III Bienal Confer.ncia Eqs Param.tricas e Anima..o · se torna θ =cte. Outras curvas que são...

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II BIENAL DA SBM 06 A 11 DE NOVEMBRO DE 2006 Equações Paramétricas E ... Animação ADELMO RIBEIRO DE JESUS UCSAL/FJA - SALVADOR BAHIA x y z x y z
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  • II BIENAL DA SBM 06 A 11 DE NOVEMBRO DE 2006 Equaes Paramtricas E ...

    Animao

    ADELMO RIBEIRO DE JESUS UCSAL/FJA - SALVADOR BAHIA

    x y

    z

    x y

    z

  • 2

    INTRODUO1 Neste trabalho analisaremos as vrias formas de apresentao das equaes em Matemtica, e nos

    deteremos, em particular, na utilizao de equaes paramtricas em vrios nveis de ensino. Estas

    equaes (as paramtricas) aparecem no Ensino Mdio nas equaes do movimento em Fsica,

    onde o parmetro t o tempo. Em Matemtica a situao diferente, estas equaes no so muito

    utilizadas. Uma exceo ocorre na Geometria Analtica Plana, quando esta lecionada atravs de

    vetores. Mais precisamente, pretendemos:

    Apresentar (do ponto de vista da Matemtica) as diferenas entre equaes na forma explcita,

    implcita e paramtrica.

    Justificar (em termos matemticos e computacionais) as vantagens da utilizao das equaes

    paramtricas em vrias situaes

    Utilizar as equaes paramtricas para compreenso do aspecto de certas curvas no plano.

    Criar atividades de animao onde as equaes paramtricas so inevitveis.

    Tendo em vista estas questes vamos enfatizar a importncia das equaes paramtricas em

    Matemtica, no somente para o que foi referido acima como para atividades mais interativas,

    como animao em 2D e 3D. Por exemplo, a visualizao da construo da ciclide e da astride

    podem ser realizadas com certa facilidade quando se utilizam as equaes paramtricas. De forma

    anloga, possvel realizar a animao em 3D do espao gerado por 2 vetores v1 e v2 , utilizando

    as equaes paramtricas (e parmetros extras de animao).

    Nossa abordagem ser elementar, decepcionando talvez aqueles professores com nvel matemtico

    mais avanado, porm nosso foco est voltado mais para a para a relao Matemtica x

    Informtica e de sua utilizao em cursos do Ensino Mdio Ps-Graduao.

    1 Adelmo Ribeiro de Jesus Prof. dos Cursos de Matemtica da UCSAL e FJA ; [email protected]

    -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

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    x

    y

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    x

    y

    x

    y

    z

    x

    y

    z

    x

    y

    z

  • 3

    I. As Expresses que a Matemtica Utiliza Existem basicamente 04 formas de apresentar um vnculo, uma relao entre pontos do plano IR2.

    A depender do caso, e da aplicao, comum e cmodo utilizar uma ou outra dessas expresses.

    So elas:

    1. Forma Explcita y = f(x) Estas representam a maioria das funes do Clculo e Geometria, como y = ax+b, y=ax2+bx+c,

    y = sen(x), y = ln(x), entre inmeras outras. A grande vantagem dessa forma que a varivel

    (dependente) y dada, como o nome diz, explicitamente em relao varivel (independente) x.

    Expresses desse tipo representam o que chamamos de funes. Dizemos frequentemente y

    funo de x.

    Dois bons motivos da popularidade da forma explcita esto em que:

    (i) o grfico associado do tipo {(x, f(x)) ; x X } ; onde X um subconjunto da reta chamado

    domnio da funo f. Isso significa geometricamente que a cada xo X fixado, a reta x = xo

    intersecta o grfico de f exatamente uma vez. Em geral, para cada xo IR fixo, a reta x = xo

    intersecta o grfico de f no mximo uma vez.

