IL PROBLEMA CARTOGRAFICO.

LA PROIEZIONE DELL'ELLISSOIDE SUL PIANO

Le deformazioni di una rappresentazione di una figura ellissoidica sul piano.

Si considerino tre punti A, B, C su un cilindro (fig. 1) congiunti a due a due da archi di geodetica; la figura così formata è un triangolo geodetico sul cilindro, gli angoli α, β e γ nei vertici sono gli angoli formati dalle tangenti alle geodetiche e i lati hanno lunghezze a, b e c pari alle lunghezze degli archi di geodetica, ognuno dei quali è evidentemente un segmento di curva gobba. Se si taglia il cilindro secondo una generatrice e lo si distende sul piano il triangolo geodetico si deforma, nel senso che da triangolo definito nello spazio da porzioni di curve gobbe si trasforma in una figura piana, ma si può constatare che ogni arco di geodetica si trasforma in un segmento di retta (ovvero in un segmento di geodetica del piano) che ha la stessa lun-ghezza, e che inoltre gli angoli fra questi segmenti di retta risultano uguali agli angoli α, β e γ fra le tangenti alle geodetiche sul cilindro. Si può dire quindi che il triangolo geodetico non si deforma in quanto in seguito allo spianamento i lati mantengono le stesse lunghezze e rimangono altresì inalterati gli angoli fra i lati.

Fig. 1 Triangolo geodetico su un cilindro e sviluppato su un piano

Il cilindro è infatti una superficie sviluppabile, ovvero si può distendere su un piano senza che gli angoli o i lati delle figure tracciate su di esso subiscano deformazioni. L'ellissoide terrestre, come nel caso più semplice della sfera, non è al contrario una superficie sviluppabile, cioè non si può distendere su un piano senza che i lati e gli angoli delle figure costituite con archi di geodetica si deformino, senza cioè che si verifichino variazioni di lunghezza dei lati, variazioni degli angoli ed anche variazioni dell'aree racchiuse dalle figure. Di conseguenza qualsiasi rappresentazione dell'ellissoide sul piano, cioè qualsiasi carta, risulta deformata. Vi è una sola maniera di distendere un cilindro od un cono su di un piano, mentre, stabilito che per lo stesso scopo occorre deformare la superficie dell'ellissoide, vi sono infinite maniere di ottenere una rappresentazione piana dell'ellissoide in relazione alle infinite maniere con cui la deformazione può essere apportata; è ovvio però che le rappresentazioni utili nella pratica dovranno avere deformazioni

contenute entro determinati limiti. È anche intuitivo che, stabilita una maniera di spianare l'ellissoide su un piano effettuando stiramenti o contrazioni più o meno accentuate in varie direzioni, due figure uguali sull'ellissoide, ma in posizioni diverse, risulteranno sulla carta diversamente deformate, in altre parole la deformazione della carta varia da punto a punto; ne deriva che per caratterizzare la deformazione stessa occorre riferirsi ad elementi infinitesimi; le deformazioni sulla carta di figure formate da elementi finiti, trasformate delle corrispondenti sull'ellissoide, si potranno dedurre con operazioni di integrazione.

È opportuno precisare che la rappresentazione dell'ellissoide sul piano è un'operazione che si può eseguire per via puramente numerica, si determinano cioè coordinate cartografiche, lunghezze di linee, angoli fra linee, operando esclusivamente sui numeri; questi numeri rappresentano, sulla base delle unità di misura usate, i valori veri delle grandezze in questione, sia se sono considerate sull'ellissoide sia se sono considerate nella rappresentazione. La rappresentazione diventa grafica, cioè una carta, quando, stabilita una determinata scala 1/n, i vari elementi vengono riportati graficamente; pertanto i numeri che definiscono graficamente, nelle stesse unità di misura, coordinate, lunghezze di linee, ecc., sono n volte più piccoli; ovviamente la questione non si pone per gli angoli, mentre per le aree il rapporto fra il valore risultante dal grafico ed il valore vero, espressi nella stessa unità di misura, è 1/n2.

Per non ingenerare confusioni è quindi necessario stabilire che nel seguito non si prende in considerazione l'aspetto grafico della rappresentazione, a meno che non vi si faccia esplicitamente riferimento, dimodoché tutti gli elementi di una rappresentazione saranno definiti da numeri che si riferiscono a grandezze vere, e non ridotte in scala.

Ciò posto per definire la deformazione in un punto della rappresentazione si potranno prendere in considerazione due moduli: il modulo di deformazione lineare e il modulo di deformazione areale; quanto agli angoli si potrà considerare la deformazione di un determinato angolo in quanto questa, se è presente, dipenderà dall'ampiezza dell'angolo stesso.

Se con dse (fig. 2) si indica un archetto infinitesimo di arco di geodetica sull'ellissoide e con dsr il corrispondente nella rappresentazione, cioè sul piano cartografico, il rapporto

[1]

definisce il modulo di deformazione lineare; questo rapporto varia sempre da punto a punto della rappresentazione, perché nel caso contrario si avrebbe una rappresentazione senza deformazioni.

In particolare il modulo di deformazione dipende anche dalla direzione dell’arco di geodetica. Dunque il modulo di deformazione lineare può avere nel punto più valori, a seconda della direzione dell’arco di geodetica infinitesimo uscente dal punto.

Analogamente indicando con dσe (fig. 3) l'area racchiusa da un quadrilatero infinitesimo nell'ellissoide e con dσr quella racchiusa dal corrispondente quadrilatero sulla rappresentazione si definisce modulo di deformazione areale il rapporto

[2]

Si consideri un meridiano sull'ellissoide (fig. 4) e la linea (trasformata del meridiano) che gli corrisponde nella rappresentazione cartografica; un elemento, di linea sull'ellissoide forma un angolo α (azimut) con il meridiano (cioè la tangente nel punto alla linea definisce un angolo α (azimut) con la tangente al meridiano nel punto. La trasformata della linea sul pianto cartografico forma un angolo α' con la linea trasformata del meridiano; la deformazione angolare si può definire come differenza

[3]

fra le due direzioni; la deformazione di un angolo risulta poi dalla differenza delle deformazioni che competono alle due direzioni che lo formano.

