Intervalo de Confiança

52
David Venancio da Cruz [email protected] Prova Didática para o cargo de Professor Substituto Departamento de Matemática e Estatística Universidade Estadual da Paraiba 17 de setembro de 2013

description

Slides sobre intervalo de confiança

Transcript of Intervalo de Confiança

Page 1: Intervalo de Confiança

ESTIMAÇÃO INTERVALAR

David Venancio da [email protected]

Prova Didática para o cargo de Professor SubstitutoDepartamento de Matemática e Estatística

Universidade Estadual da Paraiba

17 de setembro de 2013

Page 2: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Introdução

Intervalo de confiança: média da N(µ;σ2), σ2 conhecida.

Intervalo de confiança: proporções - Amostra Grande

Intervalo de confiança: média da N(µ;σ2), σ2

desconhecida

Page 3: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Em estatística, um intervalo de confiança (IC) é um intervalo es-timado de um parâmetro estatístico. Em vez de estimar o pa-râmetro por um único valor, é dado um intervalo de estimativasprováveis. Sendo assim, veremos os seguintes conceitos e mé-todos:

intervalo de confiança

margem de erro

nível de confiança

nível de significância

Page 4: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Quando o interesse é um determinado parâmetro de uma popu-lação (θ).

População é representada por uma variável aleatória X .

Retira-se uma amostra aleatória dessa população.

E, através desta amostra, estima-se o parâmetropopulacional (θ̂).

São chamadas pontuais, pois são únicas para cadaamostra selecionada.

Page 5: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Na prática, temos apenas uma amostra e, assim, é importanteque se dê alguma informação sobre essa possível variabilidadedo estimador.

O verdadeiro valor do parâmetro θ.[θ̂− ε, θ̂+ ε

]Dessa forma, estamos informando a nossa margem de errono processo de estimação.

Com probabilidade alta (em geral, indicada por 1−α), o intervalo[θ̂− ε, θ̂+ ε

]conterá o verdadeiro valor do parâmetro θ.

Page 6: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Figura: Interpretação dos Intervalos de Confiança.

Page 7: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

O valor 1−α é chamado nível de confiança, enquanto o valor α éconhecido como nível de significância. O intervalo

[θ̂− ε, θ̂+ ε

]é chamado de intervalo de confiança de nível de confiança 1−α.

Pr(θ ∈

[θ̂− ε, θ̂+ ε

])= 1 − α

Page 8: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança: média da N(µ;σ2), σ2 conhecida

A média populacional é um parâmetro importante que pode sermuito bem estimado pela média amostral X .

Consideramos uma população com distribuição normalX(µ;σ2)

A distribuição amostral de X é normal com média µ evariância σ2/n, ou seja:

X(µ;σ2

)⇒ X(µ;σ2

n

)Das propriedades da distribuição normal, resulta que:

Z =X − µ√

σ2

n

≈ N(0;1)

Page 9: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança: média da N(µ;σ2), σ2 conhecida

Notação

1. Zα a abscissa da curva normalpadrão que deixa probabilidade (área)igual a α acima dela.

Pr (Z > zα)

Z > zα é chamado de valorcrítico.

2. Consideremos, agora, o valor críticozα/2.

Z (0;1)Então:

Pr(−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2

)= 1 − α

Page 10: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança: média da N(µ;σ2), σ2 conhecida

DefiniçãoSeja X ≈ N(µ;σ2) uma população normal com variância σ2 co-nhecida. Se X1,X2,X3, . . . ,Xn é uma amostra aleatória simplesdessa população, então o intervalo de confiança de nível de con-fiança 1 − α para a média populacional µ é dado por[

X − zα/2σ√n;X + zα/2

σ√n

]Interpretação do intervalo de confiança para µ.

