IMÁGENES FRACTALES ¿CÓMO SE HACEN? · 2005. 3. 30. · de un punto arbitrario La iteración de...
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SISTEMAS DINÁMICOS SISTEMAS DINÁMICOS CAÓTICOS
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SISTEMAS DINÁMICOS
SISTEMAS DINÁMICOS CAÓTICOS
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Se dice que un sistema dinámico (X,f) es caótico si
•es sensible respecto a las condiciones iniciales,
•es topológicamente transitivo,
•sus puntos periódicos son densos en X.
El concepto de Caos
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•(X,f) es sensible respecto a las condiciones iniciales si existe un número δ>0 (la constante de sensibilidad) tal que para todo x∈X y todo ε>0 existe y∈X con
d(x,y)δ
El concepto de Caos
Por ejemplo, para f(x)=4x(1-x)
x=0.75
x=0.75000001
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•(X,f) es topológicamente transitivo si dados dos subconjuntos abiertos cualesquiera U y V de X, existe k∈N tal que fk(U)∩V≠∅,
Por ejemplo, para f(x)=4x(1-x)
UV
El concepto de Caos
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• Los puntos periódicos de (X,f) son densos si para cualquier subconjunto abierto U de X, siempre existe un punto periódico en U.
El concepto de Caos
Por ejemplo, para f(x)=4x(1-x)
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Si (X,f) es sensible respecto a las condiciones iniciales, pequeños errores en la estimación de valores de la función se pueden ampliar considerablemente al iterarla.
Si (X,f) es topológicamente transitivo, X no puede descomponerse en dos subconjuntos disjuntos invariantes con interior no vacío. (Si f posee una órbita densa entonces (X,f) es topológicamente transitivo).
Por tanto, si un sistema dinámico es caótico, tiene una componente de impredicibilidad, una componente de irreducibilidad pero aun así tiene una terceracomponente de regularidad (puntos periódicos densos).
El concepto de Caos
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Recientemente, en 1994, se ha demostrado que todo sistema dinámico definido en un intervalo por una función f topológicamente transitiva es caótico.
Anteriormente, en 1992, ya se había probado que en cualquier espacio métrico, la sensibilidad a las condiciones iniciales se deduce de las otras dos propiedades.
En 1997 se ha probado que un sistema dinámico es caótico si y solo si para cualesquiera conjuntos abiertos U y V existe una órbita periódica que visita ambos.
El concepto de Caos
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El sistema dinámico “shift”
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤−
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El sistema dinámico “shift”Calculemos la iteración de un punto arbitrario
La iteración de un punto arbitrario racional siempre es periódica.Como los puntos que maneja el ordenador son racionales no se puede experimentar el comportamiento de esta función.
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En codificación binaria:
Con esta expresión, se ve que los puntos periódicos sonlos que tienen expresión binaria periódica.Los periódicos y preperiódicos son los números racionales. De éstos los periódicos son aquellos cuya fracción irreducible tiene denominador impar.
S(0.1a2a3a4 ...) = 1.a2a3a4... - 1=0.a2a3a4 ...
Así, S(0.a1a2a3a4 ...) = 0.a2a3a4 ...
S(0.0a2a3a4 ...) = 0.a2a3a4 ...
El sistema dinámico “shift”
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Teorema. El sistema dinámico ([0,1],S) es caótico. Dem. Solo tenemos que comprobar que para cualesquiera U y V abiertos de [0,1] existe una órbita periódica que visita ambos. Sean x=(0.a1a2a3a4 ...)∈U e y=(0.b1b2b3b4 ...)∈V. Como U y V son abiertos existe n suficientemente grande tal que x'=(0.a1a2 ...anb1b2 ...bna1a2 ...anb1b2 ...bn...)∈U ySn(x')=(0.b1b2 ...bna1a2 ...anb1b2 ...bna1a2 ...an...)∈V.
El sistema dinámico “shift”
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El sistema dinámico “tienda”
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≤≤−
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Calculemos la iteración de un punto arbitrarioLa iteración de un punto arbitrario racional siempre es periódica.
El sistema dinámico “tienda”
Como los puntos que maneja el ordenador son racionales no se puede experimentar el comportamiento de esta función.
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En codificación binaria
Lema. Se cumple que Tk+1=T Sk.
T(0.0a2a3a4 ...) = 0.a2a3a4 ..., T(0.1a2a3a4 ...) = 0.(1-a2)(1-a3)(1-a4) ...
Dem. T S (0.0a2a3a4 ...) = T (0.a2a3a4 ...)
T S (0.1a2a3a4 ...) = T (0.a2a3a4 ...) T T (0.1a2a3a4 ...) = T (0.(1-a2)(1-a3)(1-a4) ...)
T T (0.0a2a3a4 ...) = T (0.a2a3a4 ...) =
=
=
=
Por la simetríade T
En general Tk+1= T T ...T T T = T T ...T T S = T T ... T S S = ... = T S ... S S S = T Sk.
El sistema dinámico “tienda”
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Teorema. El sistema dinámico ([0,1],T) es caótico.
El sistema dinámico “tienda”
Dem. Tenemos que ver que si U y V son abiertos de [0,1], existe una órbita periódica que visita ambos. Sean x=(0. a1 a2 a3 a4 ...)∈U e y=(0. b1 b2 b3 b4 ...)∈V. Como U y V son abiertos existe n suficientemente grande tal que x'=(0.a1 a2 ...an 0 b1 b2 ...bn 0 a1 a2 ...an 0 b1 b2 ...bn...)∈U yTn+1(x')=TSn(x')=(0.b1b2 ...bn0a1a2...an0b1b2...bn...)∈V.Además,T2n+2 (x')=TS2n+1(x')=(0.a1a2...an0b1b2...bn0a1a2...an...)=x', y por tanto x' es periódico.
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La curva logísticaSea f: [0,1]→[0,1]tal quef(x)=4x(1-x)
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Calculemos la iteración de un punto arbitrario
La iteración de un punto arbitrario es ahora “densa” en (0,1)
La curva logística
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Lema. Sea h:[0,1]→[0,1] dada por h(t)=sen2((π/2) x).
Entonces f h=h T.
Por tanto, como h es homeomorfismo, f y h son topológicamenteconjugadas
La curva logística
Luego fkh=hTkpara todo k∈N, y h y h-1 mandan órbitas en órbitas.
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Teorema. El sistema dinámico ([0,1],f) es caótico.
La curva logística
Dem. Se tiene que x es un punto n-periódico de T si y solo si Tn(x)=x si y solo si f(h(x))=hTn(x)=h(x) si y solo si h(x) es n-periódico para f.Esto implica que como T cumple que para cualesquiera U y V abiertos de [0,1] existe una órbita periódica que visita ambos, también lo cumplirá f.
SISTEMAS DINÁMICOSEl concepto de CaosEl concepto de CaosEl concepto de CaosEl concepto de CaosEl concepto de CaosEl concepto de CaosEl sistema dinámico “shift”El sistema dinámico “shift”El sistema dinámico “shift”El sistema dinámico “shift”El sistema dinámico “tienda”El sistema dinámico “tienda”El sistema dinámico “tienda”El sistema dinámico “tienda”La curva logísticaLa curva logísticaLa curva logísticaLa curva logística