A questo punto si tenga conto che per α = 0, sulla superficie dell’ellissoide, viene individuata la direzione lungo il meridiano, che dunque porta al Nord geografico del polo. La direzione α’ = 0 sulla superficie cartografica porta anch’essa verso il Nord geografico, indicato dalla trasformata del meridiano.

Sul piano carta però, viene a definirsi anche il Nord cartografico che, a meno di particolari proiezioni come nel caso della proiezione di Mercatore, non coincide con il Nord geografico.

Elementi che definiscono una rappresentazione.

La rappresentazione dell'ellissoide sul piano è definita da due funzioni

[4] x = x (φ, λ)

y = y (φ, λ) che stabiliscono una corrispondenza biunivoca fra la posizione di un punto P sull'ellissoide, data dalle coordinate geografiche φ e λ, e la posizione del corrispondente punto P' sul piano della rappresentazione, data dalle coordinate piane ortogonali x, y. x, y. Prendono il nome di coordinate carta e vengono spesso indicate con le lettere Est e Nord. Tale sistema di coordinate prende il nome di planimetria che dunque consiste in quella relazione tra i punti della superficie fisica della terra proiettati sulla superfici di riferimento (ellissoide) e rappresentati in un sistema cartografico piano detto proiezione cartografica. La soluzione completa dei problemi inerenti una rappresentazione dell'ellissoide sul piano comporta :

a) la definizione delle formule [4] di corrispondenza e delle formule inverse

φ = φ(x, y), λ = λ (x, y),

b) la definizione dei moduli di deformazione e della deformazione angolare in funzione delle coordinate geografiche φ e λ, o meglio per gli usi pratici, in funzione delle coordinate x, y, cioè delle coordinate nel sistema carta;

c) la definizione del reticolato geografico ovvero la determinazione delle linee che sulla rappresentazione costituiscono le trasformate dei meridiani e dei paralleli ed in particolare la definizione dell'angolo γ (convergenza del meridiano) che la tangente alla trasformata del

meridiano in un punto forma con la parallela all'asse delle ordinate y.

Abbiamo in precedenza dimostrato come una misurazione di una distanza sulla superficie fisica della terra, viene rappresentata (con i dovuti ambiti di applicazione) con un arco di geodetica P1P2 (fig. 5) sull'ellissoide. Tale arco viene dunque rappresentato in una linea chiamata trasformata della geodetica, in generale costituita da un arco di curva che congiunge i punti P'1 P'2 della rappresentazione, che è distinto dalla corda che collega i due punti P'1 P'2 ;

d) la natura geometrica della trasformata di un arco di geodetica per poter definire

e) gli angoli ε1, ε2 che il segmento rettilineo che congiunge P'1 con P'2 forma con le tangenti alla trasformata

f) il rapporto l'/l fra la lunghezza della congiungente rettilinea (corda) i punti P'1 e P'2 e la lunghezza l dell'arco di geodetica.

Determinazione dei moduli di deformazione. I moduli di deformazione in un punto della rappresentazione e la deformazione di un

angolo si possono esprimere in funzione delle quattro derivate parziali delle [4] rispetto a x e y.

Si consideri (fig. 6) un elemento lineare infinitesimo dse sull’ellissoide, i due elementi di meridiano ρdφ e di parallelo rdλ passanti per i suoi estremi e l'azimut a di dse; dal triangolo infinitesimo così formato, e che si può considerare piano perché infinitesimo, si ha

[5]

Trasformate secondo le [4] le coordinate estreme di questo elemento si ottengono due punti infinitamente vicini della rappresentazione e quindi un elemento lineare dsr che, con riferimento agli assi ortogonali x, y, è dato da

[6]

Dalle [4] si ha poi

[6']

per cui quadrando e sostituendo nella [6] si ha

[6"]

avendo posto

[7]

Dal triangolo infinitesimo di figura 6 si ha inoltre

[8]

per cui ricavando dφ e dλ, sostituendoli nella [6"] e dividendo per dse2 si ha il quadrato del

modulo di deformazione

[9]

che si può scrivere più semplicemente ponendo

[10]

[11]

Ovviamente e* e g* rappresentano i quadrati dei moduli di deformazione rispettivamente secondo la direzione della trasformata del meridiano e secondo la direzione della trasformata del parallelo.

Poiché e*, f* e g* sono funzione solo della φ e λ del punto si può constatare che in generale il modulo di deformazione varia al variare dell’azimut α; se a partire dal punto si riportano nelle varie direzioni dei segmenti inversamente proporzionali ai moduli di deformazione, gli estremi di questi segmenti si trovano su un ellisse, chiamato ellisse delle deformazioni, le cui caratteristiche possono essere ricavate dalla [11].

DA LEGGERE – DIMOSTRAZIONE NON RICHIESTA

Per trovare l'espressione del modulo di deformazione areale si consideri (fig. 7) un quadrilatero formato da due meridiani e due paralleli infinitamente vicini; poiché tali linee sono ortogonali l'area del quadrilatero infinitesimo è

[12]

Sulla rappresentazione all'elemento di meridiano corrisponde un elemento dm=ρdφ√e*, ed all’elemento di parallelo un elemento dp=rdλ√g*; l'area del quadrilatero infinitesimo sulla rappresentazione è pertanto

[13]

dovendosi ammettere, in generale, che le trasformate dei meridiani e dei paralleli uscenti da un punto formino fra di loro un angolo ω diverso da π/2. Pertanto i1 modulo di deformazione areale è

[14]

È necessario però esprimere il sen ω in funzione delle derivate delle [4] rispetto φ e λ; in analogia alla formula che fornisce l’angolo di direzione di un segmento in funzione delle differenze delle coordinate degli estremi, e tenuto conto che il triangolo è infinitesimo, l'angolo di direzione θm dell'elemento di meridiano è dato dalla

e ricavando dx e dy dalle [6'] con d λ = 0

[15]

e analogamente per l'angolo di direzione dell'elemento di parallelo, ricavando dalle [6'] dx e dy per dφ = 0,

[16]

per cui

e poiché

[17]

e infine

[18]

È anche utile ricavare dalla [17], con semplici passaggi,

[19]

Sia α l'azimut dell'elemento dse sull'ellissoide, ovvero l’angolo che questo forma con il meridiano, e sia α' l'angolo che il corrispondente elemento dsr forma con la trasformata del meridiano (fig. 4); se con dp e dm si indicano le componenti di dsr secondo le trasformate del parallelo e del meridiano si ha

e dalle

per cui sostituendo

Tenuto poi conto che (v. [3])

si ha

[20]

che fornisce l'espressione della deformazione angolare.

