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Integrais multiplas

(Material em construcao....)

Integrais duplas

Seja uma bola aberta limitada e determinada B((x, y), δ) ⊂ R ⊂ ℜ2 numa regiao de

integracao fechada R ⊂ Df para uma funcao de duas variaveis f : B ⊂ ℜ2 −→ ℜ. A

particao considerada e a colecao dos retangulos

Rij = {(xi, yj) ∈ ℜ2|xi−1 ≤ x ≤ xi+1; yj−1 ≤ y ≤ yj+1}

Existe um ponto aleatorio (∗) qualquer interno a essa particao expressa em termos de

(xi, yj)

P ∗i,j = {(xi, yj)|i ≤ n ∈ ℵ e j ≤ m ∈ ℵ}

Suponha definir uma particao (quadrada) no interior de R por ∆, cuja diagonal define a

norma ||∆|| da particao. A soma de Riemann de e qualquer quantidade

∑

i

f(ui, vi)∆xi∆xj

desde que (ui, vi) ∈ B((x, y), δ)

Theorem 1 Seja f(x, y) uma funcao de duas variaveis definida numa regiao R e L, esta

ultima definida por

lim||∆||→0

∑

i

f(ui, vi)∆Ai = L

Seja ∀ǫ > 0 ⇒ ∃δ > 0, a quantidade ∆ = Ri e uma particao interior de R para qual

||∆|| < δ para quaisquer ponto (ui, vi) ⊂ R. Neste caso teremos que

∣

∣

∣

∣

∣

∑

i

f(ui, vi)∆Ai − L

∣

∣

∣

∣

∣

< ǫ

Theorem 2 A funcao f sera integravel se, em uma regiao fechada R, existir um numero

L tal que

lim||∆||→0

∑

i

f(ui, vi)∆Ai =

∫ ∫

R

f(x, y)dA ≡ L

Teorema de Fubini

Theorem 3 Considere um retangulo A ⊂ Df um subconjunto no domınio de f(x, y) na

forma de um retangulo (funcoes de retas paralelas. A regiao e limitada por A = {(x, y) ∈

ℜ|a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} e a funcao f(x, y) e integravel tal que a soma de Riemann existe

para∫

R

∫

f(x, y)dA =

∫ d

c

[∫ b

a

f(x, y)dx

]

dy

Prova.

Seja o retangulo A particionado por

L1 X L2 = {a ≤ x0 < x1 < · · · < xi−1 < xi < xi+1 < · · · < xn−1 < xn ≤ b} X (1)

{c ≤ y0 < y1 < · · · < yi−1 < yi < yi+1 < · · · < yn−1 < yn ≤ d}

Existe um valor superior e inferior em uma particao

Mi,j = sup{(x, y) ∈ ℜ|xi−1 < xi < xi+1; yj−1 < yj < yj+1}

mi,j = inf{(x, y) ∈ ℜ|xi−1 < xi < xi+1; yj−1 < yj < yj+1}

para um valor qualquer da funcao

mi,j ≤ f(x, y) ≤ Mi,j

∃y ∈ [yi−1, yi+ 1] para todo y escolhido aleatoriamente e fixado, podemos calcular um

unico solido e depois somar sobre todos os elementos

mi,j∆x ≤∫ xi

xi−1

f(x, y)dx ≤ Mi,j∆x (2)

n∑

i

mi,j∆x ≤∫ b

a

f(x, y)dx ≤n∑

i

Mi,j∆x (j fixo)

(3)

Variando na direcao de y

m∑

j

(

n∑

i

mi,j∆x

)

∆y ≤∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)

dy ≤m∑

j

(

n∑

i

Mi,j∆x

)

∆y

m∑

j

n∑

i

mi,j∆x∆y ≤∫ d

c

∫ b

a

f(x, y)dxdy ≤m∑

j

n∑

i

Mi,j∆x∆y

e invariante sob a troca da ordem da soma, tal que a funcao f(x, y) e integravel e a soma

de Riemann existe para

∫

R

∫

f(x, y)dA =

∫ d

c

[∫ b

a

f(x, y)dx

]

dy =

∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y)dy

]

dx

Tecnicas de integracao dupla

Exercise 4 Calcule a integral∫ ∫

Rx3 + 4ydA, com R a regiao limitada pelas equacoes

y = x2 e y = 2x.

