Isolanti , Semiconduttri e Metalli

I materiali per applicazioni elettriche/elettroniche sono generalmente classificati rispetto al valore della loro resistività ρ[Ω⋅cm] (o conducibilità σ [S/cm] ):

ρ <10−3Conduttori

105 < ρ < 10−3Semiconduttori

105 < ρIsolanti

Resistività (Ω⋅cm)Materiale

La resistività o la conducibilità sono parametri che descrivono globalmente le caratteristiche del processo di conduzione elettrica del materiale considerato. La resistenza (R) di un determinato materiale può essere espressa come:

8 atomi

a / 2( 2.71 Å

) a ( 5.43 Å )

≈ 5⋅1022

[atomi/cm3]

Consideriamo, ad esempio, la configurazione elettronica del silicio: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2

Che dispone di 14 elettroni di cui 8 formano l’ottetto fondamentale.

;dIdVR;

SLR =⋅ρ=

Dove ρ è la resistività, L è la lunghezza del materiale ed S è la sua sezione.

La Banda Proibita (Energy Gap)

Ener

gia

E

d0 d

EG

2N elettroni (p) 6N stati

2N elettroni (s) 2N stati

Atomi isolati

Livelli energeticidelle cortecce piùinterne dell’atomo

4N elettroni 4N stati banda di valenza

0 elettroni (a T=0 K) 4N stati banda di conduzione

metallo isolante

semiconduttore

Ogni materiale può essere classificato in una delle 3 categorie seguenti sulla base della disposizione dei livelli EC, EV

Configurazione degli stati di energia per il C, Si, Ge relativamente ai 4 elettroni di valenza in funzione della spaziatura interatomica.

≈ 9eV per SiO2

Banda di conduzione

Banda di valenza

elettroni

lacune

isolante semiconduttore metallo

EF (livello di Fermi)

EC

EV

EC

EV

EG

EG

EV

EC

La Funzione di Fermi-Dirac

La funzione di distribuzione di Fermi-Dirac f(E) indica la probabilità che un elettrone occupi un certo stato elettronico avente energia E.

Tk)E-(E F

e1

1(E)⋅+

=f k=costante di Boltzmann [eV/K]

T=temperatura assoluta in [K]

E=livello di Fermi [eV]

Banda di Conduzione

Banda di Valenza

0 0.5 1

E

EC

EF

EV

f(E)

E E

N(E) ρ(E)

+++++

- - - - -

f (E)

EEF0

0.5

1

300 K

200 K

0 K

;N(E)dE(E)n;N(E)dE(E)nVE

0EV

CEEC ∫∫

=

∞

=

⋅=⋅= ff

Semiconduttori utilizati: Si, Ge, GaAs, InP, SiGe, AlGaAs.

Elementi tetravalenti (4 elettroni di valenza)

Se non sono introdotte impurezze si parla di Semiconduttori Intrinseci

Se sono introdotte impurezze (atomi pentaventi o trivalenti) si parla di Semiconduttori estrinseci

+4 +4

+4 +4

LEGAMI

COVALENTI

ATOMI DI SILICIO

SemiconduttoriLa maggior parte dei dispositivi elettronici sfrutta le proprietà delle giunzioni o tra materiali semiconduttori differenti, oppure tra metallo e semiconduttore.

Lo studio di tali dispositivi richiede perciò la conoscenza delle proprietà chimiche, fisiche , termiche ed elettriche dei diversi tipi di semiconduttori.

La moderna tecnologia elettronica utilizza un numero di materiali semiconduttori “semplici”, cioè costituiti da un’unica specie atomica, e/o “composti “ cioè costituiti da più specie atomiche.

4 atomi di silicio (C, Ge) ed i corrispondenti 4 legami covalenti

I semicondutori sono caratterizzati da una banda di energia proibita (energy gap), espressa in eV e per i tre materiali piùstudiati si hanno i seguenti valori:

Ge: 0,7 eV

Si: 1,12 eV

GaAs: 1,43 eV

Evuoto

Econduzione

EF

Evalenza

Energy gap

q·χ

q·φS

La banda di energia proibita è posizionata sotto il livello di vuoto.