Classificazione delle rappresentazioni in base alle caratteristiche delle deformazioni. La rappresentazione piana dell'ellissoide comporta comunque delle deformazioni, ma si possono definire delle rappresentazioni chiamate isogone o conformi per le quali il modulo di deformazione lineare pur variando da punto a punto non varia, in uno stesso punto, al variare della direzione dell'elemento; ne deriva che a meno di infinitesimi di ordine superiore le figure infinitesime sul piano risultano simili alle corrispondenti sull'ellissoide, con il rapporto di similitudine che varia però da punto a punto; in questo caso è evidente che l'angolo formato da due elementi infinitesimi sull'ellissoide, ovvero l'angolo fra le tangenti a due linee uscenti da un punto, risulta uguale all'angolo formato fra le tangenti alle trasformate di tali linee sulla rappresentazione; nelle carte conformi la deformazione angolare è pertanto nulla in ogni punto.

Nelle rappresentazioni equivalenti si conserva invece costante il rapporto fra le aree di due quadrilateri infinitesimi corrispondenti, è cioè costante ed uguale all'unità il modulo di deformazione areale.

Si chiamano infine afilattiche le rappresentazioni in cui sono presenti tutti i tipi di deformazione ognuno dei quali e però mantenuto nei limiti più ristretti possibili. Ogni tipo di rappresentazione, e la carta che ne deriva, presenta dei vantaggi per uno o più specifici usi, ad es. le carte isogone sono particolarmente utili per la navigazione, mentre le carte equivalenti sono utili per le mappe catastali che riportano i confini delle proprietà fondiarie, e devono quindi permettere la corretta valutazione delle superfici.

Le rappresentazioni come proiezione dei punti dell'ellissoide su superfici sviluppabili.

Tipi di proiezione.

Le relazioni [4] che definiscono una rappresentazione possono essere dedotte eseguendo da un opportuno centro la proiezione dei punti dell’ellissoide su una superficie sviluppabile convenientemente disposta e determinando poi le deformazioni della rappresentazione sulla superficie spianata; ma le carte, nate appunto come proiezioni geometriche, furono rese indipendenti da questo carattere puramente proiettivo (proiezioni modificate) perché avessero, in relazione ad usi specifici, determinate caratteristiche.

È opportuno infatti procedere in senso contrario, e cioè derivare le equazioni della rappresentazione dalle caratteristiche di deformazione che si vogliono realizzare; ciò viene fatto comunemente sulla base di una teoria matematica delle rappresentazioni, i cui elementi sono esposti nel § 3 ; è però conveniente per il carattere intuitivo delle proiezioni, e per dare una classificazione delle rappresentazioni, esaminare la genesi di una rappresentazione come proiezione, nell'ipotesi semplificativa che la superficie di riferimento sia sferica.

Le superfici sviluppabili su cui eseguire la proiezione sono : il piano, il cilindro ed il cono (fig. 8 a); si hanno nel primo caso le proiezioni prospettiche, negli altri due casi le proiezioni per sviluppo; utilizzando il piano sii hanno, a seconda di dove si dispone il punto di proiezione P (v. fig. 8 b) le proiezioni centrografiche, stereografiche, scenografiche e ortografiche.

Nelle proiezioni per sviluppo il cono od il cilindro si dispongono tangenti o secanti alla superficie dell'ellissoide, ed il punto di proiezione è in generale il centro dell'ellissoide o un punto all'infinito in direzione normale alla linea di tangenza.

A seconda poi dell'orientamento dell'ellissoide rispetto al centro e rispetto alla superficie di proiezione, si hanno le proiezioni polari (piano tangente al polo), azimutali (piano tangente in un punto qualsiasi), meridiane (piano tangente in un punto dell'equatore), e così via.

Per rappresentare vaste zone della superficie dell'ellissoide si adottano le rappresentazioni policentriche, si suddivide cioè la zona da rappresentare in porzioni, per ognuna delle quali si

sceglie un conveniente punto e una conveniente superficie di proiezione; sorgono in tal caso dei problemi per le corrispondenze fra i punti ai confini di ogni porzione.

Proiezione stereografica polare.

(DIMOSTRAZIONE RICHIESTA CON ESCLUSIONE DEL CALCOLO DEI COEFFICIENTI DI DEFORMAZIONE)

Nella rappresentazione stereografica polare i punti dell'ellissoide sono proiettati su un piano tangente ad un polo, con il centro di proiezione sull'altro polo (fig. 9); si assume l'asse y della rappresentazione nella direzione in cui si proietta il meridiano fondamentale.

Sia A un punto sulla superficie di riferimento di coordinate φ e λ ed A' la sua proiezione; risulta (fig. 9 a)

e pertanto le equazioni della rappresentazione sono

[21]

Facendo il rapporto delle due equazioni si elimina la coordinata φ e risulta

x = y tang λ

per cui con λ = cost. ha l'equazione di una retta; pertanto i meridiani sono rappresentati da rette uscenti dall'origine delle coordinate cartografiche (fig. 9 b).

Eliminando λ si ha

e per φ= cost. l'equazione di un cerchio; i paralleli si trasformano pertanto in circonferenze concentriche con il centro nell'origine degli assi (fig. 9 b) ; i raggi di queste circonferenze sono evidentemente maggiori dei raggi dei corrispondenti paralleli ed in particolare all'equatore corrisponde una circonferenza di raggio 2R.