Pr(µ ∈

[X − zα/2

σ√n;X + zα/2

σ√n

)]= 1 − α

Page 11: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança: média da N(µ;σ2), σ2 conhecida

Interpletação

Para ajudar na interpretação do intervalo de confiança,suponha que, com uma amostra de tamanho 25, tenha sidoobtido o seguinte intervalo de confiança com nível deconfiança de 0,95:[

5 − 1,96× 2√25

;5 − 1,96× 2√25

]= [4,216;5,784]

Page 12: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança: média da N(µ;σ2), σ2 conhecida

Exemplo

Em determinada população, o peso dos homens adultos édistribuído normalmente com um desvio padrão de 16 kg.Uma amostra aleatória simples de 36 homens adultos é sor-teada desta população, obtendo-se um peso médio de 78,2kg. Construa um intervalo de confiança de nível de confi-ança 0,95 para o peso médio de todos os homens adultosdessa população.

Page 13: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança: média da N(µ;σ2), σ2 conhecida

Page 14: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança: média da N(µ;σ2), σ2 conhecida

Margem de erro1. Vamos, agora, analisar a margem de erro do intervalo de con-fiança para a média de uma população normal com variância co-nhecida. Ela é dada por:

ε = zα/2σ√n

2. Com σ maior, o comprimento do intervalo é maior.3. Aumentar a probabilidade de acerto significa aumentar o nívelde confiança.

Page 15: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança: média da N(µ;σ2), σ2 conhecida

Exemplo

De uma população normal com variância 25 extrai-se umaamostra aleatória simples de tamanho n com o objetivo de seestimar a média populacional µ com um nível de confiançade 90% e margem de erro de 2. Qual deve ser o tamanhoda amostra?

Page 16: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança: média da N(µ;σ2), σ2 conhecida

ResumoComo existe uma variabilidade nos valores de um estimador θ̂ ao longodas possíveis amostras, uma maneira de informar sobre esta variabili-dade é através da estimação por intervalos de confiança.

A obtenção de um intervalo de confiança é feita de modo que:

Pr(θ ∈

[θ̂ − ε; θ̂ + ε

])= 1 − α

O valor 1 − α é o nível de confiança, enquanto o valor α é o nível designificância.

A probabilidade se refere à probabilidade dentre as diversas possíveis

amostras, ou seja, a probabilidade está associada à distribuição

amostral de θ̂. Cada amostra dá origem a um intervalo diferente, mas o

procedimento de obtenção dos intervalos garante probabilidade 1 − α de

acerto, ou seja, inclusão do verdadeiro valor do parâmetro.

Page 17: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança: média da N(µ;σ2), σ2 conhecida

ResumoComo existe uma variabilidade nos valores de um estimador θ̂ ao longodas possíveis amostras, uma maneira de informar sobre esta variabili-dade é através da estimação por intervalos de confiança.

A obtenção de um intervalo de confiança é feita de modo que:

Pr(θ ∈

[θ̂ − ε; θ̂ + ε

])= 1 − α

O valor 1 − α é o nível de confiança, enquanto o valor α é o nível designificância.

A probabilidade se refere à probabilidade dentre as diversas possíveis

amostras, ou seja, a probabilidade está associada à distribuição

amostral de θ̂. Cada amostra dá origem a um intervalo diferente, mas o

procedimento de obtenção dos intervalos garante probabilidade 1 − α de

acerto, ou seja, inclusão do verdadeiro valor do parâmetro.

Page 18: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança: média da N(µ;σ2), σ2 conhecida

ResumoComo existe uma variabilidade nos valores de um estimador θ̂ ao longodas possíveis amostras, uma maneira de informar sobre esta variabili-dade é através da estimação por intervalos de confiança.

A obtenção de um intervalo de confiança é feita de modo que:

Pr(θ ∈

[θ̂ − ε; θ̂ + ε

])= 1 − α

O valor 1 − α é o nível de confiança, enquanto o valor α é o nível designificância.

A probabilidade se refere à probabilidade dentre as diversas possíveis

amostras, ou seja, a probabilidade está associada à distribuição

amostral de θ̂. Cada amostra dá origem a um intervalo diferente, mas o

procedimento de obtenção dos intervalos garante probabilidade 1 − α de

acerto, ou seja, inclusão do verdadeiro valor do parâmetro.

Page 19: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança: média da N(µ;σ2), σ2 conhecida

ResumoComo existe uma variabilidade nos valores de um estimador θ̂ ao longodas possíveis amostras, uma maneira de informar sobre esta variabili-dade é através da estimação por intervalos de confiança.

