Ingo Rechenberg

PowerPoint-Folien zur 2. Vorlesung „Evolutionsstrategie I“

Logik des Experimentierens und Optimierens -

Starke Kausalität und Schwache Kausalität

Norbert Wiener1894 - 1964

Kybernetik

Die Kunst des Steuerns

in Technik und Biologie

Kybernetiker in den 1960er Jahren

S10 32S S S

+C = 0

C = 1

Griechisch: kυβερνήτης = Steuermann

1960 bis 1970

Die Blütezeit der Kybernetik in Deutschland

Das 1971 erschienende Buch „Alles ist Kybernetik“

von V. H. Brixwar das Ende der

Kybernetik

Kybernetisches Modell „Schwarzer Kasten“

?

Symbol für ein Versuchobjekt

Text

Analyse des Modells „Schwarzer Kasten“

?A

ktio

nsp

ole

Reakti

on

spole

Akt

ion

Reakt

ion

Unsichtbare innere

Struktur

Die abstrahierte Idee des schwarzen Kasten

regt dazu an, allgemein über die Eigenschaft

eines Versuchsobjekts, sei es biologischer

oder technische Art, nachzudenken!

Beispiele

Vier Realisierungen des abstrakten Schemas „Schwarzer Kasten“

1. Tragflügelprofil

2. Stabtragwerk

3. Regelkreis

4. Magisches Quadrat

1. Versuchsobjekt „Tragflügel“

Auftrieb

A

Widerstand

W

Profilkoordinaten yo yu

AktionReaktion

Text

X

2. Versuchsobjekt „Stabtragwerk“

Knotenkoordinaten x y

AktionReaktion

G1

G3

G2

…Stabgewichte

Text

L

Nach der statischen Durch-rechnung des Systems

3. Versuchsobjekt „Regler“

Regler Strecke

Stellgröße y Regelgröße xSollwert w

Störgröße z

P I D

Proportionalanteil

Integralanteil

Differentialanteil

x (t)

AktionReaktion

Regelgröße

Text

4. Versuchsobjekt „Magisches Quadrat“

Aktion

19

19

19

19

19

19

19

19

19

S1

Reaktion

S2

S3

S4 S5 S6

S7 S 8

Feldzahlen

Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen

Text

?!

Die drei Fragen an einen schwarzen Kasten

WAS

?!WAS

1. Frage an ein Versuchsobjekt

WAS ist die Reaktion auf eine vorgegebene Aktion? Forschungsziel ist die Sammlung von Daten über das Objektverhalten. Die Frage: „Was kann man in Erfahrung bringen?“ steht am Anfang einer jeden empirischen Forschung im wissenschaftlichen wie auch im technischen Bereich.

! ? !

?!

Die drei Fragen an einen schwarzen Kasten

WAS

WARUM

!!WARUM

2. Frage an ein Versuchsobjekt

WARUM ist die Reaktion auf eine Aktion in der beobach-teten Weise erfolgt? Forschungsziel ist, eine erklärende Beschreibung des Aktions-Reaktions-Mechanismus innerhalb des schwarzen Kastens zu geben. Der Forscher sucht nach einem Modell, das die innere Struktur des schwarzen Kastens gut simuliert. Die Frage: „Warum kommt dieses oder jenes Phänomen vor?“ ist Ausgangs-punkt der wissenschaftlichen Grundlagenforschung.

?

!

!

?

? !

?!

Die drei Fragen an einen schwarzen Kasten

WAS

WARUM

WOMIT

? !WOMIT

3. Frage an ein Versuchsobjekt

WOMIT (durch welche Aktion) kann eine vorgegebene Reaktion erhalten werden? Forschungsziel ist in diesem Fall, das Versuchsobjekt derart zu verändern, dass eine gewünschte Wirkung erreicht wird. Die Frage: „Womit kann man eine bestimmte Wirkung erzielen?“ ist das Hauptproblem der technischen Entwicklung.

Wunsch-Formulierung

Formulierung einer Wunschfunktion (= Qualitätsfunktion)

durch den entwickelnden Ingenieur

Text

Übung in der Aufstellung von Qualitätsfunktionen !

