ÍNDICE GENERAL - · PDF fileµν Tensor energía momentum R µν...

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  • NDICE GENERAL

    LISTA DE SMBOLOS iii

    GLOSARIO vii

    RESUMEN ix

    OBJETIVOS xi

    INTRODUCCIN xiii

    1. ELECTROMAGNETISMO 1

    1.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2. Onda electromagntica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.2.1. Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.3. Polarizacin de ondas electromagnticas . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.4. Efecto Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    2. GRAVITACIN 13

    2.1. Teora general de la relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.1.1. Principio de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2.1.2. Ecuacin de campo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.1.3. Solucin de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2.2. Campo gravitacional dbil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.3. Lentes gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.3.1. ndice efectivo de refraccin de un campo gravitacional . . . . 22

    2.4. Gravitoelectromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3. ROTACIN FARADAY GRAVITACIONAL 27

    3.1. Derivacin de la rotacin Faraday gravitacional . . . . . . . . . . . . 27

    3.2. Lmite gravitacional dbil de rotacin Faraday . . . . . . . . . . . . 30

    3.3. Rotacin Faraday gravitacional en un espacio NUT . . . . . . . . . . 32

    i

  • 3.4. Rotacin Faraday gravitacional en una mtrica de Kerr . . . . . . . 343.4.1. Orbitas en planos ecuatoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.2. rbita simtrica respecto al plano ecuatorial . . . . . . . . . . 35

    3.5. Observaciones en sistemas astrofsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.5.1. Sistema de lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5.2. Corteza rotando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    CONCLUSIONES 41

    RECOMENDACIONES 43

    BIBLIOGRAFA 45

    APNDICE B:

    PROYECCIN DE LA RBITA 47

    ii

  • LISTA DE SMBOLOS

    E Campo elctrico

    B Campo magntico

    Densidad de carga

    0 Permitibidad del espacio libre

    t, Tiempo

    c Velocidad de la luz

    J Densidad de corriente

    A Potencial vectorial magntico

    Potencial escalar elctrico, ngulo de desfase

    r Radio vector

    x, y, z Coordenadas cartesianas

    Ex Componente del campo elctrico en el eje x

    iii

  • Derivada parcial

    i Imaginario

    E Amplitud vectorial de campo

    k Vector de propagacin

    w Velocidad angular

    0 Constante de permeabilidad

    u, s,p Vectores unitarios perpendiculares

    H Magnitud de campo magntico

    V Constante de Verdet

    n ndice de refraccin

    d Distancia

    Longitud de onda

    Sumatoria

    F Fuerza

    m,M Masa

    iv

  • g Aceleracin de gravedad

    a Aceleracin, constante

    T Tensor energa momentum

    R Tensor de Ricci

    R Escalar de curvatura

    G Tensor de Einstein

    k Constante

    g Tensor mtrico

    ds2 Intervalo invariante infinitesimal o mtrica

    Coordenada polar

    Coordenada azimutal

    A,B Coeficientes

    ms Constante

    Mtrica de Minkowsky

    h Perturbacin gravitacional

    v

  • Smbolos de Christoffel

    v Velocidad

    G Constante de gravitacin universal

    Potencial newtoniano

    Bg Campo gravitomagntico

    Eg Campo gravitoelctrico

    h Componente de la mtrica

    k Vector de onda

    f Vector de polarizacin

    3 Triespacio

    L Velocidad Angular

    ngulo de rotacin

    ~V Potencial vectorial

    l, 1, 2 Coordenadas ortogonales

    J Momentum angular

    vi

  • GLOSARIO

    Relatividad general Teora elaborada por Albert Einstein en la dcada de 1906-1916. Su idea esencial es que la gravedad es un efecto de lacurvatura del espacio-tiempo.

    Mtrica Es la conexin que existe entre las coordenadas de dos eventosy su distancia.

    Velocidad de la luz Constante fundamental de la relatividad especial, cuyo valores de 299,729 Km/s. Es la velocidad de las partculas de masacero, y se denota por la letra c.

    Invariante Cantidad que conserva el mismo valor al ser transformado deun sistema de referencia a otro.

    Campos dinmicos Son los campos que varan en el tiempo.

    Singularidad Regin donde la curvatura del espacio-tiempo es tan grandeque sus leyes ya no operan. Punto casi cero con enorme can-tidad de materia. Matemticamente es una regin donde nopuede definirse una funcin, convergiendo hacia valores infi-nitos.

    Geodsica Es la trayectoria ms corta entre dos puntos sobre una super-ficie.

    vii

  • Transformacin Es una transformacin de un grado de libertad que no modi-de Gauge fica ninguna propiedad observable fsica

    Geodsica nula Es cuando la distancia entre cualquier dos puntos es cero.

    Espaciotiempo plano Es el que est descrito bajo la mtrica de Minkowski.

