Instituto de Astronomía, Universidad Nacional Autóma de...

¿Qué es una estrella?

Luis A. AguilarInstituto de Astronomía,

Universidad Nacional Autóma de México([email protected])

Parte I

¿Qué es una estrella? Al contemplar la bóveda celeste, muchas veces nos

preguntamos, ¿qué son esos puntos luminosos quese ven en lo alto?

¿Qué es una estrella? Desde pequeños sentimos una gran fascinación por

esos puntos luminosos llamados “estrellas”.

¿Qué es una estrella? Nuestros antepasados daban gran importancia a las

estrellas y al Sol. Orientaban sus templos de talforma que marcaban alineamientos estelaresimportantes.

El templo de las siete doncellas en Dzibilchaltúnestá orientado de forma tal que el sol aparece porsu puerta cada equinoccio.

Representación de unaestrella

¿Qué es una estrella? Seguramente que alguna vez se han preguntado:

– ¿Cómo es por dentro una estrella?– ¿Qué sucede dentro de un estrella?– ¿Por qué brilla una estrella?– ¿Cuánto dura encendida una estrella?

En esta lección veremoscómo con un poco de Físicade Preparatoria, podemoscontestar estas preguntas.

¿Qué es una estrella? La estrella más cercana a nosotros es el Sol.

Aunque las estrellas se ven muy diferentes al Sol, enrealidad, todas ellas son soles, pero muy distantes.

Por su cercanía, el Sol es la estrella que mejor conocemos,por esto usaremos al Sol para entender ¿qué es una estrella?

¿Qué sabemos sobre el Sol? Partimos de algunos datos que se han medido:

–Tamaño: El Sol tiene un radio de 7x108 m, obien 700,000 km (110 veces el de la Tierra).

–Masa: 2x1030 kg, o sea 330,000 veces lamasa de la Tierra.

–Temperatura: La temperatura en susuperficie es de 6,000° C.

–Brillo: 3.8x1026 J/s, esto es igual a 3.8x1020

Megawatts y equivale a la detonación de¡90,000 bombas nucleares de 1 megatóncada segundo!

¿Por qué es esférico el Sol? ¿Se han preguntado, por qué es esférico el Sol?

El Sol es esférico porque las fuerzas que ledan forma actúan de igual manera en todasdirecciones, es decir, son isotrópicas.

Estas fuerzas son la fuerza de gravedad yla fuerza producida por la presión térmica.


La fuerza de gravedad es la responsablede que estemos pegados al suelo y nosalgamos volando.

También es responsable de que laLuna le dé vueltas a la Tierra y no sevaya volando.


La presión térmica es la que hace quelas cosas calientes exploten, como losvolcanes.

Por esto es que las ollas de presiónque se usan para cocinar tienen queser fuertes y cerrar muy bien.


La gravedad comprime al Sol mientras que lapresión térmica del interior tiende aexpandirlo.Para que una estrella permanezca sincambio, es necesario que las dos fuerzasestén en perfecto balance en toda la estrella.

A este balance se le llama equilibrio hidrostático.

¿Por qué no cambia el tamañodel Sol?

Examinemos en detalle la condición de equilibriohidrostáticoImaginemos una capa esférica de radio ry grosor Δr dentro del Sol.

r

r + Δr


Examinemos en detalle la condición de equilibriohidrostáticoImaginemos una capa esférica de radio ry grosor Δr dentro del Sol.Sobre su cara exterior, el peso de lascapas más externas ejerce una presiónhacia adentro.


Examinemos en detalle la condición de equilibriohidrostáticoImaginemos una capa esférica de radio ry grosor Δr dentro del Sol.Sobre su cara exterior, el peso de lascapas más externas ejerce una presiónhacia adentro.Sobre su cara interior, la presión térmicadel interior ejerce una presión haciafuera.


Examinemos en detalle la condición de equilibriohidrostáticoImaginemos una capa esférica de radio ry grosor Δr dentro del Sol.Sobre su cara exterior, el peso de lascapas más externas ejerce una presiónhacia adentro.Sobre su cara interior, la presión térmicadel interior ejerce una presión haciafuera.Para que esta capa permanezca enequilibrio, es necesario que la presión enla cara interior sea mayor que la presiónen la capa superior, siendo la diferenciaigual a la presión ejercida por el peso dela capa.

