Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

108
Γ.Ζ. TO ΠΡΩΤΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ ΠΟΥ ΚΥΚΛΟΦΟΡΗΣΕ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ FREEWARE Ver.1.0.4 Πειραιάς 1996

description

It is the first ever electronic book published in floppy disk by PC journal at 1990-1993 in Greece.It is freeware. It is in Greek.If you publish part of it you should mention your source.

Transcript of Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Page 1: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Γ.Ζ.

TO ΠΡΩΤΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ

ΠΟΥ ΚΥΚΛΟΦΟΡΗΣΕ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ

FREEWARE

Ver.1.0.4

Πειραιάς 1996

Page 2: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Εισαγωγή Ο λόγος που έγραψα αυτές τις σημειώσεις ήταν για να «αντικαταστήσω» τις πάλαι ποτέ

Σημειώσεις Φυσικής του Δρ. Καίσαρα Αλεξόπουλου, Καθηγητή της Φυσικής στο Πανεπιστήμιο Αθήνας, οι οποίες μέχρι την ώρα που τελείωσα το γράψιμο κυκλοφορούσαν στην αγορά χωρίς «αντίπαλο», για τη προετοιμασία των υποψηφίων των Πανελληνίων εξετάσεων στο μάθημα της Φυσικής.

Οι παρούσες σημειώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε ένα εξαμηνιαίο μάθημα “Εισαγωγή στη Φυσική” για Ανώτατα Εκπαιδευτικα Ιδρύματα και διανεμήθηκαν για πρώτη φορά σε δισκέτα υπό μορφή αρχείου pdf απο την εταιρεία Compulink, μια απο τις πρώτες εταιρείες που έβγαλαν περιοδικό με θέμα τα PC στην Ελλάδα.

Οι σημειώσεις αυτές συνιστώνται επίσης ως συμπλήρωμα τών βιβλίων Φυσικής τού

Λυκείου καί απευθύνονται σέ όσους έχουν όρεξη να καταλάβουν βαθύτερα κάποια από τά αντικείμενα πού εκεί διδάσκονται, χρησιμοποιώντας μαθηματικά του Πανεπιστημίου.

Το πρώτο κεφάλαιο περιέχει μιά σύντομη καί όχι αυστηρή παρουσίαση κάποιων ανώτερων

μαθηματικών. Αυτά τα μαθηματικά, δοσμένα με αυτό τον τρόπο, είναι απαραίτητα γιά την ευκολότερη κατανόηση καί αυστηρότερη θεμελίωση τών υπολοίπων κεφαλαίων καί ταυτόχρονα επιδεικνύουν τή χρήση τών μαθηματικών ώς εργαλείο τής Φυσικής.

Η σειρά παρουσίασης τής ύλης παρουσιάζει εν γνώσει μου προβλήματα και ελπίζω κάποτε

να προσθέσω και άλλα κεφάλαια. Οσον αφορά τίς ασκήσεις δέν είναι ό,τι καλύτερο μπορούσα να κάνω και χρειάζονται λίγη δουλειά ακόμη.

Εύχομαι κάποιοι νά βρούν χρήσιμα τά περιεχόμενα αυτών τών σημειώσεων. Θεωρώ

δεδομένο ότι οι σημειώσεις αυτές με την ταχύτητα που εγράφησαν έχουν ακόμη σφάλματα. Οποιος έχει κέφι ας μου στείλει διορθώσεις. Αν πιάσω να τις κάνω μόνος μου τότε θα πρέπει να γράψω ενα νέο βιβλίο και δεν έχω χρόνο για κάτι τέτοιο.

Γ. Ζ. Σημαντικό Οι σημειώσεις αυτές αποτελούν την νεότερη έκδοση του αρχείου ver.1.0.0, που

διανεμήθηκε σαν freeware μαζί με το περιοδικό της Compulink. Kατά σύμπτωση – και το επεδίωξα – αυτές οι σημειώσεις που έχετε μπροστά σας είναι το

πρώτο ηλεκτρονικό βιβλίο, που κυκλοφόρησε ποτέ στην Ελλάδα.

Page 3: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

0. Μαθηματικό Συμπλήρωμα

1. Διανύσματα στίς τρείς διαστάσεις

Εστω δύο διανύσματα zzyyxxr 1111 ++= και zzyyxxr 2222 ++= αναλυμένα σε ένα κοινό τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz.

Ορίζομε ως άθροισμα 21 rr + αυτών των δύο διανυσμάτων ένα νέο διάνυσμα r τέτοιο

ώστε: ( ) ( ) ( )zzzyyyxxxr 212121 +++++=

Ορίζουμε ως εσωτερικό γινόμενο αυτών των δύο

διανυσμάτων τη βαθμωτή ποσότητα (τον αριθμό):

p12p212121 rrrrcosrrrr ==≡⋅ Εύκολα αποδεικνύεται ότι : 21212121 zzyyxxrr ++=⋅ Ορίζουμε ως εξωτερικό διάνυσμα αυτών των δύο

διανυσμάτων ένα νέο άνυσμα 21 rrr ×≡ με μέτρο ίσο:

ϑ=× sinrrrr 2121 και κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα διανύσματα 1r

και 2r με φορά που εξηγείται στο σχήμα.

2. Παράγωγος βαθμωτής, διανυσματικής καί σύνθετης συνάρτησης Ορίζουμε ως παράγωγο )x(f ′ μιας συνάρτησης )x(f τη βαθμωτή ποσότητα:

x)x(f)xx(f

0xlim)x(f

Δ−Δ+

→Δ=′

Κατά αντιστοιχία ορίζουμε ως παράγωγο )t(r ′ μιας διανυσματικής συνάρτησης )t(r τη

διανυσματική ποσότητα (διάνυσμα):

t)t(r)tt(r

0tlim)t(r

Δ−Δ+

→Δ=′

Οι μεταβλητές x και t είναι πραγματικές. Στη συνέχεια αναφέρομε μερικές χρήσιμες ιδιότητες, που είναι παρόμοιες και για τα δύο

παραπάνω είδη συναρτήσεων. Εστω δύο βαθμωτές συναρτήσεις )x(f και )x(g , ένας πραγματικός αριθμός a, ένας

φυσικός αριθμός n, μία σταθερά c και c ένα σταθερό διάνυσμα. Εστω επίσης δύο ανυσματικές συναρτήσεις μίας μεταβλητής )t(r και )t(s .

Τότε αποδεικνύεται ότι:

r2r1

r = r x r1 2

Page 4: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

)x(g)x(f))x(g)x(f( ′+′=′+ ( )x1)xln( =′

)x(g)x(f)x(g)x(f))x(g)x(f( ′+′=′ ( ) 0c =′ καί ( ) 1nn nxx −=′

( )2)x(g)x(g)x(f)x(g)x(f

)x(g)x(f ′−′

=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ( ) xcosxsin =′ καί ( ) xsinxcos −=′

Αν )x(ff = και )t(xx = , τότε η παράγωγος )t(f ′ της σύνθετης συνάρτησης ))t(x(f ως

προς t δίνεται απο τη σχέση : )t(x)x(f)t(f ′′=′ Παρόμοια έχουμε ότι:

( ) )t(r)t(f)t(r)t(f)t(r)t(f ′+′=′ καί ( ) 0c =′

( ) )t(r)t(s)t(r)t(s)t(r)t(s ′⋅+⋅′=′⋅ καί ( ) )t(r)t(s)t(r)t(s)t(r)t(s ′×+×′=′× Αν )x(rr = και )t(xx = , τότε η παράγωγος ′r t( ) της σύνθετης συνάρτησης r x t( ( ))

ως προς t δίνεται απο τη σχέση : )t(x)x(r)t(r ′′=′

Αν z)t(zy)t(yx)t(x)t(r ++= τότε μέ παραγώγιση ως πρός τό χρόνο προκύπτει ότι :

z)t(zy)t(yx)t(x)t(r ′+′+′=′ Παραγωγίζοντας μιά ακόμη φορά προκύπτει ότι :

z)t(zy)t(yx)t(x)t(r ′′+′′+′′=′′ Παρατηρούμε βλέποντας τον ορισμό της παραγώγου διανυσματικής συνάρτησης

πραγματικής μεταβλητής ότι αν η διανυσματική συνάρτηση )t(r περιγράφει την εξίσωση κίνησης ενός υλικού σημείου (τη θέση ως συνάρτηση του χρόνου t) τότε η πρώτη παράγωγος

)t(r ′ είναι στη πραγματικότητα η ταχύτητα )t(v του κινητού, ενώ η δεύτερη παράγωγος )t(r ′′ είναι η επιτάχυνση )t(γ του κινητού. Ετσι, μπορούμε να γράψουμε :

z)t(vy)t(vx)t(vz)t(zy)t(yx)t(x)t(r)t(v zyx ++≡′+′+′=′≡

καί z)t(y)t(x)t(z)t(zy)t(yx)t(x)t(r)t( zyx γ+γ+γ≡′′+′′+′′=′′≡γ

3.. Διαφορικό βαθμωτής καί διανυσματικής συνάρτησης Ορίζουμε για λόγους απλούστευσης ως διαφορικό μιας συνάρτησης f(x) τη συνάρτηση

df(x), που ορίζεται απο τη σχέση :

[ ] ℜ∈∀′= h ,h)x(f)h()x(df Αλλά το διαφορικό της ταυτοτικής συνάρτησης dx είναι μία συνάρτηση που ορίζεται απο τη

σχέση : ℜ∈∀= h h)h(dx , οπότε μπορούμε να γράψουμε ότι ℜ∈∀h ισχύει ότι :

dx)x(f)x(df ′=

Page 5: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Σε αντιστοιχία με τον προηγούμενο ορισμό, ορίζουμε ως διαφορικό μιας διανυσματικής συνάρτησης r t( ) τη συνάρτηση )t(rd που δίνεται απο τη σχέση :

dt)t(r)t(rd ′=

Οι ιδιότητες των διαφορικών είναι παρόμοιες με εκείνες των παραγώγων. Ετσι, έχουμε :

)x(dg)x(df))x(g)x(f(d +=+ ( ) 0x ,dxx1)xln(d ⟩=

)x(dg)x(f)x(g)x(df))x(g)x(f(d += ( ) 0cd = καί ( ) dxxnxd 1nn −=

( )2)x(g)x(dg)x(f)x(g)x(df

)x(g)x(fd −

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ( ) dxxcosxsind = καί ( ) dxxsinxcosd −=

Παρόμοια έχουμε ότι: ( ) )t(rd)t(sd)t(r)t(sd +=+ καί ( ) )t(rd)t(f)t(r)t(df)t(r)t(fd += καί ( ) 0cd =

( ) )t(rd)t(s)t(r)t(sd)t(r)t(sd ⋅+⋅=⋅ καί ( ) )t(rd)t(s)t(r)t(sd)t(r)t(sd ×+×=×

4. Μερική παράγωγος καί διαφορικό βαθμωτής καί διανυσματικής συνάρτησης Εστω μια συνάρτηση f(x,y,z) περισσοτέρων της μιας μεταβλητών και μια διανυσματική

συνάρτηση )z,y,x(r περισσοτέρων της μιάς μεταβλητών (έστω τριών). Ορίζομε ως μερική παράγωγο της συνάρτησης f(x,y,z) ως προς x τη συνάρτηση:

xf

x)z,y,x(f

x)z,y,x(f)z,y,xx(f

0xlim)z,y,x(fx ∂

∂≡

∂∂

≡Δ

−Δ+→Δ

=′

Παρόμοια ορίζομε ως μερική παράγωγο της συνάρτησης )z,y,x(r ως προς x τη

συνάρτηση:

xr

x)z,y,x(r

x)z,y,x(r)z,y,xx(r

0xlim)z,y,x(rx ∂

∂≡

∂∂

≡Δ

−Δ+→Δ

=′

Οι ιδιότητες των μερικών παραγώγων είναι ίδιες με τις ιδιότητες των απλών παραγώγων

που αναφέρθηκαν σε προηγούμενες παραγράφους. Αποδεικνύεται ότι το διαφορικό της συνάρτησης f(x,y,z) και της διανυσματικής συνάρτησης

)z,y,x(r είναι συναρτήσεις που δίνονται απο τις σχέσεις:

dzzfdy

yfdx

xf)z,y,x(df

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

καί

dzzrdy

yrdx

xr)z,y,x(rd

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

5. Ολοκληρώματα (αόριστα)

Page 6: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης είναι μια συνάρτηση, η δε ολοκλήρωση μια πράξη αντίστροφη της παραγώγισης.

Ετσι, ισχύει η κάτωθι ισοδυναμία που αποτελεί και τον ορισμό του αορίσου ολοκληρώματος :

( ) c)x(g))x(g(ddx)x(gdxddx)x(g

dxd

dx)x(df)x(fdx)x(g)x(f +=====′⇔= ∫∫∫∫

όπου f(x), g(x) πραγματικές συναρτήσεις και c μια οποιαδήποτε πραγματική σταθερά.

Ετσι, έχουμε π.χ. ότι ∫ +−= cxcosdxxsin , cxlnx

dx+=∫ , κ.ο.κ.

Μερικές βασικές ιδιότητες των αορίστων ολοκληρωμάτων είναι: ∫ ∫= dx)x(fcdx)x(fc ( ) ∫ ∫∫ +=+ dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f

∫ ∫ ′−=′ dx)x(g)x(f)x(g)x(fdx)x(g)x(f [ ])x(fy

dy)y(gdx)x(f))x(f(g=∫ ∫=′

6. Ορισμένα ολοκληρώματα Στη συνέχεια θα δώσουμε έναν απλοποιημένο

ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος. Θεωρούμε μια συνάρτηση f(x) ορισμένη στο

διάστημα [a,b]. Ορίζουμε ως ορισμένο ολοκλήρωμα της f(x)

στο εν λόγω διάστημα το όριο Ω :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δξ∞→=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−ξ∞→≡Ω ∑∑

=−

=

n

1kkk1k

n

1kkk x)(fnlim)xx)((fnlim

το οποίο πρέπει να είναι ένας αριθμός μοναδικός και ανεξάρτητος της επιλογής των

υποδιαιρέσεων xk και ξk. Το ορισμένο ολοκήρωμα συμβολίζεται με ∫a

b

dx)x(f και αποτελεί το

εμβαδό της επιφάνειας του σχήματος, που περικλείεται απο τα σημεία a, b, c, και d δηλαδή μεταξύ της καμπύλης και του άξονα Ox.

Αποδεικνύεται ότι ισχύει:

∫ −=b

a

)a(g)b(gdx)x(f εφόσον ∫= dx)x(f)x(g

Η σχέση αυτή συσχετίζει ένα ωρισμένο με ένα αόριστο ολκλήρωμα μιάς συνάρτησης και

εφαρμόζεται και στην περίπτωση που τα άκρα ή όρια της ολοκλήρωσης (τα a και b) είναι τα ∞± . Στη περιπτωση αυτή το ωρισμένο ολκλήρωμα λέγεται γενικευμένο. Μερικές ιδιότητες των ορισμένων ολοκληρωμάτων είναι:

∫ ∫−=b

a

a

b

dx)x(fdx)x(f ∫ ∫=b

a

b

a

dx)x(fcdx)x(cf ( ) ∫ ∫∫ +=+b

a

b

a

b

a

dx)x(gdx)x(fdx)x(g)x(f

∫∫∫ +=b

c

c

a

b

a

dx)x(fdx)x(fdx)x(f όπου bca ⟨⟨ ,

Page 7: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

∫∫ ∫ ′==B

A

b

a

B

A

dt)t(x))t(x(fdtdtdx))t(x(fdx)x(f όπου )a(xA 1−= καί )b(xB 1−=

[ ] ∫∫ ′−−=′b

a

b

a

dx)x(f)x(g)a(g)a(f)b(g)b(fdx)x(g)x(f

7. Ολοκληρώματα διανυσματικών συναρτήσεων

Α. Εστω μιά διανυσματική συνάρτηση της μορφής : z)t(zy)t(yx)t(x)t(r ++=

Ο υπολογισμός ολοκληρωμάτων που περιέχουν διανυσματικές συναρτήσεις ανάγεται ατον υπολογισμό αοτίστων και ορισμένων ολοκληρωμάτων της προηγουμένης μορφής καθόσον :

∫ ∫ ∫ ∫++= dt)t(zzdt)t(yydt)t(xxdt)t(r

Ετσι, το αόριστο ολοκλήρωμα μιάς διανυσματικής συνάρτησης είναι μια άλλη διανυσματική

συνάρτηση, ενω το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας διανυσματικής συνάρτησης είναι ένα σταθερό διάνυσμα.

Β. Εστω μιά διανυσματική συνάρτηση τριών μεταβλητών της μορφής:

z)z,y,x(Fy)z,y,x(Fx)z,y,x(F)z,y,x(F)r(F Zyx ++== όπου z)t(zy)t(yx)t(xr ++= , δηλαδή το άκρο του διανύσματος )t(r είναι συνεχώς επι

μιας καμπύλης C στο τρισδιάστατο χώρο. Τότε θα ισχύει ότι :

( ) ( )

( )∫

∫∫

++=

=++⋅++=⋅

B

A

B

A

B

A

r

rzyx

r

rzyx

r

r

dzFdyFdxF

zdzydyxdxzFyFxFrdF

όπου zzyyxxr AAAA ++= και zzyyxxr BBBB ++= είναι τα όρια ολοκλήρωσης που στη περίπτωση αυτή είναι σταθερά διανύσματα.

Τότε:

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=⋅≡⋅ ∫∫∫B

A

B

A

t

tZyx

C

r

r

dtdtdzFdt

dtdyFdt

dtdxFrdFrdF

( )dt)t(z))t(z),t(y),t(x(F)t(y))t(z),t(y),t(x(F)t(x))t(z),t(y),t(x(FB

A

t

tzyx∫ ′+′+′=

όπου z)t(zy)t(yx)t(x)t(rr AAAAA ++== καί z)t(zy)t(yx)t(x)t(rr BBBBB ++== και το

ολοκλήρωμα επιλύεται δίνοντας ως αποτέλεσμα ένα αριθμό. Αν το άνυσμα )t(r διαγράφει μια κλειστή καμπύλη C ο αριθμός αυτός δεν είναι

απαραίτητα μηδέν. Στη περίπτωση όμως κατά την οποία η ποσότητα dzFdyFdxF Zyx ++ είναι τέλειο διαφορικό μιας συνάρτησης EΔΥΝ(x,y,z) τα πράγματα αλάζουν. Τότε θα ισχύει ότι:

dzz

Edy

yE

dxx

EdzFdyFdxFdE Zyx ∂

∂+

∂∂

+∂

∂=++= ΔΥΝΔΥΝΔΥΝ

ΔΥΝ

Ox

z

CrA

rB

Page 8: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

καί x

EFx ∂

∂= ΔΥΝ ,

yE

Fy ∂∂

= ΔΥΝ , z

EFz ∂

∂= ΔΥΝ

Ετσι,

( )

)z,y,x(E)z,y,x(E

)r(E)r(E)r(dE)z,y,x(dEdzFdyFdxFrdF

AAABBB

AB

r

r

r

r

r

rzyx

r

r

B

A

B

A

B

A

B

A

ΔΥΝΔΥΝ

ΔΥΝΔΥΝΔΥΝΔΥΝ

−=

=−===++=⋅ ∫∫∫∫

που σημαίνει ότι στη περίπτωση που το άνυσμα )t(r διαγράφει μια κλειστή καμπύλη C το

ολοκλήρωμα είναι μηδέν. Ενα κλειστό ολοκλήρωμα κατά μήκος μιας καμπύλης C συμβολίζεται με ∫ ⋅

C

rdF αντί

∫ ⋅A

A

r

r

rdF .

8. Διαφορικές εξισώσεις (ΔΕ) Διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση που περιέχει μια άγνωστη συνάρτηση και τις

παραγώγους της. Τέτοιες συναρτήσεις εμφανίζονται πολύ συχνά στη Φυσική και η επίλυσή τους δεν είναι πάντοτε εύκολη.

Επίλυση μιας ΔΕ είναι η εύρεση της άγνωστης συνάρτησης που επαληθεύει την εξίσωση. Στο Κεφάλαιο 5 πρόκειται να χρησιμοποιήσουμε μια ΔΕ της οποίας τη γενική λύση αναφέρουμε εδώ χωρίς να δίνουμε απόδειξη.

Αναφερόμαστε στην ΔΕ: )x(g)x(y)x(f)x(y =+′

της οποίας η γενική λύση είναι : ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= ∫ ∫∫− dxe)x(gce)x(y

dx)x(fdx)x(f

όπου c είναι μία σταθερά που καθορίζεται απο τις αρχικές συνθήκες του φυσικού μας

προβλήματος και g(x), f(x) δύο γνωστές συναρτήσεις του x. Εφαρμογή 1η

Εστω ότι έχομε να λύσομε τη ΔΕ : IRdtdILV =− , που αναφέρεται στη φόρτιση ενός LR-

κυκλώματος και αναφέρεται στη παράγραφο 9 του Κεφ.5. Θεωρούμε, ότι οι τιμές των V, L και R είναι γνωστές ενώ προσπαθούμε να βρούμε τη συνάρτηση I=I(t) θεωρώνυας ως αρχική συνθήκη ότι I(t=0)=0. Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε το τύπο της γενικής λύσης της ΔΕ που προαναφέραμε.

Ετσι, αφού γράψουμε την προς επίλυση ΔΕ ως: LVI

LR

dtdI

=+ κάνουμε τίς εξής

αντιστοιχίες:

tx → , )t(I)x(y → , dtdI)x(y →′ ,

LR)x(f → καί

LV)x(g →

και υπολογίζομε τα αντίστοιχα αόριστα ολοκληρώματα. Πράγματι

∫ ∫ =→ tLRdt

LRdx)x(f

καί

Page 9: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

tLR

xxtLRt

LRt

LR

dx)x(fe

RVe

RV

tLRx

dxeRVt

LRde

RL

LVdte

LVdte

LVdxe)x(g =

=

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==→ ∫∫ ∫∫ ∫∫

Τελικά η γενική λύση της ΔΕ δίνεται απο τη σχέση :

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+=→⎥

⎤⎢⎣

⎡+=

−−

∫ ∫∫ tLRt

LR

dx)x(fdx)x(fe

RVce)t(Idxe)x(gce)x(y

όπου c είναι μιά σταθερά πού θα καθοριστεί απο τις αρχικές συνθήκες.

Πράγματι, απο τη σχέση 0)eRVc(e)0(I)0t(I 00 =+=≡= προκύπτει ότι

RVc −= και

τελικά ότι ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

− tLR

e1RV)t(I

Εφαρμογή 2 Στη παράγραφο 4 του Κεφ.7 εμφανίζεται μια απλή μη γραμμική ΔΕ εξίσωση ως προς Ι:

( )tsinVdtdIL o ω= η οποία δεν μπορεί να επιλυθεί με όσα αναφέραμε προηγουμένως και την

οποία θα επιλύσουμε. Η τελευταία εξίσωση γράφεται: ( )tsinLV

dtdI o ω= της οποίας τα δύο

μέλη oloκληρώνομε ταυτοχρόνως ως προς το χρόνο t και έχουμε :

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ ⇒ωωω

=⇒ω=⇒ω= tdtsin1LV

IdttsinLV

dIdttsinLV

dtdtdI ooo

( ) ( ) ( ) ( )90tsinL

Vtx90xsin

LVtx

xcosL

Vtxdxxsin

LV

I oooo −ωω

ω==−

ω

ω==−

ω

ω==

ω= ∫

9. Διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές

Οι ΔΕ αυτού τού είδους έχουν τήν μορφή: 0yadxdya

dxdya

dxdy

n2n

2n

21n

1n

1n

n

=++++ −

θεωρώντας ότι )x(yy = δηλαδή συνάρτηση τού x. Επίλυση Στή συνέχεια, θα περιγράψουμε χωρίς απόδειξη τήν τεχνική τής επίλυσης μιάς τέτοιας ΔΕ,

δηλαδή τόν τρόπο τής εύρεσης τής γενικότερης μορφής τής συνάρτησης )x(yy = , πού επαληθεύει τήν ΔΕ.

Γιά τό σκοπό αυτό, θεωρούμε τό χαρακτηριστικό πολυώνυμο P(x) τής ΔΕ:

12n

21n

1n axaxax)x(P ++++= −− …

καί ευρίσκομε τίς αλγεβρικές λύσεις τής εξίσωσης: P(x)=0, πού έστω ότι είναι όλες

πραγματικές. Αν υποθέσουμε ότι αυτές είναι οι:

Page 10: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

ξηςτ

ξηςτ

nn

11

mάr

mάr

Τότε, η γενική λύση τής ΔΕ δίνεται από τή σχέση:

………ροι

ροι

− ++++++++=όm

xr1mm,n

xr2,n

xr1,n

όm

xr1mm,1

xr2,1

xr1,1

n

nnn

nn

1

111

x11 excxececexcxececy

Αν οι αλγεβρικές λύσεις τής εξίσωσης P(x)=0 είναι μιγαδικές τής μορφής:

( )

( ) ⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

ξηςτ+=

ξηςτ+=

nnnn

1111

mάibar

mάibar

τότε η γενική λύση τής ΔΕ εξίσωσης δίνεται από μιά γενικότερη μορφή τού τύπου:

( ) ( )

( ) ( )……

……

ροι

ροι

ροι

ροι

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++

++

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +++=

όm

nxa1m

m,nxa

2,nxa

1,n

όm

nxa1m

m,nxa

2,nxa

1,n

όm

1xa1m

m,1xa

2,1xa

1,1

όm

1xa1m

m,1xa

2,1xa

1,1

n

nnn

nn

n

nnn

nn

1

111

x11

1

111

x11

xbsinexdxededxbcosexcxecec

xbsinexdxededxbcosexcxececy

Σε όλες τίς περιπτώσεις οι παράμετροι cij, dij είναι σταθερές πού καθορίζονται από τίς

αρχικές συνθήκες. Αν η πρός επίλυση ΔΕ εξίσωση έχει τήν μορφή:

fyadxdya

dxdya

dxdy

n2n

2n

21n

1n

1n

n

=++++ −

όπου )x(ff = είναι μιά γνωστή συνάρτηση τού x, τότε η γενική της λύση μπορεί πάλι να

ευρεθεί αρκεί να γνωρίζουμε έστω καί μιά μερική τής λύση, δηλαδή μιά συνάρτηση y1(x) γιά τήν οποία να ισχύει ότι:

fyadxdya

dxdya

dxdy

1n2n

2n1

21n

1n1

1n

n1 =++++ −

Τότε, αποδεικνύεται ότι η γενική λύση θα δίνεται από τή σχέση: )x(y)x(y)x(y 1G +=

όπου y(x) είναι η γενική λύση τής ΔΕ: 0yadxdya

dxdya

dxdy

n2n

2n

21n

1n

1n

n

=++++ −

… , πού

συζητήθηκε προηγουμένως.

10. Ασκήσεις

1. Εστω η συνάρτηση 2t4)t(v = . Νά ευρεθεί η παράγωγος )t(v′ καί τό διαφορικό dv τής συνάρτησης v(t).

Page 11: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

2. Να υπολογισθεί το διαφορικό dz της συνάρτησης z=f(x,y)=(3x2+1)/3y3 όπως και οι

μερικές παράγωγοι xz∂∂ και

yz∂∂ . Αν x=2y=t/2 νά ευρεθεί η παράγωγος z´(t) στό σημείο t=1.

3. Αν ένα σωματίδιο έχει μάζα m και η θέση του περιγράφεται συναρτήσει του χρόνου απο

την εξίσωση : zt2y)1t2(xt3)t(r 2+++= τότε να υπολογισθεί η ταχύτητα και η δύναμη F που ασκείται πάνω σε αυτό κάθε χρονική στιγμή, καθώς και η τιμή του ολοκληρώματος

∫=

=

⋅3t

1t

rdF , που όπως θα δούμε αργότερα είναι το έργο της δύναμης F για το χρονικό διάστημα

απο t=1 ως t=3 (Θεωρείστε γνωστό το νόμο του Newton: γ= mF ). 4. Εστω ένα σωμάτιο μάζας m, που δέχεται την επίδραση μιάς δύναμης της μορφής:

xDF = , οπου D είναι μια σταθερά. Να ευρεθεί η ταχύτητα και η θέση του σωματίου κάθε χρονική στιγμή συναρτήσει τού D.

5. Νά ευρεθεί η γενική λύση q=q(t) τής ΔΕ : VCqR

dtdq

=+ αν R, C, V είναι σταθερές και

ισχύει η αρχική συνθήκη q(t=0)=0

Page 12: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

1. Εργο - Ενέργεια

1. Ορισμός στοιχειώδους έργου ΔW παραγόμενου από μιά δύναμη F

Το στοιχειώδες έργο ΔW το παραγόμενο απο μιά δύναμη

F , που ασκείται πάνω σε ένα υλικό σημείο Ο το οποίο μετακινείται κατά ένα διάστημα sΔ , είναι το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων F και sΔ και δίνεται απο τη σχέση:

ϑ⋅Δ⋅=Δ⋅=Δ cossFsFW Η μετακίνηση sΔ είναι απειροστά μικρή και εφάπτεται της τροχιάς κίνησης του υλικού

σημείου απο το Α στο Β στο σημείο Ο. Κατ΄επέκταση, το συνολικό έργο BAW → το

παραγόμενο απο μια δύναμη F για να πάει το υλικό σημείο Ο απο το Α στο Β είναι το άθροισμα όλων των στοιχειωδών έργων ΔW:

iiAB

iiAB

i

B

A

B

ABA cossFsFsdFdWW ϑΔ=Δ⋅=⋅== ∑∑∫∫→

2. Πεδίο δυνάμεων Πεδίο δυνάμεων είναι ένας χώρος μέσα στον οποίο όταν τοποθετηθεί μία ποσότητα (π.χ.

μάζα, φορτίο) ασκείται δύναμη. Ετσι, πεδίο μπορεί να δημιουργηθεί απο κάθε ποσότητα, που ασκεί δυνάμεις σε άλλες ποσότητες.

Ενα πεδίο γίνεται αντιληπτό απο τη δράση του πάνω σε μια δοκιμαστική ποσότητα που τοποθετείται μέσα σε αυτό και στην οποία μπορεί να ασκηθεί δύναμη. Ενα παράδειγμα είναι η δράση της βαρύτητας (γήινο βαρυτικό πεδίο) πάνω σε ένα σώμα που έχει μάζα, όπως ο άνθρωπος. Ο όρος ΄δοκιμαστική΄ ποσότητα χρησιμοποιήθηκε για να επισημάνουμε ότι η μορφή ενός πεδίου δυνάμεων μπορεί να αλλάξει άν η ποσότητα που τοποθετείται μέσα σε αυτό δημιουργεί πεδίο δυνάμεων ισχυρότερο απο εκείνο μέσα στο οποίο ευρίσκεται και συνεπώς δύναται να αλλάξει τη μορφή του προς μελέτη πεδίου. Για το λόγο αυτό οι δοκιμαστικές ποσότητες πρέπει να είναι μικρές σε σχέση με αυτές που δημιουργούν το μελετούμενο πεδίο δυνάμεων.

Ενα πεδίο μπορεί να είναι συντηρητικό και μή συντηρητικό. Συντηρητικό είναι ένα πεδίο, όταν το έργο της ασκούμενης απο το πεδίο δύναμης πάνω σε μια δοκιμαστική ποσότητα είναι μηδέν κατά μήκος μίας όποιασδήποτε κλειστής διαδρομής της ποσότητας αυτής μέσα στο πεδίο.

0dWWC

AA ∫ ==→

Σε αντίθετη περίπτωση το πεδίο λέγεται μη συντηρητικό

και η δύναμη που ασκεί μη συντηρητική. 0dWW

CAA ≠= ∫→

Θεώρημα Σε συντηρητικό πεδίο το έργο το παραγόμενο απο μια δύναμη για να πάει ένα υλικό σημείο

απο το Α στο Β είναι ανεξάρτητο της διαδρομής την οποία αυτό ακολουθεί. Απόδειξη

A B

(1)

(2) C

Page 13: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Αν υποθέταμε ότι σε ένα συντηρητικό πεδίο το έργο 1BAW → για να πάει ένα υλικό σημείο

απο το Α στο Β μέσω της διαδρομής (1) είναι διαφορετικό απο το έργο 2BAW → για να πάει

μέσω της διαδρομής (2) θα καταλήγαμε σε άτοπο. Πράγματι αυτό θα συνέβαινε, αφου ο υπολογισμός της ποσότητας AAW → :

0WWWWW 2

BA1

BA2

AB1

BAAA ≠−=+= →→→→→ δίνει αποτέλεσμα, που έρχεται σε αντίθεση με τον ορισμό του συντηρητικού πεδίου.

3. Θεώρημα μεταβολής κινητικής ενέργειας - έργου Το θεώρημα αυτό λέει ότι η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ΔΕΚΙΝ ενός υλικού σημείου

μάζας m από τη θέση Α στη θέση Β είναι ίση με το έργο BAW → όλων των δυνάμεων του πεδίου ή των πεδίων που ασκούνται πάνω σε αυτό κατά τη μετακίνηση. Αυτό εκφράζεται με τη σχέση:

BAKINKINKIN W)A(E)B(EE →=−=Δ

Απόδειξη Χωρίζοντας τη διαδρομή ΑΒ σε απειροστά κομμάτια ds και θεωρώντας ότι η δύναμη F που

ασκείται απο το εκάστοτε πεδίο δυνάμεων στο υλικό σημείο μάζας m και ταχύτητας v δίνεται

απο το νόμο του Newton dtvdm

dtpdF == βρίσκουμε ότι:

)A(E)B(Emv21

vdvmvddtsdmsd

dtvdmsdFW

KINKIN

v

v

2

v

v

B

A

B

A

B

ABA

B

A

B

A

−≡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

=⋅=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==⋅= ∫∫∫∫→

όπου ορίσαμε ως κινητική ενέργεια EΚΙΝ του σωματίου την ποσότητα: 2KIN mv

21E ≡ , την

οποία έχει το κινητό λόγω ταχύτητας. Προφανώς, για συντηρητικό πεδίο δυνάμεων η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ΔΕΚΙΝ

παίρνει μία μόνο τιμή ανεξάρτητα της διαδρομής ΑΒ, που διαγράφει το σωμάτιο. Αντίθετα, για μη συντηρητικό πεδίο δυνάμεων η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ΔΕΚΙΝ του σωματίου παίρνει τιμές που εξαρτώνται απο τη διαδρομή ΑΒ.

4. Δυναμική ενέργεια – Θεώρημα διατήρησης τής μηχανικής ενέργειας Η δυναμική ενέργεια ενός φυσικού συστήματος ορίζεται απο τη σχέση:

BAW)A(E)B(E →ΔΥΝΔΥΝ −≡− η οποία σημαίνει ότι: Η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας μεταξύ των θέσεων Α και Β ενός συστήματος είναι

αντίθετη της τιμής του συνολικού έργου του πεδίου δυνάμεων που έδρασαν κατά τη διάρκεια της μεταβολής της κατάστασής του.

Προφανώς η τιμή της μεταβολής της δυναμικής ενέργειας είναι μονοσήμαντα ωρισμένη

προκειμένου περί συντηρητικών πεδίων δυνάμεων. Ορίζουμε σαν μηχανική ενέργεια ενός υλικού σημείου το άθροισμα της δυναμικής του και

της κινητικής του ενέγειας:

ΔΥΝΜΗΧ +≡ EEE KIN

Page 14: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Θεώρημα διατήρησης της δυναμικής ενέργειας Η μηχανική ενέργεια EMHX ενός υλικού σημείου είναι σταθερή, μόνο όταν όλες οι δυνάμεις

που δρούν σε αυτό είναι συντηρητικές. Απόδειξη H μεταβολή της μηχανικής ενέργειας μεταξύ των θέσεων Α και Β της τροχιάς κίνησης ενός

υλικού σημείου δίνεται απο τη σχέση:

ΔΕΜΗΧ=ΔΕΚΙΝ+ΔΕΔΥΝ= 'BABA WW →→ −

σύμφωνα με τους ορισμούς της κινητικής και δυναμικής ενέργειας, που προαναφέρθηκαν. Τα έργα BAW → και '

BAW → είναι ίσα μόνο άν οι δυνάμεις του πεδίου μέσα στο οποίο κινείται το σωμάτιο είναι συντηρητικές. Σε αυτή τη περίπτωση ΔΕΜΗΧ=0 και έχομε διατήρηση της μηχανικής ενέργειας.

5. Εργο δύναμης σταθερού μέτρου, διεύθυνσης καί φοράς

Οταν μας ζητείται να υπολογίσομε το έργο μιας δύναμης τότε υπάρχουν δύο μεθοδολογίες α) να προβάλλουμε το άνυσμα της δύναμης στο άνυσμα μετακίνησης ή β) να προβάλλουμε το άνυσμα μετακίνησης στο άνυσμα της δύναμης. Αυτό εξαρτάται κατά περίπτωση απο το ποιό άνυσμα διατηρεί περισσότερα χαρακτηριστικά του σταθερά, δηλαδή η επιλογή εξαρτάται απο τη φύση του προβλήματος.

Στη περίπτωσή μας έχουμε ένα υλικό σημείο που κινείται υπο την επίδραση του βάρους του Β

επι της λείας τροχιάς ΑΒΓΔΕ (το σημείο Α είναι ψηλότερα απο όλα τα άλλα σημεία της τροχιάς). Το συνολικό έργο W του βάρους Β προκύπτει απο το αλγεβρικό άθροισμα των επι μέρους έργων του Β κατά μήκος της τροχιάς ΑΒΓΔΕ και ισούται με :

( ) BhcosrBrBsBsBW

AEi

AEi =ϑΔ=Δ⋅=Δ⋅=Δ⋅= ∑∑

Για να υπολογίσουμε το έργο W προβάλλαμε τo ανυσματικό άθροισμα rΔ των στοιχειωδών μετατοπίσεων isΔ του κινούμενου υλικού σημείου επάνω στο σταθερό άνυσμα

του βάρους του B .

6. Εργο δύναμης F σταθερού μέτρου εφαπτομένης συνεχώς τής τροχιάς κίνησης υλικού σημείου

Στη περίτπωση αυτή θα προβάλλουμε το άνυσμα

της δύναμης F που ασκείται πάνω στο κινητό πάνω στη στοιχειώση μετακίνησή του Δs και θα υπολογίσουμε το αλγεβρικό άθροισμα W των επι μέρους στοιχειωδών έργων. Ετσι, το συνολικό έργο W, που παράγει η δύναμη F για μια μετακίνηση ΑΒΓΔΕ επι τροχιάς συνολικού μήκους s είναι:

( ) sFsFsFWAE

iAE

i =Δ=Δ⋅= ∑∑

7. Εργο κέντρομόλου δύναμης κατά τήν κυκλική κίνηση ενός υλικού σημείου

Page 15: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Ως γνωστό ένα κινητό εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, όταν μια δύναμη FΚ ασκείται κάθε χρονική στιγμή κάθετα στη ταχύτητά του v και έχει μέτρο mv2/R.

Το έργο W της δύναμης αυτής είναι μηδέν αφου κάθε χρονική στιγμή η γωνία δύναμης και μετατόπισης είναι 90o και συνεπώς

0)90cos(sFW K =Δ= Αυτό το αποτέλεσμα είναι συνεπές με το θεώρημα μεταβολής της

κινητικής ενέργειας - έργου, που σε αυτή τη περίπτωση δίνει ότι η κινητική ενέργεια του υλικού σημείου δεν μεταβάλλεται με το χρόνο.

8. Συντελεστής τριβής ολίσθησης (no) Θεωρούμε ένα σώμα να ολισθαίνει επι κεκλιμένου επιπέδου. Στο σώμα εξασκούνται οι

εξής δυνάμεις: α) το βάρος Β του σώματος β) μία δύναμη F που μετακινεί το σώμα και γ) μία δύναμη Τ, που είναι η αντίδραση του επιπέδου πάνω στο σώμα.

Στη συνέχεια αναλύουμε τις τρείς αυτές δυνάμεις σε ένα σύστημα ορθογωνίων αξόνων, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η δύναμη Το λέγεται τριβή ολίσθησης είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας κίνησης και δίνεται απο τη σχέση:

)TF(nT yyoo +=

όπου ο συντελεστής no λέγεται συντελεστής τριβής ολίσθησης.

Παρατηρούμε ακόμη ότι ισχύει : yyy FTB += αφού το σώμα δεν κινείται κάθετα στο επίπεδο κίνησης.

9. Οι τρείς νόμοι τού Newton Στη συνέχεια είναι απαραίτητο να αναφέρομε τους νόμους του Newton, που αποτελούν τη

βάση της κλασσικής μηχανικής και της ανάπτυξης της Φυσικής επιστήμης. 1ος νόμος (Νόμος της αδράνειας - Αρχή του Galileo ) ΄Κάθε σώμα διατηρεί τη κατάσταση ηρεμίας ή της ομαλής κινήσεώς του σε ευθεία γραμμή,

εκτός αν εξαναγκαστεί να μεταβάλει την κατάσταση αυτή απο δυνάμεις που ασκούνται πάνω του΄.

Ο παραπάνω νόμος συχνά αναφέρεται σαν ιδιότητα της ύλης και λέγεται αδράνεια. Η μάζα

είναι ένα ποσοτικό μέγεθος της αδράνειας ενός σώματος. 2ος νόμος (Νόμος του Newton) ΄Η επιτάχυνση ενός σωματιδίου είναι ευθέως ανάλογη προς τη συνισταμένη δύναμη που

δρά σε αυτό και έχει κατεύθυνση εκείνη της δύναμης΄. Η σταθερά της αναλογίας ονομάζεται μάζα m του σωματιδίου. Μαθηματικά ο νόμος αυτός

εκφράζεται απο τη γνωστή σχέση: γ= mF

Η μαθηματική αυτή έκφραση αποτέλεσε την αρχική διατύπωση του νόμου του Newton, ο

οποίος επαναδιατυπώθηκε ξανά αργότερα υπο μια γενικότερη μορφή που αναφέρεται στο επόμενο κεφάλαιο.

