IV Σύνδεσημε το προηγούμενο...

Δ. ΔΕΛΗΚΑΡΑΟΓΛΟΥ, ΤΕΠΑΚ, ΠΟΜ 338

Γεωδαισία IV

Μάθημα Εαρινού 6ου Εξαμήνου, Ακαδ. Έτος 2011-12ΤΕΠΑΚ, Τμ. Πολιτικών Μηχ./Τοπογράφων Μηχ. Και Μηχ. Γεωπληροφορικής

Διδάσκων μαθήματος:Δημήτρης ΔεληκαράογλουΕπισκ. Καθ.,Αναπλ. Καθ., ΣΑΤΜ, ΕΜΠ

[email protected]


Σύνδεση με το προηγούμενο μάθημα

Χαρακτηρισμός του γήινου πεδίου βαρύτηταςΕλκτικές δυνάμεις και ένταση της βαρύτηταςΤο γήινο βαρυτικό δυναμικό

Γεωδαισιακές γραμμέςΓεωδαισιακά τρίγωνα, τετράπλευρα, …Εμβαδά

Βασικές έννοιες για τα προβλήματα γεωδαιτικής μεταφοράς συντεταγμένων από σημείο σε σημείο


Βαρυτικές ελκτικές δυνάμεις

Νόμος της παγκόσμιας έλξης: F = G m1 m2 / r2

Οι ελκτικές δυνάμεις μεταξύ υλικών σωμάτων είναι ανάλογες του γινομένου των μαζών τους και αντιστρόφως ανάλογες του τετραγώνου της μεταξύ των κέντρων μάζας τους απόστασης. Εκφράζονται σε Newton (1 N = 1 kg m/s2)

Βαρύτητα ονομάζεται η ιδιότητα των υλικών σωμάτων να έλκουν άλλα υλικά σώματαΤα ελκυόμενα σώματα κινούνται με επιταχυνόμενη κίνηση προς το έλκον σώμα. Οι έλξεις είναι αμοιβαίες.


Το βαρυτικό πεδίο

Είναι ένα μοντέλο που χρησιμοποιείται στη φυσική για να εξηγήσει πώς λειτουργεί η βαρύτητα στο σύμπαν.Στην αρχική της σύλληψη, κατά τονΝεύτωνα, η βαρύτητα ήταν μιαδύναμη μεταξύ σημειακών μαζώνΜετά τον Νεύτωνα, ο Laplaceπροσπάθησε να μοντελοποιήσει τηνβαρύτητα ως ένα είδος δυναμικούπεδίου ή ρευστούΑπό τον 19ο αιώνα οι ερμηνείες γιατην βαρύτητα αναζητούνται στοπλαίσιο της θεωρίας των πεδίων, παρά στην επίδραση μιας σημειακήςέλξης


Ένταση του βαρυτικού πεδίου

Tο φυσικό διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το πηλίκο της δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m (=m2), το υπόθεμα, που βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο της πηγής βαρύτητας προς τη μάζα Μ (=m1) του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο, και φορά πάντα προς το κέντρο μάζας της πηγής του πεδίου.

έχει μονάδες επιτάχυνσης (δύναμη ανά μονάδα μάζας m/s²), και εξαρτάται τόσο από τη μάζα Μ του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο, όσο και από την απόσταση r από τη θέση αυτού

1 gal = 1 cm/s²1 mgal = 10-5 m/s2

1 μgal = 10-8 m/s2

rrr =ˆ

Μοναδιαίο διάνυσμα


Το δυναμικό του βαρυτικού πεδίου

Είναι ένα μονόμετρο μέγεθος που ορίζεται ως μείον το έργο ανά μονάδα μάζας που εκτελεί η δύναμη της βαρύτητας από μία αυθαίρετη θέση αναφοράς r0 σε μία απόσταση r από την πηγή του βαρυτικού πεδίου.Στην περίπτωση μιας σημειακής πηγής (μάζας)


Το δυναμικό (έλξης) του βαρυτικού πεδίου

Με την εκλογή του απείρου ως σημείο αναφοράς, το δυναμικό μίας σημειακής πηγής απλοποιείται σημαντικάΤο βαρυτικό δυναμικό είναι παντού αρνητικό.

