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ANTOLOGIA PARA LA MATERIA DE ESTADISTICA II
Contenido
Unidad I Inferencia estadstica o inductiva4
Introduccin4
Campos de aplicacin4
Unidad II Teora elemental del muestreo4
Distribuciones de muestreo5
Distribucin de muestreo de medias5
Distribucin de muestreo de proporciones7
Distribucin de muestreo de diferencias y sumas9
Unidad III Teora de la estimacin estadstica10
Estimaciones sin sesgo10
Estimaciones de intervalo de confianza para parmetros de poblacin10
Intervalo de confianza para las medias.11
Intervalos de confianza para proporciones.11
Intervalos de confianza para diferencias y sumas12
Unidad IV Teora estadstica de las decisiones13
Hiptesis Nula:13
Hiptesis Alternativa:13
Contraste de hiptesis y significacin o reglas de decisin13
Errores de tipo I y de tipo II14
Nivel de significacin14
Contrastes mediante la distribucin normal14
Contrastes de una y dos colas15
Curvas de operacin caractersticas, potencia de un contraste16
Unidad V Test de Ji-Cuadrada16
Definicin de 216
El test de 2 para la bondad de ajuste16
Tablas de contingencia16
Unidad VI Ajuste de curvas y el mtodo de mnimo cuadrados18
Ajuste de curvas18
El mtodo de mnimos cuadrados19
Recta de mnimos cuadrados19
Parbola de mnimos cuadrados20
Unidad VII Teora de la correlacin21
Correlacin y regresin21
Correlacin lineal21
La recta de regresin de mnimos cuadrados22
Unidad VIII Anlisis de varianza23
Experimentos de factor nico23
Variacin total, variacin dentro de los tratamientos y variacin entre tratamientos24
Unidad I Inferencia estadstica o inductiva
Introduccin
Comprende aquellas tcnicas por medio de las cuales se toman decisiones sobre una poblacin estadstica basadas en una muestra o en juicios de los administradores. Debido a que esas decisiones se toman en condiciones de incertidumbre, se requiere el uso de conceptos de probabilidad. Considerando que las caractersticas medidas en una muestra se denominan estadsticas mustrales, las caractersticas medidas en una poblacin estadstica o universo, se llaman parmetros poblacionales.
Ningn mtodo estadstico puede corregir los defectos por una inadecuada seleccin del problema que se investiga, o por una mala recoleccin de datos. Una investigacin que empieza mal, con seguridad termina mal.
Con datos de mala calidad no ser posible dar una respuesta adecuada a un problema cientfico.
Campos de aplicacin
La inferencia estadstica es ampliamente utilizada en diversas reas, a continuacin se mencionan unas pocas.
En las ciencias naturales: se emplea en la descripcin de modelos termodinmicos complejos (mecnica estadstica), en fsica cuntica, en mecnica de fluidos o en la teora cintica de los gases, entre otros muchos campos.
En las ciencias sociales y econmicas: es un pilar bsico del desarrollo de la demografa y la sociologa aplicada.
En economa: suministra los valores que ayudan a descubrir interrelaciones entre
mltiples parmetros macro y microeconmicos.
En las ciencias mdicas: permite establecer pautas sobre la evolucin de las enfermedades y los enfermos, los ndices de mortalidad asociados a procesos morbosos, el grado de eficacia de un medicamento, etctera.
Entre otras.
Unidad II Teora elemental del muestreo
La teora del muestreo estudia la relacin entre una poblacin y las muestras tomadas de ella. Es de gran utilidad en muchos campos. Por ejemplo para estimar magnitudes desconocidas de una poblacin, tales como media y varianza, llamadas a menudo parmetros, a partir del conocimiento de esas magnitudes sobre muestras, que se llaman estadsticos. Tambin es til para determinar si las diferencias observadas entre 2 muestras son debidas a variaciones fortuitas o si son realmente significativas. Por ejemplo cuando se estudia el resultado de una medicina como tratamiento de cierta enfermad, o al decidir si un proceso de produccin es mejor que otro.
Distribuciones de muestreo
Si consideramos todas las posibles muestras de tamao n en una poblacin, para cada muestra podemos calcular un estadstico (como la media o desviacin estndar) que variara de muestra a muestra. De esta manera obtenemos una distribucin de muestreo. Tenemos diferentes tipos de distribucin de muestreo que ms adelante veremos.
