CAPITOLUL 1

1.1 Noţiuni introductive Asupra unui profil aerodinamic dispus într-un curent de aer, acţionează

două categorii de forţe: forţe de presiune şi forţe de frecare. În fig. 1.1 se prezintă schematic distribuţia presiunii p şi a tensiunii tangenţiale pe un profil aerodinamic.

τ

Fig. 1.1

Dacă se consideră un punct A pe profil (fig.1.2) şi vectorii unitari nr (perpendicular pe elementul de suprafaţă dS) şi k

r(tangent la elementul de

suprafaţă dS), atunci forta aerodinamică rezultanţă este

∫∫∫∫ τ+−=SS

R dSkdSnpFrrr

(1.1)

Fig. 1.2

Proiecţia forţei aerodinamice rezultante RFr

, pe direcţia perpendiculară pe vectorul viteză este notată cu P şi reprezintă forţa portanţă iar proiecţia lui

pe direcţia vectorului viteză ∞Vr

RFr

∞Vr

este notată cu R şi reprezintă forţa de rezistenţă (fig. 1.3). Este evident faptul că RF

r creează un moment aerodinamic,

M, care este pozitiv dacă tinde să mărească unghiul de incidenţă, sau negativ dacă tinde să micşoreze unghiul de incidenţă. Valoarea numerică a momentului aerodinamic depinde de punctul faţă de care este calculat. Pentru profilurile aerodinamice sunt definite cinci puncte caracteristice faţă de care se calculează momentul aerodinamic:

1

Fig. 1.3 • Centrul de presiune (punctul în care momentul aerodinamic este

nul); • Centrul aerodinamic (punctul în care momentul aerodinamic nu

depinde de unghiul de incidenţă); • Punctul situat la 4/c din coarda profilului, faţă de bordul de atac);

2

• Bordul de atac; • Bordul de fugă.

În fig. 2.4 este prezentată distribuţia forţelor şi momentului aerodinamic pe un profil: distribuţia de presiune şi tensiuni tangenţiale (fig. 2.4a) este echivalentă cu una din cele trei reprezentări şi anume:

Portanţa P şi rezistenţa R cu punctul de aplicaţie în centrul de presiune (fig. 2.4b)’

Portanţa P, rezistenţa R şi momentul aerodinamic , cu punctul de aplicaţie situat la c/4 din coarda profilului (fig. 2.4c);

4/cM

Portanţa P, rezistenţa R şi Momentul aerodinamic , cu punctul de aplicaţie în bordul de atac (fig. 2.4d).

baM

Fig. 1.4

3

Problema 1 Să se determine momentul aerodinamic faţă de punctul situat la c/4 din

coarda unui profil pentru care se cunoaşte că centrul de presiune este situat la iar forţa portanţă este c3,0 NP 200=′ . Se consideră că efectul forţei de

rezistenţă asupra momentului aerodinamic este neglijabil. Coarda profilului aerodinamic este mc 5,1= .

Rezolvare Momentul aerodinamic este dat de produsul dintre forţa portantă şi

distanţa dintre centrul de presiune şi punctul 4/cM

cc 25,04/ = , Întrucât centrul de presiune este situat după punctul c/4, momentul aerodinamic tinde să micşoreze unghiul de incidenţă, prin urmare semnul lui va fi negativ, deci

4/cM

( ) mNccccM c ⋅=×==×=−−=′ 155,1101005,020025,03,02004/ Sistemul echivalent de forţe şi moment aerodinamic în punctul c/4 este:

- portanţa NP 200=′- momentul aerodinamic mNM c ⋅=′ 154/ În raport cu bordul de atac momentul aerodinamic este

( ) ( ) mNccxxPM bacpba ⋅=×==−=−′−=′ 905,1606003,0200 De asemenea, semnul momentului aerodinamic baM ′ este negativ întrucât tinde să micşoreze unghiul de incidenţă. Sistemul echivalent de forţe şi moment aerodinamic în bordul de atac este:

- portanţa NP 200=′- momentul aerodinamic mNM ba ⋅=′ 90 Coeficienţii aerodinamici