Το βαρυτικό πεδίο που δημιουργεί ένα αντικείμενο συγκεκριμένων διαστάσεων

προκύπτει από την κατάτμηση της κατανομής μάζας σε μικρές, στοιχειώδης μάζες τις οποίες θεωρούμε σημειακές και αθροίζοντας (= ολοκληρώνοντας) όλες τις επιμέρους στοιχειώδεις συνεισφορές δυναμικού.


Η εξίσωση του Poisson

η επίλυσή της εξαρτάται από τη μορφή της συνάρτησης πυκνότητας ρ και τις αρχικές/συνοριακές συνθήκες του προβλήματος.Η χρησιμότητα του βαρυτικού δυναμικού έχει να κάνει με το γεγονός ότι είναι βαθμωτή ποσότητα.

Οι διανυσματικές ποσότητες όπως είναι η ένταση του βαρυτικού πεδίου είναι πιο πολύπλοκες, καθώς οι πράξεις μεταξύ διανυσματικών ποσοτήτων απαιτεί προσεκτική μεταχείριση των συνιστωσών τους.

Στο χώρο έξω από τις μάζες της Γης (δηλ. πάνω από τη γήινη επιφάνεια) όπου ρ=0, από την εξίσωση του Poisson προκύπτει η διαφορική εξίσωση του Laplace ∇2V = ΔV = 0.


Σφαιρικές συντεταγμένες

x = r cosλ sinθy = r sinλ sinθz = r cosθ

x = r cosλ sinθy = r sinλ sinθz = r cosθ

222 zyxr ++=

22

22

arcsin

arccosarctan

yx

yyx

xxy

+=

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=λ

222

22arccosarctan

zyx

zzyx

++=

+=θ


Η εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες

0sin

1sinsin

112

2

2222

22 =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

≡=∇λθθ

θθθ

Δ V

r

V

rrVr

rrVV

Σε περίπτωση σωμάτων με “σφαιρική συμμετρία” είναι απλούστερο να αναζητηθεί η λύση της σε σφαιρικές συντεταγμένες (αντί π.χ. σε καρτεσιανές)

Ως αρχική προσέγγιση υποτίθεται ότι η Γη είναι σφαιρική με ακτινικά συμμετρική κατανομή της πυκνότητας της

Οι λύσεις της εξίσωσης Laplace είναι γνωστές ως αρμονικές συναρτήσεις.

Έχουν συνεχείς πρώτες και δεύτερες παραγώγουςΤο ελκτικό δυναμικό της Γης αποτελεί μια τέτοια συνάρτηση στο χώρο έξω από τη γήινη επιφάνεια


Η εξίσωση Laplace σε σφαιρικές συντεταγμένες

0sin

1sinsin

112

2

2222

22 =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

≡=∇λθθ

θθθ

Δ V

r

V

rrVr

rrVV

Η εξίσωση Laplace για το δυναμικό V είναι της μορφής μιας “κλασσικής” μερικής διαφορικής εξίσωσηςΠολυπλοκότερη επίλυση είναι μέσω των λεγόμενων συναρτήσεων του Green.Συνήθως επιζητείται η λύση μέσω αριθμοσειρών Fourier (αρμονικοί συντελεστές)

Οι λύσεις αναζητούνται με τη μέθοδο του διαχωρισμού των μεταβλητών: V(r,θ,λ) = f(r) g(θ) h(λ)Επίλυση τριών διαφορικών εξισώσεων και από το γραμμικό συνδυασμό των επιμέρους λύσεων τους μορφοποίηση σε μια γενική λύση


Επίλυση της εξίσωσης Laplace

0sin

1sinsin

112

2

2222

22 =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

≡=∇λθθ

θθθ

Δ V

r

V

rrVr

rrVV

Αρχικά θεωρούμε ότι V(r,θ,λ) = f(r) Υ(θ,λ)και η εξίσωση Laplace μετασχηματίζεται στη μορφή

• Το αριστερό σκέλος είναι μόνο συνάρτηση του r• Το δεξιό εξαρτάται μόνο από τα θ και λ• Συνεπώς το κάθε σκέλος πρέπει να είναι σταθερό, καταλήγοντας σε δύο εξισώσεις …