Dem.

• Definicao da regiao R

R = {(x, y) ∈ ℜ|x2 ≤ y ≤ 2x e 0 ≤ x ≤ 2}

De fato,

para y1 = y2 ⇒ x2 = 2x ⇒ x2 − 2x = 0 ⇒ x(x − 2) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 2.

Observe que a funcao esta definida dentro de um quadrado R ⊂ A ⊂ ℜ : A =

{(x, y) ∈ ℜ|0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 4}. A regiao R e um subconjunto de A.

Figura 1 – Integracao

• Integracao Segundo o teorema de Fubini dois modos de integracao sao possıveis:

1) Tipo I

∫

R

∫

f(x, y)dA =

∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y)dy

]

dx

=

∫ b

a

[

∫ y1=g1(x)

c

f(x, y)dy +

∫ y2=g2(x)

y1=g1(x)

f(x, y)dy +

∫ d

y2=g2(x)

f(x, y)dy

]

dx

=

∫ b

a

[

∫ y1=g1(x)

c

0dy +

∫ y2=g2(x)

y1=g1(x)

f(x, y)dy +

∫ d

y2=g2(x)

0dy

]

dx

=

∫ b

a

[

∫ y2=g2(x)

y1=g1(x)

f(x, y)dy

]

dx

(4)

Aplicacao no exemplo:

Definindo a regiao: R = {(x, y) ∈ ℜ|x2 ≤ y ≤ 2x e 0 ≤ x ≤ 2}

I =

∫ ∫

R

(x3 + 4y)dA

=

∫ x=2

x=0

∫ y=2x

y=x2

(x3 + 4y)dydx

=

∫ x=2

x=0

[

x3

∫ y=2x

y=x2

dy + 4

∫ y=2x

y=x2

ydy

]

dx

=

∫ x=2

x=0

[

x3(2x− x2) + 4

[

(2x)2

2− (x2)2

2

]]

dx

=

∫ x=2

x=0

2x4 − x5 + 8x2 − 2x4dx

= −x6

6+

8

3x3|20 =

32

3(5)

2) Tipo II

∫

R

∫

f(x, y)dA =

∫ d

c

[∫ b

a

f(x, y)dx

]

dy

=

∫ d

c

[

∫ x1=h1(y)

a

f(x, y)dx+

∫ x2=h2(y)

x1=h1(y)

f(x, y)dx+

∫ b

x2=h2(y)

f(x, y)dx

]

dy

=

∫ d

c

[

∫ x1=h1(y)

a

0dx+

∫ x2=h2(y)

x1=h1(y)

f(x, y)dx+

∫ b

x2=h2(y)

0dx

]

dy

=

∫ d

c

[

∫ x2=h2(y)

x1=h1(y)

f(x, y)dx

]

dy

(6)

Aplicacao no exemplo:

Definindo a regiao: R = {(x, y) ∈ ℜ|0 ≤ y ≤ 4 e1

2y ≤ x ≤ √

y}

I =

∫ ∫

R

(x3 + 4y)dA

=

∫ y=4

y=0

∫ x=√y

x= 1

2y

(x3 + 4y)dxdy

=

∫ y=4

y=0

[

∫ x=√y

x= 1

2y

x3dx+

∫ x=√y

x= 1

2y

4ydx

]

dy

=

∫ y=4

y=0

[

1

4y2 + 4y3/2 − 1

64y4 + 2y2

]

dy

=32

3

Forma pratica: devemos integrar da funcao de ”maior dependencia”para a ”menor

dependencia”.

Exercise 5 Calcule a integral∫

R

∫

xydxdy limitado pelas retas x = 0, y = 0 e pela

parabola y = 1− x2.


R : {(x, y) ∈ ℜ|0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤√

1− y}

• Integracao

∫

R

∫

xydxdy =

∫ 1

0

[

∫ +√1−y

0

xydx

]

dy

=

∫ 1

0

[

y

(

x2

2

∣

∣

∣

+√1−y

0

]

dy

=

∫ 1

0

[

y

(

(√1− y)2

2− 0

)]

dy

=1

2

∫ 1

0

y − y2dy

=1

2

(

y2

2− y3

3

∣

∣

10

=1

4− 1

6=

1

12(7)

Exercise 6 Calcule a area da figura limitada pelas retas x = 0, x = 1,y = 2x2.


