VILLEGAS TITO ERICKMARTINEZ SIFUENTES DIANACHUCO PEREZ BRUAN

12-2-2015

Objetivos

Objetivo General

El objetivo de este laboratorio es verificar experimentalmente la relación que existe entre la frecuencia (ν), tensión (T), densidad lineal (µ) y longitud de onda (λ) para una onda estacionaria.

Materiales

UNA COMPUTADORA CON EL PROGRAMA LOGGER PRO INSTALADO

UN PEDAZO DE HILO DE LONGITUD DE 1.30

CABLES DE SALIDA PARA EL CH4 DE LA INTERFACE

UNA INTERFASE LABPRO DE VEIRNER UN SOPORTE UNIVERSAL CON NUECES

UNA PORTAPESA CON ARENA

UNA REGLA METÁLICA DE 1.00M

UNA BALANZA ELECTRÓNICA

Diagrama de Flujo

Primera parte: Montaje Experimental

Configurar el software de modo que la frecuencia de la señal

senoidal sea alrededor de 20 Hz

Pasar el hilo a través del orificio del eje del

parlante

Atar un extremo de este hilo al soporte universal y el otro (haciéndola pasar a

través de la polea) a un porta pesa, de tal forma que el hilo se mantenga tenso

Colocar el vibrador a la mitad de la cuerda

Conectar el cable del generador al canal 4 (CH4)

Conectar el interface al computador

Energizar el generador y el computador

Configurar el generador de Tensión (CH4) a una señal tipo senoidal con

una frecuencia cercana a 20 Hz y con una amplitud de 4V

Segunda parte: Frecuencia Variable

Tercera parte: Masa Variable (Tensión Variable)

Calcular el valor que deben tener las frecuencias para visualizar los

distintos modos de vibración

Colocar estos valores en una Tabla como valores teóricos

Colocar estos valores en la tabla como valores experimentales

Modificar ligeramente los valores de frecuencia para encontrar los

distintos modos de vibración

Calcular el valor que deben tener las masas (tensión) para visualizar los

distintos modos de vibración

Colocar estos valores en una Tabla como valores teóricos

Colocar estos valores en la tabla como valores experimentales

Modificar los valores de las masas (tensiones) para encontrar los distintos modos de vibración

Marco Teórico

Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos movimientos ondulatorios armónicos de igual amplitud y frecuencia que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio. Pero la onda estacionaria NO ES una onda viajera, puesto que su ecuación no contiene ningún término de la. Por sencillez, tomaremos como ejemplo para ilustrar la formación de ondas estacionarias forma kx−ωt el caso de una onda transversal que se propaga en una cuerda sujeta por sus extremos en el sentido de izquierda a derecha (→); esta onda incide sobre el extremo derecho y se produce una onda reflejada que se propaga en el sentido de derecha a izquierda (←). La onda reflejada tiene una diferencia de fase de π radianes respecto a la incidente. La superposición de las dos ondas, incidente y reflejada, da lugar, en ciertas condiciones, a ondas estacionarias.

Ecuación de la onda incidente, sentido (→): Y 1 = A cos (kx−wt ) (1a)

Ecuación de la onda reflejada, sentido (←): Y 2=A cos (kx+wt+π ) (1b)

En las ecuaciones [1a] y [1b], k representa el número de ondas k=2πλ

y ω es la frecuencia

angularω=2πT

, siendo λ y T la longitud de onda y el periodo respectivamente.

El resultado de la propagación simultánea de ambas ondas, incidente y reflejada, es el siguiente:

Y=Y 1+Y 2=A cos (kx−ωt )+A cos (kx+ωt+π )=2 A sin kxcos ωt

El término senωt representa la dependencia temporal, mientras que 2Asenkx es la amplitud, la cual obviamente depende de la posición x. Es decir, los distintos puntos dela cuerda vibran con la misma frecuencia angular ω pero con diferentes amplitudes2. Significado físico de la superposición expresada por la ecuación [2].