    (ii) relativamente fcil se traar o grfico dessa funo, atribuindo certos valores varivel x e

    encontrando (explicitamente) o valor f(x). Computacionalmente falando, fica extremamente

    simples construir uma tabela com 100 pontos e obter os respectivos 100 valores f(x). Isso pode ser

    feito com o Excel, por exemplo, ou um programa computacional como o Winplot.

    3 2 1 1 2 3 4

    4

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    2

    1

    1

    2

    3

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    x

    yx f(x)=x2-4 -3 5

    -2,5 2,25 -2 0

    -1,5 -1,75 -1 -3

    -0,5 -3,75 0 -4

    0,5 -3,75 1 -3

    1,5 -1,75 2 0

    2,5 2,25 3 5

  • 4

    2. Forma Implcita F(x,y) = c Nem sempre possvel obter uma relao explicita entre duas (ou mais) variveis x, y. A forma

    implcita F(x,y) = c s vezes a nica forma de se ter a relao entre elas. O exemplos mais

    comuns so os polinomiais ax + by = c , x2 + y2 -2ax = 0 , x3+y3-3axy = 0, (x2+ y2)x 2ay2 = 0.

    As curvas associadas s duas primeiras expresses so uma reta, e um crculo que passa na origem

    e centro (a, 0) . As outras duas curvas so o folium de Descartes e a cisside de Diocles,

    dadas nas figuras abaixo:

    3. Forma Polar r = f(), ou F(r, ) = 0

    A forma polar se destaca por ser uma forma (quase sempre) explcita de relacionar pontos do

    plano, embora seja utilizada de forma muito limitada em Matemtica. Certas equaes

    complicadas se escrevem facilmente na forma polar, como por exemplo a equao de uma

    circunferncia x2 + y2 = c2, que se exprime na forma polar simplesmente por r = c. Uma reta de

    equao y =ax que passa pela origem tem ngulo constante, ou seja, sua equao na forma polar

    se torna =cte. Outras curvas que so distinguidas na forma polar so as rosceas. A equao

    dessas curvas so dadas por r = a cos(n) . Geometricamente a o raio do crculo onde ela se

    inscreve e n o nmero de ptalas da roscea.

    As rosceas r = 3cos(4) e r = 3cos(5) tm as formas abaixo:

    4 3 2 1 1 2 3 4

    4

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    x

    y

    3 2 1 1 2 3 4 5 6

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    x

    y

    3 2 1 1 2 3 4

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    1

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    A

    y

    3 2 1 1 2 3 4

    3

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    1

    1

    2

    3

    A

    y

  • 5

    As aspas na palavra nmero querem indicar uma propriedade interessante destas curvas que veremos mais

    adiante com o recurso da animao: Quando n mpar a roscea tem exatamente n ptalas, mas quando n par a

    roscea correspondente tem o dobro do nmero de ptalas.

    As limaons so dadas pela relao r = 1 + a cos() . Quando -2 a 2 obtemos as curvas abaixo:

    3 2 1 1 2 3

    2

    1

    1

    2

    x

    y

    2 1 1 2 3

    1

    1

    2

    x

    ya = -1

    2 1 1 2 3

    1

    1

    2

    x

    ya = 1

    2 1 1 2 3

    1

    1

    2

    x

    y

    a = 2

  • 6

    4. Forma Paramtrica x= f(t) ; y = g(t) Como dissemos anteriormente, as equaes paramtricas so pouco utilizadas em Matemtica,

    principalmente no Ensino Mdio. Achamos que esta atitude pode e deve ser revertida,

    introduzindo-se mais cedo estas equaes pelo menos nos casos mais simples de retas, parbolas,

    circunferncias, elipses. J no nvel universitrio estas equaes assumem grande importncia,

    sendo utilizadas em Clculo, Geometria Analtica, e principalmente em Geometria Diferencial.