AffinitàElettronica

q·φS è chiamata Funzione lavoro

DopingIntroducendo in un semiconduttore intrinseco quantità anche piccole di impurezze, se ne cambiano in modo radicale le caratteristiche, a cominciare da quelle di conduzione.

Aggiungendo atomi di tipo pentavalente (P, As, Sb) alcuni atomi del reticolo sono sostituiti dalla nuova specie atomica che satura i quattro legami covalenti dell’atomo sostituito, ma ha ancora un quinto elettrone a disposizione. Tale elettrone risulta poco legato al reticolo e può facilmente “liberarsi ” per effetto della temperatura e partecipare al processo di conduzione.

Se gli atomi droganti aumentano il numero di elettroni liberi sidefiniscono donori.

In termini di bande di energia l’introduzione dei donori corrisponde ad inserire all’interno dell’energy gap, un livello vicino alla banda di conduzione dal quale gli elettroni possono facilmente “saltare” nella banda di conduzione stessa e partecipare ai processi di conduzione elettrica del cristallo ospite, in tale situazione si parla di drogaggio di tipo n

Donori

45 meV

L’aggiunta al semiconduttore intriseco tetravalente di impurezze di tipo trivalente (B, In, Al), produce la sostituzione nel reticolo del cristallo ospite di alcuni atomi con quelli della nuova specie atomica che non è in grado però di saturare tutti e quattro i legami covalenti disponibili. Si vengono a creare così dei legami covalenti non saturati “lacune”. Il meccanismo con cui le lacune migrano è il seguente: un elettrone può abbandonare il legame covalente e occupare la lacuna di un atomo vicino generando in tal modo una lacuna nell’atomo di origine. Il risultato è una lacuna che si muove in verso opposto all’elettrone che salta da un legame all’altro.

Se gli atomi droganti aumentano il numero di lacune libere si definiscono Accettori.

In termini di bande di energia l’introduzione degli accettori corrisponde ad inserire all’interno dell’energy gap, un livello vicino alla banda di valenza dal quale gli elettroni possono facilmente “saltare” nella banda di valenza stessa e partecipare ai processi di conduzione elettrica del cristallo ospite, in tale situazione si parla di drogaggio di tipo p

accettori

45 meV

Aggiungendo ad un semiconduttore intrinseco impurezze di tipo “n” si facilita la ricombinazione delle lacune generate termicamente, diminuendone il numero. Lo stesso vale per gli elettroni se si introducono impurezze di tipo “p”.

Si dimostra che in un semiconduttore drogato, in condizioni di equilibrio termico, il prodotto tra la concentrazione di elettroni e la concentrazione di lacune, (in assenza di tensione applicata) è una costante.

asecrinintioneconcentraznpn 2i ==⋅

Legge dell’Azione di Massa

Per il Si (300 K) ni2@2.25 1020 cm-6

aggioranzamdiPortatoriNnnNn

Dn

iDn

≈+=

Applicando la legge dell’azione di massa:

inoranzamdiPortatoriNnpnpN

D

2i

n2inD ≈⇒≈⋅

Densità di Carica in un Semiconduttore

Per un semiconduttore sia drogato di tipo p che di tipo n vale la seguente relazione detta anche della neutralità della carica:

Se il semiconduttore è drogato con una concentrazione di atomi donoripari a ND [atomi/cm3] . Risulta:

In modo analogo se il semiconduttore è drogato con una concentrazione di atomi accettori pari a NA [atomi/cm3] . Risulta:

inoranzamdiPortatoriNnn

A

2i

p ≈

aggioranzamdiPortatoriNp

nNp

Ap

iAp

≈

+=

A DN n N p+ = +

Banda di Conduzione

Banda di Valenza

0 0.5 1

E

ECEF

EV

f(E)

E E

N(E) ρ(E)

Banda di Conduzione

Banda di Valenza

0 0.5 1

E

EC

EFEV

f(E)

E E

N(E) ρ(E)

- - -

+++++++

+ + +

- - - - - - -

Modello a Dualità di Carica

•Dato un semiconduttore sottoposto ad una d.d.p., la corrente I misurata èdovuta sia ad un flusso di cariche positive che procedono con velocità di trasporto up diretta nel verso del campo elettrico, sia ad un flusso di cariche negative che procedono con velocità un diretta in verso opposto.