Caracteristicile aerodinamice ale unui corp de o anumită formă pot fi descrise mai simplu prin coeficienţii aerodinamici decât prin forţele şi momentele care acţionează asupra lui. Coeficienţii aerodinamici pentru profile se notează cu litere mici,

cSqMc

SqRc

SqPc mxz

∞∞∞

′=

′=

′= ;; (1.2)

unde 2

21

∞∞∞ ρ= Vq iar S reprezintă aria suprafeţei dreptunghiulare având o

latură egală cu coarda profilului iar cealaltă latură egală cu unitatea. Forţele şi momentul aerodinamic în cazul profilelor se notează cu cu semnul “prim”, respectiv şi RP ′′, M ′ . Pentru un corp oarecare, S reprezintă aria unei suprafeţe de referinţă. De exemplu pentru un corp de formă conică, S reprezintă aria bazei conului, iar pentru o aripă, S reprezintă aria suprafeţei rezultate prin proiectarea aripii pe un plan orizontal, iar coeficienţii aerodinamici se notează cu litere mari,

4

cSqMC

SqRC

SqPC mxz

∞∞∞=== ;; (1.3)

Pentru interpretarea valorilor numerice ale coeficienţilor aerodinamici este necesară cunoaşterea suprafeţei de referinţă faţă de care au fost calculaţi aceşti coeficienţi. Din cele menţionate anterior rezultă că portanţa P, rezistenţa R şi momentul aerodinamic M depind de următorii parametrii:

densitatea aerului, [ ]3/ mkg∞ρ ; viteza aerului, ; [ ]smV /∞

suprafaţa corpului înjurul căruia are loc curgerea aerului, [ ]2mS ; unghiul de incidenţă, [ ]radα ; vâscuozitatea dinamică a aerului ( )[ ]smkg ⋅μ∞ / ; compresibilitatea aerului, măsurată prin viteza sunetului . [ ]sma /∞

Prin urmare ( )(( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

μαρ=μαρ= )μαρ=

∞∞∞∞

∞∞∞∞

∞∞∞∞

aSVMMaSVRRaSVPP

,,,,,,,,,,,,,,,

(1.4)

Relaţiile de mai sus, privite ca funcţii de şase parametrii, pot fi simplificate pe baza teoremei lui Buckingham.

Fie K numărul dimensiunilor fundamentale care descriu variabilele fizice (în mecanică toate variabilele fizice pot fi exprimate în funcţie de următoarele dimensiuni fundamentale: masă, lungime şi timp), iar variabilele din relaţia

NPPP ,......, 21

( 0,......, 211 ) =NPPPf (1.5) Ecuaţia (1.5) poate fi rescrisă ca o funcţie de KN − variabile adimensionale astfel

( 0,......, 212 ) =ΠΠΠ −KNf (1.6) unde fiecare parametru Π este o mărime adimensională exprimată printr-un produs de 1+K variabile,

( )( )

( )⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=Π

=Π=Π

+−−

+

+

NKKNKN

KK

KK

PPPPf

PPPPfPPPPf

,,......,....................................................

................................................,,......,,,......,

212

22142

12131

(1.7)

Alegerea variabilelor trebuie făcută în aşa fel încât ele să includă toate cele K dimensiuni fundamentale utilizate în problema respectivă. În acest mod variabilele dependente (de exemplu, portanţa) trebuie să apară într-un singur produs .

KPPP ,........, 21

Π

5

Dimensiunile fundamentale pentru mărimile mecanice fiind masa, lungimea şi timpul, rezultă 3=K . Pentru fenomenele electrice, electromagnetice sau cele în care intervine transferul termic sau de masă, numărul dimensiunilor fundamentale este mai mare.

Din forma de reprezentare a portanţei ( )∞∞∞∞ μαρ= aSVPP ,,,,, (1.8)

rezultă că pentru un unghi de incidenţă dat, funcţia din teorema lui Buckingham este

1f

( ) 0,,,, =μρ− ∞∞∞∞ aSVPP (1.9) sau

( 0,,,,,1 ) =μρ ∞∞∞∞ aSVPf (1.10) Parametri funcţiei au următoarea reprezentare în funcţie de mărimile

fundamentale (masa m, lungimea l şi timpul t): 1f

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ]2

2

11

2

1

33

22

−∞

−−∞

−∞

−∞

−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

=μ

=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=ρ

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⋅=

tltla

tlm

lS

tltl

timplungimeV

lmlm

volummasa

tlmtlmaacceleratimasaP

(1.11)