Distribucin de muestreo de medias
Supongamos que se toman todas las posibles muestras de tamao n, sin reposicin de una poblacin finita de tamao N. Si denotamos la media y la desviacin estndar de la distribucin de muestreo de medias por y las de la poblacin , respectivamente entonces
Ecuacin 1 Formulas de media y desviacin estndar de distribucin de muestreo de medias con poblacin finita o sin reposicin
Donde:
N es el tamao de la poblacin
n es el tamao de la muestra
Si la poblacin es infinita o si el muestreo es con reposicin, los resultados anteriores se reducen a
Ecuacin 2 Formulas de media y desviacin estndar de distribucin de muestreo de medias con poblacin infinita o con reposicin
Por ejemplo:
Las alturas de 3000 estudiantes varones de una universidad estn normalmente distribuidos con media 68 pulgadas y una desviacin estndar de 3 pulgadas. Si se toman 80 muestras de 25 estudiantes cada una. Cules sern la media y la desviacin estndar esperadas de la resultante distribucin de muestreo de medias, si el muestre se hizo a) con reposicin y b) sin reposicin.
a)
b)
Como la diferencia es menor se considera para efectos prcticos la misma que en muestre con reposicin.
En cuntas muestras esperaramos encontrar una media de a) 66.8 y 68.3 pulgadas y b) menor que 66.4
a)
0.4772+0.1915=0.6687
0.6687*80=53.496 o 53 muestras
b)
0.5-0.4962=0.0038 0.0038*80=0.304 o cero
500 esferas tienen un peso medio de 5.02 gramos y una desviacin estndar de 0.30 g. Hallar la probabilidad de que una muestra al azar de 100 esferas de ese conjunto tengan un peso total a) entre 496 y 500 g y b) ms de 510g
a) El peso total estara entre 496 y 500 si el peso medio de las 100 bolas est entre 4.96 y 5 g
*Entre z a z se restan
*Entre +z a +z se restan
*Si la variable es = a la media, se suma 0.5
0.4871-0.2704=0.2167
b) El peso total exceder los 510g si el peso medio de las 100 bolas excede 5.10 g
0.5-0.4986=0.0014
Distribucin de muestreo de proporciones
Supongamos que una poblacin es infinita y que la probabilidad de ocurrencia de un suceso (su xito) es p, mientras la probabilidad de que no ocurra es q=1-p. Por ejemplo una poblacin puede ser todos los posibles lanzamientos de una moneda, en la que la probabilidad de xito es . Consideremos todas las posibles muestras de tamao n de tal poblacin, y para cada una de ellas determinaremos la proporcin de xitos P. En el caso de una moneda, P sera la proporcin de soles en n tiradas. Obtenemos as una distribucin de muestreo de proporciones cuya media y cuya desviacin tpica vienen dadas por
Ecuacin 3 Formulas de media y desviacin estndar de distribucin de muestreo de proporciones con muestreo con reposicin
Esta frmula es vlida para poblaciones finitas realizadas con muestreo con reposicin. Para poblaciones finitas con muestreo sin reposicin se usa:Y
Ecuacin 4 Formulas de media y desviacin estndar de distribucin de muestreo de proporciones sin muestreo con reposicin
Cada persona de un grupo de 500 lanza una moneda 120 veces. Cuntas personas se espera que a) Saquen entre 40% y 60% de soles y b) 5/8 de sus lanzamientos o ms de soles
Como la proporcin es una variable discreta, hay que hacer una correccin, si la variable es menor a la media se resta y si la variable es mayor o igual a la media se suma
0.4857+0.4857=0.9714
500*0.9714=489 muestras
b)
0.4977
0.5-0.4977=0.0023 500*0.0023= 1 personas.
Se ha encontrado que el 2% de las piezas fabricadas en una cierta mquina son defectuosas Cul es la probabilidad de que en un envo de 400 piezas a) el 3% o ms b)2% o menos, sean defectuosas?
a)
1/2N=1/800=0.0012
0.5-0.3944=0.1056
b)
0.5+0.0714=0.5714
Distribucin de muestreo de diferencias y sumas
Sean dadas dos poblaciones. Para cada muestra de tamao n1 de la primera, calculamos un estadstico S1; eso da una distribucin de muestreo para S1, cuya media y desviacin estndar denotaremos por s1 y s1. Del mismo modo, para cada muestra de tamao n2 de la segunda poblacin, calculamos un estadstico S2; eso nos da un distribucin de muestreo para S2 cuya media y desviacin estndar denotaremos con s2 y s2. Si tenemos medias mustrales de ambas poblaciones, la distribucin de muestreo de las diferencias de medias viene dada para poblaciones infinitas o con muestreo con reposicin con medias y desviaciones estndar por:
Ecuacin 5 Formulas de media y desviacin estndar de distribucin de muestreo de diferencias de medias.
Se puede usar la misma frmula para poblaciones finitas o muestreo sin reposicin.
Para suma se utiliza:
Ecuacin 6 Formulas de mZedia y desviacin estndar de distribucin de muestreo de sumas de medias.
En caso que se hablen de proporciones se usa:
Ecuacin 7 Formulas de media y desviacin estndar de distribucin de muestreo de diferencias de proporciones.
Ejemplo:
Las bolas de rodamientos de cierto fabricante pesan 0.50 g de media, con desviacin ESTANDR de 0.02 g. Cul es la probabilidad de que dos lotes de 1000 bolas cada uno difieran en peso en m