•Le velocità sono da intendersi velocità medie.

•Le cariche negative (elettroni) viaggiano con energie tipiche della banda di conduzione; le cariche positive (lacune) viaggiano con energie tipiche della banda di valenza.

Quindi, dato un campo elettrico Ē, le ūp ed ūn per quanto riguarda i versi sono quelle disegnate in figura 1, essendo la forza pari a:

un

up

E

J

EqF ⋅=

Densità di Corrente di drift in un Conduttore

Dove : J [A/m2] è la densità di corrente.

ρ [Q/cm3] è la densità di carica

A = d*w

N = Elettroni nella barra

L = Lunghezza del conduttore

T = tempo necessario ad un elettrone a percorrere il conduttore

N/T = numero di elettroni che attraversa la sezione S nell’unità di tempo

d

wL

I

uunqALNuq

AIJ

)LNu(q)

TN-(-qI

⋅ρ=⋅⋅=⋅⋅⋅==

⋅⋅=⋅=

In un conduttore gli elettroni si muovono in modo casuale.

La direzione del loro moto varia ad ogni collisione con gli ioni del reticolo cristallino.(La distanza media percorsa tra due urti successivi è denominata libero cammino medio). Il moto casuale degli elettroni determina mediamente una corrente nulla .

Applicando a un conduttore un campo elettrico Ē [V/cm]. la situazione varia: si ottiene una corrente di drift non nulla.

In modo sperimentale può essere rilevata la relazione tra campo elettrico Ē e la velocità media degli elettroni ū [m/s].

Eu ⋅µ= µµµµ

====

mobilità

Mobilità

Densità di Corrente in un Semiconduttore

La densità di corrente J [A/m2] può essere espressa come:

-ρm è la densità di carica [Q/cm3], u è la velocità [m/s], σ è la conducibilità ed Ε il campo elettrico [V/cm].

Indicando con p la concentrazione di carica positiva [cm-3] e con n la concentrazione di carica negativa [cm-3], si ha:

(per le lacune) (per gli elettroni)

uJ m ⋅ρ=

EuEu

EuEu

:doconsideranEEunqJ

EEupqJ

unqJupqJ

nqpq

nnnn

pppp

nnpp

nnpp

mm

−=µ⇒⋅µ−==µ⇒⋅µ=

⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅+=

⋅⋅−=⋅⋅+=

⋅=ρ⋅=ρ

elettronilacune

lidegitàconducibilnqdelleitàconducibilpqodefinisconSi

EnqJEpqJ

nnpp

nnpp

µ⋅⋅=σµ⋅⋅=σ

⋅µ⋅⋅=⋅µ⋅⋅=

:

ūp medesima direzione e medesimo verso di Ē µp positivo

ūn medesima direzione e verso opposto di Ē µn positivo

Si può anche definire una conducibilità totale: )n(pq nptot µ⋅+µ⋅⋅=σ

Si può esplicitare la densità di corrente J come: EJ tot ⋅σ=

La conducibilità (σ) dipende dal numero di elettroni in banda di conduzione e dalle lacune in banda di valenza

Il numero di elettroni in banda di conduzione dipende da Eg e T ma anche dall’energia assorbita dal materiale (termica, radiazione,….)

- Nei semiconduttori in generale σ aumenta con la T.

- Nei metalli, assunto in prima approssimazione R=R0(1+α T), σ cresce al diminuire della T.

Se si considera una barra di semiconduttore a cui venga applicata una d.d.p., la distribuzione di tale potenziale risulta lineare e come consegunza la densità di carica risulta nulla, cioè la densità delle cariche mobili è bilanciata da quelle fisse.