Como los puntos extremos de la cuerda están fijos por hipótesis, la vibración en ellos tiene que ser nula; es decir, si la cuerda donde se propagan las ondas tiene longitud L, en los extremos x = 0 y x = L han de verificarse en cualquier instante las condiciones siguientes:

Y x=0=2 A sin 0=0Y x=L=2 A sin L=0

De las condiciones expresadas se deduce que:

kL=nπ (nentero )→ 2πλ

L=nπ →L=nλ2

(4)

La ecuación [4] quiere decir que aparecen ondas estacionarias sólo en aquellos casos que cumplan la condición de que la longitud de la cuerda sea un múltiplo entero de la

semilongitud de onda.

En una onda estacionaria se distinguen los puntos nodales (o simplemente nodos), que son aquellos puntos en que la amplitud es nula, es decir, posiciones donde no hay vibración; los

vientres o antinodos de la onda estacionaria, por el contrario, son los puntos en donde la vibración se produce con la máxima amplitud posible.

La distancia entre dos nodos consecutivos es igual a media longitud de onda. En efecto, un nodo cualquiera, situado en la posición x m, cumple la condición

senk xm=0→k xm=mπ →xm=mλ2

Donde m toma los valores sucesivos m=1,2,3,4 …n−1.

La frecuencia más baja para la que se observan ondas estacionarias en una cuerda de longitud L es la que corresponde a n = 1 en la ecuación [4]. Ésta se denomina frecuencia fundamental, y cuando la cuerda vibra de este modo no se presentan nodos intermedios entre sus dos extremos. La siguiente posibilidad en la ecuación [4], el caso n = 2, se llama segundo armónico, y presenta un nodo intermedio. En la figura 1 aparece una representación de diversos armónicos.

Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda

En una cuerda de densidad lineal µ (masa por unidad de longitud) sometida a la tensión

T, la velocidad de propagación de una onda viene dada por

v=√Tμ

Considerando además la relación entre la velocidad de propagación, la frecuencia y la longitud de onda, v = fλ , puede demostrarse que las frecuencias para las que se observarán ondas estacionarias en una cuerda están dadas por:

f n=n

2L √Tμ

Procedimiento Experimental

Primera parte: Montaje Experimental

Procedemos a determinar la densidad lineal de la cuerda (µ). Colocaremos arena en el vaso, lo suficiente para que el peso actué como fuerza

tensora cuya magnitud deberá ser aproximadamente 0.20 N.

Utilizando la fórmula f n=n

2L √Tµ

calcularemos la frecuencia para n=2 y para L=1

cuyo valor deberá ser mayor y alrededor de los 20 Hz. Una vez calculada la frecuencia, colocaremos dicha frecuencia en el software para la

señal senoidal. Pasaremos el hilo a través del orificio del eje del parlante. Luego ataremos un extremo del hilo al soporte universal, y el otro extremo

(haciéndolo pasar a través de la polea) al vaso con arena, de tal forma que el hilo se

tense, después colocaremos el eje del parlante a la mitad de la cuerda.

Conectaremos el cable del generador al canal 4 (CH4), luego procedemos a conectar la interface al computador y por ultimo energizar la interface y el computador.

Por ultimo configuramos el generador de tensión (CH4) a una señal tipo senoidal con una frecuencia igual a la calculada en el paso previo y con amplitud 4v.

Segunda parte: Frecuencia Variable

Con la fórmula f n=n

2L √Tµ

y manteniendo L=1 calcularemos los distintos valores

de f para n=2,3,4,5,6 con lo cual obtendremos las frecuencias teóricas f 2,f 3,f 4,f 5,f 6

Ahora modificamos ligeramente la frecuencia del vibrador para cada uno de los datos teóricos hallados anteriormente, con el objetivo de que la onda estacionaria se visualice adecuadamente. Estos valores de frecuencias serán los experimentales.