Unitatea de măsură a vâscuozităţii dinamice se obţine cel mai simplu din expresia numărului Reynolds

∞

∞∞

μρ

=lVRe (1.12)

deci

[ ] [ ] [ ]113

−−∞∞∞ =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=ρ=μ tlml

tl

lmlV (1.13)

Numărul produselor adimensionale iΠ din funcţia este 2f336 =−=− KN , prin urmare funcţia are forma de reprezentare 2f

( ) 0,, 3212 =ΠΠΠf (1.14) Se aleg ca variabile următorii parametrii: şi S. În

acest mod produsele adimensionale KPPP ,........, 21 ∞∞ρ V,

21, ΠΠ şi 3Π devin

6

( )(( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

ρ=Πμρ=Π

ρ=Π

∞∞∞

∞∞∞

∞∞

aSVfSVf

PSVf

,,,,,,,,,

53

42

31

) (1.15)

Parametrii şi sunt mărimi adimensionale exprimate printr-un produs al variabilelor din parantezele funcţiilor şi , astfel

21, ΠΠ 3Π

43, ff 5f

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

ρ=Π

μρ=Π

ρ=Π

δ∞

γβ∞

α∞

δ∞

γβ∞

α∞

δγβ∞

α∞

3333

2222

1111

3

2

1

aSV

SV

PSV

(1.16)

În continuare se determină exponenţii din ecuaţiile de mai sus, astfel: a). Parametrul 1Π

[ ] ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 11111111 22131

δ−γβ−α−δγβ∞

α∞ =ρ=Π tlmltllmPSV

sau [ ] [ ] [ ] [ ] 11111111 223

1δ−β−δ+γ+β+α−δ+α=Π tlm (1.17)

Având în vedere că este adimensional, rezultă 1Π

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=δ−β−=δ+γ+β+α−

=δ+α

02023

0

11

1111

11

(1.18)

Din prima şi ultima ecuaţie a sistemului de mai sus se obţine

21

11β

=δ−=α

şi prin înlocuire în a doua ecuaţie rezultă 0223 1111 =α−γ+α+α−

sau 11 γ=α

Prin urmare

111

1 2δ−=γ=

β=α (1.19)

Notând

δ−=γ=β

=α=− 11

1 2m (1.20)

parametrul devine 1Π

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m

mmmm

SVP

PSVPSV

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ=

=ρ=ρ=Π

∞∞

−−∞

−∞

δγβ∞

α∞

2

21

1111

(1.21)

7

Se constată că este proporţional cu 1ΠSV

P2∞∞ρ

, sau mai mult, având în vedere

că este adimensional, rezultă

zCSV

P=

ρ∝Π

∞∞2

1

21 (1.22)

b). Parametrul 2Π

[ ] ( ) ( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 22222222 112132

δ−−γβ−α−δ∞

γβ∞

α∞ =μρ=Π tlmltllmSV

sau [ ] [ ] [ ] [ ] 22222222 23

2δ−β−δ−γ+β+α−δ+α=Π tlm (1.23)

Având în vedere că este adimensional, rezultă 1Π

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=δ−β−=δ−γ+β+α−

=δ+α

0023

0

22

2222

22

(1.24)

Din prima şi ultima ecuaţie a sistemului de mai sus se obţine 222 β=δ−=α

şi prin înlocuire în a doua ecuaţie rezultă 023 2222 =α+γ+α+α−

sau 22 2γ=α

Prin urmare n=δ−=γ=β=α 2222 2 (1.25)

şi parametrul devine 2Π

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n

nn

nn

SV

SVSV

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

μρ

=

=μρ=μρ=Π

∞

∞∞

−∞∞∞

δ∞

γβ∞

α∞

21

22

2222

(1.26)

Se constată că

Re21

2 =μ

ρ=

μρ

∝Π∞

∞∞

∞

∞∞ lVSV (1.27)

c). Parametrul 3Π

( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] 33333333 12133

δ−γβ−α−δ∞

γβ∞

α∞ =ρ=Π tlltllmaSV

8

sau [ ] [ ] [ ] [ ] 3333333 23

3δ−β−δ+γ+β+α−α=Π tlm (1.28)

deci

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=δ−β−=δ+γ+β+α−

=α

0023

0

33

3333

3

(1.29)

