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ANTOLOGIA PARA LA MATERIA DE ESTADISTICA II

Contenido

Unidad I Inferencia estadstica o inductiva4

Introduccin4

Campos de aplicacin4

Unidad II Teora elemental del muestreo4

Distribuciones de muestreo5

Distribucin de muestreo de medias5

Distribucin de muestreo de proporciones7

Distribucin de muestreo de diferencias y sumas9

Unidad III Teora de la estimacin estadstica10

Estimaciones sin sesgo10

Estimaciones de intervalo de confianza para parmetros de poblacin10

Intervalo de confianza para las medias.11

Intervalos de confianza para proporciones.11

Intervalos de confianza para diferencias y sumas12

Unidad IV Teora estadstica de las decisiones13

Hiptesis Nula:13

Hiptesis Alternativa:13

Contraste de hiptesis y significacin o reglas de decisin13

Errores de tipo I y de tipo II14

Nivel de significacin14

Contrastes mediante la distribucin normal14

Contrastes de una y dos colas15

Curvas de operacin caractersticas, potencia de un contraste16

Unidad V Test de Ji-Cuadrada16

Definicin de 216

El test de 2 para la bondad de ajuste16

Tablas de contingencia16

Unidad VI Ajuste de curvas y el mtodo de mnimo cuadrados18

Ajuste de curvas18

El mtodo de mnimos cuadrados19

Recta de mnimos cuadrados19

Parbola de mnimos cuadrados20

Unidad VII Teora de la correlacin21

Correlacin y regresin21

Correlacin lineal21

La recta de regresin de mnimos cuadrados22

Unidad VIII Anlisis de varianza23

Experimentos de factor nico23

Variacin total, variacin dentro de los tratamientos y variacin entre tratamientos24

Unidad I Inferencia estadstica o inductiva

Introduccin

Comprende aquellas tcnicas por medio de las cuales se toman decisiones sobre una poblacin estadstica basadas en una muestra o en juicios de los administradores. Debido a que esas decisiones se toman en condiciones de incertidumbre, se requiere el uso de conceptos de probabilidad. Considerando que las caractersticas medidas en una muestra se denominan estadsticas mustrales, las caractersticas medidas en una poblacin estadstica o universo, se llaman parmetros poblacionales.

Ningn mtodo estadstico puede corregir los defectos por una inadecuada seleccin del problema que se investiga, o por una mala recoleccin de datos. Una investigacin que empieza mal, con seguridad termina mal.

Con datos de mala calidad no ser posible dar una respuesta adecuada a un problema cientfico.

Campos de aplicacin

La inferencia estadstica es ampliamente utilizada en diversas reas, a continuacin se mencionan unas pocas.

En las ciencias naturales: se emplea en la descripcin de modelos termodinmicos complejos (mecnica estadstica), en fsica cuntica, en mecnica de fluidos o en la teora cintica de los gases, entre otros muchos campos.

En las ciencias sociales y econmicas: es un pilar bsico del desarrollo de la demografa y la sociologa aplicada.

En economa: suministra los valores que ayudan a descubrir interrelaciones entre

mltiples parmetros macro y microeconmicos.

En las ciencias mdicas: permite establecer pautas sobre la evolucin de las enfermedades y los enfermos, los ndices de mortalidad asociados a procesos morbosos, el grado de eficacia de un medicamento, etctera.

Entre otras.

Unidad II Teora elemental del muestreo

La teora del muestreo estudia la relacin entre una poblacin y las muestras tomadas de ella. Es de gran utilidad en muchos campos. Por ejemplo para estimar magnitudes desconocidas de una poblacin, tales como media y varianza, llamadas a menudo parmetros, a partir del conocimiento de esas magnitudes sobre muestras, que se llaman estadsticos. Tambin es til para determinar si las diferencias observadas entre 2 muestras son debidas a variaciones fortuitas o si son realmente significativas. Por ejemplo cuando se estudia el resultado de una medicina como tratamiento de cierta enfermad, o al decidir si un proceso de produccin es mejor que otro.

Distribuciones de muestreo

Si consideramos todas las posibles muestras de tamao n en una poblacin, para cada muestra podemos calcular un estadstico (como la media o desviacin estndar) que variara de muestra a muestra. De esta manera obtenemos una distribucin de muestreo. Tenemos diferentes tipos de distribucin de muestreo que ms adelante veremos.

