ikee.lib.auth.grikee.lib.auth.gr/record/65276/files/gri-2006-949.pdfΣΟΦΙΑΣ Α....

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ

ΣΟΦΙΑΣ Α. ΠΑΝΑΓΙΩΤΙΔΟΥ

Διπλωματούχου Μηχανολόγου Μηχανικού

ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΠΡΟΛΗΠΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ

ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ

ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2006

ΣΟΦΙΑΣ Α. ΠΑΝΑΓΙΩΤΙΔΟΥ

Διπλωματούχου Μηχανολόγου Μηχανικού

ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ ΠΡΟΛΗΠΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ

ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ

Υποβλήθηκε στο Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Τομέας Βιομηχανικής Διοίκησης Ημερομηνία Προφορικής Εξέτασης: 12 Ιουλίου 2006

Εξεταστική Επιτροπή: Καθηγητής Γ. Ν. Ταγαράς, Επιβλέπων Αν. Καθηγητής Ε. Θ. Ιακώβου, Μέλος Τριμελούς Συμβουλευτικής Επιτροπής Καθηγητής Β. Δ. Τουρασής, Εξεταστής Καθηγητής Β. Σ. Κουϊκόγλου, Εξεταστής Καθηγητής Χ. Θ. Παπαδόπουλος, Εξεταστής Επίκουρος Καθηγητής Π. Ε. Γεωργιάδης, Εξεταστής Λέκτορας Δ. Χ. Βλάχος, Εξεταστής

© Σοφία Α. Παναγιωτίδου

© Α.Π.Θ.

ΒΕΛΤΙΣΤΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΩΝ

ΠΡΟΛΗΠΤΙΚΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ

«Η έγκριση της παρούσας Διδακτορικής Διατριβής από το Τμήμα Μηχανολόγων

Μηχανικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης δεν υποδηλώνει

αποδοχή των γνωμών του συγγραφέως» (Ν. 5343/1932, άρθρο 202, παρ. 2)

Στον πατέρα μου...

. . . ..

. . . ..

Περίληψη

i

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή μελετάται το πρόβλημα βελτιστοποίησης

των διαδικασιών συντήρησης και ελέγχου ποιότητας εξοπλισμού που χαρακτηρίζεται

από δύο λειτουργικές καταστάσεις διαφορετικής ποιότητας και μία κατάσταση βλάβης

και ακινησίας. Οι δύο καταστάσεις λειτουργίας διαφοροποιούνται αφενός ως προς το

κόστος παραγωγής και αφετέρου ως προς το ρυθμό βλαβών που τις χαρακτηρίζει.

Στόχος είναι η ανάπτυξη κατάλληλων μαθηματικών προτύπων που να επιτρέπουν τη

βελτιστοποίηση της διαδικασίας για εναλλακτικές μορφές συντήρησης σε συνδυασμό

με διαφορετικούς μηχανισμούς παρακολούθησης του εξοπλισμού.

Στη διατριβή περιλαμβάνεται εκτενής βιβλιογραφική επισκόπηση των

δημοσιευμένων εργασιών που άπτονται του ευρύτερου αντικειμένου της διατριβής.

Συγκεκριμένα, παρουσιάζονται εργασίες που πραγματεύονται το πρόβλημα της

συντήρησης εξοπλισμού και ειδικότερα έμφαση δίνεται σε εργασίες όπου η

εφαρμοζόμενη πολιτική συντήρησης εξαρτάται από την κατάσταση λειτουργίας του

εξοπλισμού. Εν συνεχεία, παρουσιάζονται εργασίες από τον ερευνητικό χώρο του

ελέγχου ποιότητας παραγωγικών διαδικασιών, οπότε και αναλύεται πότε και με ποιον

τρόπο μπορεί οι διαδικασίες συντήρησης να εισαχθούν σε ένα τυπικό πρόβλημα

ελέγχου ποιότητας και να συμβάλουν στη βελτίωση της ποιότητας των παραγόμενων

προϊόντων. Ακόμη, παρουσιάζονται εργασίες που ασχολούνται με το συνολικό

πρόβλημα της ταυτόχρονης βελτιστοποίησης τόσο των διαδικασιών συντήρησης όσο

και των διαδικασιών ελέγχου ποιότητας μιας παραγωγικής διαδικασίας.

Στο κύριο μέρος της διατριβής μελετάται διεξοδικά το πρόβλημα της συντήρησης

εξοπλισμού, στον οποίο υφίστανται δύο δυνατές καταστάσεις λειτουργίας (εντός και

εκτός ελέγχου) αλλά και μία κατάσταση ακινησίας λόγω βλάβης. Η ανάπτυξη των

σχετικών προτύπων πραγματοποιείται για τη γενική περίπτωση όπου δε γίνεται

καμία συγκεκριμένη υπόθεση για το μηχανισμό επιδείνωσης της κατάστασης του

. . . ..

. . . ..

Βέλτιστος προγραμματισμός συνδυασμένων διαδικασιών προληπτικού ελέγχου ποιότητας και συντήρησης τεχνολογικού εξοπλισμού

ii

εξοπλισμού πέραν του ότι ο ρυθμός βλαβών είναι αύξουσα συνάρτηση της ηλικίας

του. Τα προτεινόμενα πρότυπα διαφοροποιούνται ουσιαστικά ως προς το μηχανισμό

ελέγχου της διαδικασίας αλλά και ως προς τη μορφή της εφαρμοζόμενης

προληπτικής συντήρησης στην εκτός ελέγχου κατάσταση. Συγκεκριμένα, μελετάται η

περίπτωση συνεχούς ελέγχου όπου η τρέχουσα κατάσταση του εξοπλισμού είναι ανά

πάσα χρονική στιγμή γνωστή με ακρίβεια, η περίπτωση περιοδικών ελέγχων που

αποδίδουν επίσης με ακρίβεια την κατάσταση του εξοπλισμού αλλά και η περίπτωση

περιοδικών ελέγχων με πιθανά σφάλματα ελέγχου. Επιπλέον, σε κάθε περίπτωση

εξετάζονται δύο εναλλακτικές μορφές συντήρησης του εξοπλισμού όταν αυτός

λειτουργεί στην εκτός ελέγχου κατάσταση (είτε τέλεια προληπτική συντήρηση είτε

ελάχιστη συντήρηση). Η τέλεια προληπτική συντήρηση επαναφέρει τον εξοπλισμό σε

άριστη κατάσταση (εντός ελέγχου και μηδενικής ηλικίας), ενώ η ελάχιστη προληπτική

συντήρηση επαναφέρει τον εξοπλισμό στην εντός ελέγχου κατάσταση χωρίς όμως να

επηρεάζει την ενεργό ηλικία του. Τέλος, παρουσιάζονται αριθμητικά παραδείγματα

επίλυσης των προτεινόμενων προτύπων.

Η συμβολή της έρευνας που διεξήχθη στα πλαίσια αυτής της διατριβής έγκειται

κυρίως στην ανάπτυξη μαθηματικών προτύπων βελτιστοποίησης των διαδικασιών

συντήρησης και ελέγχου ποιότητας, τα οποία είναι γενικής εφαρμογής, καθώς η

ανάπτυξή τους δε βασίζεται σε ιδιαίτερα περιοριστικές υποθέσεις όσον αφορά το

μηχανισμό επιδείνωσης της κατάστασης λειτουργίας καθώς επίσης και το μηχανισμό

εμφάνισης βλαβών. Η μελέτη εναλλακτικών μορφών συντήρησης αλλά και ελέγχου

του εξοπλισμού επιτρέπει την επιλογή της βέλτιστης κάθε φορά πολιτικής

παρακολούθησης και συντήρησής του ανάλογα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της

εκάστοτε διαδικασίας.

. . . ..

. . . ..

Ευχαριστίες

iii

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

Κατά τη διάρκεια εκπόνησης αυτής της διδακτορικής διατριβής αρκετοί ήταν

αυτοί που μου προσέφεραν υποστήριξη και βοήθεια συμβάλλοντας σημαντικά για το

καλύτερο δυνατό αποτέλεσμα. Η συνεισφορά όλων αυτών ήταν αναμφίβολα

πολύτιμη και τους ευχαριστώ θερμά. Ιδιαίτερα όμως θα ήθελα να ευχαριστήσω:

τον καθηγητή μου και επιβλέποντα αυτής της διατριβής κ. Γιώργο Ταγαρά για

την εμπιστοσύνη που μου έδειξε, το χρόνο που μου αφιέρωσε και κυρίως για

την απέραντη υπομονή του όλα αυτά τα χρόνια,

τα άλλα δύο μέλη της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής: κ. Luk Van

Wassenhove, Καθηγητή του Πανεπιστημίου Insead, και κ. Ελευθέριο

Ιακώβου, Αναπληρωτή Καθηγητή του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου,

τους γονείς μου για την αμέριστη συμπαράστασή τους σε κάθε προσπάθεια

πραγματοποίησης των στόχων μου.

. . . ..

. . . ..

Περιεχόμενα

v

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ...................................................................................................................i

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ............................................................................................................... 1

1.1. ΓΕΝΙΚΑ ............................................................................................................ 1

1.2. ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΚΑΙ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ .............................................. 7

1.3. ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ................................................................................. 11

1.4. ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ.......................................................................... 15

2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ .......................................................................... 17

2.1. ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ................................................................................................. 18

2.1.1. Προληπτική συντήρηση βάσει αξιοπιστίας .............................................. 19

2.1.1.1. Τέλεια προληπτική συντήρηση............................................................. 19

2.1.1.2. Ατελής προληπτική συντήρηση ............................................................ 22

2.1.2. Προληπτική συντήρηση βάσει κατάστασης ............................................. 23

2.1.2.1. Άπειρες καταστάσεις ............................................................................ 25

2.1.2.2. Πεπερασμένες καταστάσεις ................................................................. 30

2.2. ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ................................................................................. 40

2.2.1. Τέλεια προληπτική συντήρηση................................................................ 43

2.2.2. Ατελής προληπτική συντήρηση ............................................................... 47

2.3. ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ....................... 52

3. ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΜΕ ΣΥΝΕΧΗ ΕΛΕΓΧΟ ................................................................... 59

3.1. ΤΕΛΕΙΑ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ.................................................................................... 61

3.1.1. Κατάστρωση της συνάρτησης κέρδους ................................................... 62

. . . ..

. . . ..


vi

3.1.2. Ιδιότητες της βέλτιστης λύσης ................................................................. 71

3.1.3. Αριθμητικά παραδείγματα ....................................................................... 82

3.2. ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ............................................................................... 91

3.2.1. Κατάστρωση της συνάρτησης κέρδους ................................................... 93

3.2.2. Αριθμητικά παραδείγματα ..................................................................... 105

4. ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΜΕ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟ............................................................ 115

4.1. ΤΕΛΕΙΑ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ.................................................................................. 120

4.1.1. Κατάστρωση της συνάρτησης κέρδους ................................................. 120


4.2. ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ............................................................................. 129



5. ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ............................ 139

5.1. ΤΕΛΕΙΑ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ.................................................................................. 143



5.2. ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ............................................................................. 156



6. ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ....................................................................... 169

6.1. ΣΥΝΟΨΗ...................................................................................................... 169

6.2. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΕΡΕΥΝΑ...................................................... 171

. . . ..

. . . ..

Περιεχόμενα

vii

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ....................................................................................................... 175

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ ..................................................................................................... 187

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α .................................................................................................. 189

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β .................................................................................................. 191

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ ................................................................................................... 199

. . . ..

. . . ..

Εισαγωγή

1

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

1.1. ΓΕΝΙΚΑ

Τα τελευταία χρόνια, με τη ραγδαία ανάπτυξη της τεχνολογίας και της

βιομηχανίας, εντείνεται όλο και περισσότερο ο ανταγωνισμός μεταξύ των

επιχειρήσεων. Στα πλαίσια αυτού του έντονα ανταγωνιστικού περιβάλλοντος κάθε

επιχείρηση για να επιβιώσει προσπαθεί να βελτιώσει το συνολικό τρόπο λειτουργίας

της με διάφορους τρόπους.

Στον τομέα της παραγωγής, ειδικότερα, καταβάλλονται προσπάθειες να

βελτιστοποιηθούν οι επιμέρους διαδικασίες που σχετίζονται με την παραγωγή ούτως

ώστε να επιτευχθεί το βέλτιστο δυνατό αποτέλεσμα με το ελάχιστο κόστος. Για το

σκοπό αυτό, βέβαια, πολλές φορές δεν αρκεί η μελέτη και βελτιστοποίηση της κάθε

διαδικασίας μεμονωμένα αλλά επιβάλλεται η συνολική θεώρηση του προβλήματος

που μπορεί να οδηγήσει σε περαιτέρω μείωση του κόστους. Κατά συνέπεια, πρέπει

να λαμβάνονται υπ’ όψιν οι αλληλεξαρτήσεις που αποδεδειγμένα υφίστανται μεταξύ

βασικών λειτουργιών στο χώρο της παραγωγής και να αξιοποιούνται τα λειτουργικά

χαρακτηριστικά της καθεμιάς για τη βέλτιστη αποτελεσματικότητα των υπολοίπων.

Δύο πολύ σημαντικές λειτουργίες, που εκτελούνται παράλληλα με την παραγωγική

διαδικασία και αποτελούν το αντικείμενο μελέτης αυτής της διδακτορικής διατριβής,

είναι η Συντήρηση και ο Έλεγχος Ποιότητας.

Η αλληλεξάρτηση των διαδικασιών Συντήρησης με αυτές του Ελέγχου Ποιότητας

είναι πολύ συχνά ιδιαίτερα σημαντική και δε θα πρέπει να αγνοείται κατά τη

διαδικασία επιλογής των παραμέτρων τους προκειμένου να επιτυγχάνεται το

βέλτιστο δυνατό οικονομικό αποτέλεσμα. Ειδικότερα, οι εργασίες συντήρησης

βελτιώνουν τις συνθήκες λειτουργίας των μηχανών, αυξάνουν την αξιοπιστία τους και

άρα επηρεάζουν τους μηχανισμούς εκείνους που οδηγούν στην παραγωγή

ελαττωματικών προϊόντων. Από την άλλη πλευρά, το επίπεδο ποιότητας των

. . . ..

. . . ..


2

παραγόμενων προϊόντων παρέχει πληροφορίες που αφορούν την κατάσταση του

εξοπλισμού και επομένως είναι σκόπιμο να συνεκτιμάται στις αποφάσεις συντήρησής

του. Κατάλληλη, δηλαδή, εφαρμογή των μεθόδων συντήρησης βελτιώνει την

ποιότητα των παραγόμενων προϊόντων και μειώνει την αναγκαιότητα ελέγχου της

παραγωγικής διαδικασίας οδηγώντας τελικά σε μείωση του κόστους ποιότητας.

Αντιστοίχως, αξιοποίηση των πληροφοριών που προκύπτουν από τον συστηματικό

έλεγχο της παραγωγικής διαδικασίας μπορεί να καθορίσει το αναγκαίο επίπεδο

συντήρησης και να εξαλείψει περιττές επεμβάσεις στον εξοπλισμό μειώνοντας έτσι το

τελικό κόστος συντήρησης.

Παρά τις δυνατότητες συντονισμού τους οι δύο αυτές περιοχές αποτελούν κατά

κανόνα ξεχωριστά αντικείμενα μελέτης με αποκλειστικό σκοπό τη βελτιστοποίηση είτε

των παραμέτρων συντήρησης είτε των παραμέτρων ελέγχου ποιότητας μεμονωμένα.

Η εφαρμογή ενός συμβατικού προγράμματος συντήρησης στόχο έχει τη

διατήρηση της «καλής» κατάστασης λειτουργίας του εξοπλισμού και την

αντιμετώπιση ενδεχόμενης βλάβης. Για την αποτελεσματικότερη προστασία του

εξοπλισμού από βλάβη έχουν αναπτυχθεί και μπορούν να εφαρμοστούν διάφορες

τεχνικές προληπτικής συντήρησης (preventive maintenance, PM) ενώ η βλάβη αυτή

καθαυτή αντιμετωπίζεται με επιδιορθωτική συντήρηση.

Στην πλειοψηφία των περιπτώσεων, η εφαρμοζόμενη πολιτική προληπτικής

συντήρησης βασίζεται σε ιστορικά στατιστικά δεδομένα του εξοπλισμού από τα

οποία και εκτιμάται η αναμενόμενη αξιοπιστία του. Η συχνότητα προληπτικής

συντήρησης αυτής της μορφής (statistical – reliability based PM) μπορεί να

προγραμματιστεί εκ των προτέρων και συνδέεται άμεσα με την ηλικία του

εξοπλισμού. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις όπου οι βλάβες δεν εμφανίζονται

ακαριαία αλλά παρουσιάζονται σταδιακά προκαλώντας πρώτα κάποια φαινόμενα

δυσλειτουργίας του εξοπλισμού μέσω των οποίων μπορεί, κατά κάποιον τρόπο, να

προβλεφθούν. Για παράδειγμα ο αυξημένος θόρυβος, οι έντονες δονήσεις ή ακόμη

. . . ..

. . . ..

Εισαγωγή

3

και τα χαρακτηριστικά ποιότητας των παραγόμενων προϊόντων μπορεί να

προμηνύουν επερχόμενη βλάβη. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η συντήρηση μπορεί να

εφαρμόζεται όποτε το υπαγορεύει η κατάσταση του εξοπλισμού (condition based

PM). Βασική προϋπόθεση, βεβαίως, είναι η παρακολούθηση κάποιου

χαρακτηριστικού με τακτικούς ελέγχους, ή ακόμη και συνεχώς, μέχρι να υπάρξει

ένδειξη δυσλειτουργίας.

Θεωρητικά, η συντήρηση ενός μηχανήματος, είτε αυτή είναι επιδιορθωτική είτε

προληπτική, μπορεί να ποικίλει ως προς την έκταση και την ένταση των ενεργειών

που περιλαμβάνει και κατά συνέπεια και ως προς την αποτελεσματικότητά της στην

βελτίωση που επιφέρει στην κατάσταση του εξοπλισμού αμέσως μετά την εφαρμογή

της. Η συντήρηση, δηλαδή, μπορεί να περιλαμβάνει μείζονες επεμβάσεις στον

εξοπλισμό και ως εκ τούτου να ανανεώνει πλήρως την κατάστασή του. Μια τέτοια

συντήρηση ονομάζεται «τέλεια» (perfect) και επαναφέρει τον εξοπλισμό σε άριστη

κατάσταση (as good as new). Εναλλακτικά, όταν η συντήρηση καλείται να

επιδιορθώσει μια δεδομένη δυσλειτουργία, μπορεί να περιλαμβάνει τις ελάχιστες

απαιτούμενες ενέργειες για το σκοπό αυτό και άρα να βελτιώνει την κατάσταση του

εξοπλισμού μόνο ως προς τη δεδομένη δυσλειτουργία. Μια τέτοια συντήρηση

ονομάζεται «ελάχιστη» (minimal) και βελτιώνει την τρέχουσα κατάσταση του

εξοπλισμού χωρίς όμως να ανανεώνει την ηλικία του. Στη γενική περίπτωση βέβαια,

η αποτελεσματικότητα μιας συντήρησης μπορεί να κυμαίνεται οπουδήποτε μεταξύ

των δύο ακραίων περιπτώσεων που προαναφέρθηκαν.

Ο κλασικός έλεγχος ποιότητας μιας παραγωγικής διαδικασίας, από την άλλη

πλευρά, στόχο έχει τη διατήρηση της λειτουργίας του εξοπλισμού σε καλή κατάσταση

(στατιστικού ελέγχου) κι αυτό επιτυγχάνεται με την απομάκρυνση των συστηματικών

αιτιών, στις οποίες ενδεχομένως υπόκειται, και την αποκατάσταση της εύρυθμης

λειτουργίας του.

. . . ..

. . . ..


4

Ο έλεγχος ποιότητας μιας παραγωγικής διαδικασίας επικεντρώνεται δηλαδή

στην εξάλειψη των συστηματικών αιτιών που επηρεάζουν την κατάσταση του

εξοπλισμού (και κατά συνέπεια και την ποιότητα των εξερχόμενων προϊόντων)

αγνοώντας κατά κανόνα το ενδεχόμενο πλήρους βλάβης και αναγκαστικής ακινησίας

του εξοπλισμού. Κατά την εφαρμογή ενός τυπικού προγράμματος ελέγχου ποιότητας

η τρέχουσα κατάσταση της παραγωγικής διαδικασίας παρακολουθείται συστηματικά

με τη βοήθεια ειδικά σχεδιασμένων διαγραμμάτων ελέγχου με στόχο τον έγκαιρο

εντοπισμό αλλά και την άμεση αποκατάσταση της όποιας δυσλειτουργίας

παρατηρηθεί. Επιπλέον, η αποκατάσταση της επίδρασης κάποιας συστηματικής

αιτίας είναι συνήθως κάποια μικρού μεγέθους επέμβαση στον εξοπλισμό με μοναδικό

στόχο την απομάκρυνση της αιτίας που προκάλεσε επιδείνωση της ποιότητας.

Τέτοιου τύπου επεμβάσεις δεν επηρεάζουν ουσιαστικά τη συνολική κατάσταση

λειτουργίας του εξοπλισμού που είναι συνήθως συνάρτηση της ηλικίας του.

Καταλήγουμε λοιπόν ότι στα τυπικά προβλήματα συντήρησης απώτερος στόχος

είναι η διατήρηση ή επαναφορά της καλής κατάστασης λειτουργίας του εξοπλισμού.

Για το σκοπό αυτό συνδυάζονται επιδιορθωτικές και προληπτικές επεμβάσεις στον

εξοπλισμό ούτως ώστε να απομακρύνονται βλάβες που έχουν ήδη εμφανιστεί ή να

επιμηκύνεται ο παραγωγικός χρόνος λειτουργίας του εξοπλισμού. Με τον όρο βλάβη

περιγράφεται κάποια σημαντική δυσλειτουργία του εξοπλισμού που καθιστά

εξαιρετικά δύσκολη έως αδύνατη την περαιτέρω λειτουργία του και γίνεται συνήθως

εύκολα αντιληπτή.

Σε προβλήματα ελέγχου ποιότητας, όμως, η εφαρμοζόμενη πολιτική συντήρησης

έχει ως κύριο στόχο όχι την αποφυγή βλαβών με την παραπάνω έννοια αλλά την

αποφυγή της λειτουργίας του εξοπλισμού σε κάποια κατάσταση που θεωρείται μη

αποδεκτή. Κατά τον έλεγχο ποιότητας μιας διαδικασίας οι εκτός ελέγχου καταστάσεις

θεωρούνται ουσιαστικά καταστάσεις μη αποδεκτής λειτουργίας και στόχος είναι η

έγκαιρη αποκατάσταση της λειτουργίας εντός στατιστικού ελέγχου. Για το σκοπό

. . . ..

. . . ..

Εισαγωγή

5

αυτό πραγματοποιούνται διορθωτικές επεμβάσεις στον εξοπλισμό όποτε η

κατάστασή του το υποδεικνύει, οι οποίες αποτελούν ουσιαστικά ενέργειες

επιδιορθωτικής συντήρησης απέναντι σε «βλάβες» που ορίζονται με διαφορετικό

τρόπο. Ουσιαστικά δηλαδή η επίδραση κάποιας συστηματικής αιτίας που επιδεινώνει

την κατάσταση ποιότητας του εξοπλισμού θεωρείται «βλάβη» παρότι δεν οδηγεί κατ’

ανάγκην στην πλήρη ακινησία του και επιδιορθώνεται αμέσως μετά τον εντοπισμό

της. Επιπλέον, σε τέτοιου τύπου προβλήματα συνήθης παραδοχή είναι ότι δεν

υφίστανται άλλου είδους δυσλειτουργίες ή βλάβες στον εξοπλισμό πέραν αυτών που

οφείλονται στην επίδραση των συστηματικών αιτιών.

Στην πραγματικότητα, βέβαια, στον εξοπλισμό μιας παραγωγικής διαδικασίας

μπορεί να εμφανιστούν τόσο βλάβες όσο και συστηματικές αιτίες που επιδεινώνουν

τις συνθήκες λειτουργίας του χωρίς όμως να τον ακινητοποιούν πλήρως. Θα ήταν

επομένως ενδιαφέρον να εξετάσει κανείς κατά πόσο θα ήταν σκόπιμη η εφαρμογή

ενός προγράμματος που θα περιλαμβάνει ενέργειες σχετικές τόσο με τη συντήρηση

όσο και με τη βελτίωση της ποιότητας λειτουργίας του εξοπλισμού. Η σκοπιμότητα

συνδυασμού των διαδικασιών συντήρησης με αυτές του ελέγχου ποιότητας γίνεται

ενδεχομένως ακόμη καλύτερα αντιληπτή στην περίπτωση όπου η απόφαση για την

προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού μπορεί να βασίζεται στην τρέχουσα

κατάστασή του (προληπτική συντήρηση βάσει της κατάστασης του εξοπλισμού).

Στη γενική περίπτωση τα οφέλη από την παράλληλη εφαρμογή των διαδικασιών

συντήρησης και ελέγχου ποιότητας του εξοπλισμού συνοψίζονται στα παρακάτω:

• Καταρχάς, τόσο για την προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού βάσει της

κατάστασης λειτουργίας του όσο και για τον έλεγχο ποιότητας απαιτείται

κάποιος μηχανισμός παρακολούθησης που θα παρέχει πληροφορίες για την

τρέχουσα κατάσταση του εξοπλισμού και θα υποδεικνύει τις απαιτούμενες

ενέργειες για τη βελτίωσή της. Η χρήση κοινού χαρακτηριστικού

. . . ..

. . . ..


6

παρακολούθησης αφενός για τη συντήρηση και αφετέρου για τον έλεγχο

ποιότητας απλοποιεί σημαντικά τη διαδικασία.

• Παρακολουθώντας τον εξοπλισμό για λόγους ποιότητας αντλούμε

ουσιαστικά πληροφορίες για την κατάσταση λειτουργίας του που μπορούν,

αν αξιοποιηθούν κατάλληλα, να συμβάλουν στον καλύτερο προγραμματισμό

των διαδικασιών συντήρησης. Συγκεκριμένα, η επιδείνωση που επέρχεται

από την επίδραση κάποιας συστηματικής αιτίας μπορεί, μεταξύ άλλων, να

επηρεάζει και την πιθανότητα βλάβης του εξοπλισμού και άρα να είναι

σκόπιμο να επισπευσθεί η προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού ούτως

ώστε να αποφευχθεί η επί μακρόν λειτουργία του σε δυσμενείς συνθήκες.

• Ακόμη και στην περίπτωση όπου ο εξοπλισμός συντηρείται προληπτικά

χωρίς να έχει προηγηθεί κάποια ένδειξη δυσλειτουργίας, η συνολική

κατάστασή του βελτιώνεται σημαντικά λόγω των ενεργειών συντήρησης. Το

γεγονός αυτό μπορεί να επηρεάζει και το μηχανισμό επίδρασης των

συστηματικών αιτιών. Αν δηλαδή η πιθανότητα επίδρασης μιας

συστηματικής αιτίας αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου λειτουργίας λόγω

της φυσικής φθοράς που επέρχεται στον εξοπλισμό, η προληπτική

συντήρησή του βελτιώνει τις συνθήκες λειτουργίας και άρα μειώνει και την

πιθανότητα επίδρασης της συστηματικής αιτίας.

• Επιπλέον, στην περίπτωση όπου η επίδραση κάποιας συστηματικής αιτίας

προκαλεί αύξηση της πιθανότητας εμφάνισης βλάβης στον εξοπλισμό, η

αποκατάσταση της επίδρασης αυτής αποτελεί, εκτός από διορθωτική

ενέργεια ως προς την ποιότητα, προληπτική ενέργεια απέναντι σε

ενδεχόμενη βλάβη. Το όφελος δηλαδή, και άρα και το κίνητρο, για την

αποκατάσταση της επίδρασης της συστηματικής αιτίας είναι διπλό: αφενός η

βελτίωση της ποιότητας αυτής καθαυτής και αφετέρου η μείωση της

πιθανότητας βλάβης του εξοπλισμού.

. . . ..

. . . ..

Εισαγωγή

7

• Τέλος, σε κάθε περίπτωση ο συντονισμός και μόνο των διαφόρων

επεμβάσεων στον εξοπλισμό, είτε αυτές γίνονται για λόγους συντήρησης

είτε για λόγους βελτίωσης της εξερχόμενης ποιότητας, συμβάλλει στη

μείωση της συχνότητας διακοπής της λειτουργίας της παραγωγικής

διαδικασίας και ενδεχομένως και σε μείωση του συνολικού νεκρού χρόνου

(downtimes).

1.2. ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΚΑΙ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ

Απώτερος στόχος της παρούσας διατριβής είναι η διερεύνηση της οικονομικής

σκοπιμότητας συνδυασμένης εφαρμογής των διαδικασιών συντήρησης και ελέγχου

ποιότητας στον εξοπλισμό μιας παραγωγικής διαδικασίας, στον οποίο υφίσταται

τόσο το ενδεχόμενο επίδρασης κάποιας συστηματικής αιτίας όσο και το ενδεχόμενο

εμφάνισης βλάβης. Επίδραση της συστηματικής αιτίας προκαλεί μεταβολή στην

κατάσταση ποιότητας του εξοπλισμού με αποτέλεσμα τη λειτουργία του σε

δυσμενέστερες συνθήκες, ενώ εμφάνιση βλάβης καθιστά αδύνατη την περαιτέρω

λειτουργία του εξοπλισμού και προκαλεί άμεση διακοπή της παραγωγικής

διαδικασίας προς αποκατάσταση της βλάβης.

Πιο συγκεκριμένα, μελετώνται περιπτώσεις όπου ο εξοπλισμός, αλλά και η

παραγωγική διαδικασία που υποστηρίζει, παρουσιάζουν τα εξής χαρακτηριστικά:

• Ο εξοπλισμός ξεκινά τη λειτουργία του σε κατάσταση εντός ελέγχου (in-

control), όπου το επίπεδο ποιότητας είναι το βέλτιστο δυνατό, αλλά

ενδέχεται οποιαδήποτε χρονική στιγμή να επιδράσει κάποια συστηματική

αιτία με αποτέλεσμα τη μετάβαση του εξοπλισμού σε κατάσταση εκτός

ελέγχου (out-of-control), η οποία χαρακτηρίζεται από χαμηλότερο επίπεδο

ποιότητας. Η επίδραση της συστηματικής αιτίας και άρα και η μετάβαση

στην κατάσταση χαμηλότερου επιπέδου ποιότητας εμφανίζεται ακαριαία και

. . . ..

. . . ..


8

είναι αδύνατον να διορθωθεί χωρίς να προηγηθεί κάποια επέμβαση στον

εξοπλισμό.

• Η επίδραση μιας συστηματικής αιτίας στον εξοπλισμό προκαλεί γενικότερη

επιδείνωση της κατάστασης λειτουργίας του, γεγονός που μπορεί να έχει

ποικίλες συνέπειες στη διαδικασία. Για παράδειγμα, η λειτουργία του

εξοπλισμού σε κατάσταση εκτός ελέγχου μπορεί να συνοδεύεται από

αυξημένη κατανάλωση ενέργειας, αυξημένη καταπόνηση και φθορά του

ίδιου του εξοπλισμού και ενδέχεται φυσικά να οδηγεί σε παραγωγή

προϊόντων υποδεέστερης ποιότητας. Συνολικά δηλαδή, η επίδραση μιας

συστηματικής αιτίας οδηγεί όχι μόνο σε αύξηση κόστους (μείωση κέρδους)

της παραγωγικής διαδικασίας αλλά και σε αύξηση της πιθανότητας βλάβης

του εξοπλισμού.

• Τόσο ο μηχανισμός επίδρασης της συστηματικής αιτίας όσο και ο

μηχανισμός εμφάνισης βλαβών στον εξοπλισμό, μπορεί να είναι

συναρτήσεις της ηλικίας (χρόνου λειτουργίας) του εξοπλισμού λόγω της

φυσικής φθοράς που υφίσταται με την πάροδο του χρόνου. Κατά συνέπεια,

μελετώνται περιπτώσεις όπου ο ρυθμός βλαβών και ο ρυθμός επίδρασης

της συστηματικής αιτίας μπορεί να είναι αύξουσες συναρτήσεις της ηλικίας

του εξοπλισμού.

Παραγωγικές διαδικασίες με τα παραπάνω χαρακτηριστικά, στις οποίες

υφίσταται όχι μόνο το ενδεχόμενο βλάβης αλλά και επιδείνωσης της κατάστασης

λειτουργίας του εξοπλισμού, συναντώνται πολύ συχνά στην πράξη. Για παράδειγμα,

οι πρέσες που χρησιμοποιούνται σε αρκετές κατασκευαστικές μονάδες για τη

μορφοποίηση διαφόρων σφυρήλατων εξαρτημάτων παρουσιάζουν τέτοιου τύπου

συμπεριφορά. Συγκεκριμένα, λάθος τοποθέτηση ή ανεπαρκής θέρμανση του

μετάλλου που πρόκειται να μορφοποιηθεί ενδέχεται να προκαλέσει αυξημένη ή

ασύμμετρη καταπόνηση στο υδραυλικό έμβολο με αποτέλεσμα την ελαφριά

. . . ..

. . . ..

Εισαγωγή

9

παραμόρφωσή του. Τέτοιες παραμορφώσεις δεν οδηγούν κατ’ ανάγκην στην άμεση

διακοπή της λειτουργίας της πρέσας αλλά επηρεάζουν την ποιότητα των

κατασκευαζόμενων εξαρτημάτων και προκαλούν καταπονήσεις που αυξάνουν την

πιθανότητα πλήρους βλάβης του εμβόλου.

Δυσλειτουργίες αυτής της μορφής δε συναντώνται βεβαίως αποκλειστικά σε

παραγωγικές διαδικασίες βιομηχανικών μονάδων αλλά μπορεί να εμφανιστούν και

κατά τη λειτουργία ενός προϊόντος / μηχανήματος ευρείας χρήσεως. Πολλές

συσκευές για παράδειγμα, όπως τα ψυγεία ή οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές,

χρησιμοποιούν ανεμιστήρες για την ψύξη κάποιων εξαρτημάτων τους που

θερμαίνονται κατά τη λειτουργία τους. Συχνά ο ανεμιστήρας εμφανίζει κάποιο

πρόβλημα (π.χ. απώλεια στήριξης) με αποτέλεσμα τη μειωμένη ικανότητα ψύξης που

συνεπάγεται αυξημένη κατανάλωση ενέργειας αλλά και αυξημένη πιθανότητα βλάβης

της συσκευής λόγω υπερθέρμανσης. Παρότι το φαινόμενο αυτό μπορεί να

συνοδεύεται από αυξημένο θόρυβο που καθιστά εύκολη την αναγνώριση της

συγκεκριμένης δυσλειτουργίας δεν αντιμετωπίζεται συνήθως έγκαιρα με αποτέλεσμα

την εμφάνιση σοβαρότερης βλάβης.

Με στόχο τη βελτίωση της συνολικής λειτουργίας του εξοπλισμού που

παρουσιάζει τα παραπάνω χαρακτηριστικά μελετώνται διεξοδικά εναλλακτικές

μορφές ελέγχου αλλά και συντήρησης που μπορεί να εφαρμόζονται κατά περίπτωση.

Ειδικότερα, επικεντρωνόμαστε σε δύο ακραίες μορφές συντήρησης (τέλεια και

ελάχιστη), οι οποίες συνθέτουν τις προτεινόμενες πολιτικές συντήρησης για τις

διάφορες εκδοχές του υπό εξέταση προβλήματος.

Η τέλεια συντήρηση εφαρμόζεται είτε στην εντός είτε στην εκτός ελέγχου

κατάσταση και ανανεώνει πλήρως τον εξοπλισμό, ενώ η ελάχιστη συντήρηση μπορεί

να εφαρμοστεί μόνο στην εκτός ελέγχου κατάσταση και έχει ως αποτέλεσμα την

επαναφορά του εξοπλισμού σε στατιστικό έλεγχο χωρίς όμως να ανανεώνει την

ηλικία του. Η ελάχιστη συντήρηση που προτείνεται ως εναλλακτική μορφή

. . . ..

. . . ..


10

συντήρησης στην εκτός ελέγχου κατάσταση αποτελεί τη συνήθη πρακτική

αντιμετώπισης των προβλημάτων που προκύπτουν σε μια παραγωγική διαδικασία

στα πλαίσια των διαδικασιών ελέγχου ποιότητας. Το φαινόμενο δύο (ή και

περισσότερων) διακριτών καταστάσεων λειτουργίας (ποιότητας), άλλωστε, είναι

τυπικό χαρακτηριστικό των παραγωγικών διαδικασιών που υποβάλλονται σε

στατιστικό έλεγχο παραγωγικής διαδικασίας (Statistical Process Control, SPC).

Βασική προϋπόθεση για τον εντοπισμό και την αποκατάσταση προβλημάτων

στη λειτουργία του εξοπλισμού είναι η δυνατότητα παρακολούθησης της τρέχουσας

κατάστασης λειτουργίας. Ο μηχανισμός παρακολούθησης του εξοπλισμού αποτελεί

μία πολύ σημαντική παράμετρο του προβλήματος δεδομένου ότι καθορίζει τον

ακριβή χρόνο κατά τον οποίο γίνεται αντιληπτή ενδεχόμενη επίδραση συστηματικής

αιτίας και μετάβαση σε κατάσταση υποδεέστερης ποιότητας (εκτός στατιστικού

ελέγχου). Συγκεκριμένα, πληροφορίες για την κατάσταση λειτουργίας του εξοπλισμού

μπορούμε να έχουμε είτε συνεχώς είτε κατά διαστήματα. Η συνεχής γνώση της

τρέχουσας κατάστασης μιας παραγωγικής διαδικασίας είναι εφικτή σε περιπτώσεις

όπου η επίδραση της συστηματικής αιτίας μπορεί να έχει άμεσα αισθητά

αποτελέσματα (π.χ. θόρυβο, ιδιαίτερη οσμή) και άρα γίνεται εύκολα αντιληπτή αλλά

και σε περιπτώσεις όπου υπάρχει η δυνατότητα πολύ συχνών, ουσιαστικά συνεχών,

ελέγχων των συνθηκών παραγωγής. Εναλλακτικά, και εφόσον η συνεχής

παρακολούθηση δεν είναι πρακτικά δυνατή ή οικονομικά συμφέρουσα, συνήθης

πρακτική είναι η διενέργεια περιοδικών ελέγχων μέσω των οποίων λαμβάνουμε τις

απαιτούμενες πληροφορίες σχετικά με την κατάσταση λειτουργίας του εξοπλισμού.

Τέτοιου τύπου έλεγχοι της τρέχουσας κατάστασης λειτουργίας μπορεί να γίνονται είτε

απευθείας στον εξοπλισμό είτε εμμέσως, ελέγχοντας δηλαδή την ποιότητα των

παραγόμενων προϊόντων. Σε κάθε περίπτωση, σημαντική παράμετρο του

προβλήματος αποτελεί η ακρίβεια των ελέγχων και η εγκυρότητα των παρεχόμενων

πληροφοριών.

. . . ..

. . . ..

Εισαγωγή

11

Συνοψίζοντας όλα τα παραπάνω, στόχος της παρούσας διατριβής είναι να

μελετηθούν και να βελτιστοποιηθούν εναλλακτικές πολιτικές προληπτικής

συντήρησης του εξοπλισμού, που περιλαμβάνουν τόσο τέλεια όσο και ελάχιστη

συντήρηση, σε συνδυασμό με διάφορες τεχνικές ελέγχου. Η μελέτη γίνεται με

κριτήριο την οικονομική βελτιστοποίηση της εκάστοτε διαδικασίας με στόχο αφενός

να προσδιοριστούν οι οικονομικά αποτελεσματικότερες πολιτικές συντήρησης και

ποιοτικού ελέγχου κατά περίπτωση και αφετέρου να εξαχθούν συμπεράσματα για τα

οφέλη από τη συνδυασμένη εφαρμογή των διαδικασιών συντήρησης και ελέγχου

ποιότητας.

1.3. ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ

Η παρούσα διατριβή διαρθρώνεται σε έξι κεφάλαια, εκ των οποίων τα δύο

πρώτα είναι εισαγωγικά, τα επόμενα τρία περιέχουν την ανάπτυξη των μαθηματικών

προτύπων και το τελευταίο συνοψίζει τα σημαντικότερα συμπεράσματα της

διατριβής.

Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται συνοπτικά κάποιες εισαγωγικές έννοιες

αφενός από τον επιστημονικό χώρο της συντήρησης εξοπλισμού και αφετέρου από

τον χώρο του στατιστικού ελέγχου ποιότητας παραγωγικών διαδικασιών. Η

παρουσίαση επικεντρώνεται στα στοιχεία που ενδιαφέρουν στα πλαίσια της

διατριβής και στόχο έχει την καλύτερη κατανόηση όσων αναλύονται στα επόμενα

κεφάλαια. Επιπλέον, στο πρώτο εισαγωγικό κεφάλαιο αποσαφηνίζεται ο στόχος και η

ακριβής δομή της διατριβής και επισημαίνεται η συμβολή της σε ό,τι αφορά τη

συνδυασμένη μελέτη διαδικασιών συντήρησης και ελέγχου ποιότητας μιας

διαδικασίας.

Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται και αναλύεται ένας μεγάλος αριθμός

δημοσιεύσεων που άπτονται του ευρύτερου αντικειμένου της διατριβής. Με στόχο

την κατά το δυνατόν συστηματική παρουσίαση των δημοσιεύσεων αυτών η

. . . ..

. . . ..


12

βιβλιογραφική επισκόπηση ομαδοποιείται ως εξής: Καταρχάς, παρουσιάζονται

δημοσιευμένες εργασίες που πραγματεύονται το πρόβλημα της συντήρησης

εξοπλισμού και ειδικότερα επικεντρωνόμαστε σε μελέτες όπου η εφαρμοζόμενη

πολιτική συντήρησης εξαρτάται από την κατάσταση λειτουργίας του εξοπλισμού

(condition – based maintenance). Η επισκόπηση περιλαμβάνει ένα εύρος

εναλλακτικών μορφών συντήρησης βάσει της κατάστασης του εξοπλισμού αλλά

έμφαση δίνεται σε εκείνες τις εργασίες που προσεγγίζουν περισσότερο το πρόβλημα

που πραγματεύεται η συγκεκριμένη διδακτορική διατριβή. Εν συνεχεία,

παρουσιάζονται δημοσιευμένες εργασίες από τον ερευνητικό χώρο του ελέγχου

ποιότητας παραγωγικών διαδικασιών, οπότε και αναλύεται πότε και με ποιον τρόπο

μπορεί οι διαδικασίες συντήρησης να εισαχθούν σε ένα τυπικό πρόβλημα ελέγχου

ποιότητας και να συμβάλουν στη βελτίωση της ποιότητας των παραγόμενων

προϊόντων. Τέλος, παρουσιάζονται και εργασίες που ασχολούνται με το συνολικό

πρόβλημα της ταυτόχρονης βελτιστοποίησης των διαδικασιών συντήρησης και των

διαδικασιών ελέγχου ποιότητας μιας παραγωγικής διαδικασίας.

Στα επόμενα τρία κεφάλαια μελετάται διεξοδικά το πρόβλημα της συντήρησης

εξοπλισμού, στον οποίο υφίστανται δύο δυνατές καταστάσεις λειτουργίας (εντός και

εκτός ελέγχου) αλλά και μία κατάσταση οριστικής βλάβης. Τα τρία αυτά κεφάλαια

ουσιαστικά διαφοροποιούνται ως προς το μηχανισμό ελέγχου της διαδικασίας όπως

απεικονίζεται στο σχήμα 1.1. Συγκεκριμένα, το τρίτο κεφάλαιο αφορά την περίπτωση

συνεχούς ελέγχου όπου η τρέχουσα κατάσταση του εξοπλισμού είναι ανά πάσα

χρονική στιγμή γνωστή με ακρίβεια, το τέταρτο κεφάλαιο αφορά την περίπτωση

περιοδικών ελέγχων που αποδίδουν με ακρίβεια την κατάσταση του εξοπλισμού ενώ

το πέμπτο κεφάλαιο την περίπτωση περιοδικών ελέγχων με πιθανά σφάλματα

ελέγχου. Με τον όρο «περιοδικοί έλεγχοι» δεν εννοούμε ότι η συχνότητα των

ελέγχων είναι κατ’ ανάγκην σταθερή. Ανάλογα με τα χαρακτηριστικά του

προβλήματος ενδέχεται να είναι προτιμότερο η συχνότητα των ελέγχων να

. . . ..

. . . ..

Εισαγωγή

13

μεταβάλλεται. Για παράδειγμα, ο έλεγχος του εξοπλισμού μπορεί να είναι συχνότερος

(πιο εντατικός) όταν η πιθανότητα εμφάνισης κάποιας δυσλειτουργίας (είτε

επίδρασης είτε βλάβης) είναι αυξημένη και αντιστοίχως ελαστικότερος όταν είναι

μειωμένη. Στην περίπτωση ελέγχων με μεταβλητή συχνότητα το πρόβλημα είναι

σαφώς πιο σύνθετο εφόσον περιλαμβάνει και τον καθορισμό του τρόπου μεταβολής

της συχνότητας των ελέγχων.

Σχήμα 1.1: Διάρθρωση των μαθηματικών προτύπων της διατριβής

Σε κάθε κεφάλαιο εξετάζονται δύο εναλλακτικές πολιτικές συντήρησης του

εξοπλισμού όταν αυτός λειτουργεί στην εκτός ελέγχου κατάσταση (είτε τέλεια PM είτε

ελάχιστη MM) και διερευνάται ο οικονομικά βέλτιστος τρόπος συντήρησης σε κάθε

Εξοπλισμός με δύο

καταστάσεις λειτουργίας και μία κατάσταση βλάβης

Συνεχής και

ακριβής έλεγχος

Περιοδικός και ακριβής έλεγχος

Περιοδικός έλεγχος

με σφάλματα

PM στην εκτός ελέγχου κατάσταση

ΜM στην εκτός ελέγχου κατάσταση





Κεφάλαιο 3

Κεφάλαιο 4

Κεφάλαιο 5

. . . ..

. . . ..


14

περίπτωση. Συγκεκριμένα, οι προτεινόμενες πολιτικές συντήρησης του εξοπλισμού

περιλαμβάνουν:

1. Τέλεια επιδιορθωτική συντήρηση (corrective maintenance - CM) του

εξοπλισμού σε περίπτωση εμφάνισης βλάβης.

2. Τέλεια προληπτική συντήρηση (perfect preventive maintenance - PM) του

εξοπλισμού στην εντός ελέγχου κατάσταση εφόσον αυτός φτάσει, χωρίς να

προηγηθεί βλάβη, σε κάποια κρίσιμη ηλικία πέραν της οποίας δεν είναι

πλέον οικονομικά σκόπιμη η λειτουργία του.

3. Τέλεια ή ελάχιστη προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού στην εκτός

ελέγχου κατάσταση:

α. Η τέλεια προληπτική συντήρηση (perfect preventive maintenance - PM)

επαναφέρει τον εξοπλισμό σε άριστη κατάσταση (εντός ελέγχου και

μηδενικής ηλικίας).

β. Η ελάχιστη προληπτική συντήρηση (minimal maintenance - ΜΜ)

επαναφέρει τον εξοπλισμό στην εντός ελέγχου κατάσταση χωρίς όμως να

επηρεάζει την ενεργό ηλικία του. Ο εξοπλισμός, δηλαδή, αμέσως μετά

την ελάχιστη συντήρηση επανέρχεται μεν στην εντός ελέγχου κατάσταση

αλλά διατηρεί την ηλικία που είχε ακριβώς πριν την εφαρμογή της. Αξίζει

να σημειωθεί ότι η συντήρηση αυτού του τύπου παρότι άμεσο στόχο έχει

την αποκατάσταση μιας δυσλειτουργίας, που οφείλεται στην επίδραση

της συστηματικής αιτίας, ταυτοχρόνως έχει και σαφή προληπτικό

χαρακτήρα απέναντι σε ενδεχόμενη βλάβη του εξοπλισμού, δεδομένου

ότι μετά την εφαρμογή της η πιθανότητα βλάβης κατά το αμέσως

επόμενο διάστημα είναι οπωσδήποτε μειωμένη.

Σε κάθε περίπτωση η βελτιστοποίηση των προτύπων επιτυγχάνεται με κριτήριο

τη μεγιστοποίηση της κατάλληλης συνάρτησης κέρδους και αφορά την επιλογή των

. . . ..

. . . ..

Εισαγωγή

15

βέλτιστων τιμών των παραμέτρων συντήρησης και ελέγχου, όταν υφίστανται και

αποφάσεις που αφορούν τον έλεγχο της διαδικασίας. Στο τέταρτο κεφάλαιο συνεπώς

απαιτείται, πέραν της βελτιστοποίησης των διαδικασιών συντήρησης, και ο

προσδιορισμός της βέλτιστης συχνότητας ελέγχων. Στο πέμπτο κεφάλαιο ο έλεγχος

της τρέχουσας κατάστασης του εξοπλισμού πραγματοποιείται με τη χρήση κάποιου

τυπικού διαγράμματος ελέγχου και συνεπώς η βελτιστοποίηση αφορά και την

επιλογή των παραμέτρων σχεδίασης του διαγράμματος (συχνότητα ελέγχων, όρια

ελέγχου και μέγεθος δείγματος). Στο κεφάλαιο αυτό δηλαδή οι διαδικασίες της

συντήρησης συνδυάζονται πλήρως με αυτές του ελέγχου ποιότητας με απώτερο

στόχο το συνολικά βέλτιστο αποτέλεσμα. Σημειώνεται επίσης ότι η κατάστρωση

όλων των μαθηματικών προτύπων που περιλαμβάνουν περιοδικούς ελέγχους

πραγματοποιείται για τη γενική περίπτωση της μεταβλητής συχνότητας ελέγχων. Τα

μαθηματικά μοντέλα που προκύπτουν ισχύουν φυσικά, και μάλιστα απλοποιημένα,

και για την ειδική περίπτωση της σταθερής συχνότητας ελέγχων.

Τέλος, στο έκτο κεφάλαιο της διατριβής συνοψίζονται τα συμπεράσματα σχετικά

με τη σκοπιμότητα συνδυασμού των διαδικασιών συντήρησης και ελέγχου ποιότητας

και προτείνονται μελλοντικές επεκτάσεις τις έρευνας προς κατευθύνσεις που

δείχνουν να παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον.

1.4. ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ

Η συμβολή της παρούσας διδακτορικής διατριβής έγκειται κυρίως στην

ανάπτυξη μαθηματικών προτύπων που περιγράφουν το πρόβλημα συντήρησης και

ελέγχου ποιότητας εξοπλισμού με ενιαίο τρόπο και παρέχουν τη δυνατότητα

προσδιορισμού της συνολικά βέλτιστης λύσης. Τα πρότυπα αυτά είναι κατάλληλα για

την ανάλυση παραγωγικών διαδικασιών όπου συνυπάρχουν συστηματικές αιτίες που

επιδεινώνουν την κατάσταση ποιότητας του εξοπλισμού και συγχρόνως βλάβες που

καθιστούν αδύνατη τη λειτουργία του. Με τον τρόπο αυτό επιτυγχάνεται η βέλτιστη

. . . ..

. . . ..


16

παράλληλη εφαρμογή των διαδικασιών συντήρησης και ελέγχου ποιότητας μέσω της

αξιοποίησης των μεταξύ τους αλληλεπιδράσεων.

Βασικό χαρακτηριστικό της έρευνας που πραγματοποιήθηκε είναι ότι η ανάπτυξη

όλων των προτύπων υλοποιήθηκε χωρίς να χρησιμοποιηθεί καμία ιδιαίτερα

περιοριστική υπόθεση όσον αφορά τους μηχανισμούς επίδρασης της συστηματικής

αιτίας και εμφάνισης βλαβών. Η μελέτη εναλλακτικών μορφών συντήρησης και

ελέγχου του εξοπλισμού επιτρέπει την εφαρμογή των προτεινόμενων προτύπων σε

μεγάλο φάσμα πραγματικών περιπτώσεων. Επιπλέον, η διεξοδική μελέτη των

διαφόρων μορφών συντήρησης και ελέγχου του εξοπλισμού παρέχει τη δυνατότητα

άμεσων συγκρίσεων και επιλογής των βέλτιστων εναλλακτικών ενεργειών κατά

περίπτωση.

. . . ..

. . . ..

Βιβλιογραφική επισκόπηση

17

2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ

Δεδομένου ότι στην παρούσα διδακτορική διατριβή στόχος είναι η μελέτη και

βελτιστοποίηση των διαδικασιών συντήρησης αλλά και στατιστικού ελέγχου

ποιότητας σε εξοπλισμό που χαρακτηρίζεται από δύο καταστάσεις ποιότητας, η

βιβλιογραφική επισκόπηση πραγματοποιείται σε τρεις κύριες ενότητες.

Αρχικά στην παράγραφο 2.1 παρουσιάζονται και αναλύονται εργασίες που

αφορούν κυρίως τη βελτιστοποίηση των διαδικασιών συντήρησης με έμφαση σε

προβλήματα όπου ο εξοπλισμός χαρακτηρίζεται, εκτός από την κατάσταση βλάβης,

από περισσότερες από μία καταστάσεις λειτουργίας. Τέτοιου τύπου προβλήματα

συχνά συνδυάζονται με τη μελέτη ή ακόμη και βελτιστοποίηση του μηχανισμού

παρακολούθησης της τρέχουσας κατάστασης του εξοπλισμού. Αυτός άλλωστε είναι

και ο προσανατολισμός των προτύπων που αναπτύσσονται και παρουσιάζονται στο

τρίτο και τέταρτο κεφάλαιο της διατριβής.

Κατόπιν αυτού, στην παράγραφο 2.2, παρουσιάζονται εργασίες που

επικεντρώνονται στη μελέτη των διαδικασιών στατιστικού ελέγχου ποιότητας

αξιοποιώντας και το ενδεχόμενο προληπτικής συντήρησης του εξοπλισμού για τη

βελτίωση της κατάστασης λειτουργίας του. Βασικό χαρακτηριστικό των εργασιών

αυτών, το οποίο αποτελεί και σημαντικό σημείο διαφοροποίησης με τα πρότυπα που

εξετάζονται σ’ αυτή τη διατριβή, είναι ότι η μόνη δυσλειτουργία που χαρακτηρίζει τη

διαδικασία είναι η λειτουργία του εξοπλισμού υπό την επίδραση κάποιας

συστηματικής αιτίας, ενώ δεν υφίσταται το ενδεχόμενο πλήρους βλάβης.

Τέλος, στην παράγραφο 2.3 παρουσιάζονται εργασίες που λαμβάνουν υπ’ όψιν

τόσο το ενδεχόμενο επίδρασης κάποιας συστηματικής αιτίας, και άρα επιδείνωσης

της κατάστασης ποιότητας, όσο και το ενδεχόμενο βλάβης του εξοπλισμού που

οδηγεί σε αναγκαστική παύση της παραγωγής. Οι εργασίες αυτές είναι

συγγενέστερες με τα πρότυπα που μελετώνται στο πέμπτο κεφάλαιο της διατριβής

. . . ..

. . . ..


18

όπου διερευνάται η ταυτόχρονη βελτιστοποίηση των διαδικασιών συντήρησης και

ελέγχου ποιότητας σε διαδικασίες στις οποίες συνυπάρχουν τα ενδεχόμενα

επίδρασης κάποιας συστηματικής αιτίας και βλάβης του εξοπλισμού.

2.1. ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ

Τις τελευταίες δεκαετίες ένας σημαντικός αριθμός ερευνητών έχει ασχοληθεί με

το πρόβλημα της συντήρησης του εξοπλισμού διαφόρων διαδικασιών με αποτέλεσμα

τη δημοσίευση πληθώρας επιστημονικών μελετών που πραγματεύονται το

συγκεκριμένο αντικείμενο. Οι εργασίες των Pierskalla and Voelker (1976), Sherif and

Smith (1981), Valdez-Flores and Feldman (1989), Scarf (1997) και Wang (2002)

παρέχουν λεπτομερέστατη ανασκόπηση της έρευνας που έχει διεξαχθεί για την

αντιμετώπιση των προβλημάτων συντήρησης.

Αρχικά η τυπική προσέγγιση ενός προβλήματος συντήρησης βασιζόταν στην

εκτίμηση της αναμενόμενης αξιοπιστίας του εξοπλισμού και τη βελτιστοποίηση της

εφαρμοζόμενης πολιτικής συντήρησης βάσει της αναμενόμενης συμπεριφοράς του

(προληπτική συντήρηση βάσει αξιοπιστίας - statistical/reliability based PM).

Δεδομένου όμως ότι πολύ συχνά επικείμενες βλάβες του εξοπλισμού ενδέχεται να

προαναγγέλλονται από συγκεκριμένες ενδείξεις δυσλειτουργίας αναπτύχθηκε και μια

διαφορετική προσέγγιση του προβλήματος. Σύμφωνα με την προσέγγιση αυτή η

βελτιστοποίηση των διαδικασιών συντήρησης γίνεται λαμβάνοντας υπ’ όψιν (και) την

τρέχουσα κατάσταση του εξοπλισμού (προληπτική συντήρηση βάσει κατάστασης -

condition based PM).

Στην παράγραφο 2.1.1 παρουσιάζονται κάποιες πολύ σημαντικές εργασίες που

ασχολούνται με την προληπτική συντήρηση βάσει αξιοπιστίας με στόχο όχι φυσικά

την πλήρη βιβλιογραφική επισκόπηση του συγκεκριμένου ερευνητικού χώρου αλλά

την παρουσίαση των βασικότερων πολιτικών και μορφών συντήρησης. Κατόπιν

αυτού, στην παράγραφο 2.1.2 παρουσιάζονται εργασίες που ασχολούνται με την

προληπτική συντήρηση βάσει κατάστασης και ειδικότερα δίνεται έμφαση, λόγω του

. . . ..

. . . ..


19

προσανατολισμού της παρούσας διατριβής, σε εκείνες τις εργασίες που μελετούν

προβλήματα όπου ο εξοπλισμός χαρακτηρίζεται από διακριτές καταστάσεις

λειτουργίας.

2.1.1. Προληπτική συντήρηση βάσει αξιοπιστίας

Ένα πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό των διαδικασιών συντήρησης που αποτελεί

και βασικό κριτήριο διαφοροποίησης των διαφόρων προτεινόμενων πολιτικών

συντήρησης είναι η αποτελεσματικότητά της στον εξοπλισμό. Συγκεκριμένα, η

συντήρηση, είτε προληπτική είτε επιδιορθωτική, θεωρείται «τέλεια» (perfect) ή

«ατελής» (imperfect) ανάλογα με την κατάσταση στην οποία επαναφέρει τον

εξοπλισμό αμέσως μετά την εφαρμογή της. Η τέλεια συντήρηση επαναφέρει τον

εξοπλισμό σε άριστη κατάσταση (as good as new), ενώ η ατελής συντήρηση

βελτιώνει μεν την κατάσταση λειτουργίας του εξοπλισμού αλλά δεν τον επαναφέρει

απαραίτητα σε άριστη κατάσταση. Στην περίπτωση της επιδιορθωτικής συντήρησης

ειδικότερα υπάρχει και το ενδεχόμενο της «ελάχιστης» (minimal) συντήρησης του

εξοπλισμού, που είναι ειδική περίπτωση ατελούς συντήρησης σύμφωνα με την οποία

επιδιορθώνεται η βλάβη του εξοπλισμού αλλά δεν γίνεται καμία περαιτέρω βελτίωση

της κατάστασής του και κατά συνέπεια ο εξοπλισμός επανέρχεται στην κατάσταση

που βρισκόταν ακριβώς πριν από την εμφάνιση της βλάβης.

Η παρουσίαση των σχετικών εργασιών γίνεται σε δύο μέρη ανάλογα με την

αποτελεσματικότητα της προληπτικής συντήρησης που εφαρμόζεται, δεδομένου ότι

αυτή διαφοροποιεί σημαντικά τις προτεινόμενες πολιτικές.

2.1.1.1. Τέλεια προληπτική συντήρηση

Από τις πρώτες και πιο διαδεδομένες μορφές τέλειας προληπτικής συντήρησης

είναι η προληπτική συντήρηση βάσει της ηλικίας του εξοπλισμού (age-dependent

PM) και η περιοδική προληπτική συντήρηση (periodic PM). Στην πρώτη περίπτωση

θεωρείται ότι ενδεχόμενη βλάβη του εξοπλισμού αντιμετωπίζεται με τέλεια

. . . ..

. . . ..


20

επιδιορθωτική συντήρηση που μηδενίζει την ηλικία του και ο χρόνος για την

προγραμματισμένη προληπτική συντήρηση επαναπροσδιορίζεται. Στη δεύτερη

περίπτωση αντίθετα ενδεχόμενες βλάβες αντιμετωπίζονται με ελάχιστη επιδιόρθωση

που δεν επηρεάζει ουσιαστικά την ηλικία του εξοπλισμού και η προληπτική

συντήρηση πραγματοποιείται πάντα στον προγραμματισμένο χρόνο.

Οι Barlow and Hunter (1960) είναι από τους πρώτους που μελετούν αυτές τις

δύο μορφές προληπτικής συντήρησης και υπολογίζουν τον βέλτιστο κάθε φορά

χρόνο συντήρησης με κριτήριο τη μεγιστοποίηση της διαθεσιμότητας του

εξοπλισμού. Επιπλέον, οι Barlow and Hunter (1960) αποδεικνύουν ότι οι βέλτιστες

λύσεις που υπολογίζονται με αυτόν τον τρόπο οδηγούν σε ελαχιστοποίηση του

συνολικού κόστους συντήρησης στην περίπτωση των μηδενικών νεκρών χρόνων

(μηδενική διάρκεια επεμβάσεων στον εξοπλισμό). Και οι δύο αυτές πολιτικές

συντήρησης μελετήθηκαν εξονυχιστικά από διάφορους ερευνητές τα επόμενα χρόνια

και αποτέλεσαν τη βάση για ποικίλες προεκτάσεις σε πιο σύνθετα μοντέλα

συντήρησης.

