integrala lebesgue

download integrala lebesgue

of 15

Transcript of integrala lebesgue

CAPITOLUL 3

INTEGRALA LEBESGUE1. Integrarea functiilor simpleFie (X, A, ) un spatiu cu masura nita, f : X R o functie simpla, adican

f (x) =j=1

cj 1Aj (x),

(60)

unden

Aj = {x X | f (x) = cj },

Ai Aj = , i = j,

Aj A, j = 1, n,j=1

Aj = X. (61)

Denitie 3.1.1.(notatieX

Vom numi integrala Lebesgue de la functia simpla f pe spatiul X

f (x)d(x) sauX

f d) suman

f d =X j=1

cj (Aj ).

(62)

Observatie 3.1.1. Fie A X multime masurabila, f functie simpla masurabila.Atunci f (x) I (x) functie simpla, masurabila. Prin denitiedef A

f (x)d(x) =A A

f d =

f IA d.

(63)

Exemplul 3.1.1. a) Fie A X, A A si IA (x) functia caracteristica a multimii A.Atunci

IA (x)d(x) = (A).X

b) Fie X = [a, b], A -algebra multimilor masurabile n sens Lebesgue, = m estemasura Lebesgue, D[0,1]

(x) restrictia functiei Dirichlet pe [0, 1]. Atunci

D[0,1]

[0,1]

(x)dm(x) = 1 m({Q [0, 1]}) + 0 m({[0, 1] \ Q}) = 1 0 + 0 1 = 0.

44

2. Proprietatile integralei LebesgueFie (X, A, ) spatiu cu masura nita.

Teorema 3.2.1.{, } R. Atunci

(linearitatea integralei) Fie f, g functii simple masurabile,

(f + g)d = X X

f d + X

gd.

Demonstratie. Fien n

f (x) =j=1 k

cj IAj (x),

Ai Aj = , i = j,j=1 k

Aj = X,

g(x) =i=1

bi IBi (x),

Bi Bk = , i = k,i=1

Bi = X.

Cum functia f + g primeste valoarea cj + bk pe multimea Cji = Aj Bi , avemn k

f (x) + g(x) =j=1 i=1

(cj + bi ) ICji (x),

unde

masurii, se obtinen k n k n k

j,k

Cjk = X , si multimile Cjk sunt disjuncte. Conform denitiei integralei si aditivitatii

(f +g)d =X n k j=1 i=1

(cj +bk )(Aj Bi ) =j=1 i=1 k n

cj (Aj Bi )+j=1 i=1 n k

bi (Aj Bi ) =

=j=1

cji=1

(Aj Bi ) + i=1

bij=1

(Aj Bi ) = j=1

cj (Aj ) + i=1

bi (Bi ) =

=X

f d + X

gd.(nenegativitatea integralei) Fie f functie simpla, masurabila si

Teorema 3.2.2.f 0 (mod ). Atunci

f d 0.X

Demonstratie. f 0 (mod ) nseamna ca daca cj < 0 pentru un careva j , atunci(Aj ) = ({x X | f = cj }) = 0, prin urmare, f d 0.X

45

Teorema 3.2.3.f g (mod ). AtunciX

(monotonia integralei) Fie f, g functii simple, masurabile si

f d X

gd.

Demonstratie. Se considera functia simpla masurabila h = f g si se aplica teorema3.2.2.

Teorema 3.2.4. Fie f functie simpla masurabila si a f (x) b (mod ). Atuncia(X) X

f d b(X).

Demonstratie. Rezulta din teorema 3.2.3. Teorema 3.2.5. (referitor integrala de la o functie echivalenta cu zero) Daca f estefunctie simpla masurabila si f = 0 (mod ), atunciX

f d = 0.

Demonstratie. Rezulta nemijlocit din denitia 3.1.1. In adevar, daca toti coecienticj sunt nuli, atunci f este identic nula, iar daca cj = 0 pentru un careva j , atunci (Aj ) = ({x X | f = cj }) = 0 sin

f d =X j=1

cj (Aj ) = 0.

Teorema 3.2.6.f d =X X

Daca f, g functii simple masurabile si f = g (mod ), atunci

gd.

Demonstratie. Se considera functia simpla, masurabila h = f g h = 0 (mod ) si Teorema 3.2.7. Daca f functie simpla masurabila, atunciX

se aplica teorema 3.2.5.

f d X

|f |d.