R : {(x, y) ∈ ℜ|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2x2}

• Integracao

∫

R

∫

1dxdy =

∫ 1

0

[

∫ 2x2

0

1dy

]

dx

=

∫ 1

0

2x2dx

= 2x3

3|10

=2

3

Exercise 7 Calcule a area da elipse x2

a2+ y2

b2= 1.

R : {(a, b) ∈ ℜ| − a ≤ x ≤ a,−√

b2 − b2

a2x2 ≤ y ≤ +

√

b2 − b2

a2x2}

Seja

I =

∫

R

∫

f(x, y)dA; f(x, y) = 1

I =

∫ a

−a

∫

√

b2− b2

a2x2

−√

b2− b2

a2x2

f(x, y)dydx =

∫ a

−a

∫

√

b2− b2

a2x2

−√

b2− b2

a2x2

1dydx

=

∫ a

−a

2

√

b2 − b2

a2x2dx =

∫ a

−a

2

√

a2b2

a2− b2

a2x2dx

= 2b

a

∫ a

−a

√a2 − x2dx

=⇒ x = a sin θ

= 2b

a

∫ π/2

−π/2

√

a2 − a2 sin2 θ(a cos θdθ) = 2ab

∫ π/2

−π/2

cos2 θdθ

= 2ab

∫ π/2

−π/2

1 + cos 2θ

2dθ = ab

∫ π/2

−π/2

1 + cos 2θdθ

= ab

[

∫ π/2

−π/2

1dθ +

∫ π/2

−π/2

cos 2θdθ

]

= ab

[

(π/2)− (−π/2) +1

2

∫ π

−π

cosudu

]

= ab

[

π +1

2sin u|π−π

]

= ab

[

π +1

2(sin(π)− sin(−π))

]

= πab

(8)

Exercise 8 Calcule o valor da integral dupla para a funcao f(x, y) = x + y na regiao

limitada por y ≥ 0 e x2 + y2 ≤ 4

Exercise 9 Calcule a area A da regiao limitada pelos graficos 2y = 16−x2 e x+2y+4 = 0

(Resp:60, 75).

Figura 2 – Regiao R


R : {(x, y) ∈ ℜ| }

• Integracao

A =

∫

R

∫

f(x, y)dxdy =

∫ 5

−4

∫ 8− 1

2x2

−x

2−2

dydx =

∫ 5

−4

−1

2x2 +

1

2x+ 10dx

= −x3

6+

x2

4+ 10x

∣

∣

5−4 = 60.75

Exercise 10 Calcule o volume V do solido no primeiro ocatante limitada na regiao D

pelo grafico 2x+ y = 2 e z = x2 + y2 + 1 (Resp:1116).

V =

∫

R

∫

f(x, y) dA

• Definicao da regiao R Seja z = f(x, y) = x2 + y2 + 1

R : {(x, y) ∈ ℜ| }

• Integracao

V =

∫

R

∫

f(x, y)dxdy =

Propriedades da integral dupla

•∫

R1∪R2

∫

f(x, y)dA =

∫

R1

∫

f(x, y)dA+

∫

R2

∫

f(x, y)dA

•∫

R

∫

k · f(x, y)dA = k ·∫

R

∫

f(x, y)dA

•∫

R

∫

f(x, y)dA ≥ 0 se f(x, y) ≥ 0

•∫

R

∫

f(x, y)dA ≤∫

R

∫

g(x, y)dA se f(x, y) ≤ g(x, y)


Rx2 + y2dxdy limitada pelo plano xy e pela funcao

x2 + 4y2 = 4. Responda o que foi calculado.



Rf(x, y)dxdy para f(x, y) = 1 limitada pelo plano xy

e pela funcao x2 + 4y2 = 4. Responda o que foi calculado.


Inversao de ordem

A inversao de ordem de integracao pode facilitar (ou dificultar) o calculo das integrais.