Il modulo di deformazione mm lungo la trasformata del meridiano si può ricavare

direttamente determinando per questa linea le espressioni di dse e dsr', si ha

e per dsr

per cui, trascurando il segno -, in evidente relazione con il fatto che O A' diminuisce quando φ aumenta, questo risultato si può ricavare direttamente dalla [11] in quanto, eseguendo le derivate delle [21] rispetto a φ, si ricava Inoltre, eseguendo le derivate delle [21] rispetto a λ, che sì può trasformare come segue

Il modulo di deformazione lungo il parallelo è pertanto uguale a quello lungo il meridiano: la proiezione è infatti conforme; il modulo di deformazione vale 1, ovvero non si ha deformazione nell'intorno del polo, ed arriva a 2, ovvero le dimensioni di un elemento lineare sulla rappre-sentazione sono doppie del corrispondente sull'ellissoide, sulla circonferenza che rappresenta l'equatore.

Proiezione cilindrica equivalente di LAMBERT.

(DIMOSTRAZIONE NON RICHIESTA)

Nella proiezione cilindrica equivalente di LAMBERT (fig. 10) il cilindro è disposto tangente all'equatore, ed il punto proiettante, che è variabile, è il punto all'infinito del piano del meridiano del punto che si sta proiettando in direzione ortogonale all'asse del cilindro; risulta quindi

x = Rλ

[22] y = R sen φ

Pertanto le trasformate dei meridiani (fig. 10 b) sono rette parallele all'asse y, ed i paralleli (φ = cost) si proiettano in rette parallele all'asse x, aventi una distanza da questo proporzionale a sen φ.

Dalla [18] e in base alle [22] si ricava che il modulo di deformazione areale è

il che dimostra che la rappresentazione è equivalente.

Per sua natura la rappresentazione di Lambert viene dunque soprattutto utilizzata nella rappresentazione di paesi caratterizzati da uno sviluppo in particolare in direzione Est-Ovest, quali ad esempio la Turchia.

Proiezione conica ordinaria o di TOLOMEO.

(DIMOSTRAZIONE NON RICHIESTA)

Per ottenere questa proiezione che risulta afilattica, ma che trova qualche applicazione, si dispone (fìg. 11) il cono tangente ad un parallelo di latitudine λ e si proiettano i meridiani dal centro della sfera, che si trasformano così nelle generatrici del cono ; i paralleli invece non si ottengono per proiezione, ma vengono riportati lungo le sezioni del cono normali all'asse, e ad una distanza reciproca uguale all'arco di meridiano compreso fra di essi (in fig. 11 la distanza P'Q' è uguale all'arco PQ); la proiezione è in effetti modificata.

L'angolo θ fra la trasformata del meridiano di riferimento e quella di un meridiano generico non è uguale alla differenza di longitudine λ, ma si ha

θ = λ sen φo

Infatti la lunghezza do della generatrice del cono compresa fra il vertice ed il punto di tangenza è do = R cot φo, e l'arco di parallelo corrispondente alla differenza di longitudine λ ha una lunghezza lo = R cos φo λ ; poiché nello sviluppo del cono sul piano sia do che lo conservano le loro dimensioni risulta

L'angolo al vertice del settore circolare corrispondente al cono sviluppato è quindi minore di 2π. Il parallelo alla latitudine φ si trasforma in una circonferenza di raggio do = R cot φo, mentre, per la maniera con cui i paralleli vengono riportati sul cono, il parallelo alla latitudine φ si trasforma in una circonferenza di raggio p = R cot φo - R (φ - φo). Pertanto posto a = R (cot φo + φo) e b = sen φo si ha p = a - R φ, θ = bλ e le equazioni della carta si scrivono

[23]

Equazioni differenziali delle rappresentazioni. (PARTE OPZIONALE NON RICHIESTA)

Equazioni differenziali dette rappresentazioni conformi. In una rappresentazione conforme la deformazione angolare deve essere nulla in ogni punto e per ogni angolo e pertanto deve essere (v. [20]) δ = O e quindi

ovvero

che si scrive per esteso

[24]

Poiché la deformazione angolare è nulla le trasformate dei meridiani e i paralleli si incontrano ad angolo retto e si ha cos ω = O, ovvero, per la [19], f = 0; quest'ultima relazione scritta per esteso è

[25]

È opportuno però trasformare le [24] e [25] introducendo in luogo della coordinata curvilinea φ la coordinata curvilinea u, chiamata latitudine ridotta e legata a φ dalla relazione

ovvero

Questo integrale si può facilmente eseguire e si ottiene

[26]

dove e é la radice dell'eccentricità; u si definisce pertanto in funzione della sola φ. Il sistema di coordinate sull'ellissoide u, A è chiamato isotermo perché consente di esprimere il quadrato dell'elemento lineare dse

2 (v. [5]) in modo che i coefficienti di du e dλ siano uguali, e cioè

Risulta quindi

per cui la [24] si trasforma in

[27]

e la [25] in

[28]

che si può anche scrivere

[29]

Dalla [27] mettendo ili evidenza al primo membro (dy/du)2 ed al secondo membro (dx/dλ)2, e tenendo conto della [29] si ha da cui si può trarre che deve essere in questa relazione è opportuno non prendere in considerazione il segno - perché se si adottasse tale segno il modulo di deformazione superficiale delle carte conformi (v. [18]) risulterebbe negativo, ovvero ad un quadrilatero infinitesimo di area dσe costruito con incrementi positivi di u e di λ corrisponderebbe un valore negativo dell'area dσr corrispondente sulla rappresentazione. Tenuto conto del risultato [30] si ricava poi dalla [29] che deve essere