Ο νόμος του Newton είναι η θεμελιώδης εξίσωση της κλασσικής μηχανικής. Παρατηρούμε

ότι ο 1ος νόμος μπορεί να προκύψει απο το δεύτερο για 0=γ , που συμβαίνει όταν

=v σταθερή (ευθύγραμμη ομαλή κίνηση) ή όταν 0v = (το σωματίδιο ηρεμεί). 3ος νόμος (Νόμος δράσης-αντίδρασης)

Page 16: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

΄Οι αμοιβαίες δράσεις δύο σωματιδίων είναι ίσες και κατευθύνονται αντίθετα΄. Ετσι, όταν ένα σωματίδιο Α ασκεί μία δύναμη σε ένα άλλο σωματίδιο Β (δράση), τότε το Β

ασκεί μια ίση και αντίθετη δύναμη στο Α (αντίδραση). Η δράση και η αντίδραση εμφανίζονται πάντα κατά ζεύγη και ασκούνται πάντα σε διαφορετικά σωματίδια.

10. Ασκήσεις 1. α) Να αποδειχθεί ότι η δύναμη τριβής δεν είναι συντηρητική δύναμη. β) Μπορούμε να

εφαρμόσουμε το θεώρημα διατήρησης της μηχανικής ενέργειας και το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας σε έργο για ένα σωματίδιο στο οποίο δρούν συντηρητικές και μή συντηρητικές δυνάμεις; Δώστε ένα παράδειγμα.

2. Εστω δύο σώματα Σ1 και Σ2, των οποίων οι μάζες είναι

αντιστοίχως Μ1 και Μ2, τοποθετημένα και συνδεδεμένα επι δύο κεκλιμένων επιπέδων όπως στο σχήμα. Τα δύο κεκλιμένα επίπεδα τέμνονται καθέτως, η γωνία κλίσεως του δευτέρου είναι φ και ο συντελεστής τριβής μεταξύ αυτών και των σωμάτων είναι n. Ποιά η επιτάχυνση των δύο σωμάτων Σ1 και Σ2. Προς ποιά διεύθυνση θα κινηθούν αυτά και κάτω απο ποιές συνθήκες; Δίδεται το g.

3. Ενα σώμα μάζας m κινούμενο επί κεκλιμένου επιπέδου

γωνίας κλίσης θ συγκρούεται σε ένα αβαρές ακίνητο ελατήριο σταθεράς D, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σώμα συμπιέζει το ελατήριο κατά ένα διάστημα x απο την αρχική του θέση. Ποιά είναι η ταχύτητα του σώματος τη στιγμή της σύγκρουσης; Δίδεται ο συντελεστής τριβής n μεταξύ σώματος-οριζόντιας επιφανείας και το g.

4. Σώμα μάζας m βάλλεται με αρχική ταχύτητα vo πρός τα

άνω επι κεκλιμένου επιπέδου με γωνία κλίσης φ, διανύοντας ένα διάστημα s σε χρόνο tA, οπότε και σταματά. Στη συνέχεια επιστρέφει στην αρχική του θέση σε χρόνο tK. Να υπολογισθούν οι τιμές των s, tA και tK. Ακόμη να ευρεθεί το ποσό της ενέργειας που μετατράπηκε σε θερμότητα κατά την παραπάνω διαδικασία. Δίδεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης n του σώματος επί του επιπέδου.

5. Ενα σωματίδιο εξαρτάται απο ένα σταθερό σημείο Ο με

ένα νήμα μήκους L σχηματίζοντας γωνία 90ο με την κατακόρυφο, που περνάει απο το σημείο Ο. Ποία είναι η ελάχιστη απόσταση h επι της κατακορύφου που περνάει απο το σημείο εξάρτησης Ο, στην οποία πρέπει να τοποθετήσουμε ένα καρφί Κ, ώστε το σωματίδιο να δυνηθεί να διαγράψει περιφέρεια με κέντρο το Κ κατά τον τρόπο που επιδεικνύεται στο σχήμα.

6. Σφαίρα μικρών διαστάσεων ολισθαίνει άνευ τριβής επι της

εξωτερικής επιφανείας ημισφαιρίου ακτίνας R, ξεκινώντας εκ της κορυφής Α αυτού. Σε ποίο σημείο του ημισφαιρίου η σφαίρα θα εγκαταλείψει αυτό;

Page 17: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

7. Σφαίρα αμελητέων διαστάσεων ξεκινάει απο τη θέση ηρεμίας και αρχίζει να ολισθαίνει άνευ τριβής κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου. Aκουλούθως κινείται επι κλειστής λείας κυκλικής τροχιάς ακτίνας R, όπως στο σχήμα. Αν το ύψος h απο το οποίον αφήνεται ελεύθερη η σφαίρα είναι ίσο με τη διάμετρό της, να υπολογισθεί α) σε ποιό ύψος η σφαίρα εγκαταλείπει την κυκλική τροχιά, β) ποιό είναι το μέγιστο ύψος στο οποίο φθάνει και γ) απο ποιό αρχικό ύψος h πρέπει να αφεθεί ελεύθερη η σφαίρα ώστε να μην εγκαταλείπει τη κυκλική τροχιά;

8. Σωματίδιο Α ολισθαίνει κατά μήκος της τροχιάς του

σχήματος. Εάν το σωματίδιο Α αρχίσει να κινείται απο ύψος h=1m και το μήκος του οριζοντίου τμήματος της τροχιάς είναι L=2m να ευρεθεί σε ποίο σημείο της τροχιάς θα ηρεμήσει το σωματίδιο. Δίδεται ότι ο συντελεστής τριβής των καμπύλων τμημάτων είναι μηδέν, ενώ του οριζοντίου τμήματος n=0.1. Δίδεται ακόμη ότι g=9.81 m/s2.

9. Σώμα μάζας m, τοποθετείται στο εσωτερικό κωνικής

επιφάνειας η οποία περιστρέφεται γύρω από ένα κατακόρυφο άξονα με συχνότητα v, όπως στο σχήμα. Δίδεται α) η κλίση θ της κωνικής επιφάνειας ως προς το οριζόντιο επίπεδο β) ο συντελεστής τριβής n του σώματος επί της κωνικής επιφάνειας γ) η απόσταση r του σώματος απο τον άξονα περιστροφής. Να ευρεθεί ποιά είναι η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της συχνότητας περιστροφής v, ώστε το σώμα να μη ολισθαίνει επι της κωνικής επιφανείας.

10. Σωματίδιο M αφήνεται να ολισθήσει χωρίς αρχική

ταχύτητα πάνω σε κατακόρυφα τοποθετημένη έλικα ακτίνας R, βήματος L, συνολικού ύψους 2L απο ύψος 2L. Να ευρεθεί α) η ταχύτητα την οποία θα έχει το σωματίδιο όταν φθάσει στη βάση της έλικας β) ο χρόνος εντός του οποίου έκανε την παραπάνω κίνηση. Δίδεται ο συντελεστής τριβής n του σωματιδίου επί τής έλικας καί το g.

Page 18: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

2. Ορμή - Κρούση

1. Ορμή υλικού σημείου

Oρίζομε ως ορμή υλικού σημείου το άνυσμα :

vmp ⋅= Το άνυσμα αυτό είναι παράλληλο της ταχύτητας v του

υλικού σημείου και εφάπτεται κάθε χρονική στιγμή της τροχιάς κίνησης του, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Γενικότερα, η ορμή ενός συστήματος υλικών σημείων δίνεται απο το ανυσματικό άθροισμα

τών ορμών των σωματιδίων που το συνιστούν σύμφωνα με τη σχέση:

∑ ∑ ⋅== iii vmpP

2. Ο νόμος του Newton

Ο νόμος του Newton δίνεται απο τη σχέση: dtpd

tp

0tlimF =

ΔΔ

→Δ= και αποτελεί το

βασικότερο νόμο της κλασσικής μηχανικής. Αν η μάζα m είναι σταθερή, ο νόμος του Newton μπορεί να γραφεί και ως εξής:

2

2

dtrdm

dtdtrdd

mdtvdm

dtdmv

dtvdm

dt)vm(d

dtpdF =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

==+===

Η τελευταία σχέση μπορεί να αναλυθεί σε ένα τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxyz και τελικά να γραφεί υπο τη μορφή τριών εξισώσεων:

2

2

x dtxdmF = , 2

2

y dtydmF = , 2

2

z dtzdmF =

Στη παραπάνω θέση θεωρήσαμε ότι Fx, Fy, Fz είναι οι συνιστώσες (προβολές) της δύναμης

F στους τρείς ορθογώνιους άξονες Ox, Oy και Oz. Η ταυτόχρονη λύση των τριών αυτών διαφορικών εξισώσεων ως προς x, y, z δίνει την

εξίσωση κίνησης του κινητού ooo z)t(zy)t(yx)t(x)t(rr ++== . Εφαρμογή αυτής της μεθόδου για το προσδιορισμό της εξίσωσης κίνησης θα γίνει στο 4ο Κεφάλαιο αυτών των σημειώσεων, στα περί βολών.

3. Ωθηση δυνάμεως Ω

Απο το νόμο του Newton: dtpdF = μπορούμε να γράψουμε ότι: dtFpd = .

Θεωρούμε, ότι ένα υλικό σημείο ή σύστημα υλικών σημείων τη χρονική στιγμή t1 έχει συνισταμένη ορμή 1p και τη χρονική στιγμή t2 έχει αποκτήσει ορμή 2p κάτω απο την επιβολή μιας συνισταμένης δύναμης F.

Ορίζουμε ως ώθηση Ω μιας δύναμης F που ασκείται σε ένα υλικό σημείο ή σύστημα

υλικών σημείων για το χρονικό διάστημα απο t1 σε t2 την ανυσματική ποσότητα :

∫≡Ω2

1

t

t

dt)t(F

Page 19: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

ή ΄υπό τύπον αθροίσματος΄ την ποσότητα: ∑=

Δ≡Ω21 ttt

t)t(F…

Θεώρημα Ωθησης-Ορμής Αν η δύναμη F είναι η συνισταμένη τών δυνάμεων που σκούνται σε ένα υλικό σημείο ή

σύστημα σωματίων, τότε η ώθηση Ω αυτής τής δύναμης F για το χρονικό διάστημα t1 ώς t2 είναι η διαφορά τών αντίστοιχων ανυσμάτων τών συνισταμένων ορμών αυτές τίς χρονικές στιγμές.

)t(p)t(p)t,t( 112221 −≡Ω Απόδειξη

Πράγματι, από τό νόμο τού Newton dtpdF = έχουμε ότι pddtF = καί :

)t(p)t(ppddt)t(F)t,t( 1122

p

p

t

t21

2

1

2

1

−==≡Ω ∫∫

4. Θεώρημα Διατήρησης της ορμής Αν η συνισταμένη τών εξωτερικών δυνάμεων πού ασκούνται σέ ένα μεμονωμένο σύστημα

είναι μηδέν ή άν δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις στό σύστημα, τότε η ορμή τού συστήματος παραμένει σταθερή.

Απόδειξη Από τη σχέση : dtFpd = έχουμε για 0F = ότι 0pd = , δηλαδή το άνυσμα της συνολικής

ορμής p παραμένει σταθερό. Σημειώνουμε ότι μπορούμε νά έχουμε διατήρηση τής ορμής κατά μιά διεύθυνση υπό τήν

προυπόθεση ότι κατά τή διεύθυνση αυτή δεν ασκείται στό σύστημα καμμιά εξωτερική δύναμη. Στο ίδιο σύστημα μπορύμε νά μήν έχουμε διατήρηση τής ορμής κατά μιά άλλη διεύθυνση υπό τήν προυπόθεση ότι κατά τή διεύθυνση αυτή ασκείται στό σύστημα εξωτερική δύναμη. Τό θεώρημα διατήρησης τής ορμής είναι τό δεύτερο μεγάλο θεώρημα, πού συναντάμε μέχρι τώρα, θεωρώντας ώς πρώτο τό θεώρημα διατήρησης τής μηχανικής ενέργειας.

5, Κρούση Στη μηχανική με τον όρο κρούση θεωρούμε τη σύγκρουση δύο σωμάτων, που διαρκεί

ελάχιστο χρόνο και συνοδεύεται με την εμφάνιση μεγάλων δυνάμεων, μεταξύ των σωμάτων που έρχονται σε επαφή. Οι κρούσεις μπορεί να είναι ελαστικές και ανελαστικές. Στίς ελαστικές κρούσεις έχουμε διατήρηση της κινητικής ενέργειας πρίν και μετά την κρούση, ενώ στις ανελαστικές όχι. Αν το κέντρο βάρος των δύο σωμάτων πρίν και μετά την κρούση παραμένουν στην ίδια ευθεία τότε η κρούση λέγεται κεντρική.

Ενα είδος ανελαστικής κρούσης είναι η τελείως ανελαστική ή πλαστική κρούση. Κατά την πλαστική κρούση τα δύο σώματα μετά την κρούση συσσωματώνονται και κινούνται ώς ένα σώμα.

Παράδειγμα: Να δειχτεί ότι σε μια ελαστική

κρούση μεταξύ σωματίων ίσης μάζας m, απο τα οποία αρχικά το ένα αρχικά ηρεμεί, τα σωμάτια απομακρύνονται σε διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους.

Απόδειξη

Page 20: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Πράγματι, επειδή έχουμε να κάνουμε με ελαστική κρούση γιαυτό ισχύει η διατήρηση της

κινητικής ενέργειας. Ετσι, βάσει του σχήματος μπορούμε να γράψουμε:

2B2

2B1

2A1 mv

21mv

21mv

21

+=

Πολλαπλασιάζομε και τα δύο μέλη με 2m και λαμβάνουμε:

2B2

2B1

2A1

2B2

22B1

22A1

2 pppvmvmvm +=⇔+= Απο το θεώρημα διατήρησης της ορμής προκύπτει η ανυσματική σχέση:

ϑ++=⇒+= cospp2pppppp B2B12B2

2B1

2A1B2B1A1

η οποία συνδιαζόμενη με την προηγούμενη δίνει: 0cos =ϑ ή ï90=ϑ

6. Νόμος Newton για συστήματα μεταβλητής μάζας Ο νόμος Newton μπορεί να εφαρμοσθεί και στη περίπτωση συστημάτων μεταβλητής

μάζας, αν θεωρήσομε ότι το σύστημα μεταβλητής μάζας και τα ποσά μάζας κατά τα οποία αυτό μεταβάλλεται αποτελούν ένα σύστημα σταθερής μάζας.

M+ dMM -dM

uv+ dv

v

OO xx

yy

FF

t t+ dt

Εστω μια μάζα Μ που κινείται υπο την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης F με ταχύτητα

v και εκτοξεύει μια ποσότητα μάζας dM σε χρόνο dt με ταχύτητα u . Μια τέτοια περίπτωση περιγράφεται στο παραπάνω σχήμα, όπου το σύστημα σταθερής μάζας Μ περιγράφεται απο τη διακεκκομένη γραμμή του σχήματος.

Σύμφωνα με όσα αναφέραμε στη παράγραφο 3 και λαμβάνοντας υπόψη ότι 0dM⟨ , καθότι

στη περίπτωσή μας το αρχικό μας σύστημα εκτοξεύει ποσότητες μάζας, έχουμε ότι:

[ ] [ ]vMudM)vdv()dMM()t(p)dtt(pdtF −−++=−+==Ω Αν κρατήσομε μόνο τους όρους πρώτης τάξης και διαιρέσουμε με dt, τότε λαμβάνουμε τη

σχέση:

dtdMvF

dtdM)vu(F

dtvdM

dtdMu

dtdMv

dtvdMF rel+=−+=⇒−+=

όπου vrel είναι η σχετική ταχύτητα της εκπεμπόμενης μάζας ως προς το σύστημα που την

εκπέμπει. Τελικά, η τελευταία σχέση μπορεί να γραφεί και ως εξής

Page 21: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

reactrel FFdtdMvF

dtvdM +≡+=

όπου Freact είναι η δύναμη που η εκπεμπόμενη μάζα dM ασκεί στο σύστημα που την

εκπέμπει. Η τελευταία σχέση είναι ο νόμος του Newton όπως δύναται να εφαρμοσθεί σε ένα σύστημα

μεταβλητής μάζας. Παράδειγμα Εστω ένας πύραυλος αρχικής μάζας Mo ανυψούμενος κατακόρυφα

εκπέμποντας αέρια με ρυθμό 0a⟩ . Ποιά είναι a) η επιτάχυνση γ(t) και β) η ταχύτητα v(t) του πυραύλου συναρτήσει του χρόνου, όταν τα αέρια εκπέμπονται με σταθερή ταχύτητα uo σε σχέση με τον πύραυλο; Δίνεται ότι η επιτάχυνση g της βαρύτητας δεν μεταβάλλεται με το ύψος.

Λύση Αν υποθέσουμε ότι η μάζα του πυραύλου τη χρονική στιγμή t

δίνεται απο τη σχέση : atMM o −= τότε προφανώς: adtdM

−= . Στη

περίπτωση αυτή η παραπάνω σχέση του Newton για συστήματα μεταβλητής μάζας δύναται να γραφεί ως εξής:

MauB

auBMdtvdM o

o−

=γ⇒−=γ=

α) Το μέτρο της επιτάχυνσης γ θα δίνεται απο τη σχέση:

gatM

auM

Mgau

o

oo −−

=−

β) Η ίδια σχέση μπορεί να γραφεί και ώς εξής: gatM

audtdv

o

o −−

==γ , η οποία αν

ολοκληρωθεί ως προς το χρόνο δίνει τη τιμή της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου:

gtatM

Mlnu)t(vo

oo −⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

7. Ασκήσεις 1. Εάν δύο σφαίρες ίσων μαζών κινούμενες με ταχύτητας V1, V2 και αντίθετη φορά

υφίστανται κεντρική ελαστική κρούση, να δειχθεί ότι μετά την κρούση έχουν ταχύτητας των οποίων τα μέτρα αντιστοίχως είναι V2, V1.

2. Μικρή μεταλική σφαίρα μάζας m αφίεται απο ύψος H να πέσει σε οριζόντιο δάπεδο επι

του οποίου αναπηδά και εν συνεχεία ανέρχεται σε ύψος h ( hH⟩ ). α) Αν ο χρόνος επαφής της σφαίρας μετά του δαπέδου είναι Δt, να βρεθεί η δύναμη την οποία εξήσκησε η σφαίρα στο δάπεδο, όταν δίνεται το g. β) Τί θα συνέβαινε αν η κρούση ήταν ελαστική; Πόση θα ήταν τότε η δύναμη;

Page 22: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

3. Σωματίδιο αφίεται χωρίς αρχική ταχύτητα εκ του σημείου Α κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ και ολισθαίνει άνευ τριβής επ΄αυτού κατά ένα σταθερό διάστημα L. Εις το σημείο O το σώμα υφίσταται ελαστική κρούση και εκτελεί πλαγία βολή, για να φθάσει στο σημείο Β του οριζοντίου επιπέδου του διερχομένου απο το σημείο βολής Ο. Να ευρεθούν συναρτήσει της γωνίας φ: α) το βεληνεκές της βολής β) το μέγιστο ύψος αυτής γ) ο χρόνος της βολής δ) για ποιές τιμές της γωνίας φ τα προηγούμενα μεγέθη λαμβάνουν μεγίστη τιμή ε) αν δοθεί η μάζα m του σώματος, τότε ποιά είναι η ώθηση του βάρους του κατά το χρονικό διάστημα της πλάγιας βολής;

4. Δύο δορυφόροι με μάζες m1 και m2 κινούνται επι της αυτής κυκλικής τροχιάς γύρω απο

τη γή σε ύψος h με αντίθετες φορές. Οι δύο δορυφόροι υφίστανται μετωπική ελαστική κρούση, μετά την οποία ο δορυφόρος μάζας m2 πίπτει κατακόρυφα σχηματίζοντας γωνία 90ο με την αρχική του διεύθυνση. Να ευρεθούν α) οι ταχύτητες των δορυφόρων πρίν την κρούση και β) οι ταχύτητες και οι κινητικές ενέργεις αυτών μετά την κρούση. Δίδεται η ακτίνα της γής R, η μάζα της γής Μ και η σταθερά της παγκόσμιας έλξης Κ.

5. Δύο σφαιρίδια Α και Β έχουν ίση μάζα και κρέμονται με

ίσα νήματα απο ένα σταθερό σημείο Ο. Εκτρέπουμε το σφαιρίδιο Α απο τη θέση ισορροπίας κατά 60ο και μετά το αφήνουμε ελεύθερο. Το σφαιρίδιο Α συγκρούεται με το σφαιρίδιο Β και ενσωματώνεται με αυτό. Να ευρεθεί η μέγιστη γωνία φ, κατα την οποία εκτρέπεται το σύστημα AB των δύο σφαιριδίων μετά την κρούση.

6. Τεμάχιο ξύλου μάζας mA είναι δεδεμένο στο άκρο

νήματος μήκους L, του οποίου το άλλο άκρο είναι δεμένο σε ένα δακτυλίδι που περιβάλλει έναν ακίνητο κατακόρυφον άξονα, γύρω απο τον οποίο περιστρέφεται χωρίς τριβή. Το σώμα ευρίσκεται σε οριζόντιο επίιπεδο με το οποίο έχει συντελεστή τριβής n, το δε νήμα είναι οριζόντιο και τεντωμένο. Βλήμα μάζας mB, κινούμενο οριζόντια και κάθετα προς το νήμα με ταχύτητα vB σφηνώνεται στο ξύλο. Πόσες στροφές θα διαγράψει το ξύλο μέχρι να σταματήσει; Δίνεται το g.

7. Δύο σώματα Α και Β μαζών m και Μ ( mM⟩ ) αντίστοιχα,

συνδέονται με λεπτό νήμα διερχόμενο από μικρή λεία τροχαλία τοποθετημένη κατακόρυφα πάνω απο ένα μη ελαστικό επίπεδο Π. Το σύστημα αφίεται ελεύθερο να κινηθεί απο τη θέση ηρεμίας. Ο χρόνος εντός του οποίου το Β φθάνει στο επίπεδο Π είναι t. Εάν το Β προσκρούει στο επίπεδο Π, χωρίς να αναπηδήσει, να υπολογισθεί πότε το σύστημα ακινητοποιείται στιγμιαία με το νήμα τεντωμένο για πρώτη φορά απο τότε που άρχισε να κινείται.

8. Από πυροβόλο μάζας Μ ευρισκόμενο αρχικά ακίνητο επί κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ, βάλλεται βλήμα μάζας m με αρχική ταχύτητα v και οριζόντια διεύθυνση. a) Nα ευρεθεί το μέγιστο μήκος s της διαδρομής του πυροβόλου επί του κεκλιμένου επιπέδου. b) Μετά πόσο χρονικό διάστημα το κινητό θα επιστρέψει στη θέση απο την οποία ξεκίνησε; Δίδεται ότι ο συντελεστής τριβής μεταξύ του πυροβόλου και του κεκλιμένου επιπέδου είναι n.

Page 23: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

9. Δοχείο γεμάτο με νερό ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης θ, όπως στο σχήμα. Απο μιά τρύπα του δοχείου βγαίνει νερό κατά τη διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου με ταχύτητα vo ως προς το δοχείο και με ρυθμό k gr/s. a) Αν το δοχείο ξεκινήσει απο τη κατάσταση ηρεμίας ποιά είναι η επιτάχυνση αυτού κατά τη χρονική στιγμή t; Δίδεται ότι η μάζα του κενού δοχείου είναι Μ και η αρχική μάζα του ύδατος mo. b) Να λύσετε το ίδιο πρόβλημα άν δοθεί ότι ο συντελεστής τριβής μεταξύ του δοχείου και του κεκλιμένου επιπέδου είναι n.

10. Εστω ένας πύραυλος αρχικής μάζας Μο ανυψούμενος υπο αρχική γωνία φ και

ταχύτητα vo εκπέμποντας αέρια με ρυθμό 0a⟩ . Ποιά είναι η επιτάχυνση )t(γ , η ταχύτητα )t(v και η εξίσωση κίνησης του πυραύλου, όταν τα αέρια εκπέμπονται με σταθερή ταχύτητα uo σε σχέση με την διεύθυνση κίνησης του πυραύλου; Δίδεται ότι η επιτάχυνση g της βαρύτητας δέν μεταβάλλεται με το ύψος. Πώς θα ληφθεί υπόψη η περιστροφική κίνηση της γής; Θεωρείστε ότι ο πύραυλος έχει αμελητέο όγκο.

Page 24: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

3. Πεδία δυνάμεων

1. Νόμος Παγκόσμιας Ελξης Ο νόμος παγκόσμιας έλξης περιγράφει την

ελκτική δύναμη F που ασκείται μεταξύ δύο σημειακών μαζών m1 και m2 ευρισκομένων σε απόσταση R. Το μέτρο της δύναμης F δίνεται απο τη σχέση :

221

RmmGF =

Το G είναι μιά σταθερά, που λέγεται σταθερά παγκόσμιας έλξης.

2. Νόμος τού Coulomb

Ο νόμος του Coulomb περιγράφει τη δύναμη F που ασκείται μεταξύ δύο σημειακών φορτίων q1 και q2 ευρισκομένων σε απόσταση R. Το μέτρο της δύναμης F δίνεται απο τη σχέση :

221

RqqKF =

Η δύναμη F είναι ελκτικής (απωστικής) φύσης όταν τα φορτία q1 και q2 έχουν αντίθετο (ίδιο)

πρόσημο. Το Κ είναι μια σταθερά που λέγεται σταθερά του Coulomb.

3. Ενταση βαρυτικού και ηλεκτρικού πεδίου Γύρω απο ένα φορτίο ή ένα σύνολο φορτίων σχηματίζεται ένα ηλεκτρικό πεδίο. Ηλεκτρικό

πεδίο είναι είναι ο χώρος στο εσωτερικό του οποίου όταν τοποθετηθεί μιά σημειακή δοκιμαστική ποσότητα φορτίου, τότε ασκείται σε αυτή μιά συνισταμένη δύναμη Coulomb F απο τα περιβάλλοντα αυτή φορτία. Σύμφωνα με όσα είπαμε ακόμη και ένα φορτίο δημιουργεί γύρω του ηλεκτρικό πεδίο. Με τον όρο δοκιμαστική ποσότητα εννοούμε μια ποσότητα φορτίου, της οποίας το ηλεκτρικό πεδίο να μη διαταράσσει τη μορφή του ηλεκτρικού πεδίου εντός του οποίου τοποθετείται.

Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι ένα χαρακτηριστικό μέγεθος κάθε ηλεκτρικού πεδίου και ορίζεται απο τη σχέση :

qF

0qlimE

+→=

Σημειώνουμε ότι η δοκιμαστική ποσότητα κατά σύμβαση λαμβάνεται ως θετική.

Σε αντιστοιχία με τον ορισμό της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου δίνουμε τον ορισμό της

έντασης g του βαρυτικού πεδίου, το οποίο δημιουργείται γύρω απο μια σημειακή μάζα ή μια ομάδα μαζών:

mF

0mlimg→

=

4. Ενταση απο πεδία σημειακών ηλεκτρικών η βαρυτικών ποσοτήτων Το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργεί ένα σημειακό ηλεκτρικό φορτίο q γύρω του είναι

ακτινικό για λόγους συμμετρίας. Το ίδιο ισχύει και για το βαρυτικό πεδίο που δημιουργείται γύρω απο μια σημειακή μάζα m. Απο τους προηγούμενους ορισμούς εύκολα εξάγεται ότι:

Page 25: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

2RqKE = καί 2r

mGg =

5. Ορισμός ηλεκτρικού και βαρυτικού δυναμικού Η μεταβολή του ηλεκτρικού δυναμικού μεταξύ δύο θέσεων Α και Β εντός ενός ηλεκτρικού

πεδίου ορίζεται απο τη σχέση:

qW

0qlimVV BA

BA +→≡− →

όπου q είναι μια θετική δοκιμαστική ποσότητα φορτίου.

Παρόμοια ορίζεται η μεταβολή του βαρυτικού δυναμικού : m

W0m

limVV BABA

→≡−

όπου m είναι μια δοκιμαστική ποσότητα μάζας. Για τη περίπτωση του βαρυτικού δυναμικού

ορίζουμε ότι 0V =∞

6. Δυναμική ενέργεια μέσα σε βαρυτικό ή ηλεκτρικό πεδίο σημειακής ποσότητας

Απο τον γενικό ορισμό της δυναμικής ενέργειας, όπως δόθηκε στο πρώτο κεφάλαιο:

BAW)A(E)B(E →ΔΥΝΔΥΝ −≡− (Απο τις δυνάμεις του πεδίου) και προκύπτει για 0)(E =∞ΔΥΝ ότι ∞→ΔΥΝ = AW)A(E Βαρυτικό πεδίο Για την περίπτωση του βαρυτικού πεδίου που δημιουργείται απο μια σημειακή ποσότητα Μ

η δυναμική ενέργεια μιας μάζας m (όχι απαραίτητα δοκιμαστικής) ευρισκομένης σε απόσταση r απο αυτή υπολογίζεται απο τη σχέση:

rMmGdr

rMmGFdr)r(E

r r2 −=−== ∫ ∫

∞ ∞

ΔΥΝ

To δυναμικό σε μια θέση r γύρω απο μια σημειακή μάζα M υπολογίζεται απο τη σχέση:

rMG

mW

0mlim)r(V

ï

r

ï

−=→

= ∞→

όπου mo είναι μια δοκιμαστική ποσότητα μάζας. Ηλεκτρικό πεδίο Για τη περίπτωση του ηλεκτρικού ηεδίου σημειακής ποσότητας Q η μεταβολή της

δυναμικής ενέργειας μιάς θετικής ποσόττητας q (όχι απαραίτητα δοκιμαστικής) μεταξύ δύο θέσεων Ar και Br υπολογίζεαται απο τη σχέση:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=−=− ∫ ∫ΔΥΝΔΥΝ

AB

r

r

r

r2AB r

1r1KQqdr

rQqKFdr)r(E)r(E

B

A

B

A

Η διαφορά δυναμικού για τις ίδιες θέσεις υπολογίζεται βάσει του ορισμού απο τη σχέση :

Page 26: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

→=−

AB

ABAB r

1r1KQ

qr1

r1KQq

0qlim)r(V)r(V

τώρα όμως το q πρέπει να θεωρηθεί ως δοκιμαστική ποσότητα.

7. Δύναμη Laplace ασκούμενη σέ φορτίο καί σέ ρευματοφόρο αγωγό

α) Αποδεικνύεται ότι η δύναμη FL, πού ασκείται σε ένα κινούμενο φορτίο q εντός μαγνητικού πεδίου επαγωγής Β, δίδεται απο τη σχέση:

( )BvqFL ×= (1)

Η δύναμη αυτή λέγεται δύναμη Laplace καί έχει μέτρο:

ϕ= sinBvqFL

φ=γωνία μεταξύ τών ανυσμάτων v καί B, σύμφωνα μέ τόν ορισμό τού εξωτερικού γινομέν ου (βλέπε κεφάλαιο 0).

β) Η δύναμη Laplace dF πού ασκείται σέ ένα τμήμα ρευματοφόρου αγωγού μήκους dl όταν αυτός ευρίσκεται εντός μαγνητικού πεδίου B δίνεται από τή σχέση:

ϑ= sindlBIdFL

ή υπό διανυσματική μορφή:

( ) BldIFd L ×=

Απόδειξη Αν θεωρήσουμε ότι ένα στοιχειώδες κομμάτι ld τού αγωγού, διαρρέεται σέ χρόνο dt από

ένα στοιχειώδες φορτίο dq μέ ταχύτητα v λόγω ενός ηλεκτρικού πεδίου Ε (εξαιτίας μιάς πηγής τάσης εφαρμοσμένης στά άκρα τού αγωγού), η δύναμη Laplace LFd πού ασκείται πάνω στόν αγωγό λόγω τού μαγνητικού πεδίου Β είναι βάσει τής σχέσης (1):

( )

( ) ( ) BldIBlddtdq

Bdt

lddqBvdqFd L

×=×=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=×=

Στό σχήμα περιγράφεται ο κανόνας της δεξιάς χειρός,

πού χρησιμοποιείται για τόν εύκολο προσδιορισμό τής διεύθυνσης τής δύναμης Laplace.

8. Υπολογισμός δύναμης παγκόσμιας έλξης σημειακής μάζας απο σφαιρικό φλοιό μάζας

FB

V

B

dF

è

dl

Page 27: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Η ισχύς της δύναμης Coulomb και της δύναμης παγκόσμιας έλξης αφορά σημειακές ποσότητες. Στη συνέχεια, θα αποδείξομε ότι η ισχύς των νόμων αυτών ή αν θέλετε οι νόμοι αυτοί διατηρούν την ίδια μορφή ακόμη και άν οι σημειακές ποσότητες αντικατασταθούν απο άλλες σφαιρικού σχήματος. Αυτό γίνεται κατανοητό στη συνέχεια, όπου υπολογίζομε τη δύναμη της παγκόσμιας έλξης πού ασκείται σέ σημειακή μάζα Σ από σφαιρικό φλοιό απειροστά μικρού πάχους t.

Εστω ένας σφαιρικός φλοιός μάζας Μ, ακτίνας r, πάχους t (τό οποίο υποθέτουμε απειροστά μικρό) καί μία σημειακή μάζα m πού ευρίσκεται σέ απόσταση R από τό κέντρο του.

Γιά νά υπολογισθεί ή δύναμη παγκόσμιας έλξης τήν οποία ασκεί ο φλοιός στή μάζα m, που είναι στό σημείο Σ γίνεται: α) ανάλυση τού φλοιού σέ κυκλικές ταινίες πλάτους rdθ καί β) ανάλυση κάθε ταινίας σέ στοιχειώδεις όγκους μεγέθους (rdθ)(ds)(t).Στή συνέχεια αθροίζεται διανυσματικά στό σημείο Σ η συνεισφορά στή δύναμη τής παγκόσμιας έλξης από κάθε στοιχειώδη όγκο, στούς οποίους αναλύθηκε ο φλοιός μέ τόν παραπάνω τρόπο.

Παρατηρούμε ότι στή συνισταμένη δύναμη 21 FF + , πού ασκούν δύο τυχόντες στοιχειώδεις όγκοι μιάς ταινίας ευρισκόμενοι σέ αντιδιαμετρική θέση, συνεισφέρουν μόνο οι οριζόντιες συνιστώσες των δυνάμεων αφού οι κάθετες συνιστώσες αλληλοαναιρούνται όπως εξηγείται στό σχήμα. Ετσι, η συνισταμένη δύναμη dF πού ασκεί η κυκλική ταινία πάνω στό σωμάτιο μάζας m πού ευρίσκεται στό σημείο Σ είναι οριζόντια (στό σχήμα), κατευθυνόμενη πρός τό κέντρο τού φλοιού καί έχει μέτρο:

αϑϑ

ρπ==⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡===

∑∑∑

ι

cosx

dsinmrGt2acosxdMmG

x

dMmGacosdFacosFddF 2

222

ii

iii

(1) όπου iFd είναι η δύναμη πού ασκεί στή μάζα Σ κάθε στοιχειώδης όγκος i τής ταινίας μέ μάζα dMi. Ελήφθη υπόψη, ότι ο στοιχειώδης όγκος dV και η στοιχειώδης μάζα dM μιάς στοιχειώδους ταινίας δίνονται από τίς σχέσεις (ρ= πυκνότητα υλικού τού φλοιού) :

ϑϑρπ=ρ=ϑϑπ= dsinrt2dVdM,dsintr2dV 22

Απο το σχήμα βλέπουμε ότι:

xcosrRcos ϑ−

=α (2)

Απο το νόμο συνημιτόνων έχουμε ότι:

⎪⎩

⎪⎨⎧

ϑϑ=

−+=ϑ⇒ϑ−+=

dsinRr2xdx2R2

xrRcosrcosRr2rRx222

222 (3)

Από τίς σχέσεις (1), (2) καί (3) έχουμε ότι:

dx1x

rRR

mrGtdF 2

22

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−ρπ= (4)

Η σχέση (4) ισχύει ανεξάρτητα από τή θέση τής σημειακής μάζας m ως πρός τό φλοιό. Στή

συνέχεια, θεωρούμε δύο περιπτώσεις:

a) Η σημειακή μάζα m νά είναι στό εξωτερικό τού σφαιρικού φλοιού

Page 28: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Τότε η μεταβλητή x παίρνει τιμές από R-r έως R+r.

Εύκολα αποδεικνύεται ότι r4dx1x

rRrR

rR2

22

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−∫+

, έτσι από τή σχέση (4) προκύπτει ότι τό

μέτρο τής συνισταμένης δύναμης F, πού ασκείται από όλες τίς ταινίες στίς οποίες αναλύθηκε ο φλοιός, δηλαδή από όλο τό φλοιό, επί τής σημειακής μάζας m δίνεται από τή σχέση:

( )22

2rR

rR RMmG

Rmtr4GdFF =

ρπ== ∫

+

Σημειώνουμε, ότι η φορά τής δύναμης αυτής είναι από τό

σημείο Σ πρός τό κέντρο τού φλοιού. Παρατηρούμε ότι η σχέση αυτή έχει τήν ίδια μορφή μέ

εκείνη που αφορά τή παγκόσμια έλξη ανάμεσα σε σημειακές μάζες Μ καί m, πού είναι σέ απόσταση R.

Συμπέρασμα: Μπορούμε να αντικαταστήσουμε τό σφαιρικό φλοιό μάζας Μ μέ μιά σημειακή

ποσότητα μάζας Μ τοποθετημένη στο κέντρο του. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγομε και όταν έχομε νά κάνομε μέ συμπαγή σφαίρα μάζας Μ,

καθότι αυτή μπορεί να αναλυθεί σε σφαιρικούς ομόκεντρους φλοιούς συνολικής μάζας M καί απειροστά μικρού πάχους t.

b) Η σημειακή μάζα m νά είναι στό εσωτερικό τού σφαιρικού φλοιού Τότε η μεταβλητή x παίρνει τιμές από R+r έως R-r, τό δέ ολοκλήρωμα:

0dx1x

rRrR

rR2

22

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−∫−

+

.

Από τή σχέση (4) προκύπτει ότι η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σέ μιά σημειακή μάζα m, πού είναι στό εσωτερικό τού φλοιού μάζας dM είναι μηδέν.

Ο Newton καθυστέρησε για πολλά

χρόνια την ανακοίνωση του νόμου της βαρύτητας, πράγμα που έκανε όταν ολοκλήρωσε την παραπάνω απόδειξη. Η απόδειξη αυτή δόθηκε γιά λόγους ολοκλήρωσης τής παρουσίασης.

Θεώρημα 1 Η ένταση του βαρυτικού πεδίου στο

εσωτερικό ενος σφαιρικού φλοιού μάζας Μ είναι μηδέν. Αυτό είναι εύλογο, αφού στο εσωτερικό ενός τέτοιου φλοιού δεν ασκείται δύναμη.

Θεώρημα 2

Η ένταση g(r) του βαρυτικού πεδίου στο εσωτερικό μιας συμπαγούς σφαίρας μάζας Μ και ακτίνας R είναι

Rrg)r(g o=

Απόδειξη Για r R⟨ η ένταση g του βαρυτικού πεδίου θα δοθεί απο τη σχέση:

Page 29: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛===Rrg

RMrG

r'MGrg o32

όπου ελήφθη υπόψη ότι 2o R

GMg = , Μ=μάζα και R=ακτίνα της σφαίρας, Μ΄=μάζα της

σφαίρας ακτίνας r.

Ισχύει δε ότι 3

3

3

3

Rr

dR34

dr34

'MM

π=

Θεώρημα 3 Τό βαρυτικό δυναμικό V, πού οφείλεται στήν ύπαρξη ενός σφαιρικού φλοιού μάζας Μ ή

μιάς συμαπαγούς σφαίρας μάζας Μ δίνεται γιά Rr ≥ , από τή σχέση:

rGMV −=

Απόδειξη

Από τόν ορισμό τού βαρυτικού δυναμικού ισχύει:

mW

limVV BA

0mBA→

→=−

Αν θεωρήσουμε ότι VB=V∞=0, τότε:

=−

=⋅

=∫∫∞

→ m

drr

MmGlim

m

ldFlimV

A 2

0m

A

0mA rMG

r1GM

rdrGM

rr 2 −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−∞

9. Υπολογισμός δύναμης Coulomb σε σημειακό φορτίο απο σφαιρικό φορτισμένο φλοιό

Το προηγούμενο θεώρημα επέκτασης του νόμου της παγκόσμιας έλξης και η απόδειξη του

μπορεί να εφαρμοσθεί κατ΄αντιστοιχία στη μελέτη της επίδρασης σφαιρικού φλοιού φορτίου Q επί ενός σημειακού φορτίου q, ευρισκομένου σε απόσταση R απο το κέντρο τού φλοιού. Ετσι, και στη περίπτωση αυτή ο νόμος Coulomb μπορεί να γραφεί :

2RqQKF =

όταν το φορτίο q είναι στο εξωτερικό του σφαιρικού φλοιού. Αντίθετα, όταν το σημειακό φορτίο q είναι στο εσωτερικό του σφαιρικού φλοιού τότε η

συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε αυτό είναι μηδέν. Η απόδειξη είναι παρόμοια με αυτή που δόθηκε στη προηγούμενη παράγραφο.

Θεώρημα 1 Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο εσωτερικό ενός σφαιρικού φλοιού με φορτίο Q είναι

μηδέν. Απόδειξη 1η

R

M

rm

A

FO

Page 30: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Αυτό είναι εύλογο καθότι δεν ασκείται συνισταμένη δύναμη πάνω σε ένα δοκιμαστικό φορτίο στο εσωτερικό του φλοιού απο τα φορτία τα κατανεμημένα στην επιφάνειά του, σύμφωνα με όσα προαναφέραμε. Το θεώρημα αυτό μπορεί να γενικευτεί και για συμπαγή αγωγό οποιουδήποτε σχήματος και κατανομής φορτίου. Η γενική απόδειξη δίνεται απο το νόμο του Gauss (Βλέπε σχετική απόδειξη στο Κεφ. 8).