Demonstratie. Daca f functie simpla masurabila, atunci |f | la fel simpla masurabilasi x X :

|f (x)| f (x) |f (x)|.Conform proprietatii de monotonie a integralei

X

|f |d X

f d X

|f |d

sau, echivalent,

f d X X

|f |d.

46

Fie f o functie simpla masurabila xata, : A R o functie numerica denita prin

(A) =A

f d,

A A.

(64)

Teorema 3.2.8. Functia de multimi masura cu semn. Demonstratie. Este clar ca () = 0. Vericam -aditivitatea functiei . FieA = i = j,

Aj , X=

Aj A,n j=1

Ai Aj = , i = j,

f (x) =

n

j=1

j=1

cj IBj (x),

Bi Bj = ,

Bj .n n

Utilizand denitia integralei si -aditivitatea masurii , se obtine

(A) =A n

f d =X

f IA d =j=1 n

cj (Bj A) =j=1

cj Bj i n

Ai

=

=j=1

cj i

(Bj Ai )

=j=1

cji

(Bj Ai ) =i j=1

cj (Bj Ai ) =i A i

f d =

=i

(Ai ).

Denitie 3.2.1.

Vom spune ca functia de multimi : A R se numeste absolut

continue n raport cu masura , daca pentru orice > 0 exista un numar pozitiv , astfel ncat pentru orice E A cu (E) < se verica |(E)| < .

Teorema 3.2.9.

(continuitatea absoluta a integralei) Masura cu semn denita n

(64) este o functie absolut continua n raport cu masura .

Demonstratie. Fie f functie simpla masurabila si c = sup |f (x)|. Daca c = 0, teorema este clara. Fie c > 0. Pentru orice > 0 punem = . Atunci, pentru (E) < c avem |(E)| =E xX

f d E

|f |d c (E) < c

= . c

3. Integrala Lebesgue de la functii marginiteFie (X, A, ) un spatiu cu masura nita, f : X R o functie masurabila marginita pe X . Atunci (a se vedea teorema ??????) exista un sir de functii simple masurabile

(fn )nN uniform convergent la f pe X . Vom considera sirul integralelor respective In = fn d si vom arata ca sirul (In ) este fundamental. In adevar, cum fnX

f pe X, avem

47

> 0 n0 N m, n > n0 ,

x X avem |fm (x) fn (x)| < . (X)

Atunci, pentru m, n > n0 avem

Im In =X

fm d X

fn d =X

(fm fn )d X

fm fn d 0

k N a.. pentru m > k

(Aj ) < , unde c = sup |f (x)|. Pentru asa m avem: c xX j=m+1

j=m+1

Aj

= j=m+1

f d Aj j=m+1

|f |d cj=m+1 Aj

Aj

= c

(Aj ) < c = , c j=m+1

de undem

lim j=m+1

Aj50

= 0.

Trecand la limita n (70) cu m , se obtine -aditivitatea functiei . Asadar,

masura cu semn.

Teorema 3.3.9.

(continuitatea absoluta a integralei) Masura cu semn denita n

(67) este o functie absolut continua n raport cu masura .

Teorema 3.3.10. Daca f R([a, b]), atunci ea este integrabila si n sens Lebesgue,n plusb b

(L)a

f (x)dx = (R)a

f (x)dx.

Demonstratie. A se vedea, de exemplu, [???]. Teorema 3.3.11. (Lebesgue) Functia f , marginita pe [a, b], este integrabila Riemann,atunci si numai atunci cand multimea punctelor ei de discontinuitate are masura Lebesgue egala cu zero.

Demonstratie. A se vedea, de exemplu, [???]. 4. Integrala Lebesgue de la functii nemarginite nenegativeFie (X, A, ) spatiu cu masura nita, f functia masurabila pe X , a.p.t. nita si nenegativa pe X . Pentru N N denim functia fN prin f (x), daca f (x) < N, fN (x) = N, daca f (x) N. Este clar, ca fN M(X) si lim ({f N }) = 0.N

Cum pentru orice N N Lebesgue. In plus, deoarece

fN functie masurabila marginita, fN este integrabila

x X : f1 (x) f2 (x) f3 (x) ...conform teoremei 3.3.3

f1 d X X

f2 d X

f3 d ...

exista limita (nita sau innita)N X

lim

fN d.51

(71)

Denitie 3.4.1. Vom spune ca functia f este integrabila n sens Lebesgue (sumabila),daca limita (71) este nita. In asa caz integrala Lebesgue de la functia f se deneste prin egalitateadef

f (x)d(x) =X X

f d = lim

N X

fN d.