1. Stufe: 2 ℓ-Motor maximaler Leistung.

Ergebnis Motor verbraucht Unmengen Benzin.

2. Stufe: 2 ℓ-Motor maximaler Leistung pro verbrauchtem Liter Benzin.

Ergebnis: Motor wiegt 1 Tonne.

3. Stufe: 2 ℓ-Motor maximaler Leistung pro verbrauchtem Liter Benzin mit minimalem Gewicht. Ergebnis: Motor fällt nach 100 Betriebsstunden auseinander.

4. Stufe: 2 ℓ-Motor maximaler Leistung pro verbrauchtem Liter Benzin mit minimalem Gewicht und vorgegebener Lebensdauer.

1. Qualitätsfunktion „Tragflügel“

Auftrieb

A

Widerstand

W

Profilkoordinaten yo yu

MaxWA

Q

Text

2. Qualitätsfunktion „Stabtragwerk“

Knotenkoordinaten x y

G1

Gi

G2…

Stabgewichte

Min42 iii dlGQ

Text

Nach der statischen Durch-rechnung des Systems

3. Qualitätsfunktion „Regler“

Regler Strecke

Stellgröße y Regelgröße xSollwert w

Störgröße z

P I D

Proportionalanteil

Integralanteil

Differentialanteil

x (t)

Mind)(0

T

ttxwQ

Text

4. Qualitätsfunktion „Magisches Quadrat“

19

19

19

19

19

19

19

19

19

S1

S2

S3

S4 S5 S6

S7 S 8

Feldzahlen

Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen

Min1528

1

i

iSQ

Text

Qx ?

IntuitionStrategie

VersuchsobjektQualitätsmessungVerstellbarkeitExperimentierkreis

Die Sicht eines Kybernetikers zur Tätigkeit eines Entwicklungsingenieurs

Ingenieurskunst

Die Kunst des Steuerns in Technik und Biologie

Was ist eine Strategie ?

Aus Meyers Enzyklopädischem Lexikon:

Strategie [gr.],

allgemein der Entwurf und die Durchführung eines Gesamtkonzepts, nachdem der Handelnde (in der Auseinandersetzung mit anderen) ein bestimmtes Ziel zu erreichen sucht.

Eine Strategie ist nur dann anwendbar, wenn der Gegner sich vorhersehbar verhält

Kriegslist

Qx ?

Strategie

Gegner !

Experimentierobjekt

Stellkasten mit Qualitätsanzeige

Zum Eingangs- Ausgangsverhalten eines Versuchsobjekts

Voraussehbar ?

Nicht voraussehbar ?

Das Eingangs-Ausgangs-Verhalten eines nicht exotischen Versuchsobjekts ist im Bereich

kleiner Änderungen voraussehbar

Behauptung

Kausalität

Schwache Kausalität

Starke Kausalität

Es gibt eine universelle Weltordnung

Gleiche Ursache, gleiche Wirkung

Kleine Ursachenänderung, große Wirkungsänderung

Kleine Ursachenänderung, kleine Wirkungsänderung !

Kausalität

Starke Kausalität

Schwache Kausalität

Ursache

Wirkung

Wirkung

WirkungUrsache

Ursache

Billard-Effekt

Beispiel für

Schwache Kausalität

Nach der 9ten Karambolage wird der Weg unberechenbar

Die Bewegung von Sauerstoffmolekülen, die in einer Sekunde milliardenfach zusammenprallen, ist bereits nach der 56ten Karambolage, also einem Bruchteil von Millisekunden, nicht mehr berechenbar, wenn man die geringste aller auf die Moleküle wirkenden Kräfte berücksichtigt, nämlich die Gravitationskraft eines Elektrons, das sich irgendwo am Rande des Universums befindet.

Elektron am Rande des Weltalls

Schmetterlingseffekt

Der Schlag eines Schmetterlingsflügelsim Amazonas-Urwald kann einen Orkan in Europa auslösen.

