Integraalrekening 1 les 5

Bespreken: §5.5: 57, 59, 77; review: 13, 22, 67, lesuur 1, les 5

Welkom terug!!!Bespreken huiswerkopgaven

§5.5: 57 (blz. 414)

Bereken Let op: door de grenzen ook mee te laten veranderen kan het korter genoteerd worden.

sec2 t4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dt

0

π

∫

sec2 t4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dt∫ = sec2 u( )4du∫ =

stel: u = t4

, dan: dudt

= 14

, dus: dt = 4du

4 sec2 u( )du∫ =4 tan(u)+C[ ]

4 tan t4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥0

π

= 4 tan π4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − tan 0( )⎛

⎝⎜⎞⎠⎟=

4 1− 0( ) = 4

sec2 t4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ dt

0

π

∫ =

§5.5: 59 (blz. 414)


e1x

x2dx

1

2

∫ stel: u = 1x

, dan: dudx

= −1x2 , dus: dx = −x2du

e1x

x2dx∫ = eu

x2⋅−x2 du∫ = eu ⋅−1du∫ = − eu du∫ = − eu +C⎡⎣ ⎤⎦

− e12 − e1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= e1 − e

12− e

1x⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥1

2

=e1x

x2dx

1

2

∫ =

§5.5: 77 (blz. 414)

Bereken door deze integraal op te delen in

twee integralen en één van deze integralen als een oppervlakte

te benaderen.

is een oneven grafiek met als symmetriepunt x = 0

dus de integraal op het interval [-2, 2] van deze functie is 0.

(3+ x) 4 − x2 dx−2

2

∫

(3+ x) 4 − x2 dx−2

2

∫ = 3 4 − x2 dx +−2

2

∫ x 4 − x2 dx−2

2

∫y = x 4 − x2

§5.5: 77 (blz. 414)

Dus:

is een halve cirkel met straal 2. De oppervlakte

hiervan is dus:

Dus:

3 4 − x2 dx +−2

2

∫ x 4 − x2 dx−2

2

∫ = 3 4 − x2 dx−2

2

∫ + 0

y = 4 − x2

y = π ⋅22 ⋅ 12= 2π

3 4 − x2 dx−2

2

∫ = 3⋅2π = 6π

(3+ x) 4 − x2 dx−2

2

∫ = 6π

review: 13 (blz. 417)

Bereken u − 2u2

udu

1

9

∫

u − 2u2

udu

1

9

∫ = u−12 − 2udu

1

9

∫ = 2u12 − u2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥1

9

=

2 u − u2⎡⎣ ⎤⎦19= 2 9 − 92( )− 2 1 −12( ) = −75 −1= −76



ex

1+ e2xdx

0

1

∫ stel: u = ex , dan: dudx

= ex , dus: dx = duex

ex

1+ e2xdx∫ = 1

1+ u2du∫ = arctan(u)+C[ ]

arctan(ex )⎡⎣ ⎤⎦01=

arctan(e1)− arctan(e0 ) = arctan(e)− π4

ex

1+ e2xdx

0

1

∫ =


Laat zien dat als f’ continu is op [a, b], dat geldt: Let op: door de grenzen ook mee te laten veranderen kan het korter genoteerd worden.

2 f (x) f '(x)dx = f (b)( )2 − f (a)( )2a

b

∫

2 f (x) f '(x)dx =∫

stel: u = f (x), dan: dudx

= f '(x), dus: du = f '(x)dx

2 udu =∫ 2 12u2 +C⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

2 12f (x)2⎡

⎣⎢⎤⎦⎥a

b

=2 12f (b)2 − 1

2f (a)2⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

f (b)2 − f (a)22 f (x) f '(x)dx =a

b

∫

lesuur 2-3, les 5

§6.1 Areas Between CurvesChapter 6 Applications of Integration

Voorbeeld 1

Bereken de oppervlakte onder de grafiek van op het interval [1, 3].f (x) = − 1

2 x2 + 3x − 2

− 12x2 + 3x − 2dx =

1

3

∫

− 16x3 + 3

2x2 − 2x⎡

⎣⎢⎤⎦⎥1

3

= 113

Voorbeeld 2

Bereken de oppervlakte tussen de grafiek van g(x) en de x-as, op het interval [1, 3], als

− x2 − 5x + 4dx =1

3

∫

g(x) = (x − 3)2 + x − 5

− (x − 3)2 + x − 5dx =1

3

∫

− 13x3 − 5

2x2 + 4x⎡

⎣⎢⎤⎦⎥1

3

= 103

Areas Between Curves

Wat is de oppervlakte tussen de functies uit de voorbeelden op het interval [1, 3]?

Dat is dus:

f (x)dx +1

3

∫ − g(x)dx =1

3

∫113− −10

3= 213= 7


Dit geldt altijd zo!

Als je de oppervlakte S tussen twee functies f en g moet berekenen op een interval [a, b], waarbij f en g continu zijn en f(x) ≧ g(x) op het hele interval, dan geldt:

(Het is dus altijd de ’bovenste’ functie minus de ’onderste’ functie.)

(Tip: maak altijd een schets voor jezelf!)