A obtenção de um intervalo de confiança é feita de modo que:

Pr(θ ∈

[θ̂ − ε; θ̂ + ε

])= 1 − α

O valor 1 − α é o nível de confiança, enquanto o valor α é o nível designificância.

A probabilidade se refere à probabilidade dentre as diversas possíveis

amostras, ou seja, a probabilidade está associada à distribuição

amostral de θ̂. Cada amostra dá origem a um intervalo diferente, mas o

procedimento de obtenção dos intervalos garante probabilidade 1 − α de

acerto, ou seja, inclusão do verdadeiro valor do parâmetro.

Page 20: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

P̂ ≈ N(

p, p(1−p)n

)

Estimação de uma proporção populacionalO contexto de interesse é o seguinte: temos uma população emque cada elemento é classificado de acordo com a presença ouausência de determinada característica.

X =

{1 se o elemento possui a característica de interesse.0 se o elemento não possui a característica de interesse.

1 Pr (X = 1) = p2 E (X ) = p3 Var (X ) = p(1 − p)4 P̂ = Sn

n

Page 21: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

P̂ ≈ N(

p, p(1−p)n

)

Estimação de uma proporção populacionalO contexto de interesse é o seguinte: temos uma população emque cada elemento é classificado de acordo com a presença ouausência de determinada característica.

X =

{1 se o elemento possui a característica de interesse.0 se o elemento não possui a característica de interesse.

1 Pr (X = 1) = p2 E (X ) = p3 Var (X ) = p(1 − p)4 P̂ = Sn

n

Page 22: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

P̂ ≈ N(

p, p(1−p)n

)

Estimação de uma proporção populacionalO contexto de interesse é o seguinte: temos uma população emque cada elemento é classificado de acordo com a presença ouausência de determinada característica.

X =

{1 se o elemento possui a característica de interesse.0 se o elemento não possui a característica de interesse.

1 Pr (X = 1) = p2 E (X ) = p3 Var (X ) = p(1 − p)4 P̂ = Sn

n

Page 23: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

P̂ ≈ N(

p, p(1−p)n

)

Estimação de uma proporção populacionalO contexto de interesse é o seguinte: temos uma população emque cada elemento é classificado de acordo com a presença ouausência de determinada característica.

X =

{1 se o elemento possui a característica de interesse.0 se o elemento não possui a característica de interesse.

1 Pr (X = 1) = p2 E (X ) = p3 Var (X ) = p(1 − p)4 P̂ = Sn

n

Page 24: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

P̂ ≈ N(

p, p(1−p)n

)

Teorema Limite Central nos diz que a distribuição de b P̂ seaproxima de uma normal com média p e variância p(1−p)

n .

P̂ ≈ N(

p,p (1 − p)

n

)Usando as propriedades da distribuição normal, temos que:

P̂ − p√p(1−p)

n

≈ N (0;1)

Page 25: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para a proporção populacional

O procedimento de construção do intervalo de confiança para aproporção populacional é totalmente análogo ao do intervalo deconfiança para a média de uma população normal com variânciaconhecida. Assim, iremos usar a mesma notação, a saber: va-mos representar por zα a abscissa da curva normal padrão quedeixa probabilidade (área) α acima dela. Como visto, temos oseguinte resultado, onde Z ≈ N(0;1):

Pr(−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2) = 1 − α

Page 26: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para a proporção populacional

Como no caso da média, chegamos a uma expressão do se-guinte tipo:

Pr(

P̂ − ε ≤ p ≤ P̂ + ε)= 1 − α

em que ε = zα/2√

p(1−p)n .

Usar a própria proporção amostral observada.

P̂ ± zα/2

√p̂(1 − p̂)

n

Usar o intervalo de confiança conservador.

Usar algum valor auxiliar p̂0 ou estimativa prévia.

Page 27: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para a proporção populacional

Seja X1,X2, . . . ,Xn uma amostra aleatória simples de uma popu-lação representada pela variável X de Bernoulli com

Pr(X = 1) = p

Pr(X = 0) = (1 − p)P̂ − zα/2

√p̂0(1 − p̂0

)n

; P̂ + zα/2

√p̂0(1 − p̂0

)n

onde zα/2 é abscissa da curva normal padrão que deixa área α/2acima dela e p̂0 é alguma estimativa para o verdadeiro valor p.

