ) (pd lungo la retta ⊥ al piano della struttura passante per W) ⇒ stallo (pd nonfisicamente raggiungibile)

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Confronto tra gli algoritmi per l’inversione cinematica

• Manipolatore planare a tre bracci

x = k(q)

pxpyφ

⎦ =

a1c1 + a2c12 + a3c123a1s1 + a2s12 + a3s123

ϑ1 + ϑ2 + ϑ3

⋆ a1 = a2 = a3 = 0.5m

J = JA =

−a1s1 − a2s12 − a3s123 −a2s12 − a3s123 −a3s123a1c1 + a2c12 + a3c123 a2c12 + a3c123 a3c123

1 1 1

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• Configurazione iniziale: qi = [π −π/2 −π/2 ]T rad ⇒ pdi = [ 0 0.5 ]T m, φdi = 0 rad

• Traiettoria desiderata:

pd(t) =

[

0.25(1− cosπt)0.25(2 + sinπt)

]

, φd(t) = sinπ

24t, 0 ≤ t ≤ 4

y

x

• Simulazione in MATLAB con integrazione numerica di Eulero (∆t = 1ms)

q(tk+1) = q(tk) + q(tk)∆t

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• Integrazione a ciclo aperto di q = J−1A (q)x

⋆ deriva numerica

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2x 10−3

[s]

[m]

pos error norm

0 1 2 3 4 5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0x 10−5

[s]

[rad

]

orien error

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• Algoritmo di inversione a ciclo chiuso q = J−1A (q)(xd +Ke) K = diag{500, 500, 100}

⋆ deriva numerica assente⋆ errori di inversione piu piccoli

0 1 2 3 4 5−5

0

5

[s]

[rad

]

joint pos

1

2

3

0 1 2 3 4 5−10

−5

0

5

10

[s]

[rad

/s]

joint vel

12

3

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1x 10−5

[s]

[m]

pos error norm

0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0x 10−8

[s]

[rad

]

orien error

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• Ridondanza funzionale: φ libero (r = 2, n = 3) (senza sfruttamento della ridondanza)

• q = J†P (pd +KPeP ) KP = diag{500, 500}

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5x 10−6

[s]

[m]

pos error norm

0 1 2 3 4 5−1

−0.5

0

0.5

[s]

[rad

]

orien

• q = JTP (q)KPeP KP = diag{500, 500}

0 1 2 3 4 50

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

[s]

[m]

pos error norm

0 1 2 3 4 5−1

−0.5

0

0.5

[s]

[rad

]

orien

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• q = J†P (pd +KPeP ) + (I − J

†PJP )q0 , q0 = k0

(

∂w(q)

∂q

)T

, KP = diag{500, 500} , k0 = 50

w(q) = w(ϑ2,ϑ3) =1

2(s22 + s23) (misura di manipolabilita)

0 1 2 3 4 5−5

0

5

[s]

[rad

]

joint pos

1

2

3

0 1 2 3 4 5−5

0

5

[s]

[rad

/s]

joint pos

1

2

3

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5x 10−6

[s]

[m]

pos error norm

0 1 2 3 4 50.85

0.9

0.95

1

[s]

[rad

]

manip

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w(q) = −1

6

3∑

i=1

(

qi − qiqiM − qim

)2

(distanza dai fine-corsa dei giunti), k0 = 250

−2π ≤ q1 ≤ 2π, −π/2 ≤ q2 ≤ π/2, −3π/2 ≤ q3 ≤ −π/2

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2x 10−4

[s]

[m]

pos error norm

0 1 2 3 4 5

−6

−4

−2

0

2

4

6

[s]

[rad

]

joint 1 pos

0 1 2 3 4 5

−6

−4

−2

0

2

4

6

[s]

[rad

]

joint 2 pos

0 1 2 3 4 5−5

0

5

[s]

[rad

]

joint 3 pos

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STATICA• Relazione tra forze e momenti (forze) γ all’organo terminale e forze e/o coppie (coppie) τ ai giunti

con il manipolatore in configurazione di equilibrio

⋆ lavoro elementare compiuto dalle coppie ai giunti (τ ∈ |Rn)

dWτ = τT dq

⋆ lavoro elementare compiuto dalle forze all’organo terminale (γ ∈ |Rr)

dWγ = fT dp+ µTωdt = fTJP (q)dq + µTJO(q)dq = γTJ(q)dq

⋆ vincoli olonomi e indipendenti da t ⇒ spostamenti elementari ≡ spostamenti virtuali

Lavori virtuali associati ai due sistemi di forze

{

δWτ = τT δq

δWγ = γTJ(q)δq

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• Principio dei lavori virtuali