Ο Glasser (1967) προσδιορίζει τις αναγκαίες συνθήκες που καθιστούν την

προληπτική συντήρηση βάσει ηλικίας του εξοπλισμού οικονομικά σκόπιμη και

υπολογίζει τη βέλτιστη λύση για διάφορες περιπτώσεις χρησιμοποιώντας τρεις

εναλλακτικές κατανομές του χρόνου μέχρι την εμφάνιση βλάβης: ακρωτηριασμένη

(truncated) κανονική, Γάμμα και Weibull. Αργότερα, ο Scheaffer (1971) μελετά το ίδιο

πρόβλημα εισάγοντας ένα επιπλέον κόστος συντήρησης που είναι αύξουσα

συνάρτηση της ηλικίας του εξοπλισμού. Το κριτήριο που χρησιμοποιείται για τον

υπολογισμό του βέλτιστου χρόνου συντήρησης είναι η ελαχιστοποίηση του μέσου

μακροπρόθεσμου κόστους ανά μονάδα χρόνου.

Οι Boland and Proschan (1982), από την άλλη πλευρά, επεκτείνουν το κλασικό

μοντέλο περιοδικής προληπτικής συντήρησης θεωρώντας ότι το κόστος των

ελάχιστων επιδιορθώσεων αυξάνεται κατά τη διάρκεια κάθε κύκλου. Με βάση την

. . . ..

. . . ..


21

υπόθεση αυτή μελετούν το πρόβλημα τόσο για την περίπτωση του πεπερασμένου

όσο και για την περίπτωση του άπειρου χρονικού ορίζοντα. Οι Tilquin and Cléroux

(1975) εισάγουν στο πρόβλημα της περιοδικής συντήρησης ένα κόστος συντήρησης

που εξαρτάται από την ηλικία του εξοπλισμού (εντελώς ανάλογα με την εργασία του

Scheaffer, 1971) και αναπτύσσουν τις αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη

πεπερασμένης βέλτιστης λύσης.

Η προληπτική συντήρηση βάσει της ηλικίας του εξοπλισμού καθώς επίσης και η

περιοδική προληπτική συντήρηση αποτελούν πολύ συχνά ειδικές περιπτώσεις πιο

σύνθετων πολιτικών συντήρησης που έχουν προταθεί από διάφορους ερευνητές.

Για παράδειγμα ο Nakagawa (1984) επέκτεινε τα κλασικά μοντέλα προληπτικής

συντήρησης προτείνοντας μια πολιτική σύμφωνα με την οποία ο εξοπλισμός

συντηρείται τέλεια ή αντικαθίσταται στο χρόνο Τ ή μετά την εμφάνιση Ν βλαβών

(οτιδήποτε συμβεί πρώτο). Όσες βλάβες εμφανιστούν πριν από την τέλεια

συντήρηση ή αντικατάσταση του εξοπλισμού αντιμετωπίζονται με ελάχιστη

επιδιόρθωση και η διαδικασία συνεχίζεται κανονικά. Στόχος της εργασίας εκείνης

είναι ο υπολογισμός των βέλτιστων τιμών Ν και Τ που ελαχιστοποιούν το συνολικό

κόστος συντήρησης. Θέτοντας Ν=1 στο μοντέλο του Nakagawa (1984) προκύπτει το

κλασικό μοντέλο προληπτικής συντήρησης βάσει της ηλικίας του εξοπλισμού, ενώ

για πολύ μεγάλες τιμές Ν (N → ∞ ) προκύπτει το κλασικό μοντέλο περιοδικής

προληπτικής συντήρησης.

Οι Sheu et al. (1995) μελετούν μια κάπως διαφορετική επέκταση του

προβλήματος όπου ο εξοπλισμός υπόκειται σε δύο είδη βλαβών (τύπου 1 και τύπου

2) και προτείνουν την αντικατάστασή του κατά τη n-στη βλάβη τύπου 1 ή κατά την

πρώτη βλάβη τύπου 2 ή σε ηλικία Τ (οτιδήποτε συμβεί πρώτο). Οι Sheu et al. (1995)

υποθέτουν ότι κάθε φορά που εμφανίζεται μια βλάβη αυτή είναι τύπου 1 με

πιθανότητα p ή τύπου 2 με πιθανότητα q=1-p. Επιπλέον, κάθε βλάβη τύπου 1 πριν

από την αντικατάσταση του εξοπλισμού αντιμετωπίζεται με ελάχιστη επιδιόρθωση.

. . . ..

. . . ..


22

Και σ’ αυτήν την περίπτωση για p=0 προκύπτει η ειδική περίπτωση της προληπτικής

συντήρησης βάσει της ηλικίας, ενώ για p=1 και n → ∞ προκύπτει η ειδική περίπτωση

της περιοδικής προληπτικής συντήρησης.

2.1.1.2. Ατελής προληπτική συντήρηση

Στην πραγματικότητα πολύ συχνά μια προληπτική συντήρηση ναι μεν βελτιώνει

την κατάσταση λειτουργίας του εξοπλισμού αλλά δεν τον επαναφέρει σε άριστη

κατάσταση. Για την περιγραφή και μελέτη τέτοιου είδους διαδικασιών έχουν

αναπτυχθεί διάφορα μοντέλα ατελούς προληπτικής συντήρησης.

Ο Nakagawa (1979) μελετά την περίπτωση ατελούς προληπτικής συντήρησης

σύμφωνα με την οποία όταν ο εξοπλισμός συντηρείται προληπτικά επανέρχεται σε

άριστη κατάσταση με πιθανότητα p, ενώ παραμένει ως είχε με πιθανότητα q=1-p. Με

βάση αυτή την υπόθεση λειτουργίας ο Nakagawa (1979) υπολογίζει τους οικονομικά

βέλτιστους χρόνους συντήρησης τόσο για την περίπτωση της προληπτικής

συντήρησης βάσει ηλικίας όσο και για την περίπτωση της περιοδικής προληπτικής


Οι Nguyen and Murthy (1981) επεκτείνουν τα δύο κλασικά μοντέλα προληπτικής

συντήρησης (PM βάσει ηλικίας και περιοδική PM) θεωρώντας ότι η προληπτική

συντήρηση του εξοπλισμού επηρεάζει την κατανομή του χρόνου μέχρι την επόμενη

βλάβη του εξοπλισμού. Συγκεκριμένα, θεωρούν ότι ναι μεν ανανεώνεται η ηλικία του

εξοπλισμού μετά την εφαρμογή της προληπτικής συντήρησης αλλά ο ρυθμός

βλαβών αυξάνεται, για την ίδια ηλικία t του εξοπλισμού, με τον αριθμό των

προληπτικών συντηρήσεων. Επιπλέον, ο εξοπλισμός αντικαθίσταται ή συντηρείται

τέλεια μετά την εφαρμογή ενός αριθμού (i-1) προληπτικών συντηρήσεων.

Ο Malik (1979) εισάγει ένα συντελεστή βελτίωσης του ρυθμού βλαβών που

καθορίζει την αποτελεσματικότητα της προληπτικής συντήρησης. Σύμφωνα με το

μοντέλο του Malik (1979) η προληπτική συντήρηση ανανεώνει τη συνάρτηση ρυθμού

. . . ..

. . . ..


23

βλαβών του εξοπλισμού αλλά όχι σε βαθμό που να τον επαναφέρει σε άριστη

κατάσταση. Ο βαθμός βελτίωσης του ρυθμού βλαβών καθορίζεται από την τιμή του

εκάστοτε συντελεστή βελτίωσης. Κατά συνέπεια ο Malik (1979) προτείνει την

προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού οποτεδήποτε ο ρυθμός βλαβών αγγίζει

κάποια οριακή τιμή ούτως ώστε να διασφαλίζεται η λειτουργία του σε αποδεκτές τιμές

του ρυθμού βλαβών (failure limit policy). Στόχος είναι ο προσδιορισμός της βέλτιστης

οριακής τιμής του ρυθμού βλαβών που καθορίζει τη συχνότητα εφαρμογής

προληπτικής συντήρησης. Η συγκεκριμένη μοντελοποίηση ατελούς προληπτικής

συντήρησης χρησιμοποιήθηκε αργότερα και από τους Lie and Chun (1986),

Jayabalan and Chaudhuri (1992a, 1992b), Chan and Shaw (1993) και Canfield

(1986).

2.1.2. Προληπτική συντήρηση βάσει κατάστασης

Η διαπίστωση ότι πολύ συχνά συγκεκριμένες ενδείξεις δυσλειτουργίας

προηγούνται της πλήρους βλάβης του εξοπλισμού οδήγησε σειρά επιστημόνων να

αναπτύξουν κατάλληλες μεθόδους προληπτικής συντήρησης που θα αξιοποιούν

πληροφορίες που αφορούν την κατάσταση του εξοπλισμού. Στη γενική περίπτωση η

προληπτική συντήρηση βάσει της κατάστασης του εξοπλισμού προϋποθέτει τη

συνεχή ή κατά διαστήματα παρακολούθηση κάποιου χαρακτηριστικού που συνδέεται

με την κατάσταση λειτουργίας του εξοπλισμού και υποδεικνύει την προληπτική

συντήρησή του μόλις παρατηρηθεί υπέρβαση κάποιας οριακής τιμής του

χαρακτηριστικού αυτού. Η γνώση της κατάστασης λειτουργίας του εξοπλισμού

μπορεί να συμβάλει στην ακριβέστερη πρόβλεψη του αναμενόμενου χρόνου

εμφάνισης βλάβης και άρα και στον αποτελεσματικότερο προγραμματισμό του

χρόνου προληπτικής συντήρησης.

Είναι λοιπόν σαφές ότι για την εφαρμογή τέτοιου τύπου προληπτικής

συντήρησης απαιτείται ο προσδιορισμός των εξής:

α) του χαρακτηριστικού ή της παραμέτρου που θα ελέγχεται,

. . . ..

. . . ..


24

β) της συχνότητας ελέγχων και

γ) των οριακών τιμών των παραμέτρων, υπέρβαση των οποίων οδηγεί σε

προληπτική συντήρηση.

Είναι φανερό ότι η διαδικασία των ελέγχων αποτελεί βασικό συστατικό της

μεθόδου, δεδομένου μάλιστα ότι μπορεί να διαφοροποιείται έντονα βάσει των

λειτουργικών χαρακτηριστικών του εξοπλισμού. Ειδικότερα, η συχνότητα ελέγχων

μπορεί - και πρέπει - να εξαρτάται από τη μορφή της συνάρτησης ρυθμού βλαβών

και την κατάσταση στην οποία επανέρχεται ο εξοπλισμός μετά την εφαρμογή της

συντήρησης, προληπτικής ή επιδιορθωτικής. Έτσι, η συχνότητα ελέγχων μπορεί να

θεωρηθεί εξ’ αρχής, ή να προκύψει μετά από βελτιστοποίηση, σταθερή. Σε κάποιες

περιπτώσεις όμως, ενδέχεται μεταβλητή συχνότητα ελέγχων να θεωρείται

καταλληλότερη με συνηθέστερη την περίπτωση όπου ο εξοπλισμός ελέγχεται με

τέτοιον τρόπο, ώστε να διατηρείται σταθερή σε κάθε διάστημα η πιθανότητα

εμφάνισης βλάβης. Επισημαίνεται πάντως, πως ακόμη και αν η συχνότητα ελέγχων

είναι σταθερή δε συμβαίνει το ίδιο και με τη συχνότητα συντήρησης, εφόσον αυτή

εφαρμόζεται σε εκείνες τις περιπτώσεις και μόνο που υποδεικνύονται από τα

αποτελέσματα των ελέγχων.

Η βελτιστοποίηση τέτοιου τύπου μοντέλων προληπτικής συντήρησης

επικεντρώνεται λοιπόν πρωτίστως στην επιλογή του κριτηρίου για την απόφαση

συντήρησης του εξοπλισμού και δευτερευόντως στον καθορισμό της συχνότητας των

ελέγχων. Το κριτήριο σύμφωνα με το οποίο λαμβάνεται η απόφαση για την

προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού δεν είναι βέβαια κατ’ ανάγκην μονοδιάστατο

αλλά μπορεί να περιλαμβάνει περισσότερα από ένα χαρακτηριστικά του εξοπλισμού

(π.χ. συνδυασμός της τρέχουσας κατάστασης λειτουργίας και του χρόνου λειτουργίας

σ’ αυτήν την κατάσταση).

Αξίζει να σημειωθεί στο σημείο αυτό ότι η προληπτική συντήρηση που βασίζεται

στην κατάσταση του εξοπλισμού είναι δυνατόν να εφαρμοστεί μόνο σ’ εκείνες τις

. . . ..

. . . ..


25

περιπτώσεις όπου οι δυνατές καταστάσεις του εξοπλισμού είναι περισσότερες από

δύο. Δηλαδή, όταν η λειτουργία του εξοπλισμού χαρακτηρίζεται και από ενδιάμεσες

καταστάσεις, πλην της άριστης λειτουργίας και της ακινησίας λόγω βλάβης. Σε μια

τέτοια ενδιάμεση κατάσταση μέτριας λειτουργίας, που κατά κανόνα δεν είναι άμεσα

ορατή, αυξάνεται συνήθως η πιθανότητα βλάβης και μειώνεται η ποιότητα των

παραγόμενων προϊόντων. Ως εκ τούτου, έχει νόημα η παρακολούθηση του

εξοπλισμού και η προληπτική συντήρησή του έτσι ώστε να αποφεύγεται η λειτουργία

του σε καταστάσεις μειωμένης αξιοπιστίας αλλά και αποδοτικότητας.

Σημαντικό χαρακτηριστικό διαφοροποίησης των εργασιών που αφορούν την

προληπτική συντήρηση βάσει κατάστασης είναι ο μηχανισμός μεταβολής της

κατάστασης λειτουργίας του εξοπλισμού. Αν δηλαδή, ο εξοπλισμός υφίσταται συνεχή

επιδείνωση της κατάστασής του (drifting) ή αν η κατάστασή του μεταβάλλεται μόνο

σε διακριτές χρονικές στιγμές. Προφανώς στην πρώτη περίπτωση οι δυνατές

καταστάσεις λειτουργίας του εξοπλισμού είναι άπειρες, ενώ στη δεύτερη μπορεί να

είναι είτε άπειρες (αν το μέγεθος της μεταβολής είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή) είτε

πεπερασμένες.

Εν προκειμένω, ενδιαφερόμαστε ιδιαίτερα για την περίπτωση των διακριτών

καταστάσεων λειτουργίας όπου η μεταβολή της κατάστασης συμβαίνει στιγμιαία.

Αρχικά θα παρουσιαστούν εργασίες όπου το μέγεθος της μεταβολής στην κατάσταση

του εξοπλισμού είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή και άρα το πλήθος των δυνατών

καταστάσεων είναι άπειρο και εν συνεχεία θα επικεντρωθούμε σε εργασίες με

πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων.

2.1.2.1. Άπειρες καταστάσεις

Μια μεγάλη κατηγορία ερευνητών έχει ασχοληθεί μέχρι σήμερα με περιπτώσεις

όπου ο εξοπλισμός υπόκειται κατά διαστήματα στην εμφάνιση κάποιου είδους

φθοράς τυχαίου μεγέθους που μπορεί τελικά να προκαλέσει την πλήρη βλάβη του.

. . . ..

. . . ..


26

Τέτοιου τύπου μοντέλα ονομάζονται στη βιβλιογραφία “shock models” και

χαρακτηρίζονται κατά κανόνα από τις εξής υποθέσεις:

• Ο χρόνος μεταξύ των επιδράσεων (shocks) είναι τυχαία μεταβλητή.

• Το μέγεθος της φθοράς που προκαλεί η κάθε επίδραση είναι επίσης

τυχαία μεταβλητή.

• Βλάβη μπορεί να προκληθεί κατά την εμφάνιση κάποιας επίδρασης με

πιθανότητα που εξαρτάται από το επίπεδο της συνολικής φθοράς του

εξοπλισμού.

Από τους πρώτους που ασχολήθηκαν συστηματικά με το συγκεκριμένο

πρόβλημα ήταν ο Taylor (1975), ο οποίος μελέτησε την περίπτωση όπου οι

επιδράσεις εμφανίζονται σύμφωνα με μια κατανομή Poisson ενώ το μέγεθος της

φθοράς που προκαλείται από την κάθε επίδραση ακολουθεί εκθετική κατανομή.

Χρησιμοποιώντας αυτές τις υποθέσεις ο Taylor (1975) απέδειξε ότι η βέλτιστη

πολιτική προληπτικής συντήρησης υποδεικνύει τη συντήρηση του εξοπλισμού μόλις

η αθροιστική φθορά του ξεπεράσει κάποια οριακή τιμή (control-limit policy) τόσο για

μηδενικούς όσο και για μη μηδενικούς χρόνους συντήρησης.

Ο Feldman (1976) γενικεύει το πρόβλημα του Taylor (1975) θεωρώντας ότι ο

χρόνος μεταξύ των επιδράσεων μπορεί να ακολουθεί οποιαδήποτε κατανομή και ότι

το μέγεθος της φθοράς που προκαλείται από την κάθε επίδραση είναι μια αύξουσα

ημι-μαρκοβιανή διαδικασία (semi-Markov process). Στόχος είναι ο υπολογισμός της

βέλτιστης οριακής τιμής φθοράς του εξοπλισμού που υποδεικνύει την προληπτική

συντήρησή του χωρίς όμως να αποδεικνύεται, σε αντίθεση με την εργασία του Taylor

(1975), ότι όντως η βέλτιστη πολιτική είναι αυτής της μορφής. Με το ίδιο πρόβλημα

ασχολείται και ο Zuckerman (1978), ο οποίος όμως εξετάζει το ενδεχόμενο

προληπτικής συντήρησης όχι μόνο αμέσως μετά την εμφάνιση κάποιας επίδρασης

αλλά οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Η κατάσταση του εξοπλισμού περιγράφεται ως

. . . ..

. . . ..


27

δισδιάστατη διαδικασία (Χ, Υ), όπου Χ η αθροιστική φθορά του εξοπλισμού και Υ ο

χρόνος από την εμφάνιση της τελευταίας επίδρασης, και αποδεικνύεται, υπό

προϋποθέσεις, ότι η βέλτιστη πολιτική συντήρησης είναι η προληπτική συντήρηση

του εξοπλισμού όταν η τρέχουσα κατάστασή του είναι λεξικογραφικά μεγαλύτερη από

μια οριακή κατάσταση (x*, y*). Κάτι τέτοιο πρακτικά σημαίνει ότι ο εξοπλισμός δε

συντηρείται προληπτικά αν x<x*, συντηρείται προληπτικά μετά την πάροδο του

χρονικού διαστήματος y* από την τελευταία επίδραση αν x=x* και συντηρείται

προληπτικά αμέσως αν x>x*.

Μετέπειτα, ο Zuckerman (1980) μελέτησε το ίδιο πρόβλημα με τον Taylor (1975)

θεωρώντας όμως ότι το μέγεθος της φθοράς που προκαλεί η κάθε επίδραση είναι

τυχαία μεταβλητή που μπορεί να ακολουθεί οποιαδήποτε κατανομή. Βασική

διαφοροποίηση του μοντέλου είναι ότι η κατάσταση του εξοπλισμού,

συμπεριλαμβανομένης και της βλάβης, προσδιορίζεται μόνο κατόπιν ελέγχων που

διενεργούνται με σταθερή συχνότητα. Στόχος είναι να προσδιοριστεί η βέλτιστη

συχνότητα ελέγχου καθώς επίσης και η βέλτιστη πολιτική προληπτικής συντήρησης

του εξοπλισμού. Ο Zuckerman (1980) παρέχει τις αναγκαίες συνθήκες ούτως ώστε η

βέλτιστη πολιτική συντήρησης του εξοπλισμού να είναι ανάλογη με αυτή του Taylor

(1975).

Οι Gottlieb (1982) και Gottlieb and Levikson (1984) θεωρούν ότι ο ρυθμός

βλαβών του εξοπλισμού δεν είναι κατ’ ανάγκην αύξουσα συνάρτηση της αθροιστικής

φθοράς του και μελετούν την περίπτωση όπου οι επιδράσεις εμφανίζονται σύμφωνα

με μια ημι-μαρκοβιανή διαδικασία. Και στις δύο αυτές εργασίες αποδεικνύεται ότι η

βέλτιστη πολιτική συντήρησης εξαρτάται όχι μόνο από την κατάσταση του

εξοπλισμού αλλά και από το χρονικό διάστημα που έχει μεσολαβήσει από την

εμφάνιση της τελευταίας επίδρασης. Ουσιαστικά σύμφωνα με την πολιτική αυτή ο

εξοπλισμός συντηρείται προληπτικά μόλις ο χρόνος παραμονής του σε κάποια

κατάσταση ξεπεράσει κάποια οριακή τιμή, η οποία είναι συνάρτηση της αθροιστικής

. . . ..

. . . ..


28

φθοράς του. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγει και ο Mizuno (1986) με τη μόνη

διαφορά ότι χρησιμοποιεί πιο χαλαρές αναγκαίες συνθήκες για την απόδειξη της

μορφής της βέλτιστης πολιτικής.

Μια διαφορετική προσέγγιση του προβλήματος αφορά περιπτώσεις όπου η

βλάβη του εξοπλισμού επέρχεται μόλις η αθροιστική φθορά του ξεπεράσει κάποια

οριακή τιμή. Οι Nakagawa (1976) και Zuckerman (1986) ασχολούνται με την

περίπτωση αυτή θεωρώντας ότι οι επιδράσεις εμφανίζονται στον εξοπλισμό

σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson. Η ίδια υπόθεση για τον μηχανισμό που

προκαλεί βλάβη στον εξοπλισμό υπάρχει και σε μεταγενέστερες εργασίες οι οποίες

όμως θεωρούν συνεχή επιδείνωση της κατάστασης (φθοράς) του εξοπλισμού (π.χ.

Castanier et al., 2003 και Wang, 2000).

Συνεχή επιδείνωση της κατάστασης του εξοπλισμού υποθέτει και ο Feldman

(1977) με τη διαφορά ότι βλάβη μπορεί να εμφανιστεί οποιαδήποτε χρονική στιγμή

με πιθανότητα που εξαρτάται από την τρέχουσα κατάσταση του εξοπλισμού. Ο

Feldman (1977) αποδεικνύει επίσης ότι η βέλτιστη πολιτική συντήρησης είναι η

προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού αμέσως μόλις η κατάστασή του ξεπεράσει

κάποια οριακή τιμή.

Βασική υπόθεση στην πλειοψηφία των εργασιών που προαναφέρθηκαν είναι ότι

βλάβη στον εξοπλισμό ουσιαστικά μπορεί να προκληθεί μόνο κατά την εμφάνιση

κάποιας επίδρασης. Σε κάποιες εργασίες όμως μελετάται η πιο γενική περίπτωση

όπου το ενδεχόμενο της βλάβης υφίσταται ακόμη και κατά τη λειτουργία του

εξοπλισμού στην ίδια κατάσταση και όχι μόνο κατά τις στιγμές επιδείνωσης της

κατάστασής του.

Συγκεκριμένα ο Bergman (1978) μελετά την περίπτωση όπου η κατάσταση

λειτουργίας του εξοπλισμού περιγράφεται πλήρως από μια αύξουσα στοχαστική

διαδικασία και μπορεί να επιδεινώνεται με οποιονδήποτε τρόπο. Επιπλέον, ο

εξοπλισμός μπορεί να υποστεί ολοκληρωτική βλάβη οποιαδήποτε χρονική στιγμή με

. . . ..

. . . ..


29

σταθερό ρυθμό βλαβών σε κάθε κατάσταση, που είναι όμως αύξουσα συνάρτηση της

κατάστασης του εξοπλισμού. Ο Bergman (1978), θεωρώντας ότι η κατάσταση

λειτουργίας του εξοπλισμού είναι συνεχώς γνωστή με ακρίβεια, αποδεικνύει ότι η

βέλτιστη πολιτική συντήρησης είναι ανάλογη με αυτή του Taylor (1975), οπότε ο

εξοπλισμός πρέπει να συντηρείται προληπτικά μόλις η κατάσταση λειτουργίας του

ξεπεράσει κάποια οριακή τιμή.

Ανάλογα προβλήματα, όπου ο ρυθμός βλαβών είναι αύξουσα συνάρτηση της

κατάστασης του εξοπλισμού, μελετώνται και από τους Aven and Bergman (1986) και

Aven and Gaarder (1987). Ο Aven (1983) διαφοροποιεί την εφαρμοζόμενη πολιτική

συντήρησης θεωρώντας ότι ενδεχόμενες βλάβες στον εξοπλισμό αντιμετωπίζονται με

ελάχιστη επιδιόρθωση, η οποία επαναφέρει τον εξοπλισμό στην κατάσταση που

βρισκόταν ακριβώς πριν την εμφάνιση της βλάβης. Στην εργασία του ο Aven (1983)

αποδεικνύει ότι ο εξοπλισμός πρέπει να συντηρείται προληπτικά μόλις ο ρυθμός

βλαβών ξεπεράσει κάποια οριακή τιμή.

Σε μια πιο πρόσφατη εργασία οι Barbera et al. (1996) μελετούν την περίπτωση

όπου η κατάσταση του εξοπλισμού ελέγχεται ανά τακτά χρονικά διαστήματα και ο

εξοπλισμός συντηρείται προληπτικά μόλις παρατηρηθεί υπέρβαση κάποιας οριακής

τιμής της μεταβλητής που περιγράφει την κατάσταση. Βλάβη στον εξοπλισμό

ενδέχεται να παρουσιαστεί οποτεδήποτε μεταξύ των ελέγχων σύμφωνα με την

εκθετική κατανομή και με ρυθμό που εξαρτάται από την κατάσταση του εξοπλισμού.

Ο προσδιορισμός της οριακής κατάστασης που υποδεικνύει την προληπτική

συντήρηση του εξοπλισμού επιτυγχάνεται με δυναμικό προγραμματισμό.

Αξίζει να σημειωθεί ότι στην πλειοψηφία των εργασιών αυτής της παραγράφου η

εφαρμοζόμενη πολιτική συντήρησης, η οποία μάλιστα συχνά αποδεικνύεται ότι είναι

και η βέλτιστη, χαρακτηρίζεται από μια οριακή τιμή της κατάστασης του εξοπλισμού

πέραν της οποίας υποδεικνύεται η προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού. Γενικά,

τέτοιου τύπου προληπτική συντήρηση αποδεικνύεται ότι είναι βέλτιστη κυρίως όταν η

. . . ..

. . . ..


30

διαδικασία που οδηγεί στη βλάβη του εξοπλισμού είναι μαρκοβιανή (π.χ. Taylor,

1975 και Zuckerman, 1980). Αποκλίσεις από την υπόθεση αυτή οδηγούν σε πιο

σύνθετες πολιτικές προληπτικής συντήρησης όπου η απόφαση για τη συντήρηση του

εξοπλισμού δε λαμβάνεται (ή δεν πρέπει να λαμβάνεται) μόνο συναρτήσει της

κατάστασής του (φθοράς). Για παράδειγμα, θεωρώντας μια ημι-μαρκοβιανή

διαδικασία επιδείνωσης της κατάστασης που τελικά οδηγεί σε βλάβη του εξοπλισμού

υπονοείται ουσιαστικά ότι η πιθανότητα βλάβης εξαρτάται όχι μόνο από την

τρέχουσα κατάσταση αλλά και από τον χρόνο παραμονής του εξοπλισμού στην

κατάσταση αυτή και είναι επομένως λογικό και η εφαρμοζόμενη πολιτική συντήρησης

να εξαρτάται και από τις δύο αυτές παραμέτρους (π.χ. Zuckerman, 1978 και Mizuno,

1986). Στη γενική περίπτωση η βέλτιστη πολιτική συντήρησης μπορεί να έχει

οποιαδήποτε μορφή, καθοριστικός παράγοντας της οποίας είναι ο εκάστοτε

μηχανισμός επιδείνωσης της κατάστασης του εξοπλισμού που προσδιορίζει

ουσιαστικά και τον χρόνο εμφάνισης βλάβης.

2.1.2.2. Πεπερασμένες καταστάσεις

Ένας σημαντικός αριθμός ερευνητών έχει ασχοληθεί με την περίπτωση όπου ο

αριθμός των δυνατών καταστάσεων λειτουργίας του εξοπλισμού είναι

πεπερασμένος. Βασικό χαρακτηριστικό που διαφοροποιεί τις σχετικές εργασίες

μεταξύ τους είναι οι υποθέσεις που αφορούν το μηχανισμό μετάβασης μεταξύ των

δυνατών καταστάσεων του εξοπλισμού. Στην απλούστερη εκδοχή του προβλήματος

θεωρείται ότι η διαδικασία μετάβασης είναι μια Μαρκοβιανή διαδικασία, ενώ σε πιο

σύνθετα μοντέλα η υπόθεση αυτή αναιρείται ολικώς ή μερικώς ούτως ώστε να

προκύψουν πιο γενικά συμπεράσματα. Παρακάτω παρουσιάζονται αρχικά εργασίες

που στηρίζονται στη Μαρκοβιανή ιδιότητα και έπειτα εργασίες που χρησιμοποιούν

λιγότερο αυστηρές υποθέσεις για τον μηχανισμό επιδείνωσης της κατάστασης του


. . . ..

. . . ..


31

Μαρκοβιανά Μοντέλα

Από τους πρώτους που μελέτησαν το πρόβλημα της προληπτικής συντήρησης

σε εξοπλισμό που χαρακτηρίζεται από περισσότερες από μία διακριτές καταστάσεις

λειτουργίας είναι ο Derman (1962, 1963). Ο Derman υποθέτει ότι ο εξοπλισμός

μπορεί να λειτουργεί σε οποιαδήποτε από L+1 πιθανές καταστάσεις (0,1,…L), όπου

L η κατάσταση πλήρους βλάβης. Επιπλέον, η τρέχουσα κατάσταση του εξοπλισμού

είναι συνεχώς γνωστή (ουσιαστικά χρησιμοποιείται διακριτοποίηση του συνολικού

χρόνου με t=0,1,2,…) και αντικατάσταση του εξοπλισμού μπορεί να

πραγματοποιηθεί οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Οι υποθέσεις που χρησιμοποιούνται

για τις πιθανότητες μετάβασης από μια κατάσταση i σε μια άλλη κατάσταση j, pij,

είναι:

• pi0=0 για κάθε i=0,1,…L-1: ο εξοπλισμός δεν μπορεί να επανέλθει σε

άριστη κατάσταση χωρίς κάποια εξωτερική επέμβαση.

• pL0=1: σε περίπτωση βλάβης πραγματοποιείται τέλεια συντήρηση ή

αντικατάσταση του εξοπλισμού.

• (t)iLp 0> για κάποιο t και κάθε i=0,1,…L-1: η βλάβη είναι αναπόφευκτη αν

δεν πραγματοποιηθεί κάποια εξωτερική επέμβαση.

Ο Derman ελαχιστοποιεί το μέσο κόστος ανά μονάδα χρόνου και, υπό τη

συνθήκη ότι το μέγεθος L

ijj k

p=∑ είναι αύξουσα συνάρτηση του i (i=0,1,…L-1) για

δεδομένο k (k=0,1,…L), καταλήγει ότι υπάρχει μια οριακή κατάσταση i τέτοια ώστε

οποτεδήποτε η κατάσταση του εξοπλισμού k ικανοποιεί τη σχέση k i≥ η βέλτιστη

απόφαση είναι η αντικατάσταση του εξοπλισμού (control limit policy). Το αποτέλεσμα

αυτό είναι ουσιαστικά ανάλογο με αυτό του Taylor (1975) στην περίπτωση των

άπειρων καταστάσεων λειτουργίας.

. . . ..

. . . ..


32

Ο Kolesar (1966) μελετά το ίδιο πρόβλημα εισάγοντας όμως στην ανάλυση ένα

επιπλέον στοιχείο κόστους, Α(i), που σχετίζεται με τη λειτουργία του εξοπλισμού στην

κατάσταση i. Το συμπέρασμα του Kolesar (1966) για το είδος της βέλτιστης πολιτικής

συντήρησης είναι όμοιο με αυτό του Derman με τη μόνη διαφορά ότι πρέπει επιπλέον

των υποθέσεων του Derman το κόστος Α(i) να είναι αύξουσα συνάρτηση της

κατάστασης i.

Πιο πρόσφατα οι Hopp and Wu (1990) εξετάζουν το ενδεχόμενο εναλλακτικών

ενεργειών συντήρησης που χαρακτηρίζονται από διαφορετικό κόστος αλλά και

διαφορετική αποτελεσματικότητα. Η αποτελεσματικότητα της εκάστοτε ενέργειας

συντήρησης περιγράφεται από τις αντίστοιχες πιθανότητες μετάβασης αμέσως μετά

την εφαρμογή της. Στόχος είναι η επιλογή των βέλτιστων ενεργειών συντήρησης

συναρτήσει της τρέχουσας κατάστασης του εξοπλισμού, όταν αυτή είναι συνεχώς

γνωστή με ακρίβεια, με κριτήριο τη μεγιστοποίηση του συνολικού κέρδους. Οι Hopp

and Wu (1990) προσδιορίζουν τις αναγκαίες συνθήκες υπό τις οποίες η βέλτιστη

πολιτική συντήρησης χαρακτηρίζεται και πάλι από κάποια οριακή κατάσταση πέραν

της οποίας ενδείκνυται πάντα κάποιου τύπου συντήρηση του εξοπλισμού. Ανάλογη

είναι και η εργασία των Özekici and Günlük (1992), όπου όμως η

αποτελεσματικότητα των διαφόρων ενεργειών συντήρησης είναι καθοριστική και κατά

συνέπεια η κατάσταση στην οποία μεταβαίνει ο εξοπλισμός μετά από κάποιου τύπου

συντήρηση είναι προκαθορισμένη. Οι Özekici and Günlük (1992) όμως

χρησιμοποιούν πιο γενική μορφή των διαφόρων στοιχείων κόστους και ως εκ τούτου

δεν καταλήγουν σε κάποια συγκεκριμένη μορφή για τη βέλτιστη πολιτική

συντήρησης. Παρόλα αυτά μελετούν διάφορες ειδικές περιπτώσεις του κόστους

συντήρησης και καταλήγουν σε συγκεκριμένες ιδιότητες της βέλτιστης πολιτικής

συντήρησης που μπορεί να είναι χρήσιμες κατά περίπτωση.

Η περίπτωση της ατελούς συντήρησης του εξοπλισμού που βελτιώνει μεν την

κατάσταση λειτουργίας του εξοπλισμού αλλά δεν τον επαναφέρει στην κατάσταση 0

. . . ..

. . . ..


33

(άριστη κατάσταση) μελετήθηκε και από τους Su et al. (2000), που θεωρούν δύο είδη

ατελούς συντήρησης καθώς επίσης και ελάχιστη επιδιόρθωση σε περίπτωση

βλάβης. Η αποτελεσματικότητα της ατελούς συντήρησης που χρησιμοποιείται

εκφράζεται με τρόπο ανάλογο με αυτόν του Nakagawa (1979) υπό την έννοια ότι

κάθε συντήρηση έχει μια πιθανότητα να είναι αναποτελεσματική. Οι Su et al. (2000)

καταλήγουν τελικά ότι η βέλτιστη πολιτική συντήρησης χαρακτηρίζεται από δύο

οριακές καταστάσεις (i1 και i2) που αντιστοιχούν στις δύο μορφές ατελούς

συντήρησης (τύπου 1 και τύπου 2). Ουσιαστικά δηλαδή η βέλτιστη πολιτική

συντήρησης υποδεικνύει τις παρακάτω ενέργειες ανάλογα με την τρέχουσα

κατάσταση i:

• καμία ενέργεια αν 1i i≤

• συντήρηση τύπου 1 αν 1 2i i i< ≤

• συντήρηση τύπου 2 αν 2i i L 1< ≤ −

• ελάχιστη επιδιόρθωση αν i=L (κατάσταση βλάβης).

Σε ορισμένες μεταγενέστερες εργασίες το πρόβλημα της συντήρησης ενός

εξοπλισμού όταν η κατάστασή του είναι συνεχώς γνωστή συνδυάζεται και με

αποφάσεις σχετικές με θέματα παραγωγής. Για παράδειγμα οι Iravani and Duenyas

(2002) συνδυάζουν το πρόβλημα καθορισμού του βέλτιστου χρόνου συντήρησης με

αυτό της βέλτιστης ποσότητας παραγωγής ως συνάρτηση της κατάστασης του

εξοπλισμού. Συγκεκριμένα καταλήγουν ότι για εκθετικούς χρόνους μετάβασης μεταξύ

των καταστάσεων (συμπεριλαμβανομένης και της κατάστασης βλάβης), η πολιτική

συντήρησης που ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος αποθεμάτων και συντήρησης

είναι συνάρτηση της τρέχουσας κατάστασης του εξοπλισμού αλλά και των

διαθέσιμων μονάδων αποθέματος.

Οι εργασίες που παρουσιάστηκαν μέχρι στιγμής αφορούν στο σύνολό τους

περιπτώσεις όπου η τρέχουσα κατάσταση του εξοπλισμού είναι συνεχώς (σε όλες τις

. . . ..

. . . ..


34

διακριτές χρονικές στιγμές) γνωστή και μάλιστα με ακρίβεια. Στην πράξη βέβαια κάτι

τέτοιο δεν είναι πάντοτε εφικτό ή σκόπιμο και συνεπώς ο εξοπλισμός ελέγχεται κατά

διαστήματα με στόχο τον προσδιορισμό της κατάστασης λειτουργίας του. Τα

αποτελέσματα τέτοιων ελέγχων δεν είναι κατ’ ανάγκην ακριβή, μπορεί δηλαδή να

υπόκεινται σε σφάλματα ελέγχων. Σε τέτοιες περιπτώσεις το πρόβλημα είναι γενικά

πιο σύνθετο εφόσον ενδέχεται να περιλαμβάνει εκτός από τον προσδιορισμό της

βέλτιστης πολιτικής συντήρησης και τον προσδιορισμό της βέλτιστης συχνότητας

ελέγχων.

Ο Luss (1976) εξετάζει την περίπτωση όπου η κατάσταση του εξοπλισμού δεν

είναι άμεσα εμφανής αλλά προσδιορίζεται με ακρίβεια κατόπιν ελέγχων. Παρέχει μια

μέθοδο προσδιορισμού της βέλτιστης οριακής κατάστασης i* πέραν της οποίας

ενδείκνυται η αντικατάσταση του εξοπλισμού καθώς επίσης και των βέλτιστων

χρονικών διαστημάτων μεταξύ των ελέγχων, τi, συναρτήσει της τρέχουσας

κατάστασης i. Το κόστος ελέγχου είναι σταθερό και ανεξάρτητο από την κατάσταση

του εξοπλισμού ενώ υφίσταται και ένα κόστος λειτουργίας του εξοπλισμού σε κάθε

κατάσταση. Ο Rosenfield (1976) μελέτησε το ίδιο πρόβλημα θεωρώντας κόστος

λειτουργίας αλλά και κόστος αντικατάστασης που είναι αύξουσες συναρτήσεις της

κατάστασης του εξοπλισμού. Στην εργασία του αυτή ο Rosenfield (1976)

προσδιορίζει τη βέλτιστη πολιτική ελέγχων και αντικατάστασης του εξοπλισμού ως

συνάρτηση της τρέχουσας κατάστασής του αλλά και του χρόνου παραμονής του σε

αυτήν την κατάσταση.

Οι Chiang and Yuan (2001) εισάγουν και το ενδεχόμενο της ατελούς

προληπτικής συντήρησης στο πρόβλημα, θεωρώντας όμως σταθερή συχνότητα

ελέγχων ανεξάρτητα από την κατάσταση του εξοπλισμού. Η προτεινόμενη πολιτική

συντήρησης αποτελείται από 2 οριακές καταστάσεις λειτουργίας, i και j, οι οποίες

υποδεικνύουν την κατάλληλη μορφή συντήρησης (τέλεια ή ατελής). Η διαδικασία

βελτιστοποίησης ουσιαστικά επικεντρώνεται στον προσδιορισμό της βέλτιστης

. . . ..

. . . ..


35

συχνότητας ελέγχων και των βέλτιστων οριακών καταστάσεων, i και j, που

ελαχιστοποιούν το κόστος. Αξίζει να σημειωθεί ότι εφαρμοζόμενη πολιτική

συντήρησης είναι ουσιαστικά ανάλογη με αυτή των Su et al. (2000) και των

Castanier et al. (2003) στην περίπτωση συνεχούς επιδείνωσης της κατάστασης του


Η Bloch-Mercier (2002) μελετά την περίπτωση της ατελούς προληπτικής και

επιδιορθωτικής συντήρησης σε ένα πρόβλημα όπου τα χρονικά διαστήματα μεταξύ

των ελέγχων είναι τυχαίες μεταβλητές που εξαρτώνται από την τρέχουσα κατάσταση

του εξοπλισμού. Συγκεκριμένα, οι πιθανές καταστάσεις του εξοπλισμού χωρίζονται

σε τρεις κατηγορίες: στις «καλές» καταστάσεις λειτουργίας όπου η διαδικασία

συνεχίζεται και η μόνη απόφαση είναι η επιλογή της χρονικής στιγμής του επόμενου

ελέγχου, στις «μεσαίες» καταστάσεις λειτουργίας όπου εκτελείται προληπτική

συντήρηση του εξοπλισμού με στοχαστικό αποτέλεσμα όσον αφορά την κατάσταση

στην οποία οδηγεί τον εξοπλισμό και στις καταστάσεις «βλάβης» όπου εκτελείται

επιδιορθωτική συντήρηση. Προσδιορίζονται οι συνθήκες υπό τις οποίες η

προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού οδηγεί σε βελτίωση της διαθεσιμότητας του

εξοπλισμού θεωρώντας ότι η διάρκεια κάθε επέμβασης είναι τυχαία μεταβλητή που

εξαρτάται από την τρέχουσα κατάσταση του εξοπλισμού και το είδος της επέμβασης

(προληπτική ή επιδιορθωτική).

Στην πράξη, οι έλεγχοι που διενεργούνται δεν αποδίδουν πάντα με ακρίβεια την

πραγματική κατάσταση λειτουργίας του εξοπλισμού αλλά ενδέχεται να παρέχουν

πληροφορίες που βοηθούν τον προσδιορισμό της. Στη διεθνή βιβλιογραφία

περιγράφονται διάφορες περιπτώσεις μαρκοβιανών διαδικασιών όπου οι έλεγχοι δεν

παρέχουν πλήρη πληροφόρηση για την πραγματική κατάσταση του εξοπλισμού

(partially observable markov decision processes – POMDP’s). Σε τέτοιου τύπου

διαδικασίες η πραγματική κατάσταση του εξοπλισμού περιγράφεται πλήρως από μια

μαρκοβιανή διαδικασία Xt με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων, η οποία συνδέεται

. . . ..

. . . ..


36

στοχαστικά με τις παρατηρηθείσες τιμές κάποιου μετρούμενου χαρακτηριστικού Yt.

Κατά συνέπεια, δεδομένης της τιμής Yt μπορούμε να γνωρίζουμε την πιθανότητα ο

εξοπλισμός να βρίσκεται σε οποιαδήποτε από τις πιθανές καταστάσεις λειτουργίας.

Στη γενική περίπτωση στόχος είναι ο προσδιορισμός των βέλτιστων αποφάσεων

ελέγχου και επεμβάσεων στον εξοπλισμό που καθορίζουν την εξέλιξη της


Ο Sondik (1978) είναι από τους πρώτους που μελέτησε αναλυτικά τέτοιου τύπου

προβλήματα και στην εργασία του παρέχει έναν αλγόριθμο για τον προσδιορισμό της

βέλτιστης λύσης. Άλλες σχετικές εργασίες που έχουν δημοσιευτεί μέχρι το 1982

παρουσιάζονται συγκεντρωτικά στην εργασία του Monahan (1982) όπου

αναφέρονται και κάποια από τα σημαντικότερα αποτελέσματα των διαφόρων

προτύπων. Πιο πρόσφατες εργασίες στο χώρο των POMDP που μελετούν το

πρόβλημα προσδιορισμού της βέλτιστης διαδικασίας ελέγχων και του βέλτιστου

χρόνου τέλειας προληπτικής συντήρησης είναι των Ohnishi et al. (1986),

SinuanyStern et al. (1997), Makis and Jiang (2003) και Ivy and Pollock (2005). Οι

Ohnishi et al. (1994) εξετάζουν την περίπτωση ατελούς προληπτικής συντήρησης,

ενώ οι Lin and Makis (2003,2004) ασχολούνται με το πρόβλημα της συνεχούς

αναθεώρησης της εκτίμησης για την πραγματική κατάσταση λειτουργίας.

Μη Μαρκοβιανά Μοντέλα

Βασικός περιορισμός όλων των μαρκοβιανών μοντέλων είναι ότι η πιθανότητα

μετάβασης του εξοπλισμού σε κάποια κατάσταση καθώς επίσης και η πιθανότητα

βλάβης εξαρτώνται αποκλειστικά και μόνο από την τρέχουσα κατάσταση και όχι από

την ηλικία του εξοπλισμού ή από τον χρόνο παραμονής του σε κάποια κατάσταση. Η

υπόθεση αυτή είναι ιδιαίτερα σημαντική εφόσον καθορίζει, όπως αναφέρθηκε και

στην περίπτωση των άπειρων καταστάσεων, τη μορφή της βέλτιστης πολιτικής


. . . ..

. . . ..


37

Ο Kao (1973) χρησιμοποιεί μια ημι-μαρκοβιανή διαδικασία για να περιγράψει το

μηχανισμό επιδείνωσης της κατάστασης του εξοπλισμού, σύμφωνα με την οποία η

μετάβαση σε κάποια κατάσταση εξαρτάται όχι μόνο από την τρέχουσα κατάσταση

αλλά και από τον χρόνο παραμονής του εξοπλισμού στην κατάσταση αυτή. Κατά

συνέπεια εξετάζει όχι μόνο πολιτικές συντήρησης που εξαρτώνται αποκλειστικά από

την κατάσταση αλλά και πολιτικές που εξαρτώνται και από τον χρόνο που έχει

μεσολαβήσει από τη στιγμή της τελευταίας μετάβασης. Επιπλέον, ο Kao (1973)

αποδεικνύει, υπό ρεαλιστικές συνθήκες, ότι μεταξύ των πολιτικών που επιτρέπουν

την συντήρηση του εξοπλισμού μόνο κατά τις χρονικές στιγμές μετάβασης, βέλτιστη

είναι η πολιτική όπου ο εξοπλισμός συντηρείται πάντα αμέσως μόλις η τρέχουσα

κατάστασή του υπερβεί κάποια οριακή τιμή. Σε παρόμοιο πρόβλημα ο So (1992)

αναιρεί την υπόθεση του σταθερού κόστους συντήρησης σε κάθε κατάσταση, που

χρησιμοποίησε ο Kao (1973), θεωρώντας ότι το κόστος αυτό είναι αύξουσα

συνάρτηση της κατάστασης του εξοπλισμού. Η εργασία του So (1992) όμως

επικεντρώνεται σε πολιτικές συντήρησης που εξαρτώνται μόνο από την κατάσταση

του εξοπλισμού και αποδεικνύει ότι η βέλτιστη πολιτική είναι όμοια με αυτή του Kao

(1973) υπό χαλαρότερες συνθήκες.

Οι Lam and Yeh (1994) προτείνουν για το ίδιο πρόβλημα πολιτική προληπτικής

συντήρησης που εξαρτάται από την τρέχουσα κατάσταση αλλά και από τον χρόνο

παραμονής στην κατάσταση αυτή, ανάλογα με την εργασία του Kao (1973). Οι Lam

and Yeh (1994), όμως, παρέχουν έναν αλγόριθμο βελτίωσης πολιτικής για τον

προσδιορισμό της βέλτιστης λύσης και επιπλέον αποδεικνύουν κάποιες ιδιότητες

που αφορούν τη μονοτονία της βέλτιστης πολιτικής.

Μια διαφορετική προσέγγιση υιοθετούν οι Al-Ali and Murari (1988), οι οποίοι

μελετούν ένα σύστημα που χαρακτηρίζεται από δύο καταστάσεις λειτουργίας (0 και

1) και μία κατάσταση βλάβης. Συγκεκριμένα, ο χρόνος μετάβασης από την

κατάσταση 0 στην κατάσταση 1 επιτρέπεται να ακολουθεί οποιαδήποτε κατανομή,

. . . ..

. . . ..


38

ενώ βλάβη μπορεί να εμφανιστεί στον εξοπλισμό σύμφωνα με την εκθετική κατανομή

με διαφορετικό ρυθμό βλαβών ανάλογα με την κατάσταση. Οι Al-Ali and Murari

(1988) ουσιαστικά υπολογίζουν τη μεταβολή που προκύπτει στη διαθεσιμότητα του

εξοπλισμού αν αυτός συντηρείται τέλεια αμέσως μόλις μεταβεί στην κατάσταση 1.

Οι Murthy and Iskadar (1991a, 1991b) εξετάζουν την περίπτωση όπου η

κατάσταση του εξοπλισμού επιδεινώνεται τόσο λόγω εξωτερικών επιδράσεων όσο

και λόγω της ηλικίας του. Ο χρόνος μέχρι την εμφάνιση κάποιας επίδρασης

ακολουθεί την εκθετική κατανομή ενώ η μεταβολή που προκαλεί κάθε επίδραση στο

ρυθμό βλαβών είναι καθοριστικό μέγεθος. Οι Murthy and Iskadar (1991b) προτείνουν

την προληπτική συντήρηση / αντικατάσταση του εξοπλισμού σε κάποια οριακή ηλικία

Τ ή αμέσως μετά την εμφάνιση k επιδράσεων, οτιδήποτε συμβεί πρώτο, και

παρέχουν μια διαδικασία υπολογισμού των βέλτιστων τιμών των παραμέτρων T και k

που ελαχιστοποιούν το συνολικό κόστος συντήρησης.

Το ενδεχόμενο ατελούς προληπτικής συντήρησης σε μη μαρκοβιανό μοντέλο

μελετάται από τους Su and Chang (2000), οι οποίοι συνδυάζουν περιοδική ατελή

συντήρηση του εξοπλισμού με τέλεια προληπτική συντήρηση βάσει της ηλικίας του

εξοπλισμού και με ελάχιστη επιδιόρθωση σε περίπτωση βλάβης. Οι χρόνοι

μετάβασης μεταξύ των καταστάσεων ακολουθούν την ομοιόμορφη κατανομή ενώ ο

χρόνος μέχρι την εμφάνιση κάποιας βλάβης σε οποιαδήποτε κατάσταση μπορεί να

ακολουθεί οποιαδήποτε κατανομή. Το αντίστοιχο μαθηματικό μοντέλο προσδιορίζει

τη βέλτιστη συχνότητα της περιοδικής συντήρησης που ελαχιστοποιεί το συνολικό

κόστος. Οι Moustafa et al. (2004) εξετάζουν επίσης το ενδεχόμενο ατελούς

προληπτικής συντήρησης στην περίπτωση όπου η διαδικασία επιδείνωσης της

κατάστασης του εξοπλισμού είναι ημι-μαρκοβιανή. Συγκεκριμένα, υπάρχουν δύο

εναλλακτικές μορφές συντήρησης του εξοπλισμού: ατελής συντήρηση που

αναβαθμίζει την κατάσταση του εξοπλισμού στην αμέσως καλύτερη και τέλεια

συντήρηση ή αντικατάσταση που ανανεώνει πλήρως τον εξοπλισμό. Οι Moustafa et

. . . ..

. . . ..


39

al. (2004) προτείνουν μια πολιτική συντήρησης, όμοια με αυτή των Chiang and Yuan

(2001) στα μαρκοβιανά μοντέλα, που αποτελείται από 2 οριακές καταστάσεις

λειτουργίας οι οποίες υποδεικνύουν την κατάλληλη μορφή συντήρησης (τέλεια ή

ατελής), αλλά αποδεικνύουν ότι μια τέτοια πολιτική δεν είναι κατ’ ανάγκην βέλτιστη.

Στις προαναφερθείσες εργασίες η κατάσταση του εξοπλισμού θεωρείται

συνεχώς γνωστή χωρίς να απαιτείται η διενέργεια κάποιας μορφής ελέγχων για τον

προσδιορισμό της. Ο Yeh (1996) μελετά την περίπτωση ενός ημι-μαρκοβιανού

μοντέλου όπου η κατάσταση του εξοπλισμού εξακριβώνεται μετά από ελέγχους.

Στόχος είναι ο προσδιορισμός των βέλτιστων χρονικών στιγμών ελέγχων και

αντικατάστασης του εξοπλισμού ως συνάρτηση όχι μόνο της τρέχουσας κατάστασης

αλλά και του χρόνου παραμονής του εξοπλισμού στην κατάσταση αυτή. Ο Yeh

(1996) προτείνει έναν αλγόριθμο βελτίωσης πολιτικής με τη βοήθεια του οποίου

υπολογίζονται οι βέλτιστες τιμές των παραμέτρων που ελαχιστοποιούν το συνολικό

κόστος.

Οι Okumura et al. (1996) μελετούν το ενδεχόμενο οι έλεγχοι να μην είναι πάντα

ακριβείς αλλά να υφίστανται σφάλματα ελέγχων σε παραγωγικές διαδικασίες που

χαρακτηρίζονται από δύο καταστάσεις λειτουργίας (κατάσταση κανονικής λειτουργίας

και κατάσταση δυσλειτουργίας) και μία κατάσταση βλάβης. Οι έλεγχοι διενεργούνται

με στόχο τον προσδιορισμό της πραγματικής κατάστασης λειτουργίας αλλά υπάρχει

πιθανότητα να οδηγήσουν σε εσφαλμένο συμπέρασμα (σφάλμα πρώτου και

δευτέρου είδους). Σημειώνεται ότι ο χρόνος μετάβασης από την κατάσταση

κανονικής λειτουργίας στην κατάσταση δυσλειτουργίας και από την κατάσταση

δυσλειτουργίας στην κατάσταση βλάβης μπορεί να ακολουθεί οποιαδήποτε

κατανομή.

Ολοκληρώνοντας την παρουσίαση των εργασιών προληπτικής συντήρησης

βάσει κατάστασης που έχουν κοινά στοιχεία με τα πρότυπα αυτής της διατριβής είναι

. . . ..

. . . ..


40

ενδιαφέρον να σχολιαστούν κάποιες γενικές παρατηρήσεις και συμπεράσματα που

προκύπτουν:

1. Πολύ συχνά, τόσο στην περίπτωση των άπειρων όσο και στην περίπτωση

των πεπερασμένων καταστάσεων λειτουργίας, θεωρείται ότι η διαδικασία

επιδείνωσης της κατάστασης του εξοπλισμού περιγράφεται πλήρως από μια

μαρκοβιανή διαδικασία. Η θεώρηση αυτή είναι βεβαίως πολύ σημαντική

εφόσον επηρεάζει άμεσα την εφαρμοζόμενη πολιτική συντήρησης και

ενδέχεται φυσικά να μην ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα.

2. Ο αριθμός των εργασιών που δε χρησιμοποιούν τη μαρκοβιανή ιδιότητα

είναι γενικά μικρότερος και επιπλέον συνήθως στις εργασίες αυτές γίνονται

συγκεκριμένες περιοριστικές υποθέσεις για τον μηχανισμό επιδείνωσης της

κατάστασης ή/και για τον μηχανισμό εμφάνισης βλαβών. Για παράδειγμα

στα μη-μαρκοβιανά μοντέλα συχνά χρησιμοποιείται είτε κάποια ημι-

μαρκοβιανή διαδικασία για την περιγραφή του μηχανισμού μεταβολής της

κατάστασης του εξοπλισμού είτε συγκεκριμένες κατανομές των χρόνων

μετάβασης μεταξύ των καταστάσεων.

3. Τέλος, πολλές φορές, και ειδικά στα μη μαρκοβιανά μοντέλα,

χρησιμοποιείται ως δεδομένη κάποια πολιτική συντήρησης χωρίς να

αποδεικνύεται κατ’ ανάγκην ότι είναι και βέλτιστη. Το φαινόμενο αυτό είναι

απόρροια της μαθηματικής πολυπλοκότητας που χαρακτηρίζει τα μη-

μαρκοβιανά πρότυπα. Εντούτοις, είναι σημαντική η περαιτέρω μελέτη και

διερεύνηση τέτοιου τύπου προβλημάτων δεδομένου ότι αντιπροσωπεύουν

πολύ μεγάλο φάσμα πραγματικών συνθηκών.

2.2. ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ

Όπως έχει αναφερθεί και στο εισαγωγικό κεφάλαιο της διατριβής ο τυπικός

τρόπος αντιμετώπισης ενδεχόμενων δυσλειτουργιών σε προβλήματα ελέγχου

. . . ..

. . . ..


41

ποιότητας είναι διορθωτικές επεμβάσεις στον εξοπλισμό όποτε η κατάστασή του το

υποδεικνύει. Η έννοια της επιδιορθωτικής συντήρησης λοιπόν είναι βασικό συστατικό

των προβλημάτων ελέγχου ποιότητας και συχνά αποτελεί τη μόνη ενέργεια που

συμβάλλει στη βελτίωση της κατάστασης λειτουργίας του εξοπλισμού. Κάτι τέτοιο

είναι γενικά αποδεκτό και αποτελεσματικό αν λάβει κανείς υπ’ όψιν ότι συνήθως σε

προβλήματα ελέγχου ποιότητας θεωρείται (είτε γιατί αυτό εκφράζει την

πραγματικότητα είτε για λόγους απλοποίησης του προβλήματος) ότι ο χρόνος μέχρι

την επίδραση κάποιας συστηματικής αιτίας ακολουθεί την εκθετική κατανομή. Η

χρήση της εκθετικής κατανομής υπονοεί ουσιαστικά ότι δεν υφίστανται φαινόμενα

γήρανσης στον εξοπλισμό και ως εκ τούτου δεν έχει νόημα οποιαδήποτε προληπτική

ενέργεια απέναντι στο ενδεχόμενο επίδρασης κάποιας συστηματικής αιτίας. Άρση

βέβαια της παραδοχής αυτής αλλάζει σημαντικά τα χαρακτηριστικά του προβλήματος

και καθιστά ενδεχομένως σκόπιμη την εκτέλεση προληπτικής συντήρησης στον

εξοπλισμό.

Ειδικότερα, αν η κατανομή του χρόνου μέχρι την επίδραση μιας συστηματικής

αιτίας στον εξοπλισμό χαρακτηρίζεται από ρυθμό εμφάνισης που είναι αύξουσα

συνάρτηση της ηλικίας του εξοπλισμού η προληπτική συντήρησή του που ανανεώνει

την ηλικία του οδηγεί αυτόματα σε μειωμένη πιθανότητα επίδρασης της συστηματικής

αιτίας. Και σ’ αυτήν την περίπτωση βέβαια η προληπτική συντήρηση μπορεί να είναι

τέλεια και να επαναφέρει τον εξοπλισμό σε άριστη κατάσταση (εντός στατιστικού

ελέγχου και με μηδενική ηλικία) ή ατελής. Υπ’ αυτήν την έννοια οι εργασίες που

παρουσιάζονται στην παράγραφο αυτή χωρίζονται σε δύο κύριες κατηγορίες:

εργασίες που εφαρμόζουν αποκλειστικά τέλεια προληπτική συντήρηση και εργασίες

που λαμβάνουν υπ’ όψιν και το ενδεχόμενο ατελούς προληπτικής συντήρησης.

Στη συντριπτική πλειοψηφία των προτύπων που αφορούν τον έλεγχο ποιότητας

μιας παραγωγικής διαδικασίας η κατάσταση ποιότητας δεν είναι προφανής αλλά

απαιτείται η διενέργεια ελέγχων για τον προσδιορισμό της. Κατά συνέπεια ο

. . . ..

. . . ..


42

εφαρμοζόμενος μηχανισμός ελέγχου για την αναγνώριση της κατάστασης

λειτουργίας του εξοπλισμού αποτελεί πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό των προτύπων

αυτών. Το πρόβλημα καθορισμού της διαδικασίας ελέγχων σε τέτοιου τύπου

προβλήματα απασχόλησε κατά καιρούς διάφορους ερευνητές και έχουν αναπτυχθεί

στη διεθνή βιβλιογραφία ποικίλα πρότυπα για την αντιμετώπισή του. Τα πρότυπα

αυτά δεν προέρχονται μόνο από τον επιστημονικό χώρο του ελέγχου ποιότητας αλλά

και από τον χώρο της συντήρησης σε περιπτώσεις όπου η βλάβη δεν γίνεται κατ’

ανάγκην άμεσα αντιληπτή αλλά αναγνωρίζεται μόνο κατόπιν ελέγχων στον

εξοπλισμό. Στις περιπτώσεις αυτές τα προβλήματα συντήρησης του εξοπλισμού

παρουσιάζουν πολλά κοινά χαρακτηριστικά με τα κλασικά προβλήματα ελέγχου

ποιότητας και η διαδικασία ελέγχων είναι περίπου ίδια.