Text

Logistische Gleichung

)1(41 nnn xxx

941785,0300000,0 200 xx

003313,0300001,0 200 xx

672075,0300002,0 200 xx

Studium einer schwachen Kausalität

Die Chaosforschung (auch: Theorie komplexer Systeme oder Komplexitätstheorie) ist ein Teilgebiet der Mathematik und Physik und befasst sich im Wesentlichen mit dynamischen Systemen, deren Dynamik unter bestimmten Bedingungen empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt, sodass ihr Verhalten nicht langfristig vorhersagbar ist. Da diese Dynamik einerseits den physikalische Gesetzen unterliegt, andererseits aber irregulär erscheint, bezeichnet man sie als deterministisches Chaos. Chaotische dynamische Systeme sind nichtlinear.

Wikipedia

Ljapunow-Exponent

Mathematisch wird die Geschwindigkeit eines exponentiellen Fehlerwachs-tums durch den Ljapunow Exponenten beschrieben. Dazu betrachtet man

die n Zustandsgrößen xi mit i = 1 bis n, die den Zustand des Systems voll-

ständig beschreiben. Ein Unterschied Δ xi zwischen zwei nahezu identisch

präparierten, gleichartigen Systemen wächst dann von einem Anfangszeit-punkt t = 0 ausgehend vereinfacht betrachtet entsprechend

                                                                            

an, wobei λi der Ljapunow-Exponent zu xi ist. Für ein exponentielles

Wachstum ist daher mindestens ein positiver Ljapunow-Exponent λi

erforderlich.

)0(e)(Δ txtx iiti

Meine Behauptung: Statisch chaotisch kann sich ein System nur verhalten, wenn man an die Heisenbergsche Unschärferelation herankommt, wenn das System Instabilitätsstellen besitzt, oder wenn das System nur diskret verstellbar ist.

Und das ist nicht der Normalfall !

Starke Kausalität

Normales Verhalten einer Kontinuums-Welt

x (t )

P I D

Regler Strecke

A

W

19

19

19

19

19

19

19

19

19

S1

S2

S3

S4 S5 S6

S7 S 8

G1

Gi

G2…

4 Versuchsobjekte 4 × starke Kausalität

Diskrete Welt: verhält sich immer stärker „stark kausal“, je größer das Quadrat ist

Was hat die Starke Kausalität

mit der Evolutionsstrategie zu tun ?

Die Suche nach einem Dokument

Eine Suchstrategie ist nutzlos in einer chaotischen Welt

Eine Suchstrategie funktioniert nur in einer geordneten Welt

Eine Militär-Strategie ist nur dann anwendbar, wenn der Gegner sich vorhersehbar verhält

Kriegslist

Ein Evolutionsstrategie ist nur denkbar, wenn sich der Gegner Natur vorhersagbar verhält

Es gäbe keine Evolutionsstrategie, wenn sich der Opponent „Natur“ völlig willkürlich verhalten würde !

Evolutions- Stratege

Starke und schwache Kausalität sichtbar gemacht

f ( x,

y )

xy

f

Starke Kausalität

xy

Schwache Kausalität

xy

Tiefenlotung

Experimentator

Suchfeld

Die Suche nach dem höchsten Gipfel

An jeder Stelle herrsche „Starke Kausalität“

Definition der Fortschrittsgeschwindigkeit

Zurückgelegter Weg bergan Zahl der Versuche

nicht so

sondern so

Ließe sich das Vorhandensein eines zusammengesetzten Organs nachweisen, das nicht durch zahlreiche aufeinander folgende geringe Abänderungen entstehen könnte, so müsste meine Theorie zusammenbrechen. Aber ich kenne keinen solchen Fall.

Charles Darwin

Ausblick auf die nächste Vorlesung

Vier Strategien zur Lokalisierung eines Optimums

1. Globale deterministische Suche

2. Globale stochastische Suche

3. Lokale deterministische Suche

4. Lokale stochastische Suche

Ende

www.bionik.tu-berlin.de

Ein Schwarzer Kasten soll folgende Situation versinnbildlichen: Ein Experimenta-tor steht vor einem undurchsichtigen Kasten. Er besitzt keine Kenntnis über die innere Struktur des Kastens. Er kann lediglich einige aus dem Kasten herausra-gende Elemente betätigen, z. B. mechanische Schiebevorrichtungen, elektrische Schalter usw. Diese Elemente seien Aktionspole genannt. Der Experimentator kann an anderen aus dem Kasten herausragenden Elementen die Wirkung seines Handelns beobachten, gegebenenfalls unter der Verwendung geeigneter Mess-werke. Diese Elemente seien Reaktionspole genannt. Das Modell des Schwarzen Kastens legt es also nahe, an jedem Versuchsobjekt drei Bereiche zu unterscheiden:

Die Aktionspole, an welchen der Experimentator seine Handlungen ausführt.