    Fuerza tidial Se da cuando la fuerza no se aplica uniformemente sobre lasuperficie del objeto.

    Relatividad especial Teora expuesta por Einstein en 1905, que presenta una nuevaconcepcin del espacio-tiempo. En esta las transformacionesdel espacio-tiempo dejan invariable la velocidad de la luz.

    Tensor El tensor se define mediante la transformacin de un siste-ma inercial S a otro S.Se define mediante la transformacin:Tij = aiiajjTij.

    Combinacin lineal Es una expresin de tipo x1 + + xnvn donde v1, . . . , vnson elementos de un espacio vectorial V, y x1 + + xn sonnmeros.

    viii

  • RESUMEN

    El propsito del presente trabajo es presentar de manera detallada la deriva-cin de la rotacin del plano de polarizacin de una onda electromagntica, bajo lainfluencia de un campo gravitacional dbil, el llamado efecto Faraday gravitacionalpor su analoga con el efecto Faraday electromagntico.

    En la primera parte se presenta el efecto Faraday electromagntico, para esto seintroducen conceptos de la teora electromagntica clsica, tratndose las ecuacionesde Maxwell y el desarrollo del concepto de onda electromagntica.

    En la segunda parte se incluyen conceptos de Relatividad General, debido a loextenso de este tema nicamente se tocarn brevemente ciertos puntos importantes.Entre estos destacamos el concepto de lentes gravitacionales, que constituyen unade las principales pruebas de la validez de la teora de gravitacin de Einstein.Se introduce en esta parte el concepto de gravitoelectromagnetismo, junto a susprincipales ideas.

    En la ltima parte se presenta la derivacin de la rotacin Faraday gravitacio-nal en un campo gravitacional dbil, adems incluye ciertas observaciones partcu-lares en diversos sistemas astrofsicos.

    El efecto Faraday gravitacional demuestra la influencia de la geometra delespacio-tiempo en las propiedades de la luz que pasa cerca de una cantidad de masa.

    ix

  • x

  • OBJETIVOS

    General

    Realizar un estudio detallado de la obtencin relativista (gravitacional) de unfenmeno anlogo a uno electromagntico clsico, el efecto Faraday.

    Especficos

    1. Analizar las propiedades clsicas del efecto Faraday electromagntico.

    2. Desarrollar la derivacin de la rotacin Faraday gravitacional para un campogravitacional dbil.

    3. Presentar aplicaciones observacionales de la rotacin Faraday gravitacional.

    xi

  • xii

  • INTRODUCCIN

    Es ya conocido que la teora de gravedad aceptada luego de la desarrollada porNewton, la Relatividad General, predice una curvatura del espacio-tiempo. Cuandoexisten objetos supermasivos, a stos se les asocian corrientes de masa-energa entreellos, las cuales originan diversos fenmenos fsicos. El estudio de esto es conocidocomo gravitoelectromagnetismo.

    La teora electromagntica aplicada en ptica geomtrica para un espacio curvoha sido una de las principales pruebas de la teora de la Relatividad General. En lasltimas dcadas, observaciones tanto de curvatura de la luz y un retraso de tiempogravitacional han sido herramientas tiles tanto en Astrofsica como en Cosmologa.

    Tambin es conocido que el plano de polarizacin de rayos de luz que atraviesanplasma en presencia de un campo magntico sufre una rotacin, llamada rotacinFaraday.

    Como consecuencia de la Relatividad General se sabe que rayos que pasancerca de un objeto masivo son curvados hacia el mismo. Esta influencia gravitacionalsobre la luz presenta muchos fenmenos, asociados al gravitoelectromagnetismo, quetienen sus anlogos en la teora electromagntica clsica. Muchos estudios se hanrealizado sobre el efecto de la gravedad en el plano de polarizacin de un rayo deluz, siendo Skrotskii en 1957, aplicando un mtodo desarrollado por Rytov, quiendesarroll la primera discusin de este fenmeno.

    Ahora se sabe que el vector de polarizacin de una onda electromagntica rotadebido a las propiedades del espacio-tiempo. Esta rotacin gravitacional del planode polarizacin constituye un anlogo a la rotacin Faraday electromagntica.

    El propsito del presente trabajo es desarrollar la derivacin de la rotacinrelativista del plano de polarizacin, para rayos de luz linealmente polarizada en un

    xiii

  • campo gravitacional dbil.

    Este trabajo se compone de tres captulos, en el primero se desarrolla el fenme-no electromagntico, donde se presentan las principales ideas de electromagntismoque llevaron al entendimiento de la rotacin Faraday.

    El segundo captulo contiene las ideas de Relatividad General, aplicadas enespecial a un campo gravitacional dbil, y se presenta un poco sobre los lentes gra-vitacionales, que son una de las principales pruebas de la validez de esta teora.Adems incluye una breve presentacin