Απόδειξη 2η Ενας απλούστερος τρόπος να αποδείξομε ότι στο

εσωτερικό ενός σφαιρικού φλοιού με φορτίο Q ισοκατανεμημένου στην επιφάνειά του δεν ασκείται επί μιας δοκιμαστικής σημειακής ποσότητας q δύναμη είναι ο εξής:

Θεωρούμε το φορτίο q σε μια τυχούσα θέση Ο και θεωρούμε δυό απειροστά μικρά τετράγωνα ABCD και A΄B΄C΄D΄ στην επιφάνεια του φλοιού σε αντίθετες κατευθύνσεις με τον τρόπο που επιδεικνύεται στο σχήμα. Παρατηρούμε ότι οι δυνάμεις Coulomb που ασκούν τα φορτία, που είναι κατανεμημένα στα δύο αυτά τετράγωνα, στο σημείο q είναι ίσες και αντίθετες. Πράγματι

⇔σ

⇔=⇔= 2'D'C'B'A

2ABCD

2'D'C'B'A

'D'C'B'A2

ABCD

ABCD'D'C'B'A2

'D'C'B'AABCD2

ABCD )r()'C'B()'B'A(

)r()BC()AB(

)r(Q

)r(QQ

)r(qKQ

)r(qK

( ) ( ) ( ) ( )

11)r(

rr)r(

rr2

'D'C'B'A

'D'C'B'A'D'C'B'A2

ABCD

ABCDABCD =⇔ϕϑ

=ϕϑ

⇔ ό.έ.δ.

όπου θ είναι η γωνία ΑΟ-Ο-ΟΒ, φ η γωνία BΟ-Ο-ΟC, σ η επιφανειακή πυκνότητα φορτίου

του φλοιού ()'D'C'B'A(

Q)ABCD(

QR4

Q 'D'C'B'AABCD2 ==

π=σ ) και (ABCD) το εμβαδό του τετραγώνου

ABCD. Με τη μέθοδο αυτή ολόκληρος ο σφαιρικός φλοιός μπορεί να διαιρεθεί σε τέτοια ζεύγη

επιφανειακών φορτίων με αποτέλεσμα η συνισταμένη δύναμη απο όλα τα φορτία του φλοιού στο δοκιμαστικό φορτίο q να είναι μηδέν. Κατ΄επέκταση και η ένταση στο σημείο Ο, που είναι τυχόν είναι μηδέν. Αρα, η ένταση σε κάθε σημείο στο εσωτερικό του φορτισμένου φλοιού είναι μηδέν.

Θεώρημα 2 To ηλεκτρικό δυναμικό στο εσωτερικό ενός φορτισμένου σφαιρικού συμπαγούς αγωγού

είναι το ίδιο με εκείνο της επιφάνειάς του. Απόδειξη Το φορτία σε ένα συμπαγή σφαιρικό αγωγό συγκντρώνονται στην επιφάνειά του, λόγω

άπωσης μεταξύ τους. Συνεπώς, το πρόβλημα του υπολογισμού της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στο εσωτερικό φορτισμένου συμπαγούς σφαιρικού αγωγού ανάγεται στον υπολογισμό της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στο εσωτερικό φορτισμένου σφαιρικού φλοιού, που όπως είδαμε είναι μηδέν. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα οι δυνάμεις οι ασκούμενες στο εσωτερικό του αγωγού εξαιτίας των φορτίων της επιφάνειάς του να είναι μηδέν. Αρα, στο εσωτερικό αγωγού εν ισορροπία δεν μπορεί να υπάρξει έργο σε ηλεκτρικό φορτίο, αφού δεν ασκείται δύναμη. Συνεπώς, και η μεταβολή δυναμικού μεταξύ ενός εσωτερικού και ενός επιφανειακού σημείου του αγωγού είναι μηδέν. Πράγματι, αν θεωρήσομε ένα σημείο Α στο εσωτερικό του αγωγού και ένα σημείο Β στην επιφάνειά του, καθώς και μια δοκιμαστική ποσότητα q στο εσωτερικό του αγωγού, τότε απο τον ορισμό του ηλεκτρικού δυναμικού έχομε :

0q0

0qlim

q

rd0

0qlim

q

rdF

0qlim

qW

0qlimVV

B

A

B

ABABA =

+→=

+→=

+→=

+→≡−

∫∫→

Page 31: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Θεώρημα 3 Τό ηλεκτρικό δυναμικό V, πού οφείλεται στήν ύπαρξη ενός σφαιρικού φλοιού φορτίου Q ή

ενός συμπαγούς σφαιρικού αγωγού φορτίου Q είναι:

rQKV −=

Απόδειξη Η απόδειξη είναι παρόμοια, μέ εκείνη τού βαρυτικού δυναμικού προηγουμένης

παραγράφου.

10. Ασκήσεις 1. Εξηγείστε γιατί η δύναμη Coulomb και η δύναμη παγκόσμιας έλξης του Newton είναι

συντηρητικές δυνάμεις. Εξηγείστε την προσθετική ιδότητα για την ένταση και το δυναμικό του ηλεκτρικού και του βαρυτικού πεδίου του προερχομένου απο ένα σύνολο σημειακών ποσοτήτων.

2. Σε ποιό ύψος h απο το έδαφος πρέπει να εγκατασταθεί ένας τηλεπικοινωνιακός

δορυφόρος, ώστε να παραμένει συνεχώς πάνω απο τον ίδιο τόπο του ισημερινού της γήινης επιφάνειας; Δίνονται η ακτίνα R της γής, η περίοδος περιστροφής T της γής και το g στην επιφάνεια της γής.

3. Τετράγωνο πλαίσιο Ν σπειρών με πλευράς μήκους a και b διαρρέεται απο ρεύμα

εντάσεως Ι. Το πλαίσιο έχει αρχικά τον άξονα αυτού οριζόντιο και κείμενος επί του μαγνητικού μεσημβρινού του τόπου. Να ευρεθεί το απαιτούμενο έργο για να καταστεί ο άξονάς του κάθετος στον μαγνητικό μεσημβρινό.

4. Δακτύλιος ακτίνας R φέρει ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο q. Να υπολογισθεί η

ένταση του ηλεκτρικού πεδίου και το ηλεκτρικό δυναμικό σε ένα σημείο ευρισκόμενο επί της καθέτου προς το επίπεδο δακτυλίου, εις το κέντρο αυτού, και απέχον απο του κέντρου απόσταση α. Γενικεύσετε την ευρεθείσα σχέση, όταν ο δακτύλιος αντικατασταθεί από ένα κύλινδρο ομοιόμορφα φορτισμένο ακτίνας R και α) μήκους L β) απείρου μήκους, μέ άξονα τον ίδιο με του αρχικού δακτυλίου.

5. Μικρή μεταλλική σφαίρα μάζας m, φορτισμένη με θετικό φορτίο q εξαρτάται απο αβαρές

νήμα μήκους l καί τοποθετείται μεταξύ των πλακών ενός κατακορύφου ηλεκτρικού πεδίου E. Ποία είναι η περίοδος ταλάντωσης του εκκρεμούς, όταν η σφαίρα φορτισθεί με θετικό φορτίο q στη περίπτωση που η φορά του ηλεκτρικού πεδίου α) είναι ίδια με εκείνη του βαρυτικού πεδίου β) είναι αντίθετη. Δίδεται το g.

6. Ποιά είναι η έκφραση της δυναμικής ενέργειας ενός συστήματος τριών σωματιδίων με

μάζες αντίστοιχα m1, m2 και m3 ευρισκομένων σε σχετική απόσταση d12, d23 και d31 μεταξύ τους; Υποθέστε ότι αρχικά τα σωματίδια ευρίσκονται στο άπειρο. Γενικεύστε για τη περίπτωση τεσσάρων σωματιδίων κ.ο.κ. Δίδεται η σταθερά G της παγκόσμιας έλξης.

7. Δύο σωματίδια, τα οποία έχουν μάζες m1 και m2 και που αρχικά ηρεμούν σε άπειρη

απόσταση μεταξύ τους, αρχίζουν να πλησιάζουν το ένα το άλλο λόγω της ασκούμενης μεταξύ τους δύναμης της παγκόσμιας έλξης. Ποιά είναι η σχετική ταχύτητα με την οποία το ένα πλησιάζει το ένα το άλλο; Δίδεται ότι d είναι η αρχική απόσταση των δύο σωματιδίων και G η σταθερά της παγκόσμιας έλξης.

Page 32: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

8. Θεωρούμε ευθύγραμμο αγωγό μάζας m και μήκους l, ο οποίος δύναται να ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω σε δύο παράλληλες μεταλικές ράβδους με αμελητέα ωμική αντίσταση. Οι δύο ράβδοι ενώνονται εν σειρά στο πάνω μέρος με μιά μεταβλητή αντίσταση RX και μιά πηγή ηλεκτρεγερτικής δύναμης Ε. Το επίπεδο των δύο ράβδων σχηματίζει γωνία φ με το επίπεδο, ενώ το όλο σύστημα είναι τοποθετημένο μέσα σε κατακόρυφο μαγνηικό πεδίο επαγωγής B. a) Πόση πρέπει να είναι η τιμή RΟ της αντίστασης RX γιά να ολισθαίνει η ράβδος με σταθερή ταχύτητα πάνω στις δύο ράβδους; b) Αν η αντίσταση RX αυξάνεται με ρυθμό Κ Ohm/s απο μηδέν μέχρι τη τιμή RO τότε πόση θα είναι η ορική ταχύτητα της ράβδου; Θεωρείστε ότι αρχικά η ράβδος είναι ακίνητη. Δίδεται το g.

9. Δύο συγκεντρικές μεταλικές αφαίρες έχουν ακτίνες αντίστοιχα r και R. Ο χώρος μεταξύ των σφαιρών είναι κενός. Η εσωτερική σφαίρα έχει φορτίο q1 και η εξωτερική q2. Να ευρεθούν οι εκφράσεις για την ένταση και το δυναμικό στα διάφορα σημεία εντός και εκτός του συστήματος των δύο αγωγών. Ποιές είναι οι εκφράσεις για τη περίπτωση, που οι δύο αγωγοί είναι σε απόσταση L; Τί συμβαίνει αν οι δύο αγωγοί ενωθούν με ένα αγωγό ή γειωθούν. Εξετάστε όλες τις δυνατές περιπτώσεις και δώστε τις αντίστοιχες εκφράσεις.

Page 33: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

4. Κινήσεις σέ πεδίο δυνάμεων

1. Εισαγωγή Εξίσωση κίνησης είναι η εξίσωση )t(rr = , πού περιγράφει τη θέση r του σωματιδίου

συναρτήσει του χρόνου. Με τη βοήθεια του νόμου του Newton μπορούμε να μελετήσουμε τη κίνηση ενός υλικού σωματιδίου και να βρούμε την εξίσωση κίνησης, που το περιγράφει. Στή συνέχεια, θα δούμε πως μπορούμε να βρούμε αυτή την εξίσωση κίνησης επιλύοντας την

διαφορική εξίσωση 2

2

dtrdm

dtpdF == του νόμου του Newton σε ωρισμένες απλές περιπτώσεις.

2. Ευθύγραμμη κίνηση Αν ένα κινητό εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση τότε ο νόμος του Newton μπορεί να γραφεί μόνο

σε μιά διεύθυνση ως εξής : 2

2

dtxdm

dtdvmmF ==γ= .

Ειδικότερα έχουμε : α) ομαλή κίνηση (v=σταθερό) Ενα σωματίδιο εκτελεί ομαλή κίνηση όταν το μέτρο της ταχύτητάς του v είναι σταθερό.

Στη περίπτωση αυτή απο 0Fmdtdvm0

dtdv

==γ=⇒= και ευρίσκουμε ότι ΄ενα σωματίδιο

για να εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση πρέπει η επιτάχυνσή του γ και συνεπώς και η προβολή της δύναμης, η οποία ασκείται πάνω σε αυτό κατά τη διεύθυνση την οποία κινείται να είναι μηδέν.΄

Ολοκληρώνοντας τη σχέση ⇒= 0dtdv vtxx o += , που είναι και η εξίσωση κίνησης ενός

κινητού για ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. β) ομαλώς επιταχυνόμενη κίνηση

Ενα σωματίδιο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλώς επιταχυ- νόμενη κίνηση όταν κινείται επι ευθύγραμμης διεύθυνσης με σταθερή επιτάχυνση. Αυτό σημαίνει ότι το κινητό εκτελεί τη κίνηση αυτή κατά τη συγκεκριμένη διεύθυνση υπο την επίδραση μιας σταθερής

δύναμης ή συνιστώσας δύναμης (mγ=F=σταθερή).

Στη περίπτωση αυτή dtdv

=γ = σταθερά. Με ολοκλήρωση αυτής της σχέσης ευρίσκουμε ότι

tvv o γ+= , όπου vo είναι η αρχική ταχύτητα του κινητού. Με περαιτέρω ολοκλήρωση της

τελευταίας σχέσης που γράφεται και ως εξής: tvdtdx

o γ+= , ευρίσκουμε ότι

2oo t

21tvxx γ++= , όπου xo είναι η αρχική θέση του σωματιδίου. Η τελευταία σχέση είναι η

εξίσωση κίνησης ενός σωματιδίου, που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλώς επιταχυνόμενη κίνηση. Απο συνδιασμό των δύο τελευταίων σχέσεων, ευρίσκουμε δύο ακόμη χρήσιμες σχέσεις:

vvo

FF

ãã

m m

t= 0 t

Page 34: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

t2

vvxx o

o+

+= καί )xx(2vv o2o −γ+=

πού μπορούν να επιβεβαιωθούν με απευθείας αντικατάσταση. γ) ομαλώς επιβραδυνόμενη κίνηση

Ενα σωματίδιο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλώς επιβραδυνόμενη κίνηση όταν κινείται επι ευθύγραμμης διεύθυνσης με σταθερή επιβράδυνση γ. Λέγοντας επιβράδυνση εννοούμε ότι η επιτάχυνση του κινητού (-γ) είναι αρνητική και η φορά της είναι αντίθετη της αρχικής ταχύτητας vo του κινητού.

Στη περίπτωση αυτή dtdv

=γ− = σταθερά και αρνητική. Με ολοκλήρωση αυτής της σχέσης

ευρίσκουμε ότι tvv o γ−= , όπου vo είναι η αρχική ταχύτητα του κινητού. Με περαιτέρω

ολοκλήρωση της τελευταίας σχέσης που γράφεται και ως εξής: tvdtdx

o γ−= , ευρίσκουμε ότι

2oo t

21tvxx γ−+= , όπου xo είναι η αρχική θέση του σωματιδίου. Η τελευταία σχέση είναι η

εξίσωση κίνησης ενός σωματιδίου, που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλώς επιβραδυνόμενη κίνηση. Απο συνδιασμό των δύο τελευταίων σχέσεων, ευρίσκουμε δύο ακόμη χρήσιμες σχέσεις:

t2

vvxx o

o+

+= καί )xx(2vv o2o −γ−= .

Σύμφωνα με τις σχέσεις, που προέκυψαν το κινητό επιβραδύνεται και σταματά σε κάποια

χρονική στιγμή to. Στη συνέχεια επιταχύνεται κατά την αντίθετη φορά. Ο χρόνος to

υπολογίζεται απο τη σχέση : 0tvv oo =γ−= και ισούται με : γ

= oo

vt . Το διάστημα xmax

που διανύει μέχρι να σταματήσει υπολογίζεται απο τη σχέση : 2ooooomax t

21tvx)t(xx γ−+==

και ισούται με : γ

+=2v

xx2o

omax . Ο χρόνος τέλος tret , που χρειάζεται το κινητό για να

ξαναεπιστρέψει στη θέση x=xo απο την οποία ξεκίνησε, δίνεται απο τη λύση της εξίσωσης:

o2retretooret xt

21tvx)t(x =γ−+= και ισούται με

γ=

2o

retv

t

3. Αρχή της επαλληλίας ή σύνθεσης ή ανεξαρτησίας των κινήσεων Οταν ένα υλικό σημείο υπόκειται ταυτόχρονα στη δράση δύο ή περισσοτέρων δυνάμεων

1F , …,F2 , η διανυσματική μετατόπιση r την οποία τούτο εκτελεί είναι ίση προς το διανυσματικό άθροισμα των μετατοπίσεων …,r,r 21 τας οποίας αυτό θα έκανε αν κάθε δύναμη δρούσε ξεχωριστά (ανεξάρτητα) σε αυτό, κατά το ίδιο χρονικό διάστημα.

Page 35: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Στην πραγματικότητα η παραπάνω αρχή είναι ένα θεώρημα και η απόδειξή του στηρίζεται

στο νόμο του Newton ( ))t(rdtd

dtrdmF 2

2

2

2

== .

Απόδειξη Είναι προφανές ότι η δύναμη F μπορεί να αναλυθεί σε επιμέρους συνιστώσες 1F ,

…,F2 ανάλογα με τη φύση του προβλήματος. Τότε, θα ισχύει για τη κάθε συνιστώσα ο νόμος του Newton :

( )12

2

1 rdtdmF = , ( )…,r

dtdmF 22

2

2 =

Η συνισταμένη δύναμη F θα δίνεται απο τη σχέση :

( ) ( ) ( ) ( )rdtdmrr

dtdmr

dtdmr

dtdmFFF 2

2

212

2

22

2

12

2

21 ……… =++=++=++=

που είναι και η μαθηματική έκφραση της παραπάνω αρχής.

4. Βολές Οι βολές αποτελούν ενα είδος κίνησης στο οποίο μπορεί να εφαρμοστεί η αρχή της

επαλληλίας των κινήσεων. Στη συνέχεια θα δείξουμε πως γίνεται αυτό σε ορισμένες απλές περιπτώσεις.

α) πλαγία βολή σωματιδίου μέσα στο βαρυτικό πεδίο της γής

Στην περίπτωση αυτή ένα σωμάτιο μάζας m βάλλεται υπο γωνία φ με αρχική ταχύτητα vo και υφίσταται μόνο την επίδραση του βάρους του Β=mg. Σκοπός μας είναι να βρούμε την εξίσωση κίνησής του.

Μέθοδος Α Εστω το πλαγιογώνιο

σύστημα αξόνων ΑΟ-Ο-Οy και έστω a το μοναδιαίο διάνυσμα κατά τον άξονα ΟΑ και y το μοναδιαίο διάνυσμα κατά τον

άξονα Οy. Η δύναμη που ασκείται πάνω στο κινητό στο παραπάνω σύστημα δίνεται διανυσματικά απο τη σχέση:

ygmygma0B −=−=

Αυτό σημαίνει ότι το κινητό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση κατά τον άξονα ΟΑ (αφού

κατά τη διεύθυνση αυτή δεν ασκείται δύναμη) και ευθύγραμμη ομαλώς επιβραδυνόμενη κίνηση κατά τον άξονα Oy με αρχική ταχύτητα 0 και επιβράδυνση γ=g (αφού κατά τη διεύθυνση αυτή ασκείται δύναμη ίση με -mg). Εμείς ήδη έχουμε βρεί τις εξισώσεις κίνησης-λύσεις της εξίσωσης του Newton για αυτές τις δύο περιπτώσεις έτσι oi συντεταγμένες του κινητού στους δύο άξονες τη χρονική στιγμή t θα είναι:

atv)t(OA o= καί ygt21)t(AB 2−=

O

y

x

ymax

xÂxM

vovoy

vox

ö

Á

Â

ã = -gy

ã = 0x

Page 36: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Σύμφωνα με την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων τη χρονική στιγμή t το κινητό θα ευρεθεί στη θέση που ορίζεται απο το διάνυσμα:

ytg21atvABOAOB 2

o −=+=

που είναι και η εξίσωση κίνησης του εν λόγω σωματιδίου. Μέθοδος Β Εστω το ορθογώνιο σύστημα αξόνων xO-O-Oy και έστω x το μοναδιαίο διάνυσμα κατά

τον άξονα Οx και y το μοναδιαίο διάνυσμα κατά τον άξονα Οy. Η δύναμη που ασκείται πάνω στο κινητό στο παραπάνω σύστημα δίνεται διανυσματικά απο τη σχέση:

ygmymgx0B −=−= . Αυτό σημαίνει ότι το κινητό εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση κατά τον άξονα Οx με ταχύτητα vocosφ και ευθύγραμμη ομαλώς επιβραδυνόμενη κίνηση κατά τον άξονα Oy με αρχική ταχύτητα vosinφ και επιβράδυνση γ=g. Οι συντεταγμένες του κινητού στους δύο άξονες τη χρονική στιγμή t είναι:

x)t(x

t)cosv()t(x o ϕ= καί y

)t(y

tg21t)sinv()t(y 2

o ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −ϕ=

Σύμφωνα με την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων τη χρονική στιγμή t το κινητό θα

ευρεθεί στη θέση που ορίζεται απο το διάνυσμα:

ytg21t)sinv(xt)cosv()t(y)t(x)t(r 2

oo ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −ϕ+ϕ=+=

που είναι και η εξίσωση κίνησης του εν λόγω σωματιδίου. Η τελευταία εξίσωση ταυτίζεται

με εκείνη της μεθόδου Α, δηλαδή OBr = καθότι ysinxcosa ϕ+ϕ= . Σύμφωνα με όσα έχουμε μάθει η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t θα ευρίσκεται

απο τη σχέση:

( ) ytgsinvxcosvdt

)t(rd)t(v oo −ϕ+ϕ==

Οι συνιστώσες αυτές της ταχύτητας στους άξονες Ox και Oy αναμένονται σύμφωνα με όσα

έχουμε ήδη αναφέρει για το είδος της κίνησης που κάνει η κάθε συνιστώσα της κίνησης του σωματιδίου.

Ο χρόνος ανόδου tA θα δίνεται απο την επίλυση της σχέσης 0)t(v Ay = και ισούται με

gsinv

t oA

ϕ= και το μέγιστο ύψος ymax ευρίσκεται απο τη σχέση : ymax=y(tA) και ισούται με

g2sinv

y22

omax

ϕ= . Ο χρόνος ανόδου και καθόδου tTOT ευρίσκεται απο την επίλυση της

εξίσωσης : y(tTOT)=0 και gsinv2t o

TOTϕ

= . Παρατηρούμε ότι tTOT = 2 tA. Το διάστημα xB, που

διανύει το κινητό για να ξανασυναντήσει τον άξονα Ox (βεληνεκές) δίνεται απο την επίλυση

της εξίσωσης x(tTOT)=xB και ισούται με g

2sinvx

2o

= .

Τέλος, με απαλειφή του χρόνου απο τις σχέσεις x=x(t) και y=y(t) ευρίσκομε την εξίσωση

της τροχιάς του κινητού, που είναι:

Page 37: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

ϕ−ϕ= 22

o

2

cosv2gxtanxy

Παρατηρούμε ότι το βεληνεκές γίνεται μέγιστο όταν 1)2sin( =ϕ , δηλαδή όταν φ=45ο. β) Πλαγία βολή φορτισμένου σωματιδίου μέσα σε ομογενές ηλεκτροστατικό πεδίο

Στην περίπτωση αυτή ένα ηλεκτρόνιο μάζας m και φορτίου 0e⟨− βάλλεται υπό γωνία φ με αρχική ταχύτητα ov και

υφίσταται μόνο την επίδραση της δύναμης του πεδίου EeF −= . Ενα ομογενές πεδίο έντασης E σχηματίζεται

μεταξύ των οπλισμών ενός επίπεδου πυκνωτή, όπως φαίνεται στο σχήμα. Σκοπός μας είναι να βρούμε την εξίσωση κίνησης του ηλεκτρονίου.

Η αντιμετώπιση ενός τέτοιου προβλήματος είναι ανάλογη με τη πλάγια βολή σωματιδίου μέσα στο βαρυτικό πεδίο της

γής. Στη συγκεκριμένη περίπτωση το ρόλο του βάρους B παίζει η δύναμη F , η οποία δίνει

μια επιτάχυνση κατά τον αξονα Oy ίση με yEme

−=γ αντίθετης φοράς απο την αρχική του

ταχύτητα ysinv o ϕ . Ετσι το ηλεκτρόνιο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλώς επιβραδυνόμενη κίνηση κατά τον άξονα Oy και ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα ϕcosv o κατά τον άξονα Ox.

Ετσι, με αντικατάσταση του g απο τη θετική ποσότητα ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Eme στους τύπους της πλάγιας

βολής σωματιδίου σε βαρυτικό πεδίο προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης και τροχιάς του ηλεκρονίου στην προκειμένη περίπτωση :

ytEme

21t)sinv(xt)cosv()t(y)t(x)t(r 2

oo ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −ϕ+ϕ=+=

καί

ϕ−ϕ= 22

o

2

cosv2)m/e(Extanxy

γ) Βολή φορτισμένου σωματιδίου μέσα σε μαγνητικό πεδίο υπο γωνία ϕ = 90o Εστω ένα φορτίο 0q⟩ που εισέρχεται μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο επαγωγής B με

αρχική ταχύτητα ov κάθετη στη διεύθυνση του B . Ποιά είναι η εξίσωση κίνησής του;

Στο θετικό φορτίο q ασκείται η δύναμη Laplace FL=qvoB, που είναι πάντα κάθετη στην αρχική ταχύτητα vo και συνεπώς δεν παράγει έργο. Αρα το μέτρο της αρχικής ταχύτητας vo δεν μεταβάλλεται με το χρόνο, όταν το φορτίο εισέλθει στο μαγνητικό πεδίο. Τότε η δύναμη Laplace έχει σταθερό μέτρο και είναι συνεχώς κάθετη στη ταχύτητα του κινητού. Αρα, το φορτίο q με την είσοδό του στο μαγνητικό πεδίο θα εκτελέσει ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R καθόσον η δύναμη Laplace FL θα εκτελέσει χρέη κεντρομόλου δύναμης FK.

Για το λόγο αυτό :

⇒=⇒=R

mvBqvFF2o

oKL qB

mvR o=

Page 38: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Η περίοδος T της κυκλικής κίνησης ισούται με : qB

m2v

R2To

π=

π=

Παρατηρούμε ότι η περίοδος Τ του φορτίου q δεν εξαρτάται απο την αρχική ταχύτητα vo με

την οποία εισέρχεται το φορτίο στο μαγνητικό πεδίο. δ) Βολή φορτισμένου σωαμτιδίου μέσα σε μαγνητικό πεδίο υπο γωνία o90≠ϕ Στη περίπτωση αυτή αναλύουμε το διάνυσμα v της

αρχικής ταχύτητας του φορτίου q, που σχηματίζει γωνία φ με τό μαγνητικό πεδίο B σε δύο συνιστώσες την πv και την

Kv , παράλληλη και κάθετη αντίστοιχα στη διεύθυνση τού

πεδίου B . Ετσι, έχουμε ότι :

ϕ=π cosvv καί ϕ= sinvvK

Η συνιστώσα ταχύτητα vπ τού φορτίου q κατά τη διεύθυνση την παράλληλη στη διεύθυνση

του μαγνητικού πεδίου είναι σταθερή (ευθύγραμμη ομαλή κίνηση), διότι δεν ασκείται δύναμη Laplace σε αυτό. Η συνιστώσα ταχύτητα vK είναι σταθερή κατά μέτρο και αποτελεί τη ταχύτητα της κυκλικής κίνησης, την οποία διαγράφει η προβολή της θέσης του φορτίου q στο επίπεδο το κάθετο στη διεύθυνση του μαγνητικού πεδίου, σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στα προηγούμενα. Αρα, λόγω της αρχής της επαλληλίας των κινήσεων η τροχιά του φορτίου q εντός του μαγνητικού πεδίου θα είναι ελικοειδούς μορφής.

Σε χρόνο μιας περιόδου qB

m2T π= το φορτίο q θα έχει διαγράψει μια σπείρα κατά τη

διεύθυνση του πεδίου. Το βήμα β της έλικας θα δίνεται απο τη σχέση :

⇒=β πTv qB

cosmv2 ϕπ=β

5. Ασκήσεις 1. Ενα αεροπλάνο πετάει οριζόντια με ταχύτητα v σε ύψος h πάνω απο την επιφάνεια της

γής και εύρίσκεται συνεχώς εντός του κατακορύφου επιπέδου που περνάει απο ένα αντιαεροπορικό όπλο ευρισκόμενο στη γή. Να υπολογισθεί η γωνία κλίσης α του όπλου ως προς την επιφάνεια της γής κατά την οποία πρέπει να πυροβολήσει αυτό, ώστε το βλήμα του να κτυπήσει το αεροπλάνο. Υποθέστε ότι το όπλο πυροβολεί τη χρονική στιγμή που το αεροπλάνο είναι ακριβώς υπεράνω του όπλου, η δε αρχική ταχύτητα του βλήματος είναι πάντα vo. Η αντίσταση του αέρα και η μεταβολή του g με το ύψος θεωρούνται αμελητέες.

2. Ενα βλήμα βάλλεται εκ του εδάφους υπο γωνία θ1 με αρχική ταχύτητα vo. Μετά πόσο

χρόνο t πρέπει να βληθεί απο το ίδιο σημείο δεύτερο βλήμα υπο γωνία θ2 και με την ίδια αρχική ταχύτητα ώστε τα δύo βλήματα να συναντηθούν; Πώς μεταβάλλεται ο χρόνος t με την αρχική ταχύτητα του δευτέρου βλήματος; Δώστε ένα σχεδιάγραμμα. Δίνεται το g.

3. Ενας πύραυλος εκτοξεύεται απο το έδαφος κατακόρυφα πρός τα άνω, όταν δε φθάσει

στο μέγιστο ύψος εκρύγνηται και εκτοξεύει προς όλες τις διευθύνσεις θραύσματα. Εαν θεωρηθεί ότι τα θραύσματα εκτοξεύονται με την ίδια αρχική ταχύτητα vo, τότε α) να αποδειχθεί ότι μετά χρόνο t απο τη στιγμή της έκρηξης τα θραύσματα του πυραύλου θα ευρίσκονται στην επιφάνεια σφαίρας β) να προσδιορισθεί επίσης συναρτήσει των vo, g και t η ακτίνα της σφαίρας ώς και η θέση του κέντρου αυτής.

φ

β

V

VK

O

Page 39: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

4. Βλήμα βάλλεται με αρχική ταχύτητα vo και γωνία κλίσης α ως προς το έδαφος. Το βλήμα στο υψηλότερο σημείο της τροχιάς του εκρήγνυται σε δύο τεμάχια μάζας m1 και m2. Κατά την έκρηξη τα δύο τεμάχια αποχωρίζονται κατά την οριζοντία διεύθυνση έχοντας αποκτήσει μία επιπλέον κινητική ενέργεια Ε. α) Να ευρεθεί η απόσταση μεταξύ των σημείων πρόσπτωσης των δύο τεμαχίων στο έδαφος. β) Να μελετηθεί η τροχιά του κέντρου βάρους των δύο τεμαχίων; Δίδεται το g.

5. Εστω ένα πρωτόνιο εντός ενός ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου Ε, το οποίο αλλάζει φορά με περίοδο Τ. α) Αν τη χρονική στιγμή που ΄ανάβει΄ το ηλεκτρικό πεδίο για πρώτη φορά το πρωτόνιο είναι ακίνητο, να μελετηθεί η κίνηση του πρωτονίου. β) Να επαναληφθεί η ίδια μελέτη στην περίπτωση που το πρωτόνιο ευρίσκεται εντός ενός κατακόρυφου ομογενούς μαγνητικού πεδίου μαγνητικής επαγωγής Β, το οποίο αλλάζει φορά με περίοδο Τ. Θεωρείστε ότι τη χρονική στιγμή που ΄ανάβει΄ το μαγνητικό πεδίο για πρώτη φορά το πρωτόνιο έχει αρχική ταχύτητα vo κάθετη στη διεύθυνση του μαγνητικού πεδίου. Πότε το πρωτόνιο περνάει απο το ίδιο σημείο του χώρου; Δίδεται το φορτίο e και η μάζα m του πρωτονίου.

6. Ηλεκτρόνιο εισέρχεται μεταξύ των οριζοντίων οπλισμών οριζοντίου πυκνωτή με αρχική

ταχύτητα vo, που σχηματίζει γωνία φ με τις δυναμικές γραμμές του ηλεκτρικού πεδίου. Ο πυκνωτής είναι φορτισμένος υπο τάση U, η απόσταση μεταξύ των οπλισμών του είναι l, το δε μήκος κάθε οπλισμού είναι α. Να ευρεθούν α) το ύψος στο οποίο φθάνει το ηλεκτρόνιο εντός του ηλεκτρικού πεδίου, αν το σημείο εισόδου του είναι στο άκρο του χαμηλότερου απο τθυς δύο οπλισμούς, και β) η οριζόντια απόσταση που αντιστοιχεί στο μέγιστο τούτο ύψος. γ) Τι θα συμβεί αν οι οπλισμοί του πυκνωτή φορτισθούν με αντίθετη τάση; δ) Κάτω απο ποιές συνθήκες το ηλεκτρόνιο προσπίπτει στούς οπλισμούς του πυκνωτή, στις παραπάνω περιπτώσεις;

7. Ηλεκτρόνιο κινείται οριζόντια με σταθερή ταχύτητα vo και εισέρχεται εντός κατακορύφου

ομογενούς μαγνητικού πεδίου μαγνητικής επαγωγής Β, κυκλικής διατομής κέντρου Κ και ακτίνας R. Διάφραγμα τοποθετείται σε απόσταση d από το κέντρο Κ του κύκλου και κάθετα στη διεύθυνση της vo, που θεωρούμε ότι έχει διεύθυνση διερχόμενη από το Κ. Πόσο αλλάζει η θέση πρόσπτωσης του ηλεκτρονίου επί του διαφράγματος για Β=0 και Β=ΒΜ; Δίδεται το φορτίο e και η μάζα m του ηλεκτρονίου.

8. Ηλεκτρόνιο εισέρχεται εφαπτομενικά εντός ομογενούς ηλεκτρομαγνητικού πεδίου με

ταχύτητα vo σε ένα σημείο Κ, σχηματίζοντας γωνία φ με την κατακόρυφο. Η μαγνητική επαγωγή Β του μαγνητικού πεδίου είναι κατακόρυφη με φορά προς τα άνω, η δε ένταση Ε του ηλεκτρικού πεδίου είναι επίσης κατακόρυφη με φορά προς τα κάτω. 1) Τί είδους κίνηση κάνει το ηλεκτρόνιο κατά την κατακόρυφο Κz, 2) Τί είδους κίνηση κάνει η προβολή του ηλεκτρονίου εις το επίπεδο xΚy 3) Τί μορφή έχει η τροχιά του ηλεκτρονίου; 4) Ποιά θα ήταν η κίνηση του ηλεκτρονίου αν το ηλεκτρικό πεδίο Ε είχε φορά πρός τα άνω;

Page 40: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

5. Νόμοι τού Kirchhoff

1. Νόμος τού Ohm Ο νόμος του Οhm για ένα αγωγό δίνεται απο τη σχέση:

IRV = Απόδειξη Απο μια επιφάνεια S σε χρόνο dt περνάνε ndV ηλεκτρόνια υπο

την επίδραση ενός ηλεκτρικού πεδίου E, όπου n είναι η πυκνότητα των ηλεκτρονίων. Αρα, το ρεύμα που περνάει είναι:

VeSndt

dxSendtdVen

dtdqI ====

Υπο την επίδραση ενος ηλεκτρικού πεδίου Ε,

που ασκείται μέσω μιας πηγής τάσης V στα άκρα του αγωγού, τα ηλεκτρόνια εντός του αγωγού εκτελούν επιταχυνόμεη κίνηση μεταξύ κρούσεων πάνω στα θετικά ιόντα του πλέγματος του αγωγού. Η κίνηση αυτή έχει μια προτιμητέα διεύθυνση λόγω της επιβολής του ηλεκτρικού πεδίου. Φυσικά, την ίδια χρονική στιγμή τα ηλεκτρόνια του αγωγού εκτελούν και θερμική κίνηση, η οποία όμως δεν γίνεται σε μια προτιμητέα διεύθυνση αλλά τυχαία. Γιαυτό η μέση τιμή της ταχύτητας λόγω θερμικής κίνησης είναι μηδέν αλλά το μέτρο της vo όχι. Στο μοντέλο που αναπτύσσουμε θεωρούμε ότι το ηλεκτρικό πεδίο επιβάλλει μόνο μία προτιμητέα διεύθυνση στα ηλεκτρόνια, χωρίς να αλλάξει τα χαρακτηριστικά της θερμικής τους κίνησης, όπως η μέση διαδρομή τους λ και ο χρόνος μεταξύ δύο συγκρούσεων τ. Τέλος θεωρούμε ότι κάθε ηλεκτρόνιο μετά τη σύγκρουση με ένα ιόν έχει μηδενική ταχύτητα και εκτελεί επιταχυνόμενη κίνηση υπο την επίδραση των δυνάμεων του πεδίου Ε.

Ετσι, η ταχύτητα υτ ενός ηλεκτρονίου τη χρονική στιγμή τ μετά τη τελευταία σύγκρουσή του με ένα ιόν μέσα σε ένα αγωγό μήκους l είναι:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛λ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=γτ=υτ l

Vvm

evml

eVvm

eE

ooo

και η μέση τιμή της ταχύτητας του v είναι: 2v

2v0

v ττ =+

=

Αρα, το συνολικό ρεύμα Ι που θα διαρρέει τον αγωγό διατομής S είναι:

RV

lS1V

lS

mv2neVe

lV

mv2enSevnSI

o

2

o

≡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ=⎟

⎞⎜⎝

⎛λ==

Ορίσαμε ως ειδική αντίσταση του αγωγού τη ποσότητα: λ

=ρ 2o

nemv2

Η ποσότητα αυτή μεταβάλλεται με τη θερμοκρασία θ του αγωγού σύμφωανα με τη σχέση:

)a1(o ϑ+ρ=ρ a= θερμικός συντελεστής αντίστασης ρο= ειδκή αντίσταση στους 0 οC ρ= ειδική αντίσταση στους θ οC

Page 41: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Τέλος, ορίσαμε ως αντίσταση R για τον αγωγό μήκους l και διατομής S, την ποσότητα:

SlR ρ=

2. Ενέργεια του ηλεκτρικού ρεύματος Τα ηλεκτρόνια εντός του αγωγού αποκτούν κινητική ενέργεια, υπο την επίδραση της

δυνάμεως του ηλεκτρικού πεδιου Ε, που δημιουργεί η τάση V στα άκρα του αγωγού. Αυτή είναι η ενέργεια του ηλεκτρικού ρεύματος.

Σε χρόνο t μεταξύ δύο συγκρούσεων στα ιόντα του πλέγματος του αγωγού ένα ηλεκτρόνιο αποκτά κινητική ενέργεια We:

mlv2eVttmvW 2

o

222

21

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛τ

= τ

και τα (nlS) ηλεκτρόνια κινητική ενέργεια: tRVt

lS

mv2eVnnlSWW

2

o

22

e =λ

==

Αρα, η ενέργεια που μεταφέρει το ηλεκτρικό ρεύμα (κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων) είναι:

VqttqVVItt

RVW

2

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛===

Tέλος, η ισχύς N του ρεύματος είναι: VItqV

tWN ===

3. Πολική Τάση γεννήτριας και αποδέκτη Οπως είδαμε η ενέργεια και η ισχύς που μεταφέρει το

ηλεκτρικό ρεύμα εξαρτάται απο τα χαρακτηριστικά της ηλεκτρικής πηγής, που συντηρεί το κύκλωμα. Τα χαρακτηριστικά μιας γεννήτριας είναι η Ηλεκτρεγερτική της δύναμη E και η εσωτερική της αντίσταση r. Η ισχύς που δίνει μια γεννήτρια καταναλίσκεται στην εσωτερική αντίσταση r και στο κύκλωμα. Ετσι, ισχύει ότι:

rIVIEI 2+= και τελικά ότι η πολική τάση V στα άκρα της γενήτριας δίνεται με τη σχέση:

IrEVVV BA −=≡−

Αποδέκτης είναι κάθε συσκευή η οποία καταναλίσκει

ισχύ. Χαρακτηρηστικά ενός αποδέκτη είναι η Ηλεκτρεγερτική του δύναμη Ε΄ και η εσωτερική του αντίσταση r΄. Μία γεννήτρια που διαρρέεται κατά αντίθετη φορά συμπεριφέρεται ως αποδέκτης. Η ισχύς που δίνεται σε ένα αποδέκτη καταναλίσκεται στη συσκευή και στην εσωτερική της αντίσταση. Ετσι, ισχύει ότι:

'rII'EVI 2+=

και τελικά ότι η πολική τάση V στα άκρα του αποδέκτη

δίνεται με τη σχέση: 'Ir'EVVV BA +=≡−

Page 42: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

4. Υπολογισμός διαφοράς δυναμικού σε σύνθετο ηλεκτρικό κύκλωμα Εστω ένα τμήμα κυκλώματος, στο

οποίο πρόκειται να υπολογίσομε τη διαφορά τάσης VA-VΒ διαγράφοντας το κύκλωμα κατά τη φορά ΑΓΔΕΒ.

Λαμβάνοντας υπόψη τίς δύο προηγούμενες σχέσεις για την πολική τάση γεννήτριας και αποδέκτου μπορούμε να έχουμε:

VA – VΓ = Ε1 + Ι1 (R1+r1) VΓ– VΔ = Ε2 - Ι2 (R2 + r2)

- ( VΕ - VΔ ) = - (Ε´ + Ι2 r´) VΕ - VΒ = E3 - I3 (R3 + r3)

Δια προσθέσεως κατά μέλη

λαμβάνομε ότι :

VA-VB = I1 (R1+r1) - I2 (R2+r2+r´) - I3 (R3+r3) - (E´-E1-E2-E3) Γενικότερα και ως συνάγεται απο τα ανωτέρω, σε ένα κλάδο κυκλώματος θα ισχύει η

σχέση:

∑ ∑−=− EIRVV BA Τα Ι, Ε, Ε΄ των αθροισμάτων ∑IR και ∑E θα λαμβάνονται θετικά, αν είναι ομόρροπα

προς τη φορά μεταβάσεως απο το Α στο Β, ενώ στην αντίθετη περίπτωση θα λαμβάνονται αρνητικά.

5. Νόμοι του Kirchhoff Πρώτος κανόνας Kirchhoff

Το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων των εισερχομένων και των εξερχομένων σε ένα

κόμβο ενός κυκλώματος είναι μηδέν. Η αλγεβρική μορφή του νόμου είναι:

0I =∑ O νόμος αυτός είναι αποτέλεσμα της αρχής της διατήρησης του φορτίου. Πράγματι, εστω

dq το σύνολο του φορτίου το εισερχόμενο σε ένα κόμβο σε χρόνο dt και dq΄ το φορτίο το εξερχόμενο απο τον ίδιο κόμβο στον ίδιο χρόνο dt. Εστω ακόμη ότι dq=(I1+I2+...)dt και dq΄=(Ι1΄+Ι2΄+...)dt. Επειδή, dq=dq΄ προκύπει ότι: ∑ ∑= 'II ή ∑ =− 0)'II( , που είναι ο πρώτος νόμος του Kirchhoff.