Die unsichtbare innere Struktur, welche die von den Naturgesetzen bestimmten Verbindungen zwischen Aktion und Reaktion enthält.

Die Reaktionspole, an welchen der Experimentator seine Beobachtungen anstellt.

Das Versuchsobjekt 1 sei ein Tragflügelprofil, das an die Stelle des schwarzen Kastens treten soll. Das Experimentiermodell möge so konstruiert worden sein, dass sowohl Ober- als auch Unterseite der flexiblen Flügelhaut durch verschieb-bare Stangen lokal verschoben werden kann. Damit lassen sich an äquidistanten x-Positionen die y-Koordinaten des Profils verändern (Aktion). Im Windkanal werde der Auftrieb A (Reaktion) und der Widerstand W (Reaktion) des Tragflügelmodells gemessen.

Das Versuchsobjekt 2 sei ein aus Stäben aufgebauter Kragträger. Es soll eine Last L über eine vorgegebene Spannweite in zwei Wandlager eingeleitet wer-den. Verstellt werden können die x- und y-Koordinaten der Stabwerksknoten (Aktion). Wir bestimmen (z. B. mit dem Ritterschen Schnittverfahren) die in den Verbindungslinien der Knoten wirkenden Zug- und Druckkräfte. Zulässige Zugspannung und Eulersche Knickfestigkeit liefern schließlich die Gewichte G der ausdimensionierten Stäbe (Reaktion). Im Gegensatz zum Tragflügelpro-blem wird das Aktions-Reaktions-Spiel auf dem Computer durchgeführt.

Das Versuchsobjekt 3 sei ein elektrischer oder pneumatischer PID-Regler. Pro-portionalanteil P, Integralanteil I und Differentialanteil D des Reglers können unabhängig voneinander eingestellt werden (Aktion). Wir beobachten nach dem Aufbringen einer sprungförmigen Störung auf den Eingang der Regelstrecke als Reaktion das zeitliche Einschwingen der Regelgröße x (t ).

Das Versuchsobjekt 4 entstammt der abstrakten mathematischen Welt. Gegeben sei eine Matrix aus 3 3 = 9 Zahlen. Diese Zahlen können die Werte 1 bis 9 anneh-men (Aktion). Wir messen bzw. berechnen die drei Zeilensummen S1, S2, S3, die

drei Spaltensummen S4, S5, S6 und die zwei Diagonalensummen S7, S8 (Reaktion).

Eine ungewöhnliche Entwicklungsaufgabe:

Es ist ein Flugzeug zu entwickeln, das in der Normalform (Flügel vorn, Leitwerk hinten) im Langsamflug ope-rieren soll. In der so genannten Entenkonfiguration (Leitwerk vorn, Flügel hinten) soll es zum Überschallflug-zeug werden. Gesucht ist das optimale Flügelprofil. Eiferer werden darauf hinweisen, man könne nicht beides zugleich haben. Ein optimales Überschallprofil ist anders auszubilden als ein von rückwärts angeströmtes optimales Langsamflug-Profil. Doch wurde das Entwicklungsziel für ein Kombinationsflugzeug so formuliert, ist es müßig, über das optimale Überschallprofil und das optimale Unterschallprofil getrennt zu sinnieren. Gesucht ist das optimales Kombinationsprofil. Eine Messung im Überschallkanal plus eine Messung im Unterschallkanal am umgedrehten Profil ergibt die Qualität, die additiv aus beiden Messungen zusammengesetzt wird. Sollte das neuartige Flugzeug in der Langsamflugrichtung häufiger als in der Überschallflugrichtung operieren, so muss die Langsamflugmessung eine stärkere Gewichtung erfahren als die Überschallmessung.