P

P+ΔP

ΔP


Examinemos en detalle la condición de equilibriohidrostáticoEsto es como un levantador de pesasmontado sobre una báscula: El atletatiene que soportar el peso de las pesas,pero la báscula tiene que soportar a laspesas ¡y al atleta!

P

P+ΔP

ΔP


Examinemos en detalle la condición de equilibriohidrostáticoLa presión que ejerce la capa es igual alpeso de la capa dividido entre el área desu cara interior:

P

P+ΔP

ΔP!P =

Peso

Area=(4"r2!r)#g

4"r2= #g!r

Aquí, ρ es la densidad de la capa y g la aceleración local de la gravedad:

! =Masa del Sol

Volúmen del Sol=

MSol

(4 / 3)"rsol3,

g = #GMr

r2

G es la constante universalde gravedad y Mr es la masadel Sol interior a la capa deradio r.


¿Cuál es la densidad media del Sol?

Usando los valores de la masa y el radio del Sol obtenemos:

! =2 "1030 kg

(4 / 3) " (3.1316) " (7 "108 m)3= 1,390 kg / m

3

Comparemos este valor con el correspondiente a la Tierra:

! =6 "1024 kg

(4 / 3) " (3.1316) " (6.4 "106 m)3= 5,460 kg / m

3

Como podemos ver, la densidad del Sol es menor a la de laTierra. De hecho, la densidad del Sol es muy parecida a la delagua, que es de 1,000 kg/m3.


¿y cuánto vale la aceleración de la gravedad delSol?La masa interior al cascarón de radio r puede ser calculada como ladensidad media del Sol multiplicada por el volúmen interior delcascarón:

Mr= ! " (4 / 3)#r3,

Con lo que podemos ahora calcular la aceleración de lagravedad del Sol en la posición del cascarón como:

g = !GMr

r2

= !4"

3G#r


¿Qué pasaría si “apagáramos” la presión térmicadel Sol y dejáramos que la gravedad ganara?Un ejercicio interesante que podemos hacer para ver qué tanimportante es el equilbrio hidrostático en el Sol, es imaginar queapagamos el calor interno del Sol y dejamos que la gravedadcomprima al Sol como si fuera un limón que exprimimos.

Un pedazo del Sol en su superficie secaerá hacia el centro debido a laaceleración de la gravedad.


¿Qué pasaría si “apagáramos” la presión térmicadel Sol y dejáramos que la gravedad ganara?Un ejercicio interesante que podemos hacer para ver qué tanimportante es el equilbrio hidrostático en el Sol, es imaginar queapagamos el calor interno del Sol y dejamos que la gravedadcomprima al Sol como si fuera un limón que exprimimos.

Un pedazo del Sol en su superficie secaerá hacia el centro debido a laaceleración de la gravedad.Usando la fórmula de movimientouniformemente acelerado, obtenemosque recorrerá todo el camino hasta elcentro en un tiempo que llamaremos tg

rSol = !(1 / 2)gtg2


¿Qué pasaría si “apagáramos” la presión térmicadel Sol y dejáramos que la gravedad ganara?Despejando el tiempo de colapso gravitacional obtenemos:

rSol = !(1 / 2)gtg2

" tg = !2rSol

g=

2rSol3

GMSol

Evaluando esta fórmula numéricamente, obtenemos:

tg =2 ! (7 !10

8m)

3

(6.67 !10"11N im

2/ kg

2) ! (2 !10

30kg)

= 2,268s = 37min, 48seg

El resultado es sorprendente: si no existiera la presión térmica para oponerse a lagravedad, ¡el Sol se colapsaría en aproximadamente media hora!

Es obvio que en el Sol debe haber un balance muy estricto entre lagravedad y la presión térmica.

¿Cuál es la presión en el centrodel Sol?

Usaremos ahora la condición de equilibrio hidrostático para averiguarcuánto vale la presión en el centro del Sol.

Recordemos que la relación que obtuvimos es:

!P = "g!r

Sustituyendo aquí la expresión que encontramos para la aceleraciónde la gravedad:

g = !4

3"G#r

Encontramos finalmente la ecuación de equilibrio hidrostático,

!P = " (4 / 3)#G$2r!r


!P = " (4 / 3)#G$2r!r

La ecuación de equilibrio hidrostático

¿Qué nos dice esta ecuación?Es muy importante entender lo que nos dice esta ecuación.