Isso ocorre porque dependendo da funcao, a integral da sua invesa podera ser mais simples

(ou mis difıcil) de ser calculada. Vide o exemplo seguinte.

Exercise 13 Calcule a integral abaixo limitada nas regioes√y ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 para

a integral∫

R

∫

sin x3dA

Sol.

Verifique que a funcao esta limitada na regiao

R = {(x, y) ∈ ℜ|√y ≤ x ≤ 1, e 0 ≤ y ≤ 1}

que pode ser de difıcil resolucao. Invertendo o sentido de integracao temos a mesma regiao

Figura 5 – Inversao

descrita pelos limites:

R = {(x, y) ∈ ℜ|0 ≤ x ≤ 1, e 0 ≤ y ≤ x2}

o que nao altera em nada a regiao R. Portanto, as integracoes sao equivalentes

∫

R

∫

sin x3dA =

∫ 1

0

∫ 1

√y

sin x3dxdy =

∫ 1

0

∫ x2

0

sin x3dydx

Verifique que a ultima integral e mais simples de ser exercutada.

∫

R

∫

sin x3dA =

∫ 1

0

∫ x2

0

sin x3dydx =

∫ 1

0

sin x3

∫ x2

0

dydx

=

∫ 1

0

x2 sin x3dx =1

3

∫ 1

0

sin udu =1

3(1− cos 1)

Exercise 14 Calcule a integral dupla para a funcao f(x, y) = xy2 no retangulo R =

{(x, y) ∈ ℜ|1 ≤ x ≤ 2;−5 ≤ y ≤ 7}. Calcule usando a inversao de ordem.

Exercise 15 Calcule area da regiao R = {(x, y) ∈ ℜ|0 ≤ x ≤ √1− y; 0 ≤ y ≤ 1}.

Inverta a ordem e verifique se o resultado e o mesmo.

Mudanca de variavel

Seja φ uma funcao contınua e diferenciavel de classe C1 na regiao R:∫

R

∫

φ(x, y)dA = lim||∆||→0

∑∑

φ(x∗i , y

∗j )∆A

= lim||∆||→0

∑∑

φ(f(u∗i , v

∗j ), g(u

∗i , v

∗j ))

∣

∣

∣

∣

∂

(

x, y

u, v

)∣

∣

∣

∣

dudv

=

∫

S

∫

φ(f(u, v), g(u, v))

∣

∣

∣

∣

∂

(

x, y

u, v

)∣

∣

∣

∣

dudv

(9)

Exercise 16 Calcule a integral

∫ 1

0

∫ 2

0

2xy

x2 + 1dydx

sob a transformacao T (u, v) =<√u, v >.

Varifique que

x =√u

y = v

Calculando a integral dupla

∫ 1

0

∫ 2

0

2xy

x2 + 1dydx =

∫

S

∫

2xy

x2 + 1J

(

x, y

u, v

)

dudv

=

∫

S

∫

2xy

x2 + 1

∣

∣

∣

∣

∂

(

x, y

u, v

)∣

∣

∣

∣

dS =

∫

S

∫

2xy

x2 + 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

dudv

=

∫

R

∫

2√uv

u+ 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

12√u

0

0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

dudv =

∫

R

∫

2√uv

u+ 1

1

2√ududv

=

∫ 1

0

∫ 2

0

v

1 + udvdu =

v2

2|20∫ 1

0

1

1 + udu =

v2

2|20 · ln(1 + u)|10

= 2 ln 2 = ln 4 ≈ 1.386 (10)

Exercise 17 Calcule a area da elipse x2

a2+ y2

b2= 1.

• Primeira transformacao (x, y) → (u, v)

x2

a2+

y2

b2= 1 ≡ u2 + v2 = 1

desde que u = xae v = y

b. Para φ(x, y) = 1 temos

∫

R

∫

dA =

∫

R

∫∣

∣

∣

∣

∂

(

x, y

u, v

)∣

∣

∣

∣

dS =

∫

S

∫

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂x∂v

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

dudv =

∫

S

∫

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a 0

0 b

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

dudv

=

∫

S

∫

|ab− 0|dudv = ab

∫

S

∫

dudv (11)

• Segunda transformacao (u, v) → (r, θ)

Como u2 + v2 = 1 com 0 ≤ r ≤ 1 entao

ab

∫

S

∫

dudv = ab

∫

W

∫∣

∣

∣

∣

∂

(

u, v

r, θ

)∣

∣

∣

∣

dW = ab

∫

W

∫

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂u∂r

∂v∂θ

∂u∂r

∂v∂θ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

drdθ

= ab

∫

W

∫

rdrdθ = ab

∫ 2π

0

∫ 1

0

rdrdθ = ab2π

(

r2

2

∣

∣

10 = πab

Exercise 18 Determine a area em uma rosacea de quatro petalas r = cos 2θ.

