GEOMETRIA DESCRITIVA A10.º Ano

Intersecções – Resumo

© antónio de campos, 2010

INTERSECÇÃO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO

GENERALIDADES – Intersecção entre recta e plano

Uma recta e um plano não paralelos intersectam-se num ponto.

x

xz

xy

αfα

hα

I

r

INTERSECÇÃO ENTRE UMA RECTA E UM PLANO

ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – geral

1 - Conduzir pela recta dada um plano auxiliar (em geral um plano projectante, mas não necessariamente) que contenha a recta dada;

2 - Determinar a recta de intersecção entre os dois planos. Esta recta e a recta dada são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar;

3 - O ponto de concorrência das duas rectas é o ponto de intersecção da recta dada com o plano dado.

ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – recta com plano projectantePara um plano projectante horizontal, é no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço horizontal do plano, aonde se situa a projecção horizontal do ponto de intersecção.

ENTRE UMA RECTA E UM PLANO – recta projectante com plano não projectantePara um plano projectante horizontal, primeiro obtem-se no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço horizontal do plano, a projecção horizontal do ponto de intersecção. Depois é utilizada uma recta auxiliar qualquer, que contém o ponto de intersecção, para assim se obter a projecção frontal do ponto de intersecção.

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM UM PLANO NÃO PROJECTANTE

Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta oblíqua r (não projectante) com um plano oblíquo α (não projectante).

x

xz

xy

α

x

fα

hα

fα

hα

r2

r1

r2

r1

II2

I1

fθ

≡ hθ

F2

F1

H2

H1

r

θ

F

H

i2

≡ i1

I2

I1

fθ

≡ hθ

≡ i1

i

i2

1. Conduzir pela recta r um plano auxiliar vertical θ que contenha a recta r;

2. Determinar a recta de intersecção i entre os dois planos. Esta recta i e a recta dada r são complanares, pois estão ambas contidas no plano auxiliar θ;

3. O ponto de concorrência das duas rectas I é o ponto de intersecção da recta dada r com o plano dado α.

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA PROJECTANTE COM UM PLANO PROJECTANTE

Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta de topo t (projectante frontal) com um plano vertical α (projectante horizontal).

x

xz

xy

x

α

fα

hα

hα

fα

t

(t2)

t1

t1

(t2)

I

I1

≡ I2≡ I2

I1É no cruzamento da projecção horizontal da recta com o traço horizontal do plano, aonde se situa a projecção horizontal do ponto de intersecção, dado ser um plano projectante horizontal.

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA NÃO PROJECTANTE COM UM PLANO PROJECTANTE

Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta oblíqua r com um plano de topo θ (projectante frontal).

x

xz

xy

x

θfθ

hθ

r

r2

r1

fθ

hθ

r2

r1

I2

I1

I1

I2

I

É no cruzamento da projecção frontal da recta com o traço frontal do plano, aonde se situa a projecção frontal do ponto de intersecção, dado ser um plano projectante frontal.

INTERSECÇÃO DE UMA RECTA PROJECTANTE COM UM PLANO NÃO PROJECTANTE

Pretendem-se as projecções do ponto de intersecção I, de uma recta vertical v com um plano de rampa ρ (não projectante).

x

xz

xy

ρ

fρ

hρ

x

fρ

hρ

v2

(v1)

v

v2

(v1)

I

≡ I1

I2

≡ I1

É utilizada uma recta auxiliar r qualquer, que contém o ponto I, para assim se obter a projecção frontal do ponto I.

H2

H1

F2

F1

r2

r1

I2

r

r1

r2

H

F

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS

GENERALIDADES - Intersecção entre dois planos

Dois planos não paralelos (planos secantes) intersectam-se numa recta, a recta comum a ambos os planos.

x

xz

xy

α

i

δ

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS

ENTRE DOIS PLANOS – projectantes e não projectantes As projecções da recta de intersecção são coincidentes com as respectivas projectantes, quando a situação for projectante.

A situação de não projectante implica a obtenção das projecções da recta de intersecção através dos traços da recta, localizados no cruzamento dos traços dos dois planos.

ENTRE DOIS PLANOS – um projectante e o outro não definido pelos traçosUma das projecções da recta de intersecção é coincidente com as respectiva projectante; enquanto a outra é obtida pelos pontos de intersecção das rectas que definem um plano com o outro plano.

ENTRE DOIS PLANOS – de rampa, passantesA recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal.

Através de um plano auxiliar projectante, obtem-se duas rectas complanares auxiliares, rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com o ponto coincidente das duas rectas a localizar a recta fronto-horizontal.

ENTRE DOIS PLANOS – plano passante e plano projectante com ponto comumO ponto comum e o ponto que define o plano passante definem a recta de intersecção.