    A primeira grande vantagem das equaes paramtricas que elas se prestam a generalizaes

    para espaos de dimenso maior. Uma reta em 3D no tem uma expresso simples na forma

    explicita ou implcita, pois escrita como uma interseo de dois planos. Por outro lado, as

    equaes paramtricas desta reta so inteiramente anlogas, pois derivam da mesma equao

    vetorial P = Po + tv , como veremos a seguir:

    A Equao de Uma Reta

    Uma equao y = Ax + B pode ser parametrizada, ou seja, podemos exprimir as variveis x e y

    em funo de outra varivel t, chamada parmetro. De fato, chamando x =t temos que y = Ax+B

    toma a formax ty At B=

    = + .

    Outra maneira de se obter uma reta na forma paramtrica partir de sua equao vetorial P = Po +

    tv , onde Po =( xo, yo) um ponto fixo do plano e v = (a, b) o vetor direo da reta.

    Dessa equao obtemos as equaes paramtricas da reta oo

    x x a ty y b t= +

    = + .

    No caso 3D a equao de uma reta se generaliza facilmente para o

    o

    o

    x x a ty y b tz z + c t

    = + = + =

    x

    y

    z

    P= (1,2,3)

    x 1 2 tA reta de equao y 2 3 t

    z 3 + 2 t

    = + = + =

    x 2 3 tA reta de equao

    y 1 t= +

    = +

    8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4

    2

    1

    1

    2

    3

    4

    x

    y

    v = (3,1)P = (-2,1)

  • 7

    Circunferncias e Elipses

    Dada uma circunferncia de equao (x-xo)2 + (y-yo)2 = r2 fcil mostrar que esta equao

    implcita pode ser traduzida na forma paramtrica pelas equaes oo

    x x r cos(t)y y r sin(t)= +

    = +. Com efeito,

    fazendo x-xo = rcos(t) e y-yo = rsen(t) temos (x-xo)2 + (y-yo)2 = (rcos(t))2 +( rsen(t))2 = r2 .

    Analogamente podemos verificar que oo

    x x a cos(t)y y b sin(t)= +

    = + , a, b >0 definem elipses.

    II. Construo de Curvas Utilizando a Forma Paramtrica As equaes paramtricas so particularmente teis quando queremos construir o trao de uma

    curva C do plano, a fim de compreender melhor o movimento do ponto P = (x(t), y(t) ) da curva C.

    Existem dois casos que podemos examinar: Um simples, caso particular, e o outro caso a situao

    geral. So eles:

    1) Curvas que iniciam na origem (0,0)

    2) Curvas que iniciam em um ponto qualquer do plano

    1 Caso: Curvas que iniciam na origem (0,0)

    Dada uma curva y = f(x), 0 x b e f(0)=0, podemos inserir um parmetro k de animao para visualizar o seu trao. Para isso, devemos utilizar suas equaes na forma paramtrica

    ==

    bt0 , )t(f)t(yt)t(x

    Exemplo 1: y = sen x , 0 x 2

    As equaes paramtricas dessa curva so

  • 8

    A animao no Winplot dada por

    ==

    2t 0 fazendo , )ktsin()t(ytk)t(x

    Usando a opo Anim | K e colocando 0 k 1 temos a animao abaixo:

    Exemplo 2: A funo tangente y = tg(x) , 0 x 3

    Equaes paramtricas:

  • 9

    A fim de construirmos o trao dessa ciclide usamos um parmetro extra k , ou seja, digitamos x (kt sin(kt))

    y (1 cos(kt))=

    = onde faremos 0 t 2 ; 0 k 1

    Note tambm que para efeito de visualizao traamos um crculo de centro em (a,1) e raio 1 de equao (x-a)2 + (y-1)2 =1 e o ponto que descreve a curva P= (a-sin(a), 1-cos(a)) 2 Caso: Curvas que iniciam em qualquer ponto do plano

    Seja

    ==

    (t)g )t(y )t(f)t(x

    , bt a uma curva qualquer que liga P=(f(a), g(a)) a Q=(f(b), g(b)). A

    parametrizao (para animao contnua) neste caso um pouco mais delicada, e dada no

    resultado abaixo.

    Proposio: Se

    ==

    (t)g )t(y)t(f)t(x

    , bt a uma curva C que liga o ponto P = (f(a), g(a)) ao ponto

    Q=(f(b), g(b)), ento a reparametrizao

    +=+=

    a))-t(k(ag )t(y))at(ka(f)t(x

    , bt a , 1k0 , fornece a

    construo da curva desde o ponto P at Q.