Exercise 19 Calcule a area do cırculo de raio R.

Por simetria podemos escolher a coordenada polar

A =

∫

R

∫

rdrdθ

∫ 2π

0

∫ R

0

rdrdθ =

∫ 2π

0

r2

2|R0 dθ =

R2

2

∫ 2π

0

dθ =R2

22π = πR2

(12)

Exercise 20 Dada a funcao f(x, y) = e−(x2+y2), determine o volume abaixo da funcao

em toda a regiao (x, y) ∈ ℜ2 Por simetria podemos escolher a coordenada polar

V =

∫

S

∫

f(x, y)dxdy =

∫ ∞

−∞

∫ ∞

−∞e−(x2+y2)dxdy =

∫

R

∫

f(r, θ)rdrdθ

= limR→+∞

∫ 2π

0

∫ R

0

e−r2rdrdθ =1

2lim

R→+∞

∫ 2π

0

∫ R2

0

e−ududθ

=1

2lim

R→+∞

∫ 2π

0

(

−e−u|R2

0 dθ =1

2lim

R→+∞(1− e−R2

)

∫ 2π

0

dθ

=1

2lim

R→+∞(1− e−R2

)2π = π limR→+∞

(1− e−R2

) = π

(13)


R

∫

(x+ y)dA

limitada pelas retas y = 0, y = 3x, y = x e x+ y = 4. Use a transformacao T (u, v) =<

u− v, u+ v >


R

∫

xy sin y2dxdy na regiao R : [0, 1]X [0, 1] ∈ ℜ2 sob a

transformacao T (u, v) =< u,√v >

Integracao sobre varias regioes

(Em cosntrucao...)

Aplicacoes da integral dupla

• Calculo da superfıcie em uma funcao contınua Suponha uma pequena area

tangencial em um ponto f(x∗, y∗), definido por

σ = lim||∆||→0

∑

i

∆iσ

Supondo que o incremento de area ∆iσ pode ser aproximado pelo resultado da

norma do produto externo,

∆iσ ≈ || ~AX ~B||

podemos encontrar uma aproximacao suficiente para o calculo da superfıcie:

{

~A = ∆ixi+ fx(x∗, y∗)∆ixk,

~B = ∆iyj + fy(x∗, y∗)∆iyk,

~AX ~B =

i j k

∆ix 0 fx(x∗, y∗)∆ix

0 ∆iy fy(x∗, y∗)∆iyk

= −∆ix∆iyfx(x

∗, y∗)i−∆ix∆iyfy(x∗, y∗)j+∆ix∆iyk

A norma do vetor resultante pode ser fornecida aproximadamente por

∆iσ =√

(−∆ix∆iyfx(x∗, y∗))2 − (∆ix∆iyfy(x∗, y∗))2 + (∆ix∆iy)2

=√

(∆ix∆iy)2(

f 2x(x

∗, y∗) + f 2y (x

∗, y∗) + 1)

=√

f 2x(x

∗, y∗) + f 2y (x

∗, y∗) + 1∆ix∆iy

(14)

A area da superfıcie de uma funcao diferenciavel e expressa em termos de suas

derivadas parciais como

σ = lim||∆||→0

∑

i

∆iσ = σ = lim||∆||→0

∑

i

√

f 2x(x

∗, y∗) + f 2y (x

∗, y∗) + 1∆ix∆iy ⇒

σ =

∫

R

∫

√

1 + f 2x + f 2

ydA

Exercise 23 Encontre a area da esfera de raio a.