Επίλυση της εξίσωσης Laplace

0sin

1sinsin

112

2

2222

22 =

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

≡=∇λθθ

θθθ

Δ V

r

V

rrVr

rrVV


Η λύση για τη συνάρτηση f

Radial base functions – δύο τύποι λύσεων της εξίσωσηςEulerf(r) = rn ή f(r) =r –(n+1) ανάλογα με το εάν τοσημείο ενδιαφέροντος είναι στην επιφάνεια ή στοεσωτερικό της γήινης επιφάνειας, ή στον εξωτερικόχώρο αντίστοιχαO βαθμός n είναι ακέραιος αριθμός, n = 0,1,2,...και ονομάζεται τάξη (degree) της λύσηςΣυνεπώς έχουμε δύο λύσεις για το ελκτικό δυναμικό V

Άγνωστη ακόμα συνάρτηση

Οι λύσεις για τις συναρτήσεις h, g

V(r,θ,λ) = f(r) g(θ) h(λ) = f(r) Υ(θ,λ)

Η συνάρτηση h(λ) είναι της μορφής h(λ) = eimλ

h(λ) = sin(mλ) ή h(λ) = cos(mλ)όπου m = 0, 1, 2, 3, … είναι η λεγόμενη τάξη (order)

Η συνάρτηση g(θ) είναι πιο πολύπλοκηΥn(θ,λ) – αποκαλούνται επιφανειακές αρμονικές συναρτήσεις

• Ο γραμμικόςσυνδυασμός τους είναιεπίσης λύση τηςεξίσωσης Laplace



• Η ανεύρεση των Υn(θ,λ) γίνεται με τον διαχωρισμό g(θ) h(λ)• και αντικατάσταση στην εξίσωση


• Η 1η δ.ε. που εξαρτάται από το θ αποκαλείται χαρακτηριστική δ.ε. των συναρτήσεων Legendre, δεδομένου ότι παράγει λύσεις της μορφής

ΣυναρτήσειςLegendre11ου είδουςου είδους 2ου είδους

g(θ) = Pnm(cosθ) και g(θ) = Qnm(cosθ)g(θ) = Pnm(cosθ) και g(θ) = Qnm(cosθ)

• Οι συναρτήσεις Legendre 1ου είδους έχουν φυσική σημασία• Oι συναρτήσεις Legendre 2ου είδους δεν είναι αποδεκτές λύσεις

(παίρνουν απειροστή τιμή στους πόλους της γήινης σφαίρας)

Η συνάρτηση g(θ)

• Η λύση της αποτελείται από πολυώνυμα Legendre καιπροσαρτημένες συναρτήσεις Legendre

• Οφείλουν το όνομα τους στο γάλλο μαθηματικό Andrien Marie Legendre

• Τα πολυώνυμα Legendre είναι ορθογώνιες συναρτήσεις, που μπορούν να εκφράσουν μια συνάρτηση ως το άθροισμα επιμέρους συναρτήσεων.

( ) ( ) ( ) ( )xPaxPaxPaxf nn1100 +++= K….

1

Πολυώνυμα και Συναρτήσεις

Legendre

Adrien MarieLegendre

Πολυώνυμα LegendreΟφείλουν το όνομα τους στο γάλλο μαθηματικό

Andrien Marie LegendreΕίναι οι κανονικές λύσεις της διαφορικής εξίσωσης του Legendre

Συχνά αποκαλούνται και συναρτήσεις Legendre 1ου είδους, συντελεστές Legendre ή αρμονικές ζώνης

Η εξίσωση του Legendre συναντάται σε πολλά προβλήματα της φυσικής, όπως στη επίλυση της εξίσωσης Laplace και άλλες συναφείς μερικές διαφορικές εξισώσεις, όταν αυτές εκφράζονται σε σφαιρικές συντεταγμένες

Ορισμός: Τα πολυώνυμα Legendre, Pn(t), n=0,1,2,… υπολογίζονται από τη σχέση του Rodrigues … t=cosθ=sinφ=x

π.χ.