Soluţia sistemului de mai sus este 033 =γ=α şi p=δ−=β 33

ceea ce conduce la următoarea expresie

( ) ( ) ( ) ( ) ( )p

pp

aVaVaSV ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==ρ=Π

∞

∞−∞∞

δ∞

γβ∞

α∞

33333 (1.30)

Se constată că

∞∞

∞ =∝Π MaV

3 (1.31)

Revenind la prima ecuaţie din sistemul (1.15), aceasta devine ( ) 0Re,,3 =∞MCf z (1.32)

sau ( )∞= MfCz Re,6 (1.33)

Ecuaţiile fiind scrise pentru un unghi de incidenţă α dat, rezultă că este o funcţie de următorii trei parametrii

zC

( )∞α= MfCz Re,,7 (1.34) În mod similar se obţin coeficienţii aerodinamici pentru forţa de rezistenţă şi momentul aerodinamic

( )∞α= MfCx Re,,8 (1.35)

( )∞α= MfCm Re,,9 (1.36) Există un punct pe suprafaţa profilului faţă de care momentul aerodinamic (şi implicit coeficientul ) este independent de unghiul de incidenţă . Acest punct este denumit centrul aerodinamic. Pentru determinarea poziţiei acestui punct se consideră profilul din fig. 1.5 unde portanţa

mc α

P′ şi momentul aerodinamic M ′ sunt considerate în punctul situat la c/4 din coarda profilului, faţă de bordul de atac.

9

Fig. 1.5 Momentul faţă de centrul aerodinamic este dat de relaţia

4/ccaca MxPM ′+⋅′=′ (1.37) Prin împărţire la rezultă cSq∞

cSqM

cx

SqP

cSqM cacaca

∞∞∞

′+⋅

′=

′ (1.38)

sau

4/,, cmca

zcam cc

xcc += (1.39)

Derivând ecuaţia (1.39) în raport cu unghiul de incidenţă α se obţine ( ) ( )

α+

α=

α dcd

cx

ddc

dcd cmcazcam 4/,, (1.40)

Întrucât prin definiţie este independent de camc , α , rezultă că derivata acestuia în raport cu este nulă, prin urmare ecuaţia (1.40) devine α

( )α

+α

=d

cdc

xddc cmcaz 4/,0 (1.41)

Din zona liniară a graficelor ( )α= zz cc şi ( )α= 4/,4/, cmcm cc se obţin derivatele

αddcz şi

( )αd

cd cm 4/, care se notează cu şi . 0a 0m

Rezolvând ecuaţia (1.41) în raport cu se obţine cxca /

10

( )

0

0

4/,

am

ddcd

cd

cx

z

cm

ca −=

α

α−= (1.42)

Problema nr. 2 Să se determine poziţia centrului aerodinamic pentru un profil NACA

2412. Graficele ( )α= zz cc şi ( )α= 4/,4/, cmcm cc sunt prezentate în fig. 1.6.

Fig. 1.6

Rezolvare Pentru o funcţie liniară , derivata ( )xfy = dxdf / se poate calcula cu formula

( ) ( )12

12xx

xfxfdxdf

−−

=

Pentru partea liniară a graficelor ( )α= zz cc şi ( )α= 4/,4/, cmcm cc este suficientă cunoaşterea coordonatelor a două puncte pentru a calcula derivatele αddcz / şi ( ) αdcd cm /4/, .

Din fig. 1.6 se pot citi asemenea coordonate, astfel: a). Pentru ( )α= zz cc

11

la unghiul de incidenţă 08−=α corespunde 06,0−=zc la unghiul de incidenţă 08=α corespunde 08,1=zc

Prin urmare ( )( ) 105,0

8806,008,1

0 =−−−−

=α

=ddca z

b). Pentru ( )α= 4/,4/, cmcm cc

la unghiul de incidenţă 08−=α corespunde 045,04/, −=cmc

la unghiul de incidenţă 010=α corespunde 035,04/, −=cmc Prin urmare

( )( )

44/,0 1056,5

810045,0035,0 −×=

−−−−−

=α

=d

dcm cm

Conform ecuaţiei (1.42), rezultă

0053,0105,0

1056,5 4

0

0 −=×

−=−=−

am

cxca

Revenind la fig. 1.6, se constată că centrul aerodinamic al profilului NACA 2412 se află la o distanţă foarte mică în faţa punctului situat la c/4 din coarda profilului, ceea ce duce la concluzia că punctul c/4 reprezintă practic centrul aerodinamic al profilului. Conform teoriei profilelor subţiri, la această clasă de profile (profile subţiri) centrul aerodinamic se află în punctul situat la c/4 din coarda profilului.