Δεύτερος κανόνας του Kirchhoff Το αλγεβρικό άθροισμα των ΗΕΔ των πηγών και των αντι-ΗΕΔ των αποδεκτών κατά

μήκος ενός βρόχου συνθέτου κυκλώματος ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των πτώσεων τάσεως κατά μήκος των αντιστάσεων του βρόχου.

Ο δεύτερος κανόνας του Kirchhoff προκύπτει απο τη σχέση:

∑ ∑−=− EIRVV BA υποθέτοντας ότι VA=VB, δηλαδή ότι το τμήμα κυκλώματος στο οποίο αναφερόμαστε είναι

κλειστό (βρόχος). Ο δεύτερος νόμος του Kirchoff εκφράζεται μαθηματικά με τη σχέση:

∑ ∑= IRE

Page 43: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

6.Συνδεσμολογία ωμικών αντιστάσεων

α) Σύνδεση αντιστάσεων εν παραλλήλω

Η σύνδεση αυτή περιγράφεται στό σχήμα, όπου δύο ωμικές αντιστάσεις R1 καί R2 είναι συνδεδεμένες εν παραλλήλω μέ μιά πηγή τάσης V. Σκοπός μας είναι να αντικαταστήσουμε τίς δύο αυτές αντιστάσεις μέ μιά ισοδύναμη αντίσταση R. Ετσι, μετά τό κλείσιμο τού διακόπτη Δ, θά ισχύει:

⇒+=⇒+=AB

2

AB

1

AB21 V

IVI

VIIII

21 R1

R1

R1

+=

β) Σύνδεση αντιστάσεων εν σειρά

Η σύνδεση αυτή περιγράφεται στό σχήμα, όπου

δύο αντιστάσεις R1 καί R2 είναι συνδεδεμένες εν σειρά μέ μιά πηγή τάσης V. Σκοπός μας είναι να αντικαταστήσουμε τίς δύο αυτές αντιστάσεις μέ μιά ισοδύναμη αντίσταση R. Ετσι, μετά τό κλείσιμο τού διακόπτη Δ, θά ισχύει:

⇒+=⇒+= ΑΓΑΒ 21 IRIRIRVVV

21 RRR +=

7. Γενικά περί χωρητικότητας Μιά από τίς πιό σπουδαίες αρχές στή Φυσική είναι η Αρχή τής Υπέρθεσης, τήν οποία ήδη

αντιμετωπίσαμε στό Κεφ.4. υπό τή μορφή τής Αρχής Επαλληλίας τών Κινήσεων. Εφαρμόζοντας τήν όλη ιδέα σέ μιά συλλογή ηεκτρικών φορτίων, παρατηρούμε ότι άν μιά

κατανομή φορτίων QA στό χώρο προκαλεί δυναμικό VA καί μιά άλλη κατανομή φορτίων QB προκαλεί δυναμικό VB, τότε η ταυτόχρονη παρουσία τών κατανομών φορτίων QA+QB θα προκαλέσει ένα δυναμικό VA+VB. Βάσει τής ίδιας αρχής θεωρούμε έναν αγωγό στό κενό, στόν οποίο με κάποιο τρόπο προσθέτουμε σταδιακά φορτίο. Εστω ότι Q είναι τό αρχικό του φορτίο καί V τό δυναμικό πού δημιουργεί αυτό. Αν τό φορτίο αυτό αυξηθεί καίνει aQ τότε θα δημιουργήσει δυναμικό aV, όπου a είναι μιά σταθερά αναλογίας πού αυξάνεται σταδιακά καθώς προσθέτουμε κατάλληλα φορτίο στόν αγωγό. Υπάρχει συνεπώς μιά αναλογία μεταξύ τού φορτίου ενός αγωγού καί τού δυναμικού πού δημιουργεί αυτό. Αυτή η σταθερά αναλογίας C ονομάζεται χωρητικότητα τού αγωγού καί μαθηματικά εκφράζεται με τή σχέση:

VQ

aVaQC =≡

Ας θεωρήσουμε τώρα δύο αγωγούς, έναν μέ φορτίο Q πού δημιουργεί δυναμικό V1 καί

έναν μέ φορτίο -Q, πού δημιουργεί δυναμικό V2. Αν πολλαπλασιάσομε (αυξήσομε) τά φορτία τών δύο αγωγών μέ τόν ίδιο παράγοντα, τότε καί τά δυναμικά τους θα πολλαπλασιαστούν μέ τόν ίδιο παράγοντα. Συνεπώς, η διαφορά τών δυναμικών V1-V2 είναι ανάλογη τής ποσότητας Q, τού φορτίου κάθε αγωγού (κατ΄απόλυτη τιμή), δηλαδή ( )21 VVCQ −= . Η σταθερά

I1

I2

R1

R2

V

A B

R2

V

A B

I

CR1

Δ

Page 44: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

αναλογίας C είναι η χωρητικότητα τών δύο αγωγών. Ετσι, η χωρητικότητα C ενός πυκνωτή μέ παράλληλους οπλισμούς είναι:

VQC =

όπου V=V1-V2, είναι η διαφορά δυναμικού τών οπλισμών τού πυκνωτή. Στό Κεφ.8, θά δούμε ότι η χωρητικότητα ενός τέτοιου πυκνωτή εξαρτάται από τά

γεωμετρικά του στοιχεία καί είναι ίση μέ:

lSC oεε=

όπου S είναι η επιφάνεια ενός οπλισμού τού πυκνωτή, l η απόσταση μεταξύ τών δύο οπλισμών του, ε είναι η διηλεκτρική σταθερά τού διηλεκτρικού πού καταλαμβάνει τόν χώρο μεταξύ τών οπλισμών του καί εο είναι η διηλεκτρική σταθερά τού κενού (ε=1 γιά τόν αέρα).

Γενικότερα, αποδεικνύεται ότι άν Ν αγωγοί ευρίσκονται σέ δυναμικό Vi, i=1,2, …,N καί έχουν φορτίο αντίστοιχα Qi, i=1,2, …,N. Τότε τά φορτία καί τά δυναμικά τών αγωγών συνδέονται με τή γραμμική σχέση:

N,2,1i,VCQN

1jjjii …== ∑

=

Οι συντελεστές Cij λέγονται συντελεστές χωρητικότητας. Παρατηρείστε, ότι Cij=Cji

. Οι συντελεστές Cij εξαρτώνται από τά γεωμετρικά στοιχεία τών αγωγών.

Οι τελευταίες εξισώσεις είναι ένα σύστημα εξισώσεων μέ αγνώστους τίς χωρητικότητες Cij.

Οταν αυτές προσδιοριστούν από τήν επίλυση τού συστήματος, τότε μπορούμε νά γράψουμε τή προηγούμενη σχέση ώς:

N,2,1i,QPVN

1jjjii …== ∑

=

Οι συντελεστές Pij λέγονται συντελεστές δυναμικού καί ισχύει Pij=Pji, όπως προηγουμένως Τέλος, αποδεικνύεται ότι η ηλεκτροστατική ενέργεια UE ενός συστήματος αγωγών δίνεται

από τή σχέση:

jiji

jijiji

jii

iiE QQP21VVC

21QV

21U ∑∑∑ ===

8. Συνδεσμολογία πυκνωτών

α) Σύνδεση πυκνωτών εν σειρά Η σύνδεση πού περιγράφεται στό

σχήμα, όπου δύο πυκνωτές (C1, C2) είναι συνδεδεμένοι εν παραλλήλω μέ μιά πηγή τάσης V.

Σκοπός μας είναι να αντικαταστήσουμε τούς δύο αυτούς πυκνωτές μέ έναν χωρητικότητας C. Μετά τό κλείσιμο τού διακόπτη Δ, θά ισχύει:

AB1 V

QC = καί BC

2 VQC =

Ο ζητούμενος πυκνωτής, θά έχει χωρητικότητα ACVQ

VQC ==

C1

V

A B

Δ

C2

Q -Q CQ -Q

Page 45: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Ισχύει όμως ⇒+=⇒+=21

BCABAC CQ

CQ

CQVVV

21 C1

C1

C1

+=

Παρατηρείστε, ότι τό συνολικό φορτίο στόν κλάδο Β είναι μηδέν.

β) Σύνδεση πυκνωτών εν παραλλήλω Η σύνδεση πού περιγράφεται στό σχήμα, όπου δύο πυκνωτές

(C1, C2) είναι συνδεδεμένοι εν σειρά μέ μιά πηγή τάσης V. Σκοπός μας είναι να αντικαταστήσουμε τούς δύο αυτούς

πυκνωτές μέ έναν χωρητικότητας C. Μετά τό κλείσιμο τού διακόπτη Δ, θά ισχύει:

AB

11 V

QC = καί AB

22 V

QC =

Ο ζητούμενος πυκνωτής, θά έχει χωρητικότητα ABVQ

VQC ==

Από: ⇒+=⇒+= VCVCVCQQQ 2121 21 CCC +=

9. Γέφυρα Wheatstone: Μέτρηση άγνωστης αντίστασης

Χρησιμοποιώντας τήν συνδεσμολογία πού περιγράφεται στό σχήμα, θα υπολογίσουμε τήν τιμή μιάς άγνωστης αντίστασης RX, μέ τή βοήθεια τών δύο γνωστών αντιστάσεων (R2, R3), μιά μεταβλητής αντίστασης RC, μιάς πηγής τάσης V καί ενός αμπερομέτρου A.

Μεταβάλλοντας τήν τιμή τής αντίστασης RC κατορθώνουμε να μηδενίσουμε τήν τιμή τού ρεύματος, πού περνάει από τόν κλάδο BC καί τήν οποία μετράμε πειραματικά στό αμπερόμετρο Α. Εφόσον δέν περνάει ρεύμα από τόν κλάδο BC, τότε VB=VC. Τότε,

CX II = καί 32 II = (Α’

Κανόνας Kirchhoff) Ακόμη,

⇒=⇒⎭⎬⎫

=⇒=

=⇒=

3

2

X

c

33XXCDBD

22CCACAB

RR

RR

RIRIVVRIRIVV

3

2CX R

RRR =

Η συνδεσμολογία, πού χρησιμοποιήθηκε γιά τή μέτρηση τής άγνωστης αντίστασης RX

ονομάζεται Γέφυρα Wheatsone.

10. Ενέργεια φορτισμένου πυκνωτή Κατά τη φόρτιση ενός πυκνωτή ηλεκτρική ενέργεια αποθηκεύεται στο χώρο του ηλεκτρικού

του πεδίου, υπο μορφή δυναμικής ενέργειας του πυκνωτή. Σύμφωνα με τον ορισμό της δυναμικής ενέργειας, η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας

ενός πυκνωτή μεταξύ φορτισμένης και αφόρτιστης κατάστασης είναι :

ΦΟΡΤΙΣΗΣΦΟΡΤ

ΔΥΝΦΟΡΤΔΥΝ =− WEE A (απο τις δυνάμεις του πεδίου)

C1

V

A B

Δ

C2

Q1

Q2

-Q1

-Q2

IC

I2

RC

R2

V

A

B

CD

R3 I3

RX IX

A

Page 46: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Το έργο φόρτισης του πυκνωτή με το συνολικό φορτίο q προέρχεται απο τις δυνάμεις του ηλεκτρικού πεδίου της γενήτριας τάσης V=VA-VB που τροφοδοτεί τον πυκνωτή. Γιαυτό,

E

2q

0

q

0

UCq

21dq

CqVdqdWW ≡==== ∫ ∫∫ΦΟΡΤΙΣΗΣ

που είναι και η ενέργεια του φορτισμένου πυκνωτή UE. Σημειώνουμε ότι αν 0V⟩ τότε το θετικό φορτίο συγκεντρώνεται κατά τη φόρτιση στον

ολπισμό Α.

11. Ενέργεια του μαγνητικού πεδίου ενός πηνίου Οπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο, όταν σε ένα απομονωμένο από αλληλεπιδράσεις

πηνίο μεταβληθεί κατά dI το ρεύμα I που το διαρρέει, τότε στα άκρα του εμφανίζεται μία τάση εξ αυτεπαγωγής V με αντίθετη πολικότητα απο εκείνη της μεταβολής dI, με σκοπό να διατηρήσει την αρχική κατάσταση του πηνίου, δηλαδή τη τιμή του ρεύματος Ι που αρχκά το διέρρεε. Η τάση αυτή δίνεται απο τη σχέση:

dtdILV −=

όπου L είναι μία σταθερά (συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου). Εάν υποθέσουμε ότι το ρεύμα που διαρρέει ένα πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L

αυξάνεται απο 0 ώς Ι σε χρόνο t, τότε η δυναμική ενέργεια του ΄φορτιζόμενου΄ πηνίου αυξάνεται σύμφωνα με με τον ορισμό της δυναμικής ενέργειας ώς εξής :

ΦΟΡΤΙΣΗΣΦΟΡΤ

ΔΥΝΦΟΡΤΔΥΝ =− WEE A (απο τις δυνάμεις του πεδίου)

Το έργο ΄φόρτισης΄ του πηνίου προέρχεται απο τις δυνάμεις του ηλεκτρικού πεδίου της

τάσης V στα άκρα του πηνίου, που είναι η τάση αυτεπαγωγής του πηνίου. Γιαυτό,

B2

t

0

I

0

q

0

t

0

ULI21IdILIdt

dtdILVIdtVdqdWW ≡====== ∫ ∫∫ ∫∫ΦΟΡΤΙΣΗΣ

που είναι και η ενέργεια του φορτισμένου πηνίου UB.

12. Μελέτη συμπεριφοράς LR-κυκλώματος εν σειρά με γεννήτρια συνεχούς τάσης Θεωρούμε ένα κύκλωμα, που περιλαμβάνει μια πηγή

συνεχούς τάσης V, μια ωμική αντίσταση R και ένα πηνίο αυτεπαγωγής L εν σειρά.

Φόρτιση

Γενική λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης είναι:

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−=

− tL

R

e1R

V)t(I

Η τάση στα άκρα του πηνίου δίνεται απο τη σχέση: t

LR

L Vedt

)t(dILV−

==

Εκφόρτιση

Page 47: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Οταν ανοίξομε το διακόπτη δ και μετά κλείσομε το διακόπτη Δ, τότε ρεύμα διαρρέει το

κύκλωμα (απομονώνεται η πηγή). Σύμφωνα με το 2ο κανόνα του Kirchhoff θα ισχύει κάθε

χρονική στιγμή η σχέση: IRdtdIL =−

Γενική λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης είναι: t

LR

eRV)t(I

−=

Η τάση στα άκρα του πηνίου δίνεται απο τη σχέση: t

LR

L Vedt

)t(dILV−

=−=

13. Μελέτη συμπεριφοράς RC-κυκλώματος εν σειρά με γεννήτρια συνεχούς τάσης Θεωρούμε ένα κύκλωμα, που περιλαμβάνει μια πηγή

συνεχούς τάσης V, μια ωμική αντίσταση R και ένα πυκνωτή C εν σειρά.

Φόρτιση Οταν κλείσουμε το διακόπτη δ ενώ ο διακόπτης Δ είναι

ανοικτός, τότε ρεύμα διαρρέει το κύκλωμα. Σύμφωνα με το 2ο κανόνα του Kirchhoff κάθε

χρονική στιγμή θα ισχύει η σχέση RdtdqIR

CqV ==− , όπου q(t) είναι το φορτίο του πυκνωτή

C τη χρονική στιγμή t.

Γενική λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης είναι: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

− tRC1

e1VC)t(q

Η τάση στα άκρα του πυκνωτή δίνεται απο τη σχέση: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

− tRC1

C e1VC

)t(qV

Το ρεύμα, που διαρρέει το κύκλωμα δίνεται απο τη σχέση: t

RC1

eRV)t(I

−=

Εκφόρτιση Οταν κλείσουμε το διακόπτη δ ενώ ο διακόπτης Δ είναι ανοικτός, τότε ρεύμα διαρρέει το

κύκλωμα. Σύμφωνα με το 2ο κανόνα του Kirchhoff κάθε χρονική στιγμή θα ισχύει η σχέση :

IRdtdILV =− .

Οταν ανοίξομε το διακόπτη δ και μετά κλείσομε το διακόπτη Δ, τότε ρεύμα διαρρέει το κύκλωμα (απομονώνεται η πηγή). Σύμφωνα με το 2ο κανόνα του Kirchhoff θα ισχύει κάθε

χρονική στιγμή η σχέση: RdtdqIR

Cq

==− Γενική λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης είναι:

tRC1

VCe)t(q−

=

Η τάση στα άκρα του πυκνωτή δίνεται απο τη σχέση : t

RC1

C VeC

)t(qV−

==

Το ρεύμα, που διαρρέει το κύκλωμα δίνεται απο τη σχέση: t

RC1

eRV

dt)t(dq)t(I

−=

−=

Page 48: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Γραφική εξήγηση

Στο σχήμα φαίνεται η συμπεριφορά των συναρτήσεων y=e-x και y=1-e-x συναρτήσει της μεταβολής του x, που είναι ανάλογη με τη συμπεριφορά των συναρτήσεων μεταβολής του φορτίου, της τάσης και του ρεύματος με το χρόνο στις διαδικασίες φόρτισης και εκφόρτισης των δύο προηγουμένων παραγράφων.

Γιά ποιά τιμή του x έχουμε y=0.5;

14. Εφαρμογή: Αποφόρτιση RLC - κυκλώματος εν σειρά

Κύκλωμα αποτελείται από ιδανικό πυκνωτή C, ωμική αντίσταση R, πηγή συνεχούς ΗΕΔ Ε με αμελητέα εσωτερική αντίσταση καί διακόπτη πού συνδέονται σέ σειρά. Η αντίσταση έχει τιμή R=1ΚΩ καί η ΗΕΔ Ε=12V. Αρχικά ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος καί ο διακόπτης ανοικτός. Τή χρονική στιγμή to=0 κλείνουμε τό διακόπτη καί παρατηρούμε ότι τή χρονική στιγμή t1=5x10-

3ln2 sec, η πτώση τάσης στά άκρα τής αντίστασης είναι ίση μέ τήν τάση στά άκρα τού πυκνωτή. Οταν ο πυκνωτής φορτιστεί πλήρως, αποσυνδέουμε τήν πηγή καί στή θέση της τοποθετούμε ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L=5Η. Να υπολογιστεί α) η χωρητικότητα C τού πυκνωτή β) τήν ενέργεια WT πού πρέπει να προσφέρουμε με τή βοήθεια κάποιου εξωτερικού μηχανισμού, ανά περίοδο Τ στό ταλαντούμενο σύστημα, ώστε να μή επιδεικνύει αποσβεννύμενη συμπεριφορά γ) τί είδους ταλαντώσεις μπορεί να κάνει τό κύκλωμα κατά τήν αποφόρτισή του καί από τί εξαρτάται;

Λίγη θεωρία Εχουμε να κάνουμε μέ ένα σύστημα RLC αποφορτιζόμενο όταν γιά t=0 τό αρχκό φορτίο

τού πυκνωτή είναι γνωστό καί ίσο με q=CE. Εύκολα, ευρίσκεται ότι η τιμή τής χωρητικότητας C τού πυκνωτή είναι C=5x10-6F, πού είναι καί η απάντηση στό πρώτο ερώτημα.

Εφαρμόζοντας τό 2ο νόμο τού Kirchhoff λαμβάνουμε τή διαφορική εξίσωση (ΔΕ):

0CQ

dtdQR

dtdIL =++

πού μπορεί να γραφεί ως: 0LCQ

dtdQ

LR

dtQd0

CQ

dtdQR

dtQdL 2

2

2

2

=++⇒=++

αφού I=dQ/dt καί Q είναι τό φορτίο τού πυκνωτή κατά τή διιάρκεια τής αποφόρτισης καί

ισχύει ότι Q(t=0)=q=CE=0,00006 Cb.

Γιά λόγους ευκολίας ορίζομε τίς δύο ποσότητες: LR

=γ καί LC1

o =ω , όπου ωο

ονομάζεται ιδιοσυχνότητα τού κυκλώματος.

Η ΔΕ εξίσωση μπορεί τώρα νά γραφεί ώς: 0QdtdQ

dtQd 2

o2

2

=ω+γ+

Η πλήρης επίλυση τής τελευταίας ΔΕ δίνει τρείς δυνατές περιπτώσεις γιά τή

συμπεριφορά τού φορτίου Q(t) καί τού ρεύματος I(t), πού διαρρέει τό κύκλωμα κατά τήν αποφόρτιση τού πυκνωτή C. Η επίλυση τής ΔΕ είναι ένα θέμα, πού πρός τό παρόν διδάσκεται στό Παν/μιο καί δέν θα δοθεί εδώ. Ετσι, μπορεί νά αποδειχθεί ότι από τή σχέση τών τιμών τών σταθερών γ καί ωο εξαρτάται η συμπεριφορά τών Q καί I συναρτήσει τού χρόνου t.

α) o2ω<γ

0 2 4 6 8 0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 1-e -x

e -x

y

x

Page 49: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Αποδεικνύεται ότι τό φορτίο Q δίνεται από τή σχέση: ( ) ( )tcosqetQt

21

ω=γ−

καί τό ρεύμα I από τή σχέση: ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡ ωω+ωγ

−==γ−

tsintcos2

qedtdQtI

t21

Παρατηρείστε, ότι η συχνότητα ταλάντωσης τού ρεύματος I δέν είναι πλέον ωο αλλά ω. Ακόμη, παρατηρείστε ότι τό πλάτος ταλάντωσης τού ρεύματος Ι μειώνεται εκθετικά με τό χρόνο. Η τιμή τής ενέργειας ανά μονάδα χρόνου <Ν>Τ σέ χρόνο μιάς περιόδου Τ, πού πρέπει νά δίνεται στό σύστημα σέ κάθε περίοδο Τ (με κάποιο τρόπο), δίνεται από τή σχέση:

( )∫=T

0

2T

dtRtIT1N

Αντικαθιστώντας τήν προηγούμενη τιμή τού ρεύματος στήν τελευταία σχέση ευρίσκομε

μετά τήν ολοκλήρωση ότι:

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ γ+ω−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

γ+ω

γω+ω

γ−

= γ− )2

()T(cos2

)T2sin(2

eT2RqN

222

22T

2

T, όπου: o

220 4

ω<γ

−ω=ω

β) o2ω=γ

Αποδεικνύεται τότε ότι τό φορτίο Q είναι: ( ) t2eAtqQγ

−+=

όπου Α είναι μιά σταθερά πού μπορεί νά καθοριστεί συνήθως από τίς αρχικές συνθήκες τού κυκλώματος.

Τό ρεύμα I θά δίνεται από τή σχέση: ( ) ( ) t2eAtq

2A

dtdQtI

γ−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +γ

−==

Παρατηρείστε, ότι σέ αυτή τήν περίπτωση δέν έχουμε ταλάντωση αλλά σχεδόν εκθετική μείωση τού ρεύματος μέ τό χρόνο. Η τιμή τής μέσης ισχύος <Ν>Τ μπορεί να υπολογιστεί, όπως προηγουμένως. Στή συγκεκριμένη περίπτωση, η τιμή τού Α δέν μπορεί να ορισθεί από τίς αρχικές συνθήκες πού δώσαμε.

γ) o2ω>γ Αποδεικνύεται, ότι τότε τό φορτίο Q δίνεται από τή σχέση:

( ) ( )t

2t

2 eAqeAtQ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δ−

γ−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛δ+

γ−

−+= , όπου 04

2o

2

>ω−γ

=δ .

καί τό ρεύμα I από τή σχέση: ( ) ( )t

2t

2 e2

Aqe2

AdtdQtI

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δ+

γ−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛δ+

γ−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ δ+γ

−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ δ+γ

−==

Παρατηρείστε, ότι καί σέ αυτή τήν περίπτωση δέν έχουμε ταλάντωση αλλά σχεδόν εκθετική

μείωση τού ρεύματος μέ τό χρόνο. Η τιμή τής μέσης ισχύος <Ν>Τ μπορεί να υπολογιστεί, όπως προηγουμένως. Καί στή συγκεκριμένη περίπτωση, η τιμή τού Α δέν μπορεί να ορισθεί από τίς αρχικές συνθήκες πού δώσαμε.

Συζήτηση

Μέ αντικατάσταση τών τιμών R, L, C ευρίσκομε ότι: 15.0200100

2 o

<==ωγ

Page 50: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Αρα, έχουμε νά κάνουμε μέ τήν α περίπτωση

τής συζήτησής μας, όπου τό ρεύμα τού κυκλώματος ακολουθεί φθίνουσα ταλάντωση συχνότητας ω<ωο. Παρατηρούμε ακόμη ότι:

%5.86200173

o

==ωω

Ακόμη ευρίσκομε, ότι:

T=2π/ω=0.0362 sec

Q(t)= e-100t 0.00006 cos(173t) Qb

καί

Ι(t)= -3 e-100t (100 cos(173t) + 173 sin(173t)) / 5000 A

Τελικά ευρίσκομε ότι <Ν>Τ = 0.012 W καί WT = T <N>T

= 4.3x10-4 J

15. Ασκήσεις 1. Στό κύκλωμα τού σχήματος η ένδειξη του αμπερομέτρου είναι I, τού

δε βολτομέτρου V. Ο πυκνωτής C1 έχει χωρητικότητα C, ο πυκνωτής C2 έχει χωρητικότητα 2C και η γεννήτρια έχει ΗΕΔ Ε και εσωτερική αντίσταση r. Να υπολογισθεί α) η εσωτερική αντίσταση του αμπερομέτρου και του βολτομέτρου και β) τα φορτία τών δύο πυκνωτών.

2. Δώδεκα όμοια σύρματα αντίστασης R συνδέονται διά τών

άκρων τους σε σχήμα εξαγώνου, όπως στο σχήμα. Νά ευρεθεί η συνολική αντίσταση της προκύπτουσας συνδεσμολογίας, όταν αυτή συνδεθεί σε ηλεκτρικό κύκλωμα δια τών δύο απέναντι κορυφών Α και Β.

3. Οι οπλισμοί ενός επίπεδου πυκνωτή είναι κυκλικής διατομής

ακτίνας R και ευρίσκονται σε απόσταση l. Να υπολογισθεί η μεταξύ των δύο οπλισμών εξασκουμένη ελκτική δύναμη, όταν ο πυκνωτής είναι φορτισμένος υπο τάση V. Υποθέστε ως γνωστό, ότι η χωρητικότητα C ενός επίπεδου πυκνωτή δίνεται από τη σχέση: C=εοS/l, όπως αποδεικνύεται αργότερα και στο Κεφ.8.

4. Να ευρεθεί το φορτίο κάθε πυκνωτή στη συνδεσμολογία του

σχήματος. Δίνεται ότι C1=C, C2=2C και ότι η ΗΕΔ των πηγών είναι E. Η τιμή του R δεν είναι γνωστή. Ισχύει η αρχή της επαλληλίας για τα αποτελέσματα ηλεκτρικών πηγών σε ένα κύκλωμα;

0 0.02 0.04

0

5 .10 5

1 .10 4

Q t( )

t

0 0.02 0.04

0

0.005

0.01−

I t( )

0.060 t

Page 51: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

5. Ενας φορτισμένος πυκνωτής Α συνδέεται εν παραλλήλω με δεύτερο αφόρτιστο πυκνωτή Β, του οποίου η χωρητικότητα είναι k% της χωρητικότητας του πυκνωτή Α. Μετά τη σύνδεση και αφού αποκατασταθεί η ισορροπία διακόπτουμε το κύκλωμα. Στή συνέχεια ξανασυνδέουμε εν παραλλήλω τους δύο πυκντωτές αφού προηγουμένως αναστρέψουμε τους οπλισμούς του Β. Ποιό είναι το ποσοστό της αρχικής ενέργειας του πυκνωτή Α που μετατράπηκε κατά την παραπάνω διαδικασία σε θερμότητα; Δίδεται μόνο η τιμή k, τίποτε άλλο.

6. α) Ποία είναι η διαφορά δυναμικού μεταξύ των

σημείων Α και Β στη συνδεσμολογία του σχήματος, όταν ο διακόπτης Δ είναι ανοικτός; β) Πόση μεταβολή του φορτίου θα παρατηρηθεί σε κάθε πυκνωτή όταν κλεισθεί ο διακόπτης Δ; γ) Ποιό είναι τό ποσό τής θερμότητας πού θά καταναλωθεί στίς αντιστάσεις R1 καί R2, όταν ανοιχθεί ξανά ο διακόπτης Δ; Δίνεται ότι C1=C, C2=2C, R1=R, R2=2R, η ΗΕΔ Ε τών δύο πηγών και η εσωτερική τους αντίσταση r. Θεωρείστε επίσης ως γνωστό τό ηλεκτρικό ισοδύναμο τής θερμότητας.

7. Θεωρούμε μια επαγωγή L1=L ενωμένη σέ σειρά μέ μιά αντίσταση R1=R. Με μιά

γεννήτρια ΗΕΔ E και εσωτερικής αντίστασης r φορτίζουμε τη παραπάνω συνδεσμολογία μέχρις ότου το ρεύμα πού διαρρέει τό όλο σύστημα νά πάρει τό 1/e τής μέγιστής του τιμής. Αμέσως μετά αποσυνδέομε τη γεννήτρια καί συνδέομε στή θέση της μία αντίσταση R2=2R καί μιά αυτεπαγωγή L2=2L ενωμένες σέ σειρά. Δώστε τήν έκφραση α) τής μεταβολής τού ρεύματος μέ το χρόνο καί β) τής μεταβολής τής τάσης στά άκρα τής κάθε επαγωγής μέ το χρόνο στή νέα συνδεσμολογία.

Page 52: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

6. Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή

1. Νόμος του Faraday Η δύναμη Laplace που ασκείται σε ένα φορτίο q που είναι σε μαγνητικό πεδίο Β και κινείται

με ταχύτητα v δίνεται απο τη σχέση:

BvqFL ×= Αν θεωρήσουμε επιπλέον ότι έχουμε και παρουσία ηλεκτρικού πεδίου Ε, τότε η συνολική

δύναμη (λέγεται δύναμη Lorentz) που ασκείται πάνω στο φορτίο q κάθε χρονική στιγμή δίνεται απο τη σχέση:

)Bvq(EqF ×+= Η συνολική δύναμη είναι το άθροισμα της δύναμης λόγω του ηλεκτρικού Ε και του

μαγνητικού πεδίου Β. Ως γνωστό, η ένταση του ηλεκτρικού

πεδίου στο εσωτερικό ενός αγωγού διαρρεόμενου απο ρεύμα δίνεται απο τη σχέση: E=V/l , όπου V είναι η τάση στα άκρα του αγωγού και l το μήκος του

. Η ποσότητα ΄F/q΄ έχει χαρακτηριστικά

΄έντασης πεδίου΄, συνεπώς η ποσότητα:

dlqFE ∑ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= κατά μήκος ενός καμπύλου

αγωγού, που βρίσκεται εντός μαγνητικού πεδίου επαγωγής B, σύμφωνα και με τη προηγούμενη παράγραφο, έχει χαρακτηριστικά ΄τάσης΄ και λέγεται ΗλεκτρΕγερτική Δύναμη (ΗΕΔ). Τό φαινόμενο τής εμφάνισης τής ΗΕΔ ονομάζεται Ηλεκτρομαγνητική Επαγωγή. Αποδεικνύεται, ότι σέ κύκλωμα (κλειστό αγωγό) η ΗΕΔ E δίνεται απο τη σχέση:

dtdE Φ

−=

όπου Φ είναι η μαγνητική ροή η διερχόμενη απο την επιφάνεια S του αγωγού, η οποία

μπορεί να μεταβάλλεται με τη αλλαγή θέσης του αγωγού και με το χρόνο. Υπενθυμίζουμε, ότι η μαγνητική ροή που διέρχεται απο μια επιφάνεια S ορίζεται απο τη σχέση:

∑∑ ∑ ϕ=⋅=⋅=Φ cosdABdAnBSdB Ο Νόμος του Faraday λέει ότι: Αν για οποιοδήποτε λόγο συμβεί μεταβολή της μαγνητικής ροής, που διαρρέει ένα

κύκλωμα, τότε στο κύκλωμα επάγεται μια ΗΕΔ Ε της οποίας το μέτρο είναι ίσο με το ρυθμό μεταβολή της μαγνητικής ροής dΦ/dt, που διέρχεται απο αυτό το κύκλωμα.

Η ΗΕΔ Ε δημιουργεί με τη σειρά της ένα ρεύμα στο κύκλωμα (επαγωγικό ρεύμα - ρεύμα

του Lenz), του οποίου το αποτέλεσμα αντιτίθεται στη μεταβολή της μαγνητικής ροής και κατά συνέπεια στο αίτιο που την προκαλεί. Αυτό γίνεται με σκοπό να διατηρηθεί η συνολική ενέργεια του συστήματος ατίου-κυκλώματος και να καταναλωθεί απο το κύκλωμα η παραγόμενη ενέργεια εκ του αιτίου. Αυτό εκφράζεται μαθηματικά με το μείον στο τύπο Ε=-dΦ/dt.

Page 53: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

2. Ευθύγραμμος αγωγός κινούμενος εντός ομογενούς μαγνητικού πεδίου Θεωρούμε μια μεταλλική ράβδο μήκους l, που κινείται κάθετα

με ταχύτητα v εντός ενός μαγνητικού πεδίου Β. Τα ηλεκτρόνια συμμετέχουν σε μια θερμική κίνηση καθώς και στη μεταφορική κίνηση της ράβδου. Η ταχύτητα των ηλεκτρονίων λόγω θερμικής κίνησης είναι κατά μέσον όρο μηδέν.

Τα ηλεκτρόνια λόγω του μαγνητικού πεδίου θα κινηθούν προς τα άκρα της και θα δημιουργήσουν σε αυτά μιά διαφορά δυναμικού V, η οποία με τη σειρά της θα δημιουργήσει ένα αυξανόμενο ηλεκτρικό πεδίο Ε Αυτό το ηλεκτρικό πεδίο θα δημιουργήσει μια δύναμη FE που θα είναι αντίθετη προς τη δύναμη FL. Κάποια χρονική στιγμή οι δύο δυνάμεις θα γίνουν και ίσες, οπότε τα ηλεκτρόνια θα σταματήσουν να κινούνται πρός τα άκρα ενώ η δύναμη Lorentz F=FE+FL=0. Τότε θα ισχύει η εξίσωση :

0vlBVVVlVqEqvBq B ⟨−=−=⇒−=−= Γ

Παρατηρείστε ότι το χαμηλότερο δυναμικό είναι στη θέση Β, διότι εκεί υπάρχει αυξημένη

συγκέντρωση των ηλεκτρονίων.

3. Πλαίσιο κινούμενο εντός ομογενούς μαγνητικού πεδίου Θεωρούμε ένα λεπτό (μηδενικού πάχους) μεταλικό πλαίσιο

ΖΑΒΓΔΕ να κινείται κάθετα με ταχύτητα v εντός ενός ομογενούς μαγνητικού πεδίου Β.

Μελετώντας τό κύκλωμα καί λαμβάνοντας υπόψη όσα αναφέρθηκαν στήν προηγούμενη παράγραφο, συμπεραίνουμε ότι δεν αναπτύσσεται τάση στα άκρα Α και Β, ή στα άκρα Γ και Δ. Αυτό συμβαίνει, διότι τα ηλεκρόνια κατανέμονται κατά μήκος τού λεπτού αγωγού ΑΒ (ή ΓΔ) υπό τήν επήρεια του μαγνητικού πεδίου. Στα σημεία Α και Ζ, όπως και στα σημεία Ε και Δ δεν δημιουργείται τάση καθότι ευρίσκονται εκτός μαγνητικού πεδίου. Ετσι, μπορούμε να πούμε ότι η διαφορά δυναμικού πού αναπτύσσεται μεταξύ τών σημείων Ζ καί Ε δίνεται από τή σχέση:

ΔΕΓΔΓ ++++= VVVVVV BABZAZE = 00V00 B ++++ Γ = 0vlB ⟩

4. Επαγωγικό ρεύμα Θεωρούμε έναν λεπτό αγωγό

ΑΖ μήκους l, που κινείται χωρίς τριβή με σταθερή ταχύτητα v (υπο την επίδραση μιας σταθερής εξωτερικής δύναμης F) πάνω σε δύο λεπτές μεταλικές ράβδους, που συνδέονται εν σειρά με ένα αμπερόμετρο A όπως στο σχήμα.

Τα ηλεκρόνια λόγω της κίνησης της ράβδου έχουν μιά κίνηση παράλληλη στην ΑΔ με αποτέλεσμα τη δημιουργία ΗΕΔ στα άκρα Α και Ζ, όπως αναπτύχθηκε στην παράγραφο 2. Τα ηλεκτρόνια έχουν επίσης μία ακόμη κίνηση παράλληλη στη διεύθυνση ΑΖ (αφου το κύκλωμα είναι κλειστό) με αποτέλεσμα την άσκηση μιας συνολικής δύναμης Laplace FL στον ευθύγραμμο αγωγό ΑΖ.

Α

Ι

FL Fv

xB +

-

Α

Ζ

Δ

Γ

Page 54: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Παρατηρούμε ότι το επαγωγικό ρεύμα Ι έχει τέτοια φορά (Νόμος του Lenz), ώστε η δύναμη Laplace FL να εξουδετερώνει τη εξωτερική δύναμη F, που ασκείται στη ράβδο. Σε αυτή τη περίπτωση η ράβδος θα συνεχίζει να κινείται με σταθερή ταχύτητα. Γενικότερα, τό επαγωγικό ρεύμα έχει τέτοια φορά, ώστε νά αντιδρά στήν αιτία, πού τό προκάλεσε.

5. Επαγωγή σε ακίνητο πηνίο (σπείρα) απο χρονικά μεταβαλλόμενη ροή Θεωρούμε στο εξωτερικό ενός πηνίου, στο οποίο το ρεύμα

μεταβάλλεται με το χρόνο, μια σπείρα. Λόγω μεταβολής του ηλεκτρικού ρεύματος στο εσωτερικό του πηνίου υπάρχει μεταβολή της ροής dΦ/dt με το χρόνο στο πηνίο και στη σπείρα. Σύμφωνα με το Νόμο του Faraday η ΗΕΔ δύναμη V που αναπτύσσεται στη σπείρα είναι:

R2EEldtdV π==Φ

−=

όπου Ε είναι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στη σπείρα και l

είναι το μήκος της περιφέρειας του αγωγού. Ετσι, τα ηλεκτρόνια στη σπείρα κινούνται λόγω ενός πεδίου έντασης Ε:

dtd

R21E Φπ

−=

Στόν υπολογισμό θεωρήσαμε ότι έξω από τό απείρου μήκους πηνίο δέν υπάρχει μαγνητικό

πεδίο Β. Παρατηρούμε ότι α) η ένταση Ε του ηλεκτρικού πεδίου είναι χρονικά μεταβαλλόμενη και

μάλιστα ανάλογη του ρυθμού μεταβολής της μαγνητικής ροής με το χρόνο, β) η ένταση Ε εφάπτεται συνεχώς τής σπείρας με αποτέλεσμα οι δυναμικές γραμμές του ηλεκτρικού πεδίου στις οποίες αυτό εφάπτεται να είναι κλειστές γ) η φορά τής έντασης Ε είναι τέτοια ώστε νά

τηρείται ο νόμος τού Lenz (στό σχήμα υποθέτομε ότι 0dtd

⟩Φ πρός τά επάνω) καί δ) ότι το

ηλεκτρικό πεδίο το οποίο δημιουργήθηκε απο τη μεταβολή της μαγνητικής ροής είναι μη συντηρητικό, καθότι κατά μήκος της σπείρας (που είναι ένας κλειστός δρόμος) το ολοκλήρωμα

0dtdqR2EqldEqldFdW

CCC

≠Φ

−=π=⋅=⋅= ∫∫∫ .

Σε αυτό τό σημείο τίθεται το ερώτημα: ποιά είναι η αιτία της δημιουργίας του ηλεκτρικού

πεδίου στη σπείρα, αφου η σπείρα δεν κάνει μεταφορική κίνηση σε σχέση με το πηνίο (κάτι, που αντιμετωπίσαμε στα προηγούμενα). Η απάντηση ευρίσκεται στη γενίκευση της εννοίας του ηλεκτρικού πεδίου, το οποίο δεν δημιουργείται πλέον μόνο απο ακίνητα ηλεκτρικά φορτία αλλά και απο τη μεταβολή του μαγνητικού πεδίου με το χρόνο. Συνεπώς, το ηλεκτρικό πεδίο που δημιουργείται απο μεταβολή της μαγνητικής ροής παρουσιάζει τρείς σημαντικές διαφορές σε σχέση με το πεδίο που δημιουργείται απο ακίνητα ηλεκτρικά φορτία: α) δεν είναι σηντηρητικό β) οι δυναμικές του γραμμές είναι κλειστές και γ) είναι πεδίο χρονικά μεταβαλλόμενο.

6. Αυτεπαγωγή ενός πηνίου - Συντελεστής αυτεπαγωγής Ενα πηνίο με n σπείρες και διατομή S εμφανίζει ΗΕΔ Ε (αυτεπαγωγή), όταν η μαγνητική

ροή στο εσωτερικό του μεταβάλλεται κατά dΦ λόγω της μεταβολής dΙ ρεύματος που το διαρρέει. Η ΗΕΔ δύναμη Ε δίνεται απο τη σχέση:

dtdILE −=

Απόδειξη

dΦdt

E

C

R

Page 55: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Εστω ότι η αρχική ροή του πηνίου είναι: Φ1 = Β1 S = μοnI1S/l, όπου l είναι το μήκος του πηνίου. Εστω ότι η τελική ροή του πηνίου μετά χρόνο dt είναι: Φ2=Β2S=μοηΙ2S/l. Η μεταβολή της μαγνητικής ροής του πηνίου σε χρόνο dt δίνεται απο τη σχέση: dΦ = Φ2 - Φ1 = μοnS (dI/l)

Από το νόμο του Faraday η ΗΕΔ δύναμη δίνεται απο τη σχέση:

E= - n dΦ/dt = (μο n2 S/l) dI /dt Η ποσότητα L= μο n2 S/l λέγεται συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου. Στόν παραπάνω υπολογισμό θεωρήσαμε ώς γνωστό, ότι τό μαγνητικό πεδίο Β στό

εσωτερικό πηνίου (μέ μήκος πολύ μεγαλύτερο από τή διάμετρό του) είναι ομογενές καί δίνεται

από τή σχέση: Iln

ομ=Β η οποία θά αποδειχτεί στό Κεφ.8.

