Ingeniería de Sistemas Espaciales · La anomalía verdadera, ν, específica la localización de...
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Ingeniería de Sistemas EspacialesAplicado a una misión CanSat
Introducción a la mecánica orbital 2
Describiendo y utilizando las órbitas
Objetivos:
• Describir y explicar los elementos orbitales clásicos (EOCs).
• Usar los EOCs para describir el tamaño, forma y orientación de una órbita y la localización de una nave espacial dentro de esa órbita.
• Definir los parámetros clave utilizados para describir la geometría orbital y comprender su importancia al dirigir las operaciones de la misión.
• Entender la forma de las trayectorias terrestres de una nave espacial sobre la superficie terrestre.
• Usar las trayectorias terrestres para des-cribir porque ciertos tipos de misión usan determinadas órbitas, por ejemplo órbitas terrestres bajas (LEO), órbitas terrestres medias (MEO), órbitas geoestacionarias (GEO), etc.
Describiendo y utilizando las órbitas
Es posible describir perfectamente la posición y velocidad de un satélite en tres dimensiones referenciado a nuestro sistema coordenado geocéntrico ecuatorial, utilizando los vectores r y v.
Juntos el conjunto r y v es llamado vector de estado, proporcionando seis piezas de información rx , ry , rz y vx , vy , vz .
Los vectores de estado son muy buenos para los cálculos utilizando computadoras, pero se complica su visualización para las personas, por lo que se vuelve necesario algo más intuitivo: EOCs (elementos orbitales clásicos.
Describiendo y utilizando las órbitas
Los 6 elementos orbitales clasicos (EOCs) son una manera mas intuitiva de describir las propiedades de una orbita. En el caso de una órbita alrededor de la Tierra:
Tamaño: semieje mayor a. • Forma: excentricidad e. • Orientación: • Inclinación del plano de la órbita: i. •Órbita en el plano: ascensión recta del nodo ascendente Ω, argumento del perigeo ω.
• Localización de la nave en órbita: anomalía verdadera θ.
El sistema de referencia se encuentra marcado por el polo norte terrestre en el eje z, mientras que el eje x apunta al primer punto de Aries (punto de la eclíptica a partir del cual el Sol pasa del hemisferio sur terrestre al hemisferio norte, que ocurre en el equinoccio de primavera alrededor del 21 de marzo, iniciando la primavera en el hemisferio norte y el otoño en el hemisferio sur.
Describiendo y utilizando las órbitas
Sistema de referencia geocéntrico ecuatorial, con origen en el centro de la Tierra, no rotativo, en el cual el plano de la órbita de un satélite permanece fijo con respecto a las estrellas mientras la Tierra gira debajo de éste (plano orbital del satélite).
NOTA: Estos elementos se pueden definir para cualquier cuerpo en órbita alrededor, no solo de la Tierra, sino de otro objeto de masa preponderante como el Sol, los planetas, asterioides y demás cuerpos celestes.
La línea de nodos describe la línea que une los puntos en que el plano de la órbita de un satélite intersecta al plano ecuatorial terrestre. El nodo ascendente es el punto donde un satélite cruza de norte a sur en su movimiento alrededor de la Tierra, mientras que el nodo descendente corresponde al punto en que un satélite pasa de norte a sur en su movimiento alrededor de la Tierra.
Semi-eje mayor: a Excentricidad: eInclinación de la órbita: iAscensión recta del nodo ascendente: Ω. Argumento del perigeo (periapsis): ω. Anomalía verdadera: (ν, θ ). Para el movimiento de dos cuerpos sólo la anomalía verdadera varía con el tiempo (variable rápida).
Tamaño de la órbita:Forma de la órbita:
Orientación 3D:
Rotación plana: Dependencia del tiempo:
Los elementos orbitales describen el tamaño, forma y orientación de una órbita, así como la posición de una nave o cuerpo en órbita:
Describiendo y utilizando las órbitas
El argumento del perigeo (ω), el cual corresponde al ángulo sobre el plano de la órbita del satélite, dirigido en el sentido de movimiento del satélite, y que se mide desde el nodo ascendente y hasta el punto del perigeo.
El parámetro o elemento relativo al tiempo en que un satélite pasa por un punto en particular alrededor de la órbita que describe, corresponde a la anomalía verdadera, el cual toma como punto de referencia el perigeo.
De esta manera se puede determinar el momento (tiempo) en que un satélite pasa por el perigeo, y así calcular el momento de pase en cualquier otro punto de la órbita.
El parámetro de inclinación (i ), el cual se mide como el ángulo entre el plano ecuatorial de la Tierra y el plano de la órbita que describe el satélite.
La ascensión recta del nodo ascendente (Ω), que corresponde al ángulo entre el eje “x” y el nodo ascendente y siempre se mide en dirección este respecto de la dirección del eje “x” (el eje x se dirige hacie el primer punto de Aries).