!P = " (4 / 3)#G$2r!r


Del lado izquierdo tenemos un incremento en presión: ΔP



!P = " (4 / 3)#G$2r!r



Del lado izquierdo tenemos un incremento en presión: ΔP,Mientras que del lado derecho tenemos un decremento enradio: -Δr.

Esta ecuación nos dice que a medida que viajamos del centro del Sol haciasu superficie, la presión va disminuyendo (fíjense en el signo negativo).O Si lo prefieren, a medida que viajamos de la superficie del Sol hacia sucentro, la presión va aumentando.


!P = " (4 / 3)#G$2r!r


Esto es algo que resulta muy familiar aquien ha participado alguna vez en formaruna pirámide humana.Los que están abajo sienten una presiónmucho mayor que los que están arriba dela pirámide.


!P = " (4 / 3)#G$2r!r


Evaluando numéricamente esta ecuación:

!P = "(4 / 3)(3.1416) # (6.67 #10"11N $m

2/ kg

2) #

(1, 390 kg / m3)2# (7 #10

8m) !r =

" (379,000N / m3)!r


!P = " (4 / 3)#G$2r!r



!P = "(379,000N / m3)!r

y graficándola:

Presión

radio


!P = " (4 / 3)#G$2r!r



!P = "(379,000N / m3)!r

y graficándola:

P

r

El que está abajo tiene quesoportar una presiónmayor,


!P = " (4 / 3)#G$2r!r



!P = "(379,000N / m3)!r

y graficándola:

P

r

El que está abajo tiene quesoportar una presiónmayor, y a medida quesubimos la presióndisminuye.



!P = "(379,000N / m3)!r

P

rP=0

rSol

Si empezamos en la superficie del Sol, donde la presión es cero:

r = rSol

! P = 0



!P = "(379,000N / m3)!r

P

rΔPrSol-Δr

Si empezamos en la superficie del Sol, donde la presión es cero,y damos un paso Δr hacia el centro, la presión sube un ΔP.

r = rSol

! "r # P = "P



!P = "(379,000N / m3)!r

P

r

Si empezamos en la superficie del Sol, donde la presión es cero,y damos un paso Δr hacia el centro, la presión sube un ΔP; yseguimos dando pasos sucesivos ….

r = r

Sol! "r ! "r !!, # P = "P ! "P !!



!P = "(379,000N / m3)!r

P

r

Pc

r =0

Si empezamos en la superficie del Sol, donde la presión es cero,y damos un paso Δr hacia el centro, la presión sube un ΔP; yseguimos dando pasos sucesivos ….Llegaremos al centro del Sol, donde la presión Pc es igual a,

r = 0 ! P = Pc

= (379,000N / m3) " (7 "10

8m)

= 2.65 "1014N / m

2


Pc=2.65 !10

14N / m

2

Esta es una presión enorme que equivale a 2,600 millones deveces la presión atmosférica en la superficie de la Tierra.Para ponerlo en perspectiva, diremosque esto es igual al peso de unbloque de granito de 100 m por ladoapoyado sobre ¡una estampilla decorreo!


Pc=2.65 !10

14N / m

2

Veamos que implica esta tremenda presión para el estado en queesta la materia en el centro del Sol.

Una presión tan grande, ¡puede romper losmismos átomos con que esta hecho el Sol!


El Sol esta hecho casi en su totalidad de átomos de hidrógeno.El hidrógeno es el átomo más sencillo que hay. Sólo tiene unapartícula cargada positivamente en su núcleo y un electrón cargadonegativamente dando vueltas a su alrededor.


El protón en el núcleo tiene una masa de mp=1.67x10-27kg, mientrasque la masa del electrón es despreciable.

Protón

Electrón


Un átomo de hidrógeno sólo puede sobrevivir sin romperse aenergías menores a 13.6 electrón-Volts, lo cual corresponde a2.18x10-18 Joules.A energías mayores, el electrón es arrancado del protón y lo quequeda es un gas de protones y electrones libres llamado plasma.


¿Es el interior del Sol un plasma?

Para averiguarlo, notamos primero que una presión corresponde auna densidad de energía, ya que:

Presion =Fuerza

Area=Fuerza ! distancia

Area ! distancia=Energia

Volumen

La presión central del Sol puede interpretarse como una densidad deenergía de 2.65x1014 Joules/m3.


