INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro...

22
INTERPOLASI 3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1 MOHAMAD SIDIQ PERTEMUAN : 11-12

Transcript of INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro...

Page 1: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

INTERPOLASI

3 S K S - T E K N I K I N F O R M A T I K A - S 1

M O H A M A D S I D I Q

PERTEMUAN : 11-12

Page 2: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

MATERI PERKULIAHANSEBELUM-UTS SETELAH-UTS

Pengantar Metode Numerik

Sistem Bilangan dan Kesalahan

Penyajian Bilangan Bulat & Pecahan

Nilai Signifikan

Akurasi dan Presisi

Pendekatan dan Kesalahan

Penyelesaian Persamaan Non Linier

Metode Tabel

Metode Biseksi

Metode Regula Falsi

Penyelesaian Persamaan Non Linier

(Lanjutan)

Metode Iterasi Sederhana

Metode Newton Raphson

Metode Secant

Penyelesaian Persamaan Simultan

Metode Eliminasi Gauss

Metode Gauss Jordan

Penyelesaian Persamaan Simultan

(Lanjutan)

Metode Gauss Seidel

Studi Kasus

Diferensi Numerik

Selisih Maju

Selisih Mundur

Selisih Tengah

Diferensi Tingkat Tinggi

Integrasi Numerik Metode Reimann

Metode Trapezoida

Metode Simpson

Integrasi Numerik (Lanjutan) Metode Gauss

Studi Kasus

Interpolasi Metode Linier

Metode Kuadrat

Interpolasi (Lanjutan) Metode Polinomial

Metode Lagrange

Regresi Linier

Eksponensial

Polinomial

Tugas Akhir Semester

Page 3: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

INTERPOLASI

• Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi

pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada

ke-2 titik tersebut sudah diketahui

• Cara menentukan harga fungsi f dititik x* ε [x0,xn]

dengan menggunakan informasi dari seluruh atau

sebagian titik-titik yang diketahui ( x0, x1, …., xn)

3

x x0 x1 x2 ……. xn

f(x) f(x0) f(x1) f(x2) ……. f(xn)

Page 4: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

TEKNIK UMUM YANG DIGUNAKAN

(i) Membentuk polinomial berderajat ≤ n yg

mempunyai harga fungsi di titik-titik yang

diketahui Polinomial Interpolasi(ii) Masukkan titik yang ingin dicari harga fungsinya

ke dalam polinomial interpolasi

4

Page 5: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

INTERPOLASI LINIER

• ide dasar : pada saat

data dalam bentuk

tabel tidak begitu

bervariasi, sehingga

memungkinkan untuk

dilakukan pendekatan

dengan

menggunakan sebuah

garis lurus di antara

dua titik yang

berdekatan.

Page 6: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

INTERPOLASI LINIER

Page 7: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

CONTOH :

• Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk

berhenti adalah fungsi kecepatan. Data percobaan

berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan

dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan

kendaraan.

• Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah

kenderaan yang melaju dengan kecepatan 45

mil/jam.

Page 8: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

CONTOH :

• maka untuk mencari nilai x=45 maka,

Page 9: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

CONTOH

Kecepatan ke atas roket diberikan sebagai fungsi

waktu pada di bawah. Cari kecepatan pada t = 16

detik menggunakan splines linear.

t v(t)

s m/s

0 0

10 227.04

15 362.78

20 517.35

22.5 602.97

30 901.67

Tabel: Kecepatan sebagai fungsi

dari waktu.

Gambar: kecepatan VS waktu data misalnya roket.

Page 10: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

INTERPOLASI LINIER

10 12 14 16 18 20 22 24350

400

450

500

550517.35

362.78

y s

f range( )

f x desired

x s1

10x s0

10 x s range x desired

,150 t 78.362)( 0 tv

,201 t 35.517)( 1 tv

)()()(

)()( 0

01

01

0 tttt

tvtvtvtv

)15(1520

78.36235.51778.362

t

)15(913.3078.362)( ttv

At ,16t

)1516(913.3078.362)16( v

7.393 m/s

Page 11: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

INTERPOLASI KUADRAT

F(x) = ax2 + bx + c

Page 12: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

INTERPOLASI KUADRAT

• Titik-titik data (x1,y1) (x2,y2) (x3,y3)

• Hitung a, b dan c dari sistem persamaan tersebut dengan Metode Eliminasi Gauss

Page 13: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

CONTOH :

• Diberikan titik ln(8) = 2.0794, ln(9) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513. Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadrat

• Penyelesaian:

• Sistem Pers Linier yang terbentuk.• 64 a + 8 b + c = 2.0794

• 81 a + 9 b + c = 2.1972

• 90.25 a + 9.5 b + c = 2.2513

• Penyelesaian a= -0.0064 b = 0.2266

c = 0.6762

• Sehingga p2(9.2) = 2.2192

Page 14: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

POLINOM NEWTON

• Persamaan Polinom Linier

• Bentuk pers ini dapat ditulis :

• Yang dalam hal ini (1)

• Dan (2)

• Pers ini mrpk bentuk selish terbagi (divided-

difference)

)()(

)()( 0

01

0101 xx

xx

yyyxp

)()( 0101 xxaaxp

)( 000 xfya

)(

)()(

)(

)(

01

01

01

011

xx

xfxf

xx

yya

],[ 011 xxfa

Page 15: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

POLINOM NEWTON

• Polinom kuadratik

• Atau

• Dari pers ini menunjukkan bahwa p2(x) dapat dibentuk dari pers

sebelumnya p1(x). Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti

x=x2 untuk mendapatkan (3)

• Nilai a0 dan a1 pada pers 1 dan 2 dimasukkan pada pers 3

))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp

))(()()( 10212 xxxxaxpxp

))((

)()(

1202

021022

xxxx

xxaaxfa

12

01

01

02

02

2

)()()()(

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

a

Page 16: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

POLINOM NEWTON

• Dengan melakukan utak-atik aljabar,

pers ini lebih disukai

02

0112

02

01

01

12

02

2

],[],[

)()()()(

xx

xxfxxf

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

a

Page 17: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

POLINOM NEWTON

• Jadi tahapan pembentukan polinom

Newton :)()()( 0101 xxaxpxp

)()( 0101 xxaaxp

))(()()( 1020102 xxxxaxxaaxp

))(()()( 10212 xxxxaxpxp

))()(()()( 210323 xxxxxxaxpxp

))()(())(()()( 21031020103 xxxxxxaxxxxaxxaaxp

Page 18: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

POLINOM NEWTON

• Nilai konstanta a0, a1, a2,…, an, merupakan nilai selisih terbagi ,

dg nilai

• Yang dalam hal ini ],,...,,[

],,[

],[

)(

011

0122

011

00

xxxxfa

xxxfa

xxfa

xfa

nnn

0

012111011

),,...,,[],...,,[],,...,,[

],[],[],,[

)()(],[

xx

xxxxfxxxfxxxxf

xx

xxfxxfxxxf

xx

xfxfxxf

n

nnnnnn

ki

kjji

kji

ji

ji

ji

Page 19: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

POLINOM NEWTON

• Dengan demikian polinom Newton dapat

ditulis dalam hub rekursif sebagai :

• Rekurens

• basis

• Atau dalam bentuk polinom yang lengkap

sbb :

],,...,,[))...()(()()( 0111101 xxxxfxxxxxxxpxp nnnnn

)()( 00 xfxp

],,...,,[))...()((

],,[))((],[)()()(

011110

012100100

xxxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxp

nnn

n

Page 20: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

CONTOH SOAL :

• Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan

empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0, 4]

dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x) dengan

x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3.

xi yi ST-1 ST-2 ST-3 ST-4

0.0 1 -0.4597 -0.2484 0.1466 -0.0147

1.0 0.5403 -0.9564 0.1913 0.0880

2.0 -0.4161 -0.5739 0.4551

3.0 -0.99 0.3363

4.0 -0.6536

Page 21: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

CONTOH SOAL :

• Contoh cara menghitung nilai selisih

terbagi pada tabel :

2484.002

4597.09564.0

)(

],[],[],,[

9564.012

5403.04161.0

)(

)()(],[

4597.001

15403.0

)(

)()(],[

02

0112012

12

1212

01

0101

xx

xxfxxfxxxf

xx

xfxfxxf

xx

xfxfxxf

Page 22: INTERPOLASI - Universitas Dian Nuswantoro …dinus.ac.id/repository/docs/ajar/17-METODE_NUMERIK.pdfINTERPOLASI •Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik

CONTOH SOAL :

• Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x0= 0 sebagai titik pertama :

• Nilai sejati f(2.5) adalah• F(2.5) = cos(2.5)=-0.8011

)0.3)(0.2)(0.1)(0.0(0147.0)0.2)(0.1)(0.0(1466.0

)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(

)0.2)(0.1)(0.0(1466.0

)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(

)0.1)(0.0(2484.0)0.0(4597.00.1)()cos(

)0.0(4597.00.1)()cos(

4

3

2

1

xxxxxxx

xxxxpx

xxx

xxxxpx

xxxxpx

xxpx