Στα πλαίσια αυτά ο Baker (1990) και οι Ben-Daya and Hariga (1998) προτείνουν

έναν αλγόριθμο προσδιορισμού της βέλτιστης σταθερής συχνότητας ελέγχων

θεωρώντας ότι ο χρόνος μέχρι την εμφάνιση κάποιας δυσλειτουργίας (μη εμφανής

βλάβη στην εργασία του Baker ή επίδραση συστηματικής αιτίας στην εργασία των

Ben-Daya and Hariga) ακολουθεί την εκθετική κατανομή. Οι Dias (1990) και Hariga

(1996) υπολογίζουν επίσης τη βέλτιστη σταθερή συχνότητα ελέγχων σε περιπτώσεις

όπου ο χρόνος μέχρι την εμφάνιση του προβλήματος (βλάβη ή επίδραση) δεν

ακολουθεί οπωσδήποτε την εκθετική κατανομή.

Η σταθερή συχνότητα ελέγχων δεν είναι βέβαια πάντα βέλτιστη, ειδικά σε

περιπτώσεις όπου ο χρόνος μέχρι την εμφάνιση του προβλήματος δεν κατανέμεται

εκθετικά. Έτσι οι Barlow et al. (1963), Munford (1981) και Luss (1983) αναπτύσσουν

μεθόδους υπολογισμού της βέλτιστης, και όχι κατ’ ανάγκην σταθερής, συχνότητας

ελέγχου σε περιπτώσεις όπου ο χρόνος μέχρι την εμφάνιση του προβλήματος

μπορεί να ακολουθεί οποιαδήποτε κατανομή. Ειδικότερα ο Munford (1981) λόγω της

πολυπλοκότητας υπολογισμού της βέλτιστης λύσης προτείνει εναλλακτικά τη χρήση

κάποιων απλούστερων προσεγγιστικών πολιτικών ελέγχου. Δύο από τις πολιτικές

. . . ..

. . . ..


43

αυτές που είναι ιδιαίτερα διαδεδομένες είναι η σταθερή συχνότητα ελέγχων (Constant

Interval Length) και η μεταβλητή συχνότητα ελέγχων με τέτοιο τρόπο ώστε το

ολοκλήρωμα της συνάρτησης ρυθμού βλαβών να έχει την ίδια τιμή σε κάθε διάστημα

(Constant Hazard Policy). Στη δεύτερη περίπτωση αξίζει να σημειωθεί ότι η

πιθανότητα εμφάνισης βλάβης (ή επίδρασης της συστηματικής αιτίας) διατηρείται

σταθερή σε κάθε διάστημα μεταξύ ελέγχων δεδομένης της καλής κατάστασης

λειτουργίας στην αρχή του διαστήματος. Την πολιτική αυτή μελέτησαν επίσης και οι

Munford and Shahani (1972, 1973), Tadikanalla (1979) και Turco and Parolini

(1984). Οι Banerjee and Rahim (1988) εφαρμόζουν μια τέτοια πολιτική σταθερής

πιθανότητας επίδρασης της συστηματικής αιτίας μεταξύ των ελέγχων εισάγοντας

όμως παράλληλα το ενδεχόμενο σφαλμάτων ελέγχου. Τέλος, οι Banerjee and Chuiv

(1996) μελετούν το συνολικό πρόβλημα καθορισμού της βέλτιστης συχνότητας

ελέγχων και του βέλτιστου χρόνου προληπτικής αντικατάστασης του εξοπλισμού

θεωρώντας ακριβείς ελέγχους και ελάχιστη επιδιόρθωση (minimal repair) σε

περίπτωση επίδρασης της συστηματικής αιτίας. Και οι δύο αυτές πολιτικές ελέγχου

(σταθερής συχνότητας και σταθερής πιθανότητας βλάβης / επίδρασης) έχουν

εφαρμοστεί ευρέως στη διεθνή βιβλιογραφία και είναι αυτές που συναντώνται και σε

όσες εργασίες παρουσιάζονται στις παραγράφους 2.2.1 και 2.2.2.

Το πρόβλημα καθορισμού της διαδικασίας ελέγχων είναι ένα σημαντικό

χαρακτηριστικό των προτύπων του τετάρτου και πέμπτου κεφαλαίου αυτής της

διατριβής όπου η τρέχουσα κατάσταση του εξοπλισμού δεν είναι συνεχώς γνωστή.

Βασική υπόθεση των προτύπων που μελετώνται όμως είναι ότι η κατάσταση βλάβης

γίνεται πάντα άμεσα αντιληπτή και συνεπώς οι έλεγχοι διενεργούνται με μόνο στόχο

την αναγνώριση της κατάστασης ποιότητας του εξοπλισμού (εντός ή εκτός ελέγχου).

2.2.1. Τέλεια προληπτική συντήρηση

Οι Rahim and Banerjee (1993) είναι από τους πρώτους που εισήγαγαν την

έννοια της τέλειας προληπτικής συντήρησης / αντικατάστασης (πέραν της

. . . ..

. . . ..


44

επιδιορθωτικής συντήρησης σε περίπτωση εντοπισμού της συστηματικής αιτίας) σε

ένα πρόβλημα ελέγχου ποιότητας. Συγκεκριμένα, οι Rahim and Banerjee (1993),

εξετάζουν μια παραγωγική διαδικασία στην οποία:

• επιδρά κατά διαστήματα μια συστηματική αιτία με πιθανότητα που αυξάνεται

με την πάροδο του χρόνου,

• ο εξοπλισμός αντικαθίσταται προληπτικά (ή εναλλακτικά συντηρείται τέλεια)

αν σε ηλικία tm δεν έχει επιδράσει (ή δεν έχει εντοπιστεί) η συστηματική αιτία,

• διενεργούνται δειγματοληπτικοί έλεγχοι για τον εντοπισμό ενδεχόμενης

επίδρασης της συστηματικής αιτίας με συχνότητα δειγματοληψίας που

ορίζεται έτσι ώστε να ισχύει η συνθήκη ίδιων πιθανοτήτων επίδρασης της

συστηματικής αιτίας σε κάθε διάστημα μεταξύ δειγματοληψιών.

Ουσιαστικά δηλαδή, ο χρονικός κύκλος ενδέχεται να μην τελειώνει με τον

εντοπισμό της επίδρασης της συστηματικής αιτίας, όπως στα κλασικά μοντέλα

ελέγχου ποιότητας, αλλά να περικόπτεται όταν ο εξοπλισμός φτάσει την ηλικία tm

(truncated production cycle). Σημειώνεται ότι στην μαθηματική ανάλυση λαμβάνεται

υπ’ όψιν το ενδεχόμενο σφαλμάτων κατά τους δειγματοληπτικούς ελέγχους (α και β

είδους). Στόχος είναι ο προσδιορισμός των βέλτιστων τιμών των παραμέτρων tm

(χρόνος προληπτικής αντικατάστασης), n (μέγεθος δείγματος), k (συντελεστής ορίων

ελέγχου) και hi (συχνότητα δειγματοληψίας) που ελαχιστοποιούν το μέσο συνολικό

κόστος ανά μονάδα χρόνου. Οι Rahim and Banerjee (1993) εφαρμόζουν το

προτεινόμενο πρότυπο για την περίπτωση όπου ο χρόνος μέχρι την επίδραση της

συστηματικής αιτίας ακολουθεί την κατανομή Weibull ή την κατανομή Gamma και

καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι η προληπτική αντικατάσταση του εξοπλισμού

οδηγεί σε μείωση του κόστους.

Η εργασία των Rahim and Banerjee (1993) αποτέλεσε το έναυσμα για ποικίλες

επεκτάσεις που αφορούν το συγκεκριμένο πρόβλημα. Έτσι οι Cassady et al. (2000)

. . . ..

. . . ..


45

μελετούν το ίδιο πρόβλημα θεωρώντας ότι η προληπτική αντικατάσταση μπορεί να

λάβει χώρα οποιαδήποτε χρονική στιγμή, που δε συμπίπτει απαραίτητα με κάποια

δειγματοληψία όπως στην εργασία των Rahim and Banerjee (1993). Επιπλέον, οι

Cassady et al. (2000) χρησιμοποιούν τετραγωνική μορφή συνάρτησης κόστους

ποιότητας αλλά υποθέτουν σταθερά διαστήματα δειγματοληψίας. Λόγω της

πολυπλοκότητας του μοντέλου η βελτιστοποίηση του προτύπου γίνεται τελικά με

προσομοίωση και όχι αναλυτικά και υπολογίζονται τα οφέλη από τη χρήση της

προληπτικής συντήρησης για τη βελτίωση των συνθηκών ποιότητας. Τετραγωνική

μορφή της συνάρτησης κόστους και σταθερά διαστήματα δειγματοληψίας

χρησιμοποιούνται επίσης από τους Linderman et al. (2005) οι οποίοι μελετούν τα

οικονομικά οφέλη που προκύπτουν από τη συνδυασμένη βελτιστοποίηση των

παραμέτρων προληπτικής συντήρησης και στατιστικού ελέγχου ποιότητας για

διάφορες τιμές των παραμέτρων του προβλήματος. Συγκεκριμένα, οι Linderman et

al. (2005) διεξάγουν κλασματικό παραγοντικό πείραμα για τη διερεύνηση της

επίδρασης των τιμών των διαφόρων παραμέτρων στη βέλτιστη λύση αλλά και στα

οφέλη που προκύπτουν από την παράλληλη εφαρμογή και βελτιστοποίηση των

διαδικασιών συντήρησης με αυτές του ελέγχου ποιότητας. Οι Lee and Rahim (2001)

εισάγουν στο μοντέλο των Rahim and Banerjee (1993) ένα επιπλέον κόστος

συντήρησης (πέραν του κόστους αντικατάστασης του εξοπλισμού) που είναι

συνάρτηση της ηλικίας του.

Στο ίδιο πλαίσιο ο Rahim (1994), οι Rahim and Ben-Daya (1998, 2001) και οι

Lam and Rahim (2002) εφαρμόζουν ανάλογη πολιτική προληπτικής αντικατάστασης

του εξοπλισμού σε συνδυασμό με τον ποιοτικό έλεγχο μιας παραγωγικής

διαδικασίας, λαμβάνοντας όμως ταυτόχρονα υπ’ όψιν και την επίδραση της

ποσότητας παραγωγής στις βέλτιστες τιμές των παραμέτρων. Συγκεκριμένα, ο

Rahim (1994) γενικεύει το πρότυπο των Rahim and Banerjee (1993) μελετώντας

παράλληλα και τον προσδιορισμό της βέλτιστης ποσότητας παραγωγής αλλά θεωρεί

. . . ..

. . . ..


46

ότι ο απαιτούμενος χρόνος διερεύνησης των σφαλμάτων πρώτου είδους είναι

αμελητέος. Μερικά χρόνια αργότερα οι Rahim and Ben-Daya (1998) επεκτείνουν το

πρότυπο του Rahim (1994) θεωρώντας μη μηδενικούς χρόνους διερεύνησης των

σφαλμάτων πρώτου είδους, ενώ οι Rahim and Ben-Daya (2001) μελετούν το ίδιο

πρόβλημα για την περίπτωση προϊόντων με πεπερασμένη διάρκεια ζωής. Οι Lam

and Rahim (2002) ενσωματώνουν και ένα κόστος συντήρησης που εξαρτάται από

την ηλικία του εξοπλισμού αντίστοιχα με την εργασία των Lee and Rahim (2001).

Σε όσες εργασίες παρουσιάστηκαν μέχρι στιγμής στην παράγραφο αυτή η

απόφαση για την προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού λαμβάνεται σύμφωνα με

την εκτιμώμενη αξιοπιστία του και εκτελείται πάντα σε συγκεκριμένη ηλικία του

εξοπλισμού εφόσον φυσικά δεν έχει προηγηθεί βλάβη. Υπάρχει όμως και το

ενδεχόμενο σε ανάλογα προβλήματα η απόφαση προληπτικής συντήρησης του

εξοπλισμού να είναι συνέπεια κάποιας ένδειξης δυσλειτουργίας που προέρχεται από

μέτρηση ή παρακολούθηση κάποιου χαρακτηριστικού της παραγωγικής διαδικασίας

(προληπτική συντήρηση βάσει κατάστασης). Το ενδεχόμενο συνδυασμού

προληπτικής συντήρησης βάσει κατάστασης που επαναφέρει τον εξοπλισμό σε

άριστη κατάσταση με τον ποιοτικό έλεγχο μιας παραγωγικής διαδικασίας μελέτησαν

οι Hsu and Kuo (1995) σε μια παραγωγική διαδικασία όπου εισέρχονται προϊόντα για

κατεργασία από προηγούμενη φάση της παραγωγής. Οι αφίξεις των προϊόντων

θεωρείται ότι ακολουθούν την κατανομή Poisson. Ο χρόνος κατεργασίας των

προϊόντων είναι επίσης στοχαστικό μέγεθος με κάποια γνωστή συνάρτηση

πυκνότητας πιθανότητας. Κατά συνέπεια, τα βασικά λειτουργικά χαρακτηριστικά της

διαδικασίας, με βάση τη θεωρία αναμονής, προκύπτουν από τις σχέσεις που ισχύουν

γενικά για τα συστήματα M/G/1.

Η πολιτική που ακολουθείται για τον έλεγχο της παραγωγικής διαδικασίας

αποσκοπεί στον έγκαιρο εντοπισμό ενδεχόμενης επίδρασης συστηματικής αιτίας και

αποκατάσταση της ομαλής λειτουργίας, αλλά και στην προληπτική συντήρηση του

. . . ..

. . . ..


47

εξοπλισμού όταν παρατηρείται αυξημένο ποσοστό ελαττωματικών προϊόντων

(μετρούμενη παράμετρος) και η συστηματική αιτία δεν έχει επιδράσει ακόμη.

Αναλυτικότερα, μετά την κατεργασία συγκεκριμένου αριθμού τεμαχίων (n), αρχίζει

συνεχής έλεγχος του συνόλου των προϊόντων που παράγονται στη συνέχεια (100%

έλεγχος) και καταγράφεται το ποσοστό των ελαττωματικών (f). Μόλις το ποσοστό

αυτό υπερβεί κάποια προκαθορισμένη οριακή τιμή (f*), η παραγωγική διαδικασία

διακόπτεται και διενεργείται έλεγχος για τον εντοπισμό ενδεχόμενης επίδρασης της

συστηματικής αιτίας. Αν από τον έλεγχο, ο οποίος αποδίδει με ακρίβεια την

πραγματική κατάσταση λειτουργίας του εξοπλισμού, προκύψει πως η διαδικασία

βρίσκεται εκτός στατιστικού ελέγχου η συστηματική αιτία απομακρύνεται και ο

εξοπλισμός επανέρχεται σε άριστη κατάσταση. Αν όμως, από τον έλεγχο προκύψει

πως δεν έχει επιδράσει ακόμη η συστηματική αιτία, κρίνεται σκόπιμη η προληπτική

συντήρηση του εξοπλισμού. Σε κάθε περίπτωση πάντως (απομάκρυνση

συστηματικής αιτίας ή προληπτική συντήρηση) ο εξοπλισμός επανέρχεται σε άριστη

κατάσταση και σε στατιστικό έλεγχο και ξεκινά νέος κύκλος. Στόχος είναι ο

προσδιορισμός των βέλτιστων τιμών n και f* αλλά και η μελέτη της επίδρασης

διαφόρων παραμέτρων του συστήματος στη βέλτιστη λύση.

2.2.2. Ατελής προληπτική συντήρηση

Πολλές φορές δεν είναι εφικτό ή οικονομικά σκόπιμο η κατάσταση του

εξοπλισμού να ανανεώνεται πλήρως μετά την προληπτική συντήρηση (ατελής

προληπτική συντήρηση). Η έννοια της μειωμένης αποτελεσματικότητας της

προληπτικής συντήρησης σε προβλήματα ελέγχου ποιότητας μπορεί να έχει και μια

επιπλέον διάσταση πέραν όσων αναφέρθηκαν στην παράγραφο 2.1.1. Ενδέχεται

δηλαδή η αποτελεσματικότητα των ενεργειών συντήρησης να εξαρτάται εκτός των

άλλων και από την κατάσταση ποιότητας στην οποία βρίσκεται ο εξοπλισμός. Αν μια

προληπτική συντήρηση εκτελείται χωρίς να έχει εντοπιστεί, παρότι υφίσταται, η

επίδραση κάποιας συστηματικής αιτίας, ο εξοπλισμός ενδέχεται να παραμένει εκτός

. . . ..

. . . ..


48

στατιστικού ελέγχου ακόμη και μετά την συντήρησή του. Επιπλέον, η

αποτελεσματικότητα της προληπτικής συντήρησης είναι πιθανό να μειώνεται με την

πάροδο του χρόνου και η κατάσταση του εξοπλισμού (που είναι άμεση συνάρτηση

της ηλικίας του) να χειροτερεύει σταδιακά. Κατά συνέπεια κρίνεται πολλές φορές

σκόπιμο ο εξοπλισμός κάποιας ηλικίας να αντικαθίσταται ή να συντηρείται πλήρως

έτσι ώστε να επανέλθει στην αρχική του κατάσταση (as good as new).

Έχουν δημοσιευτεί διάφορες εργασίες που συνδυάζουν τις διαδικασίες του

ελέγχου ποιότητας με ατελή προληπτική συντήρηση, συχνά λαμβάνοντας

ταυτόχρονα υπ’ όψιν το ενδεχόμενο τέλειας συντήρησης (ή αντικατάστασης) μετά

από κάποιο χρονικό διάστημα, όταν πλέον η κατάσταση λειτουργίας του εξοπλισμού

κρίνεται οικονομικά ασύμφορη. Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό των εργασιών αυτών

είναι ο τρόπος με τον οποίο εκφράζεται η μειωμένη αποτελεσματικότητα της ατελούς

συντήρησης. Συγκεκριμένα, συνήθως χρησιμοποιούνται σε συνδυασμό δύο είδη

μειωμένης αποτελεσματικότητας της προληπτικής συντήρησης, που σχετίζονται με

το κόστος της προληπτικής συντήρησης και με τον αριθμό των προληπτικών

συντηρήσεων που έχουν ήδη εφαρμοστεί στον εξοπλισμό. Η προληπτική

συντήρηση, δηλαδή, μειώνει την ηλικία του εξοπλισμού κατά ένα ποσοστό το οποίο

είναι ανάλογο του κόστους συντήρησης και ταυτόχρονα η αποτελεσματικότητά της

μειώνεται με την πάροδο του χρόνου. Σε κάθε περίπτωση πάντως, η ατελής

προληπτική συντήρηση δεν είναι σε θέση να αναστείλει ενδεχόμενη επίδραση της

συστηματικής αιτίας.

Προκειμένου να γίνουν περισσότερο κατανοητά τα παραπάνω αλλά και το

περιεχόμενο των εργασιών που παρουσιάζονται στη συνέχεια, ας υποθέσουμε ότι η

ηλικία του εξοπλισμού πριν την προληπτική συντήρηση είναι y και η αντίστοιχη ηλικία

αμέσως μετά την προληπτική συντήρηση είναι w. Τότε ισχύει γενικά ότι

w=(1-γ)y

. . . ..

. . . ..


49

όπου 0PM

PM

CCγ = την πρώτη φορά που ο εξοπλισμός συντηρείται προληπτικά και εν

συνεχεία μειώνεται με βάση τη σχέση 1jj ηγγ −= για κάθε επιπλέον προληπτική

συντήρηση. Ο συντελεστής η καθορίζει τον βαθμό μείωσης της αποτελεσματικότητας

της συντήρησης ίδιου επιπέδου (κόστους) στην πορεία του χρόνου. Οι τιμές CΡΜ και

0PMC αντιπροσωπεύουν αντίστοιχα το κόστος της προληπτικής συντήρησης που

πραγματικά εφαρμόζεται και το κόστος του υψηλότερου δυνατού επιπέδου


Υιοθετώντας μια τέτοιου είδους σχέση επίδρασης της προληπτικής συντήρησης

στην ηλικία του εξοπλισμού και άρα και στην αξιοπιστία του, οι Ben-Daya and Rahim

(2000) μελέτησαν μια παραγωγική διαδικασία που συντηρείται προληπτικά σε κάθε

δειγματοληψία και αντικαθίσταται ή συντηρείται πλήρως αν μέχρι κάποια ηλικία δεν

έχει εντοπιστεί επίδραση της συστηματικής αιτίας στην οποία υπόκειται. Ουσιαστικά,

δηλαδή, επεκτείνουν το πρότυπο των Rahim and Banerjee (1993)

συμπεριλαμβάνοντας σε αυτό το ενδεχόμενο ατελούς προληπτικής συντήρησης κατά

τη διάρκεια του χρονικού κύκλου με στόχο να καθυστερήσουν την πλήρη συντήρηση-

αντικατάσταση του εξοπλισμού. Κατά συνέπεια η βελτιστοποίηση της διαδικασίας

περιλαμβάνει πλέον και τον προσδιορισμό του βέλτιστου επιπέδου προληπτικής

συντήρησης CΡΜ.

Επεκτείνοντας περαιτέρω την ανάλυση αυτή, ο Ben-Daya (1999) μελετά το ίδιο

πρόβλημα συνεκτιμώντας όμως και στοιχεία κόστους που αφορούν την ποσότητα

παραγωγής και προσδιορίζοντας παράλληλα και το βέλτιστο μέγεθος των παρτίδων

παραγωγής. Η δημοσίευση αυτή μπορεί να θεωρηθεί επίσης γενίκευση της εργασίας

του Rahim (1994) με την προσθήκη ατελούς προληπτικής συντήρησης κατά τη

διάρκεια της παραγωγής και όχι μόνο αντικατάστασης στο τέλος της κάθε παρτίδας

παραγωγής. Σημαντική διαφορά της εργασίας του Ben-Daya (1999) έναντι αυτής των

Ben-Daya and Rahim (2000) αποτελεί το γεγονός ότι ο εξοπλισμός δε συντηρείται

. . . ..

. . . ..


50

προληπτικά απαραίτητα σε κάθε δειγματοληψία, αλλά επιλέγεται ο βέλτιστος αριθμός

δειγματοληψιών που ενδείκνυται να μεσολαβούν μεταξύ δύο διαδοχικών ενεργειών


Το πρότυπο του Ben-Daya (1999) συμπεριλαμβάνεται επίσης και στην εργασία

των Ben-Daya and Makhdoum (1998), όπου όμως εξετάζονται και άλλες μορφές

προληπτικής συντήρησης. Με βάση τη δεύτερη πολιτική προληπτικής συντήρησης

της εργασίας των Ben-Daya and Makhdoum (1998) η παραγωγική διαδικασία

ελέγχεται κατά διαστήματα και ο εξοπλισμός συντηρείται προληπτικά στην πρώτη

δειγματοληψία που ο ρυθμός βλαβών (ρυθμός επίδρασης της συστηματικής αιτίας)

της παραγωγικής διαδικασίας έχει ξεπεράσει κάποια προκαθορισμένη οριακή τιμή. Η

οριακή τιμή του ρυθμού βλαβών που χρησιμοποιείται ως κριτήριο επιλέγεται έτσι

ώστε να ελαχιστοποιείται το μέσο συνολικό κόστος ανά κύκλο. Ο Ben-Daya (2002)

δημοσίευσε μία ακόμη παραλλαγή του ίδιου προβλήματος, όπου θεώρησε ότι το

κόστος αποκατάστασης της συστηματικής αιτίας είναι συνάρτηση του χρόνου που

μεσολαβεί μέχρι την ανίχνευσή της (detection delay). Προς απλοποίηση της

διαδικασίας θεώρησε, επιπλέον, ότι δεν υφίστανται σφάλματα ελέγχων και ότι

προληπτική συντήρηση εφαρμόζεται σε κάθε δειγματοληψία εφόσον η παραγωγική

διαδικασία παραμένει εντός στατιστικού ελέγχου.

Οι Huang and Chiu (1995) μελέτησαν επίσης το ενδεχόμενο ατελούς

προληπτικής συντήρησης κατά τη διάρκεια του κύκλου παραγωγής, εξέφρασαν όμως

με διαφορετικό τρόπο τη μειωμένη αποτελεσματικότητά της. Συγκεκριμένα,

θεώρησαν ότι προληπτική συντήρηση εφαρμόζεται σε κάθε δειγματοληψία, εφόσον η

παραγωγική διαδικασία παραμένει σε στατιστικό έλεγχο (δεν υφίστανται σφάλματα

ελέγχων), και επαναφέρει τον εξοπλισμό σε άριστη κατάσταση με κάποια πιθανότητα

q. Με πιθανότητα 1-q, η προληπτική συντήρηση δεν έχει το επιθυμητό αποτέλεσμα

και οδηγεί σε άμεση εμφάνιση βλάβης (επίδραση συστηματικής αιτίας).

. . . ..

. . . ..


51

Οι Chiu and Huang (1996) υποθέτουν μια πιο απλή περίπτωση ατελούς

προληπτικής συντήρησης όπου η ηλικία του εξοπλισμού μηδενίζεται πάντα μετά την

εφαρμογή της συντήρησης αλλά ενδεχόμενη επίδραση κάποιας συστηματικής αιτίας

δεν απομακρύνεται παρά μόνο με επιδιορθωτική συντήρηση. Σε ανάλογη

δημοσίευση οι Chiu and Huang (1995) μελετούν το ίδιο πρόβλημα χρησιμοποιώντας

παράλληλα δύο διαγράμματα ελέγχου: ένα διάγραμμα μέσης τιμής και ένα τυπικής

απόκλισης.

Τέλος, το ενδεχόμενο ατελούς προληπτικής συντήρησης βάσει της κατάστασης

του εξοπλισμού μελετάται, μεταξύ άλλων πολιτικών συντήρησης, από τους Ben-Daya

and Makhdoum (1998). Σε μία από τις πολιτικές που εξετάζονται στην εργασία αυτή

η παραγωγική διαδικασία ελέγχεται κατά διαστήματα και ο εξοπλισμός συντηρείται

προληπτικά σ’ εκείνες τις περιπτώσεις και μόνο όπου οι μέσες τιμές δύο

συνεχόμενων δειγμάτων εμφανίζονται στο διάγραμμα ελέγχου στη ζώνη που

σχηματίζεται μεταξύ κάποιων προειδοποιητικών ορίων και των ορίων ελέγχου του

διαγράμματος. Η παράμετρος θέσης των προειδοποιητικών ορίων επιλέγεται έτσι

ώστε να ελαχιστοποιείται το μέσο συνολικό κόστος ανά κύκλο. Όλα τα υπόλοιπα

χαρακτηριστικά του προτύπου είναι τα ίδια με αυτά της εργασίας του Ben-Daya

(1999) που περιγράφηκε παραπάνω.

Αξίζει να σημειωθεί ότι στο σύνολο των εργασιών που παρουσιάστηκαν στις

παραγράφους 2.2.1 και 2.2.2 η κατάστρωση των μαθηματικών προτύπων γίνεται

χωρίς να χρησιμοποιείται κάποια συγκεκριμένη υπόθεση για την κατανομή του

χρόνου μέχρι την επίδραση της συστηματικής αιτίας (βλάβη). Τα συμπεράσματα

όμως που εξάγονται για τη σκοπιμότητα και τα οφέλη από τις εφαρμοζόμενες

πολιτικές ελέγχου και συντήρησης βασίζονται στη χρήση συγκεκριμένης πια

κατανομής για το χρόνο επίδρασης της συστηματικής αιτίας. Στη συντριπτική

πλειοψηφία των περιπτώσεων χρησιμοποιείται η κατανομή Weibull, λόγω της

ευελιξίας που παρέχει, ενώ σπανιότερα χρησιμοποιείται η κατανομή Γάμμα.

. . . ..

. . . ..


52

2.3. ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ

Στην παράγραφο 2.2 ναι μεν συνδυάζονται στο ίδιο πρότυπο τεχνικές του

στατιστικού ελέγχου ποιότητας με διαδικασίες συντήρησης για τη διατήρηση της

καλής (εντός ελέγχου) κατάστασης λειτουργίας του εξοπλισμού αλλά με αποκλειστικό

στόχο την αποφυγή ή την έγκαιρη αντιμετώπιση επιδράσεων συστηματικών αιτιών

που επιδεινώνουν την κατάσταση λειτουργίας. Το ενδεχόμενο δηλαδή βλάβης στον

εξοπλισμό που καθιστά αδύνατη τη λειτουργία του ουσιαστικά δε λαμβάνεται

καθόλου υπ’ όψιν. Στην παράγραφο 2.1 από την άλλη πλευρά συνυπάρχουν

περισσότερες από μία καταστάσεις λειτουργίας (που μπορεί φυσικά να αντιστοιχούν

σε καταστάσεις ποιότητας) με μία ή περισσότερες καταστάσεις βλάβης, αλλά οι

ενέργειες που εκτελούνται για τη διατήρηση της καλής κατάστασης λειτουργίας του

εξοπλισμού αποτελούν κλασικές ενέργειες συντήρησης (επιδιορθωτικής και

προληπτικής). Δεν παρακολουθείται δηλαδή άμεσα η ποιότητα παραγωγής και δεν

γίνεται κατά συνέπεια κάποια προσπάθεια για τη βελτιστοποίηση ή έστω βελτίωση

των τεχνικών ελέγχου κατά την έννοια του στατιστικού ελέγχου ποιότητας.

Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται εργασίες που αφορούν προβλήματα με

περισσότερες από μία καταστάσεις λειτουργίας συμπεριλαμβάνοντας όμως και το

ενδεχόμενο βλάβης του εξοπλισμού. Η διαφορά σε σχέση με τις εργασίες της

παραγράφου 2.1 είναι ότι οι ενδιάμεσες καταστάσεις (ή η ενδιάμεση κατάσταση)

λειτουργίας εκφράζονται πλέον ρητά ως καταστάσεις υποδεέστερης ποιότητας και

αντιμετωπίζονται αναλόγως. Κάτι τέτοιο ουσιαστικά σημαίνει ότι ο μηχανισμός

ελέγχου ή/και οι τεχνικές βελτίωσης της ποιότητας που εφαρμόζονται προέρχονται

από τον χώρο του στατιστικού ελέγχου ποιότητας (π.χ. δειγματοληπτικοί έλεγχοι με

σφάλματα, επιλογή της βέλτιστης τιμής ρύθμισης του χαρακτηριστικού ποιότητας

κλπ.). Επιπλέον, οι διαδικασίες ελέγχου ποιότητας συνδυάζονται με ενέργειες

συντήρησης που κύριο στόχο έχουν την αποφυγή ή καθυστέρηση εμφάνισης

βλαβών. Αξίζει να σημειωθεί βεβαίως ότι οι διάφορες ενέργειες που εκτελούνται στον

. . . ..

. . . ..


53

εξοπλισμό συχνά έχουν επίδραση όχι μόνο στην κατάσταση του εξοπλισμού, άρα και

στην ποιότητα παραγωγής, αλλά και στην πιθανότητα βλάβης. Ενέργειες δηλαδή

που μπορεί καταρχάς να στοχεύουν στη βελτίωση της ποιότητας λειτουργίας

ενδέχεται έμμεσα να αποτελούν και προληπτικές ενέργειες απέναντι στο ενδεχόμενο

της βλάβης, ενώ αντίστοιχα ενέργειες συντήρησης που στόχο έχουν την

αντιμετώπιση των βλαβών (προληπτικά ή επιδιορθωτικά) είναι πιθανόν να οδηγούν

αυτόματα και σε βελτίωση της ποιότητας. Τέτοιου τύπου αλληλεπιδράσεις, που

αποτελούν κύριο αντικείμενο μελέτης αυτής της διατριβής, λαμβάνονται σε κάποιο

βαθμό υπ’ όψιν στις εργασίες που παρουσιάζονται σε αυτήν την παράγραφο και

περιγράφονται αναλυτικά.

Σ’ αυτό το πλαίσιο ο Makis (1995) μελετά το πρόβλημα βελτιστοποίησης των

διαδικασιών συντήρησης (αντικατάστασης) και αρχικής ρύθμισης του εξοπλισμού σε

περιπτώσεις όπου υφίσταται αφενός επιδείνωση της ποιότητας του εξοπλισμού και

αφετέρου το ενδεχόμενο εμφάνισης βλάβης. Ειδικότερα, ο Makis (1995) θεωρεί

συνεχή επιδείνωση κάποιου χαρακτηριστικού ποιότητας ως συνάρτηση της

αθροιστικής φθοράς του εξοπλισμού και τετραγωνική μορφή συνάρτησης κόστους

ποιότητας. Επιπλέον, ο ρυθμός βλαβών συντίθεται από δύο όρους: έναν όρο που

είναι συνάρτηση της ηλικίας του εξοπλισμού και έναν όρο που είναι συνάρτηση της

αθροιστικής φθοράς του (proportional hazards model). Στόχος είναι η επιλογή της

βέλτιστης τιμής αρχικής ρύθμισης του χαρακτηριστικού ποιότητας που ενδιαφέρει

αλλά και του βέλτιστου χρόνου αντικατάστασης έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το

συνολικό κόστος συντήρησης και ποιότητας. Σημαντικό στοιχείο του προτύπου όμως

αποτελεί το γεγονός ότι η κατάσταση του εξοπλισμού δεν παρακολουθείται με

κάποιον τρόπο αλλά εκτιμάται με βάση στατιστικά στοιχεία του παρελθόντος. Κατά

συνέπεια οι βέλτιστες τιμές των παραμέτρων του προτύπου επιλέγονται εκ των

προτέρων και δεν αναθεωρούνται αξιοποιώντας πληροφορίες που αφορούν την

κατάσταση του εξοπλισμού.

. . . ..

. . . ..


54

Ανάλογο είναι το πρόβλημα που μελετάται και σε μεταγενέστερη εργασία του

ιδίου (Makis, 1999) με τη διαφορά ότι ο εξοπλισμός παρακολουθείται συνεχώς

(αμέσως μετά την παραγωγή κάθε μονάδας) και η απόφαση για την προληπτική

συντήρησή του μπορεί να είναι συνάρτηση της τρέχουσας κατάστασής του. Το

ελεγχόμενο χαρακτηριστικό ποιότητας θεωρείται ότι μεταβάλλεται συναρτήσει της

ηλικίας (χρόνου χρήσης) αλλά και της αθροιστικής φθοράς λόγω διαφόρων

επιδράσεων στον εξοπλισμό. Η πιθανότητα βλάβης, αντίστοιχα, είναι συνάρτηση της

αθροιστικής φθοράς του εξοπλισμού. Δεδομένων αυτών προσδιορίζεται η μορφή της

βέλτιστης πολιτικής συντήρησης του εξοπλισμού καθώς επίσης και η βέλτιστη τιμή

ρύθμισης του χαρακτηριστικού ποιότητας. Επιπλέον αποδεικνύεται ότι σε κάποιες

ειδικές περιπτώσεις του μηχανισμού επιδείνωσης της ποιότητας η βέλτιστη πολιτική

συντήρησης χαρακτηρίζεται από μια οριακή τιμή της αθροιστικής φθοράς πέραν της

οποίας ο εξοπλισμός πρέπει να συντηρείται προληπτικά (control limit policy).

Οι δύο αυτές εργασίες διαφέρουν από όσες παρουσιάστηκαν στην παράγραφο

2.1.2 (προληπτική συντήρηση βάσει κατάστασης) υπό την έννοια ότι θεωρούν μια

επιπλέον μεταβλητή απόφασης (τιμή αρχικής ρύθμισης του χαρακτηριστικού

ποιότητας) που σχετίζεται άμεσα με την ποιότητα λειτουργίας. Οι καταστάσεις

ποιότητας όμως δεν ορίζονται με τον συνήθη τρόπο των κλασικών προβλημάτων

ελέγχου ποιότητας (επίδραση συστηματικών αιτιών που προκαλούν συγκεκριμένη

μεταβολή στο χαρακτηριστικό ποιότητας) αλλά περιγράφονται από μια συνεχή

μεταβλητή που αποδίδει το επίπεδο ποιότητας.

Η περίπτωση των προκαθορισμένων πιθανών καταστάσεων ποιότητας σε

τέτοιου τύπου προβλήματα έχει μελετηθεί από τους Paté-Cornell et al. (1987),

Tagaras (1988) και Makis and Fung (1995,1998).

Συγκεκριμένα, οι Paté-Cornell et al. (1987) μελετούν μια παραγωγική διαδικασία

που χαρακτηρίζεται από τέσσερις καταστάσεις: άριστη λειτουργία, μικρή

δυσλειτουργία, μεγάλη δυσλειτουργία και πλήρης βλάβη. Οι εναλλακτικές

. . . ..

. . . ..


55

καταστάσεις λειτουργίας διαφοροποιούνται τόσο ως προς το κόστος λειτουργίας όσο

και ως προς την πιθανότητα βλάβης. Προκειμένου να επιλεγεί ο οικονομικά βέλτιστος

τρόπος ελέγχου και συντήρησης του εξοπλισμού εξετάζονται εναλλακτικές πολιτικές

που διαφοροποιούνται ως προς το είδος συντήρησης (βάσει αξιοπιστίας ή βάσει

κατάστασης), ως προς το ελεγχόμενο χαρακτηριστικό (έλεγχοι απευθείας στον

εξοπλισμό ή έλεγχοι στα παραγόμενα προϊόντα) και ως προς τη συχνότητα των

ελέγχων (συνεχώς ή κατά διαστήματα). Επιπλέον, τόσο η προληπτική συντήρηση

όσο και η επιδιόρθωση της βλάβης ενδέχεται να μην είναι τέλειες κι έτσι ο

εξοπλισμός, μετά την εφαρμογή τους, μπορεί να λειτουργεί σε οποιαδήποτε από τις

τρεις πρώτες καταστάσεις με δεδομένες πιθανότητες. Επίσης, οι έλεγχοι που

διενεργούνται είτε στα προϊόντα είτε στον εξοπλισμό ενδέχεται να μην αποδίδουν με

ακρίβεια την πραγματική κατάσταση λειτουργίας και οι σχετικές ενδείξεις να είναι

εσφαλμένες (κατά την έννοια των σφαλμάτων του ελέγχου παραγωγικής

διαδικασίας).

Η λειτουργία του συστήματος για οποιαδήποτε από τις προαναφερθείσες

πολιτικές συντήρησης περιγράφεται από κατάλληλα οριζόμενη μαρκοβιανή αλυσίδα.

Η βελτιστοποίηση στόχο έχει τον καθορισμό των τιμών εκείνων των παραμέτρων

που προσδιορίζουν πλήρως τον τρόπο εφαρμογής της εκάστοτε πολιτικής.

Ουσιαστικά ενδιαφέρει η συχνότητα προληπτικής συντήρησης και η συχνότητα

ελέγχων όποτε διενεργούνται έλεγχοι κατά διαστήματα. Επισημαίνεται πως το

επίπεδο, το κόστος και η αποτελεσματικότητα της προληπτικής συντήρησης

διαφοροποιούνται ανάλογα με το είδος της ένδειξης που προκύπτει από τον έλεγχο

του εξοπλισμού ή της ποιότητας των προϊόντων. Ένδειξη έντονης δυσλειτουργίας

αντιμετωπίζεται, δηλαδή, με ακριβότερη συντήρηση υψηλότερης όμως

αποτελεσματικότητας.

Παραγωγικές διαδικασίες που χαρακτηρίζονται από μια κατάσταση στατιστικού

ελέγχου, πολλές καταστάσεις όπου ο εξοπλισμός λειτουργεί εκτός στατιστικού

. . . ..

. . . ..


56

ελέγχου και μια κατάσταση βλάβης μελετώνται και από τον Tagaras (1988). Όπως

και στην εργασία των Paté-Cornell et al. (1987) η λειτουργία του συστήματος

περιγράφεται από μια μαρκοβιανή αλυσίδα, δεδομένου ότι οι χρόνοι μετάβασης

μεταξύ των καταστάσεων ακολουθούν την εκθετική κατανομή. Ο Tagaras (1988)

θεωρεί ότι η διαδικασία ελέγχεται ανά τακτά χρονικά διαστήματα και συντηρείται

προληπτικά μετά την πάροδο m χρονικών διαστημάτων δειγματοληψίας. Ενδείξεις

λειτουργίας σε κάποια από τις εκτός ελέγχου καταστάσεις αντιμετωπίζονται με

κατάλληλες διορθωτικές επεμβάσεις στον εξοπλισμό. Εν προκειμένω, το πρόβλημα

αφορά όχι μόνο την επιλογή της συχνότητας προληπτικής συντήρησης αλλά και την

επιλογή των βέλτιστων παραμέτρων σχεδίασης του διαγράμματος ελέγχου.

Στις εργασίες των Paté-Cornell et al. (1987) και του Tagaras (1988)

αναγνωρίζεται με σαφήνεια η σχέση μεταξύ της ποιότητας των παραγόμενων

προϊόντων και της πιθανότητας βλάβης του εξοπλισμού, χρησιμοποιείται όμως η

υπόθεση των εκθετικών χρόνων μετάβασης μεταξύ των καταστάσεων

(συμπεριλαμβανομένης και της κατάστασης βλάβης) που περιορίζει αρκετά την

εφαρμογή των προτύπων. Οι Makis and Fung (1995,1998) αίρουν την παραδοχή

αυτή θεωρώντας ότι ο χρόνος μέχρι την εμφάνιση βλάβης μπορεί να κατανέμεται

σύμφωνα με οποιαδήποτε κατανομή, διατηρούν όμως την υπόθεση της εκθετικής

κατανομής για τον χρόνο μέχρι τη μετάβαση σε κάποια κατάσταση υποδεέστερης

ποιότητας.

Συγκεκριμένα, οι Makis and Fung (1998) αναπτύσσουν ένα πρότυπο για τον

υπολογισμό της βέλτιστης ποσότητας παραγωγής και του βέλτιστου αριθμού

ελέγχων ποιότητας ανά παρτίδα παραγωγής σε μια παραγωγική διαδικασία η οποία

υπόκειται στην επίδραση κάποιας συστηματικής αιτίας. Παράλληλα, στον εξοπλισμό

της παραγωγικής διαδικασίας εμφανίζονται τυχαίες βλάβες με κάποια συνάρτηση

πυκνότητας πιθανότητας ανεξάρτητη από την κατάσταση λειτουργίας της

παραγωγικής διαδικασίας (εντός ή εκτός ελέγχου). Σημειώνεται πάντως, πως παρότι

. . . ..

. . . ..


57

λαμβάνεται υπ’ όψιν το ενδεχόμενο της βλάβης δε γίνεται καμία προσπάθεια

πρόληψης. Επέκταση του προτύπου αυτού αποτελεί η εργασία των Makis and Fung

(1995) στην οποία εισάγεται στο πρότυπο το ενδεχόμενο προληπτικής

αντικατάστασης του εξοπλισμού μετά την παραγωγή Μ παρτίδων προϊόντων. Η

παράμετρος Μ αποτελεί μία επιπλέον μεταβλητή απόφασης του προτύπου.

Στις εργασίες των Makis and Fung (1995,1998) παρουσιάζονται πρότυπα τα

οποία είναι μεν πιο γενικά, και άρα πιο ευέλικτα από αυτά που χρησιμοποιούν

εκθετική κατανομή του χρόνου μέχρι την εμφάνιση της βλάβης, αλλά θεωρούν, σε

αντίθεση με όλες τις υπόλοιπες εργασίες αυτής της παραγράφου, ότι η πιθανότητα

βλάβης δεν εξαρτάται από την κατάσταση ποιότητας του εξοπλισμού. Στη γενική

περίπτωση, βέβαια, η πιθανότητα βλάβης είναι πιθανό να εξαρτάται άμεσα από την

κατάσταση ποιότητας του εξοπλισμού λόγω των αυξημένων συνθηκών καταπόνησης

που μπορεί να προκύπτουν από λειτουργία σε καταστάσεις υποδεέστερης

ποιότητας. Γι’ αυτό το λόγο στα πρότυπα που αναπτύσσονται στην παρούσα

διατριβή λαμβάνεται υπ’ όψιν η πιθανή εξάρτηση του μηχανισμού εμφάνισης βλαβών

από την τρέχουσα κατάσταση λειτουργίας.

. . . ..

. . . ..

Συντήρηση με συνεχή έλεγχο

59

3. ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΜΕ ΣΥΝΕΧΗ ΕΛΕΓΧΟ

Θεωρούμε μια παραγωγική διαδικασία, η οποία ξεκινά τη λειτουργία της σε

κατάσταση καλής ποιότητας όπου ο εξοπλισμός λειτουργεί «εντός ελέγχου» και

ορίζεται ως κατάσταση 0. Η διαδικασία υπόκειται στην επίδραση μιας συστηματικής

αιτίας, η οποία μεταβάλλει την κατάσταση λειτουργίας σε μια άλλη κατώτερου

επιπέδου ποιότητας όπου ο εξοπλισμός λειτουργεί «εκτός ελέγχου» και ορίζεται ως

κατάσταση 1. Παράλληλα, στον εξοπλισμό μπορεί να εμφανιστεί βλάβη που καθιστά

αδύνατη τη λειτουργία του και επιβάλλει τη διακοπή της παραγωγής για την

επιδιόρθωσή της.

Οι κατανομές των χρόνων τόσο μέχρι την εμφάνιση βλάβης στον εξοπλισμό όσο

και μέχρι τη μετάβαση από την κατάσταση 0 στην κατάσταση 1 έχουν τα εξής

χαρακτηριστικά:

1. Ο χρόνος (ηλικία εξοπλισμού) μέχρι τη μετάβαση από την «εντός ελέγχου»

στην «εκτός ελέγχου» κατάσταση έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

f(t).

2. Η πιθανότητα βλάβης του εξοπλισμού είναι συνάρτηση της ηλικίας του (t)

αλλά και της κατάστασης στην οποία βρίσκεται (0 ή 1). Η κατανομή του

χρόνου φ1(t) μέχρι την εμφάνιση βλάβης στον εξοπλισμό όταν αυτός

βρίσκεται στην κατάσταση 1 είναι γενικά διαφορετική από την αντίστοιχη

κατανομή φ0(t) της κατάστασης 0.

3. Ο ρυθμός βλαβών τόσο στην κατάσταση 0 όσο και στην κατάσταση 1 είναι

αύξουσα συνάρτηση της ηλικίας του εξοπλισμού.

4. Ο ρυθμός βλαβών στην κατάσταση 1 είναι πάντοτε μεγαλύτερος από το

ρυθμό βλαβών στην κατάσταση 0 για την ίδια ηλικία του εξοπλισμού (στην

οριακή περίπτωση οι δύο ρυθμοί βλαβών μπορεί να είναι ίσοι). Κατά

. . . ..

. . . ..


60

συνέπεια, η πιθανότητα βλάβης είναι μεγαλύτερη στην κατάσταση 1 απ’ ό,τι

στην κατάσταση 0 για την ίδια ηλικία του εξοπλισμού.

Οποτεδήποτε εμφανιστεί βλάβη στον εξοπλισμό εκτελείται τέλεια επιδιορθωτική

συντήρηση, με κόστος W, που επαναφέρει τον εξοπλισμό σε άριστη κατάσταση (as

good as new): ηλικία 0, κατάσταση 0. Επιπλέον, δεδομένου ότι η πιθανότητα βλάβης

αυξάνεται συνεχώς με την πάροδο του χρόνου, δεν επιτρέπεται στον εξοπλισμό να

λειτουργήσει χωρίς συντήρηση πέρα από κάποια οριακή ηλικία tm0, όπου η

πιθανότητα βλάβης είναι ιδιαίτερα αυξημένη ακόμη και στην εντός ελέγχου

κατάσταση. Ο εξοπλισμός δηλαδή συντηρείται προληπτικά το αργότερο σε ηλικία tm0

εφόσον δε σημειωθεί μέχρι τότε βλάβη και αναγκαστική διακοπή της παραγωγής.

Στην περίπτωση που στην παραγωγική διαδικασία επιδράσει κάποια

συστηματική αιτία, η κατάσταση λειτουργίας του εξοπλισμού επιδεινώνεται αισθητά

και κατά συνέπεια ενδέχεται η λειτουργία του να μην είναι οικονομικά σκόπιμη σε

αυτήν την κατάσταση ακόμη και σε ηλικία μικρότερη από tm0. Για το λόγο αυτό

θεωρούμε ότι, εφόσον παρατηρηθεί μετάβαση στην κατάσταση 1, υπάρχει η

δυνατότητα επέμβασης στον εξοπλισμό και ολικής, ή μερικής, βελτίωσης της

κατάστασης λειτουργίας του. Συγκεκριμένα, εξετάζονται οι εξής δύο εναλλακτικές

αποφάσεις συντήρησης:

• Τέλεια προληπτική συντήρηση (PM) του εξοπλισμού που τον επαναφέρει σε

άριστη κατάσταση. Ο εξοπλισμός, δηλαδή, αμέσως μετά την προληπτική

συντήρηση επανέρχεται στην κατάσταση 0 και θεωρείται πως είναι

μηδενικής ηλικίας.

• Ελάχιστη συντήρηση (ΜΜ) του εξοπλισμού που τον επαναφέρει στην

κατάσταση 0 χωρίς όμως να επηρεάζει την ενεργό ηλικία του. Ο εξοπλισμός,

δηλαδή, αμέσως μετά την ελάχιστη συντήρηση επανέρχεται μεν στην

κατάσταση 0 αλλά διατηρεί την ηλικία που είχε ακριβώς πριν την εφαρμογή

της.

. . . ..

. . . ..


61

Ανεξάρτητα από τη μορφή συντήρησης που μπορεί να επιλεγεί κατά περίπτωση

(PM ή ΜΜ), ο ακριβής χρόνος (ηλικία) συντήρησης του εξοπλισμού μπορεί να είναι

οποιοσδήποτε μετά τον εντοπισμό φυσικά της επίδρασης της συστηματικής αιτίας και

πριν από την οριακή ηλικία tm0, πέραν της οποίας δεν είναι πλέον αποδεκτή η

λειτουργία του εξοπλισμού. Βασική προϋπόθεση για την ιδιαίτερη αντιμετώπιση του

εξοπλισμού όταν αυτός λειτουργεί στην κατάσταση 1 είναι, όπως έχει ήδη αναφερθεί,

η δυνατότητα παρακολούθησης της τρέχουσας κατάστασης λειτουργίας του. Εν

προκειμένω, υποτίθεται ότι υπάρχει η δυνατότητα συνεχούς γνώσης της τρέχουσας

κατάστασης της παραγωγικής διαδικασίας.

Στις παραγράφους που ακολουθούν παρουσιάζεται αναλυτικά η μελέτη του

προβλήματος και με τις δύο εναλλακτικές ενέργειες συντήρησης. Αρχικά αναλύεται η

περίπτωση της τέλειας προληπτικής συντήρησης του εξοπλισμού στην κατάσταση 1

(ΡΜ) και στη συνέχεια η περίπτωση της ελάχιστης συντήρησής του (ΜΜ).

3.1. ΤΕΛΕΙΑ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ

Στην παράγραφο αυτή θεωρούμε ότι η μόνη δυνατότητα συντήρησης του

εξοπλισμού και στις δύο καταστάσεις λειτουργίας, πέραν της επιδιορθωτικής

συντήρησης λόγω βλάβης, είναι η τέλεια συντήρηση (PM) που επαναφέρει τον

εξοπλισμό σε άριστη κατάσταση με κόστος WP. Θεωρούμε επίσης ότι το κόστος της

προληπτικής συντήρησης είναι μικρότερο από το κόστος επιδιόρθωσης βλάβης

(WP<W).

Συγκεκριμένα, στην περίπτωση που ο εξοπλισμός λειτουργεί στην κατάσταση 0

η προληπτική συντήρηση είναι προγραμματισμένη για τη χρονική στιγμή (ηλικία

εξοπλισμού) tm0 εκτός κι αν έχει ήδη εμφανιστεί βλάβη που έχει προκαλέσει διακοπή

της λειτουργίας. Εάν όμως παρατηρηθεί μετάβαση στην κατάσταση 1 πριν από τη

χρονική στιγμή tm0 οι συνθήκες λειτουργίας επιδεινώνονται, γεγονός που οδηγεί όχι

μόνο σε αυξημένη πιθανότητα βλάβης αλλά και σε μειωμένα έσοδα παραγωγής.

Κατά συνέπεια η προγραμματισμένη προληπτική συντήρηση ενδέχεται να είναι

. . . ..

. . . ..


62

σκόπιμο να επισπευσθεί ούτως ώστε να μη λειτουργήσει ο εξοπλισμός σε ιδιαίτερα

δυσμενείς συνθήκες για μεγάλο χρονικό διάστημα.

Εφόσον ο εξοπλισμός παρακολουθείται συνεχώς, ενδεχόμενη επίδραση κάποιας

συστηματικής αιτίας, που θα μεταβάλει την κατάσταση λειτουργίας του, γίνεται

πάντοτε άμεσα αντιληπτή και μπορούμε να γνωρίζουμε με ακρίβεια το χρόνο

μετάβασης από την κατάσταση 0 στην κατάσταση 1. Κατά συνέπεια, η προληπτική

συντήρηση του εξοπλισμού (με δεδομένο ότι λειτουργεί πλέον στην κατάσταση 1)

είναι γενικά δυνατόν να προγραμματιστεί εκ νέου λαμβάνοντας υπ’ όψιν τον ακριβή

χρόνο εμφάνισης της συστηματικής αιτίας t. Ουσιαστικά, αν κάποια συστηματική αιτία

επιδράσει στον εξοπλισμό τη χρονική στιγμή - ηλικία εξοπλισμού - m0t t< , η

προγραμματισμένη προληπτική συντήρηση μετατίθεται χρονικά (επισπεύδεται) σε

κάποια χρονική στιγμή tm1(t), η οποία στη γενική περίπτωση είναι συνάρτηση του

χρόνου επίδρασης t. Προφανώς θα πρέπει πάντα να ικανοποιείται η σχέση

( )m1 m0t t t t≤ ≤ .

Δεδομένου ότι η προληπτική συντήρηση επαναφέρει τον εξοπλισμό σε άριστη

κατάσταση όπως ακριβώς και η επιδιόρθωση μετά από βλάβη, η λειτουργία του

εξοπλισμού αποτελεί διαδοχή συνεχόμενων και στοχαστικά ανεξάρτητων «κύκλων»,

καθένας εκ των οποίων ξεκινά με τον εξοπλισμό σε άριστη κατάσταση (εντός ελέγχου

και με μηδενική ηλικία) και τελειώνει είτε με προγραμματισμένη προληπτική

συντήρηση σε οποιαδήποτε από τις δύο καταστάσεις λειτουργίας είτε με

επιδιόρθωση βλάβης.

3.1.1. Κατάστρωση της συνάρτησης κέρδους

Πριν από την εκτενή παρουσίαση της κατάστρωσης της συνάρτησης κέρδους,

παρουσιάζονται συνοπτικά όλα τα χαρακτηριστικά και οι παράμετροι του

προβλήματος, καθώς επίσης και οι συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται:

. . . ..

. . . ..


63

f(t) Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου μέχρι την επίδραση της

συστηματικής αιτίας

F(t) Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας του χρόνου μέχρι την επίδραση της

συστηματικής αιτίας

F(t) = 1 – F(t)

φi(t) Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου μέχρι την εμφάνιση

βλάβης στον εξοπλισμό όταν αυτός λειτουργεί στην κατάσταση i (i=0,1) τη

χρονική στιγμή t=0. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου

μέχρι την εμφάνιση βλάβης στον εξοπλισμό όταν έχει προηγηθεί επίδραση

της συστηματικής αιτίας τη χρονική στιγμή ts είναι 1 1 sφ (t) Φ (t ) για κάθε t>ts

Φi(t) Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας του χρόνου μέχρι την εμφάνιση

βλάβης στον εξοπλισμό όταν αυτός λειτουργεί στην κατάσταση i (i=0,1)

iΦ (t) = 1 – Φi(t)

( )ih t = i

i

φ (t)Φ (t)

(συνάρτηση ρυθμού βλαβών στην κατάσταση i)

t Ηλικία εξοπλισμού (t=0 στην αρχή κάθε κύκλου)

tm0 Χρονική στιγμή για την προγραμματισμένη προληπτική συντήρηση του

εξοπλισμού στην κατάσταση 0

tm1(t) Χρονική στιγμή για την προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού μετά την

αναθεώρηση λόγω μετάβασης στην κατάσταση 1 τη χρονική στιγμή m0t t<

Z Μέση τιμή του χρόνου επιδιόρθωσης του εξοπλισμού σε περίπτωση

βλάβης

ZΡ Μέση τιμή του χρόνου τέλειας προληπτικής συντήρησης του εξοπλισμού

. . . ..

. . . ..


64

Ri Έσοδα ανά μονάδα χρόνου κατά τη λειτουργία στην κατάσταση i (i = 0,1)

W Κόστος επιδιόρθωσης του εξοπλισμού σε περίπτωση βλάβης

WΡ Κόστος τέλειας προληπτικής συντήρησης του εξοπλισμού

E(T) Μέση διάρκεια κύκλου, συμπεριλαμβανομένου και του χρόνου

επιδιόρθωσης βλάβης ή προληπτικής συντήρησης του εξοπλισμού

E(P) Μέσο κέρδος ανά κύκλο, συμπεριλαμβανομένου και του κόστους

επιδιόρθωσης βλάβης ή προληπτικής συντήρησης του εξοπλισμού

EPT Μέσο κέρδος ανά μονάδα χρόνου

Δεδομένου ότι τα έσοδα από τη λειτουργία της παραγωγικής διαδικασίας R0 και

R1 εμπεριέχουν και το κόστος «κακής ποιότητας» από ενδεχόμενη παραγωγή

προϊόντων χαμηλότερου επιπέδου ποιότητας από το επιθυμητό, υποθέτουμε ότι

0 1R R≥ . Επιπλέον, για την απλοποίηση των μαθηματικών αποδείξεων που

ακολουθούν στις επόμενες παραγράφους θεωρείται ότι PZ Z= , ενώ ταυτόχρονα

απαιτείται PW W< ούτως ώστε να διασφαλιστεί ότι η προληπτική συντήρηση είναι

οικονομικότερη της αναγκαστικής επιδιόρθωσης βλάβης.

Πριν από την κατάστρωση της συνάρτησης κέρδους που περιγράφει τη

λειτουργία και συντήρηση του εξοπλισμού που μελετάται, παρατίθεται μια σημαντική

ιδιότητα του μαθηματικού προτύπου που καθορίζει ουσιαστικά τη μορφή της

βέλτιστης λύσης. Αξιοποίηση της ιδιότητας αυτής απλοποιεί σημαντικά το μαθηματικό

πρότυπο και διευκολύνει την αναλυτική παρουσίαση της συνάρτησης κέρδους. Η

πλήρης απόδειξή της παρουσιάζεται αναλυτικά στο παράρτημα Β.

Ιδιότητα 3.1

Για κάθε πιθανή τιμή tm0, υπάρχει μία οριακή τιμή tm1, (όπου ≤ ≤m1 m00 t t ), τέτοια

ώστε η βέλτιστη ηλικία προληπτικής συντήρησης του εξοπλισμού στην κατάσταση 1,

. . . ..

. . . ..


65

tm1(t), δίνεται από τις παρακάτω σχέσεις συναρτήσει του ακριβούς χρόνου επίδρασης

της συστηματικής αιτίας t:

α) tm1(t) = tm1 για κάθε ≤ m1t t

β) tm1(t) = t για κάθε > m1t t .

Σημειώνεται ότι η οριακή τιμή tm1 είναι σίγουρα μοναδική αν ο ρυθμός βλαβών

του εξοπλισμού στην εκτός ελέγχου κατάσταση είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση

της ηλικίας του. Στην περίπτωση που ο ρυθμός βλαβών στην εκτός ελέγχου

κατάσταση είναι απλά αύξουσα συνάρτηση της ηλικίας του εξοπλισμού (και όχι

γνησίως αύξουσα), τότε ενδέχεται η πρώτη μερική παράγωγος του κέρδους ανά

μονάδα χρόνου ως προς tm1 ( ∂ ∂ m1EPT t ) να μηδενίζεται για ένα εύρος συνεχών

τιμών tm1 με αποτέλεσμα να υπάρχουν εναλλακτικές τιμές tm1 που να οδηγούν στη

βέλτιστη λύση.

Η ιδιότητα 3.1 ουσιαστικά αποδεικνύει ότι η βέλτιστη λύση του προβλήματος που

μελετάται χαρακτηρίζεται από δύο οριακές ηλικίες του εξοπλισμού tm1 και tm0 (όπου

m1 m00 t t≤ ≤ ), οι οποίες υποδεικνύουν το βέλτιστο χρόνο προληπτικής συντήρησης

του εξοπλισμού λαμβάνοντας υπ’ όψιν ενδεχόμενη επίδραση της συστηματικής

αιτίας. Ειδικότερα, η ακριβής μορφή της βέλτιστης λύσης περιγράφεται αναλυτικά ως

εξής:

α) Εάν εμφανιστεί επίδραση της συστηματικής αιτίας σε ηλικία t όχι μεγαλύτερη

από την οριακή ηλικία tm1 ( m1t t≤ ), ο εξοπλισμός συνεχίζει να λειτουργεί χωρίς

διακοπή στην εκτός ελέγχου κατάσταση, ενώ προληπτική συντήρηση

εκτελείται μόνο εφόσον ο εξοπλισμός φτάσει στην οριακή ηλικία tm1 χωρίς να

έχει προηγηθεί βλάβη.

. . . ..

. . . ..


66

β) Εάν εμφανιστεί επίδραση της συστηματικής αιτίας μετά την οριακή ηλικία tm1

( m1 m0t t t< < ), η παραγωγική διαδικασία διακόπτεται άμεσα και εκτελείται

προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού.