ENTRE DOIS PLANOS – oblíquos ou passantes com um ponto comum no eixo x Através de um plano auxiliar projectante, obtem-se duas rectas complanares auxiliares, rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com o ponto coincidente das duas rectas a localizar um dos pontos da recta de intersecção entre os dois planos dados.

O outro ponto será o ponto comum para definir a recta de intersecção.

ENTRE DOIS PLANOS – não definidos pelos seus traçosAtravés de um plano auxiliar projectante, obtem-se quatro rectas complanares auxiliares, rectas de intersecção do plano auxiliar com os dois planos dados, com os dois pontos coincidentes das quatro rectas a localizar a recta de intersecção.

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano de topo θ (projectante frontal) e um plano vertical α (projectante horizontal).

x

xz

xy

x

α

fα

hα

hα

fα

i

≡ i2

A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano de topo θ (projectante frontal), e a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal).

θ

fθ

hθ

fθ

hθ

≡ i1

≡ i2

≡ i1

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano vertical α (projectante horizontal) e um plano oblíquo θ (não projectante).

x

xz

xy

α

fα

hα

i

θ

fθ

hθ

x

hα

fα

i2

fθ

hθ ≡ i1

H2

H1

F2

F1

A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal).

Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos. A partir dos traços da recta i, é possível obter a sua projecção frontal.

F

H

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS NÃO PROJECTANTES Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos.

x

xz

xy

α

x

fα

hα

fα

hα

θ

i

fθ

hθ

fθ

hθ

H2

H1

H

F

F2

F1

i1

i2

Como a recta i pertence aos dois planos, os traços da recta i situam-se na intersecção dos traços dos dois planos.

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PROJECTANTE E UM PLANO NÃO DEFINIDO PELOS SEUS TRAÇOS

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano horizontal υ (projectante frontal) e um plano oblíquo α (definido por duas rectas paralelas).

x

(fυ)

r2

r1

s1

s2

R2

R1

S2

S1

i1

≡ i2

x

xz

xy

υ

(fυ)

r

s

α

iR

S

Como o plano υ é projectante frontal, a projecção frontal da recta i é coincidente com o traço frontal do plano. Através do ponto de intersecção entre as rectas r e s com o plano υ, se obtem os pontos R e S, que permitem obter a projecção horizontal da recta i.

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS DE RAMPA Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos de rampa, ρ e σ.

x

hσ

hρ

fρ

fσ

x

xz

xy

ρ

fρ

hρ

i

fσ

hσ

σ

fα

hα

α

fα

hα

A recta comum aos dois planos tem que ser uma recta fronto-horizontal, sendo assim já se conhece a orientação da recta i. Para obter a localização da recta, são necessárias duas rectas complanares auxiliares contidos num plano projectante auxiliar.

F1

F2

H2

H1

F

H

a2

≡ a1

a

H’2

H’1

≡ F’1

F’2

≡ b1

b2

F’

H’

b

I

I2

I1

i2

i1

INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS OBLÍQUOS COM UM PONTO COMUM SOBRE O EIXO X

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos, α e δ, cujos traços são concorrentes entre si num ponto do eixo x, o ponto A.

x

xz

xy

α

x

fα

hα

fα

hα

fδ

fδ

hδ

hδ

A1 ≡ A2

A

i

Sendo o traço frontal e horizontal o mesmo ponto, o ponto A, é necessário obter um outro ponto comum aos dois planos para definir a recta i. Um plano horizontal auxiliar ν permite obter as rectas de intersecção do plano ν com os planos α e δ.

(fν)

(fν)

F2

F1

F

F’

I

a

b

F’2

F’1

≡ a2≡ b2

a1b1

I2

I1

i2

i1

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO PROJECTANTE

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano vertical α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P.

x ≡ fρ ≡ hρ

fα

hα

P2

P1

x

xz

xy

ρ

≡ fρ ≡ hρ

P

α

A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal).

A1 ≡ A 2

≡ i1

Através de uma recta auxiliar fronto-horizontal r, que pertence ao plano ρ, obtem-se o ponto de intersecção com a recta i, o ponto I. Como o ponto A pertence aos dois planos, a recta de intersecção está definida pelos pontos A e I.

A

rI

r1

r2 I2

I1

i2

i

fα

hα

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO PROJECTANTE COM PONTO COMUM

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano vertical α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. O ponto P está contido no plano α.

x

xz

xy

ρ

≡ fρ ≡ hρ

P

α

A

x ≡fρ ≡ hρ

fα

hα

Nesta situação, a determinação da recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é imediata, pois o ponto P é um ponto comum aos dois planos.