• Centro de massa Suponha um corpo com distribuicao uniforme tal que a soma

das forcas e o resultado da acao da gravidade em todos os seus pontos,

∑

Fz = ∆P1 +∆P2 +∆P3 + · · ·+∆Pn = P

Podemos definir aqui o momento a medida x · F . O resultado dos momentos em

cada ponto do material e o resultado

∑

My = xP = x1∆P1 + x2∆P2 + x3∆P3 + · · ·+ xn∆Pn

∑

Mx = yP = y1∆P1 + y2∆P2 + y3∆P3 + · · ·+ yn∆Pn

Ou,∑

My = xP =∑

i

xi∆Pi ⇒∫

dMy = xP =

∫

xdP

∑

Mx = yP =∑

i

yi∆Pi ⇒∫

dMx = yP =

∫

ydP

Para centroide em superfıcies curvas podemos considerar o modulo da forca propro-

cional a area:

∆P ≈ ∆A

com constante k = γt a espessura t do corpo e o peso especıfico γ, ou seja,

∆P = γt∆A

My = xP =

∫

xdP

= xtγA =

∫

xtγdA

= xA =

∫

xdA

A quantidade a direita e definida como o momento de primeira ordem.

Mx = yP =

∫

ydP

= ytγA =

∫

ytγdA

= yA =

∫

ydA

A quantidade a direita e definida como o momento de primeira ordem.

Finalemnte o centro de massa do corpo bidimensional sera encontrado pela ralcao

x =

∫

R

∫

xdA∫

R

∫

dA

y =

∫

R

∫

ydA∫

R

∫

dA

Exercise 24 Encontre o centro de massa de um quadrado de lado ”a”com densidade

uniforme.


x =

∫

R

∫

xdA∫

R

∫

dA=

∫ a

0

∫ a

0xdxdy

∫ a

0

∫ a

0dydx

=

∫ a

0a2

2dy

∫ a

0ady

=a3

2

a2=

a

2

(15)

y =

∫

R

∫

ydA∫

R

∫

dA=

∫ a

0

∫ a

0ydydx

∫ a

0

∫ a

0dxdy

=

∫ a

0a2

2dx

∫ a

0adx

=a3

2

a2=

a

2

(16)

O centro de massa e dado por (x, y) = (a2, a2)


Exercise 25 Encontre o centro de massa de uma placa com distribuicao uniforme

limitada pelas funcoes y = 0, x = 0 e x+ y = a.

MX =

∫

R

∫

ydA =

∫ a

0

∫ −x+a

0

ydydx =

∫ a

0

y2

2|−x+a0 dx =

1

2

∫ a

0

(−x+ a)2dx =a3

6

My =

∫

R

∫

xdA =

∫ a

0

∫ −x+a

0

xdydx =

∫ a

0

x(−x+a)dx =

∫ a

0

−x2+axdx = −a3

3+a3

2=

a3

6

A =

∫

R

∫

dA =

∫ a

0

∫ −x+a

0

dydx =

∫ a

0

(−x+ a)dx = −a2

2+ a2 =

a2

2

Calculando as medias respectivamente

x =My

A=

a3

6a2

2

=a

3

y =Mx

A=

a3

6a2

2

=a

3

Finalmente,

(x, y) = (a/3, a/3)

Exercise 26 Calcule o centro de massa em uma area abaixo da funcao y = kx2

limitada pelas retas x = a, y = 0 e y = b. (RESP. (x, y) = (34a, 3

10b))

• Momento de area e momento de inercia Suponha o movimento circular de

uma cota em torno do eixo y. A energia cinetica e dada como

K =1

2mv2

Se o movimento e circular entao temos a velociade angular ~ω relaciona-se com o raio

de giro pela relacao vetorial.

~v = ~ωX~r

A energia de giro pode ser interpreta por

K =1

2mv2

K =1

2m(ωr)2

K =1

2mω2r2

Considerando a velociade angular ω um constante, podemos escrever o elemento

diferencial a energia cinetica em termos do elemento diferencial da massa:

K =1

2mω2r2

dk =1

2ω2r2dm

dk =1

2ω2dI

Ou seja,

K =1

2ω2I

com

I =

∫

r2dm

a inercia do sistema.