Στήν περίπτωση, πού το πηνίο περιέχει πυρήνα μαγνητικής διαπερατότητας μ τότε αποδεικνύεται ότι ο συνεντελεστής αυτεπαγωγής του L΄ δίνεται από τή σχέση L΄=μL.

7. Αμοιβαία επαγωγή - Συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής Εαν θεωρήσουμε δύο πηνία, το ένα μέσα στο

άλλο, τότε κάθε μεταβολή dΦ της μαγνητικής ροής στο εσωτερικό πηνίο θα είναι και μεταβολή ροής του δεύτερου πηνίου, που το περικλείει.

Εστω ότι το εσωτερικό πηνίο έχει n σπείρες, διατομή S και μήκος l, ενω το εξωτερικό πηνίο n΄ σπείρας, διατομή S και μήκος l΄.

Εστω, ότι Ι1 είναι η αρχική τιμή του ρεύματος στο εσωτερικό πηνίο και Ι2 η τιμή του ρεύματος στο ίδιο πηνίο μετά χρόνο dt. Στο ίδιο χρονικό διάστημα η ροή θα μεταβάλλεται κατά dΦ. Η μεταβολή αυτή θα είναι και μεταβολή ροής για το εξωτερικό πηνίο, οπότε και θα του επάγει μια ΗΕΔ.

Η ΗΕΔ Ε στα άκρα του δεύτερου πηνίου θα δίνεται απο τη σχέση:

dtdIM

dtdI

lnSn

dtlI

nl

In

Sndt

SBSBn

dtn

dtdnE o

1o

2o

1212 −≡μ′−=μ−μ

′−=−

′−=Φ−Φ

′−=Φ′−=

Ο συντελεστής Μ λέγεται συντελεστής αμοιβαίας επαγωγής. Παρατηρείστε ότι η τιμή τού l΄

δέν υπεισήλθε στόν τελικό τύπο.

8. Γενικός τύπος τής μαγνητικής ροής, τής επαγωγής καί τής ενέργειας μαγνητικού πεδίου

Αν θεωρήσουμε Ν κλειστούς βρόχους διαρρεόμενους από ηλεκτρικά ρεύματα, τότε

αποδεικνύεται ότι: a) Η μαγνητική ροή Φi η διερχομένη από το βρόχο i καί δημιουργημένη από τά ηλεκτρικά

ρεύματα πού διαρρέουν όλους τούς βρόχους συμπεριλαμβανομένου καί τού βρόχου i δίνεται από τή σχέση:

j

N

1jiji IL∑

=

Οι συντελεστές Lij είναι οι συντελεστές επαγωγής. Η τιμή τους εξαρτάται από τή γεωμετρία

καί τή φύση τών βρόχων.

β)Η εξ επαγωγής ΗΕΔ στό βρόχο I δίνεται από τή σχέση: ⇒Φ

−=dt

dE i

i dtdI

LE jN

1Jiji ∑

=

−=

γ) Τέλος, η ενέργεια τού μαγνητικού πεδίου πού αποθηκεύεται μέσα στούς βρόχους, δίνεται από τή σχέση:

Page 56: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

j

N

1i

N

1iiijB IIL

21U ∑∑

= =

= όπου Lij=Lji

Οι παραπάνω σχέσεις εύκολα γενικεύονται στή περίτπωση πού οι βρόχοι είναι πηνία. Οι σχέσεις τών παραγράφων 6 καί 7 αποτελούν ειδική περίπτωση τών τριών τελευταίων

σχέσεων. Πράγματι, θεωρώντας δύο μόνο βρόχους έχουμε:

dtdI

LdtdI

LEILIL 212

11112121111 −−=⇒+=Φ

Παρατηρούμε ότι L11=L καί L12=M, δηλαδή οι γνωστοί μας συντελεστές αυτεπαγωγής και

αμοιβαίας επαγωγής αντίστοιχα. Επισημαίνομε ότι το κύκλωμα στό πρωτεύον καί στό δευτερεύον είναι κλειστό. Η ενέργεια τού μαγνητικού πεδίου σέ κάθε χρονική στιγμή είναι:

22222112

2111B IL

21IILIL

21U ++=

Η παράγραφος αυτή είναι απαραίτητη γιά τή μεγαλύτερη κατανόηση τών θεμάτων αυτού

τού κεφαλαίου.

9. Μέτρηση έντασης ομογενούς μαγνητικού πεδίου Μέ τή βοήθεια α) ενός βαλιστικού γαλβανομέτρου Γ (ένα

όργανο, πού μετράει τό συνολικό φορτίο πού διέρχεται από αυτό) εσωτερικής ατνίστασης R καί β) μιάς σπείρας επιφάνειας S καί αμελητέας ωμικής αντίστασης, μπορούμε να μετρήσουμε τήν ένταση ενός ομογενούς μαγνητικού μαγνητικού πεδίου Β.

Ετσι, εισάγομε τήν σπείρα μέσα στό μαγνητικό πεδίο μέ τήν επιφάνειά της κάθετη στή διεύθυνση του καί συνδεδεμένη όπως στό σχήμα. Μέ τήν είσοδο τής σπείρας αναπτύσσεται μιά ΗΕΔ Ε στό κύκλωμα, λόγω τής μεταβολής τής μαγνητικής ροής στή σπείρα κατά ΔΦ, όπου Ε είναι:

tBS

t0BS

tE

Δ−

=Δ−

−=ΔΔΦ

−=

καί Δt είναι ο χρόνος από τή στιγμή, πού η σπείρα εισέρχεται στό πεδίο μέχρι να

ακινητοποιηθεί. Λόγω τής ΗΕΔ Ε, ηλεκτρικό ρεύμα διαρρέει όλο τό κύκλωμα γιά χρόνο Δt. Κατά τό χρονικό

αυτό διάστημα το βαλιστικό γαλβανόμετρο Γ μετράει ένα συνολικό φορτίο ΔQ. Ετσι, έχουμε:

SRQBR

tQIR

tBSE Δ=⇒

ΔΔ

==Δ

=

Από τή τελευταία σχέση ευρίσκεται η τιμή τής έντασης Β τού ζητούμενου μαγνητικού

πεδίου.

Γ

R

B

Page 57: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

10. Ασκήσεις 1.Μεταλική ράβδος AC μήκους l1 περιστρέφεται

επι οριζοντίου επιπέδου με τη βοήθεια ενός μονωτικού νήματος OA μήκους l2, προσδεδεμένου στό άκρο της Α, με γωνιακή ταχύτητα ω. α) Να ευρεθεί η αναπτυσσόμενη διαφορά δυναμικού V στα άκρα A καί C της ράβδου. Να θεωρηθεί ότι κατά τήν περιστροφή τής ράβδου τά άκρα της Α και C ευρίσκονται συνεχώς επί τού αυτού οριζοντίου επιπέδου OxC. β) Νά ευρεθεί η γραφική μεταβολή τής τάσης V μέ το χρόνο όταν η γωνιακή ταχύτητα ω ελαττώνεται γραμμικά μέ τό χρόνο και μηδενίζεται τελικά σέ χρόνο to. Δίδεται ότι η μαγνητική επαγωγή του γήινου μαγνητικού πεδίου είναι Β καί η μαγνητική έγκλιση ίση μέ ε.

2. Τετράγωνο πλαίσιο ABCD πλευράς α,

κινούμενο παράλληλα πρός μιά πλευρά αυτού, με σταθερή ταχύτητα v, εισέρχεται εντός ομογενούς μαγνητικού πεδίου τετραγωνικής διατομής πλευράς L καί έντασης Β, έχοντας τό επίπεδό του κάθετο προς τίς δυναμικές γραμμές του πεδίου και ακολούθως εξέρχεται από αυτό. α) Να παρασταθούν γραφικά οι μεταβολές της ροής Φ, τής έντασης τού επαγωγικού ρεύματος Ι και της ισχύος του ρεύματος τούτου στό πλαίσιο συναρτήσει της μετατόπισης x του πλαισίου, όπως ορίζεται στό σχήμα. β) Νά υπολογισθεί η διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημείων Α και Β καθ΄όλη τη διαδρομή του πλαισίου μέσα στό μαγνητικό πεδίο. Το πλαίσιο είναι φτειαγμένο από λεπτό σύρμα σταθερής διατομής. γ) Νά απαντηθούν τά ίδια ερωτήματα στην περίπτωση πού ένα ισοσκελές πλαίσιο πλευράς a και ύψους a εισέλθει εντός τού παραπάνω μαγνητικού πεδίου κατά τη διεύθυνση τού ύψους του a έχον συνεχώς το επίπεδόν του κάθετο προς τας δυναμικάς γραμμάς του πεδίου. Τά σημεία Α και Β αναφέρονται στή βάση τού ισοσκελούς τριγώνου.

3. Τετράγωνο πλαίσιο πλευράς a, πρόκειται να εισαχθεί εντός μαγνητικού πεδίου

επαγωγής B κατά τη διεύθυνση τής μιάς πλευράς του. Αν η αντίσταση του πλαισίου είναι R, ο χρόνος τής πλήρους εισόδου Δt και τό πλαίσιο καθ΄όλη τή δειάρκεια τής εισόδου του εντός τού μαγνητικού πεδίου παραμένει κάθετο στίς δυναμικές γραμμές αυτού, α) να υπολογισθεί το απαιτούμενο έργο W καί β) η απαιτούμενη δύναμη F, ώστε ο λόγος dΦ/dt κατα τη δειάρκεια της εισαγωγής νά παραμένει σταθερός.

4. Δύο μεταλικές ράβδοι Ax και Cy

αμελητέας αντίστασης καί απείρου μήκους, είναι παράλληλοι μεταξύ τους και στηρίζονται δια των άκρων τους A και C επι οριζοντίας μεταλικής πλάκας, έτσι ώστε η AC να έχει μήκος l και να είναι κάθετη προς εκάστη ράβδο, το δε επίπεδο το οριζόμενο υπ΄αυτών να σχηματίζει με τη μεταλική πλάκα γωνία φ. Οι ράβδοι ευρίσκονται εντός κατακορύφου ομογενούς μαγνητικού πεδίου, το οποίο έχει φορά προς τα άνω και μαγνητική επαγωγή Β. Επι των δύο ράβδων αφίεται να ολισθήσει άνευ τριβής σύρμα DZ, μήκους l, μάζας m και αντίστασης R, ούτως ώστε τούτο να είναι συνεχώς κάθετο προς τις δύο ράβδους. Να ευρεθεί η ταχύτητα, η επιτάχυνση καί η θέση τού σύρματος DZ κάθε χρονική στιγμή. Μετά από πόσο χρόνο τό σύρμα αποκτά ορική ταχύτητα; Είναι δυνατόν αυτό νά συμβεί; Δίδεται το g. Απ. v = v0(1-e-at)

Page 58: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

5. α) Νά αποδειχτεί ότι άν η ροή μαγνητικής επαγωγής διερχομένης από ένα κλειστό

βρόχο ωμικής αντίστασης R μεταβληθεί μέ οποιοδήποτε τρόπο από Φ1 σέ Φ2, τότε τό συνολικό φορτίο q πού περνά από μιά τομή τού βρόχου δίνεται από τη σχέση : q=(Φ2-Φ1)/R. β) Δύο πλαίσια Α καί Β είναι συζευγμένα επαγωγικά. Η μαγνητική ροή πού περνάει από τό πλαίσιο Α καί τό πλαίσιο Β είναι ΦΑ καί ΦΒ αντίστοιχα, όταν σταθερό ρεύμα ΙΑ διαρρέει το πλαίσιο Α. a) Ποιά είναι η εξ επαγωγής ΗΕΔ η οποία αναπτύσσεται στά πλαίσια Α καί Β, όταν τό ρεύμα που διαρρέει το πλαίσιο Α μηδενίζεται σέ χρόνο dt; Τό πλαίσιο Α είναι σε κλειστό κύκλωμα ενώ τό Β σέ ανοικτό. b) Τί πρέπει να ξέρομε γιά νά λύσομε τήν άσκηση όταν καί τό πλαίσιο Β είναι σέ κλειστό κύκλωμα;

6. Σέ ομογενές μαγνητικό πεδίο κυλινδρικής μορφής απείρου μήκους καί ακτίνας R, τό

μαγνητικό πεδίο Β αυξάνεται με ρυθμό dB/dt. a) Νά βρεθεί η ένταση τού ηλεκτρικού πεδίου εντός καί εκτός τού κυλίνδρου. Δώστε τη γραφική παράσταση τής μεταβολής τής έντασης Ε τού ηλεκτρικού πεδίου συναρτήσει τής απόστασης r από το κέντρο τού κυλίνδρου b) Σέ απόσταση Rro ⟩ τοποθετείται σημειακό ηλεκτρικό φορτίο q. Νά ευρεθεί η ένταση καί η μεταβολή τού δυναμικού κατά μήκος τής ακτίνας τού κυλίνδρου πού περνάει από το φορτίο q. Τί παρατηρείτε ; c) Στή θέση τού φορτίου q τοποθετείται το μέσο μιάς μεταλικής ράβδου μήκους l. Νά ευρεθεί η διαφορά δυναμικού στά άκρα αυτής τής μεταλικής ράβδου, όταν αυτή είναι παράλληλη καί κάθετη στόν άξονα συμμετρίας τού κυλίνδρου.

Page 59: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

7. Εναλασσόμενα ρεύματα

1. Ημιτονοειδή εναλασσόμενα ρεύματα Τα εναλλασσόμενα ρεύματα είναι ρεύματα, τα οποία

επαναλαμβάνονται περιοδικά και αλλάσουν πρόσημο συναρτήσει του χρόνου. Τέτοιου είδους ρεύματα μπορεί να έχουν ημιτονοειδή, τριγωνική, τετραγωνική μορφή κ.λ.π. Ενα είδος εναλλασομένου ρεύματος είναι το ημιτονοειδές και η τάση του περιγράφεται απο τη σχέση:

)tsin(VV o ω=

Μια πηγή παραγωγής τέτοιας τάσης δημιουργεί ένα

ηλεκτρικό ρεύμα στο κύκλωμα, που έχει τη γενική μορφή: )tsin(II o ϕ−ω= , όπου το φ λέγεται διαφορά φάσης και ω

είναι η κυκλική συχνότητα του ρεύματος.

2. Παραγωγή ημιτονοειδούς εναλλασσομένου ρεύματος Στο σχήμα επιδεικνύεται ένας τρόπος παραγωγής εναλασσομένης τάσης στα άκρα (Α και

Β) ενός μηχανικά περιστρεφόμενου μεταλικού πλαισίου N σπειρών και επιφάνειας S εντός ενός ομογενούς μαγνητικού πεδίου Β, με κυκλική συχνότητα ω.

Ως γνωστό, η ΗΕΔ που αναπτύσσεται στα άκρα του δίνεται απο τη σχέση: dtdNE Φ

−= , η

δε ροή απο τη σχέση: )tcos(BS ω=Φ . Τελικά, η τάση θά δίνεται απο τη σχέση:

)tsin(V)tsin(NBSdtdNE o ω≡ωω=Φ

−=

3. Τροφοδοσία ωμικής αντίστασης R Εάν η τάση είναι της μορφής: )tsin(VV o ω= και ο

καταναλωτής μια ωμική αντίσταση, τότε βάσει του Νόμου του Ohm έχουμε:

)tsin(I)tsin(RV

RVI o

o ω≡ω==

4. Τροφοδοσία επαγωγικής αντίστασης Εάν η τάση είναι της μορφής: )tsin(VV o ω= και ο καταναλωτής μια επαγωγική αντίσταση

(π.χ. πηνίο) επαγωγής L, τότε επειδή η τάση στα άκρα της επαγωγής πρέπει να είναι dtdIL

θα πρέπει σε κάθε χρονική στιγμή να ισχύει ότι:

)tsin(VdtdIL o ω=

Λύνοντας τη παραπάνω διαφορική εξίσωση ως προς I, βρίσκουμε ότι το ρεύμα που

διαρρέει το κύκλωμα είναι:

Page 60: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

)90tsin(II o −ω= , όπου L

VI oo ω=

Ορίζουμε ως επαγωγική αντίσταση RL τη ποσότητα : LRL ω=

5. Τροφοδοσία χωρητικής αντίστασης Εάν η τάση είναι της μορφής: )tsin(VV o ω= και ο καταναλωτής μια χωρητική αντίσταση

(π.χ. πυκνωτής) χωρητικότητας C, τότε επειδή η τάση στα άκρα της χωρητικότητας πρέπει να

είναι Cq

θα πρέπει σε κάθε χρονική στιγμή να ισχύει ότι:

)tsin(VCq

o ω=

Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης ως προς το χρόνο t και

λαμβάνοντας υπόψη ότι dtdqI = , βρίσκουμε ότι :

)90tsin(II o +ω= , όπου CVI oo ω=

Ορίζουμε ως χωρητική αντίσταση RC τη ποσότητα : C1RC ω

=

6. Ισχύς εναλασσόμενου ρεύματος Στη γενική περίπτωση η τάση μιας πηγής εναλλασσομένου ημιτονοειδούς ρεύματος δίνεται

απο τη σχέση: )tsin(VV o ω= και το αντίστοιχο ρεύμα που ρέει στο κύκλωμα απο τη σχέση: )tsin(II o ϕ−ω= . Το έργο που παράγεται απο τη πηγή και μεταφερεται απο το εναλλασσόμενο

ρεύμα σε χρόνο dt είναι: VIdtVdqdW == . Λαμβάνοντας υπόψη τις προηγούμενες σχέσεις:

dt)tsin()tsin(IVdW oo ϕ−ωω=

Αλλά, ισχύει: 2/)]bacos()ba[cos(bsinasin +−−=

Ετσι, σε χρόνο Τ μιάς περιόδου η συνολική ισχύς, (μέση ισχύς

TN ) που παράγει η πηγή

και η οποίο καταναλίσκεται στο κύκλωμα, δίνεται απο τη σχέση:

[ ] ϕ=−ω−ϕ=

=ϕ−ωω

===

∫∫

cosIV21dt)ft2cos(cosIV

T21

T

dt)tsin()tsin(IV

T

dW

T)T(WN

oo

T

0oo

T

0 oo

T

0T

Καί τελικά:

ϕ= cosIV21N ooT

Η ποσότητα cosφ λέγεται συντελεστής ισχύος

Page 61: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Στη περίπτωση, πού ένα κύκλωμα περιέχει μόνο αυτεπαγωγή L ή μόνο χωρητικότητα C ο συντελεστής ισχύος του είναι μηδέν, αφου cos(90) = cos(-90) = 0. Συνεπώς, τα πηνία και οι πυκνωτές δεν καταναλίσκουν πραγματική ισχύ. Πραγματική ισχύ καταναλίσκουν μόνο οι ωμικές αντιστάσεις του κυκλώματος.

7. Πρόσθεση εναλασσομένων μεγεθών – Γενική περίπτωση

Ενα εναλλασσόμενο μέγεθος όπως η τάση η το ρεύμα μπορούν να προστεθούν με διανυσματικές μεθόδους. Οπως φαίνεται απο το σχήμα, οι τάσεις V1 και V2 αντιστοιχούν στίς προβολές των ανυσμάτων Α1 και Α2, στον άξονα Οy, σύμφωνα με τις εξισώσεις:

)tsin(AV 11 ω= καί )tsin(AV 22 ϕ+ω=

Αν θεωρήσουμε π.χ. ότι οι δύο αυτές τάσεις είναι εν σειρά

και τροφοδοτούν ένα κύκλωμα, που περιέχει διάφορους καταναλωτές τότε η συνολική τάση V που θα τροφοδοτεί το κύκλωμα, θα είναι η προβολή της συνισταμένης A των διανυσμάτων A1 και Α2 στον άξονα Oy. Τότε, θα ισχύουν οι σχέσεις:

)tsin(AV ϑ+ω= , όπου ϕ++= cosAA2AAA 2122

21 καί

ϕ+ϕ

=ϑcosAA

sinAtan21

2

8. Σύνθετη αντίσταση – Ωμική, επαγωγική καί χωρητική αντίσταση εν σειρά Στο σχήμα έχουν συνδεθεί τρείς αντιστάσεις R, L

και C σε σειρά. Η τάση που εφαρμόζεται είναι της μορφής: )tsin(VV o ω= και ένα κοινό ρεύμα της μορφής: )tsin(II o ϕ−ω= διαρρέει το κύκλωμα.

Με τη βοήθεια της ανυσματικής μεθόδου και

θεωρώντας όλες τις διαφορές φάσεων των τάσεων-ανυσμάτων σε σχέση με τη φάση του κοινού ρεύματος πλάτους Io, έχουμε:

2

2o

22o

2CL

2Ro C

1LIRI)VV(VV ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+=−+=

ή

2

2

oo

C1LR

VI

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ω

−ω+

=

Η διαφορά φάσεως φ μεταξύ της τάσεως V και

του ρεύματος Ι δίνονται μέσω της σχέσης:

RC1L

RICILI

VVV

tano

oo

R

CL ω−ω=

ω−ω=

−=ϕ

Το ρεύμα I που διαρρέει τελικά το κύκλωμα

δίνεται απο τη σχέση:

Page 62: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

)tsin(

C1LR

VI2

2

o ϕ−ω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+

=

Το πηλίκο 2

2

o

o

C1LR

IV

Z ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+== έχει διαστάσεις αντίστασης και λέγεται σύνθετη

αντίσταση ή εμπέδηση.

9. Συντονισμός Λέμε ότι ένα ηλεκτρικό κύκλωμα είναι σε συντονισμό όταν απορροφά τη μεγαλύτερη ισχύ,

την οποία προσφέρει η ηλεκτρική πηγή που το τροφοδοτεί. Στη περίπτωση, του προηγουμένου κυκλώματος των αντιστάσεων εν σειρά έχουμε:

22

22

2o2

oRoooT

C1LR

KZKR

ZV

21RI

21VI

21cosVI

21N

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ω−ω+

=====ϕ=

όπου 2/RVK 2o= είναι σταθερό.

Το μέγιστο της ισχύος T

N συμβαίνει για τη κυκλική συχνότητα LC

1o =ω , που

κάνει το παρονομαστή του προηγουμένου πηλίκου ελάχιστο. Παρατηρούμε, ότι για την ίδια τιμή το πλάτος Ιο του ρεύματος Ι, που διαρρέει το κύκλωμα

γίνεται μέγιστο και ίσο με RVI oMAX = , οι δε τάσεις στα άκρα της χωρητικότητας C και της επαγωγής L είναι ίσες και αντίθετες κάθε χρονική στιγμή, με πλάτος ίσο με

( ) ( ) ( )ooCooL CRVVLRVV ω==ω=

10. Ενεργό ρεύμα καί ενεργή τάση Εάν το προηγούμενο εν σειρά κύκλωμα περιείχε μόνο ωμική αντίσταση R τότε θα

απορροφούσε μέση ισχύ ανά περίοδο :

R2V

2RI

2IV

N2o

2ooR

T===

αφού ισχύει ότι VR=Vo, όταν το κύκλωμα έχει μόνο ωμική αντίσταση R. Αν το ίδιο κύκλωμα διερρέετο απο συνεχές ρεύμα εντάσεως ΙΕΝ τότε η αντίσταση θα

απορροφούσε ισχύ: R/VRIN 2

EN2EN ==

Ετσι, προκύπτει η ισοδυναμία:

2VV oEN = καί 2II oEN =

προκειμένου να καταναλίσκεται στα δύο κυκλώματα του εναλλασσομένου και του συνεχούς ρεύματος, που περιέχουν μια ωμική αντίσταση, η ίδια ισχύς (θερμότητα).

Οι τιμές ΙΕΝ και VEN ονομάζονται αντίστοιχα ενεργό ρεύμα και ενεργός τάση.

Page 63: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

11. Ωμική, χωρητική καί επαγωγική αντισταση εν παραλλήλω Στο σχήμα έχουν συνδεθεί τρείς αντιστάσεις R, L

και C εν παραλλήλω. Η τάση που εφαρμόζεται απο κοινού και στις τρείς αντιστάσεις είναι της μορφής:

)tsin(VV o ω= και ένα συνολικό ρεύμα της μορφής:

)tsin(II o ϕ−ω= διαρρέει το κύκλωμα. Με τη βοήθεια της ανυσματικής μεθόδου και

θεωρώντας όλες τις διαφορές φάσεων των ρευμάτων-ανυσμάτων σε σχέση με τη φάση του κοινής τάσης πλάτους Vo, έχουμε ότι:

( )ZV

CVL

VRV

IIII o2

oo

2o2

CL2Ro =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ω−

ω+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=−+=

καί τελικά,

22

CL

1R1

Z1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω−ω

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

που είναι το αντίστροφο της σύνθετης αντίστασης

Z του κυκλώματος. H γωνία φ δίνεται μέσω της σχέσης:

R

CL

III

tan−

=ϕ ή της σχέσης: R

CL

1

tanω−

ω=ϕ

Για να έχουμε συντονισμό θα πρέπει να βρεθεί η τιμή της κυκλικής συχνότητας ω, για την

οποία η απορροφούμενη ισχύς απο το κύκλωμα να γίνει μέγιστη. Η μέση ισχύς ανά περίοδο στο παρόν κύκλωμα δίνεται απο τη σχέση:

RV

21V

RV

21VI

21cosVI

21N

2o

oo

oRooT===ϕ=

η οποία είναι ανεξάρτητη της κυκλικής συχνότητας ω και σταθερή. Δηλαδή, η μέση ισχύς

είναι πάντα σε μέγιστο ανεξάρτητα απο τη τιμή του ω. Παρατηρούμε, ότι όταν ∞→R τότε η μέση ισχύς 0N

T→ . Δηλαδή, όταν αφαιρέσουμε

την αντίσταση απο το κύκλωμα, αυτό δεν θα απορροφάει ισχύ. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι η πηγή τάσης δεν χρειάζεται για να κινείται το ρεύμα στο κύκλωμα.

Εάν όμως επιπλέον η κυκλική συχνότητα ω γίνει ίση με LC

1o =ω τότε το πλάτος Ιο του

ρεύματος Ι γίνεται μηδέν, οπότε για αυτή τη συχνότητα η πηγή τάσης δεν είναι απαραίτητη για τη συντήρηση της ταλάντωσης. Το κύκλωμα LC, που προκύπτει απο την αφαίρεση της ωμικής αντίστασης R, της πηγής τάσης και ταλαντώνεται με τη συχνότητα ωο λέγεται κύκλωμα Thomson. Η συχνότητα ωο λέγεται συχνότητα συντονισμού του παραπάνω κυκλώματος.

12. Αρχή τής υπέρθεσης γιά γραμμικά ηλεκτρονικά κυκλώματα

Γενικεύοντας τήν αρχή τής επαλληλίας τών κινήσεων, καί λαμβάνοντας υπόψη όσα είπαμε καθώς γενικεύαμε τή θεωρία τής χωρητικότητας αγωγών μπορούμε να πούμε ότι ΄αν μιά αιτία καί τό αποτέλεσμά της συνδέονται μέ γραμμική σχέση, τότε τό ολικό αποτέλεσμα από πολλές αιτίες πού δρούν ταυτόχρονα ισούται μέ τό άθροισμα τών αποτελεσμάτων από κάθε μιά αιτία πού δρά ξεχωριστά, χωρίς τήν παρουσία τών άλλων.΄

Page 64: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Στήν περίπτωση τών γραμμικών ηλεκτρονικών κυκλωμάτων κάθε πηγή ΗΕΔ παράγει τό δικό της ηλεκτρικό ρεύμα, το οποίο δέν εξαρτάται από τήν παρουσία άλλων ΗΕΔ. Η αρχή αυτή είναι χρήσιμη νά χρησιμοποιείται στήν μελέτη ηλεκτρονικών κυκλωμάτων, στά οποία υπάρχουν περισσότερες από μία πηγές ΗΕΔ (ή ρεύματος).

13. Ασκήσεις 1. Πηνίο ωμικής αντίστασης R καί συντελεστή αυτεπαγωγής L συνδέεται εν σειρά μέ

πυκνωτή μεταβλητής χωρητικότητας καί τροφοδοτείται από πηγή τάσης V=Vosin(ωt). a) Ποιά πρέπει νά είναι η χωρητικότητα τού πυκνωτή ώστε ή ένταση τού ρεύματος καί η τάση V νά είναι εν φάσει. b) Ποιά είναι η ενεργός τάση στά άκρα τού πηνίου καί στά άκρα τού πυκνωτή; c) Πόση είναι η θερμότητα πού καταναλίσκεται στό πηνίο σέ χρόνο to; Δίδεται η τιμή τού α=0.24 cal/Joule. d) Ποιά είναι η μέγιστη μαγνητική ενέργεια, πού αποθηκεύεται στό πηνίο;

2. Πηνίο ωμικής αντίστασης R καί συντελεστή αυτεπαγωγής L συνδέεται εν σειρά μέ

μεταβλητή αντίσταση Rx καί τροφοδοτείται από πηγή τάσης V=Vosin(ωt) καταναλίσκοντας ισχύ ανά περίοδο Ν. α) Νά διερευνηθούν οι δυνατές τιμές, τίς οποίες μπορεί νά πάρει η μεταβλητή αντίσταση καί β) να ευρεθούν ποιές από αυτές τίς τιμές είναι προτιμητέες καί γιατί.

3. Θεωρούμε ένα πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L συνδεδεμένο εν σειρά μέ μιά ωμική

αντίσταση R, ένα πυκνωτή C, μιά πηγή συνεχούς τάσης V1 καί μιά πηγή εναλλασσόμενης τάσης V=Vosin(ωt). Νά ευρεθεί α) η σύνθετη αντίσταση τού κυκλώματος β) η ισχύς πού καταναλίσκεται σέ αυτό γ) η συχνότητα συντονισμού. Πώς πρέπει νά απαντηθούν τα προηγούμενα ερωτήματα όταν δέν υπάρχει ο πυκνωτής C ;

4. Δύο όμοιοι λαμπτήρες L1 καί L2 είναι ενωμένοι μέ τον τρόπο,

πού φαίνεται στό κύκλωμα. Η τροφοδότηση τού συστήματος γίνεται από μιά πηγή εναλλασσόμενης τάσης V=Vosin(ωt). Δίδονται οι τιμές R, C καί η τιμή τής τάσης λειτουργίας VΛ τών λαμπτήρων. Α) Ζητείται να ευρεθεί η ισχύς λειτουργίας ΝΛ τών λαμπτήρων, ώστε νά μή καεί κανένας λαμπτήρας μετά τό κλείσιμο τού διακόπτη δ. Β) Απαντείστε τό ίδιο ερώτημα, όταν εν σειρά πρός τήν πηγή εναλλασσόμενης τάσης V προστεθεί ένα πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L.

5. Ενα κουτί στά άκρα τού οποίου εφαρμόζεται τάση V=Vosin(ωt) περιέχει διάφορα

ηλεκτρικά στοιχεία (C, L ή R ) εν σειρά. Aν η στιγμιαία ένταση τού ρεύματος πού διαρρέει τό κύκλωμα γίνεται μηδέν όταν η τιμή τής τάσης γίνεται 22Vo , νά ευρεθούν τί τιμές έχουν τά ηλεκτρικά στοιχεία πού υπάρχουν μέσα στό κουτί.

Page 65: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

8. Νόμοι τού Maxwell

1. Νόμοι τού Maxwell στό κενό A. Νόμος τού Gauss γιά τόν ηλεκτρισμό Ο νόμος αυτός περιγράφει το φορτίο και το ηλεκτρικό πεδίο. Η σχέση, πού συνδέει αυτά

είναι: qSdE Eo

So =Φε≡⋅ε ∫

όπου εο είναι η διηλεκτρική σταθερά του κενού. Η ποσότητα ΦE είναι η ηλεκτρική ροή σε αντιστοιχία προς τη μαγνητική ροή ΦB, που

ορίστηκε σε προηγούμενο κεφάλαιο. Το ολοκλήρωμα ∫ λέγεται κλειστό ολοκλήρωμα και

αναφέρεται στο άθροισμα των όρων SdE ⋅ (εσωτερικό γινόμενο ανυσμάτων) πάνω σε μια αυθαίρετη κλειστή επιφάνεια S, που περιβάλλει το φορτίο q. Γιαυτό ο παραπάνω νόμος συχνά γράφεται και ως εξής:

qS

SdE iio =⋅ε ∑

ή qEo =Φε

Η ηλεκτρική ροή ΦE αναφέρεται στη ροή απο τη κλειστή επιφάνεια S, που περιβάλλει ένα

συνολικό φορτίο q. B. Νόμος του Gauss για το μαγνητισμό Ο νόμος αυτός περιγράφει το μαγνητικό πεδίο και είναι συνεπής προς την αδυναμία να

απομονωθεί πειραματικά μαγνητικός πόλος. Μαθηματικά περιγράφεται από τή σχέση:

0SdB B =Φ≡⋅∫

Ετσι εάν θεωρήσουμε μια αυθαίρετη κλειστή επιφάνεια S εντός ενός μαγνητικού πεδίου η

ροή των μαγνητικών γραμμών, που μπαίνει είναι ίδια με αυτή που βγαίνει. C. Νόμος της επαγωγής του Faraday Ως γνωστό, η διαφορά δυναμικής ενέργειας μεταξύ των θέσεων Α και Β ορίζεται απο τη

σχέση:

∫∫ ⋅−=⋅−=−≡− →ΔΥΝΔΥΝ

B

A

B

ABA ldEqldFW)A(E)B(E

όπου E είναι το ηλεκτρικό πεδίο εντός του οποίου κινείται το φορτίο q. Αν θεωρήσουμε ότι τα όρια του ολοκληρώματος (ή αθροίσματος στοιχειωδών έργων) Α και

Β συμπίπτουν, δηλαδή αθροίσουμε τα στοιχειώδη έργα κατά μήκος ενός κλειστού δρόμου

(βρόχου), και λάβουμε συνολικό άθροισμα διάφορο του μηδενός ( 0ldEB

A

≠⋅∫ ) τότε το

μελετούμενο πεδίο είναι μη συντηρητικό.

Page 66: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Ο νόμος του Faraday συνδέει τη μεταβολή μαγνητική ροής ΦΒ στο εσωτερικό ενός ακίνητου αυθαίρετου βρόχου C με τη δημιουργία μη συντηρητικού ηλεκτρικού πεδίου E γύρω του. Ο νόμος αυτός περιγράφεται μαθηματικά απο τη σχέση:

dtd

ldE B

C

Φ−=⋅∫

Αν ο βρόχος αυτός επιπλέον κινείται τότε ο Νόμος του Faraday γράφεται:

dtd

ld)BvE( B

C

Φ−=⋅×+∫

v είναι η ταχύτητα κάθε στοιχειώδους κομματιού dl του βρόχου C. Το Bv × είναι το

εξωτερικό διάνυσμα των διανυσμάτων v και B , και είναι και αυτό διάνυσμα. Οπως προηγουμένως το κλειστό ολοκλήρωμα μπορεί να γραφεί υπο μορφή αθροίσματος

ως εξής:

dtd

ld)BvE( B

Ciiii

Φ−=⋅×+∑

D. Νόμος τού Ampere Ο νόμος του Ampere συνδέει ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο Ε ή ένα ρεύμα Ι με το

μαγνητικό πεδίο Β που δημιουργούν. Ο νόμος αυτός εκφράζεται μαθηματικά απο τη σχέση:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Φεμ=⋅∫ I

dtd

ldB Eoo

C

μο είναι η μαγνητική διαπερατότητα του κενού. Το κλειστό ολοκλήρωμα αναφέρεται στο άθροισμα όλων των όρων-εσωτερικών γινομένων

ii ldB ⋅ κατά μήκος ενός αυθαίρετου βρόχου C, μέσα στον οποίο μεταβάλλεται η ηλεκτρική ροή ΦE ενός ηλεκτρικού πεδίου ή και το διερχόμενο ρεύμα I. Γιαυτό η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί και ως εξής:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Φεμ=⋅∑ I

dtd

CldB E

ooii

Μερικές φορές η ποσότητα dt

dI E

oDΦ

ε≡ λέγεται ρεύμα μετατόπισης.

Αυτό το ρεύμα μπορεί ΄ισοδύναμα΄ να αντικαταστήσει τη μεταβολή με το χρόνο της

ηλεκτρικής ροής της διερχόμενης απο το βρόχο C με ένα φαινομενολογικό ρεύμα ID. Τοτε ο παραπάνω νόμος μπορεί να γραφεί και ως εξής:

( )IIC

ldB Doii +μ=⋅∑

2. Περί μαγνητικών μονοπόλων Αν παρατηρήσουμε τούς 4 νόμους τού Maxwell:

Page 67: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

o

SEqε

=Φ dt

dldE B

C

Φ−=⋅∫

0SB =Φ ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Φεμ=⋅∫ I

dtd

ldB Eoo

C

μάς δημιουργείται τό ερώτημα γιατί δέν εμφανίζουν ομοιότητα έναντι τού ηλεκτρικού πεδίου Ε καί τού μαγνητικού πεδίου Β, όσον αφαρά τίς πηγές τους δηλαδή φορτία καί ρεύματα. Αντί τής παραπάνω, θα περίμενε κανείς να είχαν τήν μορφή:

o

SEqε

=Φ mB

C

Idt

dldE +Φ

−=⋅∫

mSB q=Φ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Φεμ=⋅∫ I

dtd

ldB Eoo

C

Ο λόγος πού αυτό δέν παρατηρείται είναι η έλλειψη στή φύση τών μαγνητικών φορτίων (μονοπόλων). Μέχρι στιγμής δέν έχει παρατηρηθεί πειραματικά μαγνητικό μονόπολο.

3. Εφαρμογές τών νόμων τού Maxwell

a) Υπολογισμός τού ηλεκτρικού πεδίου γύρω από φορτισμένο σφαιρικό φλοιό

Εστω R ότι είναι η ακτίνα του σφαιρικού φλοιού, ο οποίος είναι φορτισμένος με φορτίο q το οποίο είναι διαμοιρασμένο ομοιόμορφα στην επιφάνειά του. Η μορφή του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργείται είναι ακτινική λόγω της σφαιρικής συμμετρίας του προβλήματος, που σημαίνει ότι η ένταση θα πρέπει να εξαρτάται μόνο απο την απόσταση r απο το κέντρο του φλοιού.

Εφαρμόζουμε το νόμο του Gauss στη σφαιρική επιφάνεια S ακτίνας r, όπου Rr ≥ . Ετσι, έχουμε :

⇒=πε=ε=Δε⇒=⋅ε ∑∑ qr4EESSEq

SSdE 2

ooS

oiio

2o r

q4

1Eπε

=

Το αποτέλεσμα αυτό είναι το ίδιο με εκείνο κατά το οποίο το φορτίο q είναι συγκεντρωμένο

στο κέντρο του φλοιού αντί στην επιφάνειά του. Αν εφαρμόσουμε τό νόμο τού Gauss γιά μιά σφαιρική επιφάνεια S ακτίνας r, όπου Rr⟨

έχουμε: 0E0SE0

SSdE

Soiio =⇒=Δε⇒=⋅ε ∑∑

διότι δεν υπάρχει φορτίο στο εσωτερικό αυτής της επιφάνειας. Το αποτέλεσμα της

τελευταίας σχέσης είναι ότι η ένταση στο εσωτερικό φορτισμένου σφαιρικού φλοιού είναι μηδέν.

Στη συνέχεια θα αποδείξομε ότι η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο εσωτερικό συμπαγούς αγωγού οποιουδήπτε σχήματος είναι μηδέν. Για το σκοπό αυτό εφαρμόζουμε το νόμο του Gauss σε μια σφαιρική επιφάνεια απειροστής ακτίνας r γύρω απο το σημείο στο εσωτερικό του αγωγού, στο οποίο θέλομε να υπολογίσομε την ένταση E. Εχομε αναφέρει σε προηγούμενο κεφάλαιο ότι τα φορτία αλληλοαπωθούνται και συγκεντρώνονται στην επιφάνεια

R ++

++

++++++++++++

++

++

++

+ + + + + + + + + + ++

++

++

++++++++++++

++

+

E

E

E E

EE

EE

r

SR

Page 68: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

του αγωγού, δηλαδή στο εσωτερικό του αγωγού δεν υπάρχουν ηλεκτρικά φορτία. Αποτέλεσμα αυτού είναι ότι :

0E0cosSE0

SSdE i

Siiioiio =⇒=ϑΔε⇒=⋅ε ∑∑

διότι, όπως προηγουμένως δεν υπάρχει φορτίο στο εσωτερικό της επιφάνειας S. Το

τελευταίο αποτέλεσμα σημαίνει ότι στα σημεία της επιφάνειας S η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι μηδέν, που ταυτίζεται με την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο κέντρο της όταν η ακτίνα της σφαίρας τείνει στο μηδέν ό.έ.δ.

Με τον ίδιο τρόπο, που αποδείχτηκε στο Κεφ.3 αποδεικνύεται ότι η επιφάνεια και το εσωτερικό ενός συμπαγούς φορτισμένου αγωγού οποιουδήποτε σχήματος έχουν το ίδιο δυναμικό.

b) Υπολογισμός τής χωρητικότητας C επίπεδου πυκνωτή Η χωρητικότητα C ενός επίπεδου πυκνωτή με παράλληλους

οπλισμούς εμβαδού S και ευρισκομένων σε απόσταση l δίνεται απο τη σχέση:

lSC oε=

Απόδειξη Θεωρούμε μια νοητή επιφάνεια ABCD γύρω απο το θετικό οπλισμό του πυκνωτή στον

οποίο είναι κατανεμημένο φορτίο q. Οι δυναμικές γραμμές που δημιουργούνται στο εσωτερικό αυτού του πυκνωτή κατευθύνονται απο το θετικό στον αρνητικό οπλισμό και φαίνονται στο σχήμα. Εφαρμόζοντας το νόμο του Gauss στην επιφάνεια ABCD έχουμε ότι:

( )S

qEqS0S0S0SEqSdEo

oABCD

iio ε=⇒=+++ε⇒=⋅ε ∑

Kαι τελικά ευρίσκομε ότι: lS

lS

qq

lEq

VqC o

o

ε=

ε

==≡

c) Υπολογισμός τής μαγνητικής επαγωγής από ευθύγραμμο ρευματοφόρο αγωγό Θεωρούμε ένα ρευματοφόρο αγωγό απείρου μήκους διαρρεόμενο

απο ρεύμα έντασης Ι, ο οποίος δημιουργεί γύρω του ένα μαγνητικό πεδίο με κυλινδρική συμμετρία. Σύμφωνα με το νόμο του Ampere έχουμε ότι για μια οποιαδήποτε καμπύλη C ότι :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Φεμ=⋅∑ I

dtd

CldB E

ooii

Για λόγους κυλινδρικής συμμετρίας επιλέγουμε μια περιφέρεια

ακτίνας R κάθετη στη διεύθυνση του αγωγού ως καμπύλη ολοκλήρωσης C προκειμένου να εφαρμόσουμε το νόμο του Ampere.