γ) Εάν δεν εμφανιστεί επίδραση της συστηματικής αιτίας αλλά ούτε και βλάβη

καθ’ όλη τη διάρκεια του κύκλου, ο εξοπλισμός συντηρείται προληπτικά

αμέσως μόλις φτάσει στην οριακή ηλικία tm0.

Με δεδομένη πλέον τη γενική μορφή της βέλτιστης λύσης παρουσιάζεται

αναλυτικά η κατάστρωση της σχέσης υπολογισμού του αναμενόμενου κέρδους ανά

μονάδα χρόνου ως συνάρτηση των δύο μεταβλητών απόφασης tm0 και tm1. Για την

κατάστρωση της σχέσης αυτής απαιτείται ο υπολογισμός τόσο της μέσης διάρκειας

του κύκλου παραγωγής E(T) όσο και του μέσου κέρδους ανά κύκλο E(P).

Μέση διάρκεια κύκλου παραγωγής

Κάθε κύκλος ξεκινά με τον εξοπλισμό σε άριστη κατάσταση (μηδενική ηλικία και

λειτουργία στην κατάσταση 0) και τελειώνει είτε με επιδιόρθωση βλάβης πριν από την

οριακή ηλικία tm0 είτε με προληπτική συντήρηση σε κάποια ηλικία m1t t≥ . Κατά

συνέπεια, η συνολική διάρκεια του κύκλου αποτελείται από τις εξής υποπεριόδους:

• T0: χρόνος λειτουργίας στην εντός ελέγχου κατάσταση (κατάσταση 0).

• T1: χρόνος λειτουργίας στην εκτός ελέγχου κατάσταση (κατάσταση 1) εάν

σημειωθεί επίδραση της συστηματικής αιτίας πριν από την οριακή ηλικία tm1.

• Z ή ZP: μέσος χρόνος που απαιτείται για επιδιόρθωση βλάβης εάν το τέλος

του κύκλου σηματοδοτείται από εμφάνιση βλάβης ή μέσος χρόνος που

απαιτείται για προληπτική συντήρηση εάν ο κύκλος τελειώνει με προληπτική

συντήρηση σε οποιαδήποτε από τις δύο καταστάσεις λειτουργίας.

. . . ..

. . . ..


67

Χρόνος λειτουργίας στην εντός ελέγχου κατάσταση

Ο χρόνος κατά τον οποίο ο εξοπλισμός λειτουργεί στην κατάσταση 0, T0, διαρκεί

έως το tm0 μόνο εφόσον δεν προηγηθεί εμφάνιση βλάβης αλλά ούτε και επίδραση

συστηματικής αιτίας, το οποίο συμβαίνει με πιθανότητα ( ) ( )0 m0 m0Φ t F t . Σε κάθε άλλη

περίπτωση η εντός ελέγχου λειτουργία τερματίζεται κάποια χρονική στιγμή m0t t< ,

είτε λόγω βλάβης είτε λόγω επίδρασης της συστηματικής αιτίας, ό,τι από τα δύο

προηγηθεί. Το ενδεχόμενο βλάβης σε κάποιον κύκλο εμφανίζεται με πιθανότητα

( ) ( )m0t

00

φ t F t dt∫ , ενώ το ενδεχόμενο επίδρασης της συστηματικής αιτίας εμφανίζεται

με πιθανότητα ( ) ( )m0t

00

f t Φ t dt∫ . Λαμβάνοντας υπ’ όψιν όλα αυτά τα ενδεχόμενα

προκύπτει η παρακάτω σχέση υπολογισμού της μέσης τιμής του χρόνου Τ0:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m0 m0t t

0 m0 0 m0 m0 0 00 0

Ε(Τ ) t Φ t F t tφ t F t dt tf t Φ t dt= + +∫ ∫ .

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 1 του παραρτήματος Α, η σχέση αυτή απλοποιείται

σημαντικά και καταλήγει τελικά στη μορφή

( ) ( )m0t

0 00

Ε(Τ ) Φ t F t dt= ∫ . (3.1)

Χρόνος λειτουργίας στην εκτός ελέγχου κατάσταση

Ο εξοπλισμός λειτουργεί επί κάποιο διάστημα στην κατάσταση 1 κατά τη

διάρκεια ενός κύκλου αν και μόνο αν σημειωθεί επίδραση της συστηματικής αιτίας σε

χρόνο m1t t< και δεν έχει προηγηθεί βλάβη. Ο χρόνος λειτουργίας στην κατάσταση 1,

T1, διαρκεί είτε μέχρι το tm1, οπότε και εκτελείται προληπτική συντήρηση του

εξοπλισμού, είτε μέχρι κάποια βλάβη του εξοπλισμού πριν την οριακή ηλικία tm1. Το

ενδεχόμενο επίδρασης της συστηματικής αιτίας σε κάποιο χρόνο m1t t< , χωρίς να

. . . ..

. . . ..


68

έχει σημειωθεί βλάβη στον εξοπλισμό εν τω μεταξύ, εμφανίζεται με πιθανότητα

( ) ( )m1t

00

f t Φ t dt∫ . Επιπλέον, η πιθανότητα βλάβης στο διάστημα από τη χρονική στιγμή

της επίδρασης, t, μέχρι το χρόνο εκτέλεσης της προληπτικής συντήρησης, tm1, είναι

( ) ( )m1t

1 1t

φ t Φ t dt′ ′∫ και συνεπώς η πιθανότητα να μη σημειωθεί βλάβη στο εν λόγω

διάστημα είναι

( ) ( )m1t

1 1t

1 φ t Φ t dt′ ′− ∫ = ( ) ( )1 m1 1Φ t Φ t .

Λαμβάνοντας υπ’ όψιν όλα αυτά τα ενδεχόμενα προκύπτει η παρακάτω σχέση

υπολογισμού της μέσης τιμής του χρόνου Τ1:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )m1 m1 m1t t t

1 1 m11 0 m1 0

1 10 t 0

(t t)φ t Φ tΕ(Τ ) f t Φ t dt dt t t f(t)Φ t dt

Φ t Φ t′ ′−

′= + −∫ ∫ ∫ .



( ) ( ) ( )( )

m1 m1t t1

1 010 t

Φ tΕ(Τ ) f t Φ t dt dt

Φ t′

′= ∫ ∫ . (3.2)

Πιθανότητα προληπτικής συντήρησης και πιθανότητα βλάβης

Προληπτική συντήρηση πραγματοποιείται οποτεδήποτε ο εξοπλισμός φτάνει

στην οριακή ηλικία tm0 στην κατάσταση 0 ή στην οριακή ηλικία tm1 στην κατάσταση 1

χωρίς να έχει σημειωθεί βλάβη, αλλά και εάν εμφανιστεί επίδραση της συστηματικής

αιτίας στο χρονικό διάστημα από το tm1 έως το tm0 χωρίς και πάλι να έχει προηγηθεί

βλάβη. Δεδομένου ότι κάθε κύκλος παραγωγής ξεκινά με εξοπλισμό μηδενικής

ηλικίας και στην κατάσταση 0, η πιθανότητα προληπτικής συντήρησης του

εξοπλισμού σε έναν κύκλο είναι

. . . ..

. . . ..


69

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

m0m1

m1

tt1 m1

PM 0 m0 m0 0 010 t

Φ tp Φ t F t f t Φ t dt f t Φ t dt

Φ t= + +∫ ∫ . (3.3)

Ο πρώτος όρος της σχέσης (3.3) εκφράζει την πιθανότητα να μη σημειωθεί ούτε

βλάβη αλλά ούτε και επίδραση συστηματικής αιτίας πριν το tm0. Ο δεύτερος όρος

εκφράζει την πιθανότητα να σημειωθεί επίδραση της συστηματικής αιτίας πριν το tm1,

αλλά να μη σημειωθεί βλάβη μέχρι το tm1 οπότε και θα πραγματοποιηθεί προληπτική

συντήρηση. Τέλος, ο τρίτος όρος της σχέσης (3.3) εκφράζει την πιθανότητα

επίδρασης της συστηματικής αιτίας κατά το χρονικό διάστημα από το tm1 έως το tm0

χωρίς φυσικά να έχει προηγηθεί βλάβη.

Η πιθανότητα βλάβης σε κάθε κύκλο είναι προφανώς 1 – pPM, δεδομένου ότι

κάθε κύκλος τελειώνει είτε με προληπτική συντήρηση είτε με βλάβη.

Συνεκτιμώντας τα παραπάνω, η μέση διάρκεια του κύκλου παραγωγής, E(T),

δίνεται τελικά από τη σχέση

( )0 1 P PM PMΕ(Τ) Ε(Τ ) E(T ) Z p Z 1 p= + + + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

m0 m1 m1t t t1

0 010 0 t

Φ tF t Φ t dt f t Φ t dt dt

Φ t′

′= +∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

m0m1

m1

tt1 m1

P 0 m0 m0 0 010 t

Φ tΖ Ζ Z Φ t F t f t Φ t dt f t Φ t dt

Φ t

⎡ ⎤⎢ ⎥+ + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ . (3.4)

Για PZ Z= , η παραπάνω σχέση παίρνει τη μορφή

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

m0 m1 m1t t t1

0 010 0 t

Φ tΕ(Τ) F t Φ t dt f t Φ t dt dt Ζ

Φ t′

′= + +∫ ∫ ∫ . (3.5)

Μέσο κέρδος ανά κύκλο παραγωγής

Με τρόπο ανάλογο προς τον τρόπο προσδιορισμού της μέσης διάρκειας του

κύκλου, το μέσο κέρδος ανά κύκλο προκύπτει συνυπολογίζοντας τα ακόλουθα

συστατικά στοιχεία:

. . . ..

. . . ..


70

• Έσοδα παραγωγής στην κατάσταση 0 (R0 ανά μονάδα χρόνου).

• Έσοδα παραγωγής στην κατάσταση 1 (R1 ανά μονάδα χρόνου), εάν


• Κόστος που απαιτείται για επιδιόρθωση βλάβης (W) εάν το τέλος του κύκλου

σηματοδοτείται από εμφάνιση βλάβης ή κόστος που απαιτείται για

προληπτική συντήρηση (WP) εάν ο κύκλος τελειώνει με προληπτική


Το μέσο κέρδος ανά κύκλο λειτουργίας, E(Ρ), δίνεται τελικά από τη σχέση

( )0 0 1 1 P PM PMΕ(P) R Ε(Τ ) R E(T ) W p W 1 p= + − − −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

m0 m1 m1t t t1

0 0 1 010 0 t

Φ tR F t Φ t dt R f t Φ t dt dt

Φ t′

′= +∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

m0m1

m1

tt1 m1

P 0 m0 m0 0 010 t

Φ tW W W Φ t F t f t Φ t dt f t Φ t dt

Φ t

⎡ ⎤⎢ ⎥− − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ . (3.6)

Μέσο κέρδος ανά μονάδα χρόνου

Η διαδικασία που μελετάται είναι μια διαδικασία ανανέωσης-ανταμοιβής

(renewal-reward process) και κατά συνέπεια η μέση τιμή του κέρδους ανά μονάδα

χρόνου ισούται με το λόγο του μέσου κέρδους ανά κύκλο προς τη μέση διάρκεια του

κύκλου:

( )m0 m1E(P)EPT t , tE(T)

= . (3.7)

Προφανώς η παραπάνω σχέση και οι σχέσεις (3.5) και (3.6) για τα Ε(Ρ) και Ε(Τ)

αντίστοιχα ισχύουν για όλες τις πιθανές τιμές tm1, όπου ≤ ≤m1 m00 t t . Οι δύο οριακές

περιπτώσεις, όπου m1t 0= ή m1 m0t t= , παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον διότι

αντιστοιχούν σε δύο ακραίες πολιτικές συντήρησης του εξοπλισμού. Συγκεκριμένα,

στην ειδική περίπτωση όπου m1t 0= η εφαρμοζόμενη πολιτική συντήρησης του

. . . ..

. . . ..


71

εξοπλισμού δεν επιτρέπει τη λειτουργία του εξοπλισμού στην κατάσταση 1 καθώς

οποτεδήποτε εμφανιστεί επίδραση της συστηματικής αιτίας η παραγωγική διαδικασία

διακόπτεται άμεσα και ο εξοπλισμός συντηρείται προληπτικά. Μια τέτοια πολιτική

συντήρησης χαρακτηρίζεται ως «ενεργητική» (Active Quality Maintenance, AQM) και

είναι η ενδεδειγμένη σε περιπτώσεις όπου η κατάσταση 1 είναι σημαντικά χειρότερη

από την κατάσταση 0. Αντιθέτως, στην ειδική περίπτωση όπου m1 m0t t= η

προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού δεν επισπεύδεται στην περίπτωση

επίδρασης της συστηματικής αιτίας. Μια τέτοια πολιτική συντήρησης χαρακτηρίζεται

ως «παθητική» (Passive Quality Maintenance, PQM) και είναι σκόπιμη μόνο σε

περιπτώσεις όπου οι δύο καταστάσεις λειτουργίας δε διαφέρουν πρακτικά. Στην

υποπαράγραφο που ακολουθεί διερευνάται αναλυτικότερα η μορφή της βέλτιστης

πολιτικής συντήρησης και συγκεκριμενοποιούνται οι συνθήκες υπό τις οποίες κάποια

από τις δύο ακραίες πολιτικές είναι η βέλτιστη.

3.1.2. Ιδιότητες της βέλτιστης λύσης

Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης του μέσου κέρδους ανά μονάδα χρόνου,

EPT(tm0,tm1), παρουσιάζεται γραφικά στο σχήμα 3.1. Οι επιτρεπτές τιμές των

μεταβλητών απόφασης πρέπει να ικανοποιούν τη σχέση m1 m00 t t≤ ≤ και κατά

συνέπεια είναι όλα εκείνα τα σημεία που περικλείονται στην επιφάνεια μεταξύ του

οριζόντιου άξονα και της ευθείας m1 m0t t= .

Στόχος είναι να επιλεγεί ο βέλτιστος συνδυασμός τιμών (tm0,tm1) που μεγιστοποιεί

τη συνάρτηση EPT(tm0,tm1). Το πρώτο βήμα για το σκοπό αυτό είναι ο υπολογισμός

των πρώτων μερικών παραγώγων της EPT(tm0,tm1) ως προς τις μεταβλητές

απόφασης. Οι μαθηματικές σχέσεις που προκύπτουν από αυτή τη διαδικασία είναι

αντίστοιχα

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )m0 0 m00 m0 m1 m0 m1 0 m0 m12

m0

F t Φ tEPT f t , t A t , t f t , tt E(T)

∂= =

∂

. . . ..

. . . ..


72

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

m1t1 m1

010

1 m0 m1 m0 m1 1 m0 m12m1

Φ tf t Φ t dt

Φ tEPT f t , t B t , t f t , tt E(T)

∂= =

∂

∫,

όπου οι συναρτήσεις A(tm0,tm1) και B(tm0,tm1) παίρνουν πάντα θετικές τιμές για όλες τις

πιθανές θετικές τιμές των tm0 και tm1, ενώ

( ) ( ) ( )0 m0 m1 0 0 m0 Pf t , t R h t W W E(T) E(P)⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦ (3.8)

και

( ) ( ) ( )1 m0 m1 1 1 m1 Pf t , t R h t W W E(T) E(P)⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦ . (3.9)

Σχήμα 3.1: Πεδίο ορισμού της EPT

Βάσει αυτών προκύπτει ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη για τον ταυτόχρονο

μηδενισμό των δύο πρώτων μερικών παραγώγων είναι η

( ) ( )0 m0 m1 1 m0 m1f t , t f t , t 0= = .

tm0 O

C

A

tm0=tm1

f0=f1=f01

tm1

f0>f1

f0<f1 B

D

. . . ..

. . . ..


73

Ως εκ τούτου, αρχικά εξετάζεται υπό ποιες προϋποθέσεις ικανοποιείται η ισότητα

( ) ( )0 m0 m1 1 m0 m1f t , t f t , t= ή εναλλακτικά η σχέση

( ) ( ) ( ) ( )0 0 m0 P 1 1 m1 PR h t W W R h t W W− − = − − . (3.10)

Στην ανάλυση που ακολουθεί διαχωρίζουμε δύο περιπτώσεις ανάλογα με το αν

η συνθήκη ( ) ( )0 m0 m1 1 m0 m1f t , t f t , t= ικανοποιείται ή όχι για κάποιες τιμές tm0, tm1. Ο

διαχωρισμός αυτός είναι σημαντικός γιατί στη δεύτερη περίπτωση είναι αδύνατος ο

ταυτόχρονος μηδενισμός των δύο πρώτων μερικών παραγώγων της EPT(tm0,tm1) για

οποιονδήποτε συνδυασμό θετικών πεπερασμένων τιμών των tm0 και tm1 με

αποτέλεσμα η βέλτιστη λύση να είναι κατ’ ανάγκην σε κάποιο ακραίο σημείο του

πεδίου ορισμού.

1η περίπτωση: Υπάρχουν πεπερασμένες τιμές των μεταβλητών tm0 και tm1 που

ικανοποιούν τη συνθήκη ( ) ( )0 m0 m1 1 m0 m1f t ,t f t ,t= .

Δεδομένου ότι 0 1R R≥ και PW W> , η σχέση (3.10) ικανοποιείται για κάποιες

τιμές tm0 και tm1 αν και μόνο αν

( )( ) ( )m0

0 10 m0 1t P

R Rlim h t h 0

W W→∞

−> +

−.

Ο γεωγραφικός τόπος των σημείων (tm0, tm1) που ικανοποιούν τη συνθήκη

( ) ( )0 m0 m1 1 m0 m1f t , t f t , t= είναι η γραμμή AC στο σχήμα 3.1. Για τη διευκόλυνση της

παρουσίασης εισάγουμε τη βοηθητική συνάρτηση f01, η οποία είναι ουσιαστικά

συνάρτηση μιας μεταβλητής (είτε της tm0 είτε της tm1) και ορίζεται από τη σχέση

( ) ( ) ( ) ( )01 m0 01 m1 0 m0 m1 1 m0 m1f t f t f t , t f t , t= = = . Το πεδίο ορισμού της f01 αποτελείται από

τις τιμές της tm0 (ή της tm1) που ικανοποιούν τη σχέση (3.10) και σχηματίζουν τη

γραμμή AC του σχήματος 3.1. Σημειώνεται ότι στην περιοχή πάνω από τη γραμμή

AC ισχύει 0 1f f> , ενώ στην περιοχή κάτω από την AC ισχύει 0 1f f< . Επιπλέον, η AC

δεν είναι κατ’ ανάγκην ευθεία, παρότι για λόγους απλότητας στο σχήμα 3.1

. . . ..

. . . ..


74

παρουσιάζεται ως ευθεία, αλλά η ακριβής μορφή της εξαρτάται από το είδος των

συναρτήσεων h0 και h1. Σε κάθε περίπτωση πάντως, είναι εμφανές ότι αύξηση της

τιμής tm0 (tm1) προκαλεί επίσης αύξηση της ισοδύναμης, από τη σχέση (3.10), τιμής

tm1 (tm0). Η τιμή της f01 στο σημείο Α υπολογίζεται για m1t 0= ή ισοδύναμα για την

αντίστοιχη τιμή της tm0 (που συμβολίζεται 0m0t ) η οποία προκύπτει από τη σχέση

(3.10) για m1t 0= .

Το θεώρημα 3.1 καταδεικνύει τη μοναδικότητα της βέλτιστης λύσης ενώ

παράλληλα περιγράφει με σαφήνεια την ακριβή μορφή της λύσης αυτής σε

περίπτωση γνησίως αύξουσας συνάρτησης ρυθμού βλαβών, τόσο για την κατάσταση

0 (εντός ελέγχου) όσο και για την κατάσταση 1 (εκτός ελέγχου). Αξίζει να σημειωθεί

πως στη γενικότερη περίπτωση που οι συναρτήσεις ρυθμού βλαβών είναι απλώς

αύξουσες (και όχι γνησίως αύξουσες) δεν παρατηρείται καμία ουσιαστική διαφορά

στα αποτελέσματα της ανάλυσης όσον αφορά τη μορφή της βέλτιστης λύσης. Η μόνη

αλλαγή που μπορεί να προκύψει είναι πως η βέλτιστη λύση ενδέχεται να μην είναι

σημειακή αλλά να εκτείνεται σε ένα εύρος τιμών tm0 ή/και tm1.

Θεώρημα 3.1

Εάν i) ( )( ) ( )→∞

−> +

−m0

0 10 m0 1t P

R Rlim h t h 0W W

και ii) οι συναρτήσεις ρυθμού βλαβών

h0(t) και h1(t) είναι συνεχείς και γνησίως αύξουσες συναρτήσεις της ηλικίας του

εξοπλισμού t, τότε η βέλτιστη λύση του προβλήματος μεγιστοποίησης της EPT(tm0,tm1)

είναι μοναδική και οι βέλτιστες τιμές των tm0 και tm1 δίνονται από τις εξής σχέσεις:

Α. Εάν ( ) >001 m0f t 0 και 0

→∞<

m001 m0t

lim f ( t ) , η μέγιστη τιμή της EPT(tm0,tm1) προκύπτει

για χρόνους m1 m00 t t< ≤ , τέτοιους ώστε:

( ) ( )∂ ∂ = ∂ ∂ =m0 m1 m0 m0 m1 m1EPT t ,t t EPT t ,t t 0 (γραμμή AC).

Β. Εάν ( ) ≤001 m0f t 0 και

. . . ..

. . . ..


75

α) >0f (0,0 ) 0 , η μέγιστη τιμή της EPT(tm0,tm1) προκύπτει για =m1t 0 και

>m0t 0 , τέτοιο ώστε:

( )∂ ∂ =m0 m1 m0EPT t ,t t 0 (ευθύγραμμο τμήμα OA).

β) ≤0f (0,0 ) 0 , η μέγιστη τιμή της EPT(tm0,tm1) προκύπτει για = =m0 m1t t 0

(σημείο O).

Γ. Εάν 0→∞

≥m0

01 m0tlim f ( t ) και

α) 0→∞

<m0 m1

1 m0 m1t ,tlim f ( t ,t ) , η μέγιστη τιμή της EPT(tm0,tm1) προκύπτει για m0t →∞

και tm1 τέτοιο ώστε ( )→∞

∂ ∂ =m0

m0 m1 m1tlim EPT t ,t t 0 .

β) 0→∞

≥m0 m1


και m1t →∞ .

Σύμφωνα με το θεώρημα 3.1 η βέλτιστη λύση είτε βρίσκεται στην έντονη γραμμή

OAC του σχήματος 3.1 είτε προκύπτει για →∞m0t .

Αν και η πλήρης απόδειξη του θεωρήματος 3.1 παρουσιάζεται αναλυτικά στο

παράρτημα Γ, περιγράφεται συνοπτικά η μεθοδολογία που ακολουθήθηκε.

Καταρχάς, το πεδίο ορισμού της EPT(tm0,tm1) διαχωρίστηκε σε επτά διαφορετικές

περιοχές και αναπτύχθηκαν οι αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη κρίσιμων σημείων

σε κάθε μία από αυτές. Οι περιοχές του πεδίου ορισμού που χρησιμοποιήθηκαν

καθώς επίσης και οι αντίστοιχες αναγκαίες συνθήκες που προέκυψαν

παρουσιάζονται συνοπτικά στις δύο πρώτες στήλες του πίνακα 3.1. Αμέσως μετά τον

προσδιορισμό των αναγκαίων συνθηκών για κάθε μία από τις επτά περιπτώσεις

μελετήθηκαν οι προϋποθέσεις υπό τις οποίες ικανοποιούνται οι συνθήκες αυτές.

Βασικό στοιχείο της ανάλυσης αυτής αποτελεί η συμπεριφορά της f01 η οποία

. . . ..

. . . ..


76

καθορίζει αν υπάρχει κάποιο εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της EPT(tm0,tm1)

που να ικανοποιεί τη σχέση 0 1f f 0= = (περίπτωση 1 του πίνακα 3.1).

Πίνακας 3.1: Αναγκαίες και ικανές συνθήκες για το ολικό μέγιστο της EPT(tm0,tm1)

# Περιοχή του

πεδίου ορισμού Αναγκαίες συνθήκες Ικανές συνθήκες

1

tm0, tm1: θετικά

πεπερασμένα

με m1 m0t t<

( ) ( )0 m0 m1 1 m0 m1f t , t f t , t 0= = 01 m1f (t 0) 0= > και ( )

m001 m0t

lim f t 0→∞

<

με 0 1R R> ή/και ( ) ( )1 0h t h t>

2

m0t : θετικό

πεπερασμένο,

m1t 0=

( )0 m0f t ,0 0= και ( )1 m0f t ,0 0≤ 01 m1f (t 0) 0= ≤ και ( )0f 0,0 0>

3 m1 m0t t 0= = ( )0f 0,0 0≤ ( )0f 0,0 0≤

4

m0t →∞ ,

m1t : θετικό

πεπερασμένο

( )m0

0 m0 m1tlim f t , t 0→∞

≥ και

( )m0

1 m0 m1tlim f t , t 0→∞

=

( )m0

01 m0tlim f t 0→∞

≥ και

( )m0 m1

1 m0 m1t ,tlim f t , t 0

→∞<

5 m0 m1t , t →∞ ( )m0 m1


→∞≥ ( )

m0 m11 m0 m1t ,t

lim f t , t 0→∞

≥

6

tm0, tm1: θετικά

πεπερασμένα

με m1 m0t t=

( ) ( )0 m0 m1 1 m0 m1f t , t f t , t 0= = , ή

( )0 m0 m1f t , t 0< και ( )1 m0 m1f t , t 0>

01 m1f (t 0) 0= > και ( )m0


<

με 0 1R R= και ( ) ( )0 1h t h t≡

7 m1t 0= , m0t →∞

( )m0

0 m0tlim f t ,0 0→∞

≥ και

( )m0

1 m0tlim f t ,0 0→∞

≤

Αδύνατη η μεγιστοποίηση της

EPT(tm0,tm1) για m0t →∞ και m1t 0=

. . . ..

. . . ..


77

Συγκεκριμένα αποδεικνύεται ότι η f01 είναι γνησίως φθίνουσα ως προς το χρόνο

tm0 (ή εναλλακτικά ως προς τον tm1) και κατά συνέπεια μπορεί να μηδενιστεί το πολύ

μία φορά. Με άλλα λόγια, υπάρχει το πολύ ένα μόνο κρίσιμο σημείο πάνω στην AC.

Σημειώνεται ότι στη γενική περίπτωση, σε οποιοδήποτε σημείο πάνω στην AC θα

ισχύει m1 m0t t< εκτός αν οι δύο καταστάσεις ποιότητας ουσιαστικά ταυτίζονται

( ( ) ( )1 0h t h t≡ και 0 1R R= ) οπότε και η γραμμή AC συμπίπτει με τον περιορισμό

m1 m0t t= .

Δεδομένου ότι το πεδίο ορισμού της f01 αποτελείται από εκείνες τις τιμές tm0 (tm1)

που ικανοποιούν τη σχέση (3.10), αποδεικνύεται εύκολα ότι η μέγιστη τιμή της f01

προκύπτει για m1t 0= ή ισοδύναμα για m0t = 0m0t (σημείο Α στο σχήμα 3.1).

Αντιθέτως το κάτω όριο της f01 προκύπτει για m0t →∞ ή ισοδύναμα για την

αντίστοιχη τιμή tm1 ( ∞m1t ) όπως αυτή προκύπτει από τη σχέση (3.10) για m0t →∞ .

Συνεπώς, εάν ( )001 m0f t 0> και ( )

m001 m0t

lim f t 0→∞

< υπάρχει ακριβώς ένα σημείο (tm0,

tm1), με < ≤m1 m00 t t , για το οποίο ισχύει 0 1f f 0= = . Σε κάθε άλλη περίπτωση, αν

δηλαδή ( )001 m0f t 0≤ ή ( )

m001 m0t

lim f t 0→∞

≥ , είναι αδύνατο να μηδενιστεί η f01(tm0) για

οποιαδήποτε πεπερασμένη τιμή > 0m0 m0t t .

Βάσει αυτών διαχωρίζουμε τις παρακάτω τρεις εναλλακτικές περιπτώσεις:

Α. ( )001 m0f t 0> και ( )

m001 m0t

lim f t 0→∞

<

Β. ( )001 m0f t 0≤

Γ. ( )m0


≥ ,

οι οποίες μελετώνται διεξοδικά και προκύπτουν όλες οι ικανές συνθήκες για την

ύπαρξη κρίσιμου σημείου σε κάθε περιοχή του πεδίου ορισμού. Μέσω αυτής της

. . . ..

. . . ..


78

διαδικασίας αποδείχτηκε ότι υπάρχει πάντα ένα μοναδικό κρίσιμο σημείο της

EPT(tm0,tm1), το οποίο αποτελεί φυσικά τη μοναδική βέλτιστη λύση. Οι ικανές

συνθήκες που προέκυψαν παρουσιάζονται συνοπτικά στην τρίτη στήλη του πίνακα

3.1.

2η περίπτωση: Δεν υπάρχουν πεπερασμένες τιμές των μεταβλητών tm0 και tm1

που να ικανοποιούν τη συνθήκη ( ) ( )0 m0 m1 1 m0 m1f t ,t f t ,t= .

Δεδομένου ότι 0 1R R≥ και PW W> , και λαμβάνοντας υπ’ όψιν τη σχέση (3.10)

προκύπτει ότι η περίπτωση αυτή υφίσταται αν και μόνο αν

( )( ) ( )m0

0 10 m0 1t P

R Rlim h t h 0W W→∞

−< +

−.

Εν προκειμένω δεν υπάρχει η γραμμή AC στο σχήμα 3.1, ενώ ισχύει η σχέση

( ) ( )0 m0 m1 1 m0 m1f t , t f t , t> για κάθε πιθανή τιμή των tm0 και tm1.

Το θεώρημα 3.2 είναι ανάλογο του θεωρήματος 3.1 της προηγούμενης

περίπτωσης και παρουσιάζεται χωρίς απόδειξη επειδή η απόδειξή του είναι

παρόμοια με αυτήν του θεωρήματος 3.1.

Θεώρημα 3.2

Εάν i) ( )( ) ( )→∞

−< +

−m0

0 10 m0 1t P

R Rlim h t h 0W W

και ii) οι συναρτήσεις ρυθμού βλαβών

h0(t) και h1(t) είναι συνεχείς και γνησίως αύξουσες συναρτήσεις της ηλικίας του

εξοπλισμού t, τότε η βέλτιστη λύση του προβλήματος μεγιστοποίησης της EPT(tm0,tm1)

είναι μοναδική και οι βέλτιστες τιμές των tm0 και tm1 δίνονται από τις εξής σχέσεις:

Α. Εάν 0→∞

≥m0

0 m0tlim f ( t ,0 ) και 0

→∞≤

m01 m0t

lim f ( t ,0 ) , η μέγιστη τιμή της EPT(tm0,tm1)

προκύπτει για =m1t 0 και m0t →∞ .

Β. Εάν 0→∞

<m0

0 m0tlim f ( t ,0 ) και

. . . ..

. . . ..


79

α) >0f (0,0 ) 0 , η μέγιστη τιμή της EPT(tm0,tm1) προκύπτει για =m1t 0 και

>m0t 0 , τέτοιο ώστε:

( )∂ ∂ =m0 m1 m0EPT t ,t t 0 (οριζόντιος άξονας).

β) ≤0f (0,0 ) 0 , η μέγιστη τιμή της EPT(tm0,tm1) προκύπτει για = =m0 m1t t 0

(σημείο O).

Γ. Εάν 0→∞

>m0

1 m0tlim f ( t ,0 ) και

α) 0→∞

<m0 m1


και tm1 τέτοιο ώστε ( )→∞

∂ ∂ =m0

m0 m1 m1tlim EPT t ,t t 0 .

β) 0→∞

≥m0 m1


και m1t →∞ .

Χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα 3.1 και 3.2 είναι πλέον εύκολο να υπολογιστεί η

ακριβής βέλτιστη λύση του προβλήματος για κάθε είδος κατανομών και

οποιεσδήποτε τιμές των παραμέτρων.

Το θεώρημα 3.3 παρουσιάζει συνοπτικά την επίδραση των παραμέτρων R0, R1,

W και WΡ στη βέλτιστη λύση του προβλήματος. Όσα αναφέρονται στο θεώρημα 3.3

αφορούν την περίπτωση μεμονωμένης μεταβολής κάθε παραμέτρου διατηρώντας

όλα τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά του προβλήματος αμετάβλητα. Αν και τα σχετικά

συμπεράσματα διατυπώνονται για την περίπτωση πεπερασμένων τιμών tm0 και tm1

στη βέλτιστη λύση, εντούτοις με την κατάλληλη τροποποίηση μπορούν εύκολα να

επεκταθούν και για την περίπτωση μη πεπερασμένων τιμών tm0 και tm1.

Θεώρημα 3.3

α) Μείωση του R1 προκαλεί αύξηση της βέλτιστης τιμής tm0 και μείωση της

βέλτιστης τιμής tm1. Μόλις το tm1 μηδενιστεί οποιαδήποτε περαιτέρω μείωση της

τιμής του R1 δεν έχει πλέον καμία επίδραση στις βέλτιστες τιμές των tm0 και tm1.

. . . ..

. . . ..


80

β) Μείωση του R0 προκαλεί μείωση της βέλτιστης τιμής tm0 και αύξηση (ή καμία

μεταβολή) της βέλτιστης τιμής tm1. Ειδικότερα, αν ( ) ≤1f 0,0 0 η βέλτιστη τιμή του

tm1 είναι πάντα μηδέν ανεξάρτητα από την τιμή του R0, ενώ αν ( ) >1f 0,0 0 η

βέλτιστη τιμή του tm1 είναι μηδέν για μεγάλες τιμές του R0 (συγκριτικά με το R1)

και αυξάνεται όσο το R0 προσεγγίζει το R1.

γ) Αύξηση του WP προκαλεί αύξηση της βέλτιστης τιμής τόσο του tm0 όσο και του

tm1.

δ) Αύξηση του W προκαλεί μείωση της βέλτιστης τιμής του tm0 ενώ μπορεί να

προκαλέσει είτε μείωση είτε αύξηση της βέλτιστης τιμής του tm1 ανάλογα με τα

υπόλοιπα χαρακτηριστικά του προβλήματος.

Απόδειξη: Η απόδειξη του θεωρήματος 3.3 βασίζεται στο γεγονός ότι η

f0(tm0,tm1) ή/και η f1(tm0,tm1) παίρνουν την τιμή μηδέν στη βέλτιστη λύση. Δηλαδή,

ακριβώς μία από τις παρακάτω συνθήκες πρέπει να ικανοποιείται στη βέλτιστη λύση:

( ) ( )0 0 m0 PE(P)R h t W WE(T)

− − = (3.11)

( ) ( )1 1 m1 PE(P)R h t W WE(T)

− − = (3.12)

( ) ( ) ( ) ( )0 0 m0 P 1 1 m1 PE(P)R h t W W R h t W WE(T)

− − = − − = . (3.13)

Μελέτη της επίδρασης οποιασδήποτε μεταβολής των τιμών των παραμέτρων

που ενδιαφέρουν (R0, R1, W, WP) στις παραπάνω εξισώσεις προσδιορίζει το είδος

της μεταβολής των βέλτιστων τιμών tm0 και tm1.

Για παράδειγμα, στην περίπτωση όπου στην αρχική βέλτιστη λύση έχουμε

πεπερασμένες τιμές tm1, tm0 για τις οποίες ισχύει m1 m00 t t< < η λύση αυτή βρίσκεται

πάνω στη γραμμή AC του σχήματος 3.1 και ικανοποιεί τη σχέση (3.13). Ισχύει

δηλαδή

. . . ..

. . . ..


81

( ) ( ) ( ) ( )0 0 m0 P 1 1 m1 P 1E(P)R h t W W R h t W W KE(T)

− − = − − = = ,

όπου Κ1 το βέλτιστο μέσο κέρδος ανά μονάδα χρόνου. Για να μελετήσουμε την

επίδραση που θα είχε μείωση της τιμής του R0 στις βέλτιστες τιμές tm1 και tm0

ορίζουμε

( ) ( )0 0 m0 PA R h t W W= − − ,

( ) ( )1 1 m1 PB R h t W W= − − ,

E(P)ΓE(T)

= ,

οπότε ισχύει 0

Α 1R∂

=∂

, 0

B 0R∂

=∂

και ( )( )

0

0

E TΓ0 1R E T∂

< = <∂

. Άρα μείωση του R0 οδηγεί σε

νέες τιμές των Α, Β και Γ, οι οποίες συμβολίζονται Α΄, Β΄ και Γ΄ αντίστοιχα, για τις

οποίες ισχύει

1A A K′ < = ,

1B B K′ = = ,

1Γ Γ K′ < = .

Επιπλέον, θα ισχύει Γ A′ ′> εφόσον οι αρχικές τιμές των Α και Γ ήταν ίσες και η

παράγωγος του Α ως προς R0 είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη παράγωγο του Γ.

Στη νέα βέλτιστη λύση θα πρέπει και πάλι να ισχύει η σχέση (3.13) προφανώς

για νέες τιμές των Α, Β και Γ (έστω A′′ , B′′ και Γ′′ αντίστοιχα) και νέα τιμή του μέσου

κέρδους ανά μονάδα χρόνου (έστω Κ2). Θα έχουμε δηλαδή

2A B Γ K′′ ′′ ′′= = = .

Επιπλέον θα ισχύει 2 1Γ K K′ < < δεδομένου ότι μείωση του κέρδους R0 δε μπορεί

παρά να οδηγήσει σε χαμηλότερο βέλτιστο κέρδος από το αρχικό ( 2 1K K< ) και

. . . ..

. . . ..


82

προφανώς το βέλτιστο κέρδος θα είναι υψηλότερο από την τυχαία τιμή του κέρδους

ανά μονάδα χρόνου Γ΄ που προέκυψε μετά τη μείωση ( 2Γ K′ < ).

Επομένως, το Α΄ θα πρέπει να αυξηθεί στη νέα βέλτιστη λύση (εφόσον ισχύει

2A Γ K′ ′< < ), ενώ το Β΄ θα πρέπει να μειωθεί στη νέα βέλτιστη λύση (εφόσον ισχύει

1 2B K K′ = > ) έτσι ώστε να ικανοποιηθεί η σχέση 2A B Γ K′′ ′′ ′′= = = . Αύξηση του Α΄

έως την τιμή A′′ επιτυγχάνεται μόνο με μείωση του tm0 ενώ μείωση του Β΄ έως την

τιμή B′′ επιτυγχάνεται μόνο με αύξηση του tm1.

Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται η επίδραση οποιασδήποτε μεταβολής των

παραμέτρων που ενδιαφέρουν (R0, R1, W, WP) στις βέλτιστες τιμές tm0 και tm1.

3.1.3. Αριθμητικά παραδείγματα

Τα αριθμητικά παραδείγματα που παρουσιάζονται στην παράγραφο αυτή έχουν

δύο κυρίως στόχους:

1. τη μελέτη της επίδρασης στη βέλτιστη λύση των κατανομών του χρόνου

μέχρι την επίδραση της συστηματικής αιτίας και του χρόνου μέχρι την

εμφάνιση βλάβης στον εξοπλισμό και

2. τη διερεύνηση των μεταβολών που προκαλεί στη βέλτιστη λύση

διαφοροποίηση των τιμών των παραμέτρων R0 και R1.

Η παρουσίαση των σχετικών αποτελεσμάτων γίνεται σε δύο μέρη: το πρώτο

μέρος περιλαμβάνει τα αποτελέσματα που προκύπτουν από τη χρήση διαφορετικών

κατανομών διατηρώντας αμετάβλητες τις τιμές των υπολοίπων παραμέτρων του

προβλήματος, ενώ το δεύτερο μέρος περιλαμβάνει τα αποτελέσματα που

προκύπτουν από τη χρήση διαφορετικών τιμών για τα έσοδα παραγωγής R0 και R1

για συγκεκριμένες όμως κατανομές των χρόνων μέχρι την επίδραση της

συστηματικής αιτίας και μέχρι την εμφάνιση βλάβης.

. . . ..

. . . ..


83

Σε κάθε περίπτωση η διάρκεια και το κόστος επιδιόρθωσης της βλάβης καθώς

επίσης και η διάρκεια και το κόστος προληπτικής συντήρησης έχουν τις παρακάτω

τιμές:

• W 1000= ,

• PW 500= ,

• PZ Z 1= = .

Επίδραση του είδους των κατανομών στη βέλτιστη λύση

Οι εναλλακτικές κατανομές f(t) που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν το

μηχανισμό επίδρασης της συστηματικής αιτίας είναι η Weibull, η Erlang (Γάμμα με

ακέραια παράμετρο μορφής) και η εκθετική. Οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας

των κατανομών αυτών καθώς επίσης και οι τιμές των παραμέτρων που

χρησιμοποιήθηκαν παρουσιάζονται συνολικά στον πίνακα 3.2.

Πίνακας 3.2: Μηχανισμός επίδρασης συστηματικής αιτίας

Κατανομή Συνάρτηση πυκνότητας

πιθανότητας Τιμές

παραμέτρων

Weibull ( ) cc 1 λtf t λct e− −= ,

t>0, c>0, λ>0

c=1,4

λ=0,02338

Erlang ( ) ( ) ( )c 1λtf t λe λt c 1 !−−= − ,

t>0, c>0, λ>0

c=2

λ=0,15

Εκθετική ( ) λtf t λe−= ,

t>0, λ>0 λ=0,075

Οι τιμές των παραμέτρων για τις κατανομές Weibull και Erlang επιλέχθηκαν με

κριτήριο τη διασφάλιση ίσων μέσων τιμών (μ) και σχεδόν ίσων τυπικών αποκλίσεων

(σ) των χρόνων μέχρι την επίδραση της συστηματικής αιτίας ούτως ώστε τα

αποτελέσματα να είναι άμεσα συγκρίσιμα. Στην περίπτωση της εκθετικής κατανομής

. . . ..

. . . ..


84

η μοναδική παράμετρος επιλέχθηκε με κριτήριο τη διατήρηση της ίδιας μέσης τιμής

ενώ η τυπική απόκλιση είναι αναπόφευκτα μεγαλύτερη από αυτή των κατανομών

Weibull και Erlang.

Όσον αφορά το μηχανισμό εμφάνισης βλαβών σε κάθε κατάσταση λειτουργίας (0

και 1), χρησιμοποιούνται επίσης τρεις εναλλακτικές κατανομές φ0(t) και φ1(t): η

Weibull, η Erlang και η περικομμένη κανονική (με μόνο θετικές τιμές). Οι συναρτήσεις

πυκνότητας πιθανότητας των κατανομών αυτών, οι συναρτήσεις ρυθμού βλαβών

καθώς επίσης και οι τιμές των παραμέτρων που χρησιμοποιήθηκαν παρουσιάζονται

συνολικά στον πίνακα 3.3.

Πίνακας 3.3: Μηχανισμός εμφάνισης βλαβών

Κατανομή Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

Συνάρτηση ρυθμού βλαβών

Τιμές παραμέτρων

Weibull ( )

cii ic 1 λ t

i i iφ t λ c t e− −= ,

t>0, ci>0, λi>0

( ) ic 1i i ih t λ c t −= ,

t>0, ci>0, λi>0

L L0 1c c 2= =

L0λ 0,005= , L

1λ 0,01=

H H0 1c c 1,5= =

H0λ 0,01935= , H

1λ 0,0325=

Erlang ( ) ( )

( )ii

c 1λ ti i

ii

λ e λ tφ t

c 1 !

−−

=−

,

t>0, ci>0, λi>0

( )

( )( )( )( )

i

i

c 1i

ii

i d 1ci

d 1

λ tλ

c 1 !h t

λ td 1 !

−

−

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠=

−∑,

t>0, ci>0, λi>0

L L0 1c c 4= =

L0λ 0,3195= , L

1λ 0,4515=

H H0 1c c 2= =

H0λ 0,1596= , H

1λ 0,2257=

Περικομμένη Κανονική

( )

2i

i

2i

i

t μ12 σ

i t μ12 σ

0

eφ t

e dt

⎛ ⎞−− ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞−∞ − ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

∫

,

t>0, σi>0

( )

2i

i

2i

i

t μ12 σ

i x μ12 σ

t

eh t

e dx

⎛ ⎞−− ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞−∞ − ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

∫

,

t>0, σi>0

L0μ 11,7= , L

1μ 8,31=

L0σ 7,17= , L

1σ 5,05=

Η0μ 6,42= , Η

1μ 4,17=

Η0σ 12,28= , Η

1σ 8,92=

. . . ..

. . . ..


85

Και σ’ αυτήν την περίπτωση, προκειμένου να είναι συγκρίσιμα τα αποτελέσματα,

οι τιμές των παραμέτρων και για τις τρεις κατανομές επιλέχθηκαν με κριτήριο τη

διασφάλιση ίσων μέσων τιμών (μi) και σχεδόν ίσων τυπικών αποκλίσεων (σi) των

χρόνων μέχρι την εμφάνιση βλάβης για κάθε κατάσταση λειτουργίας i. Επιπλέον, για

να διερευνηθεί η επίδραση της διασποράς των χρόνων βλάβης στη βέλτιστη λύση,

όλες οι κατανομές εξετάστηκαν σε δύο επίπεδα μεταβλητότητας: ένα με μικρή και ένα

με μεγάλη τυπική απόκλιση ( Liσ και H

iσ αντίστοιχα). Οι τιμές των παραμέτρων των

κατανομών που αντιστοιχούν στο χαμηλό επίπεδο μεταβλητότητας έχουν τον εκθέτη

L στο συμβολισμό τους, ενώ αυτές που αντιστοιχούν στο υψηλό επίπεδο

μεταβλητότητας έχουν τον εκθέτη H. Οι παράμετροι που παρατίθενται στον πίνακα

3.3 για την περίπτωση των περικομμένων κανονικών κατανομών αντιστοιχούν στις

μέσες τιμές και τυπικές αποκλίσεις των αρχικών, μη περικομμένων, κατανομών.

Σημειώνεται ότι σε κάθε περίπτωση οι τιμές των παραμέτρων που

χρησιμοποιήθηκαν επιλέχθηκαν έτσι ώστε να διασφαλίζεται πως ο ρυθμός βλαβών

στην εκτός ελέγχου κατάσταση δεν είναι μικρότερος από το ρυθμό βλαβών στην

εντός ελέγχου κατάσταση για την ίδια ηλικία του εξοπλισμού.

Οι βέλτιστες λύσεις του προτύπου για κάθε συνδυασμό κατανομών και για τα

δύο επίπεδα μεταβλητότητας των χρόνων βλάβης παρουσιάζονται στον πίνακα 3.4.

Όλα τα αποτελέσματα του πίνακα 3.4 προέκυψαν χρησιμοποιώντας 0R 600= και

1R 500= .

Τα βασικά συμπεράσματα που προέκυψαν από την αριθμητική διερεύνηση του

πίνακα 3.4 συνοψίζονται στα εξής:

• Η κατανομή Erlang για το χρόνο μέχρι την επίδραση της συστηματικής αιτίας

οδηγεί σε κάπως μικρότερες βέλτιστες τιμές tm0 και tm1 από την κατανομή

Weibull, ενώ και οι δύο αυτές κατανομές οδηγούν σε σημαντικά μικρότερες

τιμές tm0 και tm1 από την εκθετική κατανομή. Σημειώνεται όμως πως η εκθετική

κατανομή χαρακτηρίζεται από μεγαλύτερη μεταβλητότητα.

. . . ..

. . . ..


86

Πίνακας 3.4: Βέλτιστες λύσεις για διάφορους συνδυασμούς κατανομών

f(t) φ0(t) - μ0=12,53 φ1(t) - μ1=8,86

Τυπική απόκλιση της φ0(t) και της φ1(t)

Βέλτιστο tm0

Βέλτιστο tm1

EPT EPT΄

L0σ 6,55= , L

1σ 4,63= 28,45 4,23 457,74 445,12 Weibull

H0σ 8,5= , H

1σ 6,02= 107,66 4,31 449,42 441,5

L0σ 6,27= , L

1σ 4,43= 71,81 3,92 459,33 446,23 Erlang

H0σ 8,86= , H

1σ 6,27= ∞ 3,71 448,59 441,54

L0σ 6,44= , L

1σ 4,54= 23,19 4,83 457,70 444,6

Weibull

μ=13,33

σ=9,64

Περικομμένη

κανονική H0σ 8,62= , H

1σ 6,16= 48,91 5,74 448,25 440,61

L0σ 6,55= , L

1σ 4,63= 28,13 4,07 459,35 446,26 Weibull

H0σ 8,5= , H

1σ 6,02= 105,6 4,06 450,87 442,52

L0σ 6,27= , L

1σ 4,43= 66,84 3,83 460,99 447,45 Erlang

H0σ 8,86= , H

1σ 6,27= ∞ 3,45 450,05 442,59

L0σ 6,44= , L

1σ 4,54= 23,03 4,68 459,31 445,69

Erlang

μ=13,33

σ=9,43



1σ 6,16= 48,43 5,38 449,60 441,52

L0σ 6,55= , L

1σ 4,63= 30,55 5,27 447,26 436,24 Weibull

H0σ 8,5= , H

1σ 6,02= 122,86 6,23 439,14 433,46

L0σ 6,27= , L

1σ 4,43= 188,09 4,71 449,03 437,15 Erlang

H0σ 8,86= , H

1σ 6,27= ∞ 5,34 438,32 433,55

L0σ 6,44= , L

1σ 4,54= ∞ 5,95 447,20 435,67

Εκθετική

μ=13,33

σ=13,33



1σ 6,16= ∞ 8,03 438,20 432,67

. . . ..

. . . ..


87

• Η κατανομή Erlang για το χρόνο μέχρι την εμφάνιση βλάβης οδηγεί επίσης σε

μικρότερες βέλτιστες τιμές tm1 αλλά μεγαλύτερες τιμές tm0 από την κατανομή

Weibull, η οποία με τη σειρά της οδηγεί σε μικρότερες βέλτιστες τιμές tm1 και

μεγαλύτερες βέλτιστες τιμές tm0 από την περικομμένη κανονική κατανομή.

• Αύξηση της τυπικής απόκλισης των χρόνων μέχρι την εμφάνιση βλάβης

οδηγεί σε αύξηση των βέλτιστων τιμών tm0, ενώ δεν έχει κάποια συστηματική

επίδραση στις βέλτιστες τιμές tm1.

Τέλος, διερευνήθηκε η οικονομική επίδραση που θα είχε η λανθασμένη υπόθεση

των εκθετικών κατανομών τόσο γα το μηχανισμό επίδρασης της συστηματικής αιτίας

όσο και για το μηχανισμό εμφάνισης βλαβών. Συγκεκριμένα, βρέθηκαν οι βέλτιστες

τιμές tm0 και tm1 που θα προέκυπταν αν όλες οι κατανομές ήταν εκθετικές (με τις ίδιες

μέσες τιμές των χρόνων μέχρι την επίδραση της συστηματικής αιτίας και εμφάνισης

βλάβης σε κάθε κατάσταση) και με εφαρμογή του προτύπου για τις πραγματικές

κατανομές υπολογίστηκε το μέσο κέρδος, EPT΄, αυτής της λύσης (που προφανώς

δεν είναι κατ’ ανάγκην η βέλτιστη). Οι τιμές EPT΄ αναγράφονται στην τελευταία στήλη

του πίνακα 3.4 και σύγκρισή τους με τις βέλτιστες τιμές ΕΡΤ οδηγεί στο αναμενόμενο

συμπέρασμα ότι σε όλες τις περιπτώσεις που εξετάστηκαν, συμπεριλαμβανομένων

και αυτών όπου η κατανομή του χρόνου μέχρι την επίδραση της συστηματικής αιτίας

ήταν όντως εκθετική, η λανθασμένη υπόθεση εκθετικών κατανομών οδηγεί σε λύση

που αντιστοιχεί σε χαμηλότερο μέσο κέρδος ανά μονάδα χρόνου.

Τα συμπεράσματα αυτής της αριθμητικής διερεύνησης δεν είναι οπωσδήποτε

γενικεύσιμα δεδομένου ότι σε όλα τα παραδείγματα που επιλύθηκαν

χρησιμοποιήθηκαν συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων R0, R1, W, WP, Z, ZP,

Παρόλα αυτά τα σχετικά αποτελέσματα αναμφίβολα αποδεικνύουν ότι η μορφή των

κατανομών των χρόνων μέχρι την επίδραση της συστηματικής αιτίας και μέχρι την

εμφάνιση βλάβης στον εξοπλισμό μπορεί να έχει σημαντική επίδραση στη βέλτιστη

λύση.

. . . ..

. . . ..


88

Επίδραση των εσόδων παραγωγής (R0 και R1) στη βέλτιστη λύση

Εν προκειμένω, μελετάται η περίπτωση όπου ο μηχανισμός βλαβών και στις δύο

καταστάσεις λειτουργίας περιγράφεται ικανοποιητικά από την κατανομή Weibull

(μ0=12,53, σ0=6,55, μ1=8,86, σ1=4,63), ενώ ο μηχανισμός επίδρασης της

συστηματικής αιτίας περιγράφεται ικανοποιητικά από την κατανομή Erlang (μ=13,33,

σ=9,43).

Χρησιμοποιώντας και πάλι τις τιμές 0R 600= και 1R 500= είναι πλέον εύκολο

με τη βοήθεια του θεωρήματος 3.1 να υπολογιστεί η βέλτιστη λύση του

προβλήματος. Συγκεκριμένα, υπολογίζεται ότι ( ) ( ) ( )1 0 1 Ph 0 R R W W 0,2+ − − = , ενώ

( )( )m0

0 m0tlim h t→∞

= +∞ . Επιπλέον, από τη σχέση (3.10) για m1t 0= προκύπτει ότι

0m0t =20 και επομένως ( )0

01 m0 f t = 389,14>0 , ενώ m0

01 m0tlim f (t )→∞

= −∞ . Κατά συνέπεια,

στο συγκεκριμένο παράδειγμα ικανοποιούνται οι συνθήκες της περίπτωσης (Α) του

θεωρήματος 3.1 και η βέλτιστη λύση είναι m0t 28,13= και m1t 4,07= .

Πίνακας 3.5: Επίδραση του R0 στη βέλτιστη λύση

R0 R1 tm0 tm1 EPT

1000 500 36,55 0 817,28

800 500 32,36 0 638,21

700 500 30,26 0 548,68

645,63 500 29,13 0 500,00

600 500 28,13 4,07 459,35

550 500 26,64 8,32 416,82

500 500 24,52 12,26 377,41

. . . ..

. . . ..


89

Στον πίνακα 3.5 παρουσιάζεται αναλυτικά η επίδραση της μεταβολής της τιμής

R0 στη βέλτιστη λύση που υπολογίστηκε. Παρουσιάζονται δηλαδή οι βέλτιστες τιμές

tm0, tm1 και EPT για 1R 500= και για R0 να μεταβάλλεται από 1000 έως 1500 R= .

Από τα αποτελέσματα του πίνακα 3.5 παρατηρείται ότι για υψηλές τιμές R0 σε σχέση

με την τιμή R1 (υψηλότερες από 645,63) η βέλτιστη τιμή του tm1 είναι μηδέν. Για

0R 645,63< , όμως, το tm1 παίρνει θετικές τιμές και αυξάνεται όσο το R0 μειώνεται.

Επιπλέον, από τον πίνακα 3.5 είναι εμφανές ότι η βέλτιστη τιμή tm0 μειώνεται όσο το

R0 μειώνεται.

Η συμπεριφορά αυτή της βέλτιστης λύσης ως προς τις τιμές R0 παριστάνεται

γραφικά στο σχήμα 3.2. Η βέλτιστη λύση κινείται αρχικά κατά μήκος του οριζόντιου

άξονα, από το σημείο D ( 0R 1000= ) μέχρι το σημείο A΄ ( 0R 645,63= ), ενώ μετά

κινείται πάνω στην καμπύλη A΄B με το tm1 να παίρνει τη μέγιστη τιμή του στο σημείο

B ( 0 1R R 500= = ).

Σχήμα 3.2: Επίδραση των R0 και R1 στη βέλτιστη λύση

tm0 O

tm0=tm1 tm1

20

40

20 40 DA΄A΄΄

C΄ C΄΄

C

Β

. . . ..

. . . ..


90

Για τη μελέτη της επίδρασης των τιμών R1 στη βέλτιστη λύση, ακολουθείται

παρόμοια διαδικασία θέτοντας 1R 500= και υπολογίζοντας τη βέλτιστη λύση για

διάφορες τιμές 1 0R R< . Τα σχετικά αποτελέσματα συνοψίζονται στις στήλες 3 έως 5

του πίνακα 3.6. Από τα αποτελέσματα αυτά παρατηρείται ότι για σχετικά υψηλές

τιμές του R1 που πλησιάζουν την τιμή R0 (υψηλότερες από 369,62) η βέλτιστη τιμή

tm1 μειώνεται ενώ η βέλτιστη τιμή tm0 αυξάνεται όσο το R1 μειώνεται. Περαιτέρω

μείωση του R1 ( 1R 369,62< ) δεν έχει ουσιαστικά καμία επίδραση στις βέλτιστες τιμές

tm0 και tm1. Η συμπεριφορά αυτή παριστάνεται επίσης γραφικά στο σχήμα 3.2, όπου η

βέλτιστη λύση κινείται πλέον πάνω στην καμπύλη BA΄΄, από το σημείο B ( 1R 500= )

μέχρι το σημείο A΄΄ ( 1R 369,62≤ ).

Πίνακας 3.6: Επίδραση του R1 στη βέλτιστη λύση

λ0=0,005, λ1=0,01 λ0=λ1=0,005

R0 R1 tm0 tm1 EPT tm0 tm1 EPT

500 500 24,52 12,26 377,41 22,08 22,08 389,60

500 450 25,67 7,84 371,63 24,62 14,62 376,93

500 400 26,06 3,03 369,69 25,99 5,99 370,05

500 369,62 26,08 0 369,62 26,08 0 369,62

500 300 26,08 0 369,62 26,08 0 369,62

500 -100 26,08 0 369,62 26,08 0 369,62

Η επίδραση των R0 και R1 στη βέλτιστη λύση, όπως αυτή περιγράφεται από το

θεώρημα 3.3 και παρουσιάζεται μέσω των αριθμητικών παραδειγμάτων που

επιλύθηκαν, είναι λογική και αναμενόμενη. Ουσιαστικά όσο οι τιμές R0 και R1

συγκλίνουν (είτε μέσω μείωσης του R0 είτε μέσω αύξησης του R1), η διαφορά μεταξύ

των δύο καταστάσεων ποιότητας όσον αφορά τα έσοδα παραγωγής αμβλύνεται και

. . . ..

. . . ..


91

κατά συνέπεια οι βέλτιστες τιμές tm0 και tm1 συγκλίνουν επίσης. Αντίθετα, απόμακρες

τιμές R0 και R1 οξύνουν τη διαφορά μεταξύ των δύο καταστάσεων οδηγώντας σε

σημαντική απόκλιση των βέλτιστων τιμών tm0 και tm1. Βεβαίως, υπενθυμίζεται ότι στη

γενική περίπτωση οι δύο καταστάσεις ποιότητας δε διαφοροποιούνται μόνο ως προς

τα έσοδα παραγωγής αλλά και ως προς την πιθανότητα βλάβης που τις

χαρακτηρίζει. Κατά συνέπεια, ακόμη και στην ειδική περίπτωση που ισχύει 0 1R R=

(τελευταία σειρά του πίνακα 3.5) οι βέλτιστες τιμές tm0 και tm1 δεν ταυτίζονται αλλά

διαφοροποιούνται λόγω του διαφορετικού ρυθμού βλαβών των δύο καταστάσεων.

Στις τρεις τελευταίες στήλες του πίνακα 3.6 αναγράφονται οι βέλτιστες λύσεις του

προβλήματος για την ειδική περίπτωση όπου οι δύο καταστάσεις χαρακτηρίζονται

από τον ίδιο ρυθμό βλαβών. Παρατηρείται και πάλι ότι, παρά το γεγονός ότι ο

εξοπλισμός έχει πλέον την ίδια πιθανότητα βλάβης ανεξάρτητα από την κατάσταση

λειτουργίας του, οι βέλτιστες τιμές tm0 και tm1 είναι γενικά διαφορετικές εξαιτίας των

διαφορετικών εσόδων παραγωγής, R0 και R1. Ειδικότερα, όσο μεγαλύτερη είναι η

διαφορά των τιμών R0 και R1, τόσο μεγαλύτερη είναι και η απόκλιση μεταξύ των

βέλτιστων τιμών tm0 και tm1. Μοναδική εξαίρεση αποτελεί η βέλτιστη λύση που

προκύπτει για 0 1R R= (πρώτη σειρά του πίνακα 3.6), όπου ισχύει m0 m1t t= . Στην

ακραία αυτή περίπτωση οι δύο καταστάσεις ποιότητας ουσιαστικά ταυτίζονται και θα

μπορούσαν να θεωρηθούν εξαρχής ως μία και μοναδική.

3.2. ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ

Στην παράγραφο αυτή εξετάζεται η περίπτωση όπου, επιπλέον της

επιδιορθωτικής συντήρησης λόγω βλάβης, ο εξοπλισμός συντηρείται προληπτικά

σύμφωνα με τα παρακάτω:

• Τέλεια προληπτική συντήρηση (ΡΜ) σε ηλικία tm0 που επαναφέρει τον

εξοπλισμό σε άριστη κατάσταση (ηλικία 0, κατάσταση 0).

. . . ..

. . . ..


92

• Ελάχιστη συντήρηση (ΜΜ) που αναβαθμίζει την κατάσταση λειτουργίας

του εξοπλισμού (από την κατάσταση 1 στην κατάσταση 0) χωρίς όμως

να επηρεάζει την ηλικία του.

