DYNAMIQUE DES OUVRAGES

Ecole des Ponts ParisTech Dpartement Gnie Civil et Construction

Alain PECKER Anne 2014

DYNAMIQUE DES INTERACTIONS

Interaction fluide-structure

Amphi 11

Structure

Fluide

uS(t) p(t)

MOUVEMENT DU FLUIDE

Equation dquilibre: 2

2udiv( ) f

t

+ =

p1 =

2

2up f

t

+ =

Equation de comportement: fluide parfait

2p tr( ) div(u) c div(u)= = =

Elimination de u:

[ ]2

2div( p) div(u)t

=

2p c div(u)=

22

2pc p

t

=

c : vitesse de propagation du son dans leau = 1500 m/s

2 2 2

2 2 2p p pdiv( p) p

x y z

= = + +

yx z

p xrr rp p y div(r )

x y zp z

= = + +

CONDITIONS AUX LIMITES

Interface fluide-structure: Egalit des vecteurs contraintes

Egalit des vitesses normales S.n p n =

Su u.n .nt t

=

2

2up

t

=

Tenant compte de:

2S

2

u1 p n.n t

=

Rayonnement linfini:

p

2 2 22 2

2 2 2p p 2 p pc p c ( )

t r r r t

= + =

Changement de variable: p r p=2 2

22 2p pc

r t

=

Equation dune onde plane: 1 2r p g (r ct) g (r ct)= + +

Condition de radiation de Sommerfeld

r

rp 1 rplim( ) 0r c t

+ =

rlim(r p )

<

MOUVEMENT DE LA STRUCTURE

S Su u (X,q(t))=

Fe : action des forces extrieures

Ff : efforts de pression exercs par le fluide

S SS

u uU qt q

= =

SSf S

u ( F ) n. .U da pn . .Q daq

= =

P

SS

u U Qq

=

( ) ( ) ( ) ( )e f M q .Q Cq .Q K q .Q F F+ + = + P

Domaine frquentiel: i t0A(t) A e =

2 Se

uM i C K q F pn . daq

+ + = +

Structure:

Fluide: 2

f2 p p 0 sur c

+ =

2S S S 2 S

2

u U u u1 p n. n. n. q qn .n t t q q

= = = =

La solution pour le fluide peut scrire

2p S(q)=

22

2pc p

t

=

REPONSE DE LA STRUCTURE

( )2 2 Se uM i C K q F S(q)n . daq

+ + = +

On peut montrer (Le Tallec, 2000) que la puissance virtuelle des termes de couplage dans tout mouvement virtuel de la structure se compose de:

dun terme proportionnel lacclration de la structure dun terme proportionnel au dplacement de la structure dun terme proportionnel la vitesse de la structure

disparaissent basse frquence

RESONATEUR DHELMHOLTZ

F Fluide

m k

L

S

p=0

s

Cas particulier S = s

Equation du piston: ( )2 xxm k u S F + + =

Sollicitation harmonique: i tFe

Equation du fluide: 2 2

2 2d pp 0

c dx

+ =

Condition dinterface: 21 p (0) u u

x

= =

Condition aux limites: p(L) 0=

p(x) Asin (L x)c =

xx p(0) =

xxLcu tg( )c

=

Notations:

Fm SL= masse de fluide

FcL

= frquence acoustique

2 2 FF

Fm k m tg( ) u F

+ =

Interaction fluide-structure

xx F FL LS S cu tg( ) m u tg( )c c

= =

( )2 xxm k u S F + + =

2 2 FF

Fm k m tg( ) u F

+ =

Faible frquence: F

2F(m m ) k u F + + =

Le fluide nagit que par sa masse

Frquence propre du systme donne par 0F

km m

=+

La masse est augmente dune masse apparente Masse ajoute

Frquences plus leves: F F ou >

Le fluide agit par sa masse et sa compressibilit

Frquences propres n sont racines de:

2 2 FF

Fm k m tg( ) 0 + =

2 20 F

F= tg( )

F

0mk , =

m m =

PRESSION HYDRODYNAMIQUE

H

x

y

Hypothses: Fluide incompressible Effet de surface libre nglig Ouvrage rigide

u = u0 sin(t)

p(y,t)

H

x

y

u=u0 sin(t)

py 0 , 0y

= =

2

0px 0 , u sin( t)x

= =

Interface fluide - structure

Fluide p(x ,y H,t) 0= =

p(x ,y, t) 0= =2 2

2 2p pp 0

x y

= + =

2

S21 p .nu

n t

=

2

2 21 ppc t

=

Sparation des variables: p(x , y) f (y)g(x)=

2f g agf

= =

[ ] ax axp(x ,y) Acos(ay) Bsin(ay) Ce De = + +

Conditions aux limites:

p(x , y, t) 0 C=0= =

p(x,y 0, t) 0 B=0y

==

np(x, y H) 0 aH=(2n 1) 2

= = =

2 2

2 2p pp 0

x y

= + =

nxH

n nn 1

yp(x,y) A cos( ) eH

=

=

Condition sur le parement: 20px 0 , u sin( t)x

= =

2nn n 0

n 1

yA cos( ) u sin( t)H H

=

=

H H2nn k n 0 k0 0

n 1

y y yA cos( )cos( )dy u sin( t) cos( )dyH H H H

=

=

n 12

n 02n

( 1)A 2 u H sin( t)+

=

nxn 1

2 i t H0 n2

n 1 n

( 1) yp(x, y, t) 2 H u e cos( ) eH

+

=

=

nxn 1H

0 n2n 1 n

( 1) yp(x,y, t) 2u H cos( ) eH

+

=

=

Acclration arbitraire du barrage: ni t0 0nn 1

u u e

=

=

n 1

0 n2n 1 n

( 1) yp(0,y, t) 2u H cos( )H

+

=

=

Sur le parement du barrage:

00.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8

0

pH u

yH

Rsultante: 200.543u HHydrostatique: 20.50g H

MODELISATION

Forme de lquation de la pression n 1

0 n2n 1 n

( 1) yp(0,y, t) 2u H cos( )H

+

=

=

0p(0,y, t) u H= 0mp(0,y, t) u=

Masse ajoute

65m

90m

PRESSIONS HYDRODYNAMIQUES

010

20

30

40

50

60

70

0 5 10 15 20

Hau

teur

Pression (kPa)

20u 1m / s=

FLUIDE INCOMPRESSIBLE

Compressibilit du fluide:

22

2pc p

t

=

p 0 =

2

2up

t

=

Mouvement de la surface libre:

p(y H) 0= = yp(y H) gu= = 2

2p 1 p 0y g t

+ =

020

40

60

80

100

0.1 1 10Frquence (Hz)

Mas

se a

jout

e (

kt)

Compressibilit +

surface libre

INFLUENCE COMPRESSIBILITE ET MOUVEMENT SURFACE LIBRE

Compressibilit du fluide:

H H 100m / s < 4%T 2

= <

PAREMENT VERTICAL

Mouvement de la surface libre:

1 2 1H H 4.2 m s < 5%T 2

= >

INTERACTION FLUIDE-STRUCTURE

Modifie la rponse vibratoire de la structure Se traduit par: modification de la masse apparente modification de la raideur (haute frquence) modification de lamortissement (haute

frquence)

Phnomnes sismiques: effet de masse ajoute prpondrant

MASSES AJOUTEES

2a 2m a=

2a 2m 1.51 a=

2m R= 2R

2m a= m 0=

t