Σημειώνουμε ότι με το νόμο του Ampere δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε τη διεύθυνση

και τη φορά του ανύσματος της μαγνητικής επαγωγής Β σε κάθε σημείο γύρω απο τον ρευματοφόρο αγωγό παρά μόνο το μέτρο της. Ο προσδιορισμός της φοράς και της διεύθυνσης γίνεται με τη βοήθεια του νόμου Biot - Savart. Στήν περίπτωση μας θεωρείται ως δεδομένο ότι η επαγωγή Β εφάπτεται της περιφέρειας C και έχει λόγω κυλινδρικής συμμετρίας σταθερό μέτρο κατά μήκος αυτής. Απο το νόμο του Ampere έχουμε:

R

Bi

dli

I

C

Page 69: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

⇒μ=π=Δ≡Δ=Δ=⋅ ∑∑∑∑ I)R2(BlBlBlBldB oC

iC

iiC

iiC

ii RI

2B o

πμ

=

αφού στο πρόβλημα που μελετάμε δεν υπάρχει χρονικά μεταβαλλόμενη ηλεκτρική ροή,

που να διέρχεται απο το εσωτερικό της καμπύλης C. Στο εσωτερικό του αγωγού υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο εξαιτίας του οποίου κινείται το ρεύμα,

το οποίο όμως δέν μεταβάλλεται με το χρόνο. Νόμος Biot-Savart O νόμος Biot - Savart περιγράφεται από τή σχέση:

( ) ( )∑∫∫ ′−π

′−′μ=

′−π

′−′μ==

W3

o

W3

o

W rr4

rrxldI

rr4

rrxldI)r(Bd)r(B

Η διεύθυνση τών ανυσμάτων εξηγείται στό σχήμα. Η φορά του μήκους ld ′ καθορίζεται απο τη φορά του

ρεύματος Ι. Σύμφωνα με το νόμο αυτό αν ένα ρεύμα I διαρρέει ένα

κλειστό αγωγό W, όπως στο σχήμα, τότε αυτό δημιουργεί γύρω απο τον αγωγό ένα μαγνητικό πεδίο. Στή δημιουργία αυτού του πεδίου συνεισφέρει κάθε στοιχειώδες κομάτι ld ′ του αγωγού κατά ένα ποσό επαγωγής Bd . Τό ανυσματικό άθροισμα όλων αυτών των συνεισφορών Bd απο όλα τα στοιχειώδη μήκη του αγωγού W μας δίνει την επαγωγή σε ένα σημείο r του χώρου γύρω απο τον αγωγό. Το άνυσμα Bd είναι κάθετο στο επίπεδο των ανυσμάτων ld ′ και rr ′− σύμφωνα με όσα αναφέραμε στο Κεφ. 0 για το εξωτερικό γινόμενο δύο ανυσμάτων. Στην περίπτωση υπολογισμού της μαγνητικής επαγωγής απο ένα ρευματοφόρο αγωγό απείρου μήκους θεωρούμε ότι ο αγωγός κλείνει στο άπειρο. Εύκολα προκύπτει ότι η μαγνητική επαγωγή εφάπτεται περιφερειών καθέτων στον αγωγό και με κέντρο επ΄ αυτού.

d) Μαγνητικό πεδίο εξ επαγωγής – Ρεύμα μετατόπισης Προκειμένου να κατανοήσουμε το

νόμο του Ampere θα θεωρήσουμε ένα πυκνωτή με κυκλικούς επίπεδους οπλισμούς ακτίνας R, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση l. Εστω ότι ο πυκνωτής αυτός φορτίζεται με ρυθμό dq/dt, ο οποίος μεταβάλλεται με το χρόνο.

Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία ενός ηλεκτρικού πεδίου Ε μεταξύ των οπλισμών του, το οποίο μεταβάλλεται με το χρόνο.

Το ερώτημα είναι τί μορφή έχει το μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται εξ επαγωγής λόγω

αυτής της μεταβολής μέσα και έξω απο τους οπλισμούς του πυκνωτή. Απο το νόμο του Ampere και σύμφωνα με το σχήμα έχουμε :

Page 70: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Rr,RRr,r

dtdr2BdlB

dtdE2

oo

dtdE2

ooEoo

C ≥πεμ≤πεμ

⟨=Φ

εμ=π=⋅∫

που μας δίνει για Rr ≤ ότι η μαγνητική επαγωγή Β δίνεται απο τη σχέση :

IRr

2lRl2

rIdtdqr

lC2dtdEr

2B 2

o2

o

oooooo

πμ

=πεεμ

=εμ

=εμ

=

οπου C είναι η χωρητικότητα του πυκνωτή.

Παρόμοια, για Rr ≥ έχουμε ότι : rI

2I

lCr2R

dtdq

lCr2R

dtdE

r2RB o

2oo

2oo

2oo

πμ

=εμ

≡εμ

=εμ

=

καθότι η πυκνότητα C του πυκνωτή γράφεται : lR

lSC

2o

oπε

=ε=

Το τελευταίο αποτέλεσμα σημαίνει ότι το μαγνητικό πεδιο έξω απο τον πυκνωτή ( Rr ≥ )

είναι το ίδιο με εκείνο το οποίο θα εδημιουργείτο αν το κύκλωμα του σχήματος διαρρεόταν απο ρεύμα I=dq/dt (dq/dt είναι ο ρυθμός φόρτισης του πυκνωτή) με ταυτόχρονη απουσία του πυκνωτή. Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε ως ρεύμα μετατόπισης ID την ποσότητα εοdΦΕ/dt. Αν ξαναγράψομε το νόμο του Ampere με τη μορφή :

⇒μ≥≡

Φεμ=π=⋅∫ Do

Eoo

C

IRr

dtdr2BdlB

rI2

4B Do

πμ

=

τότε απο σύγκριση των δύο τελευταίων σχέσεων για τον υπολογισμό της μαγνητικής

επαγωγής Β, προκύπτει ότι : ID=I=dq/dt Η διεύθυνση της μαγνητικής επαγωγής ελήφθη κατ΄αναλογία με όσα είπαμε σε

προηγούμενη παράγραφο για τον ευθύγραμμο άπειρο ρευματοφόρο αγωγό. Το μέτρο της μαγνητικής επαγωγής Β παίρνει γενικά πολύ μικρές τιμές και είναι μια ποσότητα που δύσκολα μπορεί να μετρηθεί με απλές συσκευές.

e) Μαγνητικό πεδίο από κυκλικό βρόχο ρεύματος

Εστω ένας κυκλικός βρόχος ακτίνας R, πού διαρρέεται από ρεύμα έντασης I. Θά υπολογίσομε τήν ένταση τού μαγνητικού πεδίου Β κατά μήκος τού άξονα τού βρόχου, όπως περιγράφεται στό σχήμα. Εστω ένα σημείο Ρ πάνω στόν άξονα, πού είναι σέ απόσταση z από τό κέντρο Ο τού βρόχου. Ενα στοιχειώδες κομμάτι τού βρόχου ld δημιουργεί ένα στοιχειώδες μαγνητικό πεδίο Bd στό σημείο Ρ, σύμφωνα μέ τό νόμο Biot-Savart:

3O

rrldI

4Bd ×

πμ

=

Προφανώς τό στοιχειώδες διάνυσμα Bd είναι

κάθετο στά διανύσματα r καί ld . Τό συνολικό μαγνητικό πεδίο B , πού δημιουργείται στό σημείο Ρ από τή ροή τού

ρεύματος I στόν κυκλικό βρόχο, είναι τό διανυσματικό άθροισμα όλων τών στοιχειωδών διανυσμάτων Bd .

Στή συνέχεια αναλύομε τό άνυσμα Bd κάθετα καί παράλληλα στόν άξονα zz’ τού βρόχου. Παρατηρούμε, ότι γιά λόγους συμμετρίας η κάθετη συνιστώσα RBd εξαλείφεται από μιά

O

Z

θ

r

z

z’

l’dld

dB

dBdB

dB

R

Z

R‘

C

R

I

dB

Page 71: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

αντίθετη συνιστώσα 'RBd , πού προέρχεται από τό συμμετρικό ως πρός τό Ο στοιχειώδες

κομμάτι τού βρόχου. Ετσι, τελικά τό ζητούμενο μαγνητικό πεδίο στό σημείο Ρ είναι:

( ) 2/322

2o

zC

Z3o

2C

oZ

CZR

Rz2RIˆdlˆ

rIR

4dl

rR

rI

4ˆcosdBˆBdBdB

+

μα=α

πμ

=πμ

α=ϑα=== ∫∫∫∫ ∫

Παρατηρείστε, ότι στό z=0 έχουμε: Zo ˆIR2

B αμ

=

f) Μαγνητικό πεδίο στό εσωτερικό σωληνοειδούς

Εστω ένα σωληνοειδές απείρου μήκους, πού διαρρέεται από ρεύμα I καί έχει Ν σπείρες ανά μονάδα μήκους. Θά υπολογίσουμε τήν ένταση τού μαγνητικού πεδίου Β κατά μήκος τού κύριου άξονά του.

Γιά τόν υπολογισμό αυτό, θά χρησιμοποιήσουμε τήν σχέση: ( ) 2/322

2o

zZRz2

RIˆB

+

μα= ,

πού βρήκαμε προηγουμένως, όπου όμως θά κάνουμε τήν αντικατάσταση dzINI→ , καί θά

υπολογίσομε τό ολοκλήρωμα: ( ) Zo2/322

2o

ZZ ˆNIdzRz2

NRIˆB αμ=+

μα= ∫

+∞

∞−αθροίζοντας τή

συνεισφορά στό μαγνητικό πεδίο από κάθε βρόχο τού πηνίου. Γιά λόγους συμμετρίας, η διεύθυνση τού μαγνητικού πεδίου Β στό εσωτερικό τού πηνίου γιά σημεία εκτός τού άξονα zz’ τού πηνίου είναι παράλληλη πρός τόν άξονά του.

Θεωρούμε τόν βρόχο ABFEΑ, όπου ο κλάδος ΑΒ

είναι πάνω στόν άξονα zz’ τού σωληνοειδούς καί ο κλάδος FE είναι σέ τυχούσα θέση στό εσωτερικό του. Υποθέτουμε, ότι η τιμή τού μαγνητικού πεδίου είναι Β κατά μήκος τού κλάδου ΑΒ καί Β’ κατά μήκος τού κλάδου FΕ. Από τόν νόμο τού Ampere έχουμε:

'BB0'B)FE(0)BF(

B)AB(0)EA(ldBABFEA

=⇒=⋅−⋅+

+⋅+⋅=⋅∫

Αρα, τό μαγνητικό πεδίο Β στό εσωτερικό ενός πηνίου είναι ομογενές. Στή συνέχεια, θεωρούμε τόν βρόχο ABCDA, όπου ο κλάδος ΑΒ είναι πάνω στόν άξονα zz’

τού σωληνοειδούς καί ο κλάδος FE είναι σέ τυχούσα θέση στό εξωτερικό του. Υποθέτουμε, ότι η τιμή τού μαγνητικού πεδίου είναι Β (= μοΙΝ) κατά μήκος τού ΑΒ καί Β’ (άγνωστη) κατά μήκος τού κλάδου DC. Από τό νόμο τού Ampere έχουμε:

0'BI)AB(N'B)CD()NI()AB(

I)AB(N'B)CD(0)BC(B)AB(0)DA(ldB

oo

oABCDA

=⇒μ=⋅+μ⋅⇒

⇒μ=⋅+⋅++⋅=⋅∫

Αρα, η ένταση τού μαγνητικού πεδίου στό εξωτερικό ενός πηνίου είναι μηδέν.

Z Z’

x x x x x x

A B

CD

E F

Page 72: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

4. Δυνάμεις ασκούμενες μεταξύ παραλλήλων αγωγών Εστω δύο αγωγοί παράλληλοι σέ απόσταση R

μεταξύ τους, εκ τών οποίων ο ένας διαρρέεται από ρεύμα Ι1 καί είναι απείρου μήκους, ο δέ άλλος έχει μήκος l καί διαρρέεται από ρεύμα I2, όπως φαίνεται στό σχήμα.

Στό στοιχειώδες κομμάτι ld τού αγωγού (2) ασκείται μιά δύναμη Laplace:

( ) dlRI

2IˆdlBIˆBldIdF 1o2r2r2 ⎟

⎞⎜⎝

⎛πμ

α−=α−=×=

καί αθροίζοντας,

r21o

l

0ˆl

RII

2FdF α

πμ

−== ∫

Δηλαδή, η δύναμη F μεταξύ τών αγωγών είναι

ελκτική όταν τά ρεύματα I1,I2 είναι τής αυτής φοράς καί απωστική όταν είναι αντίθετης φορά

5. Ασκήσεις 1. Εστω δύο κοίλοι σφαιρικοί αγωγοί με φορτία q1 και q2, που είναι σε απόσταση r. Αν

δοθούν οι ακτίνες των αγωγών, τότε εξηγείστε με τη βοήθεια του νόμου του Gauss πως μεταβάλλεται η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο εσωτερικό των αγωγών και στη μεταξύ τους απόσταση.

2. Εστω ένας κυκλικός βρόχος ακτίνας R διαρρεόμενος απο ρεύμα I. Να ευρεθεί η

μαγνητική επαγωγή Β στα σημεία του άξονα του δακτυλίου με τη βοήθεια του νόμου Biot - Savart.

3. Εστω ένα σωληνοειδές απείρου μήκους με n σπείρες ανά μονάδα μήκους διαρρεόμενο

απο ρεύμα εντάσεως Ι. Να υπολογισθεί η τιμή της μαγνητικής επαγωγής Β στο εσωτερικό του πηνίου με τη βοήθεια του νόμου του Ampere.

4. Δείξτε ότι το ρεύμα μετατόπισης σε επίπεδο πυκνωτή μπορεί να γραφεί ως: dtdVCID =

(1)

(2)

Odl

B

lP

I2

I1

dF-arR

Page 73: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

9. Στοιχεία Θερμοδυναμικής

1. Εισαγωγή Η Θερμοδυναμική μελετάει και περιγράφει τη μακροσκοπική συμπεριφορά διαφόρων

συστημάτων ή συλλογών δομικών μονάδων. Η περιγραφή γίνεται με τη μέτρηση διαφόρων μακροσκοπικών (θερμοδυναμικών) μεταβλητών τους, όπως π.χ. πίεση, όγκος, θερμοκρασία προκειμένου για αέρια, οι οποίες καθορίζουν κάθε φορά τήν λεγόμενη μακροκατάσταση τού αερίου. Είναι επόμενο ότι μέ τήν αλλαγή τών αυτών τών παραμέτρων αλλάζει καί η μακροκατάσταση τού συστήματος.

Η Στατιστική Φυσική προσπαθεί να παράγει και να εξηγήσει τη μακροσκοπική

συμπεριφορά των διαφόρων θερμοδυναμικών (ΘΔ) συστημάτων με τη μελέτη των μικροσκοπικών τους ιδιοτήτων. Η θέση, η ορμή καί μερικά άλλα γενικότερα χαρακτηριστικά κάθε συστήματος ατόμων, ή μορίων διατεταγμένων καθοιονδήποτε τρόπο αποτελούν τίς μικροσκοπικές παραμέτρους ενός συστήματος καί χαρακτηρίζουν αυτό πού ονομάζομε μικροκατάσταση ενός συστήματος. Προφανώς, σέ μιά μακροκατάσταση ενός συστήματος αντιστοιχούν συνήθως περισσότερες από μία μικροκαταστάσεις.

Για να γίνουν κατανοητές ορισμένες ΘΔ έννοιες δίνουμε τις παρακάτω διευκρινίσεις: Απομονωμένο σύστημα είναι ένα σύστημα που δεν αλληλεπιδρά με το περιβάλλον. Ενα

απομονωμένο σύστημα είναι σε θερμοδυναμική ισορροπία όταν είναι μακροσκοπικά αμετάβλητο με το χρόνο. Μια μεταβολή είναι αντιστρεπτή όταν το σύστημα σε κάθε χρονική στιγμή κατά τη διάρκεια της μεταβολής μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι σε ισορροπία. Δηλαδή, οι εξωτερικές δυνάμεις ένεκα των οποίων το σύστημα υφίσταται μεταβολή είναι ασθενείς.

2. Εργον παραγόμενο κατά την εκτόνωση αερίου - Εσωτερική ενέργεια Το στοιχειώδες συνολικό μηχανικό έργο dW που

παράγει αέριο κατά τη μεταβολή του όγκου του κατά dV, δίνεται απο τη σχέση:

( ) dVPdldSPldFdW ==⋅=

όταν το αέριο υφίσταται αντιστρεπτή μεταβολή. Στο σχήμα, dS είναι μια στοιχειώδης επιφάνεια στην επιφάνεια του εμβόλου.

Το εμβαδό (ABCD) του σχήματος ABCD είναι το συνολικό μηχανικό έργο W, που παράγει το αέριο κατά μια αντιστρεπτή μεταβολή. Ετσι

( )∫ ∑ =Δ==→

2

1 21

V

V VVBA )ABCD(VPdVPW

Oταν το αέριο υφίσταται μη αντιστρεπτή μεταβολή

τότε ισχύει η ανισότητα PdVdW ⟨ , αφού WdPdVdW ′+= με dW΄ το έργο που καταναλώθηκε απο μη συντηρητικές δυνάμεις (π.χ. απο τις τριβές εμβόλου).

Η εσωτερική ενέργεια Ε ενός συστήματος είναι το άθροισμα της κινητικής και δυναμικής

ενέργειας των ατόμων και μορίων του σώματος. Η εσωτερική ενέργεια είναι συνάρτηση τής

P

VV1

P1

P2

V2

A

B

CD

Page 74: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

μακροσκοπικής ενέργειας τού συστήματος καί στήν περίπτωση τού τελείου αερίου εξαρτάται μόνο από τή θερμοκρασία..

3. 1ος ΘΔ νόμος - Θερμότητα Ο 1ος ΘΔ νόμος περιγράφεται μαθηματικά από τη σχέση: WEQ +Δ= καί στήν πραγματικότητα αποτελεί τόν ορισμό τής θερμότητας. Q= Το ποσό θερμότητας, που μεταφέρθηκε στο σύστημα ΔΕ= Η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας του συστήματος W= Το μηχανικό έργο, που έδωσε το σύστημα στο περιβάλλον Ο 1ος ΘΔ νόμος μπορεί να γραφεί σε διαφορικη μορφή καί ώς: W'ddEQ'd += Τό σημείο ΄ μπήκε δίπλα στά dQ καί dW γιά να επισημάνει ότι αυτά τά δύο διαφορικά δέν

είναι πάντα τέλεια, δηλαδή ότι η τιμή τους μπορεί να εξαρτάται από τή διαδρομή πού ακολουθεί τό σύστημα γιά νά αλλάξει κατάσταση.

Στη περίπτωση αντιστρεπτής μεταβολής και για ρευστό, ο 1ος ΘΔ νόμος μπορεί να γραφεί

καί ως εξής: dVPdEQ'd +=

Κατα μήκος μιας κλειστής μεταβολής ενός συστήματος η

εσωτερική του ενέργεια δεν μεταβάλλεται. Δηλαδή ισχύει ότι 0EdE

C C

=Δ=∫ ∑ καθότι η εσωτερική

ενέργεια ενός συστήματος εξαρτάται απο την αρχική και την τελική του κατάσταση.

4. Θερμοχωρητικότητα υπό σταθερό όγκο καί υπό σταθερά πίεση

Οι ποσότητες αυτές ορίζονται από τίς σχέσεις: P

P dTQ'dc ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= και

VV dT

Q'dc ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Οι ειδικές θερμότητες υπο σταθερή πίεση (CP) και όγκο (CV), ορίζονται από τίς σχέσεις:

m/cC PP =′ καί m/cC VV =′

5. Αδιαβατική μεταβολή Είναι η μεταβολή κατά την οποία το σύστημα δεν απορροφά η εκπέμπει θερμότητα στο

περιβάλλον. Στη περίπτωση αυτή ΔQ=0 και ο Α΄ ΘΔ νόμος γράφεται: WE Δ=Δ

6. 2ος ΘΔ νόμος - Εντροπία Σέ ένα απομονωμένο σύστημα όλες οι δυνατές μικροκαταστάσεις είναι εξίσου πιθανές

(Αρχή τής ισοπιθανότητας τών μικροκαταστάσεων). Ετσι, η πιθανότητα εμφάνισης μιας μακροκατάστασης είναι ανάλογη του στατιστικού της βάρους Ω, δηλαδή τού αριθμού τών μικροκαταστάσεων πού είναι συμβιβαστές μέ μιά συγκεκριμένη μακροκατάσταση.

Η κατάσταση ισορροπίας αντιστοιχεί στις τιμές των θερμοδυναμικών παραμέτρων για τις

οποίες η συνάρτηση Ω έχει μέγιστο. Η πιθανότητα νά συμβεί μιά συγκεκριμένη μακροκατάσταση, ισούται μέ τό λόγο τού αριθμού τών μικροκαταστάσεων, πού αντιστοιχεί σέ μιά συγκεκριμένη μακροκατάσταση πρός τόν αριθμό όλων τών δυνατών μικροκαταστάσεων, πού αντιστοιχούν σέ όλες τίς δυνατές μακροκαταστάσεις τού συστήματος. Αν σέ ένα σύστημα

Page 75: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

οι δυνατές μικροκαταστάσεις δέν είναι εξίσου πιθανές, τότε τό σύστημα δέν είναι απομονωμένο ή τό σύστημα δέν είναι σέ κατάσταση ισορροπίας.

Η εντροπία ενός απομoνωμένου συστήματος ορίζεται απο τη σχέση (εξίσωση Boltzmann):

Ω= lnKS όπου Κ=1.38054x10-6ergK-1 καί είναι γνωστή ως η σταθερά τού Boltzmann. Η παραπάνω σχέση αποτελεί το στατιστικό ορισμό τής εντροπίας. Ο 2ος ΘΔ νόμος λέει: Η εντροπία ενός απομωνομένου συστήματος κατά μία μή αντιστρεπτή διαδικασία αυξάνει.

Στήν κατάσταση τής ισορροπίας, η εντροπία παίρνει τή μέγιστη δυνατή τιμή. Κατά μία αντιστρεπτή διαδικασία η εντροπία τού απομονωμένου συστήματος παραμένει σταθερά.

Δηλαδή, γενικά 0S ≥Δ . Η σχέση 0S =Δ ισχύει μόνο για αντιστρεπτή διαδικασία. Απο τον ορισμό της εντροπίας S δίνεται ο ορισμός της απόλυτης θερμοκρασίας T και

Πίεσης P. Ετσι, αν θεωρήσουμε ότι S=S(E,V,N) και Ν=σταθερό (αριθμός μορίων) τότε:

=∂∂

+∂∂

+∂∂

= dNNSdV

VSdE

ESdS dV

VSdE

ES

∂∂

+∂∂

καθότι dN=0. Η απόλυτη θερμοκρασία Τ και η πίεση P ορίζονται διαμέσου των σχέσεων:

E)N,V,E(S

T1

∂∂

≡ και V

)N,V,E(STP∂

∂≡

Οι τιμές των P και T είναι ίδιες με αυτές που χρησιμοποιούνται στη καταστατική εξίσωση

των τελείων αερίων PV=nRT, η οποία θά συζητηθεί στό επόμενο κεφάλαιο..

Με τη χρήση των προηγούμενων ορισμών έχουμε ότι dVTP

TdEdS += οπότε:

PdVTdSdE −=

που ισχύει για οποιαδήποτε απειροστή αντιστρεπτή ή μη αντιστρεπτή μεταβολή. Απο το Α΄ ΘΔ αξίωμα W'dQ'ddE −= , οπου V'dPW'd ≤ , οπότε προκύπτει ότι γενικά

ισχύει:

TQ'ddS ≥

Προφανώς για αντιστρεπτή μεταβολή ισχύει ότι TQ'ddS = αφού τότε V'dPW'd = .

Εφαρμόζοντας τη σχέση αυτή αποδεικνύομε δια της μεθόδου τής είς άτοπον επαγωγής τις

εκφράσεις του 2ου ΘΔ, νόμου οπως εκφράστηκαν αρχικά απο τον Clausius και τον Kelvin. 2ος ΘΔ νόμος κατά Clausius : Δεν υπάρχει μηχανισμός, του οποίου το μόνο αποτέλεσμα

είναι η μεταβίβαση θερμότητας απο ένα ψυχρότερο σε ένα θερμότερο σώμα. 2ος ΘΔ νόμος κατά Kelvin : Δεν υπάρχει μηχανισμός που να μετατρέπει πλήρως τη

θερμότητα σε έργο.

Page 76: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

7. 3ος ΘΔ νόμος Η εντροπία ενός συστήματος τείνει στό μηδέν όταν η απόλυτη θερμοκρασία του τείνει στο

μηδέν. Ο νόμος αυτός είναι γνωστός σαν θεώρημα του Nerst καί δίνεται από τή σχέση:

0S0T

lim =→

Απόδειξη Σύμφωνα, μέ τό στατιστικό ορισμό τής εντροπίας: Ω= lnKS . Οταν ένα σύστημα ψύχεται

καί η απόλυτη θερμοκρασία τού συστήματος τείνει στό μηδέν, έχει παρατηρηθεί ότι ο αριθμός τών μικροκαταστάσεών του Ω τείνει στή μονάδα (τό σύστημα παγώνει). Ετσι, έχομε:

( ) 00K1lnKlnlimKSlim0T0T

=⋅=⋅=Ω=→→

8. Θερμική μηχανή Οι θερμικές μηχανές μετατρέπουν τη

θερμική ενέργεια σε ωφέλιμο μηχανικό έργο και για να λειτουργήσουν χρειάζονται a) μια πηγή θερμότητας υψηλής θερμοκρασίας T1 που θα τη λέμε πηγή Α b) μια πηγή θερμότητας χαμηλής θερμοκρασίας T2 που θα τη λέμε πηγή Β c) ένα μέσο μεταφοράς θερμότητας Μ που παίρνει θερμότητα Q1 απο τη πηγή Α ένα μέρος της οποίας (Q2) αποδίδει στη πηγή Β και ένα μέρος

μετατρέπει σε ωφέλιμο έργο W. Το μέσο Μ υφίσταται κατά τη διαδικασία της μετατροπής της θερμότητας σε έργο κυκλική μεταβολή (κλειστή) επιστρέφοντας κάθε φορά στη ίδια αρχική κατάσταση με συνέπεια να μη μεταβάλλεται η εσωτερική του ενέργεια.

Σε αυτό το απομονωμένο σύστημα ισχύει: WQQ 21 += Αν θεωρήσουμε ότι έχουμε αντιστρεπτή διαδικασία τότε :

0TQ

TQ

SSS2

2

1

121 =+−=Δ+Δ=Δ οπότε έχουμε τή σχέση :

2

2

1

1

TQ

TQ

=

Ορίζουμε ως απόδοση της θερμικής μηχανής τη ποσότητα n:

1

2

1 TT

1QWn −==

9. Κύκλος Carnot Τη θεωρητική μελέτη της θερμικής μηχανής

στην ιδανικότερή της μορφή αντιμετώπισε για πρώτη φορά ο Carnot.

Ο κύκλος Carnot είναι μια κλειστή αντιστρεπτή μεταβολή ιδανικού αερίου, μια μεταβολή που αρχίζει και τελειώνει σην ίδια κατάσταση (ο ορισμός τού ιδανικού αερίου δίνεται στό επόμενο κεφάλαιο).

Ενας τέτοιος κύκλος περιγράφεται στο σχήμα.

Η μεταβολή Α-Β αντιστοιχεί σε μια ισόθερμη εκτόνωση του αερίου (T1) με ταυτόχρονη απορρόφηση θερμότητας Q1.

Η μεταβολή B-C αντιστοιχεί σε αδιαβατική εκτόνωση του αερίου απο τη θερμοκρασία Τ1 στη θερμοκρασία Τ2.

Η μεταβολή C-D αντιστοιχεί σε ισόθερμη συμπίεση του αερίου στη θερμοκρασία T2 με ταυτόχρονη απόδοση θερμότητας Q2.

Page 77: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Η μεταβολή D-A αντιστοιχεί σε αδιαβατική συμπίεση του αερίου απο τη θερμοκρασία Τ2 στη θερμοκρασία Τ1.

Σημειώνουμε ότι το έργο W που παράγει το αέριο δίνεται απο το εμβαδό (ABCD) της

επιφάνειας ABCD. Πράγματι έχουμε ότι:

(ABCD) = (ABGE) + (BCHG) - (DCHF) - (ADFE) =

= ∫∫∫∫ +++A

D

D

C

C

B

B

A

PdVPdVPdVPdV = WWWWW ADDCCBBA =+++ →→→→

όπου JIW→ είναι το έργο που παράγεται απο το αέριο για να πάει απο την κατάσταση I

στην κατάσταση J. Ενας διαφορετικός τρόπος να υπολογιστεί ο συντελεστής απόδοσης n=W/Q1 ενός κύκλου

Carnot, που είναι μια ιδανική θερμική μηχανή της οποίας το μέσο μεταφοράς είναι τέλειο αέριο, μπορεί να ευρεθεί αν θεωρηθούν γνωστές τρείς σχέσεις (οι οποίες θα αποδειχτούν στο επόμενο κεφάλαιο) :

1η σχέση: Κατα την ισόθερμη αλλαγή όγκου τελείου αερίου απο όγκο V1 σε όγκο V2 το

έργο που παράγεται είναι: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1

VVlnnRTW

2η σχέση: Κατά την αδιαβατική μεταβολή τελείου αερίου μεταξύ των καταστάσεων (T1,V1) και (T2,V2) ισχύει η σχέση: ( ) ( ) 1

221

11 VTVT −γ−γ = όπου γ μια σταθερά που εξαρτάται απο το αέριο.

3η σχέση: Τό έργο που παράγεται κατά την αδιαβατική μεταβολή δίνεται απο τη σχέση : W=nCV(T1-T2) , όπου n είναι ο αριθμός των moles και Cv η ειδική γραμμομοριακή θερμότητα του αερίου, που είναι μια σταθερά την οποία θα συζητήσουμε στο επόμενο κεφάλαιο.

Ετσι, έχουμε ότι: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=→

A

B1BA V

VlnnRTW και ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=→

C

D2DC V

VlnnRTW .

και ακόμη ότι : )TT(nCW 21VCB −=→ και )TT(nCW 12VAD −=→ Τελικά, το οφέλιμο έργο W θα είναι το αλγεβρικό τους άθροισμα:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=+++= →→→→→→

C

D2

A

B1DCBAADDCCBBA V

VlnnRTVVlnnRTWWWWWWW

Παρατηρείστε ότι 0W2 ⟨ αφού 1VV

C

D ⟨ που σημαίνει ότι κατά τη διαδικασία C-D το αέριο

καταναλίσκει έργο. Κατά την αδιαβατική διαδικασία B-C πρέπει: ( ) ( ) 1

C21

B1 VTVT −γ−γ = και κατά την αδιαβατική διαδικασία D-A πρέπει: ( ) ( ) 1

D21

A1 VTVT −γ−γ =

Απο συνδιασμό των δύο τελευταίων σχέσεων προκύπτει ότι : D

C

A

B

VV

VV

=

Αρα, το έργο W σε ένα κύκλο Carnot μπορεί να γραφεί ώς ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

A

B21 V

Vln)TT(nRW

Για την ισόθερμη μεταβολή A-B ισχύει ΔΕ=0 οπότε απο το Α΄ ΘΔ νόμο προκύπτει ότι

BA1 WQ →= .

Page 78: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Ετσι τελικά ο συντελεστής απόδοσης n είναι: ( )

1

21

A

B1

A

B21

1 TTT

VV

lnnRT

VV

lnTTnR

QWn

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

==

απο την οποία προκύπτει τελικά ότι: 1

2

TT1n −=

που είναι ίδιο με το αποτέλεσμα με εκείνο που βγάλαμε απο την εφαρμογή του στατιστικού

ορισμού της εντροπίας. Στη περίπτωση μιας αντιστρεπτής μεταβολής

όπως περιγράφεται στο σχήμα και που μπορεί να αναλυθεί σε επιμέρους κύκλους Carnot (Γενίκευση κύκλου Carnot), ισχύει ότι :

∫ ∫ == 0dSTQ'd

O Clausius ονόμασε για πρώτη φορά τη

μεταβολή dQ/T στοιχειώδη μεταβολή της εντροπίας dS και αποτελεί το θερμοδυναμικό ορισμό της εντροπίας.

Απο τη τελευταία σχέση εξάγεται ότι το διαφορικό

της εντροπίας dS είναι τέλειο διαφορικό, πού σημαίνει ότι η εντροπία ενός συστήματος έχει καθορισμένη τιμή σε κάθε του κατάσταση. Η συμπεριφορά αυτή θα γίνει περισσότερο κατανοητή αν ανατρέξομε στον ορισμό του συντηρητικού πεδίου και στον ορισμό της δυναμικής ενέργειας πού δόθηκαν στο 1ο κεφάλαιο. Η μεταβολή τής εντροπίας S ενός συστήματος (όπως καί τής εσωτερικής ενέργειας ή τής δυναμικής ενέργειας ενός συστήματος μέσα σέ ένα συντηρητικό πεδίο) εξαρτάται μόνο από τήν τιμή της στήν αρχική καί στήν τελική κατάστασή του καί όχι από τόν τρόπο μέ τόν οποίο έγινε η μεταβολή τής κατάστασής του (αντιστρεπτά ή όχι). Συνεπώς, μπορούμε να βρούμε τή μεταβολή τής εντροπίας ενός συστήματος κατά μία μή αντιστρεπτή μεταβολή θεωρώντας μιά ‘υποθετική’ αντίστοιχη αντιστρεπτη μεταβολή πού να έχει τήν ίδια αρχική καί τελική κατάσταση.

10. Ψυκτική μηχανή

Οι ψυκτικές μηχανές μεταφέρουν θερμική ενέργεια καταναλίσκοντας μηχανικό έργο και για να λειτουργήσουν χρειάζονται a) μια πηγή θερμότητας υψηλής θερμοκρασίας T1 που θα τη λέμε πηγή Α b) μια πηγή θερμότητας χαμηλής θερμοκρασίας T2 που θα τη λέμε πηγή Β c) ένα μέσο μεταφοράς θερμότητας Μ που μεταφέρει θερμότητα απο τη πηγή Β στήν πηγή Α καταναλίσκοντας έργο W. Το μέσο Μ

υφίσταται κατά τη διαδικασία της μετατροπής της θερμότητας σε έργο κυκλική μεταβολή (κλειστή) επιστρέφοντας κάθε φορά στη ίδια αρχική κατάσταση με συνέπεια να μη μεταβάλλεται η εσωτερική του ενέργεια.

Σε αυτό το απομονωμένο σύστημα ισχύει: WQQ 21 +=

Αν θεωρήσουμε ότι έχουμε αντιστρεπτή διαδικασία τότε : 0TQ

TQ

SSS2

2

1

121 =−=Δ+Δ=Δ

οπότε έχουμε τη σχέση : 2

2

1

1

TQ

TQ

=

Q1Q 2

W

T1 T2

Page 79: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Ορίζουμε ως απόδοση της ψυκτικής μηχανής τήν ποσότητα n:

21

2

21

22

TTT

QQQ

WQn

−=

−==

11. Ασκήσεις 1. Χρησιμοποιώντας τη σχέση dS=d’Q/T,που αναφέρθηκε προηγουμένως στη θεωρία νά

αποδείξετε τίς εκφράσεις τού 2ου ΘΔ από τόν Clausius καί τόν Kelvin. 2. Σέ ένα κύκλο Carnot ενός mole αερίου οι δύο ισόθερμες μεταβολές πραγματοποιούνται

σέ θερμοκρασίες T1 καί Τ2. Κατά τήν ισόθερμη εκτόνωση τό σύστημα τής μηχανής απορροφά θερμότητα Q. Πόσο έργο παράγει τότε η μηχανή; Τι θερμότητα αποβάλλεται κατά τήν ισόθερμη συμπίεση και πόσο τό έργο πού καταναλίσκεται τότε; Ποιά είναι η απόδοση τής θερμικής μηχανής;

3. Εστω n moles ιδανικού αερίου πίεσης P1 καί θερμοκρασίας Τ1,

τά οποία ευρίσκονται στό διαμέρισμα Α ενός δοχείου απομονωμένου από τό περιβάλλον. Τό διαμέρισμα Β τού δοχείου χωρίζεται από τό Α μέσω ενός διαφράγματος όπως φαίνεται στό σχήμα. α) Νά ευρεθεί η τελική θερμοκρασία καί πίεση τού αερίου μετά τήν αφαίρεση τού διαφράγματος. β) Νά υπολογισθεί η εντροπία τού αερίου μετά τήν αφαίρεση τού διαφράγματος, χρησιμοποιώντας τό στατιστικό ορισμό τής εντροπίας. Συσχετίστε τήν απάντησή σας μέ τό αποτέλεσμα τού Γ΄ ΘΔ νόμου. Τί συμβαίνει αν τό δοχείο διετηρείτο σέ θερμοκρασία Τ=0, καθόλη τή διαδικασία; Δίδεται η τιμή τού ΝΑ, πού είναι ο αριθμός τού Avogadro καί ότι αρχικά VA/VB=λ.

4.Περιγράψτε τά διαγράμματα P-V, P-T, V-T καί S-T ενός κύκλου Carnot γιά ένα τέλειο αέριο. Εξηγείστε τή σημασία τού εμβαδού, πού περικλείεται από τόν κύκλο Carnot σέ κάθε περίπτωση.

5. Νά μελετηθεί ο κύκλος Carnot γιά μιά ψυκτική μηχανή. Να συγκριθεί μέ εκείνο μιάς θερμικής μηχανής.

Page 80: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

10. Νόμοι αερίων

1. Εισαγωγή Οι νόμοι πού διέπουν τή συμπεριφορά τών πραγματικών αερίων περιγράφονται μέ τή

βοήθεια διαφόρων προσεγγίσεων καί θεωρητικών μοντέλων, στά οποία είναι χρήσιμη η έννοια τού ιδανικού αερίου.

Ιδανικό αέριο είναι ένα αέριο, στό οποίο η δυναμική ενέργεια μεταξύ τών μορίων του

δύναται να αμεληθεί σέ σχέση μέ τή κινητική τους ενέργεια. Ο ορισμός αυτός δέν περιορίζει τό είδος τών μορίων τού αερίου σέ μονοατομικό, διατομικό

κ.λ.π.

2. Μακροσκοπική περιγραφή ιδανικών κλασσικών αερίων Εχει ευρεθεί πειραματικά ότι ένα πραγματικό αέριο τό οποίο συμπεριφέρεται ως ιδανικό

υπακούει στούς εξής νόμους (P=πίεση, V=όγκος, T=θερμοκρασία) : α) Νόμος Gay-Lussac : V/T= σταθερό, P=σταθερά β) Νόμος Boyle : P V=σταθερό, Τ=σταθερά γ) Νόμος Charles : P/T=σταθερό, V=σταθερά δ) Νόμος Avogadro : Ο όγκος ενός mole Vmole=22.4 lt σε 1 Atm και 273 οΚ

Αριθμός Avogadro : Με διάφορες μεθόδους ευρίσκεται οτι ο αριθμός των μορίων

εντός ενός mole αερίου (μάζας αερίου ίσης με το μοριακό βάρος του αερίου σε gr) είναι Νο=6.023x1023.

ε) Νόμος Dalton : Η πίεση η εξασκουμένη υπο μείγματος αερίων, όταν ταύτα δεν

αντιδρούν χημικά μεταξύ τους, είναι ίση προς το άθροισμα των μερικών πιέσεων των αερίων του μείγματος

Μερική πίεση αερίου σε ένα μείγμα ορίζεται η πίεση την οποία θα εξασκούσε το εν λόγω

αέριο, αν μόνο του κατελάμβανε ολόκληρο τον όγκο του δοχείου. Η μακροσκοπική κατάσταση ενός συμπεριφερόμενου ώς ιδανικού αερίου μπορεί να

περιγραφεί απο τήν πειραματική σχέση, πού λέγεται καταστατική εξίσωση τών ιδανικών ή τελείων αερίων:

nRTPV = όπου R=παγκόσμια σταθερά των αερίων και n=αριθμός moles αερίου

3. Θεώρημα ισοκατανομής τής ενέργειας Η κλασική ενέργεια Ε ενός συστήματος Ν κλασσικών σωματιδίων είναι συνήθως συνάρτηση

κάποιων συντεταγμένων (π.χ συντεταγμένων θέσης xi , ορμής pi, γωνιακής ταχύτητας κ.λ.π. ), καί έχει τή μορφή:

),p,,x,(EE

F

ji ………=

Ο αριθμός F τών ανεξαρτήτων παραμέτρων (συντεταγμένων) τής ανωτέρω συνάρτησης Ε λέγεται βαθμός ελευθερίας τού συστήματος. Κάθε σωματίδιο τού συστήματος μπορεί να έχει τούς δικούς του βαθμούς ελευθερίας f.

Αποδεικνύεται θεωρητικά ότι:

Page 81: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Αν η έκφραση της ενέργειας Ε ενός συστήματος σωματιδίων ευρισκομένων σέ θερμική

ισορροπία αναλυθεί σε ένα άθροισμα πού περιέχει μόνο τετραγωνικούς όρους ανεξαρτήτων γενικευμένων συντεταγμένων (π.χ. συντεταγμένων θέσης, ορμής κ.λ.π.) κάθε σωματιδίου, τότε κάθε όρος συνεισφέρει κατά μία ποσότητα 2KT στή μέση ενέργεια Ε τού συστήματος (K=σταθερά Boltzmann).