Daca limita (71) este innita, punem

f d = +.X

Teorema 3.4.1. Fie {f, g} M(X),sumabila. Atunci f sumabila si

0 f (x) g(x) (mod ) pe X si g functie

f d X X

gd.

Demonstratie.N N. Atunci

Din conditiile teoremei rezulta fN (x) gN (x) (mod ) pentru

fN d X X

gN d X

gd < +,

de unde rezulta ca lim

N X

fN d este nita si trecand la limita cu N , obtinem

inegalitatea din enuntul teoremei. Fie f functie sumabila pe X, A X multime masurabila si IA (x) functia caracteristica a lui A. Atunci f IA M(X) si cum

0 f (x) IA f (x),conform teoremei 3.4.1 f IA functie sumabila.

Denitie 3.4.2. Daca A X multime masurabila si f IA este o functie sumabila peX , integrala Lebesgue de la functia f pe multimea A se deneste prin f (x)d(x) =A A

f d =X

f IA d.

Teorema 3.4.2.

(linearitatea integralei) Fie f, g functii sumabile nenegative,

{, } R+ . Atunci f + g este sumabila siX

(f + g)d = X

f d + X

gd.

Demonstratie. A se vedea, de exemplu, [1]. Fie f functie nenegativa, sumabila peX si xata, A A si (A) =A

f d.52

Teorema 3.4.3. (continuitatea absoluta a integralei) Functia de multimi este absolutcontinua n raport cu masura .

Demonstratie. Din denitia 3.4.1 rezulta ca pentru > 0 N N astfel ncat0X

(f fN )d =X

f d X

fN d < . 2

Punem =

. Atunci pentru A A cu (A) < avem 2N f d = (f fN + fN )d =X X

0 (A) =X

(f fN )d +X

fN d

+N = . 2 2N

Teorema 3.4.4. Functia de multimi este masura. Demonstratie. A se vedea, de exemplu, [1]. 5. Integrala functiilor nemarginiteFie (X, A, ) un spatiu cu masura nita, f functia numerica masurabila, a.p.t. nita, denita pe X ,

f+ (x) = max{f (x), 0} = f (x) = min{f (x), 0} =

|f (x)| + f (x) , 2 |f (x)| f (x) . 2

Este clar, ca f+ (x), f (x) sunt functii masurabile nenegative, a.p.t. nite si

f (x) = f+ (x) f (x),

|f (x)| = f+ (x) + f (x)

(72)

Denitie 3.5.1. Functia f se numeste integrabila n sens Lebesgue (sumabila), dacaambele functii f+ (x) si f (x) sunt integrabile Lebesgue. In asa caz integrala Lebesgue se deneste prin

f d =X X

f+ d X

f d.

Teorema 3.5.1.sumabila. In asa caz

Functia masurabila f este sumabila, daca si numai daca |f | este

f d X X

|f |d.

53

Demonstratie. Necesitatea. Fie f functie sumabila. Rezulta functiile nenegative f+si f sunt functii sumabile. Atunci, conform linearitatii integralei Lebesgue de la functii nenegative, functia |f | = f+ + f este sumabila si

|f |d =X X

f+ d +X

f d.

Sucienta. Fie |f | functie sumabila. Cum f+ (x) |f (x)|, f (x) |f (x)|, conformteoremei 3.4.1, functiile f+ si f sunt sumabile, prin urmare si f este sumabila. In plus,

f d X X

f+ d X

f d X

f+ d +X

f d =X

|f |d.

Denitie 3.5.2. Fie A X multime masurabila, functia f IA sumabila pe X . Atuncifunctia f IA se numeste sumabila pe A sidef X

f d =A

f IA d.

Si n cazul integralei Lebesgue de la functii nemarginite raman valabile teoremele despre linearitatea integralei Lebesgue, continuitatea absoluta a integralei si -aditivitatea integralei.