Η ελάχιστη συντήρηση που εξετάζεται στην παράγραφο αυτή είναι εντελώς

ανάλογη με την αποκατάσταση ενδεχόμενης επίδρασης μιας συστηματικής αιτίας σε

κλασικά προβλήματα ελέγχου ποιότητας με τη μόνη διαφορά ότι, παρότι ενδεχόμενη

μετάβαση στην κατάσταση 1 γίνεται άμεσα αντιληπτή (λόγω της συνεχούς

παρακολούθησης του εξοπλισμού), η ελάχιστη συντήρηση δεν εκτελείται κατ’

ανάγκην αμέσως μετά τη μετάβαση. Με άλλα λόγια η ελάχιστη συντήρηση του

εξοπλισμού μπορεί εκούσια να μετατεθεί για κάποια χρονική στιγμή μετά τη στιγμή

της μετάβασης, αλλά οπωσδήποτε όχι αργότερα από την οριακή ηλικία tm0.

Συγκεκριμένα, θεωρούμε ότι υπάρχει μια οριακή ηλικία tm1 ( m1 m00 t t≤ ≤ ) πέραν

της οποίας η λειτουργία του εξοπλισμού στην κατάσταση 1 είναι οικονομικά

ασύμφορη λόγω του ιδιαίτερα αυξημένου ρυθμού βλαβών που τον χαρακτηρίζει.

Κατά συνέπεια, οποτεδήποτε εμφανιστεί επίδραση της συστηματικής αιτίας πριν από

την οριακή ηλικία tm1 ( m1t t≤ ), η παραγωγική διαδικασία συνεχίζεται χωρίς διακοπή

με τον εξοπλισμό να λειτουργεί στην εκτός ελέγχου κατάσταση, ενώ μόλις ο

εξοπλισμός φτάσει στην οριακή ηλικία tm1 εκτελείται ελάχιστη συντήρηση που τον

επαναφέρει στην εντός ελέγχου κατάσταση. Επιπλέον, οποτεδήποτε εμφανιστεί

επίδραση της συστηματικής αιτίας μετά την οριακή ηλικία tm1 ( m1 m0t t t< < ), η

παραγωγική διαδικασία διακόπτεται άμεσα και εκτελείται ελάχιστη συντήρηση του


Οι δύο ακραίες πολιτικές, m1t 0= και m1 m0t t= , αποτελούν ειδικές περιπτώσεις

της προτεινόμενης πολιτικής συντήρησης που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Η

πολιτική m1t 0= (AQM) υποδηλώνει την ανάγκη άμεσης επέμβασης στον εξοπλισμό

και ελάχιστης συντήρησής του οποτεδήποτε κι αν εμφανιστεί επίδραση της

. . . ..

. . . ..


93

συστηματικής αιτίας. Από την άλλη πλευρά, η πολιτική m1 m0t t= (PQM) υποδηλώνει

ότι δεν είναι σκόπιμη η ελάχιστη συντήρηση του εξοπλισμού λόγω της επίδρασης της

συστηματικής αιτίας παρά μόνο στην οριακή ηλικία tm0, οπότε και η λειτουργία του

εξοπλισμού διακόπτεται ούτως ή άλλως για την προγραμματισμένη προληπτική

συντήρηση.

Σε κάθε περίπτωση, η προγραμματισμένη τέλεια προληπτική συντήρηση έχει

κόστος WP και η εφαρμογή της οριοθετεί το τέλος ενός κύκλου λειτουργίας. Η

ελάχιστη συντήρηση, αντίστοιχα, έχει κόστος WM και μπορεί να εφαρμοστεί καμία,

μία ή περισσότερες φορές κατά τη διάρκεια ενός κύκλου. Θεωρούμε ότι το κόστος της

ελάχιστης συντήρησης είναι μικρότερο από το κόστος της τέλειας προληπτικής

συντήρησης, το οποίο με τη σειρά του είναι μικρότερο από το κόστος επιδιόρθωσης

βλάβης ( M PW W W< < ).


Οι παράμετροι του προβλήματος, καθώς επίσης και οι συμβολισμοί που

χρησιμοποιούνται δε διαφέρουν από ό,τι χρησιμοποιήθηκε στην περίπτωση της

τέλειας προληπτικής συντήρησης (ΡΜ) που παρουσιάστηκε στην παράγραφο 3.1.1.

Παρακάτω παρουσιάζονται κάποιες επιπλέον παράμετροι που αφορούν την ελάχιστη

συντήρηση (ΜΜ) και χρησιμοποιούνται στην κατάστρωση της συνάρτησης κέρδους:

ZΜ Μέση τιμή του χρόνου ελάχιστης συντήρησης του εξοπλισμού

WΜ Κόστος ελάχιστης συντήρησης του εξοπλισμού

Ε(ΜΜ) Μέσος αριθμός εφαρμογών ΜΜ σε έναν κύκλο λειτουργίας

Το μέσο κέρδος ανά μονάδα χρόνου θα υπολογιστεί και πάλι από το λόγο του

μέσου κέρδους ανά κύκλο προς τη μέση διάρκεια του κύκλου ως συνάρτηση των δύο

μεταβλητών απόφασης tm0 και tm1.

. . . ..

. . . ..


94


Κάθε κύκλος ξεκινά με τον εξοπλισμό σε άριστη κατάσταση (μηδενική ηλικία και

λειτουργία στην κατάσταση 0) και τελειώνει είτε με επιδιόρθωση βλάβης πριν από την

οριακή ηλικία tm0 είτε με τέλεια προληπτική συντήρηση στην ηλικία tm0. Σε κάθε

περίπτωση κατά τη διάρκεια του κύκλου η συστηματική αιτία ενδέχεται να μην έχει

επιδράσει καθόλου ή να έχει επιδράσει μία ή περισσότερες φορές. Κατά συνέπεια, η

συνολική διάρκεια του κύκλου αποτελείται από τις εξής υποπεριόδους:






απαιτείται για τέλεια προληπτική συντήρηση εάν ο κύκλος τελειώνει με

προληπτική συντήρηση στην ηλικία tm0.

• ΖΜ: μέσος χρόνος που απαιτείται για την ελάχιστη συντήρηση του εξοπλισμού

σε περίπτωση επίδρασης της συστηματικής αιτίας, όσες φορές χρειαστεί σε

κάθε κύκλο.


Εφόσον ο εξοπλισμός φτάσει στην ηλικία tm1 (είτε στην εντός ελέγχου είτε στην

εκτός ελέγχου κατάσταση) δεν επιτρέπεται πλέον σε αυτόν να λειτουργεί στην εκτός

ελέγχου κατάσταση για το υπόλοιπο του κύκλου. Ενδεχόμενη επίδραση της

συστηματικής αιτίας μετά το tm1 αναιρείται άμεσα με απευθείας εφαρμογή ΜΜ στον

εξοπλισμό. Συνεπώς, ο χρόνος κατά τον οποίο ο εξοπλισμός λειτουργεί στην

κατάσταση 0, T0, μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη: πριν και μετά το tm1.

Στην πρώτη περίπτωση η εντός ελέγχου λειτουργία διαρκεί έως το tm1 μόνο

εφόσον δεν προηγηθεί εμφάνιση βλάβης αλλά ούτε και επίδραση συστηματικής

. . . ..

. . . ..


95

αιτίας, το οποίο συμβαίνει με πιθανότητα ( ) ( )0 m1 m1Φ t F t . Σε κάθε άλλη περίπτωση η

εντός ελέγχου λειτουργία τερματίζεται κάποια χρονική στιγμή m1t t< είτε λόγω

βλάβης είτε λόγω επίδρασης της συστηματικής αιτίας. Λαμβάνοντας υπ’ όψιν αυτά τα

ενδεχόμενα προκύπτει η παρακάτω σχέση υπολογισμού της μέσης τιμής του χρόνου

Τ0 πριν το tm1:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m1 m1t t

0 m1 m1 0 m1 m1 0 00 0

Ε(Τ πριν το t ) t Φ t F t tφ t F t dt tf t Φ t dt= + +∫ ∫ .



( ) ( )m1t

0 m1 00

Ε(Τ πριν το t ) Φ t F t dt= ∫ . (3.14)

Στη δεύτερη περίπτωση (μέση τιμή του χρόνου Τ0 μετά το tm1) η εντός ελέγχου

λειτουργία διαρκεί είτε μέχρι το tm0 είτε μέχρι τη χρονική στιγμή εμφάνισης κάποιας

βλάβης πριν το tm0. Άρα η σχέση υπολογισμού της μέσης τιμής του χρόνου Τ0 μετά

το tm1, δεδομένου ότι ο εξοπλισμός λειτουργούσε σε ηλικία tm1, είναι:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )m0

m1

t0 m0 0

0 m1 m0 m1 m10 m1 0 m1t

Φ t φ tΕ(Τ μετά το t ) t t t t dt

Φ t Φ t= − + −∫ .



( )( )

m0

m1

t0

0 m10 m1t

Φ tΕ(Τ μετά το t ) dt

Φ t= ∫ . (3.15)

Τέλος, η πιθανότητα λειτουργίας του εξοπλισμού σε ηλικία tm1 δίνεται από τη

σχέση

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

m1

m1

t1 m1

t 0 m1 m1 010

Φ tp Φ t F t f t Φ t dt

Φ t= + ∫ , (3.16)

. . . ..

. . . ..


96

όπου ο πρώτος όρος εκφράζει την πιθανότητα ο εξοπλισμός να έχει λειτουργήσει

χωρίς βλάβη παραμένοντας στην κατάσταση 0 μέχρι το tm1, ενώ ο δεύτερος όρος

εκφράζει την πιθανότητα να έχει εμφανιστεί επίδραση της συστηματικής αιτίας πριν

το tm1 αλλά ο εξοπλισμός να συνεχίσει τη λειτουργία του στην κατάσταση 1 χωρίς

βλάβη μέχρι το tm1.

Ο συνολικός μέσος χρόνος λειτουργίας στην κατάσταση 0 σε έναν κύκλο δίνεται

από τη σχέση

( )m10 0 m1 t 0 m1E T Ε(Τ πριν το t ) p Ε(Τ μετά το t )= + ,

η οποία συνδυάζοντας τις σχέσεις (3.14) έως (3.16) γίνεται

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

m0m1 m1

m1

tt t1 m1 0

0 0 0 m1 m1 01 0 m10 0 t

Φ t Φ tE T Φ t F t dt Φ t F t f t Φ t dt dt

Φ t Φ t

⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

m0 m0m1 m1

m1 m1

t tt t1 m1 0

0 m1 0 01 0 m10 t 0 t

Φ t Φ tΦ t F t dt F t Φ t dt f t Φ t dt dt

Φ t Φ t= + +∫ ∫ ∫ ∫ . (3.17)


Ο εξοπλισμός λειτουργεί στην κατάσταση 1 κατά τη διάρκεια ενός κύκλου αν και

μόνο αν σημειωθεί επίδραση της συστηματικής αιτίας πριν το tm1, και δεν έχει βέβαια

προηγηθεί βλάβη. Ο χρόνος λειτουργίας στην κατάσταση 1, T1, διαρκεί είτε μέχρι το

tm1, οπότε και εκτελείται προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού, είτε μέχρι κάποια

βλάβη του εξοπλισμού πριν την οριακή ηλικία tm1. Βάσει αυτών ο μέσος χρόνος

λειτουργίας στην κατάσταση 1 σε έναν κύκλο δίνεται από τη σχέση

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )m1 m1 m1t t t

1 1 m11 0 m1 0

1 10 t 0

(t t)φ t Φ tΕ(Τ ) f t Φ t dt dt t t f(t)Φ t dt

Φ t Φ t′ ′−

′= + −∫ ∫ ∫ . (3.18)

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 2 του παραρτήματος Α, η σχέση αυτή καταλήγει

τελικά στη μορφή

. . . ..

. . . ..


97

( ) ( ) ( )( )

m1 m1t t1

1 010 t

Φ tΕ(Τ ) f t Φ t dt dt

Φ t

′′= ∫ ∫ . (3.19)

Πιθανότητα τέλειας προληπτικής συντήρησης και πιθανότητα βλάβης

Τέλεια προληπτική συντήρηση πραγματοποιείται οποτεδήποτε ο εξοπλισμός

φτάνει στην οριακή ηλικία tm0 χωρίς να σημειωθεί βλάβη. Η πιθανότητα λειτουργίας

του εξοπλισμού σε ηλικία tm1 δίνεται από τη σχέση (3.16), ενώ η πιθανότητα να μην

πάθει βλάβη ο εξοπλισμός στο διάστημα από το tm1 μέχρι το tm0, δεδομένου ότι

λειτουργούσε σε ηλικία tm1 είναι ( ) ( )0 m0 0 m1Φ t Φ t . Ενδεχόμενη επίδραση της

συστηματικής αιτίας μετά το tm1 δεν επηρεάζει καθόλου την πιθανότητα βλάβης του

εξοπλισμού εφόσον κάθε τέτοια επίδραση αναιρείται άμεσα με απευθείας εφαρμογή

ΜΜ και ο εξοπλισμός επανέρχεται στην κατάσταση 0.

Άρα η πιθανότητα τέλειας προληπτικής συντήρησης του εξοπλισμού σε έναν

κύκλο είναι

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

m1

m1

t0 m0 1 m1 0 m0

PM t 0 m1 m1 00 m1 1 0 m10

Φ t Φ t Φ tp p Φ t F t f t Φ t dt

Φ t Φ t Φ t

⎡ ⎤⎢ ⎥= = +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

m1t0 m0 1 m1

0 m0 m1 00 m1 10

Φ t Φ tΦ t F t f t Φ t dt

Φ t Φ t= + ∫ . (3.20)



Μέσος αριθμός εφαρμογών ΜΜ σε έναν κύκλο

Το νωρίτερο που θα εφαρμοστεί μία ΜΜ στον εξοπλισμό είναι σε ηλικία tm1 κι

αυτό μόνο στην περίπτωση που έχει προηγηθεί επίδραση της συστηματικής αιτίας

και ο εξοπλισμός συνεχίζει να λειτουργεί στο tm1. Άρα ο μέσος αριθμός ΜΜ μέχρι και

το tm1, που συμβολίζεται n1, ισούται με την πιθανότητα αυτού του ενδεχομένου και

δίνεται από τη σχέση

. . . ..

. . . ..


98

( ) ( ) ( )( )

m1t1 m1

1 010

Φ tn f t Φ t dt

Φ t= ∫ . (3.21)

Επιπλέον, ΜΜ ενδέχεται να πραγματοποιηθεί και μετά το tm1, κατόπιν επίδρασης

της συστηματικής αιτίας. Ο μέσος αριθμός ΜΜ μετά το tm1, δεδομένου ότι ο

εξοπλισμός λειτουργούσε στο tm1, συμβολίζεται n2 και υπολογίζεται σύμφωνα με το

λήμμα 3.1.

Λήμμα 3.1: Ο μέσος αριθμός εφαρμογών ελάχιστης συντήρησης (ΜΜ) στον

εξοπλισμό μετά το tm1 σε έναν κύκλο, δεδομένου ότι ο εξοπλισμός λειτουργεί στο tm1,


( )( )

( )= ∫m0

m1

t0

20 m1t

Φ tn h t dt

Φ t. (3.22)

Απόδειξη:

Θα υπολογιστεί πρώτα η πιθανότητα επίδρασης της συστηματικής αιτίας (και

άρα και εφαρμογής ΜΜ στον εξοπλισμό) ακριβώς n (n=1, 2,…..) φορές στο χρονικό

διάστημα (tm1, tm0), δεδομένου ότι ο εξοπλισμός λειτουργεί τη χρονική στιγμή/ηλικία

tm1. Ο υπολογισμός της πιθανότητας αυτής γίνεται αρχικά για n=1 και μετά για

μεγαλύτερες τιμές του n.

Η παραγωγική διαδικασία μεταβαίνει στην κατάσταση 1 ακριβώς μία φορά (n=1)

όταν πραγματοποιηθεί οποιοδήποτε από τα ακόλουθα δύο σενάρια:

α) Η παραγωγική διαδικασία μεταβαίνει στην κατάσταση 1 τη χρονική στιγμή t1,

όπου m1 1 m0t t t< < , χωρίς να έχει προηγηθεί βλάβη, μια ΜΜ πραγματοποιείται

άμεσα και επαναφέρει τη διαδικασία στην κατάσταση 0 και η λειτουργία του

εξοπλισμού συνεχίζεται χωρίς άλλη διακοπή (δε σημειώνεται ούτε επίδραση

της συστηματικής αιτίας αλλά ούτε και βλάβη του εξοπλισμού) μέχρι το tm0.

β) Η παραγωγική διαδικασία μεταβαίνει στην κατάσταση 1 τη χρονική στιγμή t1,

όπου m1 1 m0t t t< < , χωρίς να έχει προηγηθεί βλάβη, μια ΜΜ πραγματοποιείται

. . . ..

. . . ..


99

άμεσα και επαναφέρει τη διαδικασία στην κατάσταση 0 και η λειτουργία του

εξοπλισμού συνεχίζεται μέχρι την εμφάνιση κάποιας βλάβης σε χρόνο t<tm0,

ενώ δε σημειώνεται καμία άλλη επίδραση της συστηματικής αιτίας στο

χρονικό διάστημα (t1, t).

Η πιθανότητα επίδρασης της συστηματικής αιτίας (pqs) σε κάποιο χρόνο t1, όπου

m1 1 m0t t t< < , χωρίς να έχει προηγηθεί βλάβη δεδομένου ότι ο εξοπλισμός λειτουργεί

τη χρονική στιγμή tm1 δίνεται από τη σχέση

( )( )

( )( )

m0

m1

t1 0 1

qs 1m1 0 m1t

f t Φ tp dt

F t Φ t= ∫ . (3.23)

Η πιθανότητα να μη σημειωθεί ούτε επίδραση της συστηματικής αιτίας αλλά ούτε

και βλάβη του εξοπλισμού (pa) στο χρονικό διάστημα (t1, tm0) δίνεται από τη σχέση

( )( )

( )( )

0 m0 m0a

10 1

Φ t F tp

F tΦ t= , (3.24)

ενώ η πιθανότητα βλάβης (pb) στο ίδιο διάστημα δεδομένου ότι δε σημειώνεται

επίδραση της συστηματικής αιτίας από το t1 μέχρι τη βλάβη δίνεται από τη σχέση

( )( )

( )( )

m0

1

t0

b10 1t

φ t F tp dt

F tΦ t= ∫ . (3.25)

Η πιθανότητα μιας μόνο επίδρασης της συστηματικής αιτίας και άρα μιας μόνο

ΜΜ στον εξοπλισμό (P1) στο χρονικό διάστημα (tm1, tm0) προκύπτει συνδυάζοντας τις

σχέσεις (3.23) έως (3.25) και δίνεται από τη σχέση

( )1 qs a bP p p p= +

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

m0 m0 m0

m1 1 m1

t t t1 0 1 0 1 0 1 0 m0 m0

1 1m1 1 m1 10 m1 0 1 0 m1 0 1t t t

f t Φ t φ t F t f t Φ t Φ t F tdtdt dt

F t F t F t F tΦ t Φ t Φ t Φ t= +∫ ∫ ∫ . (3.26)

Χρησιμοποιώντας τη γνωστή σχέση ( ) ( ) ( )1 1 1h t f t F t= και απλοποιώντας

προκύπτει

. . . ..

. . . ..


100

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m0 m0 m0

m1 1 m1

t t t

1 1 0 1 0 m0 m0 1 1m1 0 m1 t t t

1P h t φ t F t dtdt Φ t F t h t dtF t Φ t

⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ .

Αντιστροφή της σειράς ολοκλήρωσης στο διπλό ολοκλήρωμα της παραπάνω σχέσης

οδηγεί τελικά στη σχέση

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m0 m0

m1 m1 m1

t tt

1 0 1 1 0 m0 m0 1 1m1 0 m1 t t t

1P φ t F t h t dt dt Φ t F t h t dtF t Φ t

⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

m0

m1

t

0 m1 0 m0 m0 m0 m1t

m1 0 m1

φ t F t H t H t dt Φ t F t H t H t

F t Φ t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦=∫

,

όπου ( ) ( )t

0

H t h x dx= ∫ .

Ακριβώς ανάλογα, η παραγωγική διαδικασία μεταβαίνει στην κατάσταση 1

ακριβώς δύο φορές (n=2) στο χρονικό διάστημα (tm1, tm0) εάν σημειωθεί επίδραση της

συστηματικής αιτίας τη χρονική στιγμή t1, όπου m1 1 m0t t t< < , χωρίς να έχει

προηγηθεί βλάβη (γεγονός που συμβαίνει με πιθανότητα pqs), μια ΜΜ

πραγματοποιείται άμεσα και επαναφέρει τη διαδικασία στην κατάσταση 0 και η

παραγωγική διαδικασία μεταβαίνει ακριβώς άλλη μία φορά στην κατάσταση 1 στο

χρόνο t2 μέσα στο χρονικό διάστημα (t1, tm0) που απομένει μέχρι το τέλος του κύκλου.

Η πιθανότητα ακριβώς μίας μετάβασης στην κατάσταση 1 στο διάστημα (t1, tm0) είναι

ανάλογη της πιθανότητας P1 της σχέσης (3.26) και γι’ αυτό το λόγο συμβολίζεται

P1(t1). Κατάλληλη τροποποίηση της σχέσης (3.26) έτσι ώστε να ισχύει για το

διάστημα (t1, tm0) οδηγεί στην παρακάτω σχέση υπολογισμού της πιθανότητας P2 (για

n=2):

( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

m0 m0 m0

m1 1 2

t t t1 0 1 2 0 2 0

2 qs 1 1 1 2m1 1 20 m1 0 1 0 2t t t

f t Φ t f t Φ t φ t F tP p P t dtdt dt

F t F t F tΦ t Φ t Φ t= = ∫ ∫ ∫

. . . ..

. . . ..


101

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

m0 m0

m1 1

t t1 0 1 2 0 2 0 m0 m0

2 1m1 1 20 m1 0 1 0 2t t

f t Φ t f t Φ t Φ t F tdt dt

F t F t F tΦ t Φ t Φ t+ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

m0 m0 m0 m0 m0

m1 1 2 m1 1

t t t t t

1 2 0 1 2 0 m0 m0 1 2 2 1t t t t t

m1 0 m1

h t h t φ t F t dtdt dt Φ t F t h t h t dt dt

F t Φ t

+

=∫ ∫ ∫ ∫ ∫

.

Αντιστρέφοντας τη σειρά ολοκλήρωσης και στα δύο ολοκληρώματα της παραπάνω

σχέσης και χρησιμοποιώντας τη σχέση

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

b2 2b

aa

H t H a H b H ah t H t H a dt

2 2

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎡ ⎤− = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

καταλήγουμε στη σχέση

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

m0 m01 2

m1 m1 m1 m1 m1

t tt tt

0 1 2 2 1 0 m0 m0 2 1 1 2t t t t t

2m1 0 m1

φ t F t h t h t dt dt dt Φ t F t h t h t dt dt

PF t Φ t

+

=∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

m0 m0

m1 m1 m1

t tt

0 1 1 m1 1 0 m0 m0 2 2 m1 2t t t

m1 0 m1

φ t F t h t H t H t dt dt Φ t F t h t H t H t dt

F t Φ t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦=∫ ∫ ∫

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

m0

m1

2 2tm1 m0 m1

0 0 m0 m0t

m1 0 m1

H t H t H t H tφ t F t dt Φ t F t

2 2

F t Φ t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦+

=∫

.

Γενίκευση της προηγούμενης ανάλυσης και στην περίπτωση όπου n>2 οδηγεί

στην ακόλουθη έκφραση της πιθανότητας Pn η παραγωγική διαδικασία να μεταβεί

στην κατάσταση 1 ακριβώς n φορές στο χρονικό διάστημα (tm1, tm0):

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

m0

m1

n ntm1 m0 m1

0 0 m0 m0t

nm1 0 m1

H t H t H t H tφ t F t dt Φ t F t

n! n!P

F t Φ t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦+

=∫

.

Ο μέσος αριθμός ΜΜ στο διάστημα (tm1, tm0) υπολογίζεται από τη σχέση

. . . ..

. . . ..


102

2 nn 1

n nP∞

=

= ∑

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

m0

m1

n ntm1 m0 m1

0 0 m0 m0n 1 n 1t

m1 0 m1

H t H t H t H tφ t F t n dt Φ t F t n

n! n!

F t Φ t

∞ ∞

= =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

∑ ∑∫.

Αξιοποιώντας το γεγονός ότι

( )n n 1

x

n 1 n 1

x xn x xen! n 1 !

∞ ∞ −

= =

= =−∑ ∑

και ( ) ( )H te F t− =

η σχέση για τον υπολογισμό του n2 γίνεται

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

m0m1 m0 m1

m1

tH t H t H t H t

0 m1 0 m0 m0 m0 m1t

2m1 0 m1

φ t F t H t H t e dt Φ t F t H t H t e

nF t Φ t

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦=∫

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )m0

m1

t

0 m1 0 m0 m0 m10 m1 t

1 φ t H t H t dt Φ t H t H tΦ t

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + −⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭∫ .

Τέλος, ολοκληρώνοντας τον όρο ( )m0

m1

t

0t

φ t dt∫ κατά παράγοντες και απλοποιώντας

οδηγούμαστε στην απλή μορφή της σχέσης του λήμματος 3.1:

( )( )

( )m0

m1

t0

20 m1t

Φ tn h t dt

Φ t= ∫ .

Ο μέσος συνολικός αριθμός ΜΜ καθ’ όλη τη διάρκεια του κύκλου δίνεται από τη

σχέση ( )m11 t 2E MM n p n= + , η οποία συνδυάζοντας τις σχέσεις (3.16), (3.21) και

(3.22) καταλήγει στη μορφή

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

m0m1 m1

m1

tt t1 m1 1 m1 0

0 0 m1 m1 01 1 0 m10 0 t

Φ t Φ t Φ tE MM f t Φ t dt Φ t F t f t Φ t dt h t dt

Φ t Φ t Φ t

⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

. . . ..

. . . ..


103

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )m0 m0m1 m1

m1 m1

t tt t1 m1 1 m1 0

0 m1 0 01 1 0 m10 t 0 t

Φ t Φ t Φ tf t Φ t dt F t Φ t h t dt f t Φ t dt h t dt

Φ t Φ t Φ t= + +∫ ∫ ∫ ∫ .

(3.27)



( ) ( )0 1 P PM PM MΕ(Τ) Ε(Τ ) E(T ) Z p Z 1- p Z E MM= + + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

= + +∫ ∫ ∫ ∫m0 m0m1 m1

m1 m1

t tt t1 m1 0

0 m1 0 01 0 m10 t 0 t

Φ t Φ tΦ t F t dt F t Φ t dt f t Φ t dt dt

Φ t Φ t

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

⎡ ⎤′′ ⎢ ⎥+ + + − +

⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫m1 m1 m1t t t

1 0 m0 1 m10 P 0 m0 m1 0

1 0 m1 10 t 0

Φ t Φ t Φ tf t Φ t dt dt Ζ Ζ Z Φ t F t f t Φ t dt

Φ t Φ t Φ t

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

⎡ ⎤⎢ ⎥+ + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

m0 m0m1 m1

m1 m1

t tt t1 m1 1 m1 0

M 0 m1 0 01 1 0 m10 t 0 t

Φ t Φ t Φ tZ f t Φ t dt F t Φ t h t dt f t Φ t dt h t dt

Φ t Φ t Φ t.

(3.28)











συντήρηση στην ηλικία tm0.

. . . ..

. . . ..


104

• Κόστος που απαιτείται για την ελάχιστη συντήρηση του εξοπλισμού (WM) σε

περίπτωση επίδρασης της συστηματικής αιτίας όσες φορές χρειαστεί σε κάθε

κύκλο.


( ) ( )0 0 1 1 P PM PM MΕ(P) R Ε(Τ ) R E(T ) - W p - W 1- p W E MM= + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

m0 m0m1 m1

m1 m1

t tt t1 m1 0

0 0 m1 0 01 0 m10 t 0 t

Φ t Φ tR Φ t F t dt F t Φ t dt f t Φ t dt dt

Φ t Φ t

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

⎡ ⎤′′ ⎢ ⎥+ − − − +

⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫m1 m1 m1t t t

1 0 m0 1 m11 0 P 0 m0 m1 0

1 0 m1 10 t 0

Φ t Φ t Φ tR f t Φ t dt dt W W W Φ t F t f t Φ t dt

Φ t Φ t Φ t

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )

⎡ ⎤⎢ ⎥− + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫

m0 m0m1 m1

m1 m1

t tt t1 m1 1 m1 0

M 0 m1 0 01 1 0 m10 t 0 t

Φ t Φ t Φ tW f t Φ t dt F t Φ t h t dt f t Φ t dt h t dt

Φ t Φ t Φ t.

(3.29)


Δεδομένου ότι η διαδικασία που μελετάται είναι και πάλι μια διαδικασία

ανανέωσης-ανταμοιβής, η μέση τιμή του κέρδους ανά μονάδα χρόνου ισούται με το

λόγο του μέσου κέρδους ανά κύκλο προς την μέση διάρκεια του κύκλου:

( )m0 m1E(P)EPT t , tE(T)

= . (3.30)

Προφανώς οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν για όλες τις πιθανές τιμές tm1, όπου

≤ ≤m1 m00 t t , συμπεριλαμβανομένων και των ακραίων πολιτικών AQM και PQM. Στη

δεύτερη περίπτωση, όπου =m1 m0t t , εάν ο εξοπλισμός λειτουργεί τη χρονική στιγμή

tm0 στην εκτός ελέγχου κατάσταση ουσιαστικά συνδυάζονται δύο ενέργειες

συντήρησης (ΜΜ και ΡΜ) με συνολικό κόστος +M PW W και συνολική διάρκεια

+M PZ Z . Αυτό συμβαίνει γιατί, σε αντίθεση με την παράγραφο 3.1 όπου η PM

επαναφέρει τον εξοπλισμό σε άριστη κατάσταση ανεξάρτητα από την τρέχουσα

. . . ..

. . . ..


105

κατάσταση λειτουργίας του, στην παράγραφο αυτή θεωρείται ότι η PM δεν μπορεί να

αναιρέσει την επίδραση της συστηματικής αιτίας. Κατά συνέπεια για να επανέλθει ο

εξοπλισμός σε άριστη κατάσταση (εντός ελέγχου και μηδενικής ηλικίας) ενώ

λειτουργεί εκτός ελέγχου δεν αρκεί η ΡΜ αλλά απαιτείται και η εφαρμογή ΜΜ που

επαναφέρει τον εξοπλισμό εντός ελέγχου. Ο συμβολισμός ΡΜ, δηλαδή,

χρησιμοποιείται για να περιγράψει ελαφρώς διαφορετικές ενέργειες συντήρησης στις

παραγράφους 3.1 και 3.2.


Τα αριθμητικά παραδείγματα που παρουσιάζονται στην παράγραφο αυτή

χωρίζονται σε δύο μέρη. Στο πρώτο μέρος διερευνάται η μορφή της βέλτιστης

πολιτικής συντήρησης για διάφορες περιπτώσεις προβλημάτων, ενώ στο δεύτερο

μέρος διερευνάται με συστηματικό τρόπο η επίδραση διαφόρων παραμέτρων του

προβλήματος στη βέλτιστη λύση.

Διερεύνηση της μορφής της βέλτιστης πολιτικής συντήρησης

Το πρότυπο που αναπτύχθηκε στην προηγούμενη παράγραφο επιτρέπει στο tm1

να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο διάστημα [0, tm0]. Ουσιαστικά, μέσω του προτύπου

συγκρίνεται, για δεδομένο tm0, το κόστος από την εφαρμογή ΜΜ πέρα από κάποια

ηλικία tm1 με τα οφέλη που προκύπτουν από την αναβάθμιση της κατάστασης

ποιότητας και επιλέγεται η βέλτιστη τιμή tm1. Στην πράξη, όμως, χάριν απλοποίησης

των διαδικασιών η εφαρμοζόμενη πολιτική συντήρησης είναι συνήθως μία από τις

δύο ακραίες, AQM ( =m1t 0 ) ή PQM ( =m1 m0t t ). Λειτουργία του εξοπλισμού δηλαδή

στην κατάσταση 1 είτε θεωρείται ανεπίτρεπτη και αντιμετωπίζεται άμεσα με ΜΜ

(πολιτική AQM) είτε θεωρείται γενικά ανεκτή και δεν αντιμετωπίζεται νωρίτερα από

την προγραμματισμένη προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού (πολιτική ΡQM). Η

επιλογή της εκάστοτε πολιτικής (AQM ή PQM) γίνεται στην πράξη εμπειρικά,

ανάλογα με το πόσο αποδεκτή ή όχι κρίνεται γενικά η κατάσταση 1 και πόσο

. . . ..

. . . ..


106

ανεπιθύμητες ή όχι οι επεμβάσεις στη διαδικασία για αποκατάσταση της εντός

ελέγχου λειτουργίας.

Συνεπώς, κρίθηκε σκόπιμο να διερευνηθεί η μορφή της βέλτιστης πολιτικής

συντήρησης και οι συνέπειες από την υιοθέτηση των ακραίων πολιτικών AQM και

PQM σε ένα μεγάλο αριθμό εναλλακτικών περιπτώσεων. Για το σκοπό αυτό

επιλύθηκαν 100 αριθμητικά παραδείγματα που καλύπτουν με τυχαίο τρόπο μεγάλο

εύρος πιθανών τιμών όλων των παραμέτρων του προβλήματος. Το εύρος των

επιτρεπτών τιμών για κάθε παράμετρο του προβλήματος αναγράφεται στον πίνακα

3.7.

Πίνακας 3.7: Εύρος τιμών των παραμέτρων του προβλήματος

Παράμετρος Εύρος επιτρεπτών τιμών

R0 100 -1000

R1 0 - R0

W 100 - 1000

WP 0,1W - W

WM 0,1WP - WP

Z = ZP 0,5 – 1,5

ZM 0,1Z - Z

ci 1,5 - 4 (0,5)

μ0 15 – 60 φi: Weibull (μέση τιμή μi)

μ1 10 - μ0

c 1,5 - 4 (0,5) f: Weibull (μέση τιμή μ)

μ 15 – 60

ci 2 - 3 – 4

μ0 15 – 60 φi: Erlang (μέση τιμή μi)

μ1 10 - μ0

c 1 - 2 - 3 – 4 f: Erlang (μέση τιμή μ)

μ 15 – 60

. . . ..

. . . ..


107

Χρησιμοποιήθηκαν δύο εναλλακτικές κατανομές (Weibull και Erlang) για την

περιγραφή τόσο του μηχανισμού επίδρασης της συστηματικής αιτίας όσο και του

μηχανισμού εμφάνισης βλαβών. Οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας καθώς

επίσης και οι συναρτήσεις ρυθμού βλαβών των κατανομών αυτών παρουσιάστηκαν

ήδη στον πίνακα 3.3 της παραγράφου 3.1.3. Όπως και στα αριθμητικά παραδείγματα

της παραγράφου 3.1.3, έτσι και εδώ οι τιμές των παραμέτρων που

χρησιμοποιήθηκαν και για τους δύο τύπους κατανομών επιλέχθηκαν έτσι ώστε να

διασφαλίζεται ότι ο ρυθμός βλαβών στην κατάσταση 1 δεν είναι ποτέ μικρότερος από

το ρυθμό βλαβών στην κατάσταση 0 για την ίδια ηλικία εξοπλισμού.

Η βελτιστοποίηση της συνάρτησης κέρδους πραγματοποιείται υπολογίζοντας

κάθε φορά το μέσο κέρδος ανά μονάδα χρόνου για όλα τα tm0 και tm1 υπό την

προϋπόθεση ότι ικανοποιείται ο περιορισμός ≤ ≤m1 m00 t t . Προς διευκόλυνση των

σχετικών υπολογισμών, η διερεύνηση περιορίστηκε σε ακέραιες τιμές tm0 και tm1. Η

αναζήτηση της βέλτιστης λύσης ξεκινά με αρχικές τιμές = =m1 m0t t 0 και τερματίζεται

μόλις παρατηρηθεί ότι περαιτέρω αύξηση των τιμών tm0 και tm1 δεν έχει πλέον καμία

ουσιαστική επίδραση στο βέλτιστο κέρδος, όταν δηλαδή η πιθανότητα βλάβης του

εξοπλισμού τείνει πρακτικά στην τιμή 1.

Τα σημαντικότερα συμπεράσματα που προέκυψαν από το σύνολο των 100

αριθμητικών παραδειγμάτων συνοψίζονται στα εξής;

• Σε όλες τις περιπτώσεις η βέλτιστη πολιτική συντήρησης είναι μία από τις

δύο ακραίες πολιτικές, είτε AQM ( =m1t 0 ) είτε PQM ( =m1 m0t t ). Στην

πλειοψηφία δε των περιπτώσεων που εξετάστηκαν (90 από τις 100) η

βέλτιστη πολιτική ήταν τύπου AQM.

• Στις 10 περιπτώσεις όπου η πολιτική AQM δεν είναι βέλτιστη, λανθασμένη

υιοθέτησή της οδηγεί σε μείωση του κέρδους που ανέρχεται στο 7,1% κατά

μέσο όρο και κυμαίνεται από 0,04% έως και 30,8%. Αντίστοιχα, στις 90

. . . ..

. . . ..


108

περιπτώσεις όπου η πολιτική ΡQM δεν είναι βέλτιστη, λανθασμένη

υιοθέτησή της οδηγεί σε μείωση του κέρδους που ανέρχεται στο 6,6% κατά

μέσο όρο και κυμαίνεται από 0,02% έως και 31,8%.

• Στις περιπτώσεις που οι χρόνοι μέχρι την εμφάνιση βλάβης ακολουθούν

κατανομή Erlang, συχνά προκύπτει ότι είναι βέλτιστο να μην εφαρμόζεται

ποτέ προληπτική συντήρηση (ΡΜ) στον εξοπλισμό ( →∞m0t ). Το φαινόμενο

αυτό εξηγείται λογικά από το γεγονός ότι ο ρυθμός βλαβών της κατανομής

Erlang τείνει σε κάποια σταθερή τιμή, καθώς αυξάνεται η ηλικία του

εξοπλισμού, η οποία είναι πιθανό να θεωρείται αποδεκτή και να μη

δικαιολογεί την προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού.

Αξίζει να αναφερθεί στο σημείο αυτό ότι παρότι σε όλα τα αριθμητικά

παραδείγματα αυτής της παραγράφου (τόσο στα 100 που προηγήθηκαν όσα και στα

επόμενα 48 που παρουσιάζονται στον πίνακα 3.9) η βέλτιστη λύση οδηγεί σε μία

από τις δύο ακραίες πολιτικές ( =m1t 0 ή =m1 m0t t ), στη γενική περίπτωση η βέλτιστη

λύση δεν είναι κατ’ ανάγκην μοναδική. Κάποιες φορές η συνάρτηση του μέσου

κέρδους ανά μονάδα χρόνου είναι σχεδόν επίπεδη για ένα εύρος τιμών tm1, που

εκτείνεται από την τιμή =m1t 0 μέχρι κάποια οριακή τιμή tm1, με αποτέλεσμα όλες οι

τιμές tm1 σε αυτό το εύρος να μπορούν να θεωρηθούν βέλτιστες. Σε τέτοιες

περιπτώσεις ενδεχομένως να είναι σκόπιμο να επιλεγεί η μέγιστη τιμή tm1 στο εύρος

των «βέλτιστων» τιμών ούτως ώστε να ελαχιστοποιηθούν οι επεμβάσεις στη

διαδικασία που οφείλονται σε ενέργειες ελάχιστης συντήρησης (ΜΜ) προς

αποκατάσταση της λειτουργίας στην κατάσταση 0.

Παρόλα αυτά, από την εκτενή αριθμητική διερεύνηση που πραγματοποιήθηκε

στην παράγραφο αυτή προκύπτει πως μία από τις δύο ακραίες πολιτικές είναι πάντα

βέλτιστη, ακόμη και στην περίπτωση των πολλαπλών βέλτιστων τιμών tm1. Αν και η

αναλυτική απόδειξη μιας τέτοιας ιδιότητας δεν κατέστη δυνατή λόγω της μαθηματικής

πολυπλοκότητας της συνάρτησης κέρδους, η παρατήρηση αυτή είναι γενικά

. . . ..

. . . ..


109

σημαντική δεδομένου ότι θα μπορούσε να περιορίσει την αναζήτηση της βέλτιστης

λύσης μόνο μεταξύ των δύο ακραίων πολιτικών συντήρησης AQM και PQM,

απλουστεύοντας σημαντικά την υπολογιστική διαδικασία.

Επίδραση παραμέτρων του προβλήματος στη βέλτιστη λύση

Για τη συστηματική διερεύνηση της επίδρασης διαφόρων παραμέτρων του

προβλήματος στη βέλτιστη λύση, επιλύθηκαν 48 παραδείγματα που

διαφοροποιούνται ως προς κάποια βασικά χαρακτηριστικά της διαδικασίας, όπως τα

έσοδα παραγωγής, τα κόστη συντήρησης και οι μηχανισμοί επίδρασης της

συστηματικής αιτίας και εμφάνισης βλαβών.

Συγκεκριμένα, για την περιγραφή του μηχανισμού επίδρασης της συστηματικής

αιτίας αλλά και του μηχανισμού εμφάνισης βλαβών σε κάθε κατάσταση i (i=0,1)

χρησιμοποιήθηκε η κατανομή Weibull. Οι παράμετροι λ, λ1, R1 και WP εξετάστηκαν σε

δύο επίπεδα τιμών έκαστη, τα οποία και παρουσιάζονται στον πίνακα 3.8, ενώ για τις

παραμέτρους WM και ZM χρησιμοποιήθηκαν οι εξής συνδυασμοί τιμών:

(α) =M PW 0,25W και =M PZ 0,25Z ,

(β) =M PW 0,25W και =M PZ 0,75Z ,

(γ) =M PW 0,75W και =M PZ 0,25Z .

Οι τιμές των υπολοίπων παραμέτρων του προβλήματος και για τα 48 παραδείγματα

είναι: = =0 1c c 2 , =c 1,5 , =0λ 0,004 , =0R 300 , = =PZ Z 1, =W 800 . Οι 48

διαφορετικές περιπτώσεις αριθμούνται από 1α, 1β, 1γ έως 16α, 16β, 16γ, όπου η

ένδειξη α, β ή γ υποδεικνύει τον αντίστοιχο συνδυασμό τιμών WM και ZM.

Πίνακας 3.8: Τιμές παραμέτρων για την αριθμητική διερεύνηση

λ λ1 R1 WP

0,02 0,004 200 200

0,05 0,009 250 600

. . . ..

. . . ..


110

Στον πίνακα 3.9 αναγράφονται οι βέλτιστες οριακές ηλικίες συντήρησης tm1 και

tm0 καθώς επίσης και το αντίστοιχο μέγιστο κέρδος ανά μονάδα χρόνου, EPT, για

όλες τις περιπτώσεις. Επισημαίνεται ότι, όπως και στα προηγούμενα 100 αριθμητικά

παραδείγματα, σε όλες τις περιπτώσεις η βέλτιστη πολιτική είναι πάντα μία από τις

δύο ακραίες πολιτικές, είτε AQM (34 περιπτώσεις) είτε PQM (14 περιπτώσεις). Στις

12 από τις 14 περιπτώσεις όπου η παθητική πολιτική συντήρησης (PQM) είναι

βέλτιστη, δεν ενδείκνυται ουσιαστικά η εφαρμογή καμίας ενέργειας προληπτικής

συντήρησης ( = = ∞m1 m0t t ), ούτε τέλειας (ΡΜ) αλλά ούτε και ελάχιστης (ΜΜ). Στις 4

τελευταίες στήλες του πίνακα 3.9 αναγράφονται οι βέλτιστες λύσεις των δύο ακραίων

πολιτικών καθώς επίσης και η ποσοστιαία επιβάρυνση στο κέρδος που προκύπτει

από την εφαρμογή τους όταν οι πολιτικές αυτές δεν είναι βέλτιστες. Προφανώς, όταν

μία εκ των δύο αυτών πολιτικών είναι ούτως ή άλλως βέλτιστη, η αντίστοιχη

ποσοστιαία επιβάρυνση είναι μηδενική.

Η επίδραση των τιμών των παραμέτρων που εξετάστηκαν στη βέλτιστη πολιτική

καθώς επίσης και στα οφέλη που προκύπτουν από τη χρήση του προτύπου έναντι

της άκριτης υιοθέτησης μιας εκ των δύο ακραίων πολιτικών συνοψίζονται στα εξής:

• Μεγάλες τιμές R1 ( ≤1 0R R ) ή/και μικρές τιμές λ1 ( ≥1 0λ λ ) υπονοούν

ουσιαστικά ότι η κατάσταση 1 (εκτός ελέγχου) δεν είναι σημαντικά

«χειρότερη» από την κατάσταση 0 (εντός ελέγχου) από πλευράς εσόδων

ή/και ρυθμού βλαβών αντίστοιχα. Κατά συνέπεια, ίσως είναι προτιμότερο

να επιτραπεί η λειτουργία του εξοπλισμού στην κατάσταση 1 παρά να

εφαρμοστεί ΜΜ για την αναβάθμιση της κατάστασής του. Σε τέτοιες

περιπτώσεις, λοιπόν, η πολιτική PQM τείνει να υπερέχει οικονομικά της

πολιτικής AQM. Κατ’ αντιστοιχία η οικονομική επιβάρυνση που

προκύπτει από τη λανθασμένη υιοθέτηση της πολιτικής AQM όταν η

PQM είναι βέλτιστη αυξάνεται όσο το R1 αυξάνεται ή/και όσο το λ1

μειώνεται. Αυτό συμβαίνει γιατί αύξηση του R1 καθώς επίσης και μείωση

. . . ..

. . . ..


111

του λ1 αυξάνουν το μέσο κέρδος για τις περιπτώσεις όπου =m1 m0t t

(πολιτική PQM), ενώ δε μεταβάλλουν το μέσο κέρδος για τις περιπτώσεις

όπου =m1t 0 (πολιτική AQM) οδηγώντας τελικά σε απόκλιση των δύο

πολιτικών.

• Οι συνδυασμοί β ( =M PW 0,25W , =M PZ 0,75Z ) και γ ( =M PW 0,75W ,

=M PZ 0,25Z ) των παραμέτρων WM και ZM χαρακτηρίζονται από

αυξημένο κόστος ή νεκρούς χρόνους συντήρησης σε σχέση με το

συνδυασμό α ( =M PW 0,25W , =M PZ 0,25Z ), με αποτέλεσμα να είναι

προτιμότερη η πολιτική PQM στους συνδυασμούς β και γ. Η οικονομική

επιβάρυνση που προκύπτει από τη λανθασμένη υιοθέτηση της πολιτικής

AQM όταν η PQM είναι βέλτιστη αυξάνεται όσο μετακινούμαστε από τον

συνδυασμό α των WM και ZM στους συνδυασμούς β ή γ, ενώ αντίθετα η

οικονομική επιβάρυνση που προκύπτει από τη λανθασμένη υιοθέτηση

της πολιτικής ΡQM όταν η ΑQM είναι βέλτιστη μειώνεται. Αυτό συμβαίνει

γιατί οι αυξημένες τιμές του κόστους ή της διάρκειας της ελάχιστης

συντήρησης των συνδυασμών β και γ τείνουν να επηρεάζουν εντονότερα

τις περιπτώσεις όπου =m1t 0 από αυτές όπου =m1 m0t t .

• Μεγάλες τιμές WP ή/και μεγάλες τιμές λ υποδηλώνουν πιο ακριβές ή πιο

συχνές ενέργειες ΜΜ με αποτέλεσμα να καθιστούν προτιμότερη την

πολιτική PQM. Η οικονομική επιβάρυνση που προκύπτει από τη

λανθασμένη υιοθέτηση της πολιτικής AQM όταν η PQM είναι βέλτιστη

αυξάνεται όσο το WP ή/και το λ αυξάνεται, λόγω της αρνητικής επίδρασης

και των δύο αυτών παραμέτρων στο συνολικό κόστος των ΜΜ. Η

οικονομική επιβάρυνση, όμως, που προκύπτει από τη λανθασμένη

υιοθέτηση της πολιτικής ΡQM όταν η ΑQM είναι βέλτιστη ενδέχεται είτε

να αυξηθεί είτε να μειωθεί όσο το WP ή/και το λ αυξάνονται.

. . . ..

. . . ..


112

Πίνακας 3.9: Εύρεση της βέλτιστης πολιτικής και αξιολόγηση των ακραίων πολιτικών AQM

και PQM.

Παράμετροι Βέλτιστη πολιτική AQM Επιβάρυνση PQM Επιβάρυνση

# λ1 λ R1 WP

MM tm1 tm0 EPT tm0

(tm1=0) (%) tm1=tm0 (%) α 0 13 224,80 13 0 10 7,4 β 0 12 218,73 12 0 10 6,2 1 0,004 0,02 200 200 γ 0 12 218,20 12 0 10 6,1 α 0 34 211,13 34 0 ∞ 9,3 β ∞ ∞ 191,42 24 1.4 ∞ 0 2 0,004 0,02 200 600 γ 0 30 203,50 30 0 ∞ 5,9 α 0 13 224,80 13 0 12 3,3 β 0 12 218,73 12 0 12 1,9 3 0,004 0,02 250 200 γ 0 12 218,20 12 0 12 1,8 α 0 34 211,13 34 0 ∞ 1,0 β ∞ ∞ 209,08 24 9,7 ∞ 0 4 0,004 0,02 250 600 γ ∞ ∞ 209,08 30 2,7 ∞ 0 α 0 12 215,45 12 0 8 11,6 β 0 10 201,49 10 0 9 8,5 5 0,004 0,05 200 200 γ 0 10 201,40 10 0 9 8,3 α 0 24 189,12 24 0 ∞ 9,0 β ∞ ∞ 172,16 14 19,2 ∞ 0 6 0,004 0,05 200 600 γ 0 20 173,91 20 0 ∞ 1,0 α 0 12 215,45 12 0 11 4,2 β 14 14 202,43 10 0,5 14 0 7 0,004 0,05 250 200 γ 14 14 202,39 10 0,5 14 0 α ∞ ∞ 199,44 24 5,2 ∞ 0 β ∞ ∞ 199,44 14 30,2 ∞ 0 8 0,004 0,05 250 600 γ ∞ ∞ 199,44 20 12,8 ∞ 0 α 0 13 224,80 13 0 9 8,9 β 0 12 218,73 12 0 9 7,6 9 0,009 0,02 200 200 γ 0 12 218,20 12 0 9 7,4 α 0 34 211,13 34 0 ∞ 10,1 β ∞ ∞ 189,89 24 0,6 ∞ 0 10 0,009 0,02 200 600 γ 0 30 203,50 30 0 ∞ 6,7 α 0 13 224,80 13 0 10 5,8 β 0 12 218,73 12 0 10 4,2 11 0,009 0,02 250 200 γ 0 12 218,20 12 0 10 4,1 α 0 34 211,13 34 0 ∞ 4,4 β ∞ ∞ 201,77 24 6,4 ∞ 0 12 0,009 0,02 250 600 γ 0 30 203,50 30 0 ∞ 0,8 α 0 12 215,45 12 0 7 14,2 β 0 10 201,49 10 0 7 11,1 13 0,009 0,05 200 200 γ 0 10 201,40 10 0 7 10,8 α 0 24 189,12 24 0 ∞ 13,2 β ∞ ∞ 164,10 14 15,2 ∞ 0 14 0,009 0,05 200 600 γ 0 20 173,91 20 0 ∞ 5,6 α 0 12 215,45 12 0 8 8,7 β 0 10 201,49 10 0 9 4,7 15 0,009 0,05 250 200 γ 0 10 201,40 10 0 9 4,6 α 0 24 189,12 24 0 ∞ 2,3 β ∞ ∞ 184,82 14 24,7 ∞ 0 16 0,009 0,05 250 600 γ ∞ ∞ 184,82 20 5,9 ∞ 0

. . . ..

. . . ..


113

Εκτός αυτών, μελετήθηκε επίσης μεμονωμένα η επίδραση της παραμέτρου WP,

διατηρώντας την τιμή WM αμετάβλητη και παρατηρήθηκε ότι η βέλτιστη πολιτική

συντήρησης δε διαφοροποιήθηκε σε καμία από τις περιπτώσεις του πίνακα 3.9.

Τέλος, μελετήθηκε και η επίδραση της μεταβλητότητας του μηχανισμού βλαβών

χρησιμοποιώντας = =0 1c c 3 έναντι των = =0 1c c 2 και στις 48 περιπτώσεις του

πίνακα 3.9 και τροποποιώντας κατάλληλα τις τιμές λ0 και λ1 ούτως ώστε να

διατηρηθούν οι ίδιες μέσες τιμές των χρόνων μέχρι την εμφάνιση βλάβης και στις δύο

καταστάσεις ποιότητας. Από τη διερεύνηση αυτή δεν προέκυψε κάποια συστηματική

επίδραση της μεταβλητότητας του μηχανισμού βλαβών στη βέλτιστη πολιτική αλλά

ούτε και στην ποσοστιαία επιβάρυνση που προκαλείται από τη λανθασμένη

υιοθέτηση μιας εκ των δύο ακραίων πολιτικών.

. . . ..

. . . ..

Συντήρηση με περιοδικό έλεγχο

115

4. ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΜΕ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΕΛΕΓΧΟ

Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζεται πρόβλημα παρόμοιο με αυτό του προηγούμενου

κεφαλαίου με τη βασική διαφορά ότι ο έλεγχος της διαδικασίας και επομένως η

γνώση της τρέχουσας κατάστασης του εξοπλισμού δεν είναι συνεχής. Ειδικότερα, τα

χαρακτηριστικά του προβλήματος και οι υποθέσεις που αφορούν το μηχανισμό

επιδείνωσης της κατάστασης του εξοπλισμού και παρουσιάστηκαν αναλυτικά στο

κεφάλαιο 3 ισχύουν και σ’ αυτό το κεφάλαιο. Επιπλέον, εξετάζονται και πάλι δύο

πολιτικές προληπτικής συντήρησης: μία που περιλαμβάνει τέλεια προληπτική

συντήρηση και μία που περιλαμβάνει ελάχιστη προληπτική συντήρηση στην εκτός

ελέγχου κατάσταση. Σε κάθε περίπτωση βέβαια ενδεχόμενη βλάβη γίνεται άμεσα

αντιληπτή και αντιμετωπίζεται με τέλεια επιδιορθωτική συντήρηση, ενώ ο εξοπλισμός

δεν επιτρέπεται να λειτουργήσει πέρα από την οριακή ηλικία tm0 οπότε και

συντηρείται τέλεια.

Η διαφοροποίηση λοιπόν των προτύπων αυτού του κεφαλαίου σε σχέση με τα

πρότυπα του κεφαλαίου 3 έγκειται στο μηχανισμό παρακολούθησης του εξοπλισμού

που επηρεάζει άμεσα και την εξέλιξη της διαδικασίας. Συγκεκριμένα, εφόσον

αποκλείεται να εκτελεστεί προληπτική συντήρηση στον εξοπλισμό, είτε τέλεια είτε

ελάχιστη, πριν από την ηλικία tm1 δεν έχει προφανώς νόημα η παρακολούθησή του

κατά το διάστημα (0, tm1). Συνεπώς, οι έλεγχοι για την εξακρίβωση της κατάστασης

του εξοπλισμού ξεκινούν στο tm1 και διενεργούνται κατά διαστήματα μέχρι την πρώτη

τέλεια συντήρηση του εξοπλισμού, η οποία σηματοδοτεί το τέλος του κύκλου. Για τη

διενέργεια κάθε ελέγχου απαιτείται κάποιος χρόνος ZI, κατά τη διάρκεια του οποίου η

παραγωγική διαδικασία διακόπτεται αλλά μπορεί να συνεχιστεί κανονικά αμέσως

μετά τον έλεγχο εφόσον το αποτέλεσμα του ελέγχου δε συνεπάγεται την

ολοκλήρωση του κύκλου. Η διαμόρφωση των προτύπων είναι πρακτικά ακριβώς η

ίδια και στη συνηθισμένη περίπτωση που η παραγωγική διαδικασία συνεχίζεται μεν

κατά τη διεξαγωγή του ελέγχου, η διάρκεια όμως του ελέγχου είναι αμελητέα (ΖI=0).

. . . ..

. . . ..


116

Η συχνότητα των ελέγχων είναι πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό του

προβλήματος εφόσον οριοθετεί τα χρονικά διαστήματα κατά τη διάρκεια των οποίων

δεν μπορούμε να γνωρίζουμε την τρέχουσα κατάσταση του εξοπλισμού. Άλλωστε το

πρόβλημα καθορισμού της συχνότητας ελέγχων έχει ήδη απασχολήσει πολλούς

ερευνητές σε ανάλογες περιπτώσεις, όπως αναφέρθηκε στην παράγραφο 2.2, και

έχουν αναπτυχθεί διάφορα πρότυπα για την αντιμετώπισή του. Σημαντικό θέμα

πολλών από τα πρότυπα αυτά είναι η επιλογή μεταξύ σταθερής ή μεταβλητής

συχνότητας ελέγχων. Το βασικό συμπέρασμα από τις σχετικές εργασίες που

παρουσιάστηκαν στα πλαίσια της βιβλιογραφικής επισκόπησης είναι ότι σε μη

μαρκοβιανές διαδικασίες η μεταβλητή συχνότητα ελέγχων παρουσιάζει καλύτερα

αποτελέσματα (π.χ. Munford, 1981 και Luss, 1983).

Εν προκειμένω ενδιαφέρει η κατάστρωση των προτύπων για τη γενική

περίπτωση όπου οι κατανομές των χρόνων μέχρι την επίδραση της συστηματικής

αιτίας καθώς επίσης και μέχρι την εμφάνιση βλάβης επιτρέπεται να έχουν

οποιαδήποτε μορφή και κατά συνέπεια η συχνότητα των ελέγχων που

χρησιμοποιείται είναι γενικά μεταβλητή. Ο τρόπος μεταβολής της συχνότητας

ελέγχων αποτελεί μια ακόμη διάσταση του προβλήματος που είναι γενικά ιδιαίτερα

δύσκολο να βελτιστοποιηθεί. Γι’ αυτό το λόγο έχουν προταθεί στη βιβλιογραφία

διάφορες προσεγγιστικές πολιτικές ελέγχου με πιο διαδεδομένη τη μεταβολή της

συχνότητας ελέγχων με τέτοιον τρόπο ώστε να διατηρείται σταθερή η πιθανότητα

εμφάνισης βλάβης σε κάθε διάστημα εφόσον ο εξοπλισμός λειτουργεί σε καλή

κατάσταση στην αρχή του διαστήματος. Με τον όρο βλάβη θεωρείται κατά

περίπτωση είτε η πλήρης ακινησία του εξοπλισμού σε τυπικά πρότυπα συντήρησης

είτε επίδραση της συστηματικής αιτίας σε τυπικά πρότυπα ελέγχου ποιότητας.

Στα πρότυπα του κεφαλαίου αυτού η κατάστρωση των μαθηματικών

συναρτήσεων που περιγράφουν τη διαδικασία γίνεται καταρχάς για οποιαδήποτε

μεταβλητή συχνότητα ελέγχων. Για την εφαρμογή των προτύπων με συγκεκριμένες

. . . ..

. . . ..


117

πλέον παραμέτρους του προβλήματος στα αριθμητικά παραδείγματα που

παρουσιάζονται στις παραγράφους 4.1.2 και 4.2.2 χρησιμοποιείται ειδικότερα

μεταβλητή συχνότητα ελέγχων, με τρόπο που διασφαλίζει ίδια πιθανότητα εμφάνισης

βλάβης στον εξοπλισμό σε κάθε διάστημα μεταξύ των ελέγχων εφόσον ο εξοπλισμός

λειτουργεί εντός ελέγχου στην αρχή κάθε διαστήματος.

Πριν από την κατάστρωση της συνάρτησης κέρδους παρουσιάζεται σχηματικά η

πιθανή εξέλιξη ενός κύκλου και περιγράφεται ο μηχανισμός παρακολούθησης της

διαδικασίας για τα δύο είδη προληπτικής συντήρησης (τέλεια και ελάχιστη) στην

εκτός ελέγχου κατάσταση.

Σχήμα 4.1: Πιθανές χρονικές στιγμές ελέγχου κατά τη διάρκεια ενός κύκλου

Στο σχήμα 4.1 τα σημεία ti (i=1, 2,…) αντιστοιχούν στις χρονικές στιγμές

ελέγχου, εφόσον βεβαίως δεν έχει προηγηθεί τέλεια συντήρηση του εξοπλισμού (είτε

επιδιορθωτική είτε προληπτική) που θα σηματοδοτούσε το τέλος του κύκλου.

Σημειώνεται ότι η χρονική στιγμή t1 ταυτίζεται με την οριακή ηλικία tm1 πέραν της

οποίας δεν είναι επιθυμητή η λειτουργία του εξοπλισμού στην εκτός ελέγχου

κατάσταση ενώ η χρονική στιγμή tm ταυτίζεται με την οριακή ηλικία tm0 πέραν της

οποίας δεν επιτρέπεται η λειτουργία του εξοπλισμού σε καμία από τις δύο

καταστάσεις. Σε κάθε περίπτωση ο εξοπλισμός ξεκινά τη λειτουργία του εντός

ελέγχου τη χρονική στιγμή t0 και εφόσον δεν εμφανίζεται βλάβη ελέγχεται κατά

διαστήματα (χρονικές στιγμές ti) με στόχο τον προσδιορισμό της τρέχουσας

κατάστασής του. Στην ειδική περίπτωση όπου t1=0 ( =m1t 0 ) ο έλεγχος στο t1 είναι

t0 t1=tm1 t2 ti ti-1 tm=tm0tm-1

m-1 διαστήματα

. . . ..