Distribucin de muestreo de medias

Supongamos que se toman todas las posibles muestras de tamao n, sin reposicin de una poblacin finita de tamao N. Si denotamos la media y la desviacin estndar de la distribucin de muestreo de medias por y las de la poblacin , respectivamente entonces

Ecuacin 1 Formulas de media y desviacin estndar de distribucin de muestreo de medias con poblacin finita o sin reposicin

Donde:

N es el tamao de la poblacin

n es el tamao de la muestra

Si la poblacin es infinita o si el muestreo es con reposicin, los resultados anteriores se reducen a

Ecuacin 2 Formulas de media y desviacin estndar de distribucin de muestreo de medias con poblacin infinita o con reposicin

Por ejemplo:

Las alturas de 3000 estudiantes varones de una universidad estn normalmente distribuidos con media 68 pulgadas y una desviacin estndar de 3 pulgadas. Si se toman 80 muestras de 25 estudiantes cada una. Cules sern la media y la desviacin estndar esperadas de la resultante distribucin de muestreo de medias, si el muestre se hizo a) con reposicin y b) sin reposicin.

a)

b)

Como la diferencia es menor se considera para efectos prcticos la misma que en muestre con reposicin.

En cuntas muestras esperaramos encontrar una media de a) 66.8 y 68.3 pulgadas y b) menor que 66.4

a)

0.4772+0.1915=0.6687

0.6687*80=53.496 o 53 muestras

b)

0.5-0.4962=0.0038 0.0038*80=0.304 o cero

500 esferas tienen un peso medio de 5.02 gramos y una desviacin estndar de 0.30 g. Hallar la probabilidad de que una muestra al azar de 100 esferas de ese conjunto tengan un peso total a) entre 496 y 500 g y b) ms de 510g

a) El peso total estara entre 496 y 500 si el peso medio de las 100 bolas est entre 4.96 y 5 g

*Entre z a z se restan

*Entre +z a +z se restan

*Si la variable es = a la media, se suma 0.5

0.4871-0.2704=0.2167

b) El peso total exceder los 510g si el peso medio de las 100 bolas excede 5.10 g

0.5-0.4986=0.0014

Distribucin de muestreo de proporciones

Supongamos que una poblacin es infinita y que la probabilidad de ocurrencia de un suceso (su xito) es p, mientras la probabilidad de que no ocurra es q=1-p. Por ejemplo una poblacin puede ser todos los posibles lanzamientos de una moneda, en la que la probabilidad de xito es . Consideremos todas las posibles muestras de tamao n de tal poblacin, y para cada una de ellas determinaremos la proporcin de xitos P. En el caso de una moneda, P sera la proporcin de soles en n tiradas. Obtenemos as una distribucin de muestreo de proporciones cuya media y cuya desviacin tpica vienen dadas por

Ecuacin 3 Formulas de media y desviacin estndar de distribucin de muestreo de proporciones con muestreo con reposicin

Esta frmula es vlida para poblaciones finitas realizadas con muestreo con reposicin. Para poblaciones finitas con muestreo sin reposicin se usa:Y

Ecuacin 4 Formulas de media y desviacin estndar de distribucin de muestreo de proporciones sin muestreo con reposicin

Cada persona de un grupo de 500 lanza una moneda 120 veces. Cuntas personas se espera que a) Saquen entre 40% y 60% de soles y b) 5/8 de sus lanzamientos o ms de soles

Como la proporcin es una variable discreta, hay que hacer una correccin, si la variable es menor a la media se resta y si la variable es mayor o igual a la media se suma

0.4857+0.4857=0.9714

500*0.9714=489 muestras

b)

0.4977

0.5-0.4977=0.0023 500*0.0023= 1 personas.

Se ha encontrado que el 2% de las piezas fabricadas en una cierta mquina son defectuosas Cul es la probabilidad de que en un envo de 400 piezas a) el 3% o ms b)2% o menos, sean defectuosas?

a)

1/2N=1/800=0.0012

0.5-0.3944=0.1056

b)

0.5+0.0714=0.5714

Distribucin de muestreo de diferencias y sumas

Sean dadas dos poblaciones. Para cada muestra de tamao n1 de la primera, calculamos un estadstico S1; eso da una distribucin de muestreo para S1, cuya media y desviacin estndar denotaremos por s1 y s1. Del mismo modo, para cada muestra de tamao n2 de la segunda poblacin, calculamos un estadstico S2; eso nos da un distribucin de muestreo para S2 cuya media y desviacin estndar denotaremos con s2 y s2. Si tenemos medias mustrales de ambas poblaciones, la distribucin de muestreo de las diferencias de medias viene dada para poblaciones infinitas o con muestreo con reposicin con medias y desviaciones estndar por:

Ecuacin 5 Formulas de media y desviacin estndar de distribucin de muestreo de diferencias de medias.

Se puede usar la misma frmula para poblaciones finitas o muestreo sin reposicin.

Para suma se utiliza:

Ecuacin 6 Formulas de mZedia y desviacin estndar de distribucin de muestreo de sumas de medias.

En caso que se hablen de proporciones se usa:

Ecuacin 7 Formulas de media y desviacin estndar de distribucin de muestreo de diferencias de proporciones.

Ejemplo:

Las bolas de rodamientos de cierto fabricante pesan 0.50 g de media, con desviacin ESTANDR de 0.02 g. Cul es la probabilidad de que dos lotes de 1000 bolas cada uno difieran en peso en m