Infatti dall’Equazione di Poisson

Risulta che, se V ha andamento lineare lungo la barra, allora: ρ ≡ 0.

V0

2Vε⋅ε

ρ−=∇

Aspetti Fenomenologici nei Semiconduttori

Diffusione

•L’effetto diffusivo, in assenza di forze che lo contrastino, produce un flusso di particelle in direzione ortogonale alla superficie di eguale concentrazione delle particelle stesse.

•Tale flusso procede dalle alte alle basse concentrazioni e con intensitàlegata al livello del gradiente.

•Indicando con φp e con φn le densità di flusso rispettivamente di lacune e di elettroni si può scrivere che:

(p)Dpp grad⋅−=φ (n)Dnn grad⋅−=φ

p

2p

p

LD

τ=

n

2n

nL

Dτ

=Coefficienti di diffusione

[ ] [ ]

==sec

cmDD

2

np

Ln e Lp lunghezze medie di diffusione.τn e τp tempi medi tra urti per elettroni e lacune

pp qTKD µ⋅= nn q

TKD µ⋅=

Legame tra coefficienti di diffusione e mobilità relazione di Einstein

Valori tipici per T = 300°K del coefficiente di diffusione per elettroni e lacune del Si e del Ge

Dn = 35 cm2/sec(Si) Dn = 100 cm2/sec(Ge)Dp = 13 cm2/sec(Si) Dp = 50 cm2/sec(Ge)

Valori tipici per T = 300°K del coefficiente di diffusione per elettroni e lacune del Si e del Ge

Dn = 35 cm2/sec(Si) Dn = 100 cm2/sec(Ge)Dp = 13 cm2/sec(Si) Dp = 50 cm2/sec(Ge)

Corrente di diffusione:

Moltiplicando i flussi φn e φp per la carica degli elettroni e delle lacune si ottengono le densità di corrente Jn e Jp:

( )pDqJ pp grad⋅⋅−= ( )nDqJ nn grad⋅⋅=

Assumendo il gradiente nullo nelle direzione degli assi y e z si potrà scrivere:

xd(x)pd

DqJ pp ⋅⋅−=xd(x)nd

DqJ nn ⋅⋅=

x

p Jp , φp

φp , Jp

n

x

Jn

φn

φn

Jn

T è la temperatura assoluta e K è la costante di Boltzman (1,35⋅10-23 [J/h]).

Inoltre valgono le seguenti relazioni:

Volt600.11TV

DDT

n

n

p

p ==µ

=µ

Equazioni del Trasporto

• Gli effetti elettrico e diffusivo coesistono in un semiconduttore.

• La legge che descrive il movimento delle cariche è la combinazione dei due termini, uno di drift, dipendente dal campo, l’altro di diffusione , dipendente dal gradiente di concentrazione.

( )

( )

⋅⋅+⋅µ⋅⋅=

⋅⋅−⋅µ⋅⋅=

xdxndDqEnqJ

xdxpd

DqEpqJ

nnn

ppp

DRIFT DIFFUSIONE

nptot JJJ +=

Legge di Boltzmann

• Si considera il caso di un semiconduttore in lui la concentrazione delle lacune varia con x:

T

21

T

21

2

1

2

1

VV

21

VV

21

2

1T21

V

VT

p

p

Th

hhh

enn

:ottienesielettroniglierpanalogomodoinepp

:ottienesicuidapp

VV

dVV1

pdp

VdVdV

Dpdp

dxdpDq

dxdVqp

−

⋅=

⋅=

⋅=

−=

−=µ

−=⇒⋅−=µ⋅⋅

∫∫

BoltzmanndiRelazione

log

;

p1 p2

x1 x2

;II diffusionedrift =

==

⋅µ=

K300mV25q

KTV

VD

T

Thh

/

Equazione di Continuità

Bilancio di conservazione dei portatori di carica.