…

Τρόποι υπολογισμού …

Πολυώ

νυμα

Lege

ndre

P n

Προσαρτημένες Συναρτήσεις Legendre Pnm

Πολυώνυμα Legendre, n=2,4,6,8,10 Πολυώνυμα Legendre, n=1,3,5,7,9

2

Πολυώνυμα Legendre n=0,1,…10 Πολυώνυμα Legendre … ερμηνεία τους

ΠαράδειγμαΠολυώνυμο Legendre

P6(cosθ) • κατά μήκος τηςπεριφέρειας ενός κύκλουκαι

• γύρω από τη σφαίραP6(cosθ)

+

+

+ Ζώνεςθετικών τιμών

-

– Ζώνεςαρνητικών τιμών

-

Τι χρειάζονται? Επειδή έχουν κατάλληλες ιδιότητες στη σφαίρα για x = cosθ=sinφΠαραδείγματα:

(a) Pn (όπου n=ζυγός βαθμός) ικανοποιούν τις συνθήκες

Τιμές ίσες με 0 @ x = 0. Συγκεκριμένες τιμές @ x = 1

Πολυώνυμα Legendre ……

Απλοποιείται ο υπολογισμός των παραγώγων

(b)



(c)

Leopold Kronecker

Συνθήκηορθογωνικότητας



1

0Kronecker delta

(c)

Σημείωση: Το ολοκλήρωμα είναι σαν να υπολογίζουμε το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων:

(A1,B1) • (A2,B2) = A1A2 + B1B2= 0 εάν τα διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους

Οι “συνιστώσες” των Pn είναι οι τιμές τους σε κάθε x


ΣυνθήκηΣυνθήκηορθογωνικότηταςορθογωνικότητας

Πολυώνυμα Legendre

3

Συνάγεται εύκολα ότιPn(t) είναι πολυώνυμο βαθμού ‘n’.Εάν το n είναι ζυγός αριθμός, το Pn (t)περιέχει μόνο ζυγές δυνάμεις της μεταβλητής t και εάν το n είναι μονός αριθμός, το Pn(t) περιέχει μόνο μονές δυνάμεις του t.Ο συντελεστής του tn στο Pn(t) είναι

2)!(

)!2(

2

1

n

nn=

t=cosθ=x

π.χ. στο P5(t) είναι … (63/8) t5

Εάν το n είναι ζυγός αριθμός, το Pn (x) περιέχει μόνο ζυγές δυνάμεις της μεταβλητής x και εάν το n είναι μονός αριθμός, το Pn(x) μόνο μονές δυνάμεις του x=t=cosθ.

2)!(

)!2(

2

1

n

nn=

Ο συντελεστής του xn στο Pn(x)

Εάν το n είναι ζυγός αριθμός, το Pn (x) περιέχει μόνο ζυγές δυνάμεις της μεταβλητής x και εάν το n είναι μονόςαριθμός, το Pn(x) μόνο μονές δυνάμεις του x=t=cosθ.

Ο συντελεστής του xn-2 στο Pn(x)

)!2()!1()!22(

2

1−−

−−=

nnn

n

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΗ ΣΧΕΣΗ

jnn

j

nj

n tjnjnj

jntP 2

20

)!2()!(!2

)!22()1()( −

≤≤−−

−−= ∑

ΚΛΕΙΣΤΗ ΣΧΕΣΗ

jnn

j

nj

n tjnjnj

jntP 2

210

)!2()!(!2

)!22()1()( −

−≤≤

−−

−−= ∑

Εάν n = ζυγός

αριθμός

Εάν n = μονός

αριθμός

Παράδειγμα

ανάπτυγμα σε σειρά Taylor ως προς α=r’/r (u=cosψ)

Ορισμός: Οι γενικευμένες (ή αλλιώς συναφείς ή

προσαρτημένες) συναρτήσεις Legendre, Pnm(t), n=0,1,2,…Nmax, m=0,1,2,…,n υπολογίζονται από τη σχέση του Rodrigues

ή επειδή

…

n-βαθμόςm-τάξη

4

Παραδείγματα, για x=t=cosθΠαραδείγματα

Αναδρομικές σχέσεις Αναδρομικές σχέσεις

Αναδρομικές σχέσειςΣυναρτήσειςεκκίνησης για n=m και n=m+1 (ή n-1=m), δηλ, Pnn , Pn,n-1π.χ. ξεκινώντας από ταP33 = ??P32 = ??

Υπολογίζεται το P31 = ??

Υπολογίζονται όλες οι υπόλοιπες συναρτήσεις βαθμού n

και μικρότερης τάξης m < n-1

Αναδρομικές σχέσεις

Συναρτήσεις εκκίνησης για n,m=n και n+1,m=n, δηλ. Pnn, Pn+1,n

π.χ. ξεκινώντας από ταP33 = ??(P44 = ??) P43 = ??

