INTEGRAL LIPAT

Kalkulus 2

Integral untuk fungsi satu variable, kita membentuk suatu partisi dariinterval [a,b] menjadi interval-interval yang panjangnya Δxk , k = 1, 2, 3, ….n

Dengan cara yang sama, kita definisikan integral untuk fungsi dua variable. Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang masing-masing luasnya A1 , A2 , A3 …… An

n

k

b

a

dxxf1

kkn

x )f(xlim )(

Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk ) dan bentuklah jumlah:

Jika jumlah sub daerah makin besar (n→∞), maka integral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atas daerah R didefinisikan:

AyxfAyxfAyxfAyxf nnn

n

k

kkk

),(.......),(),(),( 222

1

111

n

k

kkkn

R

AyxfdAyxf1

),(lim),(

Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk :

a.

● Di mana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahuludengan menganggap variabel y konstanta, kemudian hasilnyadiintegralkan kembali terhadap y.

),( ),( RR

dxdyyxfdAyxf

b

a

yfy

yfy

dydxyxf

)(

)(

2

1

),(

b.

Di mana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahuludengan menganggap variable x konstanta, kemudian hasilnya diintegralkembali terhadap x.

Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan (b) secara umum akanmemberikan hasil yang sama.

RR

dydxyxfdAyxf ),(),(

b

a

yfy

yfy

dxdyyxf

)(

)(

2

1

),(

INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS PERSEGI

PANJANG

Bentuk umum:

Di mana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }a,b,c dan d adalah konstanta

dxdyyxfdAyxfR

),(),(

R

a b

c

d

CONTOH

1.

2.

3.

4.

1

0

2

1

dxdy

4

2

2

1

22 )( dxdyyx

4

2

2

1

2 )3( dydxyxy

4

2

2

0

)2cos(sin

drdr

INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS BUKAN

PERSEGI PANJANG

Di mana : R = { (x,y) ; f1(x) ≤ y ≤ f2(x) ,a ≤ x ≤ b }

Di mana : R = { (x,y) ; f1(y) ≤ x ≤ f2(y) ,c ≤ y ≤ d }

)(f

)(

2

1

dx ),( ),( .

x

xfy

b

axR

dyyxfdAyxfa

)(f

)(

2

1

dy ),( ),( .

y

yfx

d

cyR

dxyxfdAyxfb

CONTOH

1. 1

0

2

2

x

x

dydxxy

2

1

3

)( .2

y

y

dxdyyx

1

0 2

2

2

.3

xx

x

dydxx

2 2sin

2cos

2 .4

drd

APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA

Aplikasi integral lipat dua yang bentuk umumnya :

1. LUASLuas bidang dapat dipandang sebagai integral lipat dua jika f(x,y) = 1, sehingga integral lipat dua menjadi:

Dalam koordinat polar:

R

dAyxf ),(

RR

dydx dxdy A atau R

dAA

2

1

2

1

d d

R

dAA

CONTOH

1. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh y = 0, x + y = 2 dan 2y = x + 4

2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh parabola-parabola: y2 = 4 – x dan y2 = 4 – 4x

3. Hitung:

dengan R adalah daerah dikuadran pertama yang berada diluar lingkaranr=2 dan di dalam kardioda r = 2(1+cos ѳ)

R

dAA

2. VOLUME

Jika z=f(x,y) adalah persamaan permukaan , maka:

adalah volume benda antara permukaan dan bidang xoy.

Contoh:Hitung volume benda yang dibatasi oleh silinder x2 + y2 = 4 dan bidang-bidang y + z = 4 dan z = 0

R

dxdyyxfV ),(

3. MASSA

Jika f(x,y) dipandang sebagai massa jenis (massa persatuan luas ), maka:

merupakan massa dari benda itu.

Contoh:

Sebuah lamina (pelat tipis) dengan kerapatan f(x,y)=xy dibatasi olehsumbu x, garis x = 2 dan kurva y=x3

Tentukan massa totalnya.

R

dxdyyxf ),(

4. PUSAT MASSA

Jika f(x,y) merupakan massa jenis dari lamina (pelat tipis), makapusat massanya (x,y) adalah sbb :

,

Contoh:Tentukan pusat massa dari lamina yang mempunyai kerapatanf(x,y) = xy dan dibatasi oleh sumbu x , garis x = 2 dan kurva y = x3

S

SY

dAyxf

dAyxfx

M

Mx

),(

),(

S

SX

dAyxf

dAyxfy

M

My

),(

),(

5. MOMEN INERSIA

Momen Inersia dari pelat tipis yang mempunyai kerapatan f(x,y) terhadap sumbu x dan sumbu y adalah:

Sedangkan momen inersia terhadap sumbu z ( titik asal ) :

Contoh:Tentukan momen inersia terhadap sumbu x, y dan z untuk lamina yang mempunyai kerapatan xy dan dibatasi sumbu x , garis = 2 dankurva y = x3

R

x dAyxfyI )..,(2

R

y dAyxfxI )..,(2

R

yxZ dAyxfyxIII )..,()( 22

INTEGRAL LIPAT TIGA

Integral lipat tiga dari suatu fungsi tiga variabel bebas

thd. daerah R, dimana fungsi bernilai tunggal dan kontinu, merupakan suatu

pengembangan dari integral tunggal dan integral lipat dua.

Jika f(x,y,z) = 1, maka integral menjadi:

dapat diartikan pengukuran volume daerah R

R

dVzyxf ),,(

dVdVzyxfR

),,(

Dalam koordinat tegak lurus , integral tersebut dapat dinyatakan dalambentuk:

Di mana:x1 ≤ x ≤ x2

y1 (x) ≤ y ≤ y2(x)z1 (x,y) ≤ z ≤ z2(x,y)

2

1

2

1

2

1

)(

)(y

),(

),(

z)dzdydxy,f(x, ),,(

x

x

xy

x

yxz

yxzR

dVzyxf

CONTOH

2

1

3

2

4

3

dzdydx xyz .1

1

0 x 02

dzdydx 2z .2

x xy

1

0 2-x 0

2

dzdydx 2xz .3

x yx

1

0

2

x

2

0

dzdydx 2z)(x .4

x yx