Colocaremos los datos de frecuencia teórica y experimental en la siguiente tabla.

n 2 3 4 5 6νTeórico (Hz) 23.98 35.97 47.96 59.95 71.94

νExperimental (Hz) 20.01 34.6 40 56 60

Tercera parte: Masa Variable (Tensión Variable)

Con la fórmula f n=n

2L √Tµ

y ahora con f=50 Hz calcularemos los distintos valores de

masa (m) para n=2,3,4,5,6 con lo cual obtendremos las masas teóricas. Modificaremos ligeramente las masas de manera que se visualice correctamente las

ondas estacionarias. Estos valores de masas serán los experimentales. Colocaremos los datos de masa teórica y experimental en la siguiente tabla.

n 2 3 4 5 6mTeórica (g) 95.56 42.47 23.89 15.29 10.61MExperimental

(g)117 44 27 19 14

Cálculos de análisis y resultados

Frecuencia Variable

n 2 3 4 5 6νteórico (Hz) 23.93 35.97 47.96 59.95 71.94

νexperimental (Hz) 20.01 34.6 40 56 60Porcentaje de

error16.38% 3.808% 16.59% 6.589% 16.59%

Hallando el porcentaje de error de las masas mediante la fórmula:

%Error=νTeórico−ν Experimental

νTeórico

×100 %

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.50

10

20

30

40

50

60

70

f(x) = 10.13799 x + 1.57005000000001R² = 0.967563880209253

νexperimental vs n

frecuencia experimental

Linear (frecuencia exper-imental)

N° de semiondas

Frec

uenc

ia e

xper

imen

tal

Teniendo la pendiente que es m=10.138 podemos formar nuestra siguiente ecuación

√Tμ

2L=10.38

Resolviendo la ecuación encontramos μ=4.64∗10−4 kgm

Ahora halando el error

%Error=∆ μ×100 %μteorico

=(4.64∗10−4−3.75∗10−4 ) ×100 %

3.75∗10−4 =23.7%

Masa variable (Tensión Variable)

Hallando el porcentaje de error de las masas mediante la fórmula:

%Error=mExperimental−mTeórico

mteorico

×100 %

n 2 3 4 5 6%Error 22.43% 3.602% 13.01% 24.26% 31.95 %

Graficando Tensión vs 1/n2. Realizando ajuste de curvas y deduciendo el valor de la densidad lineal de la cuerda (µ)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f(x) = 4.46483001172333 x + 0.0043763188745603R² = 0.99008160862948

Grafica Tensión vs 1/n2

Función del número de semiondas (1/n2)

Tens

ion

(T)

Como sabemos:

ν= n2L √ T

µ

Despejando la Tensión:

T=4 L2 ν2 µ×1

n2

De lo cual deducimos que la gráfica de la Tensión en función de 1/n2 tiene pendiente 4 L2 ν2 µ pero como L y ν son datos podemos obtener el valor de µ

Del ajuste de curvas que se realizó con los datos experimentales se obtuvo la función Tensión:

T=4.4648 x+0.0044

T=4.4648 ( 1

n2 )+0.0044

De esta ecuación vemos que la pendiente de la función Tensión es m=4.4648

Pero:

m=4 L2 ν2 µ=4.4648

Despejando la densidad lineal (µ):

µ=4.4648

4 L2 ν2

Dónde:

L=1m

ν=50 Hz

Entonces:

µ=4.4648

4 L2 ν2

µ=4.4648× 10−4 kg/m

Este sería la densidad lineal hallada experimentalmente. Contrastándola con la que se nos dio:

µteorico=3.75× 10−4 kg /m

µexper .=4.4648×10−4 kg /m

Calculamos el error producido:

%Error=µexper .−µteorico

µteorico

×100 %

%Error=4.4648× 10−4−3.75×10−4

3.75× 10−4 ×100 %

%Error=19,06 %

Conclusiones

Con este laboratorio hemos comprobado experimentalmente la relación que existe entre los diversos parámetros de las ondas. Comprobamos la dependencia que existe entre la tensión, la frecuencia y el número de semiondas.

A manera de observación señalamos que el error producido en la densidad lineal de la cuerda se produjo por alguna distorsión en el hallado experimental de este. También podemos resaltar que los errores producidos en el caso de los experimentos de masa y frecuencia variable se pudieron haber producido por alguna imprecisión en las

mediciones con la balanza, cuyos cálculos pudieron haber estado errados. No obstante, el error también lo pudimos haber causado nosotros al momento de discernir entre los modos de vibración.