Αποτέλεσμα αυτού είναι η μέση ενέργεια Ε ενός συστήματος Ν ομοίων σωματιδίων σε ΘΔ

ισορροπία στή θερμοκρασία T νά γράφεται ώς : ( )2/TKfNNE =ε=

όπου f είναι ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας ενός σωματιδίου και ε η μέση ενέργειά του, όπου ),p,x,(

f

……ε=ε . Στήν περίπτωση αυτή F = Ν f.

Εφαρμογή 1) Στό Κεφάλαιο 11 θα δούμε ότι η ενέργεια ε ενός γραμμικού αρμονικού ταλαντωτή είναι τό

άθροισμα τής δυναμικής καί τής κινητικής του ενέργειας, καί δίνεται από τή σχέση:

)p,x(m2

pDxmvDx 2x

22x2

212

x212

21 ε=+=+=ε

όπου D=σταθερά, πού θά εξηγηθεί στό Κεφάλαιο 11. Παρατηρούμε ότι στή μία διάσταση (άξονας Οχ) η ενέργεια ενός γραμμικού αρμονικού

αρμονικού ταλαντωτή είναι συνάρτηση δύο παραμέτρων, άρα f=2. Οι δύο αυτές παράμετροι υπεισέρχονται στόν τύπο τής ενέργειας σέ τετραγωνική μορφή (x2, p2). Η μέση ενέργεια Ε ενός συστήματος Ν τέτοιων ταλαντωτών μή αλληλεπιδρώντων μεταξύ τους καί ευρισκομένων σε ΘΔ ισορροπία σέ θερμοκρασία Τ δίνεται από τή σχέση :

( ) NKT2/KT2NE =⋅⋅=

2) Στήν περίπτωση τού ιδανικού αερίου δέν υπεισέρχονται όροι δυναμικής ενέργειας (λόγω

ορισμού), παρά μόνο κινητικής ενέργειας. Ετσι, η ενέργεια ε ενός μονοατομικού μορίου στίς τρείς διαστάσεις γράφεται:

)p,p,p(m2

pm2

pm2

pm2

pmv 2z

2y

2x

2z

2y

2x

22

21 ε=++===ε

Η μέση ενέργεια Ε ενός συστήματος Ν τέτοιων μορίων μή αλληλεπιδρώντων μεταξύ τους

καί ευρισκομένων σε ΘΔ ισορροπία σέ θερμοκρασία Τ δίνεται από τή σχέση (f=3) :

( ) NKT232/KT3NE =⋅⋅=

Αν τό αέριο εκινείτο μόνο στίς δύο διαστάσεις τότε :

)p,p(m2

pm2

pm2

pmv 2y

2x

2y

2x

22

21 ε=+===ε

καί f=2, οπότε ( ) NKT2/KT2NE =⋅⋅=

4. Κινητική Θεωρία (Μικροσκοπική μελέτη)

Page 82: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Η καταστατική εξίσωση τού ιδανικού αερίου δύναται νά παραχθεί μέ ένα απλοποιημένο μικροσκοπικό μοντέλο ανάλυσης (κινητική θεωρία) καί στήν περίπτωση μονοατομικού αερίου. Η χρήση τής κινητικής θεωρίας στήν απόδειξη αποτελεί παράδειγμα τρόπου παραγωγής τής σχέσης μεταξύ τών μακροσκοπικών μεταβλητών (όγκος, πίεση, θερμοκρασία κ.λ.π.) ενός ΘΔ συστήματος από τή μελέτης τών μικροσκοπικών του ιδοτήτων.

Η καταστατική εξίσωση ενός ιδανικού

αερίου έχει τή μορφή PV=nRT ανεξάρτητα αν το αέριο είναι μονοατομικό ή πολυατομικό. Η καταστατική εξίσωση αποδεικνύεται μέ αυστηρότερο τρόπο ότι ισχύει καί γιά ένα μή μονατομικό τέλειο αέριο.

Εστω τέλειο αέριο τοποθετημένο μέσα σε ένα δοχείο όγκου V και σταθερής θερμοκρασίας

Τ. Θεωρούμε μια στοιχειώδη επιφάνεια ΔΑ στην επιφάνεια αυτού του δοχείου και υπολογίζουμε τη πίεση P που ασκούν τα σωματίδια του αερίου σε αυτή.

Απο το σχήμα εξάγεται ότι η μεταβολή της ορμήs Δp ενός σωματιδίου κατά τον άξονα Οx επιλεγμένου κάθετου στην επιφάνεια ΔΑ είναι Δp=2px. Αν θεωρήσουμε ΔΝ σωμάτια, που ευρίσκονται σε χώρο ΔV επιφάνειας ΔΑ και ύψους Δx κατά τον άξονα Οx έχουμε ότι η συνολική μεταβολή της ορμής των σωματίων αυτών λόγω ελαστικής κρούσης πάνω στην επιφάνεια ΔΑ του δοχείου είναι ίση με Np2p xTOT Δ=Δ και η αντίστοιχη δύναμη Fx που ασκούν είναι:

tNp2

tpF x

TOTx Δ

Δ=

ΔΔ

=

Η πίεση P που ασκείται στην εν λόγω επιφάνεια ΔΑ απο τα σωματίδια του αερίου είναι :

VNmv2

VNmv2

VNvp2

AN

tp2

AFP 2

x2xxx

xx =ΔΔ

=ΔΔ

=ΔΔ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛Δ

=

Επειδή πρέπει να θεωρήσουμε κίνηση μόνο κατά τον θετικό Οx-άξονα, η πίεση P γράφεται

ώς :

VNmvP 2

x=

Αν επιπλέον θεωρήσουμε ότι τα σωματίδια του αερίου έχουν διαφορετικές ταχύτητες και ότι

κινούνται ισοδύναμα ως προς και τους τρείς άξονες Ox, Oy και Οz του συστήματος συντεταγμένων που επιλέξαμε, τότε:

V

Nmv

31

VmNv

VNmv

VNmv

VNmvPPPP

22x

N2N,x

222,x

121,xN21 ==+++=+++= ……

πού μπορεί νά γραφεί καί ώς 2vd31P =

όπου d=Nm/V η πυκνότητα τού αερίου.

Στη περίπτωσή μας 2vm21

=ε οπότε : E32PV

VN

32P =⇒

ε=

Από τό θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας προκύπτει, ότι η μέση ενέργεια Ε τού ιδανικού

αερίου είναι NKT23 .

ΔΑ

φφ

px

px

py

py

pI

pF

Δp =2px x

x

y

z

O

Page 83: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

O αριθμός τών moles n τού αερίου δίνεται από τή σχέση : oN

Nn =

Αν η παγκόσμια σταθερά R τών αερίων ορισθεί από τή σχέση : KNR o≡ τότε, η ενέργεια E γράφεται: nRTE 2

3= οπότε έχουμε ότι ( ) nRTnRTEPV 2

332

32 === , πού είναι η γνωστή καταστατική εξίσωση

τού τελείου αερίου.

5. Κατανομή ταχυτήτων τών μορίων αερίου

Θεωρούμε Ν μόρια αερίου, έκαστον μάζας m, μέσα σέ δοχείο σταθερού όγκου V καί σταθερής θερμοκρασίας T.

Ορίζομε ώς κατανομή πιθανότητας μιάς

μεταβλητής x τού αερίου τή συνάρτηση f(x), πού μάς δείχνει πώς μεταβάλλεται τό στοιχειώδες ποσοστό dP(x) τών σωματιδίων του μέ τήν τιμή τής x, στήν περιοχή (x,x+dx) στή μονάδα τής x. Δηλαδή, ισχύει:

dx)x(dP)x(f =

Προφανώς ισχύει γιά τό άθροισμα τών ποσοστών η σχέση: ∫ ∫ ==b

a

b

a1dx)x(f)x(dP ,

υποθέτοντας ότι a καί b είναι τά όρια τού διαστήματος στά οποία ορίζεται η μεταβλητή x. Εστω μιά άλλη συνάρτηση T(x), πού περιγράφει μιά ιδιότητα τού αερίου καί εξαρτάται από

τή μεταβλητή x. Ορίζομε ώς μέση τιμή τής συνάρτησης T(x) τήν ποσότητα:

dx)x(f)x(TTb

a∫≡

Αποδεικνύεται, ότι γιά τό τέλειο ιδανικό αέριο η κατανομή πιθανότητας τής ταχύτητας f(v) δίνεται από τή σχέση:

RT2vM

22/3 2

evRT2

M4)v(f−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛π

π=

όπου M=NAm: Μοιακό Βάρος Η μέση τιμή τής ενέργειας <Ε> γιά τό ιδανικό αέριο, θά δίνεται από τή σχέση:

22 vm2Nmv

21NNNE ==ε=ε=

όπου ε είναι η κινητική ενέργεια ενός μορίου τού αερίου.

Μετά από ολοκληρώσεις τής τελευταίας σχέσης, προκύπτει: mKT3dv)v(fvv

0

22 == ∫∞

Τελικά, NKT23

mKT3

2Nmv

2NmE 2 === όπως αναμενότανε από τό θεώρημα ισοκατανομής.

ΛουτρόΘερμότηταςθερμοκρασίας

Τ

Ν, Τ, V

Page 84: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Η κατανομή f(v) είναι γνωστή ώς

κατανομή ταχυτήτων Maxwell-Boltzmann. Η μεταβολή τής f(v) συναρτήσει τής ταχύτητας v καί γιά διάφορες θερμοκρασίες φαίνεται στό σχήμα.

Γιά τήν περίπτωση τής ενέργειας ε τών μορίων αερίου αποδεικνύεται ότι η αντίστοιχη κατανομή πιθανότητας δίνεται από τή σχέση:

KTeKTKT

12)(fε

−ε

π=ε

Ο παράγοντας KTeε

− λέγεται στατιστικός παράγοντας τού Boltzmann.

Η τελευταία σχέση δείχνει ότι η πιθανότητα τά μόρια ενός αερίου νά έχουν ενέργεια μεταξύ ε καί ε+dε είναι ανάλογη τού παράγοντα τού Boltzmann.

6. Γραμμομοριακή θερμότητα υπο σταθερό όγκο CV και πίεση CP Ορίζουμε ως γραμμομοριακή θερμότητα υπό σταθερό όγκο τήν ποσότητα:

VV dT

dQn1C ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≡

θεωρώντας ότι κατά την παραγώγιση ο όγκος V παραμένει σταθερός.

Αν θεωρήσομε μια υποθετική μεταβολή κατά την οποία δεν μεταβάλλεται ο όγκος, δηλαδή

dV=0, τότε απο το Α΄ ΘΔ νόμο έχουμε ότι dE=dQ και V

V dTdE

n1C ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≡

Απο τη σχέση: RdT2fndEnRT

2fE =⇒= .

Ακόμη, από τή σχέση: ⇒=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≡ R

2f

dT

RdT2fn

n1

dTdE

n1C

VV

R2fCV = και TnCE V=

Η τελευταία σχέση ισχύει γενικότερα για κάθε μεταβολή καθότι εξαρτάται μόνο απο τη

θερμοκρασία. Παρόμοια, ορίζουμε ως γραμμομοριακή θερμότητα υπο σταθερά πίεση την ποσότητα:

PP dT

dQn1C ⎟

⎞⎜⎝

⎛≡

θεωρώντας ότι κατά την παραγώγιση η πίεση P παραμένει σταθερά. Αν θεωρήσομε μια υποθετική μεταβολή, κατά την οποία η πίεση P παραμένει σταθερή,

δηλαδή dP=0, τότε απο τη διαφόριση της καταστατικήs εξίσωσης nRTPV = των τελείων έχομε ότι :

nRdTPdVnRdTVdPPdV)nRT(d)PV(d =⇒=+⇒= Από το 1ο ΘΔ νόμο dWdEdQ += και θεωρώντας ότι η πίεση P παραμένει σταθερά,

έχουμε με αντικατάσταση ότι :

dT)RC(nnRdTdTnCdTnCPdVdTnCdTnC VVPVP +=+=⇒+=

F(v)

V

T1

T2

T1> T2

VMax,1 VMax,2

Page 85: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Οπότε τελικά προκύπτει ότι: RCC VP += Απο τη τελευταία σχέση έχουμε ότι:

⇒+

=+=+= R2

2fRR2fRCC VP R

22fCP

+=

Υπολογίζουμε τέλος το λόγο ( )VP C/C και ευρίσκουμε ότι : f

2fCC

V

P +==γ

7. Αδιαβατική μεταβολή – Νόμος τού Poisson Σε μια αδιαβατική μεταβολή dQ=0, οπότε με αντικατάσταση στο Α΄ ΘΔ νόμο ευρίσκουμε

ότι: 0PdVdTnCV =+

Επίσης, απο τη σχέση : nRTPV = έχουμε με διαφόριση ότι : nRdTVdPPdV =+

Λαμβάνοντας υπόψη ότι RCC VP += και V

P

CC

=γ προκύπτει ότι :

άσPV ταθερ=γ , Νόμος Poisson

Απόδειξη

⇒=++⇒=+⇒=+ 0VdPCPdV)CR(0PRdV)nRdT(C0PdVdTnC VVVV

⇒=+γ⇒=+γ⇒=+ γ−γ 0dPVPdVV0VdPPdV0VdPCPdVC 1VP

( ) ( ) άσPV0PVd0dVVVPd ταθερ=⇒=⇒=+ γγγγ

Από συνδιασμό της σχέσης PV nRT= και του Νόμου του Poisson εξάγεται ότι:

άσTV 1 ταθερ=−γ καί άσTP1

ταθερ=γγ−

8. Εργο αερίου κατά μία αδιαβατική μεταβολή (1→2)

Α´ Εκφραση Για να υπολογίσουμε το έργο W12 που

έδωσε το αέριο στο περιβάλλον κατά τη αδιαβατική μεταβολή του απο τη κατάσταση 1 στη κατάσταση 2, λαμβάνουμε υπόψη ότι

0)PV(d =γ και συνεπώς VdPdVP −=γ . Ετσι,

γ−−

=γ−

=γ−

==

∫∫

1PVPV

)VP(d1

1

1)VP(dPdVW

11222

1

2

1

2

112

διότι dVP)PV(dVdP)PV(dPdV γ+=−= (βλέπε και προηγούμενη απόδειξη) και με ανακατάταξη των όρων, )PV(ddV)1(P =γ−

Β´ Εκφραση

Page 86: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Το έργο W12 σε μια αδιαβατική μεταβολή μπορεί να υπολογιστεί και με διαφορετικό τρόπο. Σε μια αδιαβατική μεταβολή ισχύει ότι dQ=0, οπότε 0Q12 = . Eπίσης dTnCdE V= , άρα

)TT(nCE 12V12 −= . Απο το Α΄ ΘΔ νόμο έχουμε ότι dEdW −= , άρα )TT(nCEW 21V1212 −=−= .

Σημειώνουμε ότι E12 είναι η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας και Q12 το ποσό

θερμότητας που μεταφέρθηκε στο σύστημα στο περιβάλλον κατά την αδιαβατική μεταβολή του απο τη κατάσταση 1 στη κατάσταση 2.

Παρατηρούμε την ισοδυναμία μεταξύ των δυο εκφράσεων ως προκύπτει άμεσα. Πράγματι,

( )

( )γ−

−=

+−

−=−=

−=−

=−=

1VPVP

f2f1

VPVPVPVP

2f

nRTnRT2f

2TT

nRf)TT(nCW

112211222211

2121

21V12

Ανακεφαλαιώνοντας σε μια αδιαβατική μεταβολή έχουμε:

2)TT(nRf

)TT(nC1

PVPVEW,0Q 21

21V1122

121212−

=−=γ−

−=−==

9. Εργο αερίου κατά μιά ισόθερμη μεταβολή (1→2) Επειδή η θερμοκρασία T1=T παραμένει σταθερή

σε μια ισόθερμη μεταβολή, τότε dE=0 και συνεπώς ισχύει:

[ ] ===

====

∫ ∫21

2

1

2

1

2

11212

VlnnRTV

dVnRT

dVV

nRTPdVQW

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=

1

212 V

VlnnRT)VlnV(lnnRT

άEκαί VVlnnRTQW

1

21212 σταθερ≡⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛==

10. Εργο αερίου κατά μιά ισόχωρη μεταβολή (1→2) Σε μια ισόχωρη μεταβολή dV=0 οπότε και

dW=PdV=0. Από τό Á´ ΘΔ νόμο έχουμε ότι dQ=dE=nCVdT,

οπότε Q12=E12+W12= E12

( )12

2

1

2

1VVV12 TTnCdTnCdTnCE −=== ∫ ∫

Ανακεφαλαιώνοντας έχουμε ότι σε μια ισόχωρη

μεταβολή ισχύει: 0καί W )T-(TnC=EQ 1212V1212 ==

11. Εργο αερίου κατά μιά ισοβαρή μεταβολή

Page 87: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

(1→2)

Στήν περίπτωση αυτή, οπου η πίεση διατηρείται σταθερή κατά τη διάρκεια της μεταβολής, έχουμε ότι :

E12=Q12-W12=nCP(T2-T1)- P(V2-V1) καθότι

( )12P

2

1P12 TTnCdTnCQ −== ∫

καί

( )∫ ∫ −===2

112

2

112 VVPdVPPdVW

Ανακεφαλαιώνοντας σε μια ισοβαρή μεταβολή ισχύει ότι:

)VV(P)TT(nCE)VV(PW

)TT(nCQ

1212P12

1212

12P12

−−−=−=

−=

12. Αλλαγή τής εντροπίας μέ τή αλλαγή τής κατάστασης ενός συστήματος Σε όλες τις περιπτώσεις η μεταβολή της εντροπίας ΔS μεταξύ της τελικής (2) και της

αρχικής (1) κατάστασης ενός συστήματος θα δίνεται απο τη σχέση:

∫ ∑∫→

Δ===−=Δ

2

1 21

2

112 T

QT

dQdSSSS

θεωρώντας μια ΄υποθετική΄ αντιστρεπτή μεταβολή μεταξύ της κατάστασης (1) και της

κατάστασης (2).

a) Αδιαβατική αντιστρεπτή εκτόνωση αερίου

Στήν περίπτωση αυτή :

0SSS 12 =−=Δ διότι σε μια αδιαβατική μεταβολή ΔQ=0

b) Ισόθερμη αντιστρεπτή εκτόνωση αερίου

Στην περίπτωση αυτή :

1

13

31

3

1113 T

QT

dQdQT1SSS ===−=Δ ∑∫

Αλλά, όπως δείξαμε προηγουμένως

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1

3113 V

VlnnRTQ και συνεπώς ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=Δ

3

1

1

3

PPlnnR

VV

lnnRS καθότι 3311 VPVP =

Page 88: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

c) Ισοβαρής αντιστρεπτή εκτόνωση αερίου

Στη περίπτωση αυτή η πίεση P παραμένει σταθερή ενω μεταβάλλεται ο όγκος του αερίου και περιγράφεται στο επόμενο σχήμα.

Η μεταβολή της εντροπίας ΔS31 δίνεται απο τη σχέση:

∫∫∫ ====Δ2

1

2

1

T

TP

T

T

P3

131 TdTnC

TdTnC

TdQS

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−==

1

2P12P

T

TP TT

lnnCTlnTlnnC)Tln(nC 2

1

παρατηρώντας ότι τα dQ και T μεταβάλλονται

ταυτόχρονα κατά μήκος του τμήματος 1-3 και λαμβάνοντας υπόψη όσα είπαμε στην παράγραφο 10.

Β´ τρόπος

Ενας διαφορετικός τρόπος να καταλήξομε στο ίδιο αποτέλεσμα ΄μέσω Λαμίας΄ είναι να

θεωρήσομε μια ΄υποθετική΄ αντιστρεπτή μεταβολή-διαδικασία κατά την οποία μεταβάλλεται το σύστημα έχοντας όμως την ίδια αρχική (1) και τελική κατάσταση (3). Ετσι, θεωρούμε μια υποθετική αντιστρεπτή ισόθερμη μεταβολή απο τη κατάσταση (1) στη κατάσταση (2) και μια αντιστρεπτή υποθετική αδιαβατική μεταβολή από τη κατάσταση (2) στη τελική κατάσταση (3). Ετσι, η συνολική μεταβολή της εντροπίας ΔS θα είναι :

)SS()SS(SSS 12232132 −+−=Δ+Δ=Δ

Στη συνέχεια θα υπολογίσομε κάθε επιμέρους διαφορά ξεχωριστά και όπως έχουμε

συζητήσει :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Δ

1

221 V

VlnnRS καί 0S32 =Δ

Το ερώτημα τώρα που παραμένει είναι να υπολογίσομε την τιμή του άγνωστου όγκου V2,

που δεν γνωρίζομε.

Απο τη μεταβολή 1-3 έχομε : 2

3

1

1

TV

TV

=

Ακόμη, για μια αδιαβατική μεταβολή (2-3) ισχύει ότι: 132

121 VTVT −γ−γ =

Απο τις δύο τελευταίες σχέσεις εξάγεται ότι : γ−γ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

1

31

1

2

VV

VV

και τελικά ότι =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−γγ

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Δ

−γ+

−γ

1

31

11

1

31

1

3

1

331 V

Vln

1nR

VV

lnnRVV

VV

lnnRS

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=1

2P

1

3P

1

3

TTlnnC

VV

lnnCVV

ln2

2fnR

d) Ισόχωρη αντιστρεπτή μεταβολή αερίου

Στη περίπτωση αυτή έχομε :

∫∫∫ ====Δ2

1

2

1

T

TV

T

T

V2

121 TdTnC

TdTnC

TdQS

Page 89: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−==

1

2V12V

T

TV TTlnnCTlnTlnnC)Tln(nC 2

1

καθότι dQ=dE και λαμβάνοντας υπόψη όσα αναφέραμε στη παράγραφο 9.

Β´ τρόπος

Ενας διαφορετικός τρόπος να εξάγομε το ίδιο αποτέλεσμα είναι να θεωρήσομε μια άλλη ΄υποθετική΄ αντιστρεπτή μεταβολή απο τη κατάσταση 1 στη κατάσταση 2 διαμέσου της κατάστασης 3. όπως φαίνεται στο σχήμα.

Ετσι, θα έχομε μια μεταβολή εντροπίας ΔS13 κατά την ισόχωρη ΄υποθετική΄ μεταβολή απο το 1 στο 3 και μιά μεταβολή εντροπίας ΔS21 κατά την αδιαβατική ΄υποθετική΄ μεταβολή απο το 3 στο 2.

Η συνολική μεταβολή της εντροπίας ΔS21 θα

είναι :

0VV

lnnRSSS1

3323121 +⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=Δ+Δ=Δ

Απο τη μεταβολή 1-2 εχουμε : 2

2

1

1

TP

TP

= αφού V1=V2

Απο τη μεταβολή 1-3 έχομε : 13

133311 P

VV

PVPVP =⇒=

Απο τη μεταβολή 3-2 έχομε : ( ) ( )3

2

2

32233 P

PVV

VPVP =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⇒=

γγγ

Απο συνδιασμό των τριών τελευταίων σχέσεων προκύπτει ότι :

1

2

1

3

1

2

1

3

3

2

2

3

TT

VV

PP

VV

PP

VV

===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

Αλλά V1=V2 οπότε προκύπτει τελικά ότι : 1

2

1

3

TT

VV

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛γ

Η συνολική μεταβολή της εντροπίας θα δίνεται απο τη σχέση :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛γ−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=Δ

γ−

1

2V

1

2

1

21

1

1

2

1

321 T

TlnnCTTln

f2f1

nRTTln

1nR

TTlnnR

VV

lnnRS

που είναι και το ζητούμενο.

Page 90: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

e) Ελεύθερη μή αντιστρεπτή αδιαβατική εκτόνωση αερίου από όγκο V1 σέ όγκο V2

Eφόσον η διαδικασία είναι αδιαβατική έχομε dQ=0, εφόσον είναι ελεύθερη το dW=0. Αρα απο το Α΄ ΘΔ αξίωμα έχομε ότι dE=0, δηλαδή έχομε ότι κατα αυτή τη διαδικασία η

εσωτερική ενέργεια Ε του συστήματος δεν μεταβάλλεται. Αλλά, ως γνωστό η εσωτερική ενέργεια Ε=N f K T/2 = n f R T/2 (για τέλειο αέριο), εξαρτάται απο τη θερμοκρασία. Συνεπώς, αφού αυτή παραμένει σταθερά και η θερμοκρασία Τ παραμένει σταθερά. Αν θεωρήσουμε τη μη αντιστρεπτή διαδικασία (1-2), σύμφωνα με όσα είπαμε θα σήμαινε οτι στη πραγματικότητα έχουμε να κάνουμε με μια αδιαβατική μεταβολή που είναι και ισόθερμη, δηλαδή στο σχήμα μας οι ισόθερμες καμπλύλες (1) και (2) θα συνέπιπταν.

Ετσι ο υπολογισμός της μεταβολής της εντροπίας μεταξύ των καταστάσεων 1 και 2 ανάγεται στον υπολογισμό της μεταβολής της εντροπίας μεταξύ των καταστάσεων 1 και 3 ακολουθώντας μια αντιστρεπτή ισόθερμη διαδικασία. Ετσι,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=Δ=Δ

3

1

1

31312 P

PlnnRVVlnnRSS

13. Προσέγγιση τού πραγματικού αερίου μέ τό μοντέλο τού ιδανικού αερίου Τά πραγματικά αέρια δείχνουν

αποκλίσεις στή συμπεριφορά τους από εκείνη τού τελείου ιδανικού αερίου. Ο λόγος είναι η ύπαρξη ελκτικών απωστικών δυνάμεων μεταξύ τών μορίων τους. Οί απωθητικές δυνάμεις είναι σημαντικές όταν τά μόρια πλησιάζουν πολύ μεταξύ τους. Αυτό συμβαίνει συνήθως στίς υψηλές πιέσεις. Οι ελκτικές δυνάμεις είναι σημαντικές όταν τά μόρια είναι σέ σχετικά μακριές αποστάσεις, τής τάξεως μερικών μοριακών διαμέτρων. Η έλξη καί η άπωση τών μορίων μεταξύ τους περιγράφονται ποιοτικά από τό σχήμα, όπου φαίνεται η μεταβολή τής δυναμικής ενέργειας ΔΕ δύο μορίων συναρτήσει τής απόστασής τους r. Σέ χαμηλές πιέσεις οι διαμοριακές δυνάμεις δέν παίζουν σημαντικό ρόλο, αφού οι αποστάσεις μεταξύ τών μορίων είναι πολύ μεγάλες.

Στή διάρκεια τής ανάπτυξης τής κινητικής θεωρίας τών αερίων αναπτύχθηκαν πολλές νέες

καταστατικές εξισώσεις, που να περιγράφουν τά πραγματικά αέρια. Μιά τέτοια εξίσωση είναι η εξίσωση van der Waals, πού δίνεται από τή σχέση:

2

Vna

nbVnRTP ⎟

⎞⎜⎝

⎛−−

=

Οι συντελεστές a καί b λέγονται συντελεστές van der Waals καί εξαρτώνται από τό

πραγματικό αέριο πού θέλομε να περιγράψομε.

Οχι διαμοριακές δυνάμειςΚυρίως ελκτικές δυνάμεις

Κυρίως απ

ωστικές

δυνάμ

εις

ΔΕ

0 r

Page 91: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Είδος αερίου a (x atm L2 mol-2) b (x 10-2 L mol-1)

Τέλειο αέριο 0 0

Ar 1.363 3.219

CO2 3.640 4.267 Εκτός από τήν εξίσωση van der Waals υπάρχουν καί άλλες εξισώσεις, που περιγράφουν

πραγματικά αέρια όπως τών Berthelot, Dieterici καί άλλων. Μία εξίσου γνωστή εξίσωση (εξίσωση ισχυρότητας) προκύπτει μέ επέκταση τής σχέσης PV=nRT, ώστε να συμπεριλάβει καί τά πραγματικά αέρια. Αυτή είναι τής μορφής:

( )…+++= 2

21 P)T(bP)T(b1nKTPV

Οι συντελεστές b1(T), b2(T), … λέγονται συντελεστές ισχυρότητας καί οι τιμές τους εξρτώνται από τό εξεταζόμενο αέριο.

14. Ασκήσεις 1. Να αποδειχτεί ο Νόμος του Dalton, με τη βοήθεια της σχέσης PV=nRT 2. Νά ευρεθεί η μορφή τής καταστατικής εξίσωσης γιά ένα μονοατομικό αέριο, όταν αυτό

κινείται α) σέ μία διάσταση β) σέ δύο διαστάσεις γ) νά ευρεθεί η μορφή τής σχέσης RCC VP += στίς δύο προηγούμενες περιπτώσεις. Ποιός είναι ο ρόλος τών εσωτερικών

βαθμών ελευθερίας;

3. Ενα δοχείο όγκου V απομονωμένο από τό περιβάλλον διαχωρίζεται μέ ένα αδιαβατικό διάφραγμα σέ δύο μέρη Α καί Β. Στό μέρος Α τού δοχείου περιέχονται nΑ moles τού αερίου Α σέ θερμοκρασία ΤΑ καί στό μέρος Β περιέχονται nB moles τού αερίου Β σέ θερμοκρασία TΒ. α) Νά ευρεθεί η τελική κοινή θερμοκρασία Τ τών δύο αερίων, τήν οποία αποκτούν μετά τήν ανάμειξή τους πού λαμβάνει χώρα μετά τήν αφαίρεση τού διαφράγματος. b) Νά ευρεθεί η μερική πίεση κάθε αερίου μετά τήν αφαίρεση τού διαφράγματος, καθώς καί η πίεση τού μείγματος μετά τήν αποκατάσταση τής ισορροπίας. Δίδονται οι τιμές τής γραμμομοριακής θερμότητας υπό σταθερό όγκο γιά τά δύο αέρια καί η τιμή τής σταθεράς R.

4. Δοχείο μέ ανένδοτα τοιχώματα, χωρίζεται μέ ένα επίσης ανένδοτο διάφραγμα σέ δύο

χώρους όγκων VA και VB. Στό χώρο όγκου VA περιέχεται ιδανικό αέριο μάζας m, ενώ ο χώρος VB είναι κενός. Θερμαίνουμε τό αέριο κατά ΔΤ όπότε η πίεσή του γίνεται α% τής αρχικής. Στή συνέχεια ολόκληρο τό δοχείο καλύπτεται μέ θερμομονωτικό υλικό καί ανασύρομε τό διάφραγμα. οπότε τό αέριο λαμβάνει ολόκληρο τό διαθέσιμο όγκο. Αν στό τέλος ολόκληρης τής διαδικασίας η εσωτερική ενέργεια τού αερίου έχει μεταβληθεί κατά ΔU καί η εντροπία κατά

ΔS ζητούνται: α) Ο βαθμός ελευθερίας τών μορίων τού αερίου. b) η ποσότητα 2v στό

τέλος τής όλης διαδικασίας. Η παγκόσμια σταθερά τών αερίων R δέν θεωρείται γνωστή. 5. Δοχείο περιέχει διατομικό τέλειο αέριο τό οποίο περιορίζεται στό χώρο ενός δοχείου μέ τή

βοήθεια ενός κατακόρυφα τοποθετημένου εμβόλου κάποιου αγνώστου βάρους. Τό όλο σύστημα είναι τοποθετημένο εντός λουτρού θερμότητας θερμοκρασίας Τ, η δέ εσωτερική ενέργεια Ε τού αερίου θεωρείται γνωστή. Αν διπλασιαστεί τό βάρος τού εμβόλου κατά πόσο μεταβάλλεται η εντροπία τού αερίου; Στή συνέχεια, αφαιρείται τό λουτρό θερμότητας καί τό έμβολο μετακινείται σέ μιά διαφορετική θέση όπου τό όλο σύστημα ηρεμεί ενώ η θερμοκρασία τού αερίου γίνεται Τ/2. Ποία η μεταβολή της εντροπίας καί η θερμότητα, πού εκφεύγει κατά αυτή τή διαδικασία; Η παγκόσμια σταθερά τών αερίων R δέν θεωρείται γνωστή καί τό έμβολο κινείται χωρίς τριβές.

6. Δοχείο απομονωμένο από τό περιβάλλον διαχωρίζεται μέ ένα αδιαβατικό κινητό

διάφραγμα επιφανείας S σέ δύο ίσα μέρη όγκου V. Κάθε μέρος τού δοχείου περιέχει n moles

Page 92: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

τού ιδίου ιδανικού διατομικού αερίου πίεσης P καί θερμοκρασίας Τ. Στό ένα από τά δύο μέρη τού δοχείου υπάρχει μιά ωμική αντίσταση R, η οποία διαρρέεται από συνεχές ρεύμα Ι γιά κάποιο χρονικό διάστημα. Νά ευρεθεί α) η πίεση καί η θερμοκρασία τού αερίου σέ κάθε μέρος τού δοχείου καί β) γιά πόσο χρόνο τ η αντίσταση διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα, άν τό διάφραγμα μετατοπίζεται κατά δx. Υποθέστε ότι συμβαίνουν μόνο αντιστρεπτές διαδικασίες.

7. Μονοατομικό αέριο όγκου V1, πίεσης P1 καί θερμοκρασίας T1 μεταβαίνει σέ μιά άλλη θέση ΘΔ ισορροπίας, όπου αποκτά όγκο V2 καί θερμοκρασία T2. Νά ευρεθεί η μεταβολή τής εσωτερικής ενέργειας καί τής εντροπίας τού αερίου. Δέν δίδεται η τιμή τού R.

8. Θερμικά μονωμένο δοχείο χωρίζεται μέ ένα ανένδοτο διάφραγμα σέ δύο διαμερίσματα Α

καί Β, στά οποία περιέχεται ξεχωριστά μονοατομικό αέριο όγκου VΑ πίεσης PΑ καί θερμοκρασίας TΑ καί διατομικό αέριο όγκου VB πίεσης PB καί θερμοκρασίας TB αντίστοιχα. α) Ποιά είναι η κοινή θερμοκρασία καί οι μερικές πιέσεις τών αερίων καί β) η μεταβολή τής εσωτερικής ενέργειας καί τής εντροπίας τών δύο αερίων μετά τήν αφαίρεση τού διαφράγματος. γ) Απαντείστε στά δύο προηγούμενα ερωτήματα υποθέτοντας ότι τό αέριο καί στά δύο διαμερίσματα είναι τό αέριο Α. Δίδεται η τιμή τής R εφόσον τό κρίνετε αναγκαίο.

Page 93: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

11. Ταλαντώσεις

1. Ορισμός περιοδικής κίνησης καί ταλάντωσης Περιοδική κίνηση είναι μιά κίνηση που επαναλαμβάνεται κατά τον ίδιο τρόπο σε ίσα

χρονικά διαστήματα Ταλάντωση είναι μια περιοδική κίνηση γύρω απο ένα κέντρο ισορροπίας.

2. Γραμμική αρμονική ταλάντωση Γραμμική αρμονική ταλάντωση ενός υλικού σημείου είναι μιά ταλάντωση, η οποία

συμβαίνει κατά μήκος μιάς διάστασης καί τής οποίας η μετακίνηση περιγράφεται απο την εξίσωση:

( )ϕ+ω= tsinxx o

όπου ω = 2πν = 2π/Τ, Τ=περίοδος ταλάντωσης Η τιμή της αρχικής φάσης φ εξαρτάται απο τη αρχική θέση εκκίνησης του υλικού σημείου

τη χρονική στιγμή t=0. Ετσι, φ=0 αν το κινητό τη χρονική στιγμή t=0 είναι στη θέση ισορροπίας και φ=90ο αν το κινητό τη χρονική στιγμή t=0 είναι στη μέγιστη δυνατή απόσταση xo απο τη θέση ισορροπίας του.

Η ταχύτητα του κινητού δίνεται απο τη σχέση: ( ) ( )ϕ+ω=ϕ+ωω== tcosvtcosxdtdxv oo

Η επιτάχυνση του κινητού δίνεται απο τη σχέση:

( ) ( )ϕ+ωγ=ϕ+ωω−==γ tsintsinxdtdv

oo2 (1)

Η δύναμη που ασκείται σε ένα κινητό που εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση δίνεται

απο το Νόμο του Newton:

( ) ( ) xmtsinxmtsinmmF 2o

2o ω−=ϕ+ωω−=ϕ+ωγ=γ= (2)

Συνεπώς, όταν σε ένα κινητό μάζας m ασκείται μία δύναμη F της μορφής:

DxF −= , όπου 2mD ω= (3) τότε το κινητό εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση με περίοδο:

Dm22T π=

ωπ

=

Η σχέση (3) μπορεί να γραφεί και ώς εξής: Dxdt

xdmdtdvmmF 2

2

−===γ=

Παρατηρούμε επομένως ότι η μετακίνηση x του κινητού επαληθεύει τη διαφορική εξίσωση:

0xmD

dtxd2

2

=+

3. Ενέργεια γραμμικού αρμονικού ταλαντωτή

Page 94: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Απο το Θεώρημα Κιν.Ενέργειας - Εργου έχουμε για δύο τυχούσες θέσεις του κινητού Α και Β ότι :

2B

2A

B

A

2B

A

B

ABA

2A

2B Dx

21Dx

21Dx

21DxdxFdxWmv

21mv

21

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−===− ∫∫→

Παρατηρούμε, δηλαδή ότι η ποσότητα: 22 Dx21mv

21E += είναι σταθερή

Απο το γενικό ορισμό της δυναμικής ενέργειας έχομε ότι η δυναμική ενέργεια του

γραμμικού αρμονικού ταλαντωτή θα δίνεται απο τη σχέση:

( ) 2x

0

2x

0

x

0x0 Dx

21Dx

21DxdxFdxW)0(ExE =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−−=−=−≡− ∫∫→ΔΥΝΔΥΝ

Συνεπώς, το αμετάβλητο της ποσότητας 22 Dx21mv

21E += εκφράζει στη πραγματικότητα

το Θεώρημα Διατήρησης της Μηχανικής ενέργειας για γραμμική αμονική ταλάντωση. Η τιμή της σταθεράς Ε δίνεται απο τη σχέση :

( ) ( ) ( ) ( ) 2o

2o

22o

22o

22 Dx21xm

21tsinxm

21tcosxm

21Dx

21mv

21E =ω=ωω+ωω=+=

ή ισοδύναμα απο τη σχέση:

( ) ( )( ) =ωω+ω=+= 2o

22o

22 tsinxm21tcosvm

21Dx

21mv

21E

( ) ( ) ( ) ( ) 2o

2o

2o

2o

2o mv

21tsinv

21tcosvm

21tsinxm

21tcosvm

21

=ω+ω=ωω+ω=

Δηλαδή, έχομε όπως αναμενόταν: 2o

2o Dx

21mv

21E ==

Τέλος, η κινητική ενέργεια ΕΚΙΝ και η δυναμική ενέργεια ΕΔΥΝ κάθε χρονική στιγμή θα

δίνονται απο τις σχέσεις:

tcosEtcosmv21mv

21E 222

o2

KIN ω=ω⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==

tsinEtsinDx21Dx

21E 222

o2 ω=ω⎟

⎞⎜⎝

⎛==ΔΥΝ

4. Κύκλωμα LC (Thomson) Η ενέργεια EC που αποθηκεύεται στο ηλεκτρικό πεδίο του

πυκνωτή δίνεται απο τη σχέση:

Cq

21E

2

C =

ενώ η ενέργεια EL που αποθηκεύεται στο εσωτερικό του μαγνητικού πεδίου του πηνίου

δίνεται απο τη σχέση:

2

L LI21E =

Επειδή η ενέργεια του κυκλώματος θα πρέπει να διατηρείται σταθερή γιαυτό και θα πρέπει:

Page 95: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

( ) 0EEdtd

dt)E(d

CL =+=

Λαμβάνοντας υπόψη ότι : dtdqI = εύκολα καταλήγομε στη διαφορικη εξίσωση:

0qLC1

dtqd2

2

=+

που αντιστοιχεί στην εξίσωση (4) του γραμμικού αρμονικού ταλαντωτή. Κατ΄αντιστοιχία θα

πρέπει να έχει ως λύση για το φορτίο q που αποθηκεύεται στον πυκνωτή :

( )ϕ+ω= tsinqq oo

όπου LC1

T2

o =π

=ω η ιδιοσυχνότητα και Τ η περίοδος ταλάντωσης του κυκλώματος.

Η αρχική φάση φ εξαρτάται απο τη κατάσταση φόρτισης του πυκνωτή τη χρονική στιγμή

t=0. Ετσι, αν τη χρονική στιγμή t=0 ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος τότε φ=0, ενώ αν τη χρονική στιγμή t=0 ο πυκνωτής είναι φορτισμένος με φορτίο qo τότε φ=90. Στη τελευταία περίπτωση το φορτίο q μπορεί να γραφεί και ως εξής:

( )tcosqq oo ω=

Το ρεύμα I, που διαρρέει το κύκλωμα δίνεται απο τη σχέση:

( ) ( )ϕ+ω≡ϕ+ωω== tcosItcosqdtdqI ooooo

Aν τη χρονική στιγμή t=0 ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος τότε φ=0, ενώ αν τη χρονική στιγμή

t=0 ο πυκνωτής είναι φορτισμένος με φορτίο qo τότε φ=90. Στη τελευταία περίπτωση το ρεύμα Ι μπορεί να γραφεί και ως εξής:

( ) ( )tsinItsinqI ooooo ω−≡ωω−=

Η ενέργεια Ε του κυκλώματος τη χρονική στιγμή t δίνεται απο τη σχέση:

)t(cosq2L)t(sinq

C21LI

21

Cq

21E 22

o2oo

22o

22

ϕ+ωω+ϕ+ω=+=

και φυσικά, όπως αναμένεται είναι σταθερά και ανεξάρτητη του χρόνου.

Πράγματι, επειδή LC1

o =ω έχουμε ότι η τιμή της σταθεράς Ε δίνεται απο τη σχέση:

Cq

21)t(cosq

LC1

2L)t(sinq

C21E

2o22

oo22

o =ϕ+ω⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+ϕ+ω=

που είναι το μέγιστο της ενέργειας που μπορεί να αποθηκευτεί στο πυκνωτή ή ισοδύναμα

Page 96: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

2o

22oo

2

2o

2o

22oo

22o

LI21)t(cosI

2L)t(sin

L1

q21

)t(cosI2L)t(sinq

C21E

=ϕ+ω+ϕ+ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

ω

=

=ϕ+ω+ϕ+ω=

όπως άλλωστε αναμένεται.