La orientación de la órbita la describen tres parámetros
orbitales:
(i) (Ω) (ω)
El parámetro de excentricidad define la forma de la órbita. Para órbitas elípticas, el valor de la excentricidad se encuentra entre 0 y 1; mientras más grande es el valor de excentricidad, más elíptica es la órbita (órbitas circulares tiene una excentricidad de cero, mientras que órbitas con valores de excentricidad igual o mayores que 1, escaparán al campo gravitacional de la Tierra o del objeto alrededor del cual orbiten). [1]
[1] Esto es cierto en los términos de la mecánica clásica.
El semieje mayor describe el tamaño de la órbita (de aquí se puede calcular el periodo de la misma).
Tamaño de la órbita
El tamaño de una órbita es descrito por el semieje mayor, a, el cual es la mitad de la distancia a través del eje mayor de la órbita.
El tamaño de la órbita nos indica:
La energía mecánica especifica ε. Mientras más grande es la órbita, más energía tiene ésta.
El periodo P, corresponde al tiempo que toma dar una vuelta alrededor de la órbita. Mientras más grande la órbita mayor es el periodo (tercera ley de Kepler).
El semieje mayor a, corresponde a la mitad de la distancia del eje mayor.
La distancia entre los focos de la elipse es 2c.
Utilizando la teoría de la gravitación universal de Newton.
Describiendo y utilizando las órbitas
ε = −µ2a
P2
a3= cte.⇒ P = 2π a3
µ= 2π a3
GM
2capogeo
Foco
2a = eje Mayora = eje SemiMayor
perigeo
F’
Forma de la órbita: excentricidad, e.
Describiremos la característica de “fuera de redondez” de una sección cónica en términos de la excentricidad, e:
Círculo: e = 0.0.
Elipse: 0.0<e<1.0.
Parábola: e = 1.0. Hipérbola: e>1.0.
La excentricidad define la forma de una órbita.
Elipse0 < e < 1.0
parábolae = 1.0
Hipérbolae > 1.0
Circuloe = 0.0
Describiendo y utilizando las órbitas
Inclinación de la órbita: i.
La inclinación i describe el grado de inclinación (medida angular) del plano orbital con respecto al plano ecuatorial. El ángulo entre los dos planos es el mismo que el ángulo entre el vector k (perpendicular al ecuador terrestre) y el vector h (vector perpendicular al plano orbital.
Describiendo y utilizando las órbitas
Tipos de órbita y su inclinación
Ecuatorial I = 90º NODO ASCENDENTE
NODO ASCENDENTE
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Inclinación Tipo de Órbita0º ó 180º Ecuatorial
90º Polar0º <= i < 90º Directa
90º < i <=180º Inversa o retrograda
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Desplazamiento giratorio de la órbita: RAAN u Ω.
La ascensión recta del nodo ascendente (RAAN ó Right Ascension of the Ascending Node) Ω, describe la orientación del plano orbital con respecto a la dirección principal que corresponde a la dirección del equinoccio de primavera (ϒ).
Se mide desde la dirección principal hacia el este del nodo ascendente como se muestra en la figura.
La ascención recta del nodo ascendente Ω describe el giro o ángulo del plano orbital con respecto de la dirección de referencia que es el primer punto de aries o del equinoccio de primavera (ϒ).
Corresponde al ángulo en el plano ecuatorial que forma la línea del equinoccio de primavera con la línea que se forma entre el plano ecuatorial y el plano de la órbita en sentido de sur a norte (nodo ascendente) y medido en sentido este.
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Rotación de la órbita: argumento del perigeo, ω.
El argumento del perigeo ω especifica la orientación de la órbita dentro del plano de la misma.
Este ángulo describe la orientación de una órbita dentro del plano que la contiene, es decir, se mide como el ángulo entre la línea de nodos a partir del nodo ascendente y el perigeo (punto más cercano del cuerpo en órbita alrededor del cuerpo al que orbita y que para el ejemplo se trata de la Tierra). Se mide en la dirección de movimiento de la nave espacial.
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Localización del satélite: anomalía verdadera, ν.
La anomalía verdadera, ν, específica la localización de la nave espacial dentro de su trayectoria a lo largo de la órbital (dentro del plano orbital de ésta).
Este ángulo se mide en la dirección del movimiento del satélite dentro del plano orbital, medido a partir de la posición del perigeo y hasta el vector de posición actual del satélite.
Describiendo y utilizando las órbitas
Resumen de elementos orbitales clásicos (EOCs).
Tamaño: que tan grande es la órbita (energía) a. Forma de la órbita: excentricidad (que tan aplastada está la órbita) e. Inclinación: inclinación respecto del plano ecuatorial i. Giro de la órbita: posición del nodo ascendente Ω. Ubicación del perigeo: posición relativa del perigeo respecto del nodo ascendente, ω. Ubicación del satélite relativa a la posición del perigeo, ν.
