II TRIM 5°

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año

TEMA: REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

La conversión de una razón

trigonométrica (r.t) de un ángulo

cualquiera en otra razón

equivalente de un ángulo del

primer cuadrante se llama:

”reducción al primer cuadrante”

También reducir al primer

cuadrante un ángulo significa

encontrar los valores de las RT de

cualquier ángulo en forma directa

mediante reglas prácticas las

cuales mencionaremos a

continuación recordando antes

que:

- Para el Seno: Su Co-Razón es

el Coseno.

- Para la Tangente: Su Co-Razón

es la Cotangente.

- Para la secante: Su Co-Razón

es la Cosecante.

I Regla: “Para ángulos positivos

menores a una vuelta.

¡Importante!

- El signo + ó – del segundo

miembro depende del cuadrante

al cual pertenece el “ángulo a

reducir”.

- se considera un ángulo agudo.

Ejemplos de Aplicación:

1. Reducir al primer cuadrante:

a) Cos 150º b) Tg 200º

c) Sen 320º d) Sec 115º

e) Csc 240º f) Ctg 345º

Resolución:

1a.

Cos 150º = Cos (180º - 30º) =

-Cos 30º

Trigonometría 1

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año“El signo (-) se debe a que el

ángulo a reducir (150º) pertenece

al II C, en el cual el coseno es

negativo”

1b.

Tg 200º = Tg (180º + 20º) =

+ Tg 20º.

“El signo (+) se debe a que el

ángulo a reducir (200) pertenece

al III C, en el cual la tangente es

positiva”.

1c.

Sen 320º = Sen (270º + 50º) =

-Cos 50º

“El signo (-) se debe a que el

ángulo a reducir (320º) pertenece

al IV C, en donde e seno es

negativo y se cambia a coseno

(Co-razón del seno porque se

trabajo con 270º”.

1d.

Sec 115º = Sec (90º + 25º) =

- Csc (25º)

Ojo: También se pudo haber

resuelto de la siguiente manera:

Sec 115º = Sec(180º - 65º) =

- Sec (25º)

“Ambas respuestas son correctas,

por ser éstas equivalentes”

- Csc 25º = - Sec 65º

Csc 25º = Sec 65º

Ya que:

Donde:

y suman 90º

Nota: A éste par de ángulos se les

denomina “Ángulo Complementarios”.

1e.

Csc 240º = Csc (180º + 60º) =

- Csc (60º) ó

Csc 240º = Csc (270º - 30º) =

- Sec (30º)

Trigonometría 2

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año1f. Ctg 345º = Ctg (270º + 75º) =

- Tg (75º) ó

Ct 345º = Ctg (360º - 15º) =

- Ctg 15º

II Regla: “Para ángulos positivos

mayores de una vuelta.

Nota: Se eliminan los múltiplos de

360º.

Ejemplos de Aplicación


a) Sen (548º) b) Cos (987º)

c) Tg (1240º)

Resolución

2a) Sen548° = sen(1 × 360° +

188°) = sen188°

Luego:

Sen548° = sen188 =

sen(180° + 8°) = -sen8°

ó

sen548° = sen188° =

sen(270 - 72°) = -cos72°

2b) Cos987° = cos(2 × 360° +

267º) = cos267°

Luego:

Cos987° = cos267° =

cos(180° + 87°) = -cos87°

ó

cos987° = cos267° =

cos(270° - 3) = -sen3°

2c) Tg1240º =Tg(3 × 360° +

160°) = Tg160°

Luego:

Tg1240° = Tg160°.Tg(90°

+ 70°) = -ctg70°

ó

Tg1240° = Tg160° =

Tg(180° - 20°) = -Tg20°

III Regla: para ángulos negativos:

Para todo ángulo , se cumple:

Trigonometría 3


Nota:

Observamos que para el coseno y

secante el signo “desaparece” es

decir, solo trabajamos con el valor

positivo. Veamos ejemplos:

Ejemplo de Aplicación


A) cos(-130°) B) sec(-274°) C)

Ctg(-1120°) D( Csc(-2140°)

Resolución:

3a) cos(-30°) = cos(30°)

3b) Sec(-274°) = sec(274°) =

Sec(270° + 4°) = Csc4°

ó

Sec(274°) = sec(360°-86°) =

sec86°

3c) Ctg(-1120º) = -Ctg(1120°) =

-Ctg(3×360° + 40°)

Ctg(-1120°) = -Ctg(40°)

3d) Csc(-2140°) = -Csc(2140°) =

-Csc(5×360° + 340°)

Csc(-2140°) = -Csc(340°) =

-Csc(270 + 70°) = -[-Sec 70º]

= Sec 70º

ó

- Csc(340º) = - Csc (360º -

20º) = -[-Csc(20º)]

= Csc 20º

Nota Importante: Todo el capítulo

“Reducción al 1er Cuadrante” se

desarrolló trabajando netamente

en el sistema sexagesimal la cual

también se pudo haber trabajando

en el Sistema Radian incluyendo

todos los casos reglas y

aplicaciones propuestas.