    Prova: Observe inicialmente que t est fixado entre a e b. Introduzindo um novo parmetro = a + k (t-a), temos que:

    Quando k = 0, temos = a . Logo,

    ==

    (a)g )t(y)a(f)t(x

    , que representa o ponto P.

    Quando = b , temos = a + 1(t-a) = a + (t-a) = t . Logo,

    /2 3/2 2 5/2 3

    1

    1

    2

    x

    y

    /2 3/2 2 5/2 3

    1

    1

    2

    x

    y

    /2 3/2 2 5/2 3

    1

    1

    2

    x

    y

    Quando animamos simultaneamente os parmetros a, k vemos o trao da ciclide sendo construdo.

  • 10

    =+==+=

    g(t) a))-t(k(ag )t(y)t(f))at(ka(f)t(x

    , que toda a curva C.

    Para k fixo 0 < k < 1 temos = a + k(t-a). Quando t varia entre a e b, o parmetro varia entre

    a e a+k(b-a)=(1-k)a+kb, gerando curvas intermedirias

    ==

    (t)g )t(y)t(f)t(x

    , )ab(kat a +

    Exemplo 4: Construir a animao do grfico y = x2 , - 2 x 3

    Neste caso temos os pontos P = (-2, 4) e Q = (3, 9).

    As equaes paramtricas dessa parbola so :

    =

    =

    3 t2 , t)t(y

    t)t(x2

    Usando a Proposio acima, temos que a reparametrizao dada

    por

    ++=

    ++=

    ) 2)t( k 2()t(y

    2)t( k 2)t(x2 3t 2- , 1k 0

    A lgica dessa animao a seguinte:

    Quando k=0 temos x(t)=-2 e y(t) = 4. Logo, o programa s exibe o ponto P =(-2, 4).

    Quando k = 1 teremos x(t) = -2 + (t+2) , ou seja, x(t) = t e y(t) = = (-2 + (t+2) )2 = t2 , que a

    curva y=x2 completa.

    Os passos intermedirios 0 < k < 1 nos do as vrias gradaes da curva y=x2

    3 2 1 1 2 3 41

    1

    2

    3

    4

    5

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    (-2,4)

    (3, 9)

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    (3, 9)

    3 2 1 1 2 3 41

    1

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    6

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    (-2,4)

    (3, 9)

    3 2 1 1 2 3 41

    1

    2

    3

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    5

    6

    7

    8

    9

    (-2,4)

    (3, 9)

    Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

  • 11

    Exemplo 5: y = sen x , - /2 x 2

    Soluo: As equaes paramtricas so

  • 12

    (i) 3t t3tlim x(t) lim 0

    1 t+

    = =

    +e

    2

    3t t

    3tlim y(t) lim 0 1 t

    = =

    +.

    (ii)t 1 t 1lim x(t) e lim y(t)

    = + =

    iii) Tambm, t 1 t 1lim x(t) e lim y(t)

    + + = = +

    (iv) Em t=0 temos x(t) 0

    y(t) 0

    = =

    (v) 3t t3tlim x(t) lim 0

    1 t+

    + += =

    +e

    2

    3t t

    3tlim y(t) lim 0 1 t

    +

    + += =

    +.

    Resumindo, temos:

    Para valores de t (- , -1) o trao vai da origem (0,0) a (+, -) no 2 quadrante (veja o

    trao vermelho na figura).

    Logo aps t=-1 a curva passa (descontinuamente) para o 3 quadrante (-, +) e tende a zero

    quando t 0. Dessa forma, para t (-1, 0) a curva vem de (-, +) at (0,0) ( cor verde).

    Entre t=0 e t =+ a curva descreve a folha, no 1 quadrante (cor azul).

