J - Deformaes na Flexo

10.0 Deformaes na Flexo. Nos captulos anteriores obtivemos expresses (com formatos semelhantes) que relacionam as deformaes para cada um dos esforos solicitantes, a saber:L

# na trao pura: # no corte puro: # na toro* pura :*eixos circulares

L = NL/EA h = QL/GA = TL/GJP = ML/EIL Q T

N h M

# na flexo pura:

10.1 Deflexes por curvatura das vigasNo caso de uma viga reta carregada transversalmente, seu eixo longitudinal se encurvar tomando o formato da chamada linha elstica. O raio de curvatura da linha elstica ser obtido, como visto atravs da equao 5.7.3, escrevendo (1/) = M/EI. Realmente: a fig. 10.1.1 nos mostra que d

ds y

tg d d = ds / y. Como = /E e = (/)y, obtem-se: d / ds = M / E I............................. (10.1.1) sendo (EI) o chamado produto de rigidez. Levando em conta que ds = d, chega-se a 5.7.3. Por outro lado, nos cursos de Clculo Diferencial determinou-se a curvatura (k = 1/) das curvas planas como sendo dada por: j que ds2 = dx2 + dy2. Representando por f a ordenada correspondente flecha do eixo neutro a cada valor da abscissa x da seo, e como a declividade das vigas (df/dx = tg) sempre muito pequena, tornando o seu quadrado desprezvel em presena da unidade, podemos escrever: df/dx = ; 1/ = d2f/dx2 , obtendo-se a denominada equao diferencial da linha elstica: x

k = 1/ = (d2y/dx2)/[1+(dy/dx)2]3/2

(1 + ) ds

f (Flecha)

d

Eixo neutro da viga defletida

d

ds dy f

d2f / dx2 = d/dx = /EI

................(10.1.2)

x

dx

Fig. 10.1.1 Flechas e deflexes nas vigas fletidas.

Conhecendo-se como variam o momento fletor M e o momento de inrcia I a cada ordenada x da seo, a integrao sucessiva da equao 10.1.2 nos informar a deflexo = (x) e a flecha f = f(x).

1

J - Deformaes na Flexo

10.2 Linha Elstica por Integrao. Atravs de alguns exemplos, apresentaremos o mtodo para determinao da equao da linha elstica, por integrao da equao 10.1.2, permitindo-nos obter valores de deflexes angulares e flechas nas vigas. qExemplo10.2.1 - Para a viga bi-apoiada representada, de comprimento L, seo com momento de inrcia baricntrico I e material com mdulo de elasticidade E, submetida a um carregamento uniformemente distribudo q, estabelecer os valores da flecha mxima no meio do vo e as deflexes angulares nos dois apoios. Soluo: q(x) = q; Q(x) = - q dx = -qx + C1; Q = qL/2 para x=0 Q(x) = q(L/2 x); M(x) = Q dx = qL x q x2/2 + C2; Como M=0 para x = 0 M(x) = q (Lx x2); EI d/dx = M(x) = q (Lx x2); EI () = M(x)dx = q (Lx2/2 x3/3 + C3); Pela simetria, pode-se inferir que = 0 p/ x = L/2 e EI () = q (Lx2/2 x3/3 + L3/12); (x) = (q/24EI) (6Lx2 4x3 + L3); para x = 0, 0 = - qL3/24EI; L = + qL3/24EI f(x)=(x)dx=(q/24EI)(6Lx3/3 4x4/4 + L3x + C4); Como f(0)=0, C4 =0 e f(x) = (q/24EI) (2Lx3 x4 + L3x); para x = L/2, f mx = - 5 q L4 / 384 EI9,92kN127 800

x qL/2 + Q M + + + f -

L/2

qL/2 -qL/2

0

f mx

Exemplo 10.2.2 Para o perfil de ao S127x15 esquematizado (E = 210GPa e G = 80GPa), calcular a flecha na extremidade livre do balano. Para a seo reta do perfil so conhecidos: rea 1850mm2; I = 5,04 x 106 mm4; h = 127mm P Soluo: Q(x) = P; M(x) =-P(x L); EI (x) = P(x2/2 - Lx); (x) = (P/EI)(x2/2 - Lx); f(x) = (P/2EI)(x3/3 Lx2)

x L Q M

(L) = -PL2/2EI; f(L) = -PL3/3EIPara os valores numricos apresentados teremos: mx =(9,92x103 x0,8 / 5,04x10-6)x(0,127/ 2)= 100MPa

f mx = 9,9 2x103 x0,83L

/ 3x210x109x5,04x10-6= 1,6x10-3m f mx = 1,6mm

f fL

Se avaliarmos o deslocamento vertical do eixo neutro na extremidade em balano da viga, decorrente da fora cortante, verificaremos ser ele desprezvel em presena do provocada pela flexo: h = QL/GA = (3/2) 9,92x103x0,8 / 80x109 x 1850x10-6 =80,4x10-6m