Zweck eines Tragflügels ist es, Auftrieb zu erzeugen. Also soll sein Auftrieb A möglichst groß werden. Ein Tragflügel erzeugt aber auch einen unerwünschten Widerstand W. Es gilt also, A so groß wie möglich und W so klein wie möglich zu machen. Nach vielen Stunden des Messens im Windkanal werden wir feststellen: Beide Forderungen widersprechen sich. Profilformen mit hohem Auftrieb haben als negative Eigenschaft einen hohen Widerstand. Und ist der Widerstand gering, hapert es mit dem Auftrieb. Optimieren heißt einen Kompromiss finden. Für einen Tragflügel lautet eine sinnvolle Kompromissformel: Das Verhältnis Auftrieb durch Widerstand muss ein Maximum werden. Dieser Quotient lässt sich anschaulich machen. Beispielsweise bedeutet der Wert A / W = 50, dass der Flügel auf 50 m Gleitstrecke nur um 1 m sinkt.

Ein Stabtragwerk besteht aus Metallstäben, und die kosten Geld. Es erscheint plausibel, die Kosten des Kragträgers proportional zu seinem Gewicht anzuset-zen. Das Gesamtgewicht soll zu einem Minimum werden. Das Stabtragwerk möge aus kreiszylindrischen Vollstäben aufgebaut sein. Die ausdimensionierten Stäbe mit den Längen l i, den Durchmessern d i und der Materialdichte erge-ben dann das Gesamtgewicht:

i ii dlG 2

gesamt 4

Der Regler soll einen Druckkessel nach einem plötzlichen Druckabfall (genormte Störung) wieder auffüllen. Die Regelgröße x (Kesseldruck) kann sich dabei unter vielmaligem Überschwingen oder auch langsam kriechend dem Sollwert nähern. Ein Regler ist gut, wenn er die Soll-Istwert-Differenz w – x klein hält und dabei möglichst schnell den Sollwert w wieder herstellt. Beide Wünsche werden z. B. durch das so genannte ITAE-Kriterium (Integral-Time-Amplitude-Error) auf einen gemeinsamen Nenner gebracht:

Die Absolutwert-Operation hat den Sinn, dass eine negative Soll-Ist-Differenz gleich nachteilig wie eine positive gewertet wird.

T

ttxw0

d)(

Hinter der Konstruktion des 3 3 - Quadrats steht der Wunsch, es durch eine ge-schickte Wahl der Feldzahlen zu erreichen, dass die Zeilensummen, die Spalten-summen und die Diagonalensummen alle den Wert 15 ergeben. Eine Bewertung, die gewährleistet, dass die Erfüllung des Wunsches mit dem Minimum einer Funktion F zusammenfällt, lautet:

Die Fehlerquadrate gewährleisten, dass sich nicht positive und negative Fehler gegenseitig aufheben.

2753

2951

2963

2852

2741

2987

2654

2321

)15()15(

)15()15()15(

)15()15()15(

nnnnnn

nnnnnnnnn

nnnnnnnnnF

Die einprägsame Formulierung des Schmetterlingseffekts stammt aus einer Arbeit von Lorenz aus dem Jahre 1963 (LORENZ, Edward, N.: Deterministic Nonperiodic Flow, in: Journal of the Atmospheric Sciences, Volume 20, March 1963). In seiner ursprünglichen Form verwendete er allerdings den Flügelschlag einer Möwe statt des Schmetterlings. Es ist gut möglich, dass Lorenz durch die 1952 erschienene Kurzgeschichte Ferner Donner von Ray Bradbury inspiriert wurde. In dieser Geschichte tritt ein Zeitreisender versehentlich auf einen Schmetterling und sorgt dadurch für eine vollkommen andere Gegenwart.

1950 beschrieb Alan Turing bereits diesen Effekt:

"The system of the universe as a whole is such that quite small errors in the initial conditions can have an overwhelming effect at a later time. The displacement of a single electron by a billionth of a centimetre at one moment might make the difference between a man being killed by an avanlanche a year later, or escaping. Alan M. Turing. "Computing Machinery and Intelligence". Mind LIX, 1950.