Trigonometría 4


PROBLEMAS PARA LA CLASE

Trigonometría 5


01. Calcular el valor de:

Sabiendo que =

Rpta.:

02. Reducir:

Rpta.:


Rpta.:

04. Simplificar:

Rpta.:

05. Calcular “X”.

Si A – B = 180º y SenA = X-3

SenB = 2/X

Rpta.:

06. Si y son complementarios

reducir:

Rpta.:

07. Reducir la expresión

y calcular: NCos

Rpta.:

Trigonometría 6

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año08. Si: - = /2

Calcular:

Rpta.:

09. Simplificar:

Rpta.:

10. Reducir:

Rpta.:

11. Si Tg25º = a Calcular

Rpta.:

12. Reducir:

Rpta.:

13. Si x + y = (4K-1) ; (K Z)

Además:

Calcular:

Rpta.:

14. Determinar el valor de:

Rpta.:

15. Siendo IIC y además

Calcular: SenCos

Rpta.:

Trigonometría 7

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año16. Calcular el valor de S:

Rpta.:

17. Si Sen40º = m. Calcular:

Rpta.:

18. Si a + b + c =

y: Tgb + Tgc = 2Tga

Calcular el valor de:

R = Seca.Cos( b – c )

Rpta.:


L = Sen(-350º) + Sen(-340º) + Sen(-330º) + … + Sen (-20º) + Sen(-10º)

Rpta.:

20. Si: x + y = 2. Calcular

E = Tg(x +10º) + Sen(y + 40º)

+ Tg(y - 10º) + Sen(x-40º)

Rpta.:

Trigonometría 8


Trigonometría 9


PROBLEMAS PARA LA CASA

01. La expresión:

Es equivalente a:

a) Sen220º.Cos202º

b) –Sen220º

c) Cos220º

d) –Sen20ºCos220º

e) –Sen220.Cos20º

02. Si Tg(-230)º = a, entonces

Es igual a:

a) -2 b) 2 c) 3

d) e) 0

03. Simplificar:

a) -2 b) 0 c) 1

d) -1 e) 2

04. Si a y b son ángulos complementarios, simplificar la expresión:

a) -2 b) -1

c) 2 d) 0

e) 1

05. Calcular el valor de :

a) -2 b)

c) d)

e)

06. Si = /12, calcular el valor de

la siguiente expresión.

Trigonometría 10


a) b)

c) 3 d) -3

e)

07. Reducir la expresión:

a) 0 b) –Tg2a c) 2Tg2a

d)-2Tg2a e) Tg2a


a) 2 b) 1 c) 0

d) -2 e) -1

09. Reducir:

a) Ctg20 b) Tg(-70)

c) Tg20 d) Tg(-20)

e) Ctg(-70)

10. Simplificar:

a) b) c)

d) e)

11. ¿Qué relación existe entre a y

b? sabiendo que:

a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4

d) 1/5 e) 1/6

12. Simplificar :

Trigonometría 11


a) 1 b) -1 c) Tg2x

d) Sen2x e) Senx


a) -2 b) -1 c) 1

d) 2 e) 0


a) -Sen b) -Cos

c) -Tg d) Sen

e) Cos


a) b) a - b c) a + b

d) e) a2 – b2

Trigonometría 12


Trigonometría 13


TEMA: CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

Definición:

La circunferencia trigonométrica

es una circunferencia inscrita en

un sistema de coordenadas

rectangulares a la cual hemos

denominado plano cartesiano.

Tiene como características

principales:

- El valor de su radio es la unidad

(R = 1)

- Su centro coincide con el origen

de coordenadas del plano

cartesiano.

Veámosla gráficamente

Nota: Todos y cada uno de los

puntos que pertenecen a la

circunferencia trigonométrica

(C.T.) cumplen la ecuación

siguiente:

x2 + y2 = 1

Donde:

X Abscisa del Punto

Y Ordenada del Punto

Para un mejor entendimiento de

las definiciones posteriores se

enuncian las siguientes

denominaciones a los puntos:

A (1;0) Origen de Arcos

B (0;1) Origen de

Complementos

C (-1;0) Origen de

Suplementos

P1 y P2 Extremos de

Suplementos

Trigonometría 14

Y

P

P

2

1

C(-1;0)

0 ra d

ra d

B (0 ;1 ) M ed ida de l A rco P ositivo

Medida del Arco Positivo

(1;0) A

(0;-1)

0C A

B

0

Y

X

2 = 6,28

3 = 4,71 2

= 1,572

3,14 =

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoArco en Posición Normal:

Es aquel arco cuyo extremo inicial

es el origen de arcos de la C.T. y

su extremo final cualquier punto

sobre la C.T. (es aquel que indica

el cuadrante al cual pertenece

dicho arco.

Observación: El ángulo central

correspondiente a un arco en

Posición normal o estándar, tiene

igual medida en radianes que la

medida del arco.

Veamos Ejms.:

P

0

C A

B

rad

rad

Y

X

T

Se observa que:

Además:

“” y “” son arcos en posición

normal o estándar tales que:

es (+) y al I C

es (-) y al III C

Nota: Importante:

Del gráfico: Éstos extremos

servirán como referencia para

ubicar aproximadamente otros

arcos en la C.T.

Trigonometría 15

AT

AP

Y

P(X ;Y )0 0

1

X

R ad

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoEjemplos de Aplicación:

Ubique gráficamente en la

circunferencia trigonométrica los

extremos de los arcos (en posición

standar):

Resolución

- Para que los arcos se

encuentren en posición

estándar en la C.T. éstos

tendrán su posición inicial en el

punto A(1,0).

M: Extremo del arco

N : Extremo del arco 4

Q: Extremo del arco -1

Razones Trigonométricas de

Arco en Posición Normal o

Standar:

Son numéricamente iguales a las

razones trigonométricas de su

respectivo ángulo central en la

C.T. Es decir:

R.T. (arco) = R.T. (ángulo central)

Luego entonces:

Sea P(xo, yo) (P IC) que

pertenece a la C.T. y también al

Trigonometría 16

C

A

BY

X

-1rad

M

5 /6

0

5 rad 6

N4 -1Q

C.T.

Y

X

Q’(-cos ; -sen

BP(Cos ;Sen )

)

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Añolado final del ángulo en posición

normal o standar .

Calculemos las R.T. del ángulo .