Υπολογίζονται τα P53, P63, P73 ….

Υπολογίζονται όλες οι υπόλοιπες συναρτήσεις βαθμού

ni>n+1 και ίδιας τάξης m

5

Κανονικοποίηση Κανονικοποίησημέσω αναδρομικών σχέσεων

Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις

Πολυώνυμα ή Συναρτήσεις Legendre

cos mλ sin mλ x =

* Τύπου C

* Τύπου S

* Επειδή περιέχουν αντίστοιχα όρους cosmλ και sinmλ

Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις ΖΩΝΗΣ

Οι ε.σ.αρμονικές μηδενικής τάξης ταυτίζονται με τα πολυώνυμα LegendreΕίναι ανεξάρτητες

του λΑλλάζουν n φορές

πρόσημοΔιαιρούν τη σφαίρα

σε ζώνες (αρμονικές ζωνών)


n=?, m=?

n=2, m=0


n=3, m=0

6


n=4, m=0


n=5, m=0


n=6, m=0


Οι ε.σ.αρμονικές μηδενικής τάξης ταυτίζονται με τα πολυώνυμα LegendreΕίναι ανεξάρτητες

του λΑλλάζουν n φορές

πρόσημοΔιαιρούν τη σφαίρα

σε ζώνες (αρμονικές ζωνών)

Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές συναρτήσεις ΤΟΜΕΑ

Οι ε.σ.αρμονικές για m=n διαιρούν τη σφαίρα σε τομείς με θετικές και αρνητικές τιμές (τομεοειδείςαρμονικές)


n=?, m=?

n=4, m=4

7


n=5, m=5

Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές συναρτήσειςΤΡΑΠΕΖΟΕΙΔΟΥΣ ή ΤΕΣΣΕΡΟΕΙΔΕΙΣ συναρτησεις

Οι ε.σ.αρμονικές για m≠n και m≠0 αλλάζουν n-m φορές πρόσημο στο διάστημα 0≤θ≤ποι συναρτήσεις cosmλ

και sinmλ έχουν 2m ρίζες στο διάστημα 0≤λ≤2πδιαιρούν τη σφαίρα σε τραπέζια με θετικές και αρνητικές τιμές(τραπεζοειδείς ή τεσσεροειδείς αρμονικές)

Επιφανειακές σφαιρικές ΤΕΣΣΕΡΟΕΙΔΕΙΣαρμονικές συναρτήσεις

n=?, m=?

n=6, m=1


n=6, m=2


n=6, m=3

Επιφανειακές αρμονικές

• Μετά τον υπολογισμό των συναρτήσεων h(λ) καιg(θ), το δυναμικό έλξης στην επιφάνεια της Γηςμπορεί πλέον να εκφρασθεί από τις λεγόμενεςεπιφανειακές αρμονικές του Laplace


cos(mλ) και sin(mλ)

όπου Y(θ,λ) = Ynm(θ,λ) = Pnm(cosθ) eimλ

Δηλ. γραμμικοί συνδυασμοί των προσαρτημένων συναρτήσεων Legendre Pnm(cosθ) με τριγωνομετρικούς αριθμούς

Ynm(θ,λ) = Pnm(cosθ) eimλ

n = 1

m = 0

m = 1

Pnm(cosθ) sin(mλ) Pnm(cosθ) cos(mλ)

Άποψηαπό πλάγια


Άποψηαπό πάνω


n = 2

m = 0

m = 1


m = 2






n = 3

m = 0

m = 1






m = 0

m = 1

n = 3






m = 2

m = 3


n = 4

m = 0

m = 1

m = 2






m = 0

m = 1






n = 4

m = 3

m = 4


n = 5Pnm(cosθ) sin(mλ) Pnm(cosθ) cos(mλ)





m = 0

m = 1

m = 2

n = 5Pnm(cosθ) sin(mλ) Pnm(cosθ) cos(mλ)





m = 3

m = 4

m = 5

Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές

Ζώνης Τεσσεροειδείς ΤομέαPn (m=0) Pnm (m≠0) Pnm (m=n)

Pnm(cosθ) sin(mλ), Pnm(cosθ) cos(mλ)