    2 1 1 2

    2

    1

    1

    2

    x

    y

    2 1 1 2

    2

    1

    1

    2

    x

    y

    2 1 1 2

    2

    1

    1

    2

    x

    y

    8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 3 2 1 1 2 3

    3

    2

    1

    1

    2

    3

    x

    y

  • 13

    Exemplo 7: Vejamos como usar equaes paramtricas para construir o trao da astride.

    As equaes paramtricas de uma astride genrica so 3

    3

    x r cos t 0 t 2

    y r sen t

    = =

    Essa curva descrita por um ponto de um crculo de raio r/4, tangente interior a um crculo de raio

    r, que gira sem escorregar.

    Tomando a equao desse crculo x2+y2=16 (raio 4) temos que o crculo

    gerador tem raio 1 e tangencia o crculo maior. Logo sua equao (x-3)2 +

    y2=1 , como na figura ao lado.

    O centro desse crculo gira em torno de um crculo de raio 3, logo a equao desse ponto genrico

    P= (3cos(a), 3sin(a)) .

    Conseqentemente o crculo gerador tem equao (x-3cos(a))2+(y-3sin(a))2 = 1

    Para efeito da animao introduzimos outro parmetro b na equao da astride e ficamos com

    3

    3

    x 4(cos(bt)) 0 t 2 ; 0 b 1

    y 4 (sin(bt))

    = =

    Feito isso, selecionamos a opo Anim|Simultnea do Winplot e digitamos A, B na lista de

    parmetros. Colocando agora 0 < a

  • 14

    III. A Forma Paramtrica para Animao em 3D Exemplo 8: Abaixo vemos uma animao da curva interseo de um cilindro x2+y2 =1com o plano

    z = -x+y . Utilizando as equaes paramtricas para o cilindro

    x cos(mt)y sin(mt) 0 t 2 ; u R z u

    = = =

    onde o parmetro m varia entre 0 e 1 podemos ver o cilindro sendo construdo.

    Da mesma forma, a interseo do cilindro com o plano z = -x+y tem equaes paramtricas

    x cos(kt)y sin(kt) 0 t 2 ; 0 k 1z cos(kt) sin(kt)

    = = = +

    Procedendo analogamente com a opo Anim|M e Anim|K pode-se ver o cilindro sendo construdo

    concomitantemente com sua interseo com o plano.

  • 15

    O plano gerado pelos vetores v1= (1,2,3) v2=(1,1,-2) tem equao vetorial P =t v1+ u v2 onde t, u so nmeros reais. Como P = (x,y,z) as equaes paramtricas deste plano so

    x t uy 2t u t , u R z 3t 2u

    = + = + =

    A animao desse subespao dada ento por

    x ct duy 2ct du ; 0 c, d 1 z 3ct 2du

    = + = + =

    x

    y

    zv1=(1, 2, 3)

    v2=(1, 1, -2)

    x

    y

    zv1=(1, 2, 3)

    v2=(1, 1, -2)

    x

    y

    zv1=(1, 2, 3)

    v2=(1, 1, -2)

  • 16

    Exemplo 10: Animao de um helicide no espao O helicide a superfcie obtida pela unio das semiretas que passam por um ponto P da hlice e so perpendiculares ao eixo Oz. Tomando as equaes paramtricas do helicide na forma

    x sinh(u)cos(t)y sinh(u)sin(t) ; 0 t 2 ; -2 u 2 z t

    = = =

    podemos fazer uma passagem desta superfcie para o catenide abaixo. O catenide obtido pela rotao da curva x=coshy em torno do eixo Oz. Suas equaes

    paramtricas so

    x cosh(u)sin(t)y cosh(u)cos(t) ; 0 t 2 ; -2 u 2z u

    = = =

    As equaes que permitem passar do catenide para o helicide so:

    x cos(a)sinh(u)cos(t) sin(a)cosh(u)sin(t)y cos(a)sinh(u)sin(t) sin(a)cosh(u)cos(t) ; 0 a 2 z cos(a)t sin(a)u

    = = + = +

    Observe que quando a = 0 temos o helicide e quando a=2 temos o catenide.

    x y

    z

    xy

    z