¿Es ésta densidad de energía suficiente para romper los átomos del Sol?

Para averiguar esto, necesitamos primero calcular cual es la densidadpromedio de átomos en el Sol.Para esto dividimos la densidad media del Sol, que ya calculamos,entre la masa de un átomo de hidrógeno, que tomaremos igual a lamasa del protón, pues recordamos que la masa del electrón esdespreciable.

!H =1,390 kg / m

3

1.67 "10#27kg

= 8.34 "1029 atomos / m3

Multiplicando esta densidad por la energía necesaria para “romper”un átomo de hidrógeno, sacamos la densidad de energía mínimanecesaria para convertir en plasma al hidrógeno:

(8.34 !1029atomos / m

3)! (2.18 !10

"18Joules / atomo) = 1.8 !10

12J / m

3


¡Pero esta densidad de energía es menor que la que habíamoscalculado existe en el centro del Sol! (Pc = 2.65x1014 J/m3).

1.8 !1012Joules / m

3

La conclusión inescapable es que el interior del Sol, no soloesta en estado gaseoso, sino que constituye un plasma deprotones y electrones libres.

¿Qué tan caliente es el interiordel Sol?

Ahora que ya sabemos cuanto vale la presión en el centro del Sol,podemos calcular su temperatura con la ecuación de gas ideal:

PV = NkT

P es la presión, V el volumen, N el número de partículas, T es latemperatura y k=1.38x10-23 J/ ºK, es la constante de Boltzmann.

¿Qué tan caliente es el interiordel Sol?PV = NkT

Esta ecuación nos dice algo que es intuitivamente obvio:

Si mantenemos una cantidad fija de gas a volumen constante,la presión aumenta a medida que aumenta la temperatura.

N ,V constantes! P "T



Si aumentamos una cantidad de gas a volumen constante, lapresión aumenta a medida que aumenta la cantidad de gas.

V , T constantes! P " N



Si aumentamos el volumen de una cantidad fija de gas atemperatura constante, la presión disminuye a medida queaumenta el volumen del gas.

N , T constantes! P " (1 /V )



Si aumentamos la cantidad de gas a presión y volumenconstantes, la temperatura disminuye a medida que aumentala cantidad del gas.

P, V constantes! T " (1 / N )


Volviendo a la determinación de la temperatura del centro del Sol,

Tc=PcV

Nk=Pc

nk

Donde hemos dividido entre V el numerador y el denominador dela expresión intermedia, y n = N/V es la densidad media departículas en el Sol.


Volviendo a la determinación de la temperatura del centro del Sol,

Tc=PcV

Nk=Pc

nk

Donde hemos dividido entre V el numerador y el denominador dela expresión intermedia, y n = N/V es la densidad media departículas en el Sol.

La densidad de partículas es igual a la densidad ρH de átomos dehidrógeno que ya habíamos obtenido, multiplicada por 2. Larazón de esta multiplicación es porque al ser el interior del Sol unplasma, cada átomo contribuye dos partículas libres: un protón yun electrón.

¿Qué tan caliente es el interiordel Sol?

Tc=Pc

nk

La temperatura central del Sol es entonces,

Tc=

2.65 !1014Joules / m

3

2 ! (8.34 !1029atomos / m

3)(1.38 !10

"23J / °K )

= 1.15 !107°K

o sea de ¡once y medio millones de gradoscentígrados!

¿Qué hemos aprendido?Recapitulemos lo que hemos aprendido hasta ahora.

•Hemos visto que la forma y el tamaño del Sol son debidos aun balance entre la fuerza de gravedad y la presión térmica.A este balance se le llama equilibrio hidrostático.

•Utilizando las ecuaciones de la fuerza de gravedad y de la leyde gas ideal, hemos podido deducir la temperatura y presiónen el centro del Sol.

•También hemos averiguado que la presión central del Sol estan grande que rompe los átomos de hidrógeno, por lo que elinterior del Sol es un plasma.

¿Qué hemos aprendido?Recapitulemos lo que hemos aprendido hasta ahora.

La lección más importante es que, conun poco de física, hemos podidoaveriguar las condiciones en el centrodel Sol, un lugar que no podemosobservar directamente, pero quepodemos entender con la inteligencia.

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