A1 ≡ A 2

≡ i1

P2

P1

i2

i

fα

hα

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano oblíquo α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P.

x

P2

P1

≡fρ ≡ hρ

A1 ≡ A 2

É necessário utilizar um plano auxiliar frontal φ passando pelo ponto P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano ρ é uma recta fronto-horizontal. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano α é uma recta frontal.

x

xz

xy

ρ

≡ fρ ≡ hρ

P

A

a

H

α

fα

hα

fα

hα

i

(hφ)

φ

b

≡ a1

a2

H2

H1 ≡ b1

b2

I

A intersecção das rectas a e b vão definir o ponto I, que juntamente com o outro ponto comum aos dois planos ρ e α, permitem a definição da recta de intersecção i.

I2

I1

i1

i2

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO DE RAMPA

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano de rampa σ. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P.

x

xz

xy

ρx

fσ

hσ

fσ

hσ

σ

≡ fρ ≡ hρ

P

P2

P1

≡ fρ ≡ hρ

fα

hα

i

F

H

α

b

aI

É necessário utilizar um plano auxiliar vertical α passando pelo ponto P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A recta de intersecção i entre o plano ρ e o plano σ é uma recta fronto-horizontal. A intersecção das rectas a e b vão definir o ponto I, que permite a definição da recta de intersecção i.

fα

hα

F2

F1

H2

H1

≡ a1

a2

≡ b1

b2

I2

I1i1

i2

INTERSECÇÃO ENTRE PLANOS NÃO DEFINIDOS PELOS SEUS TRAÇOS

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos α e δ. O plano α está definido pelas rectas paralelas a e b. O plano δ está definido pelas rectas concorrentes r e s, concorrentes no ponto P.

x

b2

a2

b1

a1

P2

P1

É necessário utilizar um plano auxiliar horizontal ν e determinar as rectas de intersecção entre os planos.

A intersecção das rectas m e n vão definir o ponto I. A recta m é a recta de intersecção entre o plano ν e o plano α. A recta n é a recta de intersecção entre o plano ν e o plano δ.

Para a definição da recta de intersecção i, será necessário um outro ponto I’, obtido utilizando outro plano auxiliar horizontal ν1 e outras rectas de intersecção de planos. A recta m’ é a recta de intersecção entre o plano ν1 e o plano α. A recta n’ é a recta de intersecção entre o plano ν1 e o plano δ.

(fν)A2

A1

B2

B1

s2r2

s1r1

R2

R1

S2

S1

≡ m2

m1

≡ n2

n1

I2

I1

(fν1) A’2

A’1

R’2

R’1

≡ m’2

m’1

≡ n’2

n’1

I’2

I’1

i1

i2

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO E UM BISSECTOR

INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO E UM BISSECTOR

ENTRE PLANO E BISSECTOR – definido por duas rectas Os traços nos bissectores das duas rectas definem as projecções da recta de intersecção.

ENTRE PLANO OBLÍQUO OU DE RAMPA E BISSECTOR – definido pelos seus traçosUma recta auxiliar do plano dado localiza o traço da recta no bissector, que juntamente com ponto do plano no eixo x definem a as projecções da recta de intersecção.

ENTRE PLANO PROJECTANTE E BISSECTOR – definido pelos seus traçosA projecção homónima com a projectante resulta em projecção coincidente.

A outra projecção será simétrica ou coincidente à primeira projecção, consoante o bissector é o β1,3 ou o β2,4.

INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β1,3

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano θ com o β1,3. O plano θ é definido por duas rectas paralelas.

x

r2s2

s1

r1

Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β1,3.

Os traços das duas rectas situados no β1,3, Q e Q’, são dois pontos que pertencem aos dois planos.

Q2

Q1

Q’2

Q’1

i1

i2

INTERSECÇÃO DE UM PLANO (definido por duas rectas) COM O β2,4

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano θ com o β2,4. O plano θ é definido por duas rectas paralelas.

x

r2s2

s1

r1

Para definir a recta de intersecção do plano θ com o β2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano θ e ao β2,4.

Os traços das duas rectas situados no β1,3, I e I’, são dois pontos que pertencem aos dois planos.

I1 ≡ I2

I’1 ≡ I’2

i1 ≡ i2

INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β1,3

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β1,3. O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A.

x

fα

hα

A1 ≡ A2

Para definir a recta de intersecção do plano α com o β1,3, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β1,3.

Como o β1,3 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção.

Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α, é possível obter o traço da recta no β1,3, o ponto Q, que será o outro ponto da recta de intersecção.

h2 F2

F1

h1

Q2

Q1 i1

i2

INTERSECÇÃO DE UM PLANO OBLÍQUO (definido pelos seus traços) COM O β2,4

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano oblíquo α com o β2,4. O plano α é definido pelos seus traços e é concorrente com o eixo x num ponto A.

x

fα

hα

A1 ≡ A2

Para definir a recta de intersecção do plano α com o β2,4, é necessário determinar dois pontos que pertencem simultaneamente ao plano α e ao β2,4.

Como o β2,4 é um plano passante, todos os pontos do eixo x pertencem ao bissector. O ponto A é assim um ponto comum aos dois planos e à recta de intersecção.

Através de uma recta auxiliar qualquer do plano α, é possível obter o traço da recta no β2,4, o ponto I, que será o outro ponto da recta de intersecção.

r1

H2

H1

F2

F1

r2

I1 ≡ I2

i1 ≡ i2

INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA (definido pelos seus traços) COM O β1,3

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de rampa ρ com o β1,3.

x

hρ

fρ

A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector.

Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β1,3, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β1,3.

Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β1,3, o ponto Q, que será um ponto da recta de intersecção.

r1

H2

H1

F2

F1

r2

Q2

Q1i1

i2

INTERSECÇÃO DE UM PLANO DE RAMPA (definido pelos seus traços) COM O β2,4

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de rampa ρ com o β2,4.

x

hρ

fρ

A recta de intersecção é uma recta fronto-horizontal, pois é ó único tipo de recta que é comum a um plano de rampa e um plano bissector.

Para definir a recta de intersecção do plano ρ com o β2,4, é necessário determinar um ponto que pertence simultaneamente ao plano ρ e ao β2,4.

Através de uma recta auxiliar qualquer do plano ρ, é possível obter o traço da recta no β2,4, o ponto I, que será um ponto da recta de intersecção. r1

H2

H1

F2

F1

I1 ≡ I2

i1 ≡ i2

r2

INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β1,3

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de topo δ com o β1,3.

x

fδ

hδ

A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal.

Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β1,3, tem as suas projecções simétricas em relação ao eixo x, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρ com o β1,3 será simétrica com a sua projecção frontal em relação ao eixo x.

≡ i2

i1

INTERSECÇÃO DE UM PLANO PROJECTANTE (definido pelos seus traços) COM O β2,4

Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção de um plano de topo δ com o β2,4.

x

hδ

fδ

A recta de intersecção é uma recta com a sua projecção frontal sobre o traço frontal do plano, pois o plano δ é um plano projectante frontal.

Tendo em conta que qualquer recta que pertence ao β2,4, tem as suas projecções coincidentes, a projecção horizontal da recta de intersecção do plano ρ com o β1,3 será coincidente com a sua projecção frontal.

≡ i1 ≡ i2

INTERSECÇÃO ENTRE TRÊS PLANOS

INTERSECÇÃO ENTRE TRÊS PLANOS

ENTRE TRÊS PLANOS – primeira possibilidade Primeiro é obtido a recta de intersecção entre dois planos dados.

A seguir é obtido a recta de intersecção entre outros dois planos dados.

O ponto de intersecção entra as rectas obtidas será a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados.

ENTRE TRÊS PLANOS – segunda possibilidadePrimeiro é obtido a recta de intersecção entre dois planos dados.

A seguir é obtido a recta de intersecção entre outros dois planos dados.

As rectas obtidas são de facto uma única recta, que será também a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados.

INTERSECÇÃO DE TRÊS PLANOS – Primeira possibilidadeO estudo que se segue trata de planos com uma intersecção própria, seja um ponto próprio ou uma recta própria.

Pretendem-se a figura geométrica resultante da intersecção de três planos: o plano de rampa ρ, o plano oblíquo α e o plano horizontal ν.

x

(fν)

fρ

hρ

fα

hα

Primeiro é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano ν, a recta i.

A seguir é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano ρ, a recta i’.

O ponto I será o ponto de intersecção entra as rectas i e i’, e será também a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados.

≡ i2F2

F1

i1

F’2

F’1H’2

H’1

i’1

i’2

I2

I1

INTERSECÇÃO DE TRÊS PLANOS – Segunda possibilidadePretendem-se a figura geométrica resultante da intersecção de três planos: o plano de rampa ρ, o plano oblíquo α e o plano vertical δ.

x

hρ

fρ

hα

fαfδ

hδ

Primeiro é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano ρ, a recta i.

A seguir é obtido a recta de intersecção entre o plano α e o plano δ, a recta i’.

As rectas i e i’ são de facto uma única recta, que será também a figura geométrica resultante da intersecção dos três planos dados.

H2

H1

F2

F1

≡ i1

i2

≡ H’1

≡ H’2

≡ F’1

≡ F’2

≡ i’1

≡ i’2