Observación

Vemos que:

Yo = Sen Xo = Cos

Por lo tanto

El punto P también se representa

de la siguiente manera:

P (xo, yo) = P (cos; sen)

De la observación

Coordenadas del extremo de arco:

Nota Importante:

- Ya que P y Q a la C.T.

entonces cumplen la ecuación

X2 + y2 = 1

* Para P: Cos2 + Sen2 = 1

Para Q : Cos2 + Sen2 = 1

Se concluye que “para todo arco

la suma de los cuadrados de su

seno y coseno dará la unidad”

Algunos alcances importantes:

Trigonometría 17

Y

X0

P (-Sen ;Cos )P(Cos ;Sen )

C.T.

P’ (-cos ; -sen )

0

Y

X

C.T.

P’ (cos ; sen )


Para hallar coordenadas

opuestas:

Y

Para hallar coordenadas simétricas

Para hallar Coordenadas Ortogonales:

Trigonometría 18

P’ (-Cos; -Sen)

Y

X

C .T.

0

1

Q A

P

ra d

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoLíneas Trigonométricas

Son segmentos de recta dirigidos,

los cuales nos representan en la

circunferencia trigonométrica, el

valor numérico de una razón

trigonométrica de un ángulo o

número.

Las principales Líneas

Trigonométricas son:

- Línea SENO

- Línea COSENO

- Línea TANGENTE

- Línea COTANGENTE

- Línea COSECANTE

- Línea SECANTE

Las líneas trigonométricas

auxiliares son:

- Línea COVERSO.

- Línea VERSO.

- Línea EX-SECANTE

Nota Importante:

- Si el segmento de Recta está

dirigido hacia la derecha ó hacia

arriba entonces el valor numérico

de la línea trigonométrica

correspondiente será positivo.

- Si el segmento de recta está

dirigido hacia la izquierda o

hacia abajo entonces el valor

numérico de la línea trigonométrica

correspondiente será negativo.

Veamos y analicemos sus

representaciones:

Línea Seno:

Se representa mediante la

perpendicular trazada desde el

extremo del arco, hacia el diámetro

horizontal (Eje X) (apuntando hacia

el extremo del arco).

Trigonometría 19

Y

X

C .T.

0

PR

ra d

Y

X

C .T.

0

A(1,0 )

P

Q

ra d

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoEn el gráfico:

Se observa que representa al

seno del Arco Trigonométrico .

Nota:

Como en el Ejm. el segmento está

dirigido hacia la derecha entonces

el seno es positivo.

Línea Coseno:

Se representa por la perpendicular

trazada desde el extremo del arco,

hacia el diámetro vertical (Eje Y)

apuntando hacia el extremo del

arco.

En el gráfico:

Se observa que RP representa al

coseno del Arco Trigonométrico .

Nota:

Como en el Ejm. El segmento RP

está dirigido hacia la derecha

entonces el coseno es positivo.

Línea Tangente

Es una parte de la tangente

geométrica trazada por el origen

de arcos A(1;0). Se mide desde el

origen de arcos y termina en la

intersección de la tangente

geométrica con el radio

prolongado de la C.T. que pasa

por el extremo del arco. Apunta

hacia la intersección.

Trigonometría 20

tan gen te geom étrica

C.T.

P

0rad

A

Y

C.T.

P

0

T

rad

Tangente Geométrica

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoEn el gráfico:

Se observa que representa a la

tangente del Arco Trigonométrico .

Nota:

Como en el ejemplo el segmento

está dirigido, hacia abajo

entonces la tangente es negativa.

Línea Cotangente

Es una porción de la tangente

geométrica que pasa por el origen

de complementos B(0;1), se

empieza a medir desde el origen

de complemento y termina en la

intersección de la tangente

mencionada con el radio

prolongado de la C.T. que pasa

por el extremo del arco, Apunta

hacia dicha intersección.

En el gráfico:


cotangente del arco trigonométrico .

Nota: Como en el ejemplo, el

segmento está dirigido hacia

la izquierda entonces la

cotangente es negativa.

Línea Secante:

Es una porción del diámetro

prolongado que pasa por el origen

de arcos A(1;0) y que se mide

desde el centro de la C.T. hasta la

intersección del diámetro

prolongado con la tangente

geométrica trazada por el extremo

del arco. Apunta hacia la

intersección.

Trigonometría 21

tan ge n te g eo m é tr ica

C .T.P

M

0rad

B(0;1)Y


En el gráfico:


secante del arco trigonométrico .



la derecha entonces la secante es

positiva.

Línea Cosecante:

Es una parte del diámetro

prolongado que pasa por el origen

del complemento B(0; 1), y que se

mide desde el centro de la C.T.

hasta la intersección del diámetro

prolongado mencionado con la

tangente geométrica trazada por

el extremo del arco apunta hacia

la intersección.

En el gráfico:

Se observa que representa a

la cosecante del arco

trigonométrico .



abajo entonces la cosecante es

negativa.

Línea Auxiliar verso o seno verso:

«Es lo que le falta al coseno de un

arco para valer la unidad» se mide a

partir de origen de arcos A(1; 0),

hasta el pie de la perpendicular

trazada desde el extremo del arco, al

diámetro horizontal del (Eje X) .

apunta hacia el origen de arcos es

decir « el verso jamás es negativo».

Trigonometría 22

C .T.

P

0

ra d

Y

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoEjm.:

En el gráfico:

Se observa que , representa al

verso del arco trigonométrico .

Cumple la fórmula

Verso() = 1 - Cos .

Línea Auxiliar Coverso o

Coseno Verso:

«Es lo que le falta al seno para

valer la unidad» el coverso se

mide a partir de origen de

complementos B(0; 1), hasta el pie

de la perpendicular trazada desde

el extremo del arco a diámetro

vertical de la C.T. (Eje Y). Apunta

hacia el origen de complementos

« el coverso jamás es negativo»

En el gráfico:

Se observa que representa al

arco trigonométrico .

Cumple la Fórmula:

Coverso() = 1 - Seno

Línea Auxiliar Ex-Secante

“«Es el exceso de la secante a

partir de la unidad ». Se mide a

partir del origen de arcos A(1; 0),

hasta el punto donde termina la

secante de ese arco. apunta hacia

el punto donde termina la secante.