. . . ..


118

περιττός, εφόσον είναι γνωστό ότι ο εξοπλισμός λειτουργεί στην κατάσταση 0 στην

αρχή του κύκλου, και γι’ αυτό το λόγο παραλείπεται. Στην περίπτωση αυτή ο πρώτος

έλεγχος διενεργείται τη χρονική στιγμή t2.

Η συστηματική αιτία ενδέχεται να επιδράσει σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα

(ti-1, ti) με αποτέλεσμα ο εξοπλισμός να λειτουργήσει έστω και για λίγο στην εκτός

ελέγχου κατάσταση. Στην παράγραφο 4.1, όπου ενδεχόμενη επίδραση της

συστηματικής αιτίας αντιμετωπίζεται με τέλεια προληπτική συντήρηση, η διαδικασία

μπορεί να τερματιστεί, ακόμη κι αν δεν εμφανιστεί βλάβη, οποιαδήποτε στιγμή ti

(1 i m≤ ≤ ) ενώ η συστηματική αιτία μπορεί να επιδράσει το πολύ μία φορά σε κάθε

κύκλο. Στην παράγραφο 4.2 αντίθετα, όπου ενδεχόμενη επίδραση της συστηματικής

αιτίας αντιμετωπίζεται με ελάχιστη συντήρηση, η διαδικασία τερματίζεται τη χρονική

στιγμή tm=tm0, αν δεν εμφανιστεί βλάβη πιο πριν, ενώ η συστηματική αιτία μπορεί να

επιδράσει πολλές φορές σε κάθε κύκλο. Οι χρόνοι που απαιτούνται για τη διενέργεια

των ελέγχων αλλά και για τη συντήρηση του εξοπλισμού δεν παρουσιάζονται στο

σχήμα 4.1 για την απλούστερη απεικόνιση της διαδικασίας.

Όποιο κι αν είναι το εφαρμοζόμενο είδος συντήρησης στην εκτός ελέγχου

κατάσταση γνωρίζουμε με βεβαιότητα ότι μετά από κάθε έλεγχο, αν δεν τερματιστεί ο

κύκλος με τέλεια συντήρηση, ο εξοπλισμός θα λειτουργεί στην εντός ελέγχου

κατάσταση, είτε γιατί δεν εντοπίστηκε κατά τον έλεγχο επίδραση της συστηματικής

αιτίας είτε γιατί εντοπίστηκε αλλά η εντός ελέγχου λειτουργία αποκαταστάθηκε με

ελάχιστη συντήρηση. Κατά συνέπεια η πιθανότητα βλάβης του εξοπλισμού σε κάθε

διάστημα μεταξύ ελέγχων (ti-1, ti) δίνεται από τη σχέση

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )′

′= +∫ ∫ ∫i i i

i-1 i-1

t t t0 0 1

F(i)0 i-1 i-1 0 i-1 i-1 1t t t

φ t F t f t Φ t φ tp dt dt dt

Φ t F t Φ t F t Φ t 1 i m≤ ≤ . (4.1)

Ο πρώτος όρος της σχέσης (4.1) εκφράζει την πιθανότητα βλάβης στην εντός

ελέγχου κατάσταση ενώ ο δεύτερος όρος εκφράζει την πιθανότητα επίδρασης της

συστηματικής αιτίας και βλάβης στην εκτός ελέγχου κατάσταση. Χρησιμοποιώντας τις

. . . ..

. . . ..


119

ιδιότητες 1 και 2 του παραρτήματος Α η σχέση (4.1) απλοποιείται και καταλήγει στη

μορφή

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

= − − ∫i

i-1

t0 i i 0 1 i

F(i)0 i-1 i-1 0 i-1 i-1 1t

Φ t F t f t Φ t Φ tp 1 dt

Φ t F t Φ t F t Φ t 1 i m≤ ≤ . (4.2)

Χρησιμοποιώντας ως κριτήριο καθορισμού της συχνότητας ελέγχων τη

διατήρηση ίδιας πιθανότητας βλάβης σε κάθε διάστημα μεταξύ ελέγχων, αρκεί να

προσδιοριστεί η βέλτιστη τιμή της χρονικής στιγμής ελέγχου t2. Κατόπιν αυτού όλες οι

επόμενες χρονικές στιγμές ελέγχου επιλέγονται με τέτοιον τρόπο ώστε να

ικανοποιείται η συνθήκη

F(i-1) F(i)p = p 3 i m≤ ≤ . (4.3)

Η συνθήκη (4.3) διασφαλίζει ίδιες πιθανότητες βλάβης για τα διαστήματα 2 έως m,

ενώ η πιθανότητα βλάβης στο πρώτο διάστημα (0, tm1) καθορίζεται από την τιμή

=1 m1t t και επιτρέπεται να είναι γενικά διαφορετική από τις πιθανότητες βλάβης των

υπολοίπων διαστημάτων. Σημειώνεται ότι για m=1 ( =m1 m0t t ) καθώς επίσης και για

m=2 δε μεσολαβεί κάποια χρονική στιγμή ελέγχου μεταξύ του tm1 και του tm0 και

συνεπώς η συνθήκη (4.3) δεν εφαρμόζεται. Η βελτιστοποίηση των προτύπων τελικά

επικεντρώνεται στον προσδιορισμό των βέλτιστων τιμών m, =1 m1t t και t2 (αν m 2≥ ),

που καθορίζουν πλήρως τη λειτουργία της διαδικασίας.

Στην παράγραφο 4.1 παρουσιάζεται αναλυτικά η περίπτωση της τέλειας

προληπτικής συντήρησης του εξοπλισμού όταν κατά τον έλεγχο προκύπτει ότι

λειτουργεί στην εκτός ελέγχου κατάσταση, ενώ εν συνεχεία στην παράγραφο 4.2

παρουσιάζεται η περίπτωση της ελάχιστης συντήρησης κάθε φορά που εντοπίζεται

επίδραση της συστηματικής αιτίας.

. . . ..

. . . ..


120


Στην παράγραφο αυτή θεωρούμε ότι οποτεδήποτε εντοπίζεται επίδραση της

συστηματικής αιτίας ο εξοπλισμός συντηρείται τέλεια και επανέρχεται σε άριστη

κατάσταση. Επιπλέον, ο εξοπλισμός συντηρείται τέλεια εφόσον φτάσει στην οριακή

ηλικία tm0 χωρίς να έχει προηγηθεί βλάβη, ανεξάρτητα από την τρέχουσα κατάσταση

λειτουργίας του, αλλά και οποτεδήποτε εμφανιστεί βλάβη.

Επομένως ο χρονικός κύκλος ξεκινά πάντα με τον εξοπλισμό σε άριστη

κατάσταση (εντός ελέγχου και μηδενικής ηλικίας) και τελειώνει είτε με τέλεια

επιδιορθωτική συντήρηση οποιαδήποτε χρονική στιγμή εμφανιστεί βλάβη, είτε με

τέλεια προληπτική συντήρηση αμέσως μετά από κάποιον έλεγχο αν εντοπιστεί

επίδραση της συστηματικής αιτίας (όχι νωρίτερα από την χρονική στιγμή tm1 οπότε

και διενεργείται ο πρώτος έλεγχος του κύκλου) ή σε ηλικία tm0, οτιδήποτε συμβεί

πρώτο.



χρησιμοποιούνται, δε διαφέρουν από ό,τι χρησιμοποιήθηκε στην περίπτωση της

τέλειας προληπτικής συντήρησης με συνεχή έλεγχο που παρουσιάστηκε στην

παράγραφο 3.1. Παρακάτω παρουσιάζονται κάποιες επιπλέον παράμετροι που

χρησιμοποιούνται στην κατάστρωση της συνάρτησης κέρδους αυτής της

παραγράφου και αφορούν κυρίως τη διαδικασία ελέγχων:

ti Χρονικές στιγμές ελέγχου της διαδικασίας (1 i m 1≤ ≤ − )

m Μέγιστος αριθμός χρονικών διαστημάτων από τα οποία αποτελείται ένας

κύκλος

ZI Μέση τιμή του χρόνου ελέγχου της διαδικασίας

WI Κόστος ελέγχου της διαδικασίας

. . . ..

. . . ..


121

Ε(I) Μέσος αριθμός ελέγχων σε έναν κύκλο λειτουργίας


μέσου κέρδους ανά κύκλο προς τη μέση διάρκεια του κύκλου ως συνάρτηση των

τριών πλέον μεταβλητών απόφασης m, t1 και t2 (αν m 2≥ ), οι οποίες καθορίζουν

μονοσήμαντα τις δύο οριακές ηλικίες του εξοπλισμού tm1 και tm0 καθώς επίσης και τη

συχνότητα ελέγχων.


Η συνολική διάρκεια του κύκλου αποτελείται από τις εξής υποπεριόδους:








• ΖI: μέσος χρόνος που απαιτείται για τη διενέργεια ελέγχου που αποδίδει την

κατάσταση του εξοπλισμού, όσες φορές χρειαστεί σε κάθε κύκλο.


Ο χρόνος κατά τον οποίο ο εξοπλισμός λειτουργεί στην κατάσταση 0, T0,

υπολογίζεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο που παρουσιάστηκε αναλυτικά στην

παράγραφο 3.1.1 για την περίπτωση του συνεχούς ελέγχου. Το γεγονός ότι η

διαδικασία δεν παρακολουθείται πλέον συνεχώς αλλά μόνο κάποιες συγκεκριμένες

χρονικές στιγμές δεν επηρεάζει το χρόνο λειτουργίας εντός ελέγχου δεδομένου ότι

και πάλι σε περίπτωση εντοπισμού επίδρασης της συστηματικής αιτίας η διαδικασία

. . . ..

. . . ..


122

διακόπτεται και ξεκινά νέος κύκλος. Η σχέση υπολογισμού της μέσης τιμής του

χρόνου Τ0 είναι επομένως ίδια με τη σχέση (3.1) και έχει τη μορφή

( ) ( )= ∫m0t

0 00

Ε(Τ ) Φ t F t dt . (4.4)


Ο τρόπος υπολογισμού του χρόνου λειτουργίας στην κατάσταση 1

διαφοροποιείται από ό,τι παρουσιάστηκε στην παράγραφο 3.1.1 δεδομένου ότι εν

προκειμένω υπάρχει περίπτωση ο εξοπλισμός να λειτουργεί εκτός ελέγχου ακόμη και

μετά την ηλικία tm1. Σε κάθε περίπτωση ο εξοπλισμός λειτουργεί επί κάποιο διάστημα

στην κατάσταση 1 κατά τη διάρκεια ενός κύκλου οποτεδήποτε σημειωθεί επίδραση

της συστηματικής αιτίας σε χρόνο < m0t t , χωρίς να έχει προηγηθεί βλάβη. Ο χρόνος

λειτουργίας στην κατάσταση 1 σε κάθε διάστημα i διαρκεί είτε μέχρι το επόμενο ti

(1 i m≤ ≤ ), οπότε και εκτελείται προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού, είτε μέχρι

κάποια βλάβη του εξοπλισμού πριν το ti. Συνεπώς η μέση τιμή, Τ1(i), του χρόνου

λειτουργίας στην κατάσταση 1 σε κάθε διάστημα i υπολογίζεται με τρόπο ανάλογο

αυτού που παρουσιάστηκε στην παράγραφο 3.1.1 για την μέση τιμή του Τ1 και


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )′ ′−

′= + −∫ ∫ ∫i i i

i-1 i-1

t t t1 1 i

1(i) 0 i 01 1t t t

(t t)φ t Φ tΤ f t Φ t dt dt t t f(t)Φ t dt

Φ t Φ t 1 i m≤ ≤ .

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 2 του παραρτήματος A, η σχέση αυτή απλοποιείται


( ) ( ) ( )( )′

′= ∫ ∫i i

i-1

t t1

1(i) 01t t

Φ tΤ f t Φ t dt dt

Φ t 1 i m≤ ≤ . (4.5)

Η μέση τιμή του συνολικού χρόνου λειτουργίας στην κατάσταση 1 σε έναν κύκλο


. . . ..

. . . ..


123

( ) ( ) ( ) ( )( )

i i

i-1

t tm m1

1 1(i) 0i 1 i 1 1t t

Φ tE T Τ f t Φ t dt dt

Φ t= =

′′= =∑ ∑ ∫ ∫ . (4.6)



στην οριακή ηλικία tm0 χωρίς να προηγηθεί βλάβη (είτε στην κατάσταση 0 είτε στην

κατάσταση 1) αλλά και σε οποιοδήποτε έλεγχο σε ηλικία ti (1 i m 1≤ ≤ − ) εντοπιστεί να

λειτουργεί στην κατάσταση 1. Δεδομένου ότι κάθε κύκλος ξεκινά με εξοπλισμό

μηδενικής ηλικίας και στην κατάσταση 0 και ότι ενδεχόμενη επίδραση της

συστηματικής αιτίας εντοπίζεται στον αμέσως επόμενο έλεγχο, η πιθανότητα

προληπτικής συντήρησης του εξοπλισμού σε κάθε διάστημα i, PM(i)p , δίνεται από τη

σχέση

( ) ( ) ( )( )

= ∫i

i-1

t1 i

PM(i) 01t

Φ tp f t Φ t dt

Φ t 1 i m 1≤ ≤ − . (4.7)

Επιπλέον, η πιθανότητα προληπτικής συντήρησης του εξοπλισμού στην οριακή

ηλικία tm0, PM(m)p , δίνεται από τη σχέση

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

= + ∫m

m-1

t1 m0

PM(m) 0 m0 m0 01t

Φ tp Φ t F t f t Φ t dt

Φ t. (4.8)

Ο πρώτος όρος της σχέσης αυτής εκφράζει την πιθανότητα να μη σημειωθεί

επίδραση της συστηματικής αιτίας μέχρι το tm0 ενώ ο δεύτερος όρος εκφράζει την

πιθανότητα η επίδραση να σημειωθεί κατά το διάστημα m που αποτελεί το τελευταίο

διάστημα του κύκλου (tm-1, =m m0t t ). Η συνολική πιθανότητα προληπτικής

συντήρησης σε έναν κύκλο, PMp , δίνεται τελικά από τη σχέση

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )= =

= = +∑ ∑ ∫i

i-1

tm m1 i

PM PM(i) 0 m0 m0 0i 1 i 1 1t

Φ tp p Φ t F t f t Φ t dt

Φ t. (4.9)

. . . ..

. . . ..


124



Μέσος αριθμός ελέγχων ανά κύκλο

Γενικά, έλεγχοι διενεργούνται στο τέλος κάθε χρονικού διαστήματος i

(1 i m 1≤ ≤ − ) εφόσον δεν έχει εμφανιστεί βλάβη. Στο τέλος του κύκλου (ηλικία tm0 ή

=i m ) δε διενεργείται έλεγχος δεδομένου ότι θα εκτελεστεί ούτως ή άλλως τέλεια

προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού. Επιπλέον, στην ειδική περίπτωση όπου

m1t 0= ( 1 0t t 0= = ) ο έλεγχος στο t1 δεν έχει νόημα και δε διενεργείται, εφόσον το t1

ταυτίζεται με την έναρξη της διαδικασίας όπου η κατάσταση του εξοπλισμού είναι

γνωστή. Επομένως, στην ειδική αυτή περίπτωση η σχέση υπολογισμού του μέσου

αριθμού ελέγχων ανά κύκλο Ε(I) εμφανίζεται ελαφρώς διαφοροποιημένη και θα

προσδιοριστεί ξεχωριστά.

Στη γενική περίπτωση πάντως, έλεγχος διενεργείται στο τέλος κάθε διαστήματος

i (1 i m 1≤ ≤ − ) οποτεδήποτε ο εξοπλισμός φτάνει την ηλικία ti χωρίς να έχει

προηγηθεί βλάβη ή επίδραση συστηματικής αιτίας αλλά και οποτεδήποτε επιδρά η

συστηματική αιτία κατά το διάστημα i και δεν εμφανίζεται βλάβη μέχρι το ti. Κατά

συνέπεια η πιθανότητα διενέργειας ελέγχου στο τέλος κάθε διαστήματος i, I(i)p ,


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )= +∫

i

i-1

t1 i

I(i) 0 0 i i1t

Φ tp f t Φ t dt Φ t F t

Φ t 1 i m 1≤ ≤ − (4.10)

και τελικά ο μέσος αριθμός ελέγχων ανά κύκλο δίνεται από τη σχέση

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∫i

i-1

tm-11 i

0 0 i ii 1 1t

Φ tE I f t Φ t dt Φ t F t

Φ t. (4.11)

Αξίζει να σημειωθεί ότι η σχέση (4.11) δεν ισχύει για την ειδική περίπτωση

=1 mt t ( =m1 m0t t ) όπου m=1, καθώς επίσης και για την ειδική περίπτωση =1t 0

( =m1t 0 ). Συγκεκριμένα:

. . . ..

. . . ..


125

• Αν =1 mt t ( =m1 m0t t ) η πρώτη «υποψήφια» στιγμή ελέγχου ταυτίζεται με

το τέλος του κύκλου (m=1), οπότε ο αντίστοιχος έλεγχος δε διενεργείται

για τους λόγους που προαναφέρθηκαν και επομένως ( ) =E I 0 .

• Αν =1t 0 ( =m1t 0 ) η πρώτη «υποψήφια» στιγμή ελέγχου ταυτίζεται με

την αρχή του κύκλου, οπότε ο αντίστοιχος έλεγχος και πάλι δε

διενεργείται. Ο μέσος αριθμός ελέγχων ανά κύκλο σε αυτή την

περίπτωση διαφοροποιείται ελαφρώς και δίνεται πλέον από τη σχέση

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∫i

i-1

tm-11 i

0 0 i ii 2 1t

Φ tE I f t Φ t dt Φ t F t

Φ t, (4.12)

η οποία ισχύει για m 3≥ .

Αν =1t 0 και =m 1, τότε 1 mt t 0= = ( m1 m0t t 0= = ) και άρα ( ) =E I 0 .

Αν =1t 0 και =m 2 , τότε δε μεσολαβεί κάποια χρονική στιγμή ελέγχου

μεταξύ του t1 (tm1) και του tm (tm0) και άρα ισχύει και πάλι ( ) =E I 0 .



( ) ( )= + + + + −0 1 I P PM PMΕ(Τ) Ε(Τ ) E(T ) ZE I Z p Z 1 p . (4.13)








. . . ..

. . . ..


126





• Κόστος που απαιτείται για τη διενέργεια ελέγχου (WI), όσες φορές χρειαστεί

σε κάθε κύκλο.


( ) ( )= + − − − −0 0 1 1 I P PM PMΕ(P) R Ε(Τ ) R E(T ) WE I W p W 1 p . (4.14)


Η διαδικασία που μελετάται είναι και πάλι μια διαδικασία ανανέωσης-ανταμοιβής

(renewal-reward process) και κατά συνέπεια η μέση τιμή του κέρδους ανά μονάδα

χρόνου ισούται με το λόγο του μέσου κέρδους ανά κύκλο προς τη μέση διάρκεια του

κύκλου:

( )1 2E(P)EPT m,t , tE(T)

= . (4.15)


Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζεται ενδεικτικά η βέλτιστη λύση που προκύπτει

με εφαρμογή του προτύπου της παραγράφου 4.1.1 για τρεις εναλλακτικές τιμές του

κόστους ελέγχου: χαμηλό κόστος ελέγχου =IW 10 , μέτριο κόστος ελέγχου =IW 50

και υψηλό κόστος ελέγχου =IW 100 . Τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά του προβλήματος

ταυτίζονται με αυτά που χρησιμοποιήθηκαν στο αντίστοιχο πρότυπο συντήρησης με

συνεχή έλεγχο για την πρώτη περίπτωση του πίνακα 3.2 (παράγραφος 3.1.3).

Συγκεκριμένα, οι κατανομές που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή του

μηχανισμού επίδρασης της συστηματικής αιτίας, του μηχανισμού εμφάνισης βλαβών

. . . ..

. . . ..


127

σε κάθε κατάσταση καθώς επίσης και οι τιμές όλων των παραμέτρων του

προβλήματος είναι οι εξής:

• f: Weibull με μ=13,33 και σ=9,64 (c=1,4 και λ=0,02338)

• φi: Weibull με μ0=12,53, μ1=8,86, σ0=6,55 και σ1=4,63 (c0=c1=2, λ0=0,005

και λ1=0,01)

• R0=600, R1=500

• W=1000, WP=500, Z=ZP=1

ενώ για τη χρονική διάρκεια κάθε ελέγχου χρησιμοποιείται ZI=0, που σημαίνει ότι οι

έλεγχοι της κατάστασης του εξοπλισμού γίνονται σχεδόν ακαριαία ή διαρκούν

ελάχιστα σε σχέση με τις υπόλοιπες επεμβάσεις.

Στον πίνακα 4.1 παρουσιάζεται η βέλτιστη λύση που προκύπτει για κάθε μία από

τις τρεις τιμές WI, αφενός για μεταβλητή και αφετέρου για σταθερή συχνότητα

ελέγχων, καθώς επίσης και η βέλτιστη λύση του αντίστοιχου παραδείγματος της

παραγράφου 3.1.3.

Πίνακας 4.1: Βέλτιστες λύσεις με συνεχή έλεγχο και με περιοδικούς ελέγχους

Μηχανισμός ελέγχου WI tm1 t2 m tm0 EPT

Συνεχής - 4,23 - - 28,45 457,74

10 0 6,5 14 24,4 453,62

50 0 10,1 5 21,0 449,11 Περιοδικός με

μεταβλητή συχνότητα 100 0 14,5 2 14,5 447,39

10 0 3,8 7 22,8 452,47

50 0 9,5 3 19,0 448,67 Περιοδικός με

σταθερή συχνότητα 100 0 14,5 2 14,5 447,39

Για τα αριθμητικά παραδείγματα του πίνακα 4.1 με περιοδικούς ελέγχους

μεταβλητής συχνότητας, η συχνότητα ελέγχων μεταβάλλεται με τρόπο που

. . . ..

. . . ..


128

διασφαλίζει ίδια πιθανότητα εμφάνισης βλάβης στον εξοπλισμό σε κάθε διάστημα

μεταξύ ελέγχων εφόσον ο εξοπλισμός λειτουργεί εντός ελέγχου στην αρχή κάθε

διαστήματος. Προσδιορίστηκε δηλαδή η βέλτιστη τιμή t2, ενώ όλες οι υπόλοιπες

χρονικές στιγμές ελέγχου, εφόσον υφίστανται, επιλέγονται έτσι ώστε να ικανοποιείται

η συνθήκη (4.3). Τα ίδια αριθμητικά παραδείγματα επιλύθηκαν και για την περίπτωση

σταθερής συχνότητας ελέγχων όπου η διαδικασία ελέγχων ξεκινά από την αρχή κάθε

κύκλου ( =m1t 0 ) και τα σχετικά αποτελέσματα παρουσιάζονται επίσης στον πίνακα

4.1.

Από τον πίνακα 4.1 είναι σαφές ότι η εισαγωγή περιοδικών ελέγχων στη

διαδικασία με το αντίστοιχο κόστος (είτε με μεταβλητή είτε με σταθερή συχνότητα

ελέγχων) οδηγεί σε μείωση του βέλτιστου κέρδους έναντι του κέρδους που

επιτυγχάνεται με συνεχή έλεγχο (πρώτη σειρά του πίνακα 4.1). Προφανώς, όσο το

κόστος ελέγχου WI αυξάνεται τόσο ο μέγιστος αριθμός ελέγχων ανά κύκλο, που είναι

συνάρτηση του m, μειώνεται, τα διαστήματα μεταξύ ελέγχων μεγαλώνουν και το

βέλτιστο κέρδος μειώνεται. Στην περίπτωση μάλιστα =IW 100 η μεταβλητή και η

σταθερή συχνότητα ελέγχων καταλήγουν στο ίδιο βέλτιστο κέρδος δεδομένου ότι στη

βέλτιστη λύση διενεργείται το πολύ ένας έλεγχος (m=2). Στις περιπτώσεις =IW 10

και =IW 50 τα οικονομικά αποτελέσματα της μεταβλητής συχνότητας ελέγχων είναι

ελαφρώς μόνο καλύτερα από αυτά της σταθερής συχνότητα ελέγχων. Ενδεχομένως

στα συγκεκριμένα παραδείγματα να είναι προτιμότερο να εφαρμοστεί πολιτική

ελέγχου με σταθερή συχνότητα που μειώνει μεν, αλλά όχι σημαντικά, το κέρδος

απλοποιώντας όμως αισθητά τη διαδικασία ελέγχου.

Γενικά πάντως, η διαφορά στο βέλτιστο κέρδος σε σχέση με την περίπτωση του

συνεχούς ελέγχου εκφράζει ουσιαστικά το μέγιστο οικονομικό αντίτιμο ανά μονάδα

χρόνου που έχει νόημα να επενδυθεί για τη συνεχή γνώση της κατάστασης του

εξοπλισμού έναντι της περιοδικής. Για να εκτιμηθεί σωστότερα η επίδραση του WI

στο κέρδος σημειώνεται ότι το μέσο κέρδος ανά μονάδα χρόνου όταν δεν

. . . ..

. . . ..


129

πραγματοποιείται καμία ενέργεια συντήρησης ή ελέγχου ( m1 m0t , t →∞ ) είναι

=EPT 445,12 .


Στην παράγραφο αυτή θεωρούμε ότι οποτεδήποτε εντοπίζεται επίδραση της

συστηματικής αιτίας εκτελείται ελάχιστη συντήρηση που επαναφέρει τον εξοπλισμό

στην εντός ελέγχου κατάσταση και η λειτουργία του συνεχίζεται κανονικά. Επιπλέον,

ο εξοπλισμός συντηρείται τέλεια εφόσον φτάσει στην οριακή ηλικία tm0 χωρίς να έχει

προηγηθεί βλάβη αλλά και οποτεδήποτε εμφανίζεται βλάβη. Όπως σχολιάστηκε και

στην παράγραφο 3.2, εάν ο εξοπλισμός λειτουργεί τη χρονική στιγμή tm0 στην εκτός

ελέγχου κατάσταση συνδυάζονται δύο ενέργειες συντήρησης (ΜΜ και ΡΜ) έτσι ώστε

να αποκατασταθεί η εντός ελέγχου λειτουργία και ταυτόχρονα να ανανεωθεί πλήρως

η ηλικία του εξοπλισμού. Σε αντίθεση δηλαδή με την περίπτωση της προηγούμενης

παραγράφου, στην περίπτωση της ελάχιστης συντήρησης (στην εκτός ελέγχου

κατάσταση) διενεργείται ένας επιπλέον έλεγχος σε ηλικία tm0 για τον προσδιορισμό

της κατάστασης λειτουργίας του εξοπλισμού.

Επομένως ο χρονικός κύκλος ξεκινά με τον εξοπλισμό σε άριστη κατάσταση

(εντός ελέγχου και μηδενικής ηλικίας) και τελειώνει είτε με τέλεια επιδιορθωτική

συντήρηση οποιαδήποτε χρονική στιγμή εμφανιστεί βλάβη είτε με τέλεια προληπτική

συντήρηση μόλις ο εξοπλισμός φτάσει στην ηλικία tm0, οτιδήποτε συμβεί πρώτο. Σε

κάθε περίπτωση η συστηματική αιτία μπορεί να έχει επιδράσει, εντοπιστεί και

εξαλειφθεί πολλές φορές κατά τη διάρκεια ενός κύκλου.




τέλειας προληπτικής συντήρησης με περιοδικό έλεγχο που παρουσιάστηκε στην

. . . ..

. . . ..


130

παράγραφο 4.1.1. Οι συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται για την ελάχιστη

συντήρηση είναι ίδιοι με αυτούς της παραγράφου 3.2.1 και είναι οι εξής:

ZΜ Μέση τιμή του χρόνου ελάχιστης συντήρησης του εξοπλισμού

WΜ Κόστος ελάχιστης συντήρησης του εξοπλισμού

Ε(ΜΜ) Μέσος αριθμός εφαρμογών ΜΜ σε έναν κύκλο λειτουργίας



τριών μεταβλητών απόφασης m, t1 και t2 (αν m 2≥ ).


Κάθε κύκλος ξεκινά με τον εξοπλισμό σε άριστη κατάσταση και τελειώνει είτε με

επιδιόρθωση βλάβης πριν από την οριακή ηλικία tm0 είτε με τέλεια προληπτική

συντήρηση στην ηλικία tm0. Σε κάθε περίπτωση κατά τη διάρκεια του κύκλου η

συστηματική αιτία ενδέχεται να μην έχει επιδράσει καθόλου ή να έχει επιδράσει μία ή

περισσότερες φορές. Κατά συνέπεια, η συνολική διάρκεια του κύκλου αποτελείται

από τις εξής υποπεριόδους:









σε περίπτωση επίδρασης της συστηματικής αιτίας, όσες φορές χρειαστεί σε


. . . ..

. . . ..


131

• ΖI: μέσος χρόνος που απαιτείται για τη διενέργεια ελέγχου, όσες φορές

χρειαστεί σε κάθε κύκλο.


Εν προκειμένω, μέχρι να εμφανιστεί βλάβη ή μέχρι το τέλος του κύκλου ο

εξοπλισμό ξεκινά τη λειτουργία του σε κάθε διάστημα i στην εντός ελέγχου

κατάσταση είτε έχει ήδη επιδράσει είτε όχι η συστηματική αιτία. Αυτό συμβαίνει γιατί

σε κάθε ti (1 i m≤ ≤ ) εντοπίζεται ενδεχόμενη επίδραση της συστηματικής αιτίας και

οποτεδήποτε απαιτείται ο εξοπλισμός επανέρχεται σε στατιστικό έλεγχο με την

εφαρμογή ελάχιστης συντήρησης. Συγκεκριμένα, ο εξοπλισμός λειτουργεί εντός

ελέγχου καθ’ όλη τη διάρκεια του διαστήματος i αν δεν εμφανιστεί βλάβη αλλά ούτε

και επίδραση συστηματικής αιτίας, το οποίο συμβαίνει με πιθανότητα

( ) ( ) ( ) ( )0 i i 0 i-1 i-1Φ t F t Φ t F t εφόσον αμέσως μετά τον έλεγχο τη χρονική στιγμή ti-1

βρίσκεται με βεβαιότητα στην κατάσταση 0. Σε κάθε άλλη περίπτωση η εντός

ελέγχου λειτουργία σε κάποιο διάστημα τερματίζεται είτε λόγω βλάβης με πιθανότητα

( ) ( ) ( ) ( )i

i-1

t

0 0 i-1 i-1t

φ t F t dt Φ t F t⎡ ⎤⎣ ⎦∫ είτε λόγω επίδρασης της συστηματικής αιτίας με

πιθανότητα ( ) ( ) ( ) ( )i

i-1

t

0 0 i-1 i-1t

f t Φ t dt Φ t F t⎡ ⎤⎣ ⎦∫ . Άρα η μέση τιμή, Τ0(i), του χρόνου

λειτουργίας στην εντός ελέγχου κατάσταση σε κάθε διάστημα i δεδομένου ότι ο

εξοπλισμός βρισκόταν στην κατάσταση 0 στην αρχή του διαστήματος, υπολογίζεται


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

−− + − + −

=∫ ∫i i

i-1 i-1

t t

i-1 0 i-1 0 i i 1 0 i it t

0(i)0 i-1 i-1

t t φ t F t dt t t f t Φ t dt t t Φ t F t

ΤΦ t F t

,

η οποία χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 1 του παραρτήματος A απλοποιείται και

καταλήγει τελικά στη μορφή

. . . ..

. . . ..


132

( ) ( )

( ) ( )

i

i-1

t

0t

0(i)0 i-1 i-1

Φ t F t dt

Τ =Φ t F t

∫ 1 i m≤ ≤ . (4.16)

Επιπλέον, η πιθανότητα ο εξοπλισμός να λειτουργεί στο τέλος κάποιου

διαστήματος i (να μην έχει εμφανιστεί βλάβη) δεδομένου ότι λειτουργούσε στην αρχή

αυτού του διαστήματος, ip , δίνεται από τη σχέση

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

+

=∫i

i-1

t1 i

0 0 i i1t

i0 i-1 i-1

Φ tf t Φ t dt Φ t F t

Φ tp

Φ t F t 1 i m≤ ≤ , (4.17)

ενώ φυσικά 0p 1= . Άρα η πιθανότητα ο εξοπλισμός να φτάσει χωρίς βλάβη από την

αρχή του κύκλου μέχρι το τέλος κάποιου διαστήματος i, t(i)p , δίνεται από τη σχέση

i

t(i) jj 0

p p=

=∏ 1 i m≤ ≤ . (4.18)

Η μέση τιμή, λοιπόν, του συνολικού χρόνου λειτουργίας στην κατάσταση 0 σε έναν

κύκλο δίνεται από τη σχέση

−

−= = =

= =∑ ∑ ∏i 1m m

0 0(i) t(i 1) 0(i) ji 1 i 1 j 0

Ε(Τ ) Τ p Τ p . (4.19)


Ο εξοπλισμός λειτουργεί για κάποιο χρόνο στην κατάσταση 1 οποτεδήποτε

εμφανιστεί επίδραση της συστηματικής αιτίας σε κάποιο διάστημα i. Δεδομένου ότι

στην αρχή του διαστήματος ο εξοπλισμός βρισκόταν στην κατάσταση 0, κάτι τέτοιο

συμβαίνει με πιθανότητα ( ) ( ) ( ) ( )i

i-1

t

0 0 i-1 i-1t

f t Φ t dt Φ t F t⎡ ⎤⎣ ⎦∫ . Στην περίπτωση αυτή η

εκτός ελέγχου λειτουργία διαρκεί μέχρι το τέλος του διαστήματος ti αν δεν εμφανιστεί

βλάβη, με πιθανότητα ( ) ( )1 i 1Φ t Φ t , ή μέχρι κάποια βλάβη πριν το ti, με πιθανότητα

. . . ..

. . . ..


133

( ) ( )it

1 1t

φ t Φ t dt′ ′∫ . Άρα η μέση τιμή, Τ1(i), του χρόνου λειτουργίας στην εκτός ελέγχου

κατάσταση σε κάθε διάστημα i, υπολογίζεται από τη σχέση

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

′ ′−′ + −

=∫ ∫ ∫i i i

i-1 i-1

t t t1 1 i

0 i i-1 01 1t t t

1(i)0 i-1 i-1

(t t)φ t Φ tf t Φ t dt dt t t f t Φ t dt

Φ t Φ tΤ

Φ t F t 1 i m≤ ≤ ,

η οποία χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 2 του παραρτήματος A απλοποιείται και

καταλήγει τελικά στη μορφή

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

′′

=∫ ∫i i

i-1

t t1

01t t

1(i)0 i-1 i-1

Φ tf t Φ t dt dt

Φ tΤ

Φ t F t 1 i m≤ ≤ . (4.20)

Η μέση τιμή του συνολικού χρόνου λειτουργίας στην κατάσταση 1 σε έναν κύκλο


−

−= = =

= =∑ ∑ ∏i 1m m

1 1(i) t(i 1) 1(i) ji 1 i 1 j 0

Ε(Τ ) Τ p Τ p . (4.21)



φτάνει στην οριακή ηλικία tm0 χωρίς να σημειωθεί βλάβη. Εν τω μεταξύ, η

συστηματική αιτία μπορεί να έχει επιδράσει καμία, μία ή περισσότερες φορές κατά τη

διάρκεια του κύκλου αλλά η όποια επίδραση εντοπίζεται από τους ελέγχους και

αναιρείται με ΜΜ οπότε και ο εξοπλισμός επανέρχεται στην κατάσταση 0. Άρα η

πιθανότητα τέλειας προληπτικής συντήρησης του εξοπλισμού σε έναν κύκλο, PMp ,

είναι

=

= =∏m

PM t(m) jj 0

p p p . (4.22)

. . . ..

. . . ..


134



Μέσος αριθμός εφαρμογών ΜΜ σε έναν κύκλο

Ελάχιστη συντήρηση εφαρμόζεται στον εξοπλισμό σε όποιον έλεγχο εντοπιστεί

επίδραση της συστηματικής αιτίας. Υπενθυμίζεται ότι ακόμη και στο τέλος του κύκλου

(χρονική στιγμή =m m0t t ) σε περίπτωση που ο εξοπλισμός λειτουργεί υπό την

επίδραση της συστηματικής αιτίας συνδυάζονται δύο ενέργειες συντήρησης (ΜΜ και

ΡΜ) ούτως ώστε ο νέος κύκλος να ξεκινήσει με τον εξοπλισμό σε άριστη κατάσταση.

Η πιθανότητα ΜΜ λοιπόν στο τέλος κάθε διαστήματος i, MM(i)p , ισούται με την

πιθανότητα λειτουργίας του εξοπλισμού στην κατάσταση 1 τη χρονική στιγμή ti.

Ισχύει δηλαδή

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

i

i-1

t1 i

01t

MM(i)0 i-1 i-1

Φ tf t Φ t dt

Φ tp

Φ t F t=∫

1 i m≤ ≤ . (4.23)

Κατά συνέπεια ο μέσος αριθμός ΜΜ σε έναν κύκλο, Ε(ΜΜ), δίνεται από τη σχέση

( )−

−=

= =∑ ∑ ∏i 1m m

MM(i) t(i 1) MM(i) ji=1 i=1 j 0

E MM p p p p . (4.24)


Έλεγχοι διενεργούνται στο τέλος κάθε χρονικού διαστήματος i (1 i m≤ ≤ ) εφόσον

δεν έχει εμφανιστεί βλάβη στον εξοπλισμό. Μπορεί βεβαίως να έχει προηγηθεί

επίδραση της συστηματικής αιτίας μία ή περισσότερες φορές η οποία έχει

αντιμετωπιστεί με ΜΜ και η λειτουργία του εξοπλισμού συνεχίστηκε κανονικά. Άρα η

πιθανότητα διενέργειας ελέγχου στο τέλος κάθε διαστήματος i, I(i)p , ισούται με την

πιθανότητα επιβίωσης του εξοπλισμού από την αρχή του κύκλου μέχρι τη χρονική

στιγμή ti και δίνεται από τη σχέση

. . . ..

. . . ..


135

=

= =∏i

I(i) t(i) jj 1

p p p 1 i m≤ ≤ . (4.25)

Κατά συνέπεια ο μέσος αριθμός ελέγχων ανά κύκλο δίνεται από τη σχέση

( )= = =

= =∑ ∑∏im m

I(i) ji 1 i 1 j 1

E I p p . (4.26)

Στην ειδική περίπτωση όμως όπου 1 0t t 0= = ( m1t 0= ) ο έλεγχος στο t1

εξαιρείται διότι, όπως σχολιάστηκε και στην παράγραφο 4.1, στην αρχή του κύκλου η

κατάσταση του εξοπλισμού είναι γνωστή με ακρίβεια. Κατάλληλη τροποποίηση της

σχέσης (4.26) οδηγεί στην παρακάτω σχέση υπολογισμού του μέσου αριθμού

ελέγχων για 1 0t t 0= =

( )= = =

= =∑ ∑∏im m

I(i) ji 2 i 2 j 1

E I p p , (4.27)

η οποία ισχύει για m 2≥ . Η τιμή m=1 αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου 1 mt t 0= =

( m1 m0t t 0= = ) και άρα ( ) =E I 0 .



( ) ( ) ( )= + + + + − +0 1 I P PM PM MΕ(Τ) Ε(Τ ) E(T ) ZE I Z p Z 1 p Z E MM . (4.28)








. . . ..

. . . ..


136






περίπτωση επίδρασης της συστηματικής αιτίας, όσες φορές χρειαστεί σε κάθε

κύκλο.

• Κόστος που απαιτείται για τη διενέργεια ελέγχου (WI), όσες φορές χρειαστεί

σε κάθε κύκλο.


( ) ( ) ( )= + − − − − −0 0 1 1 I P PM PM MΕ(P) R Ε(Τ ) R E(T ) WE I W p W 1 p W E MM . (4.29)


Δεδομένου ότι η διαδικασία που μελετάται είναι και πάλι μια διαδικασία


λόγο του μέσου κέρδους ανά κύκλο προς την μέση διάρκεια του κύκλου:

( )1 2E(P)EPT m,t , tE(T)

= . (4.30)


Στην παράγραφο αυτή, κατ’ αντιστοιχία με τα αριθμητικά παραδείγματα της

παραγράφου 4.1.2, παρουσιάζεται η βέλτιστη λύση που προκύπτει για το ίδιο

πρόβλημα με εφαρμογή πλέον του προτύπου της παραγράφου 4.2.1.

Χρησιμοποιούνται και πάλι τρεις εναλλακτικές τιμές του κόστους ελέγχου ( =IW 10 ,

=IW 50 και =IW 100 ), ενώ για την ελάχιστη συντήρηση χρησιμοποιείται

= =M PW 0,25W 125 και = =M PZ 0,25Z 0,25 . Τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά του

προβλήματος παραμένουν τα ίδια με αυτά της παραγράφου 4.1.2.

. . . ..

. . . ..


137

Ο πίνακας 4.2 είναι αντίστοιχος του πίνακα 4.1 και περιλαμβάνει τη βέλτιστη

λύση που προκύπτει με περιοδικούς ελέγχους για κάθε μία από τις τρεις τιμές WI

καθώς επίσης και τη βέλτιστη λύση που προκύπτει με εφαρμογή του προτύπου της

παραγράφου 3.2.1 (συνεχής έλεγχος και ελάχιστη συντήρηση στην εκτός ελέγχου

κατάσταση) στο ίδιο πρόβλημα. Για τα αριθμητικά παραδείγματα του πίνακα 4.2 με

ελέγχους μεταβλητής συχνότητας η συχνότητα ελέγχων μεταβάλλεται με τον ίδιο

τρόπο που περιγράφηκε στην παράγραφο 4.1.2 για τα αντίστοιχα αριθμητικά

παραδείγματα του πίνακα 4.1. Επιπλέον, στον πίνακα 4.2 παρουσιάζεται και η

βέλτιστη λύση των ίδιων αριθμητικών παραδειγμάτων για την περίπτωση σταθερής

συχνότητας ελέγχων με =m1t 0 .

Πίνακας 4.2: Βέλτιστες λύσεις με συνεχή έλεγχο και με περιοδικούς ελέγχους

Μηχανισμός ελέγχου WI tm1 t2 m tm0 EPT

Συνεχής - 0 - - 21,3 466,90

10 3,4 6,6 13 20,27 456,93

50 6,5 13,2 4 21,24 448,89 Περιοδικός με

μεταβλητή συχνότητα 100 9,2 25,3 2 25,3 445,60

10 0 2,1 11 21,0 457,40

50 0 5,7 5 22,8 449,08 Περιοδικός με

σταθερή συχνότητα 100 0 10,9 3 21,8 445,40

Από τον πίνακα 4.2 είναι προφανές ότι στην περίπτωση των προτύπων με

ελάχιστη συντήρηση, όπως και στην περίπτωση των προτύπων με τέλεια

συντήρηση, η εισαγωγή των περιοδικών ελέγχων μειώνει γενικά το βέλτιστο κέρδος

έναντι του κέρδους που επιτυγχάνεται με συνεχή έλεγχο (πρώτη σειρά του πίνακα

4.2). Αύξηση του WI οδηγεί, όπως ήταν αναμενόμενο σε μικρότερο μέγιστο αριθμό

ελέγχων ανά κύκλο, μεγαλύτερα διαστήματα μεταξύ ελέγχων και χαμηλότερο

βέλτιστο κέρδος. Η μείωση στο βέλτιστο κέρδος που επέρχεται από την εισαγωγή

των περιοδικών ελέγχων εκφράζει, όπως σχολιάστηκε και στην παράγραφο 4.1.2, το

. . . ..

. . . ..


138

μέγιστο οικονομικό αντίτιμο ανά μονάδα χρόνου που έχει νόημα να επενδυθεί για τη

συνεχή γνώση της κατάστασης του εξοπλισμού.

Επιπλέον, από τον πίνακα 4.2 παρατηρείται ότι η σταθερή συχνότητα ελέγχων

έχει παρόμοια οικονομικά αποτελέσματα με τη μεταβλητή και μάλιστα στις

περιπτώσεις =IW 10 και =IW 50 η σταθερή συχνότητα είναι προτιμότερη. Αυτό

συμβαίνει γιατί η μεταβλητή συχνότητα ελέγχων οδηγεί σχετικά γρήγορα σε πολύ

συχνούς ελέγχους της διαδικασίας, λόγω της αυξημένης πιθανότητας βλάβης του

εξοπλισμού, ενώ το φαινόμενο αυτό αποτρέπεται με τη χρήση σταθερής συχνότητας

ελέγχων.

Τέλος, από τη σύγκριση των αποτελεσμάτων αυτής της παραγράφου με τα

αντίστοιχα αποτελέσματα της παραγράφου 4.1.2 παρατηρείται ότι σε κάποιες

περιπτώσεις προκύπτει ως προτιμότερη η πολιτική συντήρησης με τέλεια συντήρηση

στην εκτός ελέγχου κατάσταση (ΡΜ) ενώ σε κάποιες άλλες περιπτώσεις προκύπτει

ως προτιμότερη η πολιτική συντήρησης με ελάχιστη συντήρηση στην εκτός ελέγχου

κατάσταση (ΜΜ). Ειδικότερα, τόσο στην περίπτωση της μεταβλητής όσο και στην

περίπτωση της σταθερής συχνότητας ελέγχων, για χαμηλές τιμές WI είναι

προτιμότερη (οικονομικά αποτελεσματικότερη) η πολιτική με ΜΜ στην κατάσταση 1,

ενώ για υψηλές τιμές WI είναι προτιμότερη η πολιτική με ΡΜ στην κατάσταση 1. Το

φαινόμενο αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι όταν η επίδραση της συστηματικής αιτίας

αντιμετωπίζεται με ΜΜ ο κύκλος συνεχίζεται και οδηγούμαστε γενικά σε μεγαλύτερο

μέσο αριθμό ελέγχων ανά κύκλο απ’ ό,τι στην πολιτική όπου η επίδραση της

συστηματικής αιτίας αντιμετωπίζεται με ΡΜ, η οποία οριοθετεί το τέλος του κύκλου.

Κατά συνέπεια, αύξηση του κόστους WI τείνει να έχει εντονότερη αρνητική επίδραση

σε πολιτικές τύπου ΜΜ απ’ ό,τι σε πολιτικές τύπου ΡΜ.

. . . ..

. . . ..

Συνδυασμός συντήρησης και ελέγχου ποιότητας

139

5. ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ

Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζεται η περίπτωση των περιοδικών ελέγχων της

κατάστασης του εξοπλισμού, οι οποίοι όμως υπόκεινται σε σφάλματα. Τα γενικά

χαρακτηριστικά και οι υποθέσεις του προβλήματος δε μεταβάλλονται από αυτά που

περιγράφηκαν στα δύο προηγούμενα κεφάλαια της διατριβής, η ανάλυση όμως

επεκτείνεται για να συμπεριλάβει το ενδεχόμενο εσφαλμένων ενδείξεων της

τρέχουσας κατάστασης του εξοπλισμού από τους διενεργούμενους ελέγχους.

Συγκεκριμένα, θεωρούμε ότι οι έλεγχοι που διενεργούνται για τον προσδιορισμό

της κατάστασης λειτουργίας του εξοπλισμού είναι δειγματοληπτικοί έλεγχοι ποιότητας

των παραγόμενων προϊόντων ή μετρήσεις ενός χαρακτηριστικού της κατάστασης του

εξοπλισμού, που καταχωρίζονται σε κάποιο διάγραμμα ελέγχου και υπόκεινται σε

στατιστικά σφάλματα (α΄ και β΄ είδους), όπως αυτά που χαρακτηρίζουν τα

διαγράμματα ελέγχου ποιότητας μιας παραγωγικής διαδικασίας. Το σφάλμα ελέγχου

α΄ είδους αφορά το ενδεχόμενο λανθασμένης ένδειξης επίδρασης της συστηματικής

αιτίας από το διάγραμμα ελέγχου ενώ στην πραγματικότητα ο εξοπλισμός λειτουργεί

σε στατιστικό έλεγχο. Το σφάλμα β΄ είδους, σε αντιδιαστολή, αφορά το ενδεχόμενο

όπου δεν υπάρχει ένδειξη επίδρασης από το διάγραμμα ελέγχου ενώ στην

πραγματικότητα ο εξοπλισμός λειτουργεί εκτός στατιστικού ελέγχου. Στην πρώτη

περίπτωση η λανθασμένη ένδειξη επίδρασης της συστηματικής αιτίας οδηγεί σε

περαιτέρω διερεύνηση της κατάστασης του εξοπλισμού που συνεπάγεται το ανάλογο

κόστος και ενδέχεται να απαιτεί ακόμη και τη διακοπή της παραγωγικής διαδικασίας

επί αρκετό χρόνο. Στην περίπτωση σφάλματος β΄ είδους ο εξοπλισμός εξακολουθεί

να λειτουργεί εν αγνοία μας εκτός στατιστικού ελέγχου παράγοντας προϊόντα

υποδεέστερης ποιότητας ή/και επιβαρύνοντας τη διαδικασία με υψηλότερο κόστος

λειτουργίας ενώ ταυτόχρονα χαρακτηρίζεται και από αυξημένη πιθανότητα βλάβης.

. . . ..

. . . ..


140

Ειδικότερα, κάθε δειγματοληπτικός έλεγχος των παραγόμενων προϊόντων έχει

κόστος WQCI και απαιτεί χρόνο ZQCI για τη διενέργειά του. Επιπλέον, ένδειξη

επίδρασης της συστηματικής αιτίας από το χρησιμοποιούμενο διάγραμμα ελέγχου

ακολουθείται από περαιτέρω διερεύνηση στον εξοπλισμό για τον ακριβή καθορισμό

της πραγματικής κατάστασης λειτουργίας του. Η διερεύνηση αυτή, είτε η ένδειξη από

το διάγραμμα οφείλεται σε σφάλμα α΄ είδους είτε είναι αληθής, έχει διάρκεια ZI και

κόστος WI, κατ’ αντιστοιχία με τους ακριβείς ελέγχους των προτύπων του κεφαλαίου

4. Κατά τη διάρκεια διενέργειας του δειγματοληπτικού ελέγχου καθώς επίσης και

κατά τη διάρκεια διερεύνησης της πραγματικής κατάστασης λειτουργίας του

εξοπλισμού η παραγωγική διαδικασία διακόπτεται αλλά μπορεί να συνεχιστεί

κανονικά αμέσως μετά, εφόσον το αποτέλεσμα του ελέγχου ή της διερεύνησης δε

σηματοδοτεί το τέλος του κύκλου. Είναι προφανές ότι η διαμόρφωση του

μαθηματικού προτύπου είναι πρακτικά η ίδια αν η διαδικασία δε διακόπτεται κατά τη

διεξαγωγή των ελέγχων και τη διερεύνηση πιθανού προβλήματος, αλλά η διάρκεια

των ενεργειών αυτών είναι σχετικά μικρή ώστε να θεωρείται αμελητέα ( QCI IZ Z 0= = ).

Τα σφάλματα ελέγχου συνδέονται άμεσα αφενός με το μέγεθος του δείγματος

(αριθμό μετρήσεων) που χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της διαδικασίας (n) και

αφετέρου με τις παραμέτρους του διαγράμματος. Για παράδειγμα σε ένα τυπικό

διάγραμμα ελέγχου μέσης τιμής τύπου Shewhart θεωρώντας ότι το ελεγχόμενο

χαρακτηριστικό ποιότητας ακολουθεί την κανονική κατανομή Ν(μ0,σ2) η πιθανότητα

σφάλματος α΄ είδους υπολογίζεται από τη σχέση

α 2Φ( k)= − , (5.1)

όπου ( )Φ u η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της ανηγμένης (τυπικής) κανονικής

κατανομής Ν(0,1) και k ο συντελεστής ορίων ελέγχου του διαγράμματος. Η

πιθανότητα σφάλματος β΄ είδους, αντίστοιχα, υπολογίζεται από τη σχέση

( ) ( )= − − − −β Φ k δ n Φ k δ n , (5.2)

. . . ..

. . . ..


141

όπου δ η μετατόπιση που προκαλεί η επίδραση της συστηματικής αιτίας στη μέση

τιμή του ελεγχόμενου χαρακτηριστικού μετρούμενη σε αριθμό τυπικών αποκλίσεων:

= +1 0μ μ δσ . Περισσότερες λεπτομέρειες για τα χαρακτηριστικά και τον τρόπο

λειτουργίας των διαγραμμάτων ελέγχου περιέχονται σε εξειδικευμένα συγγράμματα

Ελέγχου Ποιότητας (π.χ. Ταγαράς, 2001 και Montgomery, 2001).

Στόχος στο κεφάλαιο αυτό είναι η κατάστρωση της συνάρτησης κέρδους που

περιγράφει ικανοποιητικά τη λειτουργία του εξοπλισμού με συνδυασμό

δειγματοληπτικών ελέγχων και προληπτικής συντήρησης. Και σ’ αυτό το κεφάλαιο,

όπως και στα δύο προηγούμενα, εξετάζονται δύο είδη προληπτικής συντήρησης:

τέλεια προληπτική συντήρηση και ελάχιστη προληπτική συντήρηση στην εκτός

ελέγχου κατάσταση. Σε κάθε περίπτωση, βελτιστοποίηση της κατάλληλης

συνάρτησης μέσου κέρδους επιτρέπει τον προσδιορισμό των βέλτιστων παραμέτρων

της διαδικασίας ελέγχου ποιότητας (μέγεθος δείγματος n, συντελεστής ορίων ελέγχου

k και χρονικές στιγμές ελέγχων ti) καθώς επίσης και των βέλτιστων παραμέτρων της

εφαρμοζόμενης πολιτικής συντήρησης (ηλικία προληπτικής συντήρησης στην

κατάσταση 0, tm0, και στην κατάσταση 1, tm1). Στα πρότυπα του κεφαλαίου αυτού,

δηλαδή, συνδυάζονται πλήρως οι διαδικασίες ελέγχου ποιότητας με τις διαδικασίες

συντήρησης του εξοπλισμού και επιτυγχάνεται το συνολικά βέλτιστο αποτέλεσμα.

Η συχνότητα των ελέγχων είναι πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό των προτύπων

αυτού του κεφαλαίου εφόσον οριοθετεί τα χρονικά διαστήματα κατά τη διάρκεια των

οποίων δεn μπορούμε να έχουμε καμία πληροφορία για την τρέχουσα κατάσταση

του εξοπλισμού. Όπως στο κεφάλαιο 4 έτσι και εδώ η κατάστρωση των προτύπων

γίνεται για τη γενική περίπτωση όπου οι κατανομές των χρόνων μέχρι την επίδραση

της συστηματικής αιτίας καθώς επίσης και μέχρι την εμφάνιση βλάβης επιτρέπεται να

έχουν οποιαδήποτε μορφή και κατά συνέπεια η συχνότητα των ελέγχων που

χρησιμοποιείται είναι γενικά μεταβλητή. Ο μηχανισμός παρακολούθησης της

διαδικασίας για τους δύο τρόπους προληπτικής συντήρησης (τέλεια και ελάχιστη)

. . . ..

. . . ..


142

στην εκτός ελέγχου κατάσταση δε διαφοροποιείται από ό,τι περιγράφηκε στο

κεφάλαιο 4 (σχήμα 4.1).

Για την εφαρμογή των προτύπων με συγκεκριμένες πλέον παραμέτρους του

προβλήματος στα αριθμητικά παραδείγματα που παρουσιάζονται στις παραγράφους

5.1.2 και 5.2.2 ο τρόπος μεταβολής της συχνότητας ελέγχων καθορίζεται όπως και

στο κεφάλαιο 4. Χρησιμοποιείται δηλαδή ως κριτήριο καθορισμού της συχνότητας

ελέγχων η διατήρηση ίδιας πιθανότητας βλάβης μεταξύ των ελέγχων υπό τη συνθήκη

ότι ο εξοπλισμός λειτουργεί στην κατάσταση 0 στην αρχή κάθε διαστήματος.

Σημειώνεται ότι η συνθήκη αυτή, που είναι σαφής και ακριβής στα πρότυπα του

τετάρτου κεφαλαίου, δεν ισχύει με βεβαιότητα στα πρότυπα του κεφαλαίου αυτού,

όπου λόγω των στατιστικών σφαλμάτων ελέγχου ο εξοπλισμός στην αρχή ενός

διαστήματος i ( 2 i m≤ ≤ ) μπορεί να λειτουργεί εκτός στατιστικού ελέγχου (κατάσταση

1). Η διατήρηση ίδιας πιθανότητας βλάβης μεταξύ των ελέγχων για κάθε πιθανή

κατάσταση λειτουργίας του εξοπλισμού στην αρχή κάθε διαστήματος (που μπορεί να

είναι γνωστή ή άγνωστη κατά περίπτωση) είναι μια ιδιαίτερα πολύπλοκη διαδικασία

και γι’ αυτό το λόγο χρησιμοποιείται και σ’ αυτό το κεφάλαιο η απλούστερη συνθήκη

του προηγούμενου κεφαλαίου. Άλλωστε, ο βέλτιστος σχεδιασμός του διαγράμματος

ελέγχου δε χαρακτηρίζεται κατά κανόνα από ιδιαίτερα μεγάλες τιμές του σφάλματος

β΄ είδους και κατά συνέπεια η πιθανότητα λειτουργίας του εξοπλισμού στην

κατάσταση 1 στην αρχή κάποιου διαστήματος θα είναι γενικά μικρή.

Η πιθανότητα βλάβης σε κάθε διάστημα i υπό τη συνθήκη ότι ο εξοπλισμός

λειτουργεί στην κατάσταση 0 στην αρχή του διαστήματος υπολογίζεται από τη σχέση

(4.2) ενώ η προαναφερθείσα συνθήκη ίδιας πιθανότητας βλάβης σε κάθε διάστημα

ικανοποιείται εφόσον ικανοποιείται η σχέση (4.3). Κατά συνέπεια αρκεί και πάλι να

προσδιοριστεί η βέλτιστη τιμή της χρονικής στιγμής ελέγχου t2 και όλες οι επόμενες

χρονικές στιγμές ελέγχου επιλέγονται έτσι ώστε να ικανοποιείται η σχέση (4.3).

Τελικά, δηλαδή, η βελτιστοποίηση των προτύπων επικεντρώνεται στον

. . . ..

. . . ..


143

προσδιορισμό των βέλτιστων τιμών m, =1 m1t t , t2, n και k, που καθορίζουν πλήρως

τη λειτουργία της διαδικασίας.

Στην παράγραφο 5.1 παρουσιάζεται αναλυτικά η περίπτωση της τέλειας

προληπτικής συντήρησης του εξοπλισμού όταν εντοπίζεται επίδραση της

συστηματικής αιτίας, ενώ στην παράγραφο 5.2 παρουσιάζεται η περίπτωση της

ελάχιστης συντήρησης στην εκτός ελέγχου κατάσταση.


Στην παράγραφο αυτή, όπως και στις παραγράφους 3.1 και 4.1, θεωρούμε ότι

οποτεδήποτε εντοπίζεται επίδραση της συστηματικής αιτίας, μετά την οριακή ηλικία

tm1, ο εξοπλισμός συντηρείται τέλεια και επανέρχεται σε άριστη κατάσταση.

Επιπλέον, ο εξοπλισμός συντηρείται τέλεια εφόσον φτάσει στην οριακή ηλικία tm0

χωρίς να έχει προηγηθεί βλάβη ανεξάρτητα από την τρέχουσα κατάσταση

λειτουργίας του αλλά και οποτεδήποτε εμφανιστεί βλάβη.

Συνεπώς κάθε κύκλος ξεκινά με τον εξοπλισμό σε άριστη κατάσταση (μηδενική

ηλικία και λειτουργία στην κατάσταση 0) και τελειώνει είτε με επιδιόρθωση βλάβης

πριν από την οριακή ηλικία tm0 είτε με τέλεια προληπτική συντήρηση σε ηλικία ti

( m1 i m0t t t≤ ≤ ), όπου 1 i m≤ ≤ .



χρησιμοποιούνται δε διαφέρουν βασικά από όσα έχουν ήδη χρησιμοποιηθεί στην

παράγραφο 4.1. Εν προκειμένω, όμως, οι έλεγχοι της διαδικασίας είναι ουσιαστικά

δειγματοληπτικοί έλεγχοι ποιότητας, οι οποίοι ενδέχεται να ακολουθούνται, σε

περίπτωση ένδειξης προβλήματος από το διάγραμμα ελέγχου, από περαιτέρω

διερεύνηση στον εξοπλισμό για τον ακριβή πλέον προσδιορισμό της πραγματικής

κατάστασης λειτουργίας. Η διερεύνηση αυτή μπορεί να οδηγήσει είτε σε επιβεβαίωση

είτε σε απόρριψη της ένδειξης επίδρασης της συστηματικής αιτίας. Επομένως, οι

. . . ..

. . . ..