Problema nr. 3 Să se determine coeficientul al unui avion la decolare, care are o aripă

cu suprafaţa de , greutatea de zC

220 m kg000.10 şi viteza de hkm /250 , pentru condiţii atmosferice standard, la nivelul mării. Să se determine apoi coeficientul

pentru un număr Mach zC 83,0=∞M şi înălţimea de zbor mH 000.10= .

Rezolvare Pentru zborul orizontal, forţa portantă P este egală cu greutatea avionului, prin urmare

SqG

SqPCz

∞∞==

Densitatea aerului pentru condiţii atmosferice standard la nivelul mării este iar presiunea dinamică pentru viteza menţionată este 3/225,1 mkg=ρ∞

12

22

2 /8,953.236001000250225,1

21

21 mNVq =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×××=ρ= ∞∞∞

Coeficientul forţei portante pentru avion este

66,1208,953.281,9000.10

=××

===∞∞ SqG

SqPCz

Se pune întrebarea: cum se modifică coeficienţii aerodinamici xz cc , şi mc în funcţie de unghiul de incidenţă α , numărul Reynolds Re şi numărul Mach

∞M ?. În fig. 1.6 sunt prezentate două grafice pentru un profil NACA 2412. În primul grafic (fig. 2.6a) este prezentată dependenţa coeficientului forţei portante de unghiul de incidenţă şi de numărul Reynolds, . Se constată că pe porţiunea liniară a graficului influenţa numărului este neglijabilă, în schimb la incidenţe mari, influenţa numărului Reynolds este importantă întrucât la aceste unghiuri, are loc desprinderea stratului limită. În fig. 1.7 este prezentat schematic, graficul , care conţine o parte liniară, iar tangenta unghiului pe care această dreaptă îl face cu abscisa, este notată cu şi reprezintă practic derivata

zcα Re

Re

( )α= zz cc0a

αddcz / .

Fig. 1.7

Pentru profilele subţiri, π= 20a , măsurat în 1/radiani, ceea ce înseamnă că în

1/grade, are valoarea 0a ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡π⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡π

gradegraderadiani

radiani1109,0

18012 . Tot din

acest grafic se constată că există un unghi de incidenţă pentru care . Acest 0=zc

13

unghi este denumit unghi de incidenţă la portanţă nulă şi se notează cu . Este evident faptul că pentru un profil simetric, unghiul de incidenţă la portanţă nulă este egal cu zero,

0=αP

00 =α =P , iar graficul ( )α= zz cc trece prin originea axelor de coordonate. Pentru profilul NACA 2412 unghiul de incidenţă la portanţă nulă este . 0

0 2,2−=α =P

La unghiuri de incidenţă mari (de regulă peste ), graficul 015 ( )α= zz cc devine neliniar, atinge o valoare maximă ( )maxzz cc = şi apoi scade. Influenţa numărului Reynolds asupra coeficientului se manifestă doar în zona neliniară, care corespunde unghiurilor de incidenţă mari.

zc

În fig. 1.6a sunt prezentate datele pentru numere Reynolds cuprinse între şi . Valoarea maximă a lui creşte odată cu numărul

Reynolds.

6101,3 × 6109,8 × zc

Variaţia coeficientului în funcţie de unghiul de incidenţă este prezentată schematic în fig. 1.8.

4/, cmc

Fig. 1.8

Se constată de asemenea că graficul ( )α= 4/,4/, cmcm cc are o porţiune liniară, în

care evident, coeficientul ( )

α=

dcd

m cm 4/,0 este constant. La unghiuri de incidenţă

mari, graficul devine neliniar. Ca şi în cazul coeficientului forţei portante, , porţiunea liniară a graficului , este independentă de numărul Reynolds.