Trigonometría 23

-1 0 1- +

0- +


En el gráfico:

Se observa que representa a

la Ex-Secante del arco trigonométrico

.

Cumple la Fórmula:

ExSec() = Sec - 1

Intervalos de variación de los

Valores de las Líneas

Trigonométricas

Para el Seno y Coseno:

- 1 Senx 1

- 1 Cosx 1

Para Tangente y Cotangente:

Trigonometría 24

-1 0 1- +


- < Tgx <

- < Ctgx <

Para la secante y Cosecante

- < Secx -1 v 1 Secx < +

- < Cscx -1 v 1 Csc < +

También

De lo anterior deducimos que:

La variación para los valores de

las líneas trigonométricas

auxiliares son:

0 Versx 2

0 Coversx 2

- < Ex-Secx -2 v 0 Ex-Secx < +

Ahora en una tabla veamos las

variaciones de los valores de las

líneas trigonométricas. Indicando

que:

Crece Decrece

Senx Cosx Tgx Ctgx Secx Cscx

IC IIC IIIC IVC

Trigonometría 25


Trigonometría 26



01. En la C.T. mostrada, hallar el

área de la región sombreada

en términos de .

Rpta.:

02. Si 0 calcular la

diferencia entre los valores máximo y mínimo de la expresión.

Rpta.:

03. Si

Indicar V o F:

i) SenX1 > SenX2

ii) CosX1 > CosX2

iii) Sen(-X1) > Sen(-X2)

iv) Cos(-X1) > Cos(-X2)

Rpta.:

04. Hallar todos los valores de X

del intervalo [0 ; 2] para los

que no se cumpla que:

Rpta.:

05. De la C.T. mostrada calcular las

coordenadas del punto “M”.

(siendo M punto medio de AP).

Trigonometría 27

AO

X

AO

X


Rpta.:

06. Si X II Cuadrante hallar la

extensión de Y = 3Sen2x -1

Rpta.:

07. ¿Cuál es el máximo valor de

M: Si

Rpta.:

08. Hallar el área mínima de la

región sombreada en la C.T.

Rpta.:

09. Hallar Tg en términos de M si:

Rpta.:

10. Hallar 1-Sen - 2Cos en

términos de b. (Asumir = )

Rpta.:

Trigonometría 28

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año11. Hallar el Area “S” en términos

de sabiendo que BE = 2E0

Rpta.:

12. En la C.T. tenemos:

Escriba V o F

a) SenX1 > SenX2 > SenX3

b) TgX3 > TgX2 > TgX1

c) SecX1 > SecX2 < SecX3

d) CscX1 > CscX2 > CscX3

Rpta.:

13. Determinar la variación del ángulo

“” en el segundo cuadrante, para

el cual se cumple:

Rpta.:

14. Calcular el área del triángulo

OPS en función de .

Rpta.:

15. Dada la igualdad:

Determine el intervalo de:

E = 3Cos +

Rpta.:

16. Si 0 < < < 2 y

Trigonometría 29


, calcular el

valor de: Sen3 + Sec2

Rpta.:

17. Del gráfico. Hallar el área

sombreada.

Rpta.:

18. Ordene de mayor a menor

y

Rpta.:

Trigonometría 30

19

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año19. Del gráfico calcular “X1.X2”

Rpta.:

20. Hallar el área de la región

sombreada en términos de .

Rpta.:

Trigonometría 31



01. Determina la variación de “”

en ] -2; 0 [ tal que Sen +

Cos < 0.

a) b)

c) d)

e)

02. En la C.T. tenemos:

escriba verdadero (V) o

Falso(F).

a) TgX3 < TgX2< TgX1

b) CtgX3 > CtgX2 > CtgX1

c) SenX3 > SenX2 > SenX1

d) CosX1 > CosX2 > CosX3

a) VVFF b) VFVF

c) FFVV d) FVVF

e) FVFV

03. En la C.T. Hallar el área de la

región sombreada.

a) (Cos + Tg + Sec)/2

b) (Ctg + Sen - Sec)/2

c) (Cos( - Tg( - Sec()/2

d) (Tg( + Csc( - Ctg( )/2

e) (Sec( + Tg( - Csc( )/2

04. De la figura calcular:

Tg( - Tg(

Trigonometría 32

3

SenCos2

3

Cos2

3

Sen2

2

SenCos

3Sen.Cos

2

Csc;

2

Cos

2

Cos;

2

Sen

2

Csc;

2

Cos

2Csc

;2

Cos

2Cos

;2

Csc


a) -1 b) 2 c) -2

d) 1 e) 0

05. Del gráfico, hallar MQ en

términos de y

a) Vers( - ) Csc( - )b) Vers( + ) Csc( - )c) Vers( - ) Cosd) Vers( + ) Csc e) Vers( - ) Ctg

06. Hallar S:

a)

b)

c)

d)

e)

07. Calcular las coordenadas del

punto M.

a)

b)

c)

d)

Trigonometría 33


e)

08. Se tiene que:

y además:

Calcular el intervalo de: Ctg

09. Siendo ; tal

que . . Calcular el

intervalo al cual M.

a) R b) R

c) R d) R

e) R

10. Siendo L = Cos (Sen2x + 2Senx).

Calcular el intervalo al cual L.