Στερεές Επιφανειακές σφαιρικές αρμονικές

Ζώνης Τεσσεροειδείς ΤομέαPn (m=0) Pnm (m≠0) Pnm (m=n)

rn Pnm(cosθ) sin(mλ), rn Pnm(cosθ) cos(mλ)Επιφανειακές

σφαιρικέςαρμονικές

P50 P53 P55

Pnm, n=5m=0,1,…, 5

m=0 m=1

m=2 m=3

m=4 m=5

λ

Pnm, n=5, m=0,1,…, 5

Pnm, n=20, m=0 Pnm, n=20, m=9

Pnm, n=20, m=20 Pnm, n=50, m=20

Ανάπτυγμα σε Σφαιρικές Αρμονικές

• Το τελικό ανάπτυγμα του δυναμικού έλξηςσε σφαιρικές αρμονικές είναι της μορφής

∞ nV(r,θ,λ) = R(r) ∑ ∑ [AnmΥC

nm(θ,λ) + BnmΥSnm(θ,λ)]

n=0 m=0∞ n

= R(r) ∑ ∑ [Anm cosmλ + Bnm sinmλ] Pnm (cosθ)n=0 m=0

Άγνωστοι συντελεστές (εξαρτώνται από την πυκνότητα των γήινων μαζών)

Συντελεστές του Stokes

• Οι συντελεστές Αnm και Βnm για το γήινοδυναμικό έλξης υπολογίζονται μεποικίλους τρόπους.

• Ένας βασικός τρόπος είναι δια μέσουτου αναπτύγματος της συνάρτησης 1/r σε σφαιρικές αρμονικές:

Pn(cosψ)n=0

∞= ∑1

rr'n

rn+1

Gρ V = ∫∫∫ —— dv

r

Gρ V = ∫∫∫ —— dv

r

P

ψ

rr'

dM

Ανάπτυγμα της 1/r

• Pn(cosψ) μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμαπολυωνύμων και προσαρτημένων συναρτήσεωνLegendre ως προς θ',λ' και θ,λ

Gρ V = ∫∫∫ —— dv

r

Gρ V = ∫∫∫ —— dv

r

Pn(cosψ)n=0

∞= ∑1

rr'n

rn+1


• Συνήθως χρησιμοποιείται το ανάπτυγμα στην μορφή:

GMr

∞

n=0∑ a

rn

[Cnm cos mλ + Snm sin mλ] Pnm (cosθ)n

m=0∑V =

• Cnm και Snm είναι οι λεγόμενοισυντελεστές του συντελεστές του StokesStokes

και aE είναι ο μεγάλος ημιάξονας του χωροσταθμικού ελλειψοειδούς αναφοράς

GM = G(ME+Matm)GM = G(ME+Matm) Cnm = Αnm aΕn/GM και Snm = Bnm aΕn/GMCnm = Αnm aΕn/GM και Snm = Bnm aΕn/GM

GMr

∞

n=1∑ a

rn

[Cnm cos mλ + Snm sin mλ] Pnm (cosθ)n

m=0∑V = 1 +

ή


• Επίσης χρησιμοποιείται το ανάπτυγμα στην μορφή:

GM = G(ME+Matm)GM = G(ME+Matm) Cnm = Αnm aΕn/GM και Snm = Bnm aΕn/GMCnm = Αnm aΕn/GM και Snm = Bnm aΕn/GM

Jn0 = Jn = - Cn0 = - Cn, Jnm = - Cnm , Knm = - Snm

Jn0 = Jn = - Cn0 = - Cn, Jnm = - Cnm , Knm = - Snm

GMr

∞

n=1∑ a

rn

[Jnm cos mλ + Knm sin mλ] Pnm (cosθ)n

m=0∑V = 1 -

•• Υπολογίζονται από δορυφορικές Υπολογίζονται από δορυφορικές παρατηρήσειςπαρατηρήσεις και μετρήσεις και μετρήσεις βαρύτητας στην γήινη επιφάνειαβαρύτητας στην γήινη επιφάνεια

Συντελεστές του StokesΗ φυσική σημασία τους

• Οι συντελεστές του Stokes είναι αποτέλεσματριπλής ολοκλήρωσης για όλο τον όγκο τηςΓης

• C20 = C2 εκφράζει την επιπλάτυνση της Γης• C22 , S22 εκφράζουν την ασυμμετρία τηςγήινης μάζας στον ισημερινό σε σχέση με τονάξονα περιστροφής

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Polynomials: Degrees 2-5; Order 0