S = f (x)− g(x)dxa

b

∫ = f (x)dxa

b

∫ − g(x)dxa

b

∫

Voorbeeld 3

De functies en sluiten een gebied V in. Bereken de oppervlakte van het gebied.

0,5x = x − 2 +1

f (x) = 0,5x g(x) = x − 2 +1

0,5x −1= x − 214 x

2 − x +1= x − 214 x

2 − 2x + 3= 0x2 − 8x +12 = 0(x − 2)(x − 6) = 0x = 2∨ x = 6

x − 2 +1− 0,5xdx2

6

∫ = 23 (x − 2) x − 2 + x − 1

4 x2⎡⎣ ⎤⎦2

6=43

Ook als twee functies elkaar snijden zul je altijd de integraal van de bovenste functie minus de onderste functie moeten nemen om de oppervlakte tussen de grafieken te krijgen.

(maar ook deze moet je in delen berekenen!)

V1

V2

V3g

f

a b c d


V =V1 +V2 +V3 = f (x)− g(x)dxa

b

∫ + g(x)− f (x)dx +b

c

∫ f (x)− g(x)dxc

d

∫= f (x)− g(x) dx

a

d

∫

Voorbeeld 4

Gegeven zijn de functies en Bereken de oppervlakte die de functies insluiten op [0, π].

Op het interval [0, π] geldtals

f (x) = sin(x) g(x) = cos(x)+1

f (x) = sin(x)

g(x) = cos(x)+1

sin(x) = cos(x)+1x = 1

2π ∨ x = π

Voorbeeld 4

Gegeven zijn de functies en Bereken de oppervlakte die de functies insluiten op [0, π].

Op het interval [0, π] geldtals

f (x) = sin(x) g(x) = cos(x)+1

sin(x) = cos(x)+1x = 1

2π ∨ x = π

V = cos(x)+1− sin(x) dx0

π

∫ =

cos(x)+1− sin(x)dx +0

12π

∫ sin(x)− cos(x)−1dx12π

π

∫ =

sin(x)+ x + cos(x)[ ]012π + −cos(x)− sin(x)− x[ ]1

2ππ = 2

Deze oppervlakte hoeft niet altijd ingesloten te worden op een horizontaal interval, maar kan ook op een verticaal interval ingesloten worden:


Het boek legt dit op een moeilijkere/andere manier uit.

Om dit soort vraagstukken op te lossen spiegel je eerst de hele functie in de lijn y = x. Ofwel: Maak van alle x’en een y en andersom.

En los hem daarna op zoals we nu al continu hebben gedaan.


Voorbeeld 5

Gegeven zijn de formules en Bereken de oppervlakte tussen deze twee functies op het gebied tussen de lijn y = -1 en y = 1.

x = y2 − 2 x = ey

ex − (x2 − 2)dx−1

1

∫ =

ex − 13 x

3 + 2x⎡⎣ ⎤⎦−11=

e1 − 13 ⋅1

3 + 2 ⋅1− e−1 − 13 ⋅(−1)

3 + 2 ⋅−1( ) =e− 1

e− 2

3 + 4 = e−1e+ 3 13

Voorbeeld 6

De functies en sluiten een oppervlakte A in. Bereken voor welke waarde van b de lijn x = b de oppervlakte verdeelt in twee gelijke stukken.

Direct is te zien dat b = 1 de oplossing is.

f (x) = x2 g(x) = 2x

x2 = 2x x(x − 2) = 0 x = 0∨ x = 2

2x − x2 dx0

2

∫ = x2 − 13 x

3⎡⎣ ⎤⎦02= 22 − 1

3 ⋅23 − 0 =

43

2x − x2 dx0

b

∫ = 23

b2 − 13 ⋅b

3 = 23

Voorbeeld 7 (vraag 45, blz. 428)De dwarsdoorsnede van een vliegtuigvleugel is hieronder weergeven. De dikte van de vleugel is op 11 plaatsen gemeten die telkens 20 cm van elkaar aflagen. Deze diktes zijn: 5,8; 20,3; 26,7; 29,0; 27,6; 27,3; 23,8; 20,5; 15,1; 8,7 en 2,8.

Schat de oppervlakte van deze dwarsdoorsnede met behulp van een Riemannsom. Gebruik daarvoor de middensom.

We hebben 10 intervallen, maar weten in die intervallen niet de middelste waarde. Dus maken we 5 intervallen met een breedte van 40 cm. (Let op er zijn meerdere schattingen juist!)A =△x ⋅( f (x1)+ f (x2 )+ f (x3)+ f (x4 )+ f (x5 ))= 40 ⋅( f (20)+ f (60)+ f (100)+ f (140)+ f (180))= 40 ⋅(20,3+ 29 + 27,3+ 20,5 + 8,7) ≈ 4232 cm2

Einde les 5

Huiswerk: §6.1§6.1: 1, 5, 9, 11, 13, 17, 23, 29, 51;

Nu is het glas half leeg, maar hoe vol zit het nou werkelijk?Volgende week: volumes berekenen

Integraalrekening 1 les 5

Education

Transcript of Integraalrekening 1 les 5