11. Calcular el área S en términos

de “”.

a) Tg ( 1 - Cos )/2

b) Ctg ( 1 - Sen )/2

c) Tg ( 1 - Sec )/2

d) Ctg ( 1 - Sec )/2

e) Cos ( 1 - Sec )/2

12. Sabemos que

Calcular el intervalo al que la

expresión N:

Si N = Sen2 + 2Vers

Trigonometría 34


13. Calcular el perímetro del

cuadrilátero TPQR de la figura.

a) 2 + 4Sen2

b) 2 - 4Sen2

c) 2 + 4Csc2

d) 2 – 4Cos2

e) 2 + 4Csc2

14. En la C.T. Hallar el Área de la

Región Sombreada.

a) 0,5 ( + Tg - 2)

b) 0,5 (- - Tg - 2)

c) 0,5 ( - Tg - 2)

d) 0,5 ( + Tg + 2)

e) 0,5 ( + Tg + )

15. Calcular la suma de las

coordenadas del Punto R. En

la figura si:

a) (1 + Sec + Tg )/(1 – 2Tg)

b) (1 - Sec + Tg )/(1 - 2Tg )

c) (1 - Sec - Tg )/(1 + 2Tg )

d) (1 - Sec - Tg )/(1 - 2Tg )

e) (1 - Sec + Tg )/(1 + 2Tg )

Trigonometría 35


Trigonometría 36


Trigonometría 37

Y = Cos x

Regla de Correspondencia

VariableIndependiente

VariableDependiente Y = Cos x

Regla de Correspondencia

VariableIndependiente

VariableDependiente


TEMA: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS

REALES

Denominaremos “función trigonométrica” al conjunto de pares ordenados

(x,y), de los cuales, los primeros elementos son números reales (ángulos en

grados sexagesimales), y los segundos elementos vienen a ser los

correspondientes valores de las razones trigonométricas de dichos ángulos.

Consideremos la razón trigonométrica Senx, si a esta le denominamos “Y”,

entonces tendremos.

Esta regla de correspondencia da lugar a un conjunto de pares ordenados,

que en conjunto, se les otorga el nombre de función trigonométrica, que por

supuesto contará con un Dominio, Rango y también con una gráfica.

Dominio de la Función:

Llamado también campo de definición o existencia. Es el conjunto de valores

que toma la primera componente ó conjunto de valores que toma la variable

independiente (valores de “x”).

Trigonometría 38

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoEjemplo 1

Sea Y = Cscx; hallar el dominio.

Resolución:

Senx 0

x K (K Z)

DY = R - K (K Z) .

Ejemplo 2

Hallar el dominio de Y:

Senx + Cosx 0

Trigonometría 39


Ejemplo 3

Hallar el Dominio de Y = Tg2x + Cotx.

Resolución:

Y = Tg2x + Cotx

Para Tg2x: 2x (2K+1) Para Cotx: x K .

Rango de la Función:

Trigonometría 40

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoLlamado también campo de variación o codominio de una función. Es el

conjunto de valores que toma la función o valores que toma la variable

dependiente (valores de “Y”).

Trigonometría 41

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoEjemplo 4

Calcular el rango de Y: 1 + 4Sen3x

Resolución:

Y = 1 + 4Sen3x

Como “X” no tiene restricciones entonces X R 3X R

Luego:

- 1 Sen(3x) 1

- 4 4Sen(3x) 4

- 3 1 + 4Sen3x 5

- 3 y 5

Y [-3;5]

R [-3;5] .

Ejemplo 5

Calcular el rango de: Y = Sen4x + Cos4x

Resolución:

Y = Sen4x + Cos4x

Como “X” no tiene restricciones entonces X R

Y = Sen4x + Cos4 + 2Sen2x Cos2x - 2Sen2x Cos2x 2x R

Y = (Sen2x + Cos2)2 – 2Sen2xCos2x

Y = 1 - (2Senx2Cos2x) = 1 -

Y = 1 -

Trigonometría 42

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoLuego:

-1 Sen2x 1

0 Sen22x 1

0

- 0

1

Y 1

Y

R

Trigonometría 43

1;21



01. Determinar el Dominio de la siguiente función trigono-métrica dada por la siguiente regla de correspondencia.

F(x) = Ctg(Cosx)

02. Hallar el rango de la función trigonométrica mostrada.F(x) = Sen2x – 2Cosx, en el recorrido de [ 0 ; ]

03. Determinar el valor mínimo de la función trigonométrica que tiene la siguiente regla de correspondencia.

F(x) = Sen(Cosx)+Cos(Cosx)

04. Hallar el Dominio y Rango de la siguiente función trigonométrica:

F(x) = Senx |Cscx| + Cosx |Secx|

05. Si X pertenece al intervalo

, encontrar el

rango de la siguiente función trigonométrica

06. Determinar el rango de la función trigonométrica sgte.:

Si se sabe que x [ -/3 ; /6 ]

07. Para que valor de “X”, la función, F(x) = 5 – Tg2x + 2Tgx es máxima.

08. Si el rango de la función F(x) = 3Sen2x-1 es [ -4; -1[, entonces el Dominio de la función en [ 0 ; ] es:

09. Determinar el Rango de la siguiente función trígono-métrica dada por la regla de correspondencia.

F(x) = Sen(Tgx)

10. Determinar el rango de la función trigonométrica sgte. F(x) dada por:

F(x) =

11. Calcular la suma del mínimo valor de F(x) con el máximo valor de G(x), siendo F(x) y G(x) funciones trigonométricas:

Trigonometría 44


F(x) = Cos2x + Cos|x|G(x) = Sen2x - |Senx|

12. Calcular el dominio de la sgte. función trigonométrica

F(x) = 3 -

13. Determinar el Dominio y Rango de la función Trigonométrica siguiente.

F(x) =

14. Hallar el Dominio de la sgte. Función Trigonométrica F(x) dada por:

F(x) = Secx +

15. Determinar el Rango de la Función Trigonométrica: F(x)F(x) = 2Cos3x – 1; cuyo

dominio es

16. Determinar el Dominio de la siguiente función trigonomé-trica: F(x)

F(x) = Sec2x + Csc2x + Tg

17. Determinar el Dominio de la Sgte. función trigonométrica dada por la Sgte. Regla de correspondencia:

F(x) =

Talque x

18. Calcular el Rango de la Sgte. Función Trigonométrica:

F(x) = 25Sen(x+74º) + Cos(x-45º)