Page 28: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para a proporção populacional

Exemplo Um gerente de produção deseja estimar a proporçãode peças defeituosas em uma de suas linhas de produção. Paraisso, ele seleciona uma amostra aleatória simples de 100 peçasdessa linha de produção, obtendo 30 defeituosas. Determine ointervalo de confiança para a verdaeira proporção de peças de-feituosas nessa linha de produção, a um nível de significância de5%.

Page 29: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para a proporção populacional

Determinação do tamanho da amostraUma questão que se coloca freqüentemente é: qual o tamanhoda amostra necessário para se estimar uma proporção p comuma margem de erro ε e nível de confiança 1 − α?

Vemos, então, que n é diretamente proporcional a p(1 − p),ou seja, quanto maior p(1 − p), maior será o tamanho daamostra n.

Na prática, não conhecemos p (na verdade, estamosquerendo estimar esse parâmetro).

Page 30: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para a proporção populacional

Determinação do tamanho da amostraUma questão que se coloca freqüentemente é: qual o tamanhoda amostra necessário para se estimar uma proporção p comuma margem de erro ε e nível de confiança 1 − α?

Vemos, então, que n é diretamente proporcional a p(1 − p),ou seja, quanto maior p(1 − p), maior será o tamanho daamostra n.

Na prática, não conhecemos p (na verdade, estamosquerendo estimar esse parâmetro).

Page 31: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para a proporção populacional

Determinação do tamanho da amostraUma questão que se coloca freqüentemente é: qual o tamanhoda amostra necessário para se estimar uma proporção p comuma margem de erro ε e nível de confiança 1 − α?

Vemos, então, que n é diretamente proporcional a p(1 − p),ou seja, quanto maior p(1 − p), maior será o tamanho daamostra n.

Na prática, não conhecemos p (na verdade, estamosquerendo estimar esse parâmetro).

Page 32: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para a proporção populacional

ExemploPara estudar a viabilidade de lançamento de um novo produtono mercado, o gerente de uma grande empresa contrata umafirma de consultoria estatística para estudar a aceitação do pro-duto entre os clientes potenciais. O gerente deseja obter umaestimativa com um erro máximo de 1% com probabilidade 80% epede ao consultor estatístico que forneça o tamanho de amostranecessário.?

1 De posse das informações dadas, o consultor calcula o ta-manho da amostra necessário no pior cenário. O que signi-fica pior cenário nesse caso? Qual o tamanho de amostraobtido pelo consultor?.

Page 33: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para a proporção populacional

ExemploPara estudar a viabilidade de lançamento de um novo produtono mercado, o gerente de uma grande empresa contrata umafirma de consultoria estatística para estudar a aceitação do pro-duto entre os clientes potenciais. O gerente deseja obter umaestimativa com um erro máximo de 1% com probabilidade 80% epede ao consultor estatístico que forneça o tamanho de amostranecessário.?

1 De posse das informações dadas, o consultor calcula o ta-manho da amostra necessário no pior cenário. O que signi-fica pior cenário nesse caso? Qual o tamanho de amostraobtido pelo consultor?.

Page 34: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para a proporção populacional

1 O gerente acha que o custo de tal amostra seria muito altoe autoriza o consultor a realizar um estudo piloto com umaamostra de 100 pessoas para obter uma estimativa da ver-dadeira proporção. O resultado desse estudo piloto é umaestimativa p̂ = 0,76 de aceitação do novo produto. Combase nessa estimativa, o consultor recalcula o tamanho daamostra necessário. Qual é esse tamanho?

2 Selecionada a amostra com o tamanho obtido no itemanterior, obteve-se uma proporção de 72% de clientesfavoráveis ao produto. Construa um intervalo de confiançapara a verdadeira proporção com nível de confiança de90%.

Page 35: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para a proporção populacional

1 O gerente acha que o custo de tal amostra seria muito altoe autoriza o consultor a realizar um estudo piloto com umaamostra de 100 pessoas para obter uma estimativa da ver-dadeira proporção. O resultado desse estudo piloto é umaestimativa p̂ = 0,76 de aceitação do novo produto. Combase nessa estimativa, o consultor recalcula o tamanho daamostra necessário. Qual é esse tamanho?