144

συμβολισμοί που χρησιμοποιούνται για τη διαδικασία ελέγχων διαφοροποιούνται

ελαφρώς από αυτούς της παραγράφου 4.1 και γι’ αυτόν τον λόγο παρουσιάζονται

παρακάτω:

ZQCI Μέση τιμή του χρόνου δειγματοληπτικού ελέγχου

WQCI Κόστος δειγματοληπτικού ελέγχου

Ε(QCI) Μέσος αριθμός δειγματοληπτικών ελέγχων σε έναν κύκλο λειτουργίας

Ε(α) Μέσος αριθμός σφαλμάτων α΄ είδους σε έναν κύκλο λειτουργίας

ZI Μέση τιμή του χρόνου διερεύνησης της κατάστασης της διαδικασίας

WI Κόστος διερεύνησης της κατάστασης της διαδικασίας

Το κόστος δειγματοληπτικού ελέγχου αποτελείται γενικά από ένα σταθερό

κόστος ci, ανεξάρτητο του μεγέθους δείγματος n (αριθμού μετρήσεων) και από ένα

μεταβλητό κόστος cn ανά μέτρηση, δίνεται δηλαδή από μια σχέση της μορφής

QCI i nW c c n= + . (5.3)

Ο μέσος χρόνος δειγματοληπτικού ελέγχου θεωρείται ανεξάρτητος του μεγέθους

δείγματος n.



πέντε πλέον μεταβλητών απόφασης m, t1, t2, n και k, οι οποίες καθορίζουν

μονοσήμαντα τις δύο οριακές ηλικίες του εξοπλισμού tm1 και tm0 καθώς επίσης και τη

διαδικασία ελέγχων.




. . . ..

. . . ..


145







• ΖQCI: μέσος χρόνος που απαιτείται για τη διενέργεια δειγματοληπτικού

ελέγχου, όσες φορές χρειαστεί σε κάθε κύκλο.

• ZI: μέσος χρόνος που απαιτείται για τη διερεύνηση της πραγματικής

κατάστασης του εξοπλισμού κατόπιν ενδείξεως από το διάγραμμα ελέγχου,

είτε η ένδειξη είναι αληθής είτε οφείλεται σε σφάλμα α΄ είδους, όσες φορές


Καταρχάς θα υπολογιστούν κάποιες πιθανότητες που αφορούν την κατάσταση

λειτουργίας του εξοπλισμού κατά τη διάρκεια του χρονικού κύκλου, οι οποίες είναι

ιδιαίτερα χρήσιμες για την κατάστρωση της συνάρτησης κέρδους. Ειδικότερα, η

πιθανότητα λειτουργίας του εξοπλισμού στην κατάσταση 0 σε ηλικία ti ( 0 i m 1≤ ≤ − ),

( )0t ip , δίνεται από τη σχέση

( ) ( ) ( )00 i it ip Φ t F t= ≤ ≤ −0 i m 1. (5.4)

Η πιθανότητα λειτουργίας του εξοπλισμού στην κατάσταση 1 σε ηλικία ti (1 i m 1≤ ≤ − )

αμέσως μετά τον έλεγχο στο ti, ( )1t ip , δίνεται από τη σχέση

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )−

⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫i

i-1

t1 i 1 i1 1

0t i t i 11 1 i-1t

Φ t Φ tp β f t Φ t dt p

Φ t Φ t 1 i m 1≤ ≤ − .

Ο πρώτος όρος εντός των αγκυλών της παραπάνω σχέσης εκφράζει την πιθανότητα

η επίδραση να σημειώθηκε κατά το διάστημα i και να μην εμφανίστηκε βλάβη μέχρι

. . . ..

. . . ..


146

τη χρονική στιγμή ti, ενώ ο δεύτερος όρος εκφράζει την πιθανότητα ο εξοπλισμός να

λειτουργούσε ήδη από την αρχή του διαστήματος i στην κατάσταση 1 και να μην

εμφανίστηκε βλάβη μέχρι τη χρονική στιγμή ti. Σε κάθε περίπτωση, δεδομένου ότι η

πιθανότητα ( )1t ip υπολογίζεται αμέσως μετά τον έλεγχο στο ti, το άθροισμα των δύο

προηγούμενων πιθανοτήτων πολλαπλασιάζεται με την πιθανότητα σφάλματος β΄

είδους του διαγράμματος ελέγχου. Η σχέση υπολογισμού της ( )1t ip εναλλακτικά

μπορεί να γραφεί στη μορφή

( ) ( ) ( ) ( )( )

+ −

=

= ∑ ∫j

j-1

ti1 i1 i 1 j

0t ij 1 1t

Φ tp β f t Φ t dt

Φ t ≤ ≤ −1 i m 1, (5.5)

ενώ για i=0 (αρχή του κύκλου) ισχύει προφανώς

( ) =1t 0p 0 .


Ο χρόνος κατά τον οποίο ο εξοπλισμός λειτουργεί στην κατάσταση 0, T0,

υπολογίζεται όπως ακριβώς και στην παράγραφο 4.1.1 για την περίπτωση των

περιοδικών ελέγχων χωρίς σφάλματα. Η σχέση υπολογισμού της μέσης τιμής του

χρόνου Τ0 είναι επομένως ίδια με τη σχέση (4.4) και έχει τη μορφή

( ) ( )= ∫m0t

0 00

Ε(Τ ) Φ t F t dt . (5.6)


Ο τρόπος υπολογισμού του χρόνου λειτουργίας στην κατάσταση 1, αντίθετα,

διαφοροποιείται από ό,τι παρουσιάστηκε στην παράγραφο 4.1.1 δεδομένου ότι εν

προκειμένω δεν μπορούμε να γνωρίζουμε με ακρίβεια την πραγματική κατάσταση

λειτουργίας του εξοπλισμού στην αρχή κάθε διαστήματος i. Ο μέσος χρόνος

λειτουργίας, T1(i), στην κατάσταση 1 σε κάθε διάστημα i εξαρτάται από την κατάσταση

λειτουργίας του εξοπλισμού στην αρχή του διαστήματος, αμέσως μετά τον έλεγχο

. . . ..

. . . ..


147

στο ti-1. Συγκεκριμένα, ο μέσος χρόνος λειτουργίας στην κατάσταση 1 δεδομένου ότι

ο εξοπλισμός λειτουργεί στην κατάσταση 0 στην αρχή του διαστήματος, ( )01 iΤ ,

υπολογίζεται με τρόπο ανάλογο με αυτόν της παραγράφου 4.1.1 και δίνεται από τη

σχέση

( )( )( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )( )

( )( )

′ ′−′= + −∫ ∫ ∫

i i i

i-1 i-1

t t t0 1 0 1 i0

i1 ii-1 i-10 i-1 1 0 i-1 1t t t

f t Φ t (t t)φ t f t Φ t Φ tΤ dt dt t t dt

F t F tΦ t Φ t Φ t Φ t ≤ ≤1 i m,

η οποία χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 2 του παραρτήματος Α απλοποιείται


( )( )( )

( )( )

( )( )′

′= ∫ ∫i i

i-1

t t0 10

1 ii-1 0 i-1 1t t

f t Φ t Φ tΤ dt dt

F t Φ t Φ t ≤ ≤1 i m. (5.7)

Ο μέσος χρόνος λειτουργίας στην κατάσταση 1 δεδομένου ότι ο εξοπλισμός

λειτουργεί ήδη στην κατάσταση 1 στην αρχή του διαστήματος, ( )11 iΤ , δίνεται από τη

σχέση

( )( )

( ) ( ) ( )( )−= + −∫

i

i-1

ti-1 1 1 i1

i i 11 i1 i-1 1 i-1t

(t - t )φ t Φ tΤ dt t t

Φ t Φ t ≤ ≤1 i m,

η οποία και πάλι χρησιμοποιώντας την ιδιότητα 2 του παραρτήματος Α απλοποιείται

και καταλήγει στη μορφή

( )( )( )

i

i-1

t11

1 i1 i-1t

Φ tΤ dt

Φ t= ∫ ≤ ≤1 i m. (5.8)

Συνεπώς, η μέση τιμή του χρόνου λειτουργίας στην κατάσταση 1 σε κάθε διάστημα i,

Τ1(i), δίνεται από τη σχέση

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

′′= + = +∫ ∫ ∫

i i i

i-1 i-1

t t t1 10 0 1 1 1

1(i) 0t i-1 1 i t i-1 1 i t i-11 1 i-1t t t

Φ t Φ tΤ p Τ p Τ f t Φ t dt dt p dt

Φ t Φ t ≤ ≤1 i m

(5.9)

. . . ..

. . . ..


148

και η μέση τιμή του συνολικού χρόνου λειτουργίας στην κατάσταση 1 σε έναν κύκλο


( )m

1 1(i)i 1

E T Τ=

= ∑ . (5.10)



στην οριακή ηλικία tm0 χωρίς να προηγηθεί βλάβη (είτε στην κατάσταση 0 είτε στην

κατάσταση 1) αλλά και σε οποιοδήποτε έλεγχο σε ηλικία ti (1 i m 1≤ ≤ − ) εντοπιστεί

λειτουργία υπό την επίδραση της συστηματικής αιτίας. Η πιθανότητα προληπτικής

συντήρησης σε κάθε διάστημα i (1 i m 1≤ ≤ − ) δεδομένου ότι ο εξοπλισμός λειτουργεί

στην κατάσταση 0 στην αρχή του διαστήματος, ( )0PM ip , δίνεται από τη σχέση

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

= − ∫i

i-1

t0 1 i0

PM ii-1 0 i-1 1t

f t Φ t Φ tp 1 β dt

F t Φ t Φ t ≤ ≤ −1 i m 1, (5.11)

ενώ η αντίστοιχη πιθανότητα αν ο εξοπλισμός βρίσκεται ήδη στην κατάσταση 1 από

την αρχή του διαστήματος, ( )1PM ip , δίνεται από τη σχέση

( ) ( ) ( )( )

= − 1 i1PM i

1 i-1

Φ tp 1 β

Φ t ≤ ≤ −1 i m 1. (5.12)

Άρα η πιθανότητα προληπτικής συντήρησης του εξοπλισμού σε κάθε διάστημα i,

( )PM ip , ανεξάρτητα από την κατάσταση λειτουργίας του στην αρχή του διαστήματος


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )−

−

=

⎡ ⎤⎢ ⎥= + = − +⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∫ ∫ji

i-1 j-1

tt i 11 i 1 i0 0 1 1 i j

0 0PM i t i-1 PM i t i-1 PM ij 11 1t t

Φ t Φ tp p p p p 1 β f t Φ t dt β f t Φ t dt

Φ t Φ t

( ) ( ) ( ) ( )( )

−

=

= ∑ ∫j

j-1

ti1 ii j

0j 1 1t

Φ t1- β β f t Φ t dt

Φ t ≤ ≤ −1 i m 1. (5.13)

. . . ..

. . . ..


149

Επιπλέον, η πιθανότητα προληπτικής συντήρησης του εξοπλισμού στην οριακή

ηλικία tm0, ( )PM mp , δίνεται από τη σχέση

( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫m

m-1

tm 0 m 0 1 m 1 m0 1

PM m t m-1 t m-1m-1 m-10 m-1 0 m-1 1 1 m-1t

F t Φ t f t Φ t Φ t Φ tp p dt p

F t F tΦ t Φ t Φ t Φ t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

−

=

= +∑ ∫j

j-1

tm1 mm j

m 0 m 0j 1 1t

Φ tF t Φ t β f t Φ t dt

Φ t. (5.14)

Ο πρώτος όρος της σχέσης αυτής εκφράζει την πιθανότητα να μη σημειωθεί

επίδραση της συστηματικής αιτίας μέχρι το tm0 ενώ ο δεύτερος όρος εκφράζει την

πιθανότητα να σημειωθεί επίδραση σε κάποιο διάστημα αλλά να μην εντοπιστεί σε

κανέναν από τους δειγματοληπτικούς ελέγχους που έπονται της επίδρασης. Oπότε

τελικά η συνολική πιθανότητα προληπτικής συντήρησης σε έναν κύκλο δίνεται από

τη σχέση

=

= ∑m

PM PM(i)i 1

p p . (5.15)




Δειγματοληπτικοί έλεγχοι της διαδικασίας διενεργούνται στο τέλος κάθε χρονικού

διαστήματος i (1 i m 1≤ ≤ − ) εφόσον δεν έχει εμφανιστεί βλάβη, ενώ δε διενεργείται

έλεγχος στο τέλος του κύκλου (ηλικία tm0 ή i=m) δεδομένου ότι θα εκτελεστεί ούτως ή

άλλως τέλεια προληπτική συντήρηση του εξοπλισμού. Εξαίρεση αποτελεί και πάλι η

περίπτωση όπου m1t 0= ( 1 0t t 0= = ) κατά την οποία ο έλεγχος στο t1 δεν έχει νόημα

και άρα δε διενεργείται οπότε και η σχέση υπολογισμού του μέσου αριθμού ελέγχων

ανά κύκλο Ε(QCI) εμφανίζεται ελαφρώς διαφοροποιημένη και θα υπολογιστεί

ξεχωριστά.

. . . ..

. . . ..


150

Η πιθανότητα ελέγχου στο τέλος κάποιου διαστήματος i (1 i m 1≤ ≤ − ) δεδομένου

ότι ο εξοπλισμός λειτουργεί στην κατάσταση 0 στην αρχή του διαστήματος, ( )0QCI ip ,

ισούται ουσιαστικά με την πιθανότητα να μην εμφανιστεί βλάβη στον εξοπλισμό σε

αυτό το διάστημα και δίνεται από τη σχέση

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

= + ∫i

i-1

ti 0 i 0 1 i0

QCI ii-1 i-10 i-1 0 i-1 1t

F t Φ t f t Φ t Φ tp dt

F t F tΦ t Φ t Φ t. (5.16)

Η αντίστοιχη πιθανότητα για την περίπτωση όπου ο εξοπλισμός λειτουργεί στην

κατάσταση 1 από την αρχή του διαστήματος, ( )1QCI ip , δίνεται από τη σχέση

( )( )( )

= 1 i1QCI i

1 i-1

Φ tp

Φ t. (5.17)

Κατά συνέπεια η πιθανότητα ελέγχου σε κάθε διάστημα i, ( )QCI ip , ανεξάρτητα από την

κατάσταση λειτουργίας του εξοπλισμού στην αρχή του διαστήματος δίνεται από τη

σχέση

( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫i

i-1

ti 0 i 0 1 i 1 i0 1

QCI i t i-1 t i-1i-1 i-10 i-1 0 i-1 1 1 i-1t


F t F tΦ t Φ t Φ t Φ t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

−

=

= +∑ ∫j

j-1

ti1 ii j

i 0 i 0j 1 1t

Φ tF t Φ t β f t Φ t dt

Φ t ≤ ≤ −1 i m 1. (5.18)

Συνεπώς, ο μέσος αριθμός ελέγχων ανά κύκλο υπολογίζεται από τη σχέση

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

−

= =

⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ ∫j

j-1

tm-1 i1 ii j

i 0 i 0i 1 j 1 1t

Φ tE QCI F t Φ t β f t Φ t dt

Φ t, (5.19)

όπου m 2≥ . Για m 1= ( =m1 m0t t ) δε διενεργείται κανένας έλεγχος και επομένως

( ) =E QCI 0 .

. . . ..

. . . ..


151

Στην ειδική περίπτωση όπου =1t 0 ( m1t 0= ) δεδομένου ότι ο έλεγχος στο t1

εξαιρείται η σχέση (5.19) τροποποιείται ελαφρώς και ο μέσος αριθμός ελέγχων ανά

κύκλο υπολογίζεται από τη σχέση

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

−

= =

⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ ∫j

j-1

tm-1 i1 ii j

i 0 i 0i 2 j 1 1t

Φ tE QCI F t Φ t β f t Φ t dt

Φ t (5.20)

όπου m 3≥ . Για m 1= ( = =m1 m0t t 0 ) καθώς επίσης και για m 2= δε μεσολαβεί

κάποιος έλεγχος μεταξύ του tm1 και του tm0, οπότε ισχύει και πάλι ( ) =E QCI 0 .

Μέσος αριθμός σφαλμάτων α΄ είδους ανά κύκλο

Η πιθανότητα εσφαλμένης ένδειξης επίδρασης της συστηματικής αιτίας σε

κάποιον έλεγχο, ( )α ip , ισούται με την πιθανότητα λειτουργίας στην κατάσταση 0 κατά

τη χρονική στιγμή του ελέγχου επί την πιθανότητα σφάλματος α΄ είδους σε κάθε

δειγματοληψία.

( ) ( ) ( )= 0 i iα ip αΦ t F t ≤ ≤ −1 i m 1. (5.21)

Κατά συνέπεια, ο μέσος αριθμός σφαλμάτων α΄ είδους ανά κύκλο υπολογίζεται

γενικά από τη σχέση

( ) ( )=

= ∑m-1

α ii 1

E α p (5.22)

και ειδικότερα για την περίπτωση όπου =1t 0 ( m1t 0= ) από τη σχέση

( ) ( )=

= ∑m-1

α ii 2

E α p . (5.23)

Για m 1= στη γενική περίπτωση καθώς επίσης και για m 1= ή m 2= στην

περίπτωση όπου =1t 0 ( m1t 0= ) δεν υφίστανται έλεγχοι και άρα ( ) =E α 0 .



. . . ..

. . . ..


152

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + + + + + −0 1 QCI I P PM PM I I PM mΕ(Τ) Ε(Τ ) E(T ) Z E QCI Z Z p Z 1- p ZE α Z p . (5.24)

Ο τελευταίος όρος της σχέσης (5.24) αφαιρείται γιατί στο τέλος του χρονικού

διαστήματος m (tm0) εκτελείται τέλεια προληπτική συντήρηση, με πιθανότητα ( )PM mp ,

χωρίς να προηγείται διερεύνηση της πραγματικής κατάστασης λειτουργίας του













• Κόστος που απαιτείται για τη διενέργεια δειγματοληπτικού ελέγχου (WQCI),

όσες φορές χρειαστεί σε κάθε κύκλο.

• Κόστος που απαιτείται για τη διερεύνηση της πραγματικής κατάστασης του

εξοπλισμού (WI) κατόπιν ενδείξεως από το διάγραμμα ελέγχου, είτε η ένδειξη

είναι αληθής είτε οφείλεται σε σφάλμα α΄ είδους, όσες φορές χρειαστεί σε


Συνεκτιμώντας τα παραπάνω, το μέσο κέρδος ανά κύκλο λειτουργίας, E(Ρ),


. . . ..

. . . ..


153

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + − − + − − − +0 0 1 1 QCI I P PM PM I I PM mΕ(P) R Ε(Τ ) R E(T ) W E QCI W W p W 1 p WE α Wp .

(5.25)

Ο τελευταίος όρος της σχέσης (5.25) προστίθεται για τον ίδιο λόγο που αφαιρέθηκε ο

τελευταίος όρος της σχέσης (5.24).


Δεδομένου ότι το πρόβλημα που μελετάται εκφράζεται και πάλι ως διαδικασία


λόγο του μέσου κέρδους ανά κύκλο προς τη μέση διάρκεια του κύκλου:

( )1 2E(P)EPT m,t , t ,n,kE(T)

= . (5.26)


Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται οι βέλτιστες λύσεις που προκύπτουν με

εφαρμογή του προτύπου της παραγράφου 5.1.1 στα αριθμητικά παραδείγματα που

παρουσιάστηκαν στην παράγραφο 4.1.2 για ακριβείς περιοδικούς ελέγχους.

Συγκεκριμένα, χρησιμοποιούνται τα ίδια χαρακτηριστικά του προβλήματος, όπου οι

τιμές WI και ZI αντιστοιχούν πλέον στο κόστος και τη διάρκεια της διερεύνησης που

έπεται ενδείξεως του διαγράμματος ελέγχου. Επιπλέον, όσον αφορά τα

χαρακτηριστικά των δειγματοληπτικών ελέγχων χρησιμοποιούνται οι τιμές ZQCI=0

(μηδενική διάρκεια ελέγχων), ci=5 (πάγιο κόστος δειγματοληψίας) και cn=1

(μεταβλητό κόστος δειγματοληψίας ανά μονάδα ελεγχόμενου προϊόντος). Η

επίδραση της συστηματικής αιτίας θεωρείται ότι προκαλεί μετατόπιση της μέσης

τιμής του ελεγχόμενου χαρακτηριστικού κατά δ=1 τυπική απόκλιση, ενώ δεν

επηρεάζει τη μεταβλητότητά του. Κατά συνέπεια, για τον στατιστικό έλεγχο της

διαδικασίας χρησιμοποιείται αποκλειστικά διάγραμμα ελέγχου μέσης τιμής.

. . . ..

. . . ..


154

Τα σφάλματα α΄ και β΄ είδους καθώς και το κόστος κάθε δειγματοληπτικού

ελέγχου υπολογίζονται για διάφορες τιμές μεγέθους δείγματος n και συντελεστή

ορίων ελέγχου του διαγράμματος k από τις σχέσεις (5.1), (5.2) και (5.3) αντίστοιχα.

Στον πίνακα 5.1 παρουσιάζονται οι βέλτιστες λύσεις και οι αντίστοιχες

πιθανότητες σφαλμάτων του διαγράμματος ελέγχου που προκύπτουν από εφαρμογή

του προτύπου για κάθε μία από τις τρεις τιμές WI.

Πίνακας 5.1: Βέλτιστες λύσεις με δειγματοληπτικούς ελέγχους μεταβλητής συχνότητας

WI n k Σφάλμα

α΄ είδους

Σφάλμα

β΄ είδους tm1 t2 m tm0 EPT

10 4 0,7 0,4839 0,0933 0 7,0 11 23,1 452,32

50 9 1,8 0,0719 0,1151 0 7,9 8 21,8 450,31

100 11 2,1 0,0357 0,1119 0 8,9 6 20,7 448,69

Στα αριθμητικά παραδείγματα του πίνακα 5.1 χρησιμοποιήθηκε μεταβλητή

συχνότητα ελέγχων με τρόπο που διασφαλίζει ίδια πιθανότητα εμφάνισης βλάβης

στον εξοπλισμό σε κάθε διάστημα μεταξύ ελέγχων υπό τη συνθήκη ότι ο εξοπλισμός

λειτουργεί εντός ελέγχου στην αρχή κάθε διαστήματος. Τα αποτελέσματα που

προκύπτουν από την επίλυση των ίδιων αριθμητικών παραδειγμάτων για την

περίπτωση σταθερής συχνότητας δειγματοληπτικών ελέγχων με m1t 0=

παρουσιάζονται στον πίνακα 5.2. Επισημαίνεται ότι στην πρώτη περίπτωση του

πίνακα 5.2 προκύπτει n=1 και k=0 στη βέλτιστη λύση, που σημαίνει ότι η

βελτιστοποίηση του προτύπου οδηγεί στη λήψη του ελάχιστου δυνατού δείγματος

(n=1) και στη διερεύνηση της κατάστασης του εξοπλισμού μετά από κάθε

δειγματοληπτικό έλεγχο (k=0). Το αποτέλεσμα αυτό πρακτικά σημαίνει ότι δεν έχει

νόημα η διενέργεια δειγματοληπτικών ελέγχων εφόσον αυτοί δε μειώνουν τελικά τη

συχνότητα διερεύνησης της πραγματικής κατάστασης της διαδικασίας. Το πρότυπο

. . . ..

. . . ..


155

δηλαδή επιβαρύνεται με το πάγιο κόστος δειγματοληψίας χωρίς το ανάλογο όφελος

καθώς το αποτέλεσμα της δειγματοληψίας δεν επηρεάζει την απόφαση για

διερεύνηση της κατάστασης του εξοπλισμού. Σε μια τέτοια περίπτωση ενδείκνυται

προφανώς η παράλειψη των δειγματοληπτικών ελέγχων και η εφαρμογή πολιτικής

ελέγχου ανάλογης με αυτή του κεφαλαίου 4. Γι’ αυτό το λόγο άλλωστε η αντίστοιχη

λύση της παραγράφου 4.1.2 (πίνακας 4.1) είναι οικονομικά προτιμότερη.

Πίνακας 5.2: Βέλτιστες λύσεις με δειγματοληπτικούς ελέγχους σταθερής συχνότητας

WI n k Σφάλμα

α΄ είδους

Σφάλμα


10 1 0 1 0 0 5,2 5 20,8 451,42

50 10 1,7 0,0891 0,0718 0 6,5 4 19,5 449,35

100 12 2,0 0,0455 0,0716 0 8,9 3 17,8 448,20

Από τους πίνακες 5.1 και 5.2 είναι καταρχάς εμφανής η μείωση στο βέλτιστο

κέρδος σε σχέση με την περίπτωση του συνεχούς και ακριβούς ελέγχου (όπου

=EPT 457,74 ), η οποία και πάλι υποδηλώνει το κόστος ανά μονάδα χρόνου που

αξίζει να επενδυθεί για τη συνεχή γνώση της κατάστασης του εξοπλισμού έναντι των

δειγματοληπτικών ελέγχων που υπόκεινται σε σφάλματα. Επιπλέον, σύγκριση των

αποτελεσμάτων αυτής της παραγράφου με τα αντίστοιχα αποτελέσματα της

παραγράφου 4.1.2 οδηγεί στο συμπέρασμα ότι, όταν υπάρχει δυνατότητα επιλογής

στον τρόπο ελέγχου, η προτιμότερη διαδικασία ελέγχου εξαρτάται από το κόστος

δειγματοληπτικών ελέγχων που υπόκεινται σε σφάλματα συγκριτικά με το κόστος

ακριβούς ελέγχου. Ειδικότερα για τα συγκεκριμένα αριθμητικά δεδομένα, όταν το

κόστος του ακριβούς ελέγχου/διερεύνησης της κατάστασης του εξοπλισμού είναι

χαμηλό συγκριτικά με το κόστος δειγματοληψίας (WI=10), η διαδικασία ελέγχου της

παραγράφου 4.1.2 είναι οικονομικά αποτελεσματικότερη. Αντίθετα, όταν το κόστος

. . . ..

. . . ..


156

του ακριβούς ελέγχου/διερεύνησης της κατάστασης του εξοπλισμού είναι υψηλό

συγκριτικά με το κόστος δειγματοληψίας (WI=50 ή 100), οι δειγματοληπτικοί έλεγχοι

είναι προτιμότεροι παρά τα στατιστικά τους σφάλματα καθώς η εφαρμογή τους

μειώνει τη συχνότητα των ακριβέστερων, αλλά ταυτόχρονα ακριβότερων, ελέγχων.


Στην παράγραφο αυτή, όπως και στις παραγράφους 3.2 και 4.2, θεωρούμε ότι

οποτεδήποτε εντοπίζεται επίδραση της συστηματικής αιτίας, μετά την οριακή ηλικία

tm1, εκτελείται ελάχιστη συντήρηση που επαναφέρει τον εξοπλισμό στην εντός

ελέγχου κατάσταση χωρίς όμως να επηρεάζει την ηλικία του. Επιπλέον, ο

εξοπλισμός συντηρείται τέλεια εφόσον φτάσει στην οριακή ηλικία tm0 χωρίς να έχει

προηγηθεί βλάβη αλλά και οποτεδήποτε εμφανίζεται βλάβη. Η πραγματική

κατάσταση του εξοπλισμού διερευνάται τη χρονική στιγμή tm0, χωρίς όμως τη

διενέργεια δειγματοληπτικού ελέγχου, και εάν λειτουργεί στην εκτός ελέγχου

κατάσταση συνδυάζονται δύο ενέργειες συντήρησης (ΜΜ και ΡΜ) έτσι ώστε να

αποκατασταθεί η εντός ελέγχου λειτουργία και ταυτόχρονα να ανανεωθεί πλήρως η

ηλικία του.

Κάθε κύκλος, λοιπόν, ξεκινά με τον εξοπλισμό σε άριστη κατάσταση (εντός

ελέγχου και μηδενικής ηλικίας) και τελειώνει είτε με τέλεια επιδιορθωτική συντήρηση

οποιαδήποτε χρονική στιγμή εμφανιστεί βλάβη είτε με τέλεια προληπτική συντήρηση

μόλις ο εξοπλισμός φτάσει στην ηλικία tm0, οτιδήποτε εμφανιστεί πρώτο. Σε κάθε

περίπτωση η συστηματική αιτία μπορεί να μην έχει επιδράσει καθόλου ή να έχει

επιδράσει μία ή περισσότερες φορές κατά τη διάρκεια του κύκλου.




τέλειας προληπτικής συντήρησης που παρουσιάστηκε στην παράγραφο 5.1.1, ενώ

. . . ..

. . . ..


157

χρησιμοποιούνται επιπλέον και οι συμβολισμοί των παραγράφων 3.2.1 και 4.2.1 που

αφορούν την ελάχιστη συντήρηση, ZM, WM και Ε(ΜΜ). Το μέσο κέρδος ανά μονάδα

χρόνου θα προσδιοριστεί από το λόγο του μέσου κέρδους ανά κύκλο προς τη μέση

διάρκεια του κύκλου ως συνάρτηση των πέντε μεταβλητών απόφασης m, t1, t2, n και

k.











σε περίπτωση εντοπισμού επίδρασης της συστηματικής αιτίας, όσες φορές


• ΖQCI: μέσος χρόνος που απαιτείται για τη διενέργεια δειγματοληπτικού

ελέγχου, όσες φορές χρειαστεί σε κάθε κύκλο.

• ZI: μέσος χρόνος που απαιτείται για τη διερεύνηση της πραγματικής

κατάστασης του εξοπλισμού κατόπιν ενδείξεως από το διάγραμμα ελέγχου,

είτε η ένδειξη είναι αληθής είτε οφείλεται σε σφάλμα α΄ είδους, όσες φορές

χρειαστεί σε κάθε κύκλο. Το ΖΙ εκφράζει επίσης και το μέσο χρόνο

διερεύνησης της πραγματικής κατάστασης του εξοπλισμού στο τέλος του

κύκλου (tm0).

. . . ..

. . . ..


158

Εν προκειμένω, η πιθανότητα λειτουργίας του εξοπλισμού στην κατάσταση 0 σε

ηλικία ti (1 i m 1≤ ≤ − ) αμέσως μετά τον έλεγχο στο ti, ( )0t ip , δίνεται από τη σχέση

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )− −

+ −

= + −∫i

i-1

t1 i

0 i i 01t 1 i0 0 1

t i t i 1 t i 10 i-1 i-1 1 i-1

Φ tΦ t F t 1 β f t Φ t dt

Φ t Φ tp p p 1 β

Φ t F t Φ t. (5.27)

Ο πρώτος όρος της σχέσης (5.27) εκφράζει την πιθανότητα ο εξοπλισμός να

λειτουργούσε στην κατάσταση 0 στην αρχή του διαστήματος i και είτε να παρέμεινε

σε αυτήν την κατάσταση μέχρι το τέλος του διαστήματος είτε να σημειώθηκε

επίδραση της συστηματικής αιτίας, η οποία όμως εντοπίστηκε από το διάγραμμα

ελέγχου με πιθανότητα 1-β και ο εξοπλισμός επανήλθε στην κατάσταση 0 αμέσως

μετά τον έλεγχο στο ti. Ο δεύτερος όρος εκφράζει την πιθανότητα ο εξοπλισμός να

λειτουργούσε στην κατάσταση 1 ήδη από την αρχή του διαστήματος i και να

παρέμεινε σε αυτήν την κατάσταση μέχρι τη χρονική στιγμή ti οπότε και εντοπίστηκε

η επίδραση της συστηματικής αιτίας με πιθανότητα 1-β και ο εξοπλισμός επανήλθε

στην κατάσταση 0 αμέσως μετά τον έλεγχο.

Η πιθανότητα λειτουργίας του εξοπλισμού στην κατάσταση 1 σε ηλικία ti

(1 i m 1≤ ≤ − ) αμέσως μετά τον έλεγχο στο ti, ( )1t ip , δίνεται από τη σχέση

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )( )− −= +

∫i

i-1

t1 i

01t 1 i1 0 1

t i t i 1 t i 10 i-1 i-1 1 i-1

Φ tβ f t Φ t dt

Φ t Φ tp p p β

Φ t F t Φ t. (5.28)

Ο πρώτος όρος της σχέσης (5.28) εκφράζει την πιθανότητα ο εξοπλισμός να

λειτουργούσε στην κατάσταση 0 στην αρχή του διαστήματος i και να σημειώθηκε

επίδραση της συστηματικής αιτίας κατά το διάστημα i, η οποία όμως δεν εντοπίστηκε

από τον έλεγχο στο ti λόγω σφάλματος β΄ είδους και επομένως ο εξοπλισμός

παρέμεινε στην κατάσταση 1. Ο δεύτερος όρος εκφράζει την πιθανότητα ο

εξοπλισμός να λειτουργούσε στην κατάσταση 1 ήδη από την αρχή του διαστήματος i,

. . . ..

. . . ..


159

να συνέχισε τη λειτουργία του μέχρι τον έλεγχο στο ti και να παρέμεινε στην

κατάσταση 1 ακόμη και μετά τον έλεγχο λόγω σφάλματος β΄ είδους. Για i=0 (αρχή

του κύκλου) ισχύει προφανώς ( ) =1t 0p 0 και ( ) =

0t 0p 1.


Ο μέσος χρόνος κατά τον οποίο ο εξοπλισμός λειτουργεί στην κατάσταση 0 σε

κάθε διάστημα i με δεδομένη την εντός ελέγχου λειτουργία στην αρχή του

διαστήματος υπολογίζεται όπως και στην παράγραφο 4.2 και δίνεται από τη σχέση

( )( )( )

( )( )

= ∫i

i-1

t00

0 ii-1 0 i-1t

F t Φ tΤ dt

F t Φ t ≤ ≤ −1 i m 1. (5.29)

Επομένως, η μέση τιμή του συνολικού χρόνου λειτουργίας στην κατάσταση 0 σε έναν


( ) ( ) ( )−=

= ∑m

0 00 0 i t i 1

i 1E T T p . (5.30)


Ο μέσος χρόνος λειτουργίας στην κατάσταση 1 σε κάποιο διάστημα i με

δεδομένη την εντός ελέγχου λειτουργία στην αρχή του διαστήματος, ( )01 iΤ , καθώς

επίσης και με δεδομένη την εκτός ελέγχου λειτουργία στην αρχή του διαστήματος,

( )11 iΤ , δίνεται από τις σχέσεις (5.7) και (5.8) της παραγράφου 5.1 αντίστοιχα. Ο μέσος

χρόνος λειτουργίας του εξοπλισμού στην κατάσταση 1 σε κάθε διάστημα i

ανεξάρτητα από την κατάσταση λειτουργίας του στην αρχή του διαστήματος, Τ1(i),

δίνεται και πάλι από τη σχέση

( ) ( ) ( ) ( )= +0 0 1 11(i) t i-1 1 i t i-1 1 iΤ p Τ p Τ

. . . ..

. . . ..


160

με τη διαφορά ότι οι πιθανότητες ( )0t i-1p και ( )

1t i-1p είναι γενικά διαφορετικές από τις

αντίστοιχες πιθανότητες της παραγράφου 5.1 και δίνονται από τις σχέσεις (5.27) και

(5.28) αντίστοιχα.

Τέλος, η μέση τιμή του συνολικού χρόνου λειτουργίας στην κατάσταση 1 σε έναν


( )=

= ∑m

1 1(i)i 1

E T Τ . (5.31)



φτάνει στην οριακή ηλικία tm0 χωρίς να σημειωθεί βλάβη. Άρα η πιθανότητα τέλειας

προληπτικής συντήρησης του εξοπλισμού σε έναν κύκλο, PMp , είναι

( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫m

m-1

tm 0 m 0 1 m 1 m0 1

PM t m-1 t m-1m-1 m-10 m-1 0 m-1 1 1 m-1t


F t F tΦ t Φ t Φ t Φ t. (5.32)



Μέσος αριθμός MM ανά κύκλο

Ελάχιστη συντήρηση εφαρμόζεται στον εξοπλισμό σε όποιον έλεγχο εντοπιστεί

επίδραση της συστηματικής αιτίας. Υπενθυμίζεται ότι ακόμη και στο τέλος του κύκλου

(χρονική στιγμή =m m0t t ) διερευνάται η κατάσταση του εξοπλισμού (χωρίς να

εκτελείται δειγματοληπτικός έλεγχος) και σε περίπτωση που ο εξοπλισμός λειτουργεί

υπό την επίδραση της συστηματικής αιτίας συνδυάζονται δύο ενέργειες συντήρησης

(ΜΜ και ΡΜ) ούτως ώστε ο νέος κύκλος να ξεκινήσει με τον εξοπλισμό σε άριστη

κατάσταση.

Στα πρώτα m-1 διαστήματα κάθε κύκλου ΜΜ εκτελείται αν και μόνο αν από τον

δειγματοληπτικό έλεγχο της διαδικασίας προκύψει αληθής ένδειξη επίδρασης της

. . . ..

. . . ..


161

συστηματικής αιτίας. Συνεπώς, η πιθανότητα ελάχιστης συντήρησης του εξοπλισμού

στο τέλος κάποιου διαστήματος i (1 i m 1≤ ≤ − ) δεδομένου ότι λειτουργούσε στην

κατάσταση 0 στην αρχή του διαστήματος, ( )0MM ip , δίνεται από τη σχέση

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

= −∫i

i-1

t1 i

01t0

MM i0 i-1 i-1

Φ tf t Φ t dt

Φ tp 1 β

Φ t F t, (5.33)

ενώ η αντίστοιχη πιθανότητα στην περίπτωση που ο εξοπλισμός λειτουργούσε στην

κατάσταση 1 από την αρχή του διαστήματος, ( )1MM ip , δίνεται από τη σχέση

( ) ( ) ( )( )

= − 1 i1MM i

1 i-1

Φ tp 1 β

Φ t. (5.34)

Άρα η πιθανότητα ελάχιστης συντήρησης του εξοπλισμού στο τέλος κάποιου

διαστήματος i (1 i m 1≤ ≤ − ) ανεξάρτητα από την κατάσταση λειτουργίας του στην

αρχή του διαστήματος, ( )MM ip , υπολογίζεται από τη σχέση

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +0 0 1 1MM i t i-1 MM i t i-1 MM ip p p p p . (5.35)

Στο τέλος του διαστήματος m δε διενεργείται δειγματοληπτικός έλεγχος αλλά

διερευνάται άμεσα η κατάσταση του εξοπλισμού, οπότε η πιθανότητα ελάχιστης

συντήρησης στο tm0, ( )MM mp , ισούται με την πιθανότητα ο εξοπλισμός να λειτουργεί

στην κατάσταση 1 στο τέλος του διαστήματος m και δίνεται από τη σχέση

( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

= +∫m

m-1

t1 m

01t 1 m0 1

MM m t m-1 t m-10 m-1 m-1 1 m-1

Φ tf t Φ t dt

Φ t Φ tp p p

Φ t F t Φ t. (5.36)

O μέσος αριθμός ΜΜ σε έναν κύκλο, E(MM), δίνεται από τη σχέση

( ) ( )=

= ∑m

MM ii 1

E MM p . (5.37)

. . . ..

. . . ..


162


Η πιθανότητα δειγματοληπτικού ελέγχου στο τέλος κάποιου διαστήματος i με

δεδομένη την εντός ελέγχου λειτουργία στην αρχή του διαστήματος, ( )0QCI ip , καθώς

επίσης και με δεδομένη την εκτός ελέγχου λειτουργία στην αρχή του διαστήματος,

( )1QCI ip , δίνονται από τις σχέσεις (5.16) και (5.17) της παραγράφου 5.1 αντίστοιχα. Η

πιθανότητα δειγματοληπτικού ελέγχου στο τέλος κάποιου διαστήματος i, ( )QCI ip ,

ανεξάρτητα από την κατάσταση λειτουργίας του στην αρχή του διαστήματος δίνεται

και πάλι από τη σχέση

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +0 0 1 1QCI i t i-1 QCI i t i-1 QCI ip p p p p

με τη διαφορά ότι οι πιθανότητες ( )0t i-1p και ( )

1t i-1p δίνονται πλέον από τις σχέσεις (5.27)

και (5.28) αντίστοιχα. Συνεπώς, ο μέσος αριθμός ελέγχων ανά κύκλο υπολογίζεται


( ) ( )=

= ∑m-1

QCI ii 1

E QCI p , (5.38)

όπου m 2≥ . Για m 1= ( =m1 m0t t ) δε διενεργείται κανένας έλεγχος και επομένως

( ) =E QCI 0 .

Στην ειδική περίπτωση όπου =1t 0 ( =m1t 0 ) η σχέση (5.38) τροποποιείται

ελαφρώς και ο μέσος αριθμός ελέγχων ανά κύκλο υπολογίζεται από τη σχέση

( ) ( )=

= ∑m-1

QCI ii 2

E QCI p , (5.39)

όπου m 3≥ . Και πάλι για m 1= ( = =m1 m0t t 0 ) καθώς επίσης και για m 2= δε

μεσολαβεί κάποιος έλεγχος μεταξύ του tm1 και του tm0, οπότε ισχύει ( ) =E QCI 0 .

. . . ..

. . . ..


163

Μέσος αριθμός σφαλμάτων α΄ είδους ανά κύκλο

Η πιθανότητα εσφαλμένης ένδειξης επίδρασης της συστηματικής αιτίας σε

κάποιον έλεγχο, ( )α ip , ισούται με την πιθανότητα λειτουργίας στην κατάσταση 0 κατά

τη χρονική στιγμή του ελέγχου επί την πιθανότητα σφάλματος α΄ είδους σε κάθε

δειγματοληψία και άρα δίνεται από τη σχέση

( )( ) ( )( ) ( ) ( )= 0 i i 0

α i t i-10 i-1 i-1

Φ t F tp α p

Φ t F t ≤ ≤ −1 i m 1. (5.40)

Κατά συνέπεια, ο μέσος αριθμός σφαλμάτων α΄ είδους ανά κύκλο υπολογίζεται για

m 2≥ από τη σχέση

( ) ( )=

= ∑m-1

α ii 1

E α p . (5.41)

Για m 1= προφανώς ( ) =E α 0 .

Στην ειδική περίπτωση όπου =1t 0 ( =m1t 0 ) ο μέσος αριθμός σφαλμάτων α΄ είδους

ανά κύκλο υπολογίζεται για ≥m 3 από τη σχέση

( ) ( )=

= ∑m-1

α ii 2

E α p , (5.42)

ενώ για m 1= και =m 2 ισχύει ( ) =E α 0 .



( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + + + + + +0 1 QCI I P PM PM I MΕ(Τ) Ε(Τ ) E(T ) Z E QCI Z Z p Z 1- p Z Z E MM

( ) ( )+ −I I MM mZ E α Z p . (5.43)

Ο τελευταίος όρος της σχέσης (5.43) αφαιρείται γιατί στο τέλος του διαστήματος m με

πιθανότητα ( )MM mp εκτελούνται και ενέργειες ελάχιστης συντήρησης (ΜΜ) επιπλέον

της προγραμματισμένης PM, ενώ προφανώς διερεύνηση της κατάστασης του

. . . ..

. . . ..


164

εξοπλισμού πραγματοποιείται ούτως ή άλλως στα πλαίσια της προγραμματισμένης

ΡΜ.













περίπτωση επίδρασης της συστηματικής αιτίας, όσες φορές χρειαστεί σε κάθε

κύκλο.

• Κόστος που απαιτείται για τη διενέργεια δειγματοληπτικού ελέγχου (WQCI),

όσες φορές χρειαστεί σε κάθε κύκλο.

• Κόστος που απαιτείται για τη διερεύνηση της πραγματικής κατάστασης του

εξοπλισμού (WI) στο χρόνο tm0 ή κατόπιν ενδείξεως από το διάγραμμα

ελέγχου, είτε η ένδειξη είναι αληθής είτε οφείλεται σε σφάλμα α΄ είδους, όσες

φορές χρειαστεί σε κάθε κύκλο.


. . . ..

. . . ..


165

( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + − + − +0 0 1 1 QCI I P PM PM I MΕ(P) R Ε(Τ ) R E(T ) W E QCI - W W p - W 1- p W W E MM

( ) ( )− +I I MM mWE α Wp . (5.44)

Ο τελευταίος όρος της σχέσης (5.44) προστίθεται για τον ίδιο λόγο που αφαιρέθηκε ο

τελευταίος όρος της σχέσης (5.43).


Δεδομένου ότι το πρόβλημα που μελετάται εκφράζεται και πάλι ως διαδικασία


λόγο του μέσου κέρδους ανά κύκλο προς τη μέση διάρκεια του κύκλου:

( )1 2E(P)EPT m,t , t ,n,kE(T)

= . (5.45)


Στην παράγραφο αυτή παρουσιάζονται οι βέλτιστες λύσεις των παραδειγμάτων

της παραγράφου 5.1.2 με τη μόνη διαφορά ότι στην εκτός ελέγχου κατάσταση

εφαρμόζεται πλέον ελάχιστη συντήρηση με χαρακτηριστικά όμοια με αυτά των

παραδειγμάτων της παραγράφου 4.2.2 ( =MW 125 και =MZ 0,25 ). Τα

χαρακτηριστικά των δειγματοληπτικών ελέγχων (ZQCI, ci, cn) καθώς επίσης και η

μετατόπιση που προκαλεί επίδραση της συστηματικής αιτίας στη μέση τιμή του

ελεγχόμενου χαρακτηριστικού (δ) είναι ίδια με αυτά της παραγράφου 5.1.2.

Επιπλέον, κατ’ αντιστοιχία με την παράγραφο 5.1.2, οι τρεις περιπτώσεις που

διαφοροποιούνται μόνο ως προς το κόστος διερεύνησης της κατάστασης του

εξοπλισμού WI επιλύονται πρώτα χρησιμοποιώντας μεταβλητή κι έπειτα σταθερή

συχνότητα δειγματοληπτικών ελέγχων και τα αποτελέσματα που προκύπτουν

παρουσιάζονται στους πίνακες 5.3 και 5.4, αντίστοιχα. Στην περίπτωση της

μεταβλητής συχνότητας δειγματοληπτικών ελέγχων οι χρονικές στιγμές ελέγχου

καθορίζονται με τον τρόπο που περιγράφηκε στην παράγραφο 5.1.2.

. . . ..

. . . ..


166

Πίνακας 5.3: Βέλτιστες λύσεις με δειγματοληπτικούς ελέγχους μεταβλητής συχνότητας

WI n k Σφάλμα

α΄ είδους

Σφάλμα


10 1 0 1 0 4,0 7,7 10 20,5 454,91

50 9 1,8 0,0719 0,1151 4,3 8,5 9 21,6 451,36

100 11 2,1 0,0357 0,1119 4,9 9,9 8 23,8 448,86

Πίνακας 5.4: Βέλτιστες λύσεις με δειγματοληπτικούς ελέγχους σταθερής συχνότητας

WI n k Σφάλμα

α΄ είδους

Σφάλμα


10 1 0 1 0 0 2,6 9 20,8 455,33

50 9 1,8 0,0719 0,1151 0 3,1 8 21,7 451,86

100 11 2,1 0,0357 0,1119 0 3,9 7 23,4 449,42

Σημειώνεται ότι για WI=10, τόσο στον πίνακα 5.3 όσο και στον πίνακα 5.4,

προκύπτει n=1 και k=0 που σημαίνει ότι η βελτιστοποίηση του προτύπου οδηγεί στη

λήψη του ελάχιστου δυνατού δείγματος και στη διερεύνηση της κατάστασης του

εξοπλισμού μετά από κάθε δειγματοληπτικό έλεγχο. Σε τέτοιες περιπτώσεις, όπως

σχολιάστηκε και στην παράγραφο 5.1.2, οι δειγματοληπτικοί έλεγχοι δεν έχουν

κανένα νόημα εφόσον ουσιαστικά δεν αξιοποιούνται και η εφαρμογή τους δεν

ενδείκνυται. Κατά συνέπεια, θα ήταν και πάλι προτιμότερη πολιτική ελέγχου ανάλογη

με αυτή του κεφαλαίου 4, γεγονός που επιβεβαιώνεται από τις αντίστοιχες βέλτιστες

λύσεις της παραγράφου 4.2.2 (πίνακας 4.2).

. . . ..

. . . ..


167

Σύγκριση των αριθμητικών αποτελεσμάτων των πινάκων 5.3 και 5.4 με τη

βέλτιστη λύση που προκύπτει για την περίπτωση του συνεχούς και ακριβούς ελέγχου

με ελάχιστη συντήρηση στην κατάσταση 1 (όπου =EPT 466,90 ) καταδεικνύει τη

μείωση στο κέρδος που οφείλεται στο κόστος του εφαρμοζόμενου σχήματος ελέγχου

και εκφράζει το μέγιστο οικονομικό αντίτιμο που αξίζει να επενδυθεί για τη συνεχή

γνώση της κατάστασης του εξοπλισμού.

Αντιστοίχως, σύγκριση των αριθμητικών αποτελεσμάτων των πινάκων 5.3 και

5.4 με αυτά του πίνακα 4.2 οδηγεί στο συμπέρασμα ότι όταν το κόστος του ακριβούς

ελέγχου είναι χαμηλό σε σχέση με το κόστος δειγματοληψίας (WI=10) είναι

προτιμότερη η διαδικασία ελέγχου της παραγράφου 4.2.2, ενώ αντίθετα όταν το

κόστος του ακριβούς ελέγχου είναι υψηλό (WI=50 ή 100) είναι προτιμότερη η

διαδικασία ελέγχου αυτής της παραγράφου.

Τέλος, σε όλες τις περιπτώσεις τα αποτελέσματα αυτής της παραγράφου

παρουσιάζουν μεγαλύτερο κέρδος από τα αντίστοιχα αποτελέσματα της

παραγράφου 5.1.2, δηλαδή για τα συγκεκριμένα αριθμητικά δεδομένα και για

δειγματοληπτικό σχήμα ελέγχου με σφάλματα είναι πάντα καλύτερη η διενέργεια

ελάχιστης συντήρησης (ΜΜ) έναντι της διενέργειας τέλειας συντήρησης (ΡΜ) στην

κατάσταση 1. Η οικονομική υπεροχή, όμως, της ελάχιστης συντήρησης μειώνεται με

την αύξηση του WI δεδομένου ότι η επίδραση του κόστους ελέγχων είναι εντονότερη

σε πολιτικές τύπου ΜΜ απ’ ό,τι σε πολιτικές τύπου ΡΜ.

. . . ..

. . . ..

Σύνοψη και συμπεράσματα

169

6. ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

6.1. ΣΥΝΟΨΗ

Στα πλαίσια της παρούσας διδακτορικής διατριβής μελετήθηκε το πρόβλημα

βελτιστοποίησης των διαδικασιών συντήρησης και ελέγχου ποιότητας εξοπλισμού

που χαρακτηρίζεται από δύο λειτουργικές καταστάσεις διαφορετικής ποιότητας και

μία κατάσταση βλάβης και ακινησίας. Στόχος της διατριβής ήταν η ανάπτυξη των

μαθηματικών εργαλείων που επιτρέπουν την ανάλυση και βελτιστοποίηση της

πολιτικής συντήρησης και ελέγχου ποιότητας σε τέτοιου είδους παραγωγικές

διαδικασίες.

Κατά την πρώτη φάση μελέτης του προβλήματος και ανάπτυξης των

κατάλληλων μαθηματικών προτύπων έμφαση δόθηκε στη διερεύνηση και

βελτιστοποίηση των διαδικασιών συντήρησης του εξοπλισμού όταν οι αποφάσεις

συντήρησης λαμβάνονται συνεκτιμώντας την τρέχουσα κατάσταση ποιότητας. Η

ανάλυση διαφοροποιείται σημαντικά ανάλογα με τη διαθεσιμότητα και ακρίβεια των

σχετικών πληροφοριών. Όταν δηλαδή υπάρχει δυνατότητα συνεχούς γνώσης της

πραγματικής κατάστασης ποιότητας του εξοπλισμού, το πρόβλημα επικεντρώνεται

στον προσδιορισμό των βέλτιστων χρόνων προληπτικής συντήρησης σε κάθε

κατάσταση (κεφάλαιο 3). Εναλλακτικά, εάν οι πληροφορίες που αφορούν την

κατάσταση του εξοπλισμού προέρχονται από περιοδικούς αλλά ακριβείς ελέγχους, το

πρόβλημα επεκτείνεται ώστε να συμπεριλάβει και τον προσδιορισμό της βέλτιστης

συχνότητας ελέγχων (κεφάλαιο 4).

Κατόπιν αυτών, εξετάστηκε το συνολικό πρόβλημα ταυτόχρονης

βελτιστοποίησης των διαδικασιών συντήρησης και ελέγχου ποιότητας (κεφάλαιο 5).

Εισάγεται δηλαδή στο πρόβλημα η δυνατότητα στατιστικού ελέγχου της κατάστασης

ποιότητας του εξοπλισμού υπό την έννοια των δειγματοληπτικών ελέγχων που δεν

αποδίδουν πάντα με ακρίβεια την πραγματική κατάσταση. Κατά συνέπεια, τα σχετικά

. . . ..

. . . ..


170

πρότυπα επεκτείνονται ακόμη περισσότερο ώστε να συμπεριλάβουν, εκτός από τον

προσδιορισμό των βέλτιστων χρόνων συντήρησης, και τον προσδιορισμό των

βέλτιστων παραμέτρων ελέγχου ποιότητας, που εν προκειμένω περιλαμβάνουν όχι

μόνο τη συχνότητα ελέγχων αλλά και τις υπόλοιπες παραμέτρους του

χρησιμοποιούμενου διαγράμματος ελέγχου. Κατ’ αυτόν τον τρόπο τα δύο επιμέρους

προβλήματα (συντήρησης και ελέγχου ποιότητας του εξοπλισμού) συγχωνεύονται σε

ένα ενιαίο και επιτυγχάνεται το συνολικά βέλτιστο αποτέλεσμα.

Σε όλες τις περιπτώσεις μελετήθηκαν δύο εναλλακτικές ενέργειες συντήρησης

του εξοπλισμού όταν αυτός λειτουργεί στην εκτός ελέγχου κατάσταση: τέλεια και

ελάχιστη συντήρηση. Αξίζει να σημειωθεί ότι κάθε ενέργεια συντήρησης που

εφαρμόζεται στον εξοπλισμό επιδρά θετικά (επιδιορθωτικά ή προληπτικά κατά

περίπτωση) όχι μόνο στο μηχανισμό εμφάνισης βλαβών αλλά και στο μηχανισμό

επίδρασης της συστηματικής αιτίας που επιδεινώνει την κατάσταση ποιότητας.

Ειδικά στην περίπτωση συνεχούς γνώσης της κατάστασης του εξοπλισμού και

τέλειας προληπτικής συντήρησης στην εκτός ελέγχου κατάσταση (παράγραφος 3.1),

κατέστη δυνατή η πλήρης μαθηματική ανάλυση των προτύπων και προσδιορίστηκε η

ακριβής μορφή της βέλτιστης πολιτικής συντήρησης.

Ιδιαίτερα σημαντικό χαρακτηριστικό του συνόλου των προτύπων που

αναπτύχθηκαν στη διατριβή είναι ότι δε βασίζονται σε καμία περιοριστική υπόθεση

όσον αφορά τις κατανομές των χρόνων μέχρι την επίδραση της συστηματικής αιτίας

και μέχρι την εμφάνιση βλάβης, πέραν του ότι ο ρυθμός βλαβών είναι αύξουσα

συνάρτηση της ηλικίας του εξοπλισμού. Το γεγονός αυτό καθιστά ευρύτατο το φάσμα

εφαρμογής των συγκεκριμένων μαθηματικών προτύπων.

Η σημαντικότερη συμβολή της διατριβής είναι η ανάπτυξη των εναλλακτικών

μαθηματικών προτύπων που περιγράφουν ένα μεγάλο εύρος διαφορετικών

περιπτώσεων συντήρησης και ελέγχου και επιτρέπουν τη βελτιστοποίηση των

σχετικών διαδικασιών. Η διατριβή παρέχει ουσιαστικά τα απαιτούμενα μαθηματικά

. . . ..

. . . ..


171

εργαλεία για τη συνολική αντιμετώπιση των προβλημάτων συντήρησης και ελέγχου

ποιότητας εξοπλισμού που παρουσιάζει τα χαρακτηριστικά που προαναφέρθηκαν.

Ανάλογα, λοιπόν, με τα ακριβή χαρακτηριστικά μιας παραγωγικής διαδικασίας

εφαρμογή των προτεινόμενων προτύπων μπορεί να οδηγήσει σε συγκεκριμένα

πλέον συμπεράσματα ως προς τα οικονομικά οφέλη που μπορούν να προκύψουν

από το συνδυασμό των διαδικασιών συντήρησης και ελέγχου ποιότητας. Επιπλέον,

παρέχεται η δυνατότητα σύγκρισης των εναλλακτικών ενεργειών συντήρησης και

ελέγχου της κατάστασης ποιότητας του εξοπλισμού, εφόσον υφίστανται, και επιλογής

του βέλτιστου συνδυασμού τους.

6.2. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΕΡΕΥΝΑ

Η έρευνα που πραγματοποιήθηκε για τους σκοπούς της παρούσας διατριβής

καταδεικνύει τη σκοπιμότητα συνδυασμού των διαδικασιών ελέγχου ποιότητας και

συντήρησης εξοπλισμού. Το πρόβλημα που εξετάζεται στα πλαίσια της διατριβής

καθώς επίσης και οι προτεινόμενες ενέργειες για την αντιμετώπισή του μπορούν να

εμπλουτιστούν ποικιλοτρόπως ούτως ώστε να καλύπτουν ευρύτερο πεδίο

πραγματικών περιπτώσεων.

Ειδικότερα, στα πρότυπα που αναπτύχθηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια

περιλαμβάνονται δύο εναλλακτικές ενέργειες συντήρησης όσον αφορά την

αποτελεσματικότητά της: τέλεια και ελάχιστη. Θα ήταν ενδιαφέρον να μελετηθούν

περιπτώσεις ατελούς συντήρησης όπου η κατάσταση του εξοπλισμού μετά από

κάποια ενέργεια συντήρησης δεν είναι κατ’ ανάγκην άριστη. Άλλωστε, στη

βιβλιογραφία έχουν προταθεί κατά καιρούς διάφοροι τρόποι μοντελοποίησης της

αποτελεσματικότητας των ενεργειών συντήρησης που επιτρέπουν τη μελέτη

περιπτώσεων όπου ο βαθμός βελτίωσης της κατάστασης του εξοπλισμού που

επιτυγχάνεται με τη συντήρησή του ποικίλει.

. . . ..

. . . ..


172

Επιπλέον, για τις ανάγκες της αριθμητικής διερεύνησης των προτύπων του

τετάρτου και πέμπτου κεφαλαίου της διατριβής χρησιμοποιήθηκε είτε σταθερή

συχνότητα ελέγχων είτε μεταβλητή με προκαθορισμένο όμως τρόπο. Στη γενική

περίπτωση ο τρόπος μεταβολής της συχνότητας ελέγχων μπορεί να καθοριστεί με

διάφορα κριτήρια ή ακόμη και να βελτιστοποιηθεί. Μελέτη εναλλακτικών τρόπων

μεταβολής της συχνότητας ελέγχων και μεταξύ τους σύγκριση θα παρείχε χρήσιμα

συμπεράσματα για τη βελτίωση της διαδικασίας ελέγχων.

Σημαντική επέκταση του προβλήματος θα μπορούσε να αποτελέσει, επίσης, η

εισαγωγή περισσότερων συστηματικών αιτιών και άρα περισσότερων καταστάσεων

ποιότητας ή ακόμη και το ενδεχόμενο συνεχούς επιδείνωσης της κατάστασης του

εξοπλισμού (drifting).

Όσον αφορά το μηχανισμό εμφάνισης βλαβών στη διατριβή χρησιμοποιήθηκε η

υπόθεση ότι η πιθανότητα βλάβης του εξοπλισμού εξαρτάται από την τρέχουσα

κατάσταση λειτουργίας του καθώς επίσης και από την ηλικία του. Αντιστοίχως, σε

παρόμοια προβλήματα στη διεθνή βιβλιογραφία πολύ συχνά γίνεται η υπόθεση ότι η

πιθανότητα βλάβης του εξοπλισμού εξαρτάται από το συνολικό χρόνο παραμονής

του στην τρέχουσα κατάσταση λειτουργίας. Στην πράξη ενδέχεται η πιθανότητα

βλάβης να εξαρτάται και από τις τρεις αυτές παραμέτρους, γεγονός που καθιστά

ενδιαφέρουσα την ανάπτυξη προτύπων που να ανταποκρίνονται σε τέτοιες

περιπτώσεις.

Τέλος, αξίζει να σημειωθεί ότι οι διαδικασίες συντήρησης και ελέγχου ποιότητας

που εφαρμόζονται στον εξοπλισμό δεν αλληλεπιδρούν μόνο μεταξύ τους αλλά

συνδέονται άμεσα και με αποφάσεις που αφορούν θέματα προγραμματισμού

παραγωγής, όπως το πρόβλημα καθορισμού του μεγέθους των παρτίδων

παραγωγής. Η συνδυασμένη μελέτη τέτοιων προβλημάτων με προβλήματα

συντήρησης και ελέγχου ποιότητας αποτελεί συνεπώς μία ακόμη ενδιαφέρουσα

. . . ..

. . . ..


173

περιοχή επέκτασης της ερευνητικής προσπάθειας που περιγράφεται στην παρούσα

διδακτορική διατριβή.

. . . ..

. . . ..

Βιβλιογραφία

175

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Al-Αli, A.A., Murari, K., 1988. One unit reliability system subject to random shocks

and preventive maintenance. Microelectronics and Reliability, 28 (3), 373-377.

Aven, T., 1983. Optimal replacement under a minimal repair strategy – A general

failure model. Advances in Applied Probability, 15 (1), 198-211.

Aven, T., Bergman, B., 1986. Optimal replacement times – A general set-up. Journal

of Applied Probability, 23 (2), 432-442.

Aven, T., Gaarder, S., 1987. Optimal replacement in a shock model: Discrete time.

Journal of Applied Probability, 24 (1), 281-287.