19. Dada las siguiente Funciones Trigonométricas:

F(x) = Cosx + 1

G(x) = 1 – 2Sen

H(x) = 3Sen2 -2

Calcular: RF RG RH

20. Determine el Dominio de la siguiente Función Trígono-métrica:

F(x) = Ctg (Cosx)

Trigonometría 45


Trigonometría 46



01. Si sabemos que el Dominio de la función trigonométrica F(x),

dada por F(X)= es

DF = calcula el rango:

02. Calcular el rango de la función trigonométrica dada por la siguiente regla de correspondencia:

F(x) = Cos(Senx)

a) [ -1 ; 1 ] b) [ 0 ; 1]b) [ 0 ; Cos1 ] d) [ -Cos1; Cos1]e) [ Cos1 ; 1]

03. Determinar el rango de la función trigonométrica dada por la siguiente regla de correspondencia.

F(x) =

4. Para que el valor de “X” la función F(x) = 10 – Ctg2x + 2Ctgx es máxima

a) /4 b) /3 c) 2/3

d) 3/4 e) /2

5. Calcular el rango de la Función Trigonométrica Sgte.:

F(x) =

06. Calcular el rango de la siguiente función trigonomé-trica.

a) [ -1 ; 1] b) ] -1 ; 1 [c) ] 1 ; 1 ] d) [ -1 ; 1[e) [ 0 ; 1 ]

07. Determinar el Dominio y el rango de la función trigonométrica siguiente:

F(x) = Tgx|Ctgx| + Ctgx |Tgx|

a) R; {-2,0,2} b) ; {-2 ; 2} c) R - K; {-2 , 2}

Trigonometría 47


d) R- ; {-2 , 2}

e) R – (2K + 1) ; {-2,0.2}

08. Dada la función trigonométrica F(x) dada por:

F(x) =

Tiene como rango [a,b[, luego ab es igual a:

a) 8 b) 10 c) 12d) 14 e) 16

09. Calcular el Rango de la siguiente Función Trigonométrica:

F(x) =

10. Determinar el valor mínimo de la función

F(x) = Sen(Cosx) . Cos(Cosx)

a) Cos1 – Sen1 b) Sen1 – Cos1c) –Sen(-1)+Cos1 d) -e) -2

11. Los puntos

pertenecen a las funciones

Y1 = Senx e Y2 = Cosx respectivamente. Si a + b =

Calcular “n”

a) 12 b) -12c) -10 d) -2e) +2

12. El par ordenado (x!2) es un punto de la función trigonométrica:

F(x) = |Vers(x)|+|Cov(x)|

Calcular: M = Sen2x+Cos4x

Si x ] 0 ; [a) -2 b) 1c) 2 d) -1e) 0

13. Determinar el rango de la función trigonométrica dada a continuación:

F(x) = Ctgx – Tgx + 5

14. Determinar el rango de la siguiente función trigonomé-trica

Trigonometría 48


F(x) = 15. Determinar el Dominio de la

Función Trigonométrica cuya regla de correspondencia es:

F(x) =

Trigonometría 49

)e

41K2)dK2)c

21K2)b

2K

)a

R R

R R

R


Trigonometría 50

F(X)

Xb 2b 3b 4b 5b 6b

A

Y

Se observa que:

* La gráfica se repite indefinidam ente en el e je “x”.* Pero también podría ser:

* Pero tomarem os al m ás pequeño.Ó Ó .....


TEMA: GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

En el presente capítulo estudiaremos el comportamiento de las curvas (Gráficas de

Funciones), para un mejor entendimiento del uso de las funciones trigonométricas y

sus aplicaciones en la vida cotidiana. Como primer punto estudiaremos la definición

de una función periódica, fundamental en el desarrollo del tema en estudio.

Función Periódica:

Una función F(x) se denomina función periódica si existe un número real r

0 tal que:

F (x + T ) = F (x ) x R

Se prueba inductivamente que si F(x + t) = F(x), entonces F(x+nt) también es

igual a F(x) x R y n Z

El menor número real T > 0 tal que F(x + T) = F(x) para todo X R se

denomina periodo principal de la función F(x).

Las funciones trigonométricas son funciones periódicas.

Veamos un ejemplo de función periódica: (Gráficamente).

Trigonometría 51

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoDe lo observado deducimos que el valor más pequeño de repetición de gráfica es b por lo cual la denominaremos “Periodo de F(x)”.

Nota: {2b, 4b, 6b,…} también son periodos de F(x) pero a “b” se le atribuye la denominación: PERIODO PRINCIPAL.

Ejms de Cálculo de Periodo de Funciones Trigonométricas:

a. Calcular el Periodo Principal de las siguientes funciones:a.1) F(x) = Cos(Senx)

Resolución:De la definición: Cos(Senx) = Cos(Sen(x+T))

Luego: Cos(Senx) = Cos(SenxCosT + Cosx SenT)

Para que cumpla la igualdad:

Hacemos: CosT = ±1 y SenT = 0 y tendremos:

Cos(Senx) = Cos(Senx.(±1) + Cosx.(0))Cos(Senx) = Cos(±Senx) = Cos(Senx)

Luego analizamos:CosT = 1 0 – 1 SenT = 0T = K (K Z) T = K (K Z)

Entonces tendremos:T = {… - 3, -2 , -, 0, , 2, 3 …}

“El menor valor positivo es y es el periodo principal de F(x)”

a.2. F(x) = |Sen | + |Cos |

Resolución:

De la definición:

Trigonometría 52


Luego:

Se observa que: Z

Recordemos que: Sen = Cosa

Reemplazaremos

y tendremos: T = .