V

S

Il numero totale di lacune P nel volume dato può essere espresso come segue:

∫ ⋅=V

VdpP

Dove p è la densità di lacune.

La variazione di P nel tempo è data da:

∫ ⋅=V

dVpdtd

dtPd

Tale variazione può essere dovuta ad un flusso uscente o entrante, di cariche più una variazione, nel processo di generazione-ricombinazione.

Sia allora:

G = n° di coppie generate nell’unità di volume e nell’unità di tempo

R = n° di coppie che si ricombinano nell’unità di volume e nell’unità di tempo

ā = versore normale ad S

allora si può scrivere:

( ) ∫∫∫ ⋅•φ−⋅−=⋅S

pVV

dSadVRGdVpdtd

( ) ( )∫∫∫ ⋅−=⋅−+⋅V

pVV

dVJq1dVGRdVp div

dtd

Si consideri un volume V, delimitato dalla superficie S, contenente lacune con densità p.

qJ pp =φdove

( ) 0dVJq1GRp

Vp =⋅

⋅+−+∫ div)(dtd ( ) 0J

q1GRp

p =⋅+−+ div)(dtd

Ora si ponga: GGG th ′+=

GGRGR th ′−−=−

thGRU −=

GUGR ′−=−

Quindi:

Gth coppie generate per effetto termico.G’ coppie generate per altri effetti.

Ponendo inoltre:

Si ottiene:

( )

( )

′=⋅−+∂∂

′=⋅++∂∂

GJq1U

tn

GJq1U

tp

n

p

div

divQuindi:

( ) caricadidensitàn)(pρ:dove0Jρ =⋅−+⋅==+∂∂ qqdiv

t

Che esprimono la condizione di continuità nell’ipotesi considerate.

Moltiplicando per q l’equazione relativa alle lacune, per –q l’equazione relativa agli elettroni e sommando le due equazioni ottenute si ottiene:

U Variazione della concentrazione delle coppie non considerando l’effetto termico

Gradiente del Potenziale

Considerando la differenza di potenziale tra due punti distanti dl

dy

z

y

x

dz

dx

dl

)zEyExE()zzyyxx(E

lEV

zy x000 dddddd

dd

⋅+⋅+⋅−=⋅+⋅+⋅•−=

•−=

zz

Vy

yV

xx

V V zy

x dddd ⋅

∂∂

+⋅∂

∂+⋅

∂∂

=

V è funzione di x, y, z per cui il differenziale totale risulta:

Confrontando le due espressioni:

zV

E;y

VE;

xV

- E zz

yy

xx ∂

∂−=

∂∂

−=∂

∂=

Da cui si ottiene:

V- E

zzVy

yVx

xV- E 00 0

grad=

⋅∂∂+⋅

∂∂+⋅

∂∂=

ερ−=∇ V2

Equazione di PoissonConsiderando la permettività costante la legge di Gauss in forma differenziale è espressa dalla:

r0

Eε⋅ε

ρ=div

Introducendo l’espressione del gradiente di potenziale nella legge di Gauss:

⇒

ε⋅ερ−=

∂∂+

∂∂+

∂∂

⇒

ε⋅ερ−=

r02

2

2

2

2

2

r0 yV

yV

xV)V(graddiv

( ) totalecaricadidensitànpNNq AD −+−⋅=ρ

( )( )

⋅⋅+⋅µ⋅⋅=⋅⋅−⋅µ⋅⋅=

nDqEnqJpDqEpqJ

nnn

ppp

gradgrad

( )

( )

′=⋅−+∂∂

′=⋅++∂∂

GJq1U

tn

GJq1U

tp

n

p

div

div

r0

2Vε⋅ε

ρ−=∇

( )VE grad−=

( )npNNq AD −+−⋅=ρ

Formiamo il quadro completo delle equazioni in grado di determinare il comportamento dei dispositivi, almeno fino a quando i campi elettrici consentono di restare in un sistema di riferimento governato dalla linearità.

Ricapitolazione

Trasporto:

Continuità:

Poisson:

Quasi stazionarietà:

Densità di carica totale