Banerjee, P.K., Chuiv, N. N., 1996. Inspection policies for repairable systems. IIE

Transactions. 28 (12), 1003-1010.

Banerjee, P.K., Rahim, M.A., 1988. Economic design of x-control charts under

Weibull shock models. Technometrics, 30 (4), 407-414.

Baker, M.J.C., 1990. How often should a machine be inspected? International

Journal of Quality and Reliability Management, 7 (4), 14-18.

Barbera, F., Schneider, H., Kelle, P., 1996. A condition based maintenance model

with exponential failures and fixed inspection intervals. Journal of the

Operational Research Society, 47 (8), 1037-1045.

Barlow, R.E., Hunter L.C., 1960. Optimum preventive maintenance policies.

Operations Research. 8 (1), 90-100.

Barlow, R.E., Hunter, L.C., Proschan, F., 1963. Optimum Checking Procedures.

Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 11 (4), 1078-

1095.

. . . ..

. . . ..


176

Ben-Daya, M., 1999. Integrated Production Maintenance and Quality Model for

Imperfect Processes. IIE Transactions, 31 (6), 491-501.

Ben-Daya, M., 2002. The Economic Production Lot Sizing Problem with Imperfect

Production Processes and Imperfect Maintenance. International Journal of

Production Economics, 76 (3), 257-264.

Ben-Daya, M., Hariga, M., 1998. A maintenance inspection model: Optimal and

heuristic solutions. International Journal of Quality and Reliability Management,

15 (5), 481-488.

Ben-Daya, M., Makhdoum, M., 1998. Integrated Production and Quality Model Under

Various Preventive Maintenance Policies. Journal of the Operational Research

Society, 49 (8), 840-853.

Ben-Daya, M., Rahim, M.A., 2000. Effect of Maintenance on the Economic Design of

x-Control Chart. European Journal of Operational Research, 120 (1), 131-143.

Bergman, B., 1978. Optimal replacement under a general failure model. Advances in

Applied Probability, 10 (2), 431-451.

Bloch-Mercier, S., 2002. A preventive maintenance policy with sequential checking

procedure for a Markov deteriorating system. European Journal of Operational

Research, 142 (3), 548-576.

Boland, P.J., Proschan, F., 1982. Periodic replacement with increasing minimal

repair costs at failure. Operations Research, 30 (6), 1183-1189.

Canfield, R.V., 1986. Cost optimization of periodic preventive maintenance. IEEE

Transactions on Reliability, 35 (1), 78-81.

Cassady, C.R., Bowden, R.O., Liew, L., Pohl, E.A., 2000. Combining Preventive

Maintenance and Statistical Process Control: a Preliminary Investigation. IIE

Transactions, 32 (6), 471-478.

. . . ..

. . . ..


177

Castanier, B., Bérenguer, C., Grall, A., 2003. A sequential condition-based

repair/replacement policy with non-periodic inspections for a system subject to

continuous wear. Applied Stochastic Models in Business and Industry, 19 (4),

327-347.

Chan, J.K., Shaw, L., 1993. Modeling repairable systems with failure rates that

depend on age and maintenance. IEEE Transactions on Reliability, 42 (4), 566-

570

Chiang, G.H., Yuan, J., 2001. Optimal maintenance policy for a Markovian system

under periodic inspection. Reliability Engineering and System Safety, 71 (2),

165-172.

Chiu, H.N., Huang, B.S., 1995. The Economic Design of x and s2 Control Charts with

Preventive Maintenance and Increasing Hazard Rate. Journal of Quality in

Maintenance Engineering, 1 (4), 17-40.

Chiu, H.N., Huang, B.S., 1996. The Economic Design of x Control Charts Under a

Preventive Maintenance Policy. International Journal of Quality and Reliability

Management, 13 (1), 61-71.

Derman, C., 1962. On sequential decisions and Markov chains. Management

Science, 9 (1), 16-24.

Derman, C., 1963. On optimal replacement rules when changes of state are

Markovian. In Mathematical Optimization Techniques, Bellman, R. (Eds),

volume R-396-PR, chapter 9, University of California Press, Berkeley, 201-210.

Dias, J.R., 1990. A new approximation for the inspection period of systems with

different failure rates. European Journal of Operational Research, 45 (2-3),

219-223.

Feldman, R.M., 1976. Optimal replacement with semi-Markov shock models. Journal

of Applied Probability, 13 (1), 108-117.

. . . ..

. . . ..


178

Feldman, R.M., 1977. Optimal replacement for systems governed by Markov additive

shock processes. Annals of Probability, 5 (3), 413-429.

Glasser, G.J., 1967. The age replacement problem. Technometrics, 9 (1), 83-91

Gottlieb, G., 1982. Optimal replacement for shock models with general failure rate.

Operations Research, 30 (1), 82-92.

Gottlieb, G., Levikson, B., 1984. Optimal replacement for self-repairing shock models

with general failure rate. Journal of Applied Probability, 21 (1), 108-119.

Hariga, M.A., 1996. A maintenance inspection model for a single machine with

general failure distribution. Microelectronics and Reliability, 36 (3), 353-358.

Hopp, W.J., Wu, S.C., 1990. Machine maintenance with multiple maintenance

actions. IIE Transactions, 22 (3), 226-232.

Hsu, L.F., Kuo, S., 1995. Design of Optimal Maintenance Policies Based on On-line

Sampling Plans. European Journal of Operational Research, 86 (2), 345-357.

Huang, B.S., Chiu, H.N., 1995. The Quality Management of the Imperfect Production

Process Under two Monitoring Policies. International Journal of Quality and

Reliability Management, 12 (3), 19-31.

Iravani, S.M.R., Duenyas, I., 2002. Integrated maintenance and production control of

a deteriorating production system. IIE Transactions, 34 (5), 423-435.

Ivy, J.S., Pollock, S.M., 2005. Marginally monotonic maintenance policies for a multi-

state deteriorating machine with probabilistic monitoring, and silent failures.

IEEE Transactions on Reliability, 54 (3), 489-497.

Jayabalan, V., Chaudhuri, D., 1992a. Cost optimization of maintenance scheduling

for a system with assured reliability. IEEE Transactions on Reliability, 41 (1),

21-26.

. . . ..

. . . ..


179

Jayabalan, V., and Chaudhuri, D., 1992b. Optimal maintenance-replacement policy

under imperfect maintenance. Reliability Engineering and System Safety, 36

(2), 165-169.

Kao, E., 1973. Optimal replacement rules when changes of state are semi-

Markovian. Operations research, 21 (6), 1231-1249.

Kolesar, P., 1966. Minimum cost replacement under Markovian deterioration.

Management Science, 12 (9), 694-706.

Lam, K.K., Rahim, M. A., 2002. A sensitivity analysis of an integrated model for joint

determination of economic design of x-control charts, economic production

quantity and production run length for a deteriorating production system.

Quality and Reliability Engineering International, 18 (4), 305-320.

Lam, C.T., Yeh, R.H., 1994. Optimal replacement policies for multistate deteriorating

systems. Naval Research Logistics, 41 (3), 303-315.

Lee, B.H., Rahim, M.A., 2001. An integrated economic design model for quality

control, replacement, and maintenance. Quality Engineering, 13 (4), 581-593.

Lie, C.H., Chun, Y.H., 1986. An algorithm for preventive maintenance policy. IEEE

Transactions on Reliability, 35 (1), 71-75.

Lin, D.M., Makis, V., 2003. Recursive filters for a partially observable system subject

to random failure. Advances in Applied Probability, 35 (1), 207-227.

Lin, D.M., Makis, V., 2004. Filters and parameter estimation for a partially observable

system subject to random failure with continuous-range observations.

Advances in Applied Probability, 36 (4), 1212-1230.

Linderman, K., McKone-Sweet, K.E., Anderson, J.C., 2005. An integrated systems

approach to process control and maintenance. European Journal of

Operational Research, 164 (2), 324-340.

. . . ..

. . . ..


180

Luss, H., 1976. Maintenance policies when deterioration can be observed by

inspections. Operations Research, 24 (2), 359-366.

Luss, H., 1983. An inspection policy model for production facilities. Management

Science, 29 (9), 1102-1109.

Makis, V., 1995. Optimal replacement of a tool subject to random failure.

International Journal of Production Economics, 41 (1-3), 249-256.

Makis, V., 1999. Optimal control policy for a tool-wear process subject to shocks and

random failures. International Journal of Production Economics, 60 (1), 613-

621.

Makis, V., Fung, J., 1995. Optimal preventive replacement, lot sizing and inspection

policy for a deteriorating production system. Journal of Quality in Maintenance

Engineering, 1 (4), 41-55.

Makis, V., Fung, J., 1998. An EMQ model with inspections and random machine

failures. Journal of the Operational Research Society, 49 (1), 66-76.

Makis, V., Jiang, X., 2003. Optimal replacement under partial observations.

Mathematics of Operations Research, 28 (2), 382-394.

Malik, M.A.K., 1979. Reliable preventive maintenance policy. AIIE Transactions, 11

(3), 221-228.

Mizuno, N., 1986. Generalized mathematical programming for optimal replacement in

a semi-Markov shock model. Operations Research, 34 (5), 790-795.

Monahan, G.E., 1982. A survey of partially observable Markov decision processes:

Theory, models and algorithms. Management Science, 28 (1), 1-16.

Montgomery, D.C., 2001. Introduction to Statistical Quality Control. 4th edition, John

Wiley, New York.

. . . ..

. . . ..


181

Moustafa, M.S., Abdel Maksoud, E.Y., Sadek, S., 2004. Optimal major and minimal

maintenance policies for deteriorating systems. Reliability Engineering and

System Safety, 83 (3), 363-368.

Munford, A.G., 1981. Comparison among certain inspection policies. Management

Science, 27 (3), 260-267.

Munford, A.G., Shahani, A.K., 1972. A nearly optimal inspection policy. Operational

Research Quarterly, 23 (3), 373-379.

Munford, A.G., Shahani, A.K., 1973. An inspection policy for the Weibull case.

Operational Research Quarterly, 24 (3), 453-461.

Murthy, D.N.P., Iskadar, B.P., 1991a. A new shock damage model: Part I-Model

formulation and analysis. Reliability Engineering and System Safety, 31 (2),

191-208.

Murthy, D.N.P., Iskadar, B.P., 1991b. A new shock damage model: Part II-Optimal

maintenance policies. Reliability Engineering and System Safety, 31 (2), 211-

231.

Nakagawa, T., 1976. On a replacement problem of a cumulative damage model.

Journal of the Operational Research Society, 27 (4), 895-900

Nakagawa, T., 1979. Optimum policies when preventive maintenance is imperfect.

IEEE Transactions on Reliability, 28 (4), 331-332.

Nakagawa, T., 1984. Optimal policy of continuous and discrete replacement with

minimal repair at failure. Naval Research Logistics Quarterly, 31 (4), 543-550.

Nguyen, D.G., Murthy, D.N.P., 1981. Optimal preventive maintenance policies for

repairable systems. Operations Research, 29 (6), 1181-1194.

. . . ..

. . . ..


182

Ohnishi, M., Kawai, H., Mine, H., 1986. An optimal inspection and replacement policy

under incomplete state information. European Journal of Operational

Research, 27 (1), 117-128.

Ohnishi, M., Morioka, T., Ibaraki, T., 1994. Optimal minimal repair and replacement

problem of discrete-time Markovian deterioration system under incomplete

state information. Computers and Industrial Engineering, 27 (1-4), 409-412.

Okumura, S., Jardine, A.K.S., Yamashina, H., 1996. An inspection policy for a

deteriorating single-unit system characterized by a delay-time model.

International Journal of Production Research, 34 (9), 2441-2460.

Özekici, S. and Günlük, N. O., 1992. Maintenance of a device with age-dependent

exponential failures. Naval Research Logistics, 39 (5), 699-714.

Paté-Cornell, M.E., Lee, H.L. Tagaras, G. 1987. Warnings of Malfunction: the

Decision to Inspect and Maintain Production Process on Schedule or on

Demand. Management Science, 33 (10), 1277-1290.

Pierskalla, W.P., Voelker, J.A., 1976. A survey of maintenance models: the control

and surveillance of deteriorating systems. Naval Research Logistics Quarterly,

23 (3), 353-388.

Rahim, M.A., 1994. Joint Determination of Production Quantity, Inspection Schedule

and Control Chart Design. IIE Transactions, 26 (6), 2-11.

Rahim, M.A., Banerjee, P.K., 1993. A generalized model for the economic design of

x-control charts for production systems with increasing failure rate and early

replacement. Naval Research Logistics, 40 (6), 789-809.

Rahim, M.A., Ben-Daya, M., 1998. A generalized economic model for joint

determination of production run, inspection schedule and control chart design.

International Journal of Production Research, 36 (1), 277-289.

. . . ..

. . . ..


183

Rahim, M.A. Ben-Daya, M. 2001. Joint Determination of Production Quantity,

Inspection Schedule and Quality Control for an Imperfect Process with

Deteriorating Products. Journal of the Operational Research Society, 52 (12),

1370-1378.

Rosenfield, D., 1976. Markovian deterioration with uncertain information. Operations

Research, 24 (1), 141-155.

Scarf, P.A., 1997. On the application of mathematical models in maintenance.

European Journal of Operational Research, 99 (3), 493-506.

Scheaffer, R.L., 1971. Optimum age replacement policies with an increasing cost

factor. Technometrics, 13 (1), 139-144.

Sherif, Y.S., Smith, M.L., 1981. Optimal maintenance models for systems subject to

failure – A review. Naval Research Logistics Quarterly, 28 (1), 47-74.

Sheu, S., Griffith, W.S., Nakagawa, T., 1995. Extended optimal replacement model

with random minimal repair costs. European Journal of Operational Research,

85 (3), 636-649.

Sinuany-Stern, Z., David I., Biran, S., 1997. An efficient heuristic for a partially

observable Markov decision process of machine replacement. Computers and

Operations Research, 24 (2), 117-126.

So, K.C., 1992. Optimality of control limit policies in replacement models. Naval

Research Logistics, 39 (5), 685-697.

Sondik, E., 1978. The optimal control of partially observable Markov processes over

the infinite horizon: Discounted costs. Operations Research, 26 (2), 282-304.

Su, C.T., Chang, C.C., 2000. Minimization of the life cycle cost for a multistate

system under periodic maintenance. International Journal of Systems Science,

31 (2), 217-227.

. . . ..

. . . ..


184

Su, C.T., Wu, S.C., Chang C.C., 2000. Multiaction maintenance subject to action-

depended risk and stochastic failure. European Journal of Operational

Research, 125 (1), 133-148.

Tadikanalla, P.R., 1979. An inspection policy for the gamma failure distributions.

Journal of Operational Research Society, 30 (1), 77-80.

Tagaras, G., 1988. An integrated cost model for the joint optimization of process

control and maintenance. Journal of the Operational Research Society, 39 (8),

757-766.

Taylor, H.M., 1975. Optimal replacement under additive damage and other failure

models. Naval Research Logistics Quarterly, 22 (1), 1-18.

Tilquin, C., Cléroux, R., 1975. Periodic replacement with minimal repair at failure and

adjustment costs. Naval Research Logistics Quarterly, 22 (2), 243-254.

Turco, F., Parolini, P., 1984. A nearly optimal inspection policy for productive

equipment. International Journal of Production Research, 22 (3), 515-528.

Valdez-Flores, C., Feldman, R.M., 1989. A survey of Preventive Maintenance models

for stochastically deteriorating single-unit systems. Naval Research Logistics

Quarterly, 36 (4), 419-446.

Wang, H., 2002. A survey of maintenance policies of deteriorating systems.

European Journal of Operational Research, 139 (3), 469-489.

Wang, H., 2000. A model to determine the optimal critical level and the monitoring

intervals in condition-based maintenance. International Journal of Production

Research, 38 (6), 1425-1436.

Yeh, R.H., 1996. Optimal inspection and replacement policies for multi-state

deteriorating systems. European Journal of Operational Research, 96 (2), 248-

259.

. . . ..

. . . ..


185

Zuckerman, D., 1978. Optimal stopping in a semi-Markov shock model. Journal of

Applied Probability, 15 (3), 629-634.

Zuckerman, D., 1980. Inspection and replacement policies. Journal of Applied

Probability, 17 (1), 168-177.

Zuckerman, D., 1986. Optimal maintenance policy for stochastically failing

equipment: a diffusion approximation. Naval Research Logistics Quarterly, 33

(3), 469-477.

Ταγαράς, Γ., 2001. Στατιστικός Έλεγχος Ποιότητας. Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη.

. . . ..

. . . ..

Παραρτήματα

187

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ

. . . ..

. . . ..


189

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α

Ιδιότητα 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + − =∫ ∫ ∫b b b

0 0 0 0 0a a a

tφ t F t dt tf t Φ t dt bF b Φ b aF a Φ a F t Φ t dt

Απόδειξη: Δεδομένου ότι ισχύει

( ) ( )= −0 0φ t dt dΦ t

με ολοκλήρωση του όρου ( ) ( )b

0a

tφ t F t dt∫ κατά παράγοντες προκύπτει

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )= − = − +∫ ∫ ∫

b b bb

0 0 0 0aa a a

d tF ttφ t F t dt tF t dΦ t tF t Φ t Φ t dt

dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )= − + −∫b

0 0 0a

aF a Φ a bF b Φ b F t tf t Φ t dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + −∫ ∫b b

0 0 0 0a a

aF a Φ a bF b Φ b F t Φ t dt tf t Φ t dt .

Ιδιότητα 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )− + − =∫ ∫b b

1 1 1a a

t a φ t dt b a Φ b Φ t dt

Απόδειξη: Δεδομένου ότι ισχύει

( ) ( )= −1 1φ t dt dΦ t

με ολοκλήρωση του όρου ( ) ( )−∫b

1a

t a φ t dt κατά παράγοντες προκύπτει

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−− = − − = − − +∫ ∫ ∫

b b bb

1 1 1 1aa a a

d t at a φ t dt t a dΦ t t a Φ t Φ t dt

dt

( ) ( ) ( )= − − + ∫b

1 1a

b a Φ b Φ t dt .

. . . ..

. . . ..


191

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β

Απόδειξη ιδιότητας 3.1

Προκειμένου να προσδιοριστεί η μορφή του tm1(t) στη βέλτιστη λύση για

δεδομένο tm0 διακριτοποιούμε το χρονικό διάστημα (0, tm0] σε ένα μεγάλο αριθμό,

έστω n, διακριτών υποδιαστημάτων (ti-1, ti], i=1,2…n, =0t 0 , =n m0t t . Ο χρόνος

επίδρασης της συστηματικής αιτίας t (αν αυτή συμβεί πριν από το tm0) θα εμπίπτει σε

κάποιο από αυτά τα υποδιαστήματα. Καθώς η διάρκεια του κάθε υποδιαστήματος

είναι αυθαίρετα μικρή, υποθέτουμε πως υπάρχει μοναδικό tm1(t) για όλα τα t στο ίδιο

υποδιάστημα. Συνεπώς, το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση της βέλτιστης λύσης n

μεταβλητών απόφασης tm1(i) ( )1 i n≤ ≤ , κάθε μία εκ των οποίων αντιστοιχεί στο

υποδιάστημα (ti-1, ti]. Οι πιθανές τιμές των tm1(i) είναι οι χρονικές στιγμές tj, με

i j n≤ ≤ . Μια γραφική απεικόνιση της διακριτοποίησης του διαστήματος (0, tm0] και

της γενικής μορφής της πολιτικής συντήρησης παριστάνεται στο σχήμα Β.1. Αξίζει να

σημειωθεί πως η περίπτωση κατά την οποία ( ) =m1 it i t ουσιαστικά σημαίνει πως αν

συμβεί η συστηματική αιτία τη χρονική στιγμή t, όπου i 1 it t t− < ≤ , τότε η διαδικασία

συντηρείται πρακτικά άμεσα, τη χρονική στιγμή ti (πολύ κοντά στο t).

Σχήμα Β.1: Διακριτοποίηση του διαστήματος (0, tm0] και γενική μορφή της πολιτικής

συντήρησης

Η μαθηματική έκφραση του T0 είναι πανομοιότυπη με αυτήν της εξίσωσης (3.1)

διότι το T0 είναι ανεξάρτητο της ακριβούς μορφής του tm1(t).

0 tm1(i) quality shift (t)

t0

tm0

tn-1 tj+1 ti-1 t3 t1 ti+1 ti t2 tj-1 tj tn

. . . ..

. . . ..


192

Η μαθηματική έκφραση του T1 είναι παρόμοια με την εξίσωση (3.2) και γράφεται

σε πιο γενική μορφή, ώστε να συμπεριλαμβάνει n μεταβλητές tm1(i), ως εξής:

( ) ( ) ( )( )

( )m1i

i-1

t itn1

1 0i=1 1t t

Φ tΕ(Τ ) = f t Φ t dt dt

Φ t

⎡ ⎤′⎢ ⎥′⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∫ ∫ .

Με τον ίδιο τρόπο, η πιθανότητα pPM προληπτικής συντήρησης σε έναν κύκλο

υπολογίζεται από τη γενικευμένη έκφραση της (3.3)

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

i

i-1

tn1 m1

PM 0 m0 m0 0i=1 1t

Φ t ip =Φ t F t + f(t)Φ t dt

Φ t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∫ .

Συνεπώς, η συνολική διάρκεια του κύκλου E(T) μπορεί να γραφεί συναρτήσει

των tm0 και tm1(i), i=1,…,n, ως εξής:

( )0 1 p PM PMΕ(Τ) =Ε(Τ ) +E(T ) + Z p + Z 1- p

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )⎡ ⎤′⎢ ⎥′⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∫ ∫ ∫m1m0 i

i-1

t it tn1

0 0i=1 10 t t

Φ t= F t Φ t dt + f t Φ t dt dt

Φ t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

∑ ∫i

i-1

tn1 m1

P 0 m0 m0 0i=1 1t

Φ t i+Ζ + Ζ - Z Φ t F t + f t Φ t dt

Φ t,

η οποία για Z=Zp απλοποιείται και προκύπτει η σχέση

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )m1m0 i

i-1

t it tn1

0 0i=1 10 t t

Φ tΕ(Τ) = F t Φ t dt + f t Φ t dt dt + Ζ

Φ t

⎡ ⎤′⎢ ⎥′⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∫ ∫ ∫ .

Ομοίως, το συνολικό μέσο κέρδος ανά κύκλο θα δίνεται από την σχέση

( )0 0 1 1 p PM PMΕ(P) = R Ε(Τ ) + R E(T ) - W p - W 1- p

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )m1m0 i

i-1

t it tn1

0 0 1 0i=1 10 t t

Φ t= R F t Φ t dt + R f t Φ t dt dt

Φ t

⎧ ⎫⎡ ⎤′⎪ ⎪⎢ ⎥′⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

∑∫ ∫ ∫

. . . ..

. . . ..


193

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

i

i-1

tn1 m1

P 0 m0 m0 0i=1 1t

Φ t i-W - W - W Φ t F t + f t Φ t dt

Φ t

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

∑ ∫ .

Το πρόβλημα μεγιστοποίησης του μέσου κέρδους ανά μονάδα χρόνου

EPT E(P) E(T)= εκφράζεται από το ακόλουθο μη γραμμικό μαθηματικό πρότυπο:

max EPT(tm1(1), tm1(2), … tm1(n), tm0)

με περιορισμούς:

( )( ) ( )1 m1 i m1g t i t t i 0= − ≤ για i=1, 2, . . . . , n

( )( ) ( )2 m0 m1 m1 m0g t , t i t i t 0= − ≤ για i=1, 2, . . . . , n

και m0 m1t , t (i) 0≥ για i=1, 2, . . . . , n.

Στη βέλτιστη λύση πρέπει να ικανοποιούνται όλες οι ακόλουθες συνθήκες

Karush-Kuhn-Tucker (KKT):

i. ( )

( )( )( )

( )( )( )

n n1 m1 2 m0 m1

j jm1 m1 m1j 1 j 1

g t j g t , t jEPT u v 0t i t i t i= =

∂ ∂∂− − ≤

∂ ∂ ∂∑ ∑ για i=1, 2, . . . . , n

και ( )( )n

2 m0 m1j

m0 m0j 1

g t , t jEPT v 0t t=

∂∂− ≤

∂ ∂∑

ii. ( ) ( )( )( )( )

( )( )( )

n n1 m1 2 m0 m1

m1 j jm1 m1 m1j 1 j 1

g t j g t , t jEPTt i u v 0t i t i t i= =

⎛ ⎞∂ ∂∂⎜ − − ⎟ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∑ ∑ για i=1, 2, . . . . , n

και ( )( )n

2 m0 m1m0 j

m0 m0j 1

g t , t jEPTt v 0t t=

⎛ ⎞∂∂⎜ − ⎟ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∑

iii. ( )( )1 m1g t i 0≤ και ( )( )2 m0 m1g t , t i 0≤ για i=1, 2, . . . . , n

iv. ( )( )i 1 m1u g t i 0= και ( )( )i 2 m0 m1v g t , t i 0= για i=1, 2, . . . . , n

v. m0 m1t , t (i) 0≥ για i=1, 2, . . . . , n

. . . ..

. . . ..


194

vi. iu 0≥ και iv 0≥ για i=1, 2, . . . . , n.

Από τη δεύτερη συνθήκη, και επειδή ( ) ≥ >m1 it i t 0 , προκύπτει ότι

( )( )( )( )

( )( )( )

n n1 m1 2 m0 m1

j jm1 m1 m1j 1 j 1

g t j g t , t jEPT u v 0t i t i t i= =

∂ ∂∂− − =

∂ ∂ ∂∑ ∑ . (Β1)

Δεδομένου ότι ( )( )( )

( )( )( )

1 m1 2 m0 m1

m1 m1

g t j g t , t j0

t i t i∂ ∂

= =∂ ∂

για κάθε i j≠ , ενώ

( )( )( )

1 m1

m1

g t j1

t i∂

= −∂

και ( )( )

( )2 m0 m1

m1

g t , t j1

t i∂

=∂

για i j= , η (Β1) απλοποιείται ως εξής:

( ) i im1

EPT u v 0t i∂

+ − =∂

. (Β2)

Η σχέση (Β2) ικανοποιείται αν και μόνο αν ισχύει μία από τις ακόλουθες σχέσεις:

1. ( ) i i

m1

EPT u v 0t i∂

= = =∂

for i=1, 2, . . . . , n

2. ( )m1

EPT 0t i∂

<∂

, ui>0 και vi=0 for i=1, 2, . . . . , n

3. ( )m1

EPT 0t i∂

>∂

, vi>0 και ui=0 for i=1, 2, . . . . , n

Τα ui και vi δεν μπορούν να πάρουν ταυτόχρονα μη μηδενικές τιμές για δεδομένο

i διότι κάτι τέτοιο θα οδηγούσε σε ( )( ) ( )1 m1 m1 ig t i 0 t i t= ⇒ = και

( )( ) ( )2 m0 m1 m1 m0g t , t i 0 t i t= ⇒ = , το οποίο δεν μπορεί να συμβεί παρά μόνο για i=n.

Άρα, κάθε tm1(i) στη βέλτιστη λύση πρέπει είτε να ικανοποιεί τη σχέση

( )m1EPT t i 0∂ ∂ = , είτε να ισχύει πως ( )m1 it i t= ή ( )m1 m0t i t= .

Η πρώτη μερική παράγωγος του EPT ως προς tm1(i) ισούται με μηδέν αν και

μόνο αν

. . . ..

. . . ..


195

( )( ) ( )( )( )

m1 m12

E(P) t i E(T) E(T) t i E(P)0

E(T)

∂ ∂ − ∂ ∂= . (Β3)

Παραγωγίζοντας τα E(P) και E(T) με τη χρήση του κανόνα του Leibnitz

λαμβάνονται οι ακόλουθες σχέσεις:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

i

i-1

t1 m1

1 1 m1 P 0m1 1t

Φ t iE(P) = R - h t i W - W f t Φ t dtt i Φ t∂ ⎡ ⎤⎣ ⎦∂ ∫ (Β4)

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

i

i-1

t1 m1

0m1 1t

Φ t iE(T) = f t Φ t dtt i Φ t∂∂ ∫ . (Β5)

Ενσωματώνοντας την (Β4) και την (Β5) στην (Β3) και απλοποιώντας προκύπτει

( )( ) ( )1 1 m1 PR h t i W W E(T) E(P) 0⎡ ⎤− − − =⎣ ⎦ . (Β6)

Για W>WP και για γνησίως αύξουσα h1(t) το αριστερό μέρος της εξίσωσης (Β6)

είναι γνησίως φθίνον, διότι

( )( ) ( ) ( )

⎡ ⎤∂ − − −⎣ ⎦∂

1 1 m1 P

m1

R h t i W W E(T) E(P)

t i

( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

∂ ∂ ∂⎡ ⎤= − − + − − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂1 m1

P 1 1 m1 Pm1 m1 m1

h t i E(T) E(P)W W E(T) R h t i W Wt i t i t i

( )( )( ) ( )

∂= − − <

∂1 m1

Pm1

h t iW W E(T) 0

t i.

Συνεπώς, η ( )m1EPT t i∂ ∂ μηδενίζεται το πολύ μία φορά για κάθε i και αυτό

μπορεί να συμβεί μόνο για την ίδια τιμή του tm1(i) ανεξάρτητα από το i (π.χ. για tm1).

Το τελευταίο ισχύει διότι για κάθε i που ικανοποιεί την ( )m1EPT t i 0∂ ∂ = , η (Β6)

πρέπει να ισχύει στη βέλτιστη λύση. Για παράδειγμα, αν ( )m1EPT t i 0∂ ∂ = για δύο

διαφορετικές τιμές i (π.χ. για a και b), τότε από την (Β6) τα tm1(a) και tm1(b) πρέπει να

ικανοποιούν τη σχέση

. . . ..

. . . ..


196

( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 m1 P 1 1 m1 PE(P)R h t a W W R h t b W WE(T)

− − = − − = ⇒

( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 m1 1 m1 m1 m1 m1h t a h t b t a t b t= ⇒ = = .

Με δεδομένα τα παραπάνω εξετάζονται τρεις εναλλακτικές περιπτώσεις:

1. Το βέλτιστο tm1(i) για i=1 ικανοποιεί τη σχέση ( )m1EPT t i 0∂ ∂ = . Συνεπώς,

υπάρχει μία και μοναδική ηλικία εξοπλισμού tm1 (με t1<tm1<tm0) για την οποία

ισχύει πως

( ) ( )1 1 m1 PE(P)R h t W WE(T)

− − = ,

ενώ ( )( ) ( ) ( )1 1 m1 Pm1

E(P) EPTR h t i W W 0E(T) t i

∂− − > ⇒ >

∂ για κάθε tm1(i)<tm1

και ( )( ) ( ) ( )1 1 m1 Pm1


∂− − < ⇒ <

∂ για κάθε tm1(i)>tm1.

Ως εκ τούτου, για κάθε χρονικό διάστημα i, με i m1t t≤ , η τιμή του tm1(i) στη

βέλτιστη λύση θα είναι tm1, ενώ για κάθε χρονικό διάστημα i, με ti>tm1, η τιμή του

tm1(i) στη βέλτιστη λύση θα είναι ti, καθώς οι συνθήκες KKT πρέπει να

ικανοποιούνται.

2. Το βέλτιστο tm1(i) για i=1 είναι tm0. Στην περίπτωση αυτή, για κάθε tm1(i) (με

1 m1 m0t t (i)<t≤ ) ικανοποιείται η ανισότητα

( )( ) ( ) ( )1 1 m1 Pm1


∂− − > ⇒ >

∂.

Συνεπώς, η τιμή του tm1(i) στη βέλτιστη λύση είναι tm0 για όλα τα n χρονικά

διαστήματα.

3. Το βέλτιστο tm1(i) για i=1 είναι t1. Σε αυτήν την περίπτωση, για κάθε tm1(i) (με

1 m1 m0t <t (i) t≤ ) ισχύει η ανισότητα

. . . ..

. . . ..


197

( )( ) ( ) ( )1 1 m1 Pm1


∂− − < ⇒ <

∂.

Άρα, η τιμή του tm1(i) στη βέλτιστη λύση, για κάθε χρονικό διάστημα i, είναι ti.

Αν n →∞ έτσι ώστε το μήκος του κάθε διαστήματος (ti-1, ti] να γίνεται

απειροελάχιστο, συμπεραίνουμε πως για να μεγιστοποιηθεί το μέσο κέρδος ανά

μονάδα χρόνου, η προληπτική συντήρηση στην εκτός ελέγχου κατάσταση πρέπει να

γίνεται σε συγκεκριμένο χρόνο (ηλικία εξοπλισμού) tm1 αν η συστηματική αιτία

συμβαίνει πριν από το χρόνο αυτό (για κάθε m1t t≤ ) και αμέσως μετά την επίδραση

αν η συστηματική αιτία συμβαίνει μετά από το χρόνο tm1 (για κάθε m1t t> ). Στη γενική

περίπτωση το tm1 μπορεί να παίρνει οποιαδήποτε τιμή μεταξύ του 0 και του tm0

(δηλαδή m1 m00 t t≤ ≤ ).

Η παραπάνω ανάλυση ισχύει και όταν το tm0 τείνει στο άπειρο ( m0t →∞ ),

επιτρέποντας έτσι και στο tm1 να τείνει στο άπειρο στη βέλτιστη λύση.

. . . ..

. . . .. Παραρτήματα

199

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ

Απόδειξη θεωρήματος 3.1

Το πρόβλημα μεγιστοποίησης του μέσου κέρδους ανά μονάδα χρόνου

εκφράζεται από το ακόλουθο μη γραμμικό μαθηματικό πρότυπο με δύο μεταβλητές

απόφασης:

max EPT(tm0, tm1)

με περιορισμούς:

m1 m0t t 0− ≤

και m0 m1t , t 0≥ .

Οι συνθήκες KKT που πρέπει να ικανοποιεί η λύση για να είναι βέλτιστη είναι:

i. m0

EPT u 0t

∂+ ≤

∂ και

m1

EPT u 0t

∂− ≤

∂

ii. m0m0

EPTt u 0t

⎡ ⎤∂+ =⎢ ⎥∂⎣ ⎦

και m1m1

EPTt u 0t

⎡ ⎤∂− =⎢ ⎥∂⎣ ⎦

iii. m1 m0t t 0− ≤

iv. ( )m1 m0u t t 0− =

v. m0 m1t , t 0≥

vi. u 0≥ .

Οι πρώτες μερικές παράγωγοι του EPT συναρτήσει των tm0 και tm1 δίνονται από

τις σχέσεις:

( ) ( ) ( )( )

m0 m02

m0 m0

E(P) E(T) E(P) t E(T) E(T) t E(P)EPTt t E(T)

∂ ∂ ∂ − ∂ ∂∂= =

∂ ∂ (Γ1)

. . . ..

. . . ..


200

και ( ) ( ) ( )

( )m1 m1

2m1 m1

E(P) E(T) E(P) t E(T) E(T) t E(P)EPTt t E(T)

∂ ∂ ∂ − ∂ ∂∂= =

∂ ∂ (Γ2)

με

( ) ( ) ( ) ( )0 0 m0 P m0 0 m0m0

E(P) = R - h t W - W F t Φ tt

∂⎡ ⎤⎣ ⎦∂

(Γ3)

( ) ( )m0 0 m0m0

E(T) F t Φ tt

∂=

∂ (Γ4)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

m1t1 m1

1 1 m1 P 0m1 10

Φ tE(P) R - h t W - W f t Φ t dtt Φ t

∂⎡ ⎤= ⎣ ⎦∂ ∫ (Γ5)

( ) ( ) ( )( )

m1t1 m1

0m1 10

Φ tE(T) f t Φ t dtt Φ t

∂=

∂ ∫ . (Γ6)

Ενσωματώνοντας τις (Γ3) και (Γ4) στη (Γ1) καταλήγουμε ότι

( ) ( )( )

( ) ( ) m0 0 m00 0 m0 P2

m0

F t Φ tEPT R - h t W - W E(T) - E(P)t E(T)

∂ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦∂. (Γ7)

Αντίστοιχα, ενσωματώνοντας τις (Γ5) και (Γ6) στη (Γ2) καταλήγουμε ότι

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

m1t1 m1

010

1 1 m1 P2m1

Φ tf t Φ t dt

Φ tEPT R - h t W - W E(T) - E(P)t E(T)

∂ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦∂

∫. (Γ8)

Θέτοντας

( ) ( ) ( )0 m0 m1 0 0 m0 Pf t , t R h t W W E(T) E(P)⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦ (Γ9)

( ) ( ) ( )1 m0 m1 1 1 m1 Pf t , t R h t W W E(T) E(P)⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦ (Γ10)

και αντικαθιστώντας στις (Γ7) και (Γ8) λαμβάνουμε τις σχέσεις

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )m0 0 m00 m0 m1 m0 m1 0 m0 m12

m0

F t Φ tEPT f t , t A t , t f t , tt E(T)

∂= =

∂ (Γ11)

. . . ..


201

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

m1t1 m1

010

1 m0 m1 m0 m1 1 m0 m12m1

Φ tf t Φ t dt

Φ tEPT f t , t B t , t f t , tt E(T)

∂= =

∂

∫, (Γ12)

όπου τα A(tm0, tm1) και B(tm0, tm1) είναι θετικά για όλες τις θετικές και πεπερασμένες

τιμές των tm0, tm1.

Επιπλέον

( ) ( ) ( )0 m0 m1 0 m0P

m0 m0

f t , t h tW W E(T) 0

t t∂ ∂

= − − <∂ ∂

(Γ13)

( ) ( ) ( )1 m0 m1 1 m0P

m1 m1

f t , t h tW W E(T) 0

t t∂ ∂

= − − <∂ ∂

. (Γ14)

Προς διευκόλυνση της παρουσίασης, η υπόλοιπη απόδειξη παρουσιάζεται σε

δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο διακρίνονται 7 περιπτώσεις ανάλογα με τις πιθανές

τιμές tm1 και tm0 στη βέλτιστη λύση και προσδιορίζονται οι αναγκαίες συνθήκες

ύπαρξης κρίσιμων σημείων σε κάθε περίπτωση. Στο δεύτερο στάδιο εξετάζεται αν

και πότε ικανοποιούνται οι αναγκαίες συνθήκες που προσδιορίστηκαν στο

προηγούμενο στάδιο. Επίσης, αποδεικνύεται πως υπάρχει πάντα μόνο ένα κρίσιμο

σημείο του ΕΡΤ, το οποίο αποτελεί συνεπώς και το ολικό μέγιστο.

Στάδιο 1

Κρίσιμα σημεία (τοπικά μέγιστα) του EPT μπορεί να υπάρχουν για: 1) θετικές και

πεπερασμένες τιμές των tm0 και tm1 με m1 m0t t< , 2) tm1=0 και θετική πεπερασμένη τιμή

του m0t (οριζόντιος άξονας), 3) tm1=tm0=0 (τομή των δύο αξόνων, σημείο O), 4)

m0t →∞ και θετική πεπερασμένη τιμή του m1t , 5) m0 m1t , t →∞ , 6) θετικές και

πεπερασμένες τιμές των tm0 και tm1 με m1 m0t t= και τέλος 7) m0t →∞ και tm1=0.

Αντιμετωπίζοντας ξεχωριστά κάθε περίπτωση οδηγούμαστε σε απλούστερη

μορφή των αντίστοιχων αναγκαίων συνθηκών:

. . . ..

. . . ..


202

1. Θετικές και πεπερασμένες τιμές των tm0 και tm1 με m1 m0t t< .

Από την τέταρτη συνθήκη KKT συνεπάγεται πως u=0, ενώ η δεύτερη ομάδα των

συνθηκών KKT ικανοποιείται μόνο αν

m0 m1 m0 m1

m0 m1

EPT(t , t ) EPT(t , t )0

t t∂ ∂

= =∂ ∂

ή, ισοδύναμα, μόνο αν f0(tm0,tm1) = f1(tm0,tm1) = 0.

2. tm1=0 και θετική πεπερασμένη τιμή του m0t .

Από την τέταρτη συνθήκη KKT συνεπάγεται πως u=0, ενώ οι δύο πρώτες

ομάδες των συνθηκών KKT ικανοποιούνται μόνο αν

m0 m1

m0

EPT(t , t ) 0t

∂=

∂ και m0 m1

m1

EPT(t , t ) 0t

∂≤

∂ στο tm1 = 0.

Από τη (Γ8) συνεπάγεται πως m0 m1 m1EPT(t , t ) t 0∂ ∂ = για tm1 = 0. Εντούτοις, αν

1 m0f (t ,0)>0 αποδεικνύεται εύκολα πως μικρή αύξηση του tm1 θα οδηγούσε σε

αυξημένες τιμές του EPT, άρα θα πρέπει 1 m0f (t ,0) 0≤ . Επομένως, οι αναγκαίες

συνθήκες ύπαρξης κρίσιμου σημείου στον οριζόντιο άξονα μπορούν να

εκφραστούν ως f0(tm0,0)=0 και 1 m0f (t ,0) 0≤ .

3. tm1=tm0=0.

Για να ικανοποιείται η πρώτη ομάδα των συνθηκών KKT πρέπει να υπάρχει

u 0≥ για το οποίο να ισχύει

( )m0 m1

m0

EPT t , tu

t∂

≤ −∂

και ( )m0 m1

m1

EPT t , tu

t∂

≤∂

στο tm1 = tm0 = 0.

Από τη (Γ8) συνεπάγεται πως

( )m0 m1

m1

EPT t , t0

t∂

=∂

στο tm1 = tm0 = 0.

. . . ..


203

Ως εκ τούτου, το σημείο tm1=tm0=0 αποτελεί τη βέλτιστη λύση του EPT μόνο αν

( )m0 m1

m0

EPT t , t0

t∂

≤∂

στο tm1 = tm0 = 0

ή, ισοδύναμα, ( )0f 0,0 0≤ .

4. m0t →∞ και θετική πεπερασμένη τιμή του m1t .

Στην περίπτωση αυτή θα πρέπει

( )

m0

m0 m1

t m0

EPT t , tlim 0

t→∞

∂≥

∂ και

( )m0

m0 m1

t m1

EPT t , tlim 0

t→∞

∂=

∂.

Από τη (Γ7) ισχύει ότι

( )

m0

m0 m1

t m0

EPT t , tlim 0

t→∞

∂=

∂.

Παρόλα αυτά, αντίστοιχα με την περίπτωση 2, αποδεικνύεται εύκολα πως αν

( )m0

0 m0 m1tlim f t , t 0→∞

< , τότε το EPT μπορεί να αυξηθεί περαιτέρω και συνεπώς οι

αναγκαίες συνθήκες είναι

( )m0

0 m0 m1tlim f t , t 0→∞

≥ και ( )m0

1 m0 m1tlim f t , t 0→∞

= .

5. m0 m1t , t →∞ .

Από τη (Γ7) ισχύει ότι

( )

m0 m1

m0 m1

t ,t m0

EPT t , tlim 0

t→∞

∂=

∂.

Άρα, πιθανό μέγιστο του EPT εμφανίζεται για m0 m1t , t →∞ μόνο αν

( )

m0 m1

m0 m1

t ,t m1

EPT t , tlim 0

t→∞

∂≥

∂

ή, ισοδύναμα, ( )m0 m1


→∞≥ .

. . . ..

. . . ..


204

6. Θετικές πεπερασμένες τιμές των tm0 και tm1 με m1 m0t t= .

Για να ικανοποιείται η δεύτερη ομάδα των συνθηκών KKT θα πρέπει να υπάρχει

u 0≥ για το οποίο να ισχύει

( ) ( )m0 m1 m0 m1

m0 m1

EPT t , t EPT t , tu

t t∂ ∂

= − = −∂ ∂

. (Γ15)

Η εξίσωση (Γ15) ικανοποιείται μόνο αν

α) f0(tm0,tm1) = f1(tm0,tm1) = 0, ή

β) f0(tm0,tm1)<0 και f1(tm0,tm1)>0

για m1 m0t t= .

7. m0t →∞ , tm1=0.

Σε αυτήν την περίπτωση θα πρέπει

( )

m0

m0 m1

t m0

EPT t , tlim 0

t→∞

∂≥

∂ και

( )m0

m0 m1

t m1

EPT t , tlim 0

t→∞

∂≤

∂ στο tm1=0.

Από τη (Γ7) και τη (Γ8) έχουμε

( )

m0

m0 m1

t m0

EPT t , tlim 0

t→∞

∂=

∂ και

( )m0

m0 m1

t m1

EPT t , tlim 0

t→∞

∂=

∂ στο tm1=0.

Εντούτοις, όπως και στις περιπτώσεις 2 και 4, αποδεικνύεται πως αν

( )m0

0 m0tlim f t ,0 0→∞

< ή/και ( )m0

1 m0tlim f t ,0 0→∞

> , τότε το EPT μπορεί να λάβει ακόμη

μεγαλύτερες τιμές και συνεπώς οι αναγκαίες συνθήκες στην περίπτωση αυτή

είναι

( )m0

0 m0tlim f t ,0 0→∞

≥ και ( )m0

1 m0tlim f t ,0 0→∞

≤ .

Η τρίτη στήλη του πίνακα 3.1 περιλαμβάνει συνοπτικά τις αναγκαίες συνθήκες

για την ύπαρξη κρίσιμων σημείων και για τις 7 περιπτώσεις.

. . . ..


205

Στάδιο 2

Έχοντας προσδιορίσει την ακριβή μορφή των αναγκαίων συνθηκών για όλες τις

περιπτώσεις, ερευνούμε αν και πότε αυτές οι συνθήκες ικανοποιούνται. Καταρχάς

ελέγχεται πότε ικανοποιείται η σχέση f0 = f1 = 0, η οποία αποτελεί την απαραίτητη

συνθήκη για να υπάρχει βέλτιστη λύση με θετικές και πεπερασμένες τιμές tm0, tm1

(περιπτώσεις 1 και 6).

Για να ικανοποιείται η σχέση ( )0 m0 m1f t , t = ( )1 m0 m1f t , t =0, θα πρέπει

( ) ( ) ( )0 m0 m1 0 0 m0 Pf t , t 0 R h t W W E(T) E(P) 0⎡ ⎤= ⇒ − − − = ⇒⎣ ⎦

( ) ( )0 0 m0 PE(P)R h t W WE(T)

− − =

και

( ) ( ) ( )1 m0 m1 1 1 m1 Pf t , t 0 R h t W W E(T) E(P) 0⎡ ⎤= ⇒ − − − = ⇒⎣ ⎦

( ) ( )1 1 m1 PE(P)R h t W WE(T)

− − = .

Άρα, η αναγκαία συνθήκη για να μηδενίζονται ταυτόχρονα οι ( )0 m0 m1f t , t και

( )1 m0 m1f t , t θα είναι

( ) ( ) ( ) ( )0 0 m0 P 1 1 m1 PR h t W W R h t W W− − = − − . (Γ16)

Επειδή W>Wp η συνθήκη (Γ16) είναι ισοδύναμη με την

( ) ( ) 0 10 m0 1 m1

P

R Rh t h tW W

−= +

−,

η οποία ικανοποιείται για m1 m00 t t≤ ≤ αν και μόνο αν

( )( ) ( )m0

0 10 m0 1t P

R Rlim h t h 0

W W→∞

−> +

−.

. . . ..

. . . ..


206

Οποτεδήποτε ικανοποιείται η εξίσωση (Γ16), ισχύει f0(tm0,tm1) = f1(tm0,tm1). Στην

περίπτωση αυτή ορίζουμε την f01(tm0) = f01(tm1) = f0(tm0,tm1) = f1(tm0,tm1). Το πεδίο

ορισμού της f01 είναι οι τιμές των tm0 (tm1) που ικανοποιούν τη (Γ16). Σημειώνεται πως

η f01 είναι συνάρτηση μίας μεταβλητής (tm0 ή tm1), διότι κάθε τιμή του tm0 (tm1) ορίζει

μονοσήμαντα την αντίστοιχη τιμή του tm1 (tm0) μέσω της (Γ16). Πιο συγκεκριμένα,

επειδή τόσο η h0(tm0) όσο και η h1(tm1) είναι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις, όσο το

tm0 (tm1) αυξάνει η αντίστοιχη τιμή του tm1 (tm0) αυξάνει επίσης. Στο σχήμα 3.1 τα

σημεία που ικανοποιούν τη συνθήκη (Γ16) σχηματίζουν τη γραμμή AC. Από τη

μορφή των f0, f1 είναι φανερό ότι f0>f1 στην περιοχή πάνω από την AC, ενώ f0<f1 στην

περιοχή κάτω από την AC. Παραγωγίζοντας την f01 ως προς tm0 έχουμε

( ) ( ) ( )∂ ∂= +

∂ ∂01 m0 0 m0 m1 0 m0 m1 m1

m0 m0 m1 m0

df t f t , t f t , t dtdt t t dt

. (Γ17)

Από τη (Γ9)

( ) ( ) ( )0 m0 m10 0 m0 P

m1 m1 m1

f t , t E(T) E(P)R h t W Wt t t

∂ ∂ ∂⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦∂ ∂ ∂

. (Γ18)

Από τις (Γ5), (Γ6) και (Γ16) προκύπτει

( ) ( ) ( ) ( )1 1 m1 P 0 0 m0 Pm1 m1 m1

E(P) E(T) E(T)R h t W W R h t W Wt t t

∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − = − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∂ ∂ ∂

. (Γ19)

Ενσωματώνοντας τις (Γ13), (Γ18) και (Γ19) στη (Γ17) προκύπτει

( ) ( ) ( )01 m0 0 m0p

m0 m0

df t h tW W E(T) 0

dt t∂

= − − <∂

.

Συνεπώς, η f01 είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση του tm0 (και tm1) και άρα η f01

μηδενίζεται το πολύ μία φορά. Ειδικότερα, η f01 λαμβάνει την υψηλότερη τιμή της για

tm1=0 ή, ισοδύναμα, για την αντίστοιχη τιμή του tm0 (έστω 0m0t ) που λαμβάνεται από τη

(Γ16) θέτοντας tm1=0. Έτσι, η υψηλότερη τιμή της f01(tm0) είναι

. . . ..


207

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0m0t

001 m0 1 1 P 0

0

f t R h 0 W W F t Φ t dt + Z⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬

⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∫ ∫0 0m0 m0t t

0 00 0 P 0 m0 m0 0

0 0

- R F t Φ t dt - W - W - W Φ t F t + f t Φ t dt

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎡ ⎤= − −⎣ ⎦∫0m0t

1 p 1 P 0 1 0 1 0 P0

R Z + W - h 0 W - W Z + F t Φ t R - R h 0 h t W - W dt ,

ενώ το κάτω όριο της f01 προκύπτει για m0t →∞ ή, ισοδύναμα, για την αντίστοιχη

τιμή του tm1 (έστω ∞m1t ) που υπολογίζεται από τη (Γ16) όταν m0t →∞ . Άρα, το κάτω

όριο της f01(tm0) είναι

( ) ( ) ( ) ( ) ( )m0 m0 m0

01 m0 0 0 m0 P 0 m0 1 m1t t tlim f t R lim h t W W lim T t + T t + Z∞

→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

∞

∞

∞ ∞∞

→∞

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∫ ∫m1

m0m1

t1 m1

0 0 m0 1 1 m1 P 0 0t10 t

Φ t- R lim T t + R T t - W - W - W f t Φ t dt + f t Φ t dt

Φ t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞

→∞ →∞

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫

m0 m00 p 0 m0 P 0 0 m0 0 Pt t

0

R Z + W lim h t W - W Z - F t Φ t lim h t h t W - W dt

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

m1 m1

m0

t t1

0 1 0 1 0 m0 Pt10 t

Φ tf t Φ t C - C h t lim h t W - W dt dt

Φ t

∞ ∞

→∞

′ ⎡ ⎤⎛ ⎞′ ′− − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ .

Αν ( )001 m0f t 0≤ ή ( )

m001 m0t

lim f t 0→∞

≥ τότε είναι αδύνατο η f01(tm0) να μηδενιστεί για

οποιαδήποτε πεπερασμένη τιμή του > 0m0 m0t t και συνεπώς δεν υπάρχει συνδυασμός

θετικών πεπερασμένων τιμών των tm0, tm1 που να ικανοποιεί τις συνθήκες πρώτης

τάξης. Από την άλλη, αν ( )001 m0f t 0> και ( )

m001 m0t

lim f t 0→∞

< υπάρχει μοναδικό σημείο

(tm0, tm1) με < ≤m1 m00 t t (πάνω στη γραμμή AC), για το οποίο ισχύει

( ) ( )= =0 m0 m1 1 m0 m1f t , t f t , t 0 .

. . . ..

. . . ..


208

Για την απλοποίηση της ανάλυσης των διαφόρων περιπτώσεων που βασίζονται

στα πρόσημα των ( )001 m0f t και ( )

m001 m0t

lim f t→∞

, αποδεικνύεται πρώτα γιατί κάποιες

περιοχές τιμών των tm1 και tm0 εξαιρούνται από την ανάλυση.

Συγκεκριμένα, επειδή f0<f1 για όλα τα σημεία κάτω της AC, είναι αδύνατο το

μέγιστο να επιτυγχάνεται για m0t →∞ και tm1=0 (περίπτωση 7). Επιπλέον, οι

αναγκαίες συνθήκες των περιπτώσεων 2 και 4 δεν μπορούν να ικανοποιηθούν για

τιμές κάτω από την AC. Συνεπώς, βέλτιστο με tm1=0 και θετική πεπερασμένη τιμή m0t

ή με m0t →∞ και θετική πεπερασμένη τιμή m1t μπορεί να υπάρξει μόνο στην

περιοχή πάνω από την AC.

Από την άλλη, επειδή f0>f1 στην περιοχή πάνω από την AC, είναι αδύνατο να

υπάρχει κρίσιμο σημείο για οποιαδήποτε θετικά πεπερασμένα tm0 και tm1 με m1 m0t t=

εκτός αν η AC ταυτίζεται με τη γραμμή m1 m0t t= . Αυτό συμβαίνει όταν R0=R1 και

( ) ( )0 1h t h t≡ , δηλαδή όταν δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ των δύο καταστάσεων της


Ως εκ τούτου, καταλήγουμε ότι η βέλτιστη λύση μπορεί να βρίσκεται μόνο στην

έντονη γραμμή OAC του σχήματος 3.1 ή για m0t →∞ .

Διακρίνουμε τώρα τις ακόλουθες τρεις εναλλακτικές περιπτώσεις συναρτήσει των

προσήμων των ( )001 m0f t και ( )

→∞m001 m0t

lim f t :

A) ( )001 m0f t 0> και ( )

m001 m0t

lim f t 0→∞

<

Επειδή η f01 είναι γνησίως φθίνουσα, υπάρχει μοναδικό σημείο (tm0, tm1), με

m1 m00 t t< ≤ , στο οποίο m0 m1EPT t EPT t 0∂ ∂ = ∂ ∂ = (σημείο B στο σχήμα 3.1)

και συνεπώς το σημείο αυτό είναι κρίσιμο σημείο για το EPT.

. . . ..


209

Επιπλέον, ( )m0


< και άρα ( )m0

1 m0 m1tlim f t , t 0→∞

< για όλα τα tm1 πάνω από

την AC. Συνεπώς, καθώς ( )1 m0 m1 m1f t , t t 0∂ ∂ < , δεν υπάρχει κρίσιμο σημείο για

m0t →∞ πάνω από τη γραμμή AC.

Από την άλλη, ( )001 m0f t 0> και άρα ( ) >0 m0f t ,0 0 στο συγκεκριμένο σημείο

(σημείο Α στο σχήμα 3.1) και, επειδή ( )0 m0 m1 m0f t , t t 0∂ ∂ < , δεν υπάρχει κρίσιμο

σημείο για m1t 0= αριστερά του σημείου Α.

Άρα, το μοναδικό κρίσιμο σημείο για το EPT βρίσκεται πάνω στη γραμμή AC. Το

κρίσιμο αυτό σημείο βρίσκεται γενικά για tm1<tm0 (περίπτωση 1), όταν R0>R1

ή/και ( ) ( )1 0h t h t> , και για tm1=tm0 (περίπτωση 6) στην ειδική περίπτωση όπου

R0=R1 και ( ) ( )0 1h t h t≡ .

B) ( )001 m0f t 0≤

Επειδή η f01 είναι γνησίως φθίνουσα, δεν υπάρχει κρίσιμο σημείο πάνω στην AC

για > 0m0 m0t t . Επιπλέον, ( )

m001 m0t

lim f t 0→∞

< και συνεπώς ( )m0

1 m0 m1tlim f t , t 0→∞

< για

κάθε tm1 που βρίσκεται πάνω από την AC. Άρα, επειδή ( )1 m0 m1 m1f t , t t 0∂ ∂ < , δεν

υπάρχει κρίσιμο σημείο ούτε πάνω από την AC για m0t →∞ .

Ως εκ τούτου, πιθανά μέγιστα μπορούν να υπάρξουν μόνο για tm1=0 στα

αριστερά του σημείου A. Διαχωρίζουμε δύο περιπτώσεις ανάλογα με το

πρόσημο του ( )0f 0,0 :

α) ( )0f 0,0 0>

Στην περίπτωση αυτή, το σημείο O (tm1=tm0=0) δεν μπορεί να είναι κρίσιμο

σημείο για το EPT.

. . . ..

. . . ..


210

Εντούτοις, επειδή ( )0 m0f t ,0 0≤ στο σημείο A και ( )0 m0 m1 m0f t , t t 0∂ ∂ < , είναι

προφανές πως υπάρχει μοναδικό σημείο στο ευθύγραμμο τμήμα OA

(σημείο D στο σχήμα 3.1) για το οποίο ( ) =0 m0f t ,0 0 . Επιπλέον, 0 1f f≥ επί

του τμήματος OA και συνεπώς 1 m0f (t ,0) ≤ f0(tm0,0)=0 στο σημείο D. Επειδή

όλες οι απαραίτητες συνθήκες KKT ικανοποιούνται στο σημείο D, αυτό είναι

και το μοναδικό κρίσιμο σημείο του EPT (περίπτωση 2).

β) ( )0f 0,0 0≤

Επειδή ( )0 m0 m1 m0f t , t t 0∂ ∂ < , η μοναδική τιμή του tm0 που ικανοποιεί όλες τις

συνθήκες KKT είναι η tm0=0. Έτσι, το μοναδικό κρίσιμο σημείο του EPT είναι

το σημείο O (περίπτωση 3).

Γ) ( )m0


≥

Επειδή η f01(tm0) είναι γνησίως φθίνουσα, δεν υπάρχει κρίσιμο σημείο επί της AC

για καμία πεπερασμένη τιμή του tm0.

Επιπλέον, ( )001 m0f t 0> , και συνεπώς ( ) >0 m0f t ,0 0 στο σημείο A και καθώς

( )0 m0 m1 m0f t , t t 0∂ ∂ < δεν υπάρχει κρίσιμο σημείο για m1t 0= ούτε αριστερά του

σημείου Α.

Άρα, πιθανά μέγιστα μπορεί να υπάρξουν μόνο για m0t →∞ πάνω από την AC.

Διακρίνουμε πάλι δύο περιπτώσεις:

α) ( )m0 m1


→∞<

Σε αυτήν την περίπτωση το ΕΡΤ δε μπορεί να μεγιστοποιείται για

m0 m1t , t →∞ .

. . . ..


211

Παρόλα αυτά, δεδομένου ότι ( )m0

1 m0 m1tlim f t , t 0→∞

≥ για όλα τα tm1 πάνω από

την AC και ( )1 m0 m1 m1f t , t t 0∂ ∂ < , είναι προφανές ότι υπάρχει μοναδική τιμή

του tm1 για m0t →∞ , πάνω από την AC, για την οποία ισχύει

( )→∞

=m0

1 m0 m1tlim f t , t 0 . Επιπλέον 0 1f f≥ πάνω από την AC και συνεπώς θα

ισχύει ( ) ( )m0 m0

0 m0 m1 1 m0 m1t tlim f t , t lim f t , t 0→∞ →∞

≥ = για μοναδική τιμή του tm1 και

m0t →∞ . Επειδή όλες οι απαραίτητες συνθήκες ικανοποιούνται για τη

δεδομένη τιμή του tm1, αυτό είναι το μοναδικό κρίσιμο σημείο για το EPT

(περίπτωση 4).

β) ( )m0 m1


→∞≥

Επειδή ( )1 m0 m1 m1f t , t t 0∂ ∂ < , δεν υπάρχει πεπερασμένη τιμή του tm1 που να

ικανοποιεί όλες τις αναγκαίες συνθήκες βελτιστοποίησης. Συνεπώς, το EPT

μπορεί να μεγιστοποιηθεί μόνο για m0 m1t , t →∞ (περίπτωση 5).

Από την παραπάνω ανάλυση συμπεραίνεται ότι υπάρχει πάντα μοναδικό

κρίσιμο σημείο για το EPT. Δεδομένου ότι δεν υπάρχουν εναλλακτικά πιθανά μέγιστα

του ΕΡΤ, κάθε τοπικό μέγιστο αποτελεί αυτομάτως και ολικό μέγιστο. Άρα, οι

παραπάνω αναγκαίες συνθήκες είναι επίσης ικανές.

Στην τέταρτη στήλη του πίνακα 3.1 παρουσιάζονται συνοπτικά οι ικανές

συνθήκες, οι οποίες καθορίζουν παράλληλα τη μορφή του ολικού μεγίστου του EPT.

ikee.lib.auth.grikee.lib.auth.gr/record/65276/files/gri-2006-949.pdfΣΟΦΙΑΣ Α....

Documents

Transcript of ikee.lib.auth.grikee.lib.auth.gr/record/65276/files/gri-2006-949.pdfΣΟΦΙΑΣ Α....