Cos(theta)

Lege

ndre

Fun

ctio

n

TextEnd

P2 b, P3 g, P4 r, P5 mP2 b, P3 g, P4 r, P5 m

P30(t)

cos θ

39o0o-39o

Παράδειγμα: η σημασία του C30

• C30 εκφράζει το “αχλαδοειδές”της Γης

0.5 A

30

A3039o

• C33

Συντελεστές τουStokes

Η σχέση τους με τα γήιναμοντέλα

• Αν το δυναμικό της βαρύτηταςαναπτυχθεί σε σφαιρικές αρμονικές, τότε το εκάστοτε γήινο μοντέλουλοποιείται υιοθετώντας ένα σύστημααναφοράς για το οποίο συγκεκριμένοισυντελεστές του Stokes λαμβάνουνσυγκεκριμένες τιμές.

Συντελεστές του StokesΗ φυσική σημασία τους …

• C00 = 1 αν η μάζα του γήινου μοντέλου είναι ίσημε την πραγματική μάζα της Γης

• C10, C11, S11 = 0 αν το κέντρο του γήινουμοντέλου συμπίπτει με το κέντρο μάζας της Γης

• C21, S21 = 0 αν ο άξονας Ζ συμπίπτει (≈3”) κατάμήκος του κύριου άξονα αδράνειας

Κανονικοποιημένοι αρμονικοί συντελεστές

• Στη πράξη, το μέγεθος της τιμής των συντελεστών Cnm , Snm είναι πολύ μικρό για μεγάλες τιμές των δεικτών n και m

• Χρησιμοποιούνται οι κανονικοποιημένοι συντελεστές• Πρόβλημα στους υπολογισμούς

_Cnm = Πnm Cnm

_Snm = Πnm Snm

όπου Πnm = √[(n+m)!] / [k (2n+1) (n-m)! ],αν m=0 → k=1, αν m≠0 → k=2

Κανονικοποιημένa πολυώνυμα καισυναρτήσεις Legendre

•• ΌΤΑΝΌΤΑΝ Χρησιμοποιούνται οι κανονικοποιημένοι συντελεστές είναι απαραίτητο να ομαλοποιούνται επίσης τα αντίστοιχα πολυώνυμα και οισυναρτήσεις του Legendre έτσι ώστε:

_ _Pnm Cnm = Pnm Cnm

_ _Pnm Snm = Πnm Snm

_Pnm = Pnm / Πnm

όπου Πnm = √[(n+m)!] / [k (2n+1) (n-m)! ],αν m=0 → k=1, αν m≠0 → k=2

Παγκόσμια μοντέλα του γήινου δυναμικού

Αρμονικοί συντελεστές Cnm (μοντέλο JGM-2) σε μονάδες 10-6

n=0,1,2, …, 9 και m =0,1,2, …, 9

Παγκόσμια γήινα μοντέλα

Αρμονικοί συντελεστές Snm (μοντέλο JGM-2) σε μονάδες 10-6

n=0,1,2, …, 9 και m =0,1,2, …, 9

Παγκόσμια γήινα μοντέλα

Το σημαντικό πλεονέκτημα από την ανάπτυξη του δυναμικού έλξηςσε σφαιρικές αρμονικές είναι ότι

• αν οι συντελεστές Cnm και Snm είναι γνωστοί,

κάθε ποσότητα που χαρακτηρίζει το γήινο πεδίο βαρύτητας, π.χ.

Τ, Ν, Δg, δg, ξ, η

μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση των σφαιρικών αρμονικών

Υψόμετρα του γεωειδούς Ν

EGM96 (n,m=360)Για παράδειγμα:ΓιαΓια παράδειγμαπαράδειγμα::

δCnm=Cnm-CnmN, ∆Snm=Snm-Snm

NδCnm=Cnm-CnmN, ∆Snm=Snm-Snm

N

Γεωειδές (EGM96, n,m=360)

Ανωμαλίες Βαρύτητας ∆g

δCnm=Cnm-CnmN, δSnm=Snm-Snm

NδCnm=Cnm-CnmN, δSnm=Snm-Snm

N

Ανωμαλίες βαρύτητας (EGM96, n,m=360)

IV Σύνδεσημε το προηγούμενο...

Documents

Transcript of IV Σύνδεσημε το προηγούμενο...