L

2

B/2 B/2 H x b L

J - Deformaes na Flexo Exemplo 10.2.3: A viga esquematizada denomiP nada de igual resistncia, sendo empregada (aps cortes longitudinais e montagem como mostra a figura) na fabricao de feixe de molas. Mostre que a mxima tenso normal a mesma ao longo de toda a sua extenso e calcule a flecha mxima na extremidade do balano. * * (prolongamento para levar em conta a tenso limite de cisalhamento devido fora cortante). Soluo: Numa seo genrica, distante (x) do engaste teremos: M(x) = - P(L x); I(x) = bH3/12 sendo b = B/L(L x). (mx)x = (M/I)H/2 =[6P(L-x)/(B/L)(L-x)H3]H=6PL/BH2, valor constante. Da mesma forma: d/dx = -M/EI = 12P(L-x)/E(B/L)(L-x)H3= = 12PL/EBH3; = (12PL/EBH2)x + C1; C1=0 pois = 0 quando x = 0. Finalmente: f = f(x) = (6PL/EBH2)x2+ C2 , sendo C2 = 0 j que f(0)=0. A flecha na extremidade (x = L) valer: fmx = 6PL3/EBH3 (Resp.)P

Exemplo 10.2.3: A simetria no caso de viga bi-apoiada com carga concentrada no meio do vo, permite evitar que se enfrente a dificuldade de se ter duas equaes para M(x), a saber: x(0L/2)........ M(x) = Px x(L/2L)....... M(x) = Px P(x L/2). No trecho x(0L/2)........ (EI)(x) = Px2/4 + C1. A simetria nos permite concluir que =0 para x=L/2, dando C1= -PL2/16. x(0L/2)........ (EI)f(x) = Px3/12 (PL2/16)x + C2. Como f=0 para x=0, C2 = 0, e finalmente obtemos: = (P/EI)(x2/4 L2/16); f =(P/EI)[x3/12 (PL2/16)x]. 2 Para x=0, 0 = PL / 16EI; 3 Para x = L/2, fmx = PL /48EI.P a Pb/L Q

L/2 P/2 P/2

L/2 P/2 -P/2

M f PL/4

0

fmx

M Pab/L

xmf

0

fmx L

Exemplo 10.2.4: Para a viga bi-apoiada, com carga concentrada fora do meio do vo, o trabalho algbrico fica bastante eb xaustivo, pois teremos duas equaes para o momento fletor: Pa/L - no intervalo x (0, a) M1(x) = (Pb/L)x - no intervalo x (a, L) M2(x) = (Pb/L)x P(x a). -P/2 Integrando duas vezes as duas expresses de M(x)/EI, os resultados incluiro 4 constantes arbitrrias que sero determinadas atravs das 2 condies de contorno (f = 0 para x = 0 e para x = L) e das 2 condies de compatibilidade de deformaes (para x = a, tanto o ngulo como a flecha f devero ter valores idnticos, quando se utiliza as equaes de momento, esquerda e direita do ponto de aplicao da fora P). Aps clculos enfadonhos obtemos: 0 = - Pb(L2 b2) / 6EI; L = + Pa(L2 a2) / 6EI; fmx = - Pb(L2 b2)3/2 /9(3)EIL, em xm=(L2 b2)/3 f(L/2) = -Pb(3L2 4b2)/48EI (fmx) 3

J - Deformaes na Flexo

10.3 Linha Elstica por Integrao, utilizando Funes Singulares.Objetivando evitar o transtorno de representar matematicamente o momento fletor M(x) atravs de vrias equaes, correspondentes aos trechos onde o carregamento se diversifica, surgem as funes chamadas singulares (pois no satisfazem as condies exigidas pelos matemticos para a designao das funes, por suas descontinuidades). Tais funes singulares tm a seguinte definio: (x a)n ........ para x a n = = Zero ............ para x < a A integrao e a derivao de tal tipo de funo fornecem:

< x a >n dx = [1/(n+1)]< x a > n+1 ............... (n 0)(d/dx) < x a >n = n < x a > n-1 ..................... (n 1) n=0 < x a >01 0 a x 0 a x 0 a x 0 a x

n=1 < x a >1

n=2 < x a >2

n=3 < x a >3

Exemplo 10.3.1: Para a viga esquematizada, determinar: (a) o ngulo de deflexo da viga no apoio A da esquerda e (b) a flecha no meio do vo.