6. Trecerea la limita sub semnul integralei LebesgueFie (X, A, ) un spatiu cu masura nita.

Teorema 3.6.1. (Lebesgue) Fie:1) sirul (fn ) de functii sumabile convergente n masura la functia f ; 2) exista asa o functie sumabila nenegativa g , astfel ncat n N : |fn (x)| g(x). Atunci f este sumabila sin X

lim

fn d =X

f d.

Demonstratie.

Cum fn

f , conform teoremei Riesz exista un subsir

(fnk ) : fnk f (mod ). Din conditia 2) |fnk (x)| g(x). Trecand la limita cu k , seobtine |f (x)| g(x) (mod ) si prin urmare, f este sumabila. Pentru > 0 consideram multimile

En () = {|fn f | },54

Fn () = {|fn f | < }.

Atunci

n =X

fn d X

f d X

|fn f |d =En ()

|fn f |d +Fn ()

|fn f |d

(73)

Cum

|fn (x) f (x)| |fn (x)| + |f (x)| 2g(x) (mod )din (73) se obtine

n 2En ()

gd + (X).

(74)

. Cum integrala Lebesgue este absolut continue n 2(X) gd < . raport cu masura , vom gasi asa un > 0 astfel ncat din (E) < sa avem 4Pentru > 0 punem = Cum fn f , rezulta ca n0 N astfel ncat pentru n n0 E

(En ()) = ({|fn f | }) < .Atunci pentru n n0 din (74) rezulta

n < 2 adica, n 0, n .

+ = , 4 2

Teorema 3.6.2.

(lema Fatou) Fie (fn ) un sir de functii masurabile nenegative, ce

converge n masura la functia f . Atunci

f d limX n X

fn d.

Demonstratie. A se vedea, de exemplu, [2]. Teorema 3.6.3. (Bepppo Levi) Fie (fn ) un sir crescator de functii masurabile nenegative si f (x) = lim fn (x). Atuncin

n X

lim

fn d =X

f d.

(75)

55

fn dnN

Demonstratie. Cum (fn ) sir crescator, rezulta X

sir crescator, prin

urmare, exista limita (nita sau innita) a acestui sir numeric. Conform lemei Fatou

f d = limX n X

fn d = lim

n X

fn d.

(76)

In plus, cum fn (x) f (x) avem

fn d X X

f d,

de unde trecand la limita cu n , se obtinen X

lim

fn d X

f d.

(77)

Din (76) si (77) rezulta (75).

7. Integrala Lebesgue-StieltjesFie g : [a, b] R o functie crescatoare, continue la stanga. Atunci g deneste pe

-algebra multimilor boreliene ale segmentului [a, b] o masura nita g masura LebesgueStieltjes. Integrala Lebesgue generata de aceasta masura se numeste integrala LebesgueStieltjes si se noteazab b b

f (x)dg (x) =a a

f dg =a

f (x)dg(x).

In particular, daca g este functia salturilor, g masura discrita si integrala LebesgueStieltjes se reduce la sumab

f (x)dg(x) =a

f (ck )

g

(ck ), saltul functiei g n ck . Daca

unde ck punctele de discontinuitate ale functiei g ,

g (ck )

functia g BV ([a, b]), continua la stanga, atunci g(x) = (x) (x), unde , functii crescatoare, continue la stanga si integrala Lebesgue-Stieltjes de la functia f se deneste prin egalitateab b b

f (x)dg(x) =a

def a

f (x)d(x) a

f (x)d(x).

56

Teorema 3.7.1.functia g , (R S)a

b

Fie f C([a, b]). Atunci exista integrala Riemann-Stieltjes de la

f (x)dg(x) si are loc egalitateab b

(R S)a

f (x)dg(x) = (L S)a

f (x)dg(x).

Demonstratie. A se vedea, de exemplu, [1].

57

Bibliograe[1] .., .., .. . : , 1990. [2] .. . : , 1989. [3] .. . .: , 1953. [4] .., .. . .: , 1989. [5] .. . .: , 1965. [6] ... . .: , 1976. [7] . . . : , 1990. [8] . . .: , 1974. [9] . . .: , 1983. [10] W.Rudin. Analiza reala si complexa. Bucuresti: Theta, 1998. [11] Nicolescu M. Analiza Matematica III. Bucuresti: Ed. Tehnica, 1960. [12] M. Sabac. Analiza reala. Bucuresti, 1988. [13] Chicu G. Probabilitati si procese stocastice. Bucuresti, 1979.

58