( )α= 4/,4/, cmcm cc

zc ( )α= 4/,4/, cmcm cc

În fig. 1.9 este prezentată variaţia coeficientului în funcţie de unghiul de incidenţă . Valoarea minimă a lui nu corespunde, în general, lui ci unei valori mici a unghiului de incidenţă. De exemplu

xcα xc 0=α

( )minxc pentru profilul

NACA 2412 corespunde unui unghi de incidenţă . În majoritatea 05,0−=α

14

cazurilor, valoarea minimă a lui corespunde unor unghiuri de incidenţă cuprinse între şi

xc02− 02 .

Fig. 1.8

Dependenţa lui de numărul Reynolds rezultă din graficul prezentat în fig. 1.6b. Din cursul de mecanica fluidelor se ştie că la o placă plană,

coeficientul de frecare definit prin relaţia

xc

fc∞

τ=

qc f (unde

dndV

∞μ=τ ), este

proporţional cu Re1 pentru curgeri laminare şi proporţional cu

( ) 2,0Re1 pentru

curgeri turbulente. De aici se poate trage concluzia că ( )minxc este influenţat de numărul Reynolds în următorul mod: ( )minxc este cu atât mai mare cu cât numărul Reynolds este mai mic. De asemenea, influenţa numărului Reynolds este mai importantă la unghiuri de incidenţă mari (fig. 1.6b).

În ceea ce priveşte variaţia coeficientului aerodinamic în funcţie de numărul Mach, în fig. 1.9 este prezentat schematic graficul . Se constată că creşte progresiv cu numărul Mach în regimul subsonic. În regimul transonic graficul este neliniar iar în regimul supersonic descreşte odată cu creşterea numărului Mach. Cu linie punctată este prezentat graficul pentru profilele subţiri unde

zc( ∞= Mcc zz )

zczc

21/2 ∞−πα= Mcz în cazul regimului subsonic şi

1/4 2 −α= ∞Mcz pentru regimul supersonic. În fig 1.10 este prezentat graficul ( )∞= Mcc xx . Se constată că pentru numere Mach mai mici decât numărul Mach critic, , coeficientul este aproximativ constant.

crM xc

15

Fig. 1.9

Fig. 1.10

Pentru valori ale numărului Mach cuprinse între şi crM 1=∞M , coeficientul creşte brusc după care scade. xc

În fig. 1.11 este prezentat graficul ( )∞= Mcc xx pentru un profil NACA 2315. Se constată că pentru valori ale numărului Mach mai mari de 0,8, coeficientul creşte foarte rapid. xc

16

Fig. 1.11

În ceea ce priveşte variţia coeficientului al momentului aerodinamic în funcţie de numărul Mach, aceasta este asemănătoare cu cea a coeficientului de portanţă .

mc

zc

17

Aripa de anvergură finită Proprietăţile profilelor aerodinamice pot fi considerate ca fiind cele ale aripii de anvergură infinită. În fig. 1.12 este prezentată o aripă de anvergură b şi suprafaţă S. Raportul Sb /2 , denumit alungirea aripii, reprezintă un parametru geometric important care are o mare influenţă asupra coeficienţilor aerodinamici. Alungirea aripii se notează cu . λ

Fig. 1.12

Se pune întrebarea: este coeficientul al forţei portante pentru aripa de anvergură finită identic cu cel al profilului aerodinamic al aripii? Răspunsul este negativ. Un exemplu în acest sens îl constituie graficul din fig. 2.6a unde se constată că la un unghi de incidenţă , profilul NACA 2412 are un coeficient al forţei portante , în timp ce o aripă de anvergură finită construită din acest profil are coeficientul forţei portante mai mic de 0,65.

zC

0465.0=zc

Fig. 1.13

Această deosebire între coeficienţii forţei portante se datorează faptului că la aripa de anvergură finită dispusă într-un curent de aer de viteză , apar două vârtejuri la vârfurile aripii (fig. 1.13) care duc la scăderea unghiului de incidenţă

∞V

18

prin efectul vitezei induse (fig. 1.14). Micşorându-se unghiul de incidenţă, se micşorează şi forţa portanţă.