2 Selecionada a amostra com o tamanho obtido no itemanterior, obteve-se uma proporção de 72% de clientesfavoráveis ao produto. Construa um intervalo de confiançapara a verdadeira proporção com nível de confiança de90%.

Page 36: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para a proporção populacional

1 O gerente acha que o custo de tal amostra seria muito altoe autoriza o consultor a realizar um estudo piloto com umaamostra de 100 pessoas para obter uma estimativa da ver-dadeira proporção. O resultado desse estudo piloto é umaestimativa p̂ = 0,76 de aceitação do novo produto. Combase nessa estimativa, o consultor recalcula o tamanho daamostra necessário. Qual é esse tamanho?

2 Selecionada a amostra com o tamanho obtido no itemanterior, obteve-se uma proporção de 72% de clientesfavoráveis ao produto. Construa um intervalo de confiançapara a verdadeira proporção com nível de confiança de90%.

Page 37: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para a proporção populacional

ResumoDada uma aas X1,X2, . . . ,Xn de tal população, a proporção P̂ de elemen-tos na amostra que possuem a característica de interesse é

P̂ =Sn

n=

X1,X2, . . . ,Xn

n

com as seguintes propriedades:

E(

P̂)= p

Var(

P̂)=

p(1 − p)n

Pelo Teorema Limite Central, resulta que:

P̂ ≈ N(

p;p(1 − p)

n

)e essa aproximação só deve ser usada se np ≥ 5 e n(1 − p) ≥ 5.

Page 38: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para a proporção populacional

ResumoDada uma aas X1,X2, . . . ,Xn de tal população, a proporção P̂ de elemen-tos na amostra que possuem a característica de interesse é

P̂ =Sn

n=

X1,X2, . . . ,Xn

n

com as seguintes propriedades:

E(

P̂)= p

Var(

P̂)=

p(1 − p)n

Pelo Teorema Limite Central, resulta que:

P̂ ≈ N(

p;p(1 − p)

n

)e essa aproximação só deve ser usada se np ≥ 5 e n(1 − p) ≥ 5.

Page 39: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para µ com σ2 desconhecido

Intervalo de confiança para µ com σ2 desconhecidoO procedimento é simples e análogo ao caso anterior visto navariância conhecida; o que muda é a distribuição amostral doestimador X . Em vez de usarmos a distribuição normal para de-terminar os valores críticos, usaremos a distribuição t de Student.Veremos os seguintes conceitos:

1 Estimação da variância de uma população.2 Distribuição amostral da média amostral de uma população

normal com variância desconhecida.3 Intervalo de confiança para a média de uma população

normal com variância desconhecida.

Page 40: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para µ com σ2 desconhecido

Intervalo de confiança para µ com σ2 desconhecidoO procedimento é simples e análogo ao caso anterior visto navariância conhecida; o que muda é a distribuição amostral doestimador X . Em vez de usarmos a distribuição normal para de-terminar os valores críticos, usaremos a distribuição t de Student.Veremos os seguintes conceitos:

1 Estimação da variância de uma população.2 Distribuição amostral da média amostral de uma população

normal com variância desconhecida.3 Intervalo de confiança para a média de uma população

normal com variância desconhecida.

Page 41: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para µ com σ2 desconhecido

Intervalo de confiança para µ com σ2 desconhecidoO procedimento é simples e análogo ao caso anterior visto navariância conhecida; o que muda é a distribuição amostral doestimador X . Em vez de usarmos a distribuição normal para de-terminar os valores críticos, usaremos a distribuição t de Student.Veremos os seguintes conceitos:

1 Estimação da variância de uma população.2 Distribuição amostral da média amostral de uma população

normal com variância desconhecida.3 Intervalo de confiança para a média de uma população

normal com variância desconhecida.