[31] In definitiva quindi le equazioni differenziali delle rappresentazioni conformi sono [32] poiché le rappresentazioni conformi sono definite da un sistema di equazioni alle derivate parziali le soluzioni si possono trovare a meno di funzioni arbitrarie, il che vuol dire che si possono avere infinite rappresentazioni conformi; i vari tipi di carte si ottengono quindi imponendo condizioni al contorno, stabilendo cioè come si vuole che si trasformi un meridiano od un'altra linea, o meglio quali valori deve assumere il modulo di deformazione lineare lungo la trasformata di una determinata linea. Si può verificare facilmente tenendo presente la [24] e la condizione f = 0 che nelle rappresentazioni conformi il modulo di deformazione lineare [11] è indipendente dall'azimut α; risulta infatti Uso delle funzioni di variabile complessa per definire le rappresentazioni conformi. (NON RICHIESTA) Le equazioni [32] coincidono con le condizioni di omogeneità di CAUCHY e cioè con le condizioni necessarie e sufficienti affinché la variabile complessa y + ix si possa definire quale funzione della variabile complessa u + iλ. Tutte le rappresentazioni conformi hanno quindi equazioni che possono essere ricavate dalla relazione [33] dove la funzione f è arbitraria: l'esistenza, ovvero la possibilità, del legame funzionale fra le due variabili complesse garantisce la conformità della rappresentazione. La [33] può essere sviluppata in serie di TAYLOR con termini immaginari assumendo come incremento la quantità immaginaria iλ con λ espresso in radianti; si ha [34] e, tenuto conto che [35]

Uguagliando le parti reali ed i coefficienti dell'immaginario si ha [36] Tutti i tipi di rappresentazioni conformi possono quindi essere ottenuti particolarizzando la funzione f(u) e conseguentemente, tramite le derivate di questa funzione, tutti gli altri termini dei secondi membri delle [36]. Da notare che particolarizzare la f(u) equivale (v. anche § 4) a stabilire a quale valore della y deve corrispondere il valore della latitudine per ogni punto del meridiano fondamentale (λ = 0), o in altre parole a stabilire come si deve trasformare tale meridiano. Il numero delle rappresentazioni conformi è teoricamente infinito, ma in pratica il numero di rappresentazioni semplici e che si adattano bene a rappresentare cartograficamente una regione del globo terrestre è molto limitato. Equazione differenziale delle rappresentazioni equivalenti. (NON RICHIESTA) Nelle rappresentazioni equivalenti il modulo di deformazione areale deve essere costante ed uguale a 1; deriva quindi dalla [18] che le equazioni delle rappresentazioni equivalenti devono soddisfare l'equazione differenziale alle derivate parziali [37] o, utilizzando le coordinate isometriche u, λ, [37'] Si può facilmente dimostrare che non vi può essere una rappresentazione che sia al tempo stesso equivalente e conforme, non possono cioè essere definite delle funzioni [4] che soddisfino contemporaneamente le equazioni [32] e l'equazione [37'].

LA RAPPRESENTAZIONE CONFORME DI GAUSS. Introduzione La rappresentazione conforme di GAUSS viene descritta in maniera più ampia perché è quella usata per la cartografia ufficiale italiana, e inoltre perché calcoli e compensazioni di reti trigonometriche di qualsiasi estensione sull'ellissoide possono essere ridotti, mediante l'uso di questa rappresentazione, a calcoli e compensazioni di reti piane evitando dunque di dover ricorrere a complessi calcoli sulla superficie di riferimento ellissoidica; così si hanno infatti delle notevoli semplificazioni nelle formule e una maggiore facilità di calcolo.

La proiezione di Gauss è detta anche “cilindrica inversa” perché la forma del reticolato geografico è somigliante a quella che si otterrebbe proiettando la Terra dal suo centro su un cilindro tangente lungo il meridiano 0°;

Figura 1: Schema della proiezione cilindrica trasversa

si ricorda però che la trasformazione non è affatto di tipo proiettivo ma che tale scelta descrittiva è solo per finalità didattiche (in questa dispensa si è deciso infatti di NON descrivere le equazioni di trasformazione di Gauss).

Il risultato mostrato nella figura 2 mostra l’aspetto del reticolato geografico ottenuto applicando la proiezione di Gauss ad una sfera (il reticolato ottenuto da un ellissoide risulta poco differente). Né per φ=cost. (equazione del parallelo) e per λ=cost. (equazione del meridiano) si ottengono dele curve considerate nella geometria analitica.

I paralleli sono rappresentati da curve di forma abbastanza simile a settori di ellissi, mentre i meridiani si approssimano a sinusoidi. L’equatore diventa una retta, mentre il meridiano centrale (in cui, nella semplificazione grafica di ellissoide tangente ad un cilindro traverso, l’ellissoide traverso risulta tangente al cilindro) diventa anch’esso una retta. Nella figura 3 si osserva come un meridiano scelto come centro per la proiezione di Gauss, diventa nel fuso corrispondente un segmento rettilineo.

Figura 11: Esempio di proiezione conforme di Gauss.

Figura 3: Lo schema dell’ellissoide con il cilindro inverso tangente ad un meridiano. Esempio di Fuso ottenuto

tramite la trasformazione di Gauss

Figura 4: Se si limita l’estensione in longitudine della trasformazione si ottiene un fuso di dimensioni

limitate rispetto alla 2, dove invece all’allontanandosi dalla trasformata del meridiano tangente si osservano, anche intuitivamente, deformazioni sempre più importanti.

La proiezione di Gauss è denominata anche con il termine “cilindrica inversa” appunto poiché la forma del reticolato geografico, che si ottiene sulla carta applicando le formule di trasformazione di Gauss, è assai simile a quella che si otterrebbe proiettando l’ellissoide dal suo centro su un cilindro tangente lungo un meridiano, denominato meridiano centrale della proiezione o del fuso; è però opportuno ricordare che la trasformazione non è in realtà di tipo proiettivo. In inglese tale trasformazione prende anche il nome di “Transverse Mercator”, cioè proiezione traversa di Mercatore. La Commissione Geodetica Italiana, nel 1940, decide di adottare l'ellissoide internazionale di Hayford quale superficie di riferimento per le operazioni geodetiche e cartografiche sul territorio nazionale italiano. II centro di emanazione della rete geodetica e di orientamento dell’ellissoide fu stabilito presso l’osservatorio astronomico di Roma Monte Mario, a cui furono attribuiti i seguenti valori (DA RICORDARE), determinati con operazioni di astronomia geodetica.