F(x) =

“El periodo principal de F(x) es ”

PROPIEDAD FUNDAMENTAL PARA EL CÁLCULO DEL PERIODO PRINCIPAL DE UNA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA:

- Esta propiedad será de gran ayuda y utilidad para el rápido cálculo del periodo principal de una función trigonométrica, siempre y cuando la función tenga la siguiente estructura:

Sea F(x) de la forma:

Trigonometría 53


F(x) = A.F.T . (BX + C) + D .

Trigonometría 54

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoDonde A, B, C, D y n son constantes.

Se tendrá el siguiente cuadro:

F.T. n: impar n: par Sen Cos Sec Csc

Tan Cot

Donde “T” es el periodo principal de la función trigonométrica.

Ejemplos de Aplicación:

1) Y = Tg T = Periodo Principal

2) Y = Cos4 T = Periodo Principal

3) Y = 3Sen3 T = Periodo Principal

Nota Importante:

Trigonometría 55

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoEn caso que se tuviera Funciones Trigonométricas de la forma F(x) = MSenAX± NCosBX. EL periodo de la F.T. F(x) será el mínimo periodo común de:

Ejemplo de Aplicación:Determinar el periodo de la siguiente F.T.

a)

Sean T1 y T2 los periodos de Y1 y Y2 respectivamente:

- Se generalizan:

- Finalmente se igualan las periodos

Periodo de F será

b) F(x) =

Generalizamos e igualamos

Trigonometría 56


Periodo de F será es decir 2

Trigonometría 57

A

B

D

EF

G

H

I

J IC IIC IIIC IVC

K

L

M

C

C.T.

(X )

Y

(Y =Senx)

A0

6 3 2 32

65

67

3 2 3 64 3 5 11 2

-1

1

B

CD

E

F

G

H

IJ

K

L

M

X

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoRepresentación Gráfica de la F.T. Seno:Si tenemos la Función Trigonométrica Y = Senx, Donde “x” representa a los ángulos trigonométricos que varía de (+) a (-) e “y” representa los valores numéricos que toma la función.

Para graficar se necesita una serie de puntos (Tabulación):

Trasladamos los puntos previamente ubicados en la C.T. al sistema de coordenadas (x Ángulos é Y = Senx):

El último paso fue unir todos los puntos de la curva que se forma y que adquirió dicha forma (Y = Senx)

Se observa:

- En el IC “crece” de 0 hasta 1.- En el IIC “decrece” de 1 hasta 0.- En el IIIC “decrece de 0 hasta -1.- EN el IVC “crece de -1 hasta 0.

Es decir:-1 Senx 1- Periodo: 2 Principal

Analicemos el Gráfico:a)El nombre de la curva es

“SINUSOIDE”b)Extensión: Del gráfico observamos

que el “máximo” valor que toma el seno es “1” y el “mínimo” es “-1”.

c) Periodo: Es claro que la tendencia de la curva es de repetirse en forma completa, a partir de 2.

d)Es una curva “CONTINUA”.

Trigonometría 58

AB

D

E

FG

H

I

J

IC IIC IIIC IVC

K

LM

C

C.T.

(X )Y

(Y = Cosx)

A

06 3 2 3

26

56

73 2 3 6

4 3 5 11 2

-1-1

1B

C

D

E

FG

H

I

J

K

LM

X

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoRepresentación Gráfica de la F.T. Coseno:Si tenemos la función trigonométrica Y = Cosx, al igual que en el caso anterior, para graficar la se necesita una serie de puntos (tabulación) y procedemos:

Trasladamos los puntos ubicados previamente en la C.T. al sistema de coordenadas (como en el caso anterior).

Luego de unir los puntos se obtuvo esta gráfica (Y = Cosx)

Se observa: - En el IC “decrece” de 1 hasta 0.- En el IIC “decrece” de 0 hasta -1- En el IIIC “crece” de -1 hasta 0- En el IVC “crece” de 0 hasta 1

Es decir:-1 Cosx 1

Periodo Principal: 2

Analicemos el Gráfico:a) El nombre de la curva es

“COSINUSOIDE”.b) EXTENSIÓN: Del gráfico

observamos que el “máximo” valor que toma el coseno es 1 y el “mínimo” es -1.

c) PERIODO: Se observa claramente que la tendencia de la curva es la de repetirse en forma completa, a partir de 2.

d) Es una curva “CONTINUA”.

Trigonometría 59


Trigonometría 60

C.T. (X )Tgx

Tgx

Línea de TG

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoRepresentación Gráfica de la Función Tangente:

Si tenemos la función trigonométrica Y = Tgx, al igual que en los casos anteriores bosquejamos su gráfica pero con un análisis diferente: Esta vez realizando lo siguiente:

De la C.T. recordamos que:

Es decir:

- < Tgx < +Periodo Principal:

La tangente del ángulo “x”, a medida que éste aumenta, también aumenta su valor. Esto se da en todos los cuadrantes. Por lo que podemos afirmar que la función tangente es netamente creciente.

- En el IC crece de 0 hasta +.- En el IIC crece de - hasta 0.

- En el IIIC crece de 0 hasta +.- En el IVC crece de - hasta 0.

Nota: Los valores (+) y (-) los adquiere cuando

el ángulo “x” es de la forma (2K+1) y como éstos

valores no son valores R decimos que en éstos ángulos la función tangente no esta definida. (no existe).

Trigonometría 61

IC IIC IIIC IVC

Y

(Y = Tgx)

06 3 2 3

26

5

67

3 2 3

64 3 5

11

2X

(A sintota)

...


Bosquejamos la gráfica: Primero obtengamos algunos puntos por tabulación:

Analicemos el Gráfico:

EXTENSIÓN: La tangente varia de (+) hasta (-) pasando por los

valores reales.

PERIODO: Observamos en el gráfico, la tendencia a repetirse de la

gráfica a partir de .