⋆ il manipolatore e in equilibrio statico se e solo se

δWτ = δWγ ∀δq

τ = JT (q)γ

⋆ δWγ = 0, ∀δq ∈ N (J) ⇒ τ = 0 all’equilibrio

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Dualita cineto-staticav = J(q)q τ = JT (q)γ

N (J) ≡ R⊥(JT ) R(J) ≡ N⊥(JT )

• Forze γ ∈ N (JT ) interamente assorbite dalla struttura (reazioni vincolari)

⋆ un manipolatore in configurazione singolare resta nella q corrente ∀γ ∈ N (JT )

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• Interpretazione fisica dello schema con la trasposta dello Jacobiano

⋆ dinamica ideale (massa nulla e attrito unitario): τ = q ⇒ τ = JTKe

⋆ forza elastica Ke che tira l’organo terminale verso la postura desiderata nello spazio operativo(τ = JTKe)

⋆ ha effetto solo se Ke /∈ N (JT )

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ELLISSOIDI DI MANIPOLABILITA

• Indici di valutazione delle prestazioni di un manipolatore

⋆ attitudine ad eseguire un dato compito

• Ellissoide di manipolabilita in velocita

⋆ insieme delle velocita ai giunti a norma costante (unitaria)

qT q = 1 Sfera

⋆ manipolatore ridondante in configurazione non singolare: q = J†(q)v (no moti interni)

vT(

J(q)JT(q))−1

v = 1 Ellissoide

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• Assi dell’ellissoide{

autovettori ui di JJT ⇒ direzionivalori singolari σi =

λi(JJT ) ⇒ dimensioni

• Volume dell’ellissoide proporzionale alla misura di manipolabilita

w(q) =√

det(

J(q)JT (q))

{

w(q) > 0 in configurazione non singolarew(q) = 0 in configurazione singolare

⋆ per manipolatori non ridondanti

w(q) = |det(J)|

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• Ellissoide di manipolabilita in forza

⋆ insieme delle coppie ai giunti a norma costante

τT τ = 1 Sfera

γT(

J(q)JT(q))

γ = 1 Ellissoide

• Dualita cineto-statica

⋆ stessi assi, dimensione in proporzione inversa

⋆ una direzione lungo la quale si ha elevata manipolabilita in velocita e una direzione lungo la qualesi ha scarsa manipolabilita in forza, e viceversa

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Manipolatore planare a due bracci

• Misura di manipolabilita: w(q2) = |det(J)| = a1a2|s2|

⋆ misura normalizzata: w(q2) = s2

⋆ nei casi piu complessi: w(q) =1

cond(J)=σrσ1

⋆ w : maxϑ2per ϑ2 = ±π/2 , maxa1,a2

per a1 = a2 (a parita di estensione a1 + a2)

• Valori singolari al variare della posizione lungo x (a1 = a2 = 1)

0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

2.5

min

max

[m]

[m]

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• Ellissi di manipolabilita in velocita (a1 = a2 = 1)

0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5

0

0.5

1

[m]

[m]

• Ellissi di manipolabilita in forza (a1 = a2 = 1)

0 0.5 1 1.5 2

−1

−0.5

0

0.5

1

[m]

[m]

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• Manipolatore≡ trasformatoremeccanico di velocita e forze dallo spazio dei giunti allo spazio operativo

⋆ rapporto di trasformazione lungo la direzione u per l’ellissoide in forza

α(q) =

(

uTJ(q)JT (q)u

)−1/2

⋆ rapporto di trasformazione lungo la direzione u per l’ellissoide in velocita

β(q) =

(

uT(

J(q)JT (q))−1

u

)−1/2

⋆ conservazione energia: α ↑ dove β ↓ e viceversa

⋆ utilizzo dei gradi di mobilita ridondanti (ad es., per max α o β)

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• Compatibilita della struttura ad eseguire un compito assegnato lungo una direzione

⋆ compiti di attuazione (elevato rapporto di trasformazione)

⋆ compiti di controllo (basso rapporto di trasformazione)

• Dualita fra ellissoide in velocita ed ellissoide in forza

⋆ una direzione ottimale per attuare una velocita e anche una direzione ottimale per controllare unaforza

⋆ una direzione ottimale per attuare una forza e anche una direzione ottimale per controllare unavelocita

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• Esempi:

⋆ scrittura su superficie orizzontale (controllo): controllo fine della velocita orizzontale e della forzaverticale

⋆ lancio di un peso in direzione orizzontale (attuazione): attuazione della velocita orizzontale e dellaforza verticale

force

velocity

writing plane

force

velocity

throwing direction

• Utilizzo della ridondanza per riconfigurare la struttura in maniera ottimale rispetto al compito (α e βfunzioni obiettivo secondarie)