φ = 41° 55’ 25’’, 51

λ = 0° (12° 27’ 08’’, 4 Est di Greenwich)

Azimut convenzionale della direzione verso il Monte Soratte posto a Nord di Roma

pari a :

α = 6° 35’00’’, 88

In questo modo (operazione denominata di orientamento dell’ellissoide) l'ellissoide e stato assunto tangente al geoide nel punto suddetto o, come suole dirsi, e stato “orientato” a Roma Monte Mario. II rilievo terrestre calcolato sulla superficie dell'ellissoide e in definitiva una proiezione conforme di quello eseguito sulla superficie fisica e tale proiezione, per essere le due superfici ovunque applicabili entro 1'ordine di approssimazione delle misure geodetiche, e anche equivalente; vengono, cioè, conservati sia gli angoli che le distanze.

Nel 1941 fu poi deciso di usare la proiezione di Gauss per effettuare i calcoli geodetici sul piano anziché sulla superficie dell'ellissoide. Ciò ovviamente permette di semplificare enormemente i calcoli, non richiedendo più l’effettuazione di calcoli su superfici non piane.

In un primo tempo (v. ad es. Boaga, 1942) fu stabilito di adottare fusi di 3° di ampiezza onde limitare lo sviluppo delle formule e facilitare il calcolo. Furono cosi istituiti cinque fusi con meridiano centrale alle longitudini -6°, -3°, 0°, +3°, +6° da M. Mario, rispettivamente. Poiché in ogni fuso la massima differenza di longitudine dal meridiano centrale era di 1°30', il modulo di deformazione raggiungeva al massimo il valore di circa 1,0002, per cui non fu introdotto il fattore di scala. Ovviamente essendo i meridiani centrali tangenti all’ellissoide, questi ultimi venivano sviluppati in vera lunghezza. Cioè la lunghezza del meridiano centrale coincideva, a parte i fattori di scala di rappresentazione, con la lunghezza della sua trasformata.

Per ricavare dalle coordinate dei punti le mutue relazioni di posizione e neces-sario che esse siano riferite allo stesso sistema di assi; tra le coordinate di punti appartenenti a fusi diversi non vi è, perciò, alcuna relazione.

E’ allora necessario, per permettere di operare efficacemente nell’utilizzo pratico delle carte, che per una ragionevole estensione nelle zone di separazione tra fusi adiacenti le coordinate dei punti siano calcolate in entrambi i fusi, in modo da permettere l’esecuzione dei calcoli sia con punti situati ad Ovest che con punti situati ad Est. Tali zone vengono denominate zone di sovrapposizione. Nel sistema sopra detto erano quindi necessarie quattro zone di sovrapposizione con una estrema complicazione dei calcoli.

Gli studi teorici e la realizzazione pratica delle tavole per i calcoli furono opera principalmente del Prof. Giovanni Boaga (n. 1902, m. 1961), ed in riconoscimento di ciò la Commissione Geodetica Italiana stabili che la proiezione venisse denominata Proiezione di Gauss-Boaga. Nel 1948 fu stabilito di adottare la proiezione di Gauss anche per la cartografia. In considerazione del fatto che l’Italia si estende per poco più di 12° in longitudine e tenendo conto di quanto era in via di realizzazione anche in numerosi altri Stati, fu deciso di adottare, e tuttora vige tale scelta, due soli fusi di 6° di ampiezza con meridiani centrali 9° e 15° ad Est di Greenwich (cui corrispondono le longitudini, se riferite al meridiano di riferimento italiano a Monte Mario, rispettivamente di -3°27'08",4 e +2°32'5l",6).

Figura 14 : (Fonte Prof. Galetto)

Figura 15: (Fonte Prof. Galetto) I due sistemi cartografici del sistema cartografico nazionale

Si decise anche di introdurre il fattore di riduzione del meridiano centrale, pari a

m0 = 0,9996 al fine di contenere il modulo di deformazione che cosi assume il valore massimo di circa 1,0004.

I due fusi sono denominati fuso Ovest e fuso Est e furono adottati come falsa origine per le coordinate E i valori 1500 km e 2520 km rispettivamente, cosi che la prima cifra della coordinata E indicasse anche il fuso di appartenenza. L’utilizzo del Falso Est consiste nel sommare alla coordinata Est del sistema cartografico (che

dunque andrebbe ad associare al meridiano un valore Est pari a zero) un valore di traslazione.

L’effetto di sommare ad ogni coordinata Est un fattore di traslazione, denominato appunto Falso Est, permette ad esempio di evitare la presenza di valori negativi in cartografia, con il risultato di semplificare notevolmente i calcoli sul piano cartografico di Gauss.

Figura 16a: I fusi della proiezione di Gauss Boaga

Figura 16b: I fusi della proiezione di Gauss Boaga

Se inoltre il Falso Est applicato al fuso fosse per la cartografia italiana il

medesimo per entrambi i fusi, si avrebbe l’effetto che le coordinate di un punto non identificherebbero univocamente un punto sul territorio nazionale, ma bensì due. Scegliendo oculatamente i valori di Falso Est per i due fusi nazionali (Est e Ovest), ed in particolare di 1500 km per il fuso Ovest e di 2520 Km per il fuso Est, si è invece ottenuto l’effetto che semplicemente osservando la coordinata E si comprende l’appartenenza del punto (se 1 al fuso Ovest se 2 al fuso Est), evitando inoltre la possibilità di avere punti diversi con la medesima coordinata.

La zona compresa tra le longitudini -0°30' e 0° da Monte Mario (11°57'08",4 e 12°27'08",4 da Greenwich) e stata stabilita come zona di sovrapposizione ed in essa le coordinate dei punti vengono determinate in entrambi i fusi.