Fig. 1.14

O a doua întrebare care se pune este în ce măsură coeficientul depinde de geometria aripii. Conform teoriei lui Ludwig Prandtl, panta coeficientului de portanţă pentru aripa de anvergură finită,

zC

α= ddCa z / se exprimă prin relaţia

λπ+

=

ea

aa0

0

1 (1.43)

unde α= ddca z /0 , reprezintă panta coeficientului de portanţă pentru profilul aerodinamic al aripii de anvergură finită;

δ+

=1

1e este un coeficient care depinde de forma geometrică, definită

prin raportul de trapezoidalitate, adică raportul dintre coarda la vârful aripii, şi coarda la baza aripii, ; vc bc

Sb2

=λ .

Graficul funcţiei este prezentat în fig. 1.15. Dupa cum se poate constata din acest graphic, valorile uzuale pentru coeficientul e se situează în

intervalul

( bv cc /δ=δ )

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+

1,12.01

1 , sau [ ]. 1,9,0

Analizând relaţia (1.43) se constată că panta coeficientului de portanţă pentru aripa de anvergură finită este cu atât mai mare cu cât alungirea aripii, Sb /2=λ , este mai mare. Pentru se obţine ∞→λ 0aa = . Teoria lui Prandtl pentru aripa de anvergură finită (şi implicit ecuaţia 1.43) nu se aplică pentru alungiri mici,

19

adică pentru . Ecuaţia 2.15 este valabilă numai pentru curgerile incompresibile, adică pentru numere Mach mai mici de 0,3. Pentru regimuri compresibile se aplică anumiţi factori de corecţie.

4<λ

Fig. 1.15

Un exemplu în acest sens îl constituie factorul de corecţie Prandtl-Glauert,

( )2

00

1 ∞−=

M

aa lcompresibi (1.44)

ceea se înseamnă că pentru aripa de anvergură finită este valabilă relaţia

( )( )

λπ−

+

−=

λπ+

=

∞

∞

eM

aM

a

e

aa

alcompresibi

lcompresibilcompresibi

20

20

0

0

11

1

1 (1.45)

sau

λπ+−

=∞ e

aM

aa lcompresibi02

0

1 (1.46)

Pentru regimul supersonic se calculează cu formula lcompresibia

20

1

42 −

=∞M

a lcompresibi (1.47)

În fig. 1.16 este prezentat graficul ( )∞= Maa lcompresibilcompresibi pentru o aripă derptunghiulară de alungire mare. Cu linie punctată sunt trasate funcţiile date de ecuaţiile (1.46) şi 1.47).

Fig. 1.16

Problema nr. 4 Să se calculeze coeficientul de portanţă pentru o aripă dreaptă cu

alungirea , construită din profilul NACA 2412. Unghiul de incidenţă este , iar coeficientul de formă,

zC6=λ

06=α 95.0=e . Regimul de curgere este incompresibil.

Rezolvare Din fig. 2.6a rezultă:

- la un unghi de incidenţă corespunde 01 8−=α 6,0−=zc ;

- la un unghi de incidenţă corespunde 02 8=α 08,1=zc

ceea ce însemnă că panta coeficientului de portanţă pentru partea liniară a graficului , a profilului NACA 2412, este ( )α= zz cc

21

( ) ( ) ( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−−−−

=α−α

α−α=

α=

gradecc

ddca zzz 1105,0

886,008,1

0012

120

De asemenea, tot din fig. 2.6a rezultă că unghiul de incidenţă la portanţă nulă este . 0

0 2,2−=α −PPentru a se obţine panta coeficientului de portanţă pentru aripa de anvergură finită, se utilizează relaţia (1.43), conform căreia

λπ+

=

ea

aa0

0

1

Înainte de a aplica formula de mai sus, se transformă panta din 1/grade în 1/radiani, astfel

0a

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

π⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

radianiradianigrade

gradea 102,61801105,00

Din ecuaţia (0 se obţine

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

××π+

=radiani

a 151,4

695,002,61

02,6

Pentru a se calcula coeficientul de portanţă al aripii de anvergură finită, se transformă panta din 1/radiani în 1/grade,

zC

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡π⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

gradegraderadiani

radiania 1079,0

180151,4

Coeficientul de portanţă al aripii este ( ) ( )[ ] 648,02,26079,0 00

0 =−−=α−α= =Pz aC iar coeficientul de portanţă al profilului NACA 2412 la acelaşi unghi de incidenţă este