Con 4 elementos orbitales clásicos podemos visualizar una órbita y ubicar a la nave a lo largo de la misma. Los otros dos parámetros, semi-eje mayor y excentricidad) especifican el tamaño y forma de la órbita.
http://demonstrations.wolfram.com/OrbitalElements/
http://demonstrations.wolfram.com/KeplerianOrbitalElements/
El sistema de referencia se encuentracentrado en la Tierra (ECI).
Describiendo y utilizando las órbitas
Debido a la complicación de cálculo de los 6 parámetros clásicos que definen una órbita, se contempla el uso de elementos auxiliares denominados equinocciales, referidos a un marco de referencia centrado en el planeta Tierra (para órbitas terrestres) conocido como ECI (Earth Centered Inertia):
Semi-eje mayor:Longitud principal:Excentricidad (vector con dos componentes):
Vector de inclinación con dos componentes:
a. L = Ω + + M. h = ey = e·sen( Ω + ω ).k = ex = e·cos( Ω + ω). p = iy = tan( i/2)·sen( Ω). q = ix= tan( i/2)·cos( Ω).
a: semi-eje mayor. Ω: RAAN (ascensión recta del nodo ascendente). ω: argumento del perigeo. M: anomalía principal. L: longitud principal. (k,h) = (ex,ey) vector de excentricidad.(q,p) = (ix,iy) vector de inclinación.
Dependiendo de los elementos orbitales, un satélite junto con su carga útil, puede “ver” o acceder a diferentes partes de la Tierra dependiendo de:
• Geometría. • Capacidades físicas del sensor o la antena
en cuestión.
Campo de perspectiva (FOR: field of regard).
Este ángulo describe el cono potencial de visibilidad para un satélite, sistema o sensor limitado por restricciones geométricas mecánicas del sistema (por ejemplo, el borde del espectro de radio ó las limitaciones de movimiento mecánico de la montura de una cámara o antena).
Campo de visión (FOV: field of view).
Se refiere al ángulo real que describe el cono (u otra forma) de visibilidad para un sensor o sistema limitado por restricciones físicas (por ejemplo lentes, plano de la imagen o patrón de radiación de la antena) Es el ángulo real de observación cuando se apunta a una determinada dirección.
SatéliteFOR
SensorFOR
SensorFOV
Describiendo y utilizando las órbitas
SL
SL= distancia al borde del campo de vistah = ángulo de nadirr = ángulo central de la Tierra
Altitud
Campo de Perspectiva
= 2h
Horizonte Real
ε=0º
Horizonte Local
ε
ε
RTierra
r
Un barrido o franja representa la proyección del campo de perspectiva del satélite (FOR), del campo de perspectiva del sensor o del campo de visión del sensor (FOV) sobre la Tierra.
Esto depende de:
La altitud del satélite: El ángulo de mínima elevación ε, que es medido desde el horizonte local al limite del FOR (campo de perspectiva) del sensor o del satélite.
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Barrido del ángulo de vista (FOV)del sensor de 1º
Barrido del campo de visión (FOR) para
ε = 60º
Barrido del campo de perspectivapara el horizonteverdadero
Trazas de los satélites en la superficie terrestre
La mayoría de los satélites se enfocan en misiones o aplicaciones con objetivos en el planeta Tierra:
Capturar imágenes, comunicaciones, sistemas de navegación. Para estas aplicaciones es necesario saber la trayectoria que el satélite traza sobre superficie de la Tierra. Así como el satélite gira alrededor de la tierra, la Tierra gira debajo del satélite.
Con esta información presente trata de imaginar cómo luce la trayectoria del satélite sobre la Tierra:
La Tierra gira sobre su eje de rotación aproximadamente a 1600 km/h en el ecuador, mientras que una nave orbita sobre este.
La traza del satélite corresponde al camino qué éste marca sobre la superficie de la Tierra.
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VER VIDEO 9
Construyendo una traza en la superficie terrestre.
Si la Tierra no rotara, la trayectoria terrestre para una órbita circular luciría así:
Con esta información presente trata de imaginar cómo luce la
trayectoria del satélite sobre la Tierra:
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Traza sobre la Tierra de un satélite alrededor de la Tierra en el caso hipotético en que el planeta Tierra no gira.
Construyendo una traza en la superficie terrestre.
Debido a que la Tierra gira debajo de la órbita del satélite, cada trayectoria terrestre sucesiva se desplaza hacia la izquierda y se “comprime” por un factor que corresponde al periodo orbital multiplicado por la velocidad de
rotación de la Tierra (15 grados por hora).
Primera ÓrbitaSegunda Órbita
Traza común de una nave o satélite alrededor de la Tierra: A medida que la Tierra rota, trazas sucesivas se van formando.
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Construyendo una traza en la superficie terrestre: ejemplos.
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
Trazas de la órbita en la superficie terrestre: La órbita A tiene un periodo de 2.67 horas, la órbita B un periodo de 8 horas, la órbita c un periodo de 18 horas, la órbita
D un periodo de 24 horas y la órbita E tiene también un periodo de 24 horas.
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E
D
C B A