Anche per questo sistema di rappresentazione e stato conservato il nome di proiezione di Gauss-Boaga.

La proiezione UTM

Come già accennato la proiezione di Gauss e denominata nei Paesi anglosassoni proiezione trasversa di Mercatore o UTM (Universal Transverse Mercator Projection). Durante e dopo la seconda guerra mondiale molte nazioni pensarono di introdurre una rappresentazione conforme nella propria cartografia, ed il maggior favore fu incontrato appunto dalla proiezione di Gauss. Tra le ragioni che inducevano a preferirla, non ultima e che i fusi in tale proiezione sono identici 1'uno all'altro, per cui le tavole costruite per il calcolo di un fuso possono essere usate per tutti gli altri. Fu, anche, sentita 1'esigenza di uniformare per quanto possibile le cartografie. La soluzione che incontro il maggior favore fu 1'adozione del fuso di 6° di ampiezza,

con fattore di contrazione del meridiano centrale pari m0 = 0,9996. Si trovò inoltre l’accordo per un taglio standard. Tutta la superficie terrestre fu suddivisa in 60 fusi, numerati da 1 a 60 in senso antiorario a partire dall'antimeridiano di Greenwich. Le longitudini dei meridiani centrali risultano, cosi, -177°, -171°, .... -3°, + 3°, + 9°, + 15° .... + 171°, + 177°. I due fusi in cui ricade l’Italia, che peraltro erano gia stati stabiliti in modo indipendente, hanno in questo sistema i numeri 32 e 33. La falsa origine per le coordinate E è stata stabilita pari, per tutti i fusi, ed è pari al valore di 500 km. L'estensione in latitudine è da +80° a -80°.

Questo sistema di proiezione e indicato con la sigla UTM (Universal Transverse Mercator) ed e stato adottato, oltre che dall' Italia, da un grande numero di nazioni in tutto il mondo.

Figura 17: I 60 fusi in cui è suddiviso l’intero globo terrestre

Il sistema di riferimento unificato europeo (ED 50)

La rete geodetica italiana (e conseguentemente le coordinate di tutti i punti trigonometrici e la cartografia che e basata su di essi) e riferita all' ellissoide internazionale orientate a Roma M. Mario (definizione 1940), che costituisce un sistema nazionale di riferimento. Dunque il Datum RM40 corrisponde all’ellissoide di Internazionale di Hayford orientato a Monte Mario e materializzato nel territorio da una rete di vertici di primo ordine e di ordine inferiore. Analogamente, ogni Stato ha un proprio sistema nazionale di riferimento, per cui le coordinate di punti appartenenti a Stati diversi non hanno alcuna relazione tra loro.

Figura 18: La rete geodetica italiana Dopo la fine della seconda guerra mondiale fu sentita 1'esigenza di unificare i

sistemi di riferimento e le cartografie, e nell'ambito dell'Associazione Internazionale di Geodesia molti Stati europei concordarono 1'adozione della proiezione UTM. La diffusione delle macchine calcolatrici elettroniche permetteva di affrontare calcoli di mole altrimenti impensabile, per cui fu deciso di procedere ad un calcolo di compensazione di insieme delle reti geodetiche europee onde riferire le coordinate dei punti ad un unico sistema. Fu scelto come superficie di riferimento 1'ellissoide internazionale di Hayford ed il centro di emanazione fu stabilito a Potsdam, ma

1'orientamento dell'ellissoide non fu tale da annullare in quel punto la deviazione della verticale, bensì fu anche li lasciata una deviazione residua in modo da minimizzare le deviazioni della verticale nelle altre reti: fu, cioè, assunto quello che viene detto orientamento medio europeo. Fu anche stabilito di contare le longitudini dal meridiano di Greenwich.

Figura 19: I diversi Datum di UTM

II calcolo di compensazione fu eseguito su macchine IBM dal Coast and Geodetic

Survey e dallo Army Map Service statunitensi; il sistema di riferimento fu deno-minate « European Datum 1950 », e viene indicate con la sigla ED 50. Le Nazioni che avevano aderito a questa iniziativa decisero di riferire la propria cartografia al nuovo sistema, ed in tal modo le carte di Paesi diversi costituiscono un insieme omogeneo.

II sistema europeo fu collegato attraverso 1' Egeo con 1'Africa e con 1'Asia, vari sistemi africani furono collegati tra loro, ed una catena meridiana prevalen-temente di trilaterazione fu spinta fino all'estremità meridionale dell'Africa ; la unificazione delle cartografie e stata cosi estesa anche a parte di quei continenti.

Dunque, con particolare riguardo all’Italia, la proiezione UTM, che utilizza la proiezione di Gauss con la contrazione del meridiano centrale pari a 0,9996, sfrutta un datum denominato ED50 prima descritta. Ciò comporta che tra il sistema RM40 e il sistema ED50 non sussista unicamente un fattore di traslazione spaziale dovuto ad esempio ai differenti Falsi Est, ma sussistano anche delle deformazioni dovute al fatto che le reti ED50 e RM40 sono assai differenti; la prima si sviluppa sull’intero territorio europeo, la seconda unicamente a livello nazionale.