Example 27 Suponha um retangulo de base b, altura h e densidade σ constante,

determine:

1 O centro de massa da distribuicao

x =

∫

R

∫

xdA∫

R

∫

dA=

∫ h

0

∫ b

0xdxdy

∫ b

0

∫ h

0dxdy

=hb2

2

hb=

b

2

y =

∫

R

∫

ydA∫

R

∫

dA=

∫ b

0

∫ h

0ydydx

∫ b

0

∫ h

0dxdy

=bh2

2

bh=

h

2

Figura 8 – Regiao de integracao

2 A inercia no ponto medio na direcao de x e de y Podemos calcular a

inercia deslocando as coordenadas no ponto medio (x, y) −→ (x′

, y′

).

I =

∫

r2dm ⇒∫

(x2 + y2)2dm =

∫

x2dm+

∫

y2dm = Ix + Iy

I′

x =

∫

R′

∫

y2σdA =

∫ b/2

−b/2

∫ h/2

−h/2

y2σdydx =

∫ b/2

−b/2

y3

3|h/2−h/2dx =

1

12bh3

I′

y =

∫

R′

∫

x2σdA =

∫ h/2

−h/2

∫ b/2

−b/2

x2σdydx =

∫ h/2

−h/2

x3

3|b/2−b/2dx =

1

12b3h

I′

= I′

x + I′

y =1

12bh3 +

1

12b3h =

1

12bh(b2 + h2)

3 O raio de giracao na direcao de x′

. Se toda a massa fosse concentrada

num ınico ponto, qual o raio de giro dessa massa em torno do eixo que tem a

mesma inercia da placa?

r2A = Ix

Ou seja,

r2xA = Ix

rx =

√

IxA

=

√

112bh3

bh=

h√12

(17)

Exercise 28 Encontre o ponto central, a inericia I e o raio de giracao r para o

cırculo de raio r.


• Teorema do eixo paralelo Suponha um eixo paralelo ao eixo de simetria que

passe pelo centrode da area. Como exemplo, vamos propor um eixo x′

paralelo a x

que passe em C ≡ (x, y) = (x, y).

Ix =

∫ ∫

y2dA =

∫ ∫

(y′

+ d)2dA =

∫ ∫

(y′

)2dA+ 2d

∫ ∫

y′

dA+ d2∫ ∫

dA

Como a integral 2d∫ ∫

y′

dA e nula devido ao centroide localizado nesse eixo, temos

que

Ix =

∫ ∫

y2dA = Ix′ + d2A

Exercise 29 Calcule a inercia Ix no eixo x, sabendo que a inercia na direcao de x

no cento do retangulo e 112bh3.

A distancia d entre os eixos x e x′

e d = h2, com area A = bh, portanto

Ix = I′

x + d2A =1

12bh3 + (

h

2)2bh =

hb3

12+

h3b

4=

1

3hb3

(Em construcao...)

• Funcoes probabilısticas e propriedades

Exercise 30 Verifique se as variaveis aleatorias sao independentes para a funcao

f(x, y) = k · e−(x+y) · I(x) para k = 1

I(x) =

{

1 se (x, y) ≥ 0,

0 se c.c.

Resol.

As variaveis aleatorias serao inependentes se, e somente se

f(x1, x2, x3, ...x,n) =n∏

i=1

f(xi)

Ou seja

f(x, y) = fX(x) · fY (y)

a funcao de probabilidade conjunta pode ser fatorada nas probabilidades marginais.

Ja calculamos as respectivas funcoes marginais

fX(x) = e−x

fY (y) = e−y

Como podemos verificar

fX(x) · fY (y) = e−x · e−y = e−(x+y) = f(x, y)

Portanto, f(x, y) = fX(x) · fY (y) indica que ambas as variaveis aleatorias X e Y

sao independentes.

Exercise 31 Suponha que as vaiaveis aleatorias X e Y sao independentes entre si

com

X ∼ fx(x) = e−x

Y ∼ fy(y) = e−y

Verifique se as novas variaveis Z = X+Y e W = X/Y sao tambem independentes.