Page 42: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para µ com σ2 desconhecido

Intervalo de confiança para µ com σ2 desconhecidoO procedimento é simples e análogo ao caso anterior visto navariância conhecida; o que muda é a distribuição amostral doestimador X . Em vez de usarmos a distribuição normal para de-terminar os valores críticos, usaremos a distribuição t de Student.Veremos os seguintes conceitos:

1 Estimação da variância de uma população.2 Distribuição amostral da média amostral de uma população

normal com variância desconhecida.3 Intervalo de confiança para a média de uma população

normal com variância desconhecida.

Page 43: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para µ com σ2 desconhecido

Na maioria das situações práticas, a variância da populaçãoσ2 não é conhecida. Nesses casos ela é substítuida pelo seuestimador, a variância amostral S2.

S2 =1

n − 1

n∑i=1

(Xi − X

)2

Sabemos que X ∼ N(µ, σ2), então a variável a ser utilizada é:

T =X − µ

s√n

∼ tn−1.

Page 44: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para µ com σ2 desconhecido

Usando a simetria da densidade t , temos o seguinte resultado:

Pr(−tn;α/2 ≤ t(n) ≤ tn;α/2

)= 1 − α

Page 45: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para µ com σ2 desconhecido

Seja X1,X2, . . . ,Xn uma amostra aleatória simples de uma popu-lação X ≈ N(µ;σ2). O intervalo de confiança para µ de nível deconfiança 1 − α é[

X − tn−1;α/2S√n;X + tn−1;α/2

S√n

]

Page 46: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Amostras grandes

Quando o número de graus de liberdade é grande, asdiferenças entre as distribuições t e N(0;1) tornam-sedesprezíveis.

Por outro lado, se a população não é normal, mas temmédia µ e variância σ2, o T.C.L. se aproxima de uma N(0;1)à medida que n→∞, Pode-se mostrar que esse resultadocontinua valendo se substituímos σ por seu estimador S.

Page 47: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Amostras grandes

Quando o número de graus de liberdade é grande, asdiferenças entre as distribuições t e N(0;1) tornam-sedesprezíveis.

Por outro lado, se a população não é normal, mas temmédia µ e variância σ2, o T.C.L. se aproxima de uma N(0;1)à medida que n→∞, Pode-se mostrar que esse resultadocontinua valendo se substituímos σ por seu estimador S.

Page 48: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Amostras grandes

Quando o número de graus de liberdade é grande, asdiferenças entre as distribuições t e N(0;1) tornam-sedesprezíveis.

Por outro lado, se a população não é normal, mas temmédia µ e variância σ2, o T.C.L. se aproxima de uma N(0;1)à medida que n→∞, Pode-se mostrar que esse resultadocontinua valendo se substituímos σ por seu estimador S.

Page 49: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para a média - Amostras grandes

Seja X1,X2, . . . ,Xn uma amostra aleatória simples de uma popu-lação X e variância σ2, então

√n

X − µ

S≈ N(0;1)

para n suficientemente grande. Nesse caso, o intervalo de confi-ança aproximado de nível de confiança 1 − α para µ é[

X − zα/2S√n;X + zα/2

S√n

]

Page 50: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para a média

Exemplo

Exemplo De uma população normal com média e variância des-conhecidas, extraise uma amostra de tamanho 15 obtendo-sex = 12 e s2 = 49. Obtenha um intervalo de confiança para averdadeira média populacional, utilizando o nível de confiançade 95%.Exemplo A seguinte amostra foi extraída de uma população nor-mal: 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12. Construa o intervalo de confi-ança para a média populacional, com nível de significância de10%.

Page 51: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

Intervalo de confiança para a média

Resumo

Page 52: Intervalo de Confiança

Conteúdo Introdução Variância conhecida Proporções Variância desconhecida Referências Bibliográficas

BOLFARINE, H. e SANDOVAL, M. C. Introdução à InferênciaEstatística. IMPA. Coleção Matemática Aplicada.(2001).

BUSSAB, W.O. e MORETTIN, P. A. Estatística Básica. SãoPaulo, Ed.Atual, 4.ed. 1987. 321p

FERREIRA, D. F. Estatística Básica. Lavras, Editora UFLA,2005.

JUSTINIANO, P.. Tutoriais do Programa R. Universidade Fede-ral do Paraná. Curitiba. http://www.est.ufpr.br/ paulojus. AcessoDez. 2004.