5. Σύνθεση ταλαντώσεων Ο προσδιορισμός της συνισταμένης κίνησης δύο ταλαντώσεων λέγεται σύνθεση

ταλαντώσεων. Στή συνέχεια, θά μελετήσομε δύο περιπτώσεις σύνθεσης ταλαντώσεων: α) Ιδια διεύθυνση, ίδια κυκλική συχνότητα και διαφορετικά πλάτη

Ας θεωρήσομε ότι ένα κινητό εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις πάνω στην ίδια ευθεία, την ίδια κυκλική συχνότητα ω, διαφορετικά πλάτη r1 και r2 και διαφορά φάσης φ. Οι εξισώσεις των απομακρύνσεων για τις δύο ταλαντώσεις είναι:

( )tsinry 11 ω= καί ( )ϕ+ω= tsinry 22

Η συνισταμένη κίνηση μπορεί να περιγραφεί απο τη

σχέση:

( )ϑ+ω=+= tsinryyy 21

όπου r r r r= + +12

22

1 22r cosϕ

καί ϕ+

ϕ=ϑ

cosrrsinrtan21

2

και αντιστοιχεί στη κίνηση της προβολής του ανύσματος r στον άξονα Oy. β) Ιδια διεύθυνση, διαφορετική συχνότητα και ίδια πλάτη Δύο τέτοιες ταλαντώσεις μπορούν να περιγραφούν απο τις σχέσεις:

( )111 tsinay ϕ+ω= καί ( )222 tsinay ϕ+ω= Η συνισταμένη κίνηση μπορεί να περιγραφεί απο τη σχέση:

( ) ( ) ( ) ( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ϕ+ϕ+ω+ω⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ϕ−ϕ+ω−ω=+=

2tsin

2tcosa2yyy 21212121

21

Page 97: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Στο Σχήμα 1 φαίνεται η συνισταμένη κίνηση μιάς τέτοιας ταλάντωσης στην περίπτωση που 21 ω⟨⟨ω και φ1=φ2=0. Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα δεν θυμίζει αρμονική κίνηση.

Αν υποθέσουμε ότι 21 ω≈ω (Σχήμα

2) τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι και η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί ώς εξής:

( )21tsin)t(Ay ϕ+ϕ+ω=

όπου

2121

2ω≈ω≈

ω+ω=ω

καί ( ) ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ϕ−ϕ+ω−ω=

2t

cosa2)t(A 2121

Ετσι, μπορούμε να καταλήξουμε ότι

η συνισταμένη κίνηση είναι σχεδόν αρμονική συχνότητας ω με πλάτος A(t) το οποίο μεταβάλλεται αργά (μεταξύ των τιμών +2α και +2α) με συχνότητα:

ω⟨⟨ω−ω

=Ω2

21

Τότε, πράγματι η περίοδος

μεταβολής του πλάτους A(t) με το χρόνο (2π/Ω) είναι κατά πολύ μεγαλύτερη της περιόδου μεταβολής τής συνισταμένης κίνησης (2π/ω). Ενα τέτοιο είδος ταλάντωσης καλείται διακρότημα. Η συνισταμένη κίνηση θα ήταν αρμονική άν η ποσότητα A(t) ήταν ανεξάρτητη του χρόνου. Στο σχήμα φαίνεται η συνισταμένη κίνηση μιάς τέτοιας ταλάντωσης στην περίπτωση πού

21 ω≈ω (διακρότημα), φ1=φ2= 0. Περίοδος διακροτήματος Ο χρόνος που μεσολαβεί για να πάρει το πλάτος A(t) για πρώτη φορά τις τιμές +2α και -

2α ονομάζεται περίοδος Τδ του διακροτήματος. Το χρονικό αυτό διάστημα είναι διπλάσιο του χρόνου που μεσολαβεί ώστε το πλάτος A(t) να πάρει για πρώτη φορά τις τιμές +2α και +2α ξανά, δηλαδή του χρόνου που το πλάτος A(t) μεταβάλλεται απο +2α σε -2α και απο -2α σε +2α. Για το λόγο αυτό η κυκλική συχνότητα ωδ του διακροτήματος είναι 2Ω. Συνεπώς, η συχνότητα του διακροτήματος νδ δίνεται τελικά απο τη σχέση:

2121

1221ν−ν

=ω−ωπ

=Ωπ

=ωπ

=ν δδ

καί τελικά 21 ν−ν=νδ

Σχήμα 1: γιά y1=5sin(10t), y2=5sin(80t) y=y1+y2

0 1 2 3 4 5

-10

-5

0

5

10

t

y

Σχήμα 2: γιά y1=5sin(10t), y2=5sin(11t) y=y1+y2

0 5 10 15 -10

-5

0

5

10

y

t

Page 98: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

6. Αποσβεννυμένη ταλάντωση Στο Kεφ.5 αντιμετωπίσαμε ένα είδος αποσβεννυμένης

ταλάντωσης. Εδώ, θα εξηγήσομε καλύτερα τί σημαίνει αυτό. Θεωρούμε ένα έμβολο μέσα σέ ένα κύλινδρο όπως φαίνεται στό σχήμα. Μετακινούμε τό έμβολο από τή θέση ισορροπίας του καί παρατηρούμε, ότι μιά δύναμη αντίστασης (τριβής) F ασκείται από τόν κύλινδρο στό έμβολο πού αντιτίθεται στήν κίνησή του. Ετσι, γράφοντας τήν εξίσωση τού Newton γιά τό έμβολο, καταλήγομε στήν έκφραση:

vbxDdt

xdm 2

2

−−=

όπου –Dx είναι ή δύναμη επαναφοράς τού ελατηρίου καί bv− (b =σταθερά) είναι ή δύναμη

F. Θεωρήσαμε ότι ή δύναμη F είναι ανάλογη τής ταχύτητας κίνησης v τού εμβόλου μέσα στόν κύλινδρο, ώς πρός μιά θέση ισορροπίας. Η παραπάνω εξίσωση γράφεται:

0xmD

dtdx

mb

dtxd0Dx

dtdxb

dtxdm 2

2

2

2

=++⇒=++

Αυτή ή εξίσωση είναι μιά ΔΕ, πού περιγράφει τήν αποσβεννύμενη ταλάντωση ενός

μηχανικού συστήματος, λόγω δυνάμεων τριβής. Η επίλυση αυτής τής ΔΕ έχει ήδη περιγραφεί στήν παρ.14 τού Κεφ.5. Καί πάλι μπορεί να γραφεί ώς:

0xdtdx

dtxd 2

o2

2

=ω+γ+ , μέ mb

=γ καί ιδιοσυχνότητα mD

o =ω :

Παρόμοια, έχουμε τρείς περιπτώσεις λύσης, ανάλογα μέ τή σχέση τών γ καί ωο: a) Αν γ<2ωο (υποκρίσιμη απόσβεση)

Μέ λύση: )tcos(exxt

2o ω=

γ−

όπου o

22o 4

ω<γ

−ω=ω

b) Αν γ=2ωο (κρίσιμη απόσβεση)

Μέ λύση: t

2o e)Atx(x

γ−

+= Η τιμή τού Α προσδιορίζεται από τίς

αρχικές συνθήκες τού προβλήματος c) Αν γ>2ωο (υπερκρίσιμη απόσβεση) Μέ λύση:

t)2

(

o

t)2

(e)Ax(eAx

δ−γ

−δ+γ

−−+= , όπου 0

42o

2>ω−

γ=δ

Η τιμή τού Α προσδιορίζεται από τίς αρχικές συνθήκες τού προβλήματος. Στό σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις τών τριών περιπτώσεων.

D

-

O

x

Page 99: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Μιά ποσότητα πού χρησιμοποιείται γιά να καθορίσει τό είσος τής απόσβεσης είανι η τιμή τής ποσότητας Q, πού δίνεται από τή σχέση:

γω

= oQ

Παρατηρείστε ότι γιά Q>1/2 έχουμε υποκρίσιμη απόσβεση. Σε όλες τίς περιπτώσεις αποσβεννυμένης ταλάντωσης η ελάτωση τής ενέργειας τού

ταλαντωμένου συστήματατος δίνεται από τή σχέση:

2vbdtdE

−=

Απόδειξη

Ως γνωστό 22 xD21vm

21E += . Παραγωγίζοντας ώς πρός τό χρόνο, έχομε:

2

2

2

vbdtdE

dtdxDx

dtxdm

dtdxx2D

21

dtdvv2m

21

dtdE

−=

⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=/

/+/

/=

7. Εξαναγκασμένη ταλάντωση

Αυτή είναι μιά ταλάντωση, όπου εκτός τής επίδρασης δυνάμεων επαναφοράς κάι τριβής, δρά επιπλέον μιά εξωτερική δύναμη F μέ σκοπό να συντηρηθεί η αρχική ταλάντωση. Γιά τήν περίπτωση τού προηγουμένου παραδείγματος καί εφαρμόζοντας στό έμβολο τού σχήματος μιά δύναμη )tcos(FF o ω= , προκύπτει ότι η εξίσωση κίνησης τού εμβόλου θά δίνεται από τή σχέση:

⇒ω+−−= )tcos(FvbxDdt

xdm o2

2⇒ω=++ )tcos(FDx

dtdxb

dtxdm o2

2

⇒ω=++ )tcos(mFx

mD

dtdx

mb

dtxd o2

2)tcos(

mFx

dtdx

dtxd o2

o2

2ω=ω+γ+

Η γενική λύση τής τελευταίας ΔΕ, θα είναι σύμφωνα μέ όσα είπαμε στό Μαθηματικό

συμπλήρωμα γιά ΔΕ εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές τής μορφής:

)t(x)t(x)t(x 1G += Η λύση x(t) μελετήθηκε προηγουμένως καί είναι διαφορετική γιά διαφορετικές τιμές τών γ

καί ωο. Σημειώστε, ότι η συχνότητα ω είναι διαφορετική από τή χαρακτηριστική ιδιοσυχνότητα ωο τού συστήματος.

Αν τώρα δοκιμάσουμε ώς μερική λύση τής ΔΕ τήν: )tcos('A)t(x1 ϕ+ω= , λαμβάνουμε με

αντικατάσταση στή ΔΕ τή σχέση:

)tcos(mFt)tcos('At)tsin('At)tcos('A o2

o2 ω=ϕ+ωω+ϕ+ωγω+ϕ+ωω−

D

Page 100: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

πού εκφράζεται διανυσματικά στό σχήμα (θυμηθείτε τή διανυσματική αναπαράσταση τών εναλλασομένων ρευμάτων καί τάσεων). Από παρατήρηση τού σχήματος προκύπτει ότι:

0≤ϕ<π−

καί

⇒ω−ω

γω−=ϕ 22

o 'A'A'Atan 22

otan

ω−ωγω−

από τήν οποία προκύπτει η τιμή τού φ. Οσον αφορά τό πλάτος Α’ έχουμε:

⇒⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=ωγ+ω−ω2

o222222o m

F'A'A)(

2222o

o

)(1

mF'A

ωγ+ω−ω=

Εχοντας βρεί τήν τιμή τήν τιμή τού πλάτους Α’ καί τής φάσης φ, μπορούμε να βρούμε τήν

μερική λύση x1(t). Πράγματι άν ορίσουμε ως συνάρτηση απόκρισης R(ω) τή συνάρτηση:

2222o

22

)()(R

ωγ+ω−ωωγ

≡ω

τότε τό πλάτος Α’ γράφεται ώς: )(RbF'A o ωω

= καί )tcos()(RbF)t(x o

1 ϕ+ωωω

=

a) Αν γ<2ωο

Η γενική λύση τής ΔΕ είναι: )tcos()(RbF)t'cos(eA)t(x o

t2

G ϕ+ωωω

+ϑ+ω=γ

−,όπου

o

22o 4

' ω<γ

−ω=ω . Η τιμή τών (Α, ϑ ) προσδιορίζεται από τίς αρχικές συνθήκες τού

προβλήματος. b) Αν γ=2ωο

Η γενική λύση τής ΔΕ είναι: )tcos()(R'b

Fe)Atx()t(x ot

2oG ϕ+ωω

ω++=

γ−

. Η τιμή τού Α

προσδιορίζεται από τίς αρχικές συνθήκες τού προβλήματος c) Αν γ>2ωο

Η γενική λύση τής ΔΕ είναι: )tcos()(R'b

Fe)Ax(eA)t(x ot)

2(

ot)

2(

G ϕ+ωωω

+−+=δ−

γ−δ+

γ−

,

όπου 04

2o

2

>ω−γ

=δ . Η τιμή τού Α προσδιορίζεται από τίς αρχικές συνθήκες τού

προβλήματος Παρατηρήσεις

1. Οι τιμές τών συχνοτήτων ω, ω’ καί ωο δέν είναι απαραίτητα ίδιες. 2. Παρατηρείστε, ότι )t(x)t(xlim 1Gt

=∞→

, δηλαδή μετά άπειρο χρόνο η συχνότητα κίνησης γίνεται

ίδια μέ εκείνη τής συχνότητας τής εξωτερικά εφαρμοζόμενης δύναμης F. Τότε, λέγομε ότι τό σύστημα είναι σέ σταθερή κατάσταση. Ετσι, μετά άπειρο χρόνο τό έμβολο έχει αποκτήσει ταχύτητα v καί επιτάχυνση γ, πού δίνονται από τίς σχέσεις:

F /mo

A’ω2

A’ω2ο

Α’γω

φ

Page 101: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

)tsin()(RbF)tsin('A

dtdxv o1 ϕ+ωω−=ϕ+ωω−==

)tcos()(Rb

F)tcos('Adt

xd o221

2ϕ+ωω

ω−=ϕ+ωω−==γ

3. Η μέση τιμή τού τετραγώνου τής ταχύτητας 2v δίνεται από τή σχέση:

( )ω=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ω=

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ωπω

=ωϕ+ωω

=ϕ+ωω

== ∫∫∫ω

Rb2

F2T

T)(R

bF

T)(R

bF)t(d)t(sin

T)(R

bFdt)t(sin

T)(R

bFdt)t(x

T1v

2

2o

2

2o

2

2oT

02

2

2oT

02

2

2oT

021

2

καί η μέση ελάττωση TN τής ενέργειας τού συστήματος σέ μιά περίοδο Τ στή μονάδα τού χρόνου, από τή σχέση:

( )ω−=−== Rb2

FvbdtdEN

2o2

T

καί τό γράφημά της συναρτήσει τής συχνότητας ω δίνει μιά ασύμμετρη καμπύλη ως πρός τήν ιδιοσυχνότητα τού συστήματος ωο. Γιά oω≅ω έχουμε:

)(2 oo22

o ω−ωω≅ω−ω . Τότε η συνάρτηση R(ω) παίρνει τή συμμετρική μορφή:

( )( )

( )ω≡γ

+ω−ω

γ

=ω L

4

4R 22

o

2

πού ονομάζεται Lorentzian καί συμβολίζεται μέ L(ω).

8. Ασκήσεις 1. Δίσκος μάζας Μ είναι στερεωμένος σέ οριζόντια θέση στό άνω άκρο ελατηρίου σταθεράς

D, τοποθετημένου κατακόρυφα καί ακινητοποιημένου κατά τό κάτω άκρο του. Κομμάτι πηλού μάζας m αφίεται από ύψος h νά πέσει στό δίσκο. Ποιό είναι τό πλάτος τών κοινών ταλαντώσεων πού θά εκτελέσει τό σύστημα δίσκου - πηλού. Δίνεται η τιμή τού g.

2. Κύλινδρος μάζας m καί διατομής S, έχει συνδεθεί κατά τή διεύθυνση τού άξονά του, μέ

τό κάτω άκρο ελατηρίου σταθεράς D τοποθετημένου κατακόρυφα καί σταθερού κατά τό άνω άκρο του Ο κύλινδρος ισορροπεί βυθισμένος έχοντας ένα τμήμα του μέσα σε υγρό πυκνότητας d. Απομακρύνομε κατακόρυφα λίγο τον κύλινδρο απο τη θέση ισορροπίας του και μετά τόν αφήνουμε ελεύθερο. Υποθέτοντας, ότι πάντα ένα μέρος τού κυλίνδρου παραμένει βυθισμένο μέσα στό υγρό α) νά αποδειχτεί ότι ο κύλινδρος θα εκτελέσει γραμμική αρμονική ταλάντωση β) νά ευρεθεί η περίοδος των ταλαντώσεωνγ) άν η πυκνότητα τού κυλίνδρου είναι δ καί μικρότερη τής πυκνότητας τού υγρού, νά ευρεθεί η περίοδος τών ταλαντώσεων. Υποθέστε ότι έχει αποσυνδεθεί τό ελατήριο.

< N>T

ω ωo

Page 102: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

3. Στήν επιφάνεια τής γής ανοίγουμε μία τυχαία σήραγγα,πού τή διαπερνά.Από τό στόμιο τής σήραγγας αφήνουμε ένα σώμα νά ολισθήσει μέσα στη σήραγγα χωρίς τριβή.Νά αποδειχτεί ότι το σώμα θά εκτελέσει γπαμμική αρμονική ταλάντωση καί να υπολογιστεί η περίοδος της. Υποθέστε ότι η γή είναι ακίνητη,ομογενής καί σφαιρικού σχήματος. Δίνονται,η μέση ακτίνα της γής R και η τιμή τού g.

4. Να υπολογισθεί η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς μήκους L, άν το

σφαιρίδιό του έχει μάζα m καί έχει συνδεθεί με δύο ανόμοια ελατήρια, που έχουν σταθερές D1 κάι D2 . Δίδεται η τιμή τού g.

5. Ενας γιάλινος σωλήνας έχει κατασκευαστεί έτσι ώστε τά δύο σκέλη του νά σχηματίζουν

γωνίες α καί β μέ τό οριζόντιο επίπεδο.Στό ένα άκρο τού σωλήνα πού απέχει από τό δάπεδο ύφος h,αφήνουμε ένα μπαλάκι πού κιωείται μέσα στό σωλήνα χωπίς τριβή.Ποιά είναι η περίοδος τής κίωησής του; Διδεται η τιμή τού g..

6. Στήλη υγρού ολικού μήκους Ι ευρίσκεται σέ ισορροπία εντός σωλήνα σχήματος U,

σταθεράς διατομής.Μετατοπίζουμε τή στήλη τού υγρού κατά ένα ελάχιστο ύφος στό ένα σκέλος του σωλήνα. Ζητείται η περίοδος κίωησης τού υγρού. Δίδεται η τιμή τού g.

7. Η περίοδος ενός μαθηματικού εκκρεμούς είναι T στήν επιφάνεια τής γής καίελαττώνεται

κατά ΔΤ άν Βυθιστεί μέσα σέ έωα φρεάτιο. α) Νά υπολογισθεί τό βάθος τού φρεατίου β) πόσο πρέπει ωα μικρύνει το μήκος του εκκρεμούς για να διορθωθεί η καθυστέρηση.Δίωεται η ακτίνα της γής R καί η τιμή τού g.

8, Μαθηματικό εκκρεμές μήκους Ι κρεμιέται από τήν οροφή οχήματος πού ολισθαίνει

χωρίς τριβή σέ κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ. Αν το εκκρεμές εκτελεί ταλάντωση γύρω από τή θέση ισορροπέας του, νά ευρεθεί η περίοδός του. Δίδεται η τιμή του g.

9. Μαθηματικό εκκρεμές μήκους Ι κρεμιέται από τήν οροφή οχήματος, που ολισθαίνει

ισοταχώς ,χωρίς τριβή, σέ περιφέρεια κύκλου ακτίνας R μέ ταχύτητα ν. Αν τό εκκρεμές εκτελεί ταλάντωση γύρω από θέση ισορροπίας του, νά ευρεθεί η περίοδος του. Δίδεται η τιμή τού g.

10. Σώμα τοποθετείται πάνω σέ μιά σαωίδα,πού εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση

μέ οριζόντια διεύθυνση και περίοδο Τ. Αν ο συντελεστής τριβής τόυ σώματος πάνω στή σανίδα είναι n, να ευρεθεί το μέγιστο πλάτος ταλάωτωσης της σανίδας γιά νά μή ολισθαίνει τό σώμα.Δίδεται η τιμή τού g.

11. Δύο μαθηματικά εκκρεμή έκαστον μήκους Ι, κρέμονται από τό ίδιο σημείο.Τά εκκρεμή

αυτά έχοωτα μάζα μ και ν ευρίσκονται εκατέρωθεν τής κατακορύφου σέ μικρέσς γωνίες φ καί θ αντίστοιχα. Οι δύο μάζες αφήνονται ελεύθερες ταυτόχρονα κάι κρούονται ελαστικά. Νά ευρεθεί α) σέ ποιό σημείο θά συμβεί η πρώτη σύγκρουση, β) νά ευρεθεί η τιμή τού λόγου μ/ν ώστε τά εκκρεθεί η περίοδος τών ταλαωτώσεων γιά τήν παραπάνω περίπτωση. Δίωεται η τιμή τού g.

12. Η χωρητικότητα του πυκνωτή ενός κυκλώματος Thomson είναι C. Οταν το κύκλωμα

εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση η τάση τού πυκνωτή συναρτήσει τού χρόνου δίνεται από τή σχέση: V=Vo sin(ωτ). Νά υπολογισθούν α) οσυντελεστής αυτεπαγωγής L τού κυκλώματος καί β) η μέγιστη τιμή τής έντασης τού ρεύματος γ) η συχνότητα καί τό μήκος κύματος τού εκπεμπόμενου ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Δίδεται η ταχύτητα c τού φωτός. Τό ερώτημα γ νά απαντηθεί μετά τό διάβασμα τού κεφαλαίου γιά τά κύματα.

13. Ο πυκνωτής ενός κυκλώματος ταλαντώσεων πού περιλαμβάνει μιά αυτεπαγωγή L καί ένα πυκνωτή χωπητικότητας C, φορτίζεται απο πηγή συωεχούς τάσης καί μετά αποσυνδέεται α΄πο αυτή. Μετά από πόσο χρόνο από τήν αποσύνδεση η ενέργεια τού ηλεκτρικού πεδίου τού πυκνωτή θά είναι ίση μέ τήν ενέργεια μαγνητικού πεδίου τού πηνίου:

Page 103: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

14. Οι παράλληλοι αγωγοί τού διπλανού σχήματος συνδέονται μέ μιά αυτεπαγωγή L καί σχηματίζουν ένα κλειστό κύκλωμα μέσω μιάς ακίωητης αγώγιμης ράβδου μήκους Ι, πού μπορεί νά ολισθαίνει χωρίς τριβές πάνω τους. Τό όλο κύκλωμα είναι κάθετο σέ ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο επαγωγής Β. Νά αποδειχτεί ότι η ράβδος εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση καί ΄νά ευρεθεί η περίοδός της, άν η ράβδος μετακινηθεί από τήν αρχική της θέση καί στή συνέχεια αφεθεί ελεύθεση. Μετά πόσες πλήρεις ταλαντώσεις θα σταματήσει η ράβδος νά κινείται, στήν περίπτωση πού θεωρήσομε ότι τό πηνίο έχει καί ωμική αντίσταση R. Θεωπείστε ότι δέν υπάρχουν τριβές καί άλλες ωμικές αντιστάσεις.

15. Μελετήστε τήν περίπτωση τής εξαναγκασμένης ταλάντωσης γιά ένα RLC κύκλωμα σέ

σειρά, όταν η εξωτερική ‘δύναμη’ είναι μιά πηγή εναλασσομένου ρεύματος V=Vocos(ωt). 16. Μελετήστε τή συμπεριφορά ενός συστήματος σέ εξαναγκασμένη ταλάντωση στήν

περίτπωση τής υποκρίσιμης απόσβεσης καί όταν η εξασκούμενη δύναμη έχει συχνότητα ίση με τήν ιδιοσυχνότητα ωο τού συστήματος. Μελετείστε τή συμπεριφορά τής συνάρτησης απόκρισης R(ω) συναρτήσει τής συχνότητας ω, γιά διάφορες τιμές τού Q.

Page 104: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

12. Κύματα

1. Εισαγωγή Κυματική κίνηση είναι μια διαδικασία κατά την οποία φυσικές καταστάσεις δημιουργούμενες

σε κάποιο σημείο του χώρου μεταδίδονται μέσα στο χώρο και γίνονται αντιληπτές σε κάποιο άλλο σημείο του χώρου μετά κάποιο χρονικό διάστημα. Κύμα ονομάζεται κάθε διαταραχή που μεταφέρει ενέργεια και ορμή με ορισμένη ταχύτητα που λέγεται ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Μερικές φορές η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος δεν είναι ίδια πρός όλες τις κατευθύνσεις στο διαδιδόμενο μέσο, που τότε ονομάζεται ανισότροπο.

Η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος δίνεται απο τη σχέση: vλ=υ λ= είναι το μήκος κύματος v= είναι η συχνότητα του κύματος υ= είναι η ταχύτητα του κύματος, υπό τήν προϋπόθεση ότι αυτή δέν εξαρτάται από τό

μήκος κύματος λ. Ενα κύμα μπορεί να παραχθεί από μιά πηγή, πού εκτελεί ταλαντώσεις. Ενα αρμονικό κύμα

μπορεί να δημιουργηθεί από αρμονικές ταλαντώσεις τής πηγής. Η συχνότητα τού κύματος, πού δημιουργείται από αυτές τίς ταλαντώσεις είναι χαρακτηριστικό γνώρισμα τής πηγής είναι συνήθως ίδια μέ τή συχνότητά της καί δέν εξαρτάται από τό μέσο μέσα στό οποίο γίνεται η διάδοση τού κύματος. Ετσι, άν ένα κύμα αλλάζει μέσο διάδοσης τότε θα μεταβληθεί η ταχύτητά του καί τό μήκος κύματός του σύμφωνα με τήν προηγούμενη σχέση.

Ολα τά κύματα διακρίνονται σέ διαμήκη ή εγκάρσια, ανάλογα μέ τή διεύθυνση τής διαδιόμενης διαταραχής (παράλληλη ή κάθετη αντίστοιχα) στό μέσο σέ σχέση μέ τή διεύθυνση διάδοσης τού κύματος.

Δύο γνωστά είδη κυμάτων είναι τά μηχανικά καί τά ηλεκτρομαγνητικά. Τά μηχανικά είναι διαμήκη καί εγκάρσια. Τά ηλεκτρομαγνητικά είναι μόνο εγκάρσια.

2. Αρμονικά κύματα Ενα αρμονικό κύμα μπορεί να είναι διαμήκες ή καί εγκάρσιο. Η διάδοσή τού σέ μιά

διάσταση μπορεί να περιγραφεί από τή σχέση:

( ) 0x,Kxtsinyy o ⟩−ω= όπου ω=2π/Τ=2πν καί Κ=2π/λ ωt-Kx=φάση τού κύματος Κ=Κυματαριθμός Τ,ν= Περίοδος καί συχνότητα τού

κύματος λ= μήκος κύματος yo= μέγιστο πλάτος τής διαταραχής y= πλάτος τής διαταραχής στό μέσο

τή χρονική στιγμή t, σέ απόσταση x από τήν πηγή

Απόδειξη Εστω μια πηγή διαταραχής μέσα σε ένα μέσο διάδοσης που εκτελεί γραμμική αρμονική

ταλάντωση με πλάτος yo γύρω απο ένα σημείο Ο. Η απομάκρυνση y του Ο (κάθετα ή παράλληλα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος Ox) απο τη θέση της ισορροπίας θα είναι της μορφής :

y

yo

-yo

O x

yA

xA

A

Page 105: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

)tsin(yy o ω= Στό σχήμα τό y δηλώνει τή μεταβολή τής μετατόπισης τών σημείων τού μέσου διάδοσης

ώς συνάρτηση τής απόστασης αυτών από τήν πηγή, χωρίς αυτό να σημαίνει ότι η μετακίνηση τών σημείων τού μέσου διάδοσης είναι κάθετη στή διεύθυνση τού μέσου διάδοσης.

Αν η διαταραχή πού παράγεται από τήν πηγή διαδίδεται κατά τόν θετικό άξονα Ox, τότε η διαταραχή στό σημείο Α θα περιγράφεται από τή σχέση:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ϕ−

π=ϕ−ω= t

T2siny)tsin(yy oo

Αλλά η διαφορά φάσης φ τής διαταραχής τού σημείου Α από τό Ο δίνεται από τή

σχέση:λ

π=ϕ Ax2 , αφού θά πρέπει π=

λλ

π=λϕ 22)( . Μέ αντικατάσταση στόν προηγούμενο

τύπο καί γενικεύποντας γιά κάθε σημείο ευρισκομένου σέ απόσταση x από τό Ο καί εντός τού μέσου διάδοσης προκύπτει ότι:

( )Kxtsinyx2t

T2sinyy oo −ω≡⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

λπ−

π=

όπου θέσαμε Κ=2π/λ Γιά τήν περίπτωση κύματος, πού διαδίδεται πρός τά ‘αριστερά’- αρνητικό ‘αξονα Ox η

τελευταία σχέση γράφεται:

( ) 0x,Kxtsinyy o ⟨+ω= Ισοφασική επιφάνεια ενός κύματος είναι η επιφάνεια που ορίζεται απο τα σημεία y ενός

κύματος κατά μία χρονική στιγμή σε μια τυχούσα απόσταση. Αν η επιφάνεια που προκύπτει απο τα σημεία αυτά είναι επίπεδη τότε το κύμα είναι επίπεδο,αν είναι αφαιρική τότε το κύμα είναι σφαιρικό. Κάθε ευθεία κάθετη στίς ισοφασικές επιφάνειες λέγεται ακτίνα διάδοσης του κύματος.

Η προαναφερθείσα σχέση που περιγράφει τη διάδοση ενός αρμονικού κύματος σέ μιά

σίάσταση είναι ίδια με εκείνη που περιγράφει τή διάδοση ενός επίπεδου αρμονικού κύματος κατά μια διεύθυνση στό χώρο. Στην περίπτωση αυτή και θεωρώντας ως διεύθυνση διάδοσης

τή φορά τού κυματανύσματος oK2Kλπ

= , όπου 1K0 = η σχέση που πρτιγράφει τήν

εξίσωση τού κύματος δίνεται απο ΄τή γενικότερη σχέση:

( )rKtsinyy o ⋅±ω= Η σχέση που περιγπάφει τή διάδοση ενός σφαιρικού αρμονικόυ κύματος εκ τών έσω

πρός τά έξω δίνεται όπως αποδεικνύεται απο τή σχέση:

( )r

Krtsinyy o−ω

=

Κλείνοντας αυτή τήν παράγραφο σημειώνουμε ότι η φύση τής διαταραχής που διαδίδεται

σέ ένα μέσο καθορίζει καί τό φυσικό μέγεθος, τού οποίου οι τιμές συναρτήσει τόυ χρόνου καί τής απόστασης καθορίζονται από τίς παραπάνω σχέσεις. Ετσι,έχουμε ότι:

α) Ηχητικά κύματα Γιά αρμονικά επίπεδα ηχητικά κύματα, στά οποία τά μόρια τόυ αέρα σχηματίζουν

πυκνώματα καί αραιώματα κατά τή διεύθυνση Οχ,ένα φυσικό μέγεθος πού περιγπάφει τή διαταραχή είναι η μεταβολή της πυκνότητας Δd ή η μεταβολή της πίεσης ΔP του αερίου.Τά

Page 106: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

κύματα αυτού τού είδους είναι διαμήκη καί η Δd (ή η ΔP) συναρτήσει του χρόνου t καί τής απόστασης x από τήν πηγή τού ήχου περιγράφεται από τή σχέση:

( )Kxtsindd o −ωΔ=Δ ή ( )KxtsinPP o −ωΔ=Δ .

β) Ηλεκτρομαγνητικά κύματα

Γιά αρμονικά επίπεδα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδιδόμενα κατά τη διεύθυνση Οχ, η διαταραχή περιγράφεται από τή μεταβολή τού ηλεκτρικού πεδίου E καί τού μαγνητικού πεδίου B σύμφωνα μέ τίς σχέσεις:

( )KxtcosEE o −ω= καί ( )KxtcosBB o −ω=

Tά E καί B είναι δύο ανύσματα κάθετα ματαξύ τους καί κάθετα στήν ακτίνα διάδοσης τού

κύματος Οχ. Παρατηρείστε ότι τό ηλεκτρικό κάι τό μαγνητικό πεδίο έχουν μέγιστο ταυτόχρονα.

3. Ενταση του κύματος Η ενέργεια πού παράγει η πηγή μιάς διαταραχής μεταφέρεται μέσω τού κύματος στό χώρο.

Μιά χρήσιμη ποσότητα γιά τόν υπολογισμό αυτής τής ενέργειας είναι η ένταση Ι τού κύματος, πού ορίζεται από τή σχέση:

dtdSdW

dSPI ==

P= η ισχύς τού κύματος W= η ενέργεια τού κύματος, πού περνάει σέχρόνο dt από μιά στοιχειώση επιφάνεια dS. dS= στοιχειώδης επιφάνεια κάθετη στή διεύθυνση διάδοσης τού κύματος. Στήν περίπτωση σφαιρικών κυμάτων προερχομένων από σημειακή πηγή έχουμε ότι:

⇒=ππ

= 21

22

22

21

2

1

RR

)R4/()dt/dW()R4/()dt/dW(

II

21

22

2

1

RR

II

=

πού αναφέρεται σέ εντάσεις δύο τυχόντων σφαιρικών επιφανειών S1 καί S2 μέ ατνίσοιχες

ακτίνες R1 καί R2 καί με κέντρο τή θέση ισορροπίας τής σημειακής πηγής.

4. Στάσιμα κύματα

Τό αποτέλεσμα τής συμβολής δύο κυμάτων πού έχουν τήν ίδια ταχύτητα, τήν ίδια συχνότητα, τό ίδιο πλάτος καί διαδίδονται κατά αντίθετο φορά επί τής ιδίας διεύθυνσης είναι ένα στάσιμο κύμα.

Σύμφωνα μέ τόν ορισμό αυτό πρέπει να αθροίσομε δύο διαταραχές τής μορφής:

( ) 0x, Kxtsinyy o1 ⟩−ω= καί ( ) 0x, Kxtsinyy o2 ⟨+ω=

καί νά λάβουμε τελικά γιά τό συνολικό πλάτος y τή σχέση:

( ) ( )tsinxKcosy2yyy o21 ω=+=

Τά σημεία τού υλικού κύματος πάνω στή διεύθυνση διάδοσης, στά οποία η διαταραχή μηδενίζεται λέγονται δεσμοί, ενώ εκείνα στά οποία η διαταραχή έχει μέγιστο 2yo λέγονται κοιλίες.

Page 107: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Η θέση τών δεσμών δίνονται από τή λύση τής εξίσωσης ( ) 0x2cos =λπ . Ετσι, στά σημεία x=(2n+1)λ/4, όπου n= 0, 1, 2,… έχουμε δεσμούς. Ομοια, η θέση τών κοιλιών δίνονται από τή λύση τής εξίσωσης ( ) 1x2cos ±=λπ . Παρόμοια, στά σημεία x=nλ/2, όπου n= 0, 1, 2,… έχουμε κοιλίες.

Σημειώνουμε ότι τα στάσιμα κύματα μπορεί νά είναι εγκάρσια ή διαμήκη και δεν μεταφέρουν ενέργεια ή ορμή.

5. ΗM στάσιμα κύματα

Τά επίπεδα ηλεκτρομαγνητικά κύματα μπορούν να δημιουργήσουν στάσιμα κύμα μετά από

ανάκλαση σέ μιά μεταλική επιφάνεια, όπως φαίνεται στό σχήμα. Στήν περίπτωση αυτή τό προσπίπτον καί τό ανακλόμενο οδεύον ηλεκτρομαγνητικό κύμα συμβάλλουν. Τό μαγνητικό πεδίο Β, σύμφωνα μέ όσα αναφέρθηκαν στήν προηγούμενη παράγραφο, δίνεται από τή σχέση:

( ) ( )tsinKxcosB2B o ω=

Τό αποτέλεσμα τής συμβολής όμως γιά τό ηλεκτρικό πεδίο στή συγκεκριμένη περίπτωση δέν είναι τό ίδιο. Αυτό, διότι το ηλεκτρικό πεδίο στό εσωτερικό τελείου αγωγού πρέπει νά είναι μηδέν επεκτεινόμενο στη μεταλική επιφάνεια, στην οποία δεν υπάρχουν φορτία. Γιά νά συμβεί αυτό, πρέπει η ένταση τού ηλεκτρικού προσπίπτοντος κύματος καί τού ανακλώμενου κύματος νά συμβάλλουν καταστρεπτικά στήν επφάνεια τού αγωγού ( )oo EE −=′ . Αποτέλεσμα τού τελευταίου είναι τό πλάτος τού μαγνητικού πεδίου στή μεταλική επιφάνεια νά γίνεται μέγιστο (2Βο) λόγω τής διατήρησης τής σχετικής θέσης τού ανύσματος τού μαγνητικού πεδίου σέ σχέση μέ τό ηλεκτρικό πεδίο καί τό κυματάνυσμα Κ πρίν καί μετά τήν ανάκλαση. Γιά τό λόγο αυτό, τό ηλεκτρικό πεδίο Ε δίνεται από τή σχέση:

( ) ( )tcosKxsinE2E o ω=

Φυσικά, αν τό στάσιμο ηλεκτρομαγνητικό κύμα δημιουργείται από μιά άλλη μέθοδο, ο τύπος πού εκφράζει τή τιμή τού ηλεκτρικού πεδίου μπορεί νά είναι διαφορετικός. Ετσι, γιά τό στάσιμο ηλεκτρομαγνητικό κύμα, πού δημιουργείται από τή συμβολή δύο ίδιων αλλά αντίθετα οδευόντων ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων παραγομένων από δύο όμοιες πηγές η ένταση τού πεδίου θά δίνεται από τή σχέση:

( ) ( )tsinKxcosE2E o ω= .

6. Ασκήσεις 1. Μία χορδή εκτελεί ταλάντωση σύμφωνα με την εξίσωση y= Αcos(Κx) sin(ωt). α) Νά

ευρεθούν τά πλάτη καί οι συχνότητες τών κυμάτων πού μέ τή συμβολή τους παράγουν τήν ταλάντωση τής χορδής β) Πόσο απέχουν δύο διαδοχικοί δεσμοί της χορδής μεταξύ τους γ)

Page 108: Introducrtion to Physics - Eισαγωγή στη Φυσική

Ποιά είναι η ταχύτητα καί η επιτάχυνση ενός σημείου τής χορδής πού έχει x=xo τη χρονική στιγμή to.

2. Σέ δύο σημεία Α1 καί Α2 τής επιφάνειας υγρού, δημιουργούμε δύο πηγές παραγωγής

κυμάτων πού έχουν την ίδια φάση. Η ταχύτητα διαδόσής τους είναι v, η περίοδός τους T καί τό πλάτος τους ψο. Πολύ μικρό τεμάχιο φελλού απέχει απόσταση x1 από τό σημείο Α1 και x2 απόσταση από τό σημείο Α2. α) Νά υπολογιστεί η απομάκρυνση τού φελλού τή χρονική στιγμή tο από τήν ισορροπία του. β) Ποιά είναι η χρονική στιγμή τ, κατά τήν οποία τό τεμάχιο τού φελλού περνάει γιά πρώτη φορά από τή θέση ισορροπίας του μετά τή διάδοση τών δύο κυμάτων; γ). Τί μορφή θα έχει ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του υγρού γύρω απο τις δύο πηγές, που θα παραμένουν ακίνητα κατά τη διάρκεια των ταλαντώσεων των πηγών;

3. Νά ευρεθεί ο χρόνος πού περνάει από τήν εκπομπή ενός ήχου εκπεμπομένου από ένα

σημείο Α και τής ηχούς του ακουομένης στό Α, λόγω ανάκλασης τού ήχου αυτού σέ ένα άλλο αντικείμενο Β, πού απέχει από τό Α απόσταση d α) όταν δεν πνέει άνεμος β), όταν πνέει άνεμος ταχύτητας v από τό Α στό Β καί γ), όταν πνέει άνεμος κατά διεύθυνση κάθετο στήν ΑΒ μέ ταχύτητα v. Δίδεται η τιμή τής ταχύτητας V τού ήχου.

4. Περιγράψτε ένα πείραμα δημιουργίας στασίμων ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων καί στό

οποίο νά μετρώνται μέ κάποιο τρόπο οι δεσμοί καί οι κοιλίες τού ηλεκτρικού καί τού μαγνητικού πεδίου.

5. Πόσο πρέπει νά είναι τό μήκος l ενός ανοικτού ή ενός κλειστού κυλινδρικού ηχητικού

σωλήνα, ώστε νά δημιουργούντσι στό εσωτερικό του μόνιμα στάσιμα ηχητικά κύματα; Δίνεται τό μήκος κύματος λ καί η ταχύτητα V τού ήχου.

6. Να αποδειχτεί ότι η ταχύτητα διάδοσης εγκαρσίου κύματος κατά μήκος τεταμένης

χορδής εξαρτάται από τήν τείνουσα τή χορδή δύναμη F καί τή γραμμική πυκνότητα μ αυτής, δηλαδή τη μάζα ανά μονάδα μήκους της χορδής.

7. Νά μελετηθεί η κίνηση ενός κυλινδρικού φελού μάζας m, διατομής S καί ύψους L όταν

επιπλέει επί επιφανείας υγρού στήν επιφάνεια του οποίου διαδίδεται εγκάρσιο κύμα τό οποίο περιγράφεται από τή σχέση: )Kxtsin(yy o −ω= . Δίδεται το g και το ειδικό βάρος ε του υγρού.

8. Δύο κύματα διαδίδονται κατ΄αντίθετη φορά στήν επιφάνεια ενός υγρού μέ εξισώσεις

διάδοσης: )Kxtsin(yy o −ω= καί )Kxtsin(y2y o +ω= . Νά ευρεθεί τό ποσοστό τής ενέργειας πού τελικά μεταδίδεται υπό τών δύο κυμάτων καί κατά ποιά διεύθυνση. Αν οι δύο πηγές βρεθούν σέ απόσταση 10λ, νά ευρεθεί η δύναμη πού ασκείται σέ ένα υλικό σημείο μάζας m, πού ευρίσκεται σέ απόσταση λ/3, 5λ καί 5λ/2 από τή μιά πηγή. Δίδεται το g.