– Primeira forma: usando a tecnica de integracao

Primeiramente devemos verificar se a funcao acumulada conjunta pode ser

fatorada

FWZ = FW · FZ

Seja as novas variaveis

Z = X + Y ⇒ Y = −X + Z : reta 1

W =X

Y⇒ Y =

X

W: reta 2

Entao devemos calcular a integral

FWZ =

∫

R

∫

f(w, z)dwdz

na regiao de integracao R. Antes de integrarmos devemos definir qual a regiao

de integracao. A regiao e fechada e encontra-se fazendo a interseccao entre as


retas 1 e 2, respectivamente. Esse ponto e crıtico (Xc) quando Y1 = Y2.

Y1 = Y2

−X + Z =X

W

X ·(

W + 1

W

)

= Z

Xc =ZW

1 +W

Finalmente a regiao de integracao R sera

R : {(x, y) ∈ ℜ|0 < X <ZW

1 +W;

X

W< Y < −W + Z}

Finalmente, vamos calcular a integral

FX,Y (x, y) =

∫

R

∫

f(x, y)dxdy

FZ,W (z, w) =

∫ ZW

1+W

0

∫ −X+Z

X

W

e−(x+y)dydx

=

∫ ZW

1+W

0

[

∫ −X+Z

X

W

e−(x+y)dy

]

dx

=

∫ ZW

1+W

0

e−x

[

∫ −X+Z

X

W

e−ydy

]

dx

=

∫ ZW

1+W

0

e−x[

(−e−y|−X+ZX

W

]

dx

=

∫ ZW

1+W

0

e−x[

−e(x−Z) + e−( x

W)]

dx

=

∫ ZW

1+W

0

[

−e−Z + e−x( 1+W

W)]

dx

= −e−Z

∫ ZW

1+W

0

dx+

∫ ZW

1+W

0

e−x( 1+W

W)dx

Fazendo uma troca de variavel u = x

(

1 +W

W

)

FZ,W (z, w) = −e−Z

∫ ZW

1+W

0

dx+

(

W

1 +W

)∫ Z

0

e−udu

= −e−ZZ

(

W

1 +W

)

+

(

W

1 +W

)

· (1− e−Z)

=

(

W

1 +W

)

· (Ze−Z · (1− e−Z))

= FW (w) · FZ(z)

Conclusao: como FZ,W (z, w) = FW (w) · FZ(z) foi possıvel fatorar a funcao

como produto de suas marginais, entao as variaveis Z e W tambem sao inde-

pendentes.

– Segunda forma: usando o jacobiano

Temos que Z = X +Y e W = X/Y . Obtendo a funcao inversa encontraremos

Y =Z

W + 1funcao Y = w1(Z,W )

X =ZW

W + 1funcao X = w2(Z,W )

Aplicando o jacobiano

J =

[

∂w1

∂Z∂w1

∂W∂w2

∂Z∂w2

∂W

]

=

[

∂Y∂Z

∂Y∂W

∂X∂Z

∂X∂W

]

=

[

1W+1

− Z(W+1)2

WW+1

Z(W+1)2

]

Enontrando a funcao

g(Z,W ) = f(wi, wj)|J |

otemos:

g(Z,W ) = f(wi, wj)

∣

∣

∣

∣

∣

1W+1

− Z(W+1)2

WW+1

Z(W+1)2

∣

∣

∣

∣

∣

g(Z,W ) = e−(ZW

W+1) · e−( Z

W+1)

∣

∣

∣

∣

∣

1W+1

− Z(W+1)2

WW+1

Z(W+1)2

∣

∣

∣

∣

∣

g(Z,W ) = e−(ZW

W+1) · e−( Z

W+1)∣

∣

∣

∣

1

W + 1· Z

(W + 1)2+

W

W + 1· Z

(W + 1)2

∣

∣

∣

∣

= e−(ZW

W+1) · e−( Z

W+1)∣

∣

∣

∣

Z(W + 1)

(W + 1)3

∣

∣

∣

∣

= e−Z( W

W+1+ 1

W+1)∣

∣

∣

∣

Z

(W + 1)2

∣

∣

∣

∣

=Ze−Z

(W + 1)2

= Ze−Z · 1

(W + 1)2

= gZ(Z) · gW (W )

De fato, como pudemos fatorar a funcao inversa com as variaveis Z e W entao

as novas variaveis tambem sao independentes.

g(Z,W ) = gZ(Z) · gW (W )

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