( ) ( )[ ] 86,02,26105,0 0000 =−−=α−α= =Pz ac

adică are o valoare mai mare cu aprox. 25% fată de cea a coeficientului de portanţă pentru aripa de anvergură finită. ______________________________________________________-14.01.2009

Problema 5 Să se determine coeficientul de portanţă pentru aceeaşi aripă şi acelaşi unghi de incidenţă ca la problema 2.5, dar pentru un n umăr Mach, . 7,0=∞M

Rezolvare Întrucât domeniul de curgere pentru numărul Mach 7,0=∞M este compresibil, se aplică ecuaţia (1.46),

22

λπ+−

=∞ e

aM

aa lcompresibi02

0

1

unde reprezintă panta coeficientului de portanţă pentru profil (nu pentru aripă), în regimul incompresibil.

0a

Din exemplul anterior a rezultat că 02,60 =a , prin urmare

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

××π+−

=radiani

a lcompresibi173,5

695,002,67,01

02,62

Pentru determinarea coeficientului se transformă din 1/radiani în 1/grade, astfel

zC lcompresibia

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡π⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

gradegraderadiani

radiania lcompresibi

11,0180

173,5

Prin urmare, ( )[ ] 82,02,261,0 00 =−−=zC

Problema 6 Să se determine coeficientul pentru o aripă dreaptă, de alungire mare, construită dintr-un profil subţire, pentru un unghi de incidenţă şi un număr Mach .

zC06=α

5,2=∞M

Rezolvare Curgerea fiind supersonică, panta coeficientului de portanţă pentru profilul subţire este

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

−=

−=

∞radianiM

a lcompresibi1746,1

15,2

4

1

422

Pentru a calcula coeficientul la un unghi de incidenţă zC 06=α , se transformă din 1/radiani în 1/grade, lcompresibia

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡π⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

gradegraderadiani

radiania lcompresibi

10305,0180

1746,1

Prin urmare

[ ] 183,0610305,0 =⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=α⋅= grade

gradeaC lcompresibiz .

Aripa dreaptă de alungire mică

23

Pentru alungiri mai mici decât 4, ecuaţia 2.15 nu mai este valabilă întrucât ea a fost obţinută pe baza teoriei liniei de portanţă care este valabilă numai pentru aripi de alungire mare. La aripile de alungire mică, se aplică teoria suprafeţei de portanţă care constituie în prezent baza metodelor panel ce permit elaborarea de programe de calcul numeric pentru studiul aripilor de alungire mică. Marile companii de aviaţie au propriile coduri panel de calcul aerodynamic.

λ

O formulă de calcul aproximativ a pantei coeficientului de portanţă pentru aripa de alungire mică în regim de curgere incompresibil o constituie formula lui H. B. Helmbold, bazată pe teoria suprafeţei de portanţă,

λπ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ

+

=0

20

0

1 aa

aa

unde şi sunt exprimate în 1/radiani. a 0aLa regimul de curgere compresibil, subsonic relaţia (0) devine

λπ+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛λπ

+−

=

∞0

202

0

1 aaM

aa lcompresibi

În cazul curgerii supersonice se poate aplica formula lui Hoerner, obţinută pe baza modelului linearizat al acestui tip de curgere,

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−λ−

−=

∞∞ 12

111

422 MM

a lcompresibi

Aripa de alungire mică are avantajul unei rezistenţe de undă reduse la zborul supersonic dar este dezavantajoasă la zborul subsonic, în special la aterizare şi decolare. Există totuşi două variante de aripă care elimină dezavantajele menţionate mai sus, la decolare şi aterizare, menţinând avantajul unei rezistenţe mici de undă şi anume aripa în săgeată şi aripa delta.

Problema nr. Să se calculeze coeficientul de portanţă pentru o aripă dreaptă de

alungire , la un unghi de incidenţă zC

2=λ 05=α şi un număr Mach . Aripa este construită dintr-un profil simetric şi subţire.

5,2=∞M

Rezolvare Aplicând relaţia de calcul (), se obţine

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−×−

−=

radiania lcompresibi

1555,115,222

1115,2

422

24

Se transformă din 1/radiani în 1/grade, rezultând lcompresibia

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡π⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

gradegraderadiani

radiania lcompresibi

1027,0180

1555,1

Coeficientul de portanţă este 135,05027,0 =×=α⋅= lcompresibiz aC

25