Figura 20: Le dure figure mostrano l’andamento dello scostamento tra UTM ED50 e RM40 in latitudine e longitudine

L’esecuzione dei calcoli sul piano di Gauss Il modulo di deformazione lineare per la carta di Gauss vale:

che può essere scritto anche in funzione delle coordinate carta:

Il medesimo coefficiente calcolato per un segmento di corda (si ricorda che la corda tra due punti è approssimabile alla lunghezza della trasformata della geodetica), si ottiene:

Che diventa:

Valida fino a corde della lunghezza di circa 30km. Come già accennato la Carta di Gauss viene usata per fusi di 6° di ampiezza; ai bordi, le deformazioni vanno per l'Italia dal 6 al 9 circa per diecimila. Poiché tale valore massimo di circa 9 m su 10 km) è superiore all’errore di graficismo, si è deciso di moltiplicare le coordinate E e N per il coefficiente 0,9996. Ciò equivale a sostituire idealmente il cilindro

tangente al meridiano centrale con un cilindro secante, se si pensa a tale derivazione geometrica della carta; si avrà cosi ai bordi del fuso una dilatazione massima (per 1'Italia) di circa lo 0,45%o. La deformazione sara nulla in corrispondenza delle due linee di affioramento del cilindro (cosiddetti meridiani standard) mentre al loro interno vi sarà contrazione. Inoltre, come già accennato, al fine di avere solo E positive, si usa aggiungere alle ascisse un valore intiero in chilometri: esso e di 500 km per la rappresentazione UTM-ED50, mentre è invece di 1.500 e rispettivamente 2.520 km per i due fusi italiani nella carta di Gauss-Boaga (Sistema Nazionale Italiano – RM40). Ecco dunque che si ottiene per il coefficiente di deformazione lineare della trasformata di un arco di geodetica (equivalente alla corda), un valore pari:

dove con E*

i= 0,9996 Ei sono indicate le ascisse cartografiche depurate dei valori di falso Est già indicati (500, oppure 1.500 e 2.520 km). Ovviamente anche il coefficiente di deformazione puntuale si modifica in:

che, per latitudini italiane medie, viene, in un ambito limitato (cioè nel campo topografico), semplificato ancora in:

Il cosiddetto piano di Gauss viene utilizzato in sostituzione dei calcoli geodetici sulla superficie dell’ellissoide. Questi si riducono allora a semplici operazioni sul piano, con 1'ausilio della geometria analitica e della trigonometria piana. I risultati vanno però opportunamente corretti tenendo conto per le distanze del modulo md.

Per gli angoli è necessario tenere in conto che si conservano, essendo la trasformazione conforme, gli angoli tra le geodetiche e gli angoli tra le trasformate delle geodetiche; tale angolo non coincide però con l’angolo tra le corde, che deve essere opportunamente corretto dell’angolo di riduzione alle corde.

L'angolo θ fra la trasformata di due geodetiche e pari all'angolo θ ' fra le corde corrispondenti, al netto delle riduzioni che per distanze di qualche decina di chilometri nel caso del cilindro secante sono date da:

Infine, tener conto del fatto che le trasformate dei meridiani sono convergenti rispetto

alla direzione dell’asse delle N, cioè del Nord cartografico. Tale angolo viene denominato convergenza del meridiano e vale:

Si ponga attenzione al valore ∆λ che esprime la differenza di longitudine rispetto al meridiano centrale del fuso, dunque al meridiano di 9° Est di Greenwich per il fuso Ovest e 15° Est di Greenwich per il fuso Est.

Figura 21: angoli di correzione alle corde

Figura 22: angolo di convergenza del meridiano

Conversioni tra sistema cartesiano geocentrico e sistema geografico

Figura 23: angolo di convergenza del meridiano

Tra il sistema cartesiano geocentrico e il sistema geografico sono presenti le seguenti relazioni di passaggio:

Figura 24: angolo di convergenza del meridiano

Dove con N si intende la Gran Normale.

Passaggio da coordinate geografiche a coordinate gaussiane (Hirvonen)

Valgono le seguenti relazioni:

Si faccia attenzione alla particolare notazione che in questa relazione prendono x e y, dirette rispettivamente lungo N e lungo E. Per l’ellissoide internazionale di Hayford i coefficienti A valgono:

e gli elementi dell’ellissoide :

Passaggio da coordinate gaussiane alle coordinate geografiche (Hirvonen) Per il passaggio dalle coordinate gaussiane alle coordinate geografiche valgono le seguenti relazioni dovute anch’esse a Hirvonen:

Domande ed esercizi tratti da temi di esame

Esercizio 1 (appello 17 settembre 2003) Il progetto di una galleria fornisce le coordinate sul piano di Gauss-Boaga dell’ingresso e dell’uscita della stessa. Viene data la quota rispetto alla superficie di riferimento di ingresso e di sbocco, oltre alle coordinate, sempre sul piano di Gauss-Boaga, di un terzo punto di riferimento per la direzione d’asse della galleria

DETERMINARE

• La lunghezza reale della galleria;

• L’angolo zenitale della direzione d’asse dall’imbocco, assunto un coefficiente di rifrazione pari a 0,15 (vedi paragrafo Livellazione trigonometrica):

• L’angolo orizzontale della direzione d’asse, misurato in senso orario, compreso fra le direzioni definite dal punto di ingresso (punto 1) e dal punto di riferimento (punto P), dal punto di ingresso (punto 1 ) e dal punto di sbocco (punto 2)

DATI:

Il raggio della sfera locale (superficie di riferimento) è assunto pari a 6370 Km

Esercizio 2

Si indichi l'espressione del modulo di deformazione lineare m12 per la trasformata di un tratto finito di geodetica (12) sulla carta di Gauss, esplicitando la dipendenza dei termini in funzione delle coordinate cartografiche e geografiche dei punti e delle caratteristiche dell'ellissoide.

Esercizio 3 (Appello 10 gennaio 2006)

Si indichi l'espressione dell'angolo ε12 di riduzione alla corda per la trasformata di un arco di geodetica (12) sulla carta di Gauss, esplicitando la dipendenza di tutti i termini in funzione delle coordinate cartografiche e geografiche dei punti e delle caratteristiche dell'ellissoide.

Esercizio 4 (Appello 5 luglio 2005) Si scrivano le relazioni di passaggio da coordinate geografiche a coordinate cartesiane geocentriche spiegando il significato dei termini. Che tipo di trasformazione consentono le relazioni di Hirvonen?

Esercizio 5 Fornire la definizione di DATUM

Punto 1 (inbocco galleria): N1 = 5084660,35 metri E1 = 1478514,68 metri H1 = 1230,12 metri

Punto 2 (sbocco galleria):N2 = 5102127,48 metri E2 = 1479621,30 metri H2 = 1650,25 metri

Punto P (pilastro segnale di rifermento): NP = 5085550,22 metri EP = 1477910,54 metri