MA a RA a

P

qB a a RB

Soluo: Reaes nos apoios: RA = M/4a + P/2 + qa/8; RB = - M/4a + P/2 + 7qa/8; 0 1 2 Momento Fletor: M(x) = RA x M < x-a > P < x 2a > q < x-3a> Integrando uma vez para obteno dos ngulos da linha elstica teremos:

EI (x) = RA x2/2 M < x-a >1 P < x 2a >2 q/6 < x-3a >3 + C1

Integrando mais uma vez, para obteno das flechas f da linha elstica teremos:

EI f(x) = RA x3/6 M < x-a >2 P/6 < x 2a >3 q/24 < x-3a >4+C1x + C2; 0 = RA (4a)3/6 M (3a)2 P/6 ( 2a )3 q/24 (a)4 +C1(4a),de onde tiramos o valor de C1,levando em conta o valor de RA escrito acima: A deflexo angular da linha elstica no apoio da esquerda corresponde ao valor de (0), ou seja: (0) = C1 / EI =(11/24) Ma / EI Pa2 /EI (31/96) qa3 / EI (Resp.a) A flecha no meio do vo ser calculada fazendo x = 2a, obtendo-se: EI f(2a)= (M/4a + P/2 + qa/8)(2a)3/6 - Ma2 + [(11/24) Ma Pa2 (31/96) qa3](2a) f(meio do vo)* = 13Ma2/12EI 4Pa3/3EI 23qa4/48EI (Resp. b). * Obs.: a flecha calculada no a flecha mxima (que ocorre na seo onde = 0) 4 As condies de contorno nos informam que: f(0)=0, C2 = 0; e f (4a) = 0, portanto:

C1 = (11/24) Ma Pa2 (31/96) qa3;

J - Deformaes na Flexo Exemplo 10.3.2 Para o eixo ABC esquematizado, de ao (E = 200 GPa) macio (D = 150 mm), calcule as flechas na extremidade A do balano e no meio do vo entre os mancais B e C. 9,00 kN 12,0 kN/mD = 150 mm

B

C

A 2,00 m x 1,00 m 2,00 m 1,00 m RC = 7,5 kN

RB = 25,5 kN O clculo das reaes dos mancais fornece RB = 25,5 kN (). A equao para o momento fletor em funo da ordenada x ser:

M(x) = - 9 x + 25,5 - (12/2) 2 + (12/2) < x 5 >2* Observe que para representar o carregamento distribudo lanou-se mo da expres2 so (q/2) < x 3 > , que se estende desde x = 3m at x = 7m (em C), da qual foi diminu2 do um carregamento fictcio (q/2) < x 5 > que se estende desde x = 5m at x = 7m. Procedendo a uma primeira integrao obtemos:

EI (x) = - (9/2) x2 + (25,5/2) 2 (6/3) 3 + (6/3) 3 + C1Integrando novamente teremos:

EI f (x) = - (9/6) x3 + (25,5/6) 3 (2/4) 4 + (2/4) 4 + C1x + C2A condio de contorno f = 0 para x = 2 fornece: ...............2 C1 + C2 = 12, enquanto que a condio f = 0 para x = 6 indica que: ..................... 6 C1 + C2 = 92. Resolvendo o sistema obtemos: C1 = + 20 kN.m2; C2 = - 28 kN.m Como E = 200 x 109 N/m2 e I = (/64)D4 = (/64)(0,150)4 = 24,85 x 10-6 m4, o produto de rigidez EI = 4,970 x 106 N.m2 A flecha na extremidade em balano (x = 0) f(0) = C2 / EI = -28x103/4,970 x 106 f(0) = 5,634 mm (). A flecha no meio do vo entre os mancais (x = 4) valer: f(4) x EI = [- (9/6) 43 + (25,5/6) 3 (2/4) 4 + (2/4) (0) + 20x4 + (-28)] f(4) = 2,113mm (). Caso se quisesse pesquisar o valor da mxima flecha positiva () do eixo, concluiramos que ela ocorreria ente o mancal B (x = 2, f = 0) e o meio do vo (x = 4), onde a flecha j negativa. Em tal seo (f mx) = 0 e ento: 0 = - (9/2) x2 + (25,5/2)(x - 2)2 (6/3)(x - 3)3 + 20. Admitindo que a seo procurada ocorra entre o mancal e o incio da carga distribuda (portanto, para 2