Es una curva DISCONTINUA pues vemos que esta formada por ramas. No pudiendo construirse de un solo trazo. Podemos apreciar que cada rama se encuentra entre 2 rectas llamadas “ASINTOTAS” que son tangentes a la curva en el infinito.

Trigonometría 62

C.T. (X )

CtgxY

Ctgx

Línea de Ctg


Representación Gráfica de la Función Cotangente

Si tenemos la función trigonométrica Y = Ctgx, al igual que en el caso anterior bosquejamos su gráfico con el mismo análisis ejecutado.

De la C.T. recordamos que:

Es decir:- < Tgx < +Periodo Principal:

La cotangente del ángulo “x”, a medida que éste aumenta, esta función disminuye su valor. Esto se da en todos los cuadrantes. Por lo que podemos afirmar que la función cotangente es netamente decreciente.

- En el IC decrece de + hasta 0.- En el IIC decrece de 0 hasta –.- En el IIIC decrece de + hasta 0- En el IVC decrece de 0 hasta -.

Nota: Los valores (+) y (-) los adquiere cuando el ángulo “x” es de la forma (K) y como éstos valores son R decimos que en éstos ángulos la función cotangente no esta definida (no existe).

Trigonometría 63

IC IIC IIIC IVC

Y

26 3 2

32

65

67

3|4

23

35

611

X

Y = Ctgx

(Asintota)

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoBosquejemos la gráfica: Primero obtengamos algunos puntos por tabulación.

Trigonometría 64

0

Secx Secx

C.T.

(X )

+

Y

Es decir:- <Secx -1 v 1 Secx < Periodo Principal : 2

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoAnalicemos el Gráfico: EXTENSIÓN: El valor máximo de la función cotangente es (+) y el mínimo

(-) pasando por todos los valores reales. PERIODO: Cada rama se repite a partir de . Es una curva “DISCONTINUA” y decreciente en cada rama que se

encuentra limitada por dos ASINTOTAS.

Representación Gráfica de la Función Secante:Si tenemos la función trigonométrica Y = Secx, al igual que en los casos anteriores bosquejaremos su gráfico pero con un análisis diferente: Esta vez realizando lo siguiente:

De la C.T.:

Se observa que:- En el IC “crece” de 1 hasta +.- En el IIC “crece” de – hasta -1.- En el IIIC “decrece” de -1 hasta -.- En el IVC “decrece de + hasta 1.

Trigonometría 65

IC IIC IIIC IVC

Y

26 3 2 3

26

56

73

42

33

56

11X

Y = Secx

-1

1

Asintotas

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoNota: Los valores (+) y (-) los adquiere cuando el ángulo “X” es de la

forma (2K+1) (K Z ) y como estos valores no son R decimos que en

éstos ángulos la función secante no esta definida (no existe).

Bosquejemos la Gráfica: Pero primero obtengamos algunos puntos por tabulación:

Analicemos el Gráfico: EXTENSIÓN: La secante siempre es mayor o igual que 1 en la parte positiva y

en la negativa siempre es menor o igual -1, es decir, la secante no abarca el Rango 1 y -1, sino lo que esta a partir de ella. Esta extensión es recíproca a la del Coseno.

PERIODO: Las curvas positivas y negativas se repiten cada 2 rad. La curva es una curva “Discontínua”, cada rama está comprendida entre 2

asíntotas.

Representación Gráfica de la Función Cosecante:

Trigonometría 66

(C scx)

Cscx

(x)

X

Y

IC IIC IIIC IVC

Y

26 3 2 3

26

56

73

42

33

56

11X

-1

1Y = C scx

Asintotas

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoSi tenemos la función trigonométrica Y = Cscx, al igual que en el caso anterior, lo bosquejaremos su gráfica con el mismo análisis ejecutado.

De la C.T.: Recodamos:Es decir:- < Cosecx -1 v 1 Cosecx < +Periodo Principal: 2 Se observa que:- En el IC “decrece” de + hasta 1.- En el IIC “crece” de 1 hasta +.- En el IIIC “crece” de – hasta -1.- En el IVC “decrece” de -1 hasta -.

Nota: Los valores (+) y (-) los adquiere cuando el ángulo “x” es de la forma (K) (K Z) y como éstos valores no son reales decimos que en éstos ángulos la función cosecante no está definida (no existe).

Bosquejamos la gráfica pero primero obtengamos algunos puntos por tabulación

Trigonometría 67

Y

A

D

O X

Y = A S e n(B x + C ) + D

2B

A : Amplitud de la curva y se calcula de la siguiente manera:

|A| = YMAX –YMIN 2

Periodo de la función ( T )T = 2

B

D: Indica la posición en el eje y del eje Y de la función senoidal

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoAnalicemos el Gráfico EXTENSIÓN: El máximo valor que adquiere en los negativos es -1 y

el menor valor positivo es igual a 1. PERIODO: Cada rama se repite cada 2rad. Es una curva discontinua cada rama está comprendida entre 2 asíntotas. FORMA GENERAL DE LA SENOIDEEn muchos casos nos tomaremos con funciones (Seno o Coseno) que llenen la siguiente estructura:

Y = Asen(Bx + C) + D .

Cuya gráfica es:

Cambio de fase: Si BX + C = 0

- Si es negativo La gráfica se mueve hasta x = ( - )

- Si es positivo la gráfica se mueve hasta x = - ( + ) es decir a la derecha.

Es decir:

El cambio de fase “”. Sirve para determinar el punto donde se va a iniciar la construcción de la función senoidal.

Veamos ejemplos para un mejor entendimiento.

Graficar las siguientes funciones:

Trigonometría 68

BC

x

Y

6

4 4 4

(Periodo )

4

12 127

124

12 1210 13

1

4

7

D e s fa c e

D

X

3 = | A |

Y = 3 S en (2 x + ) + 4 3


a) y = 3Sen(2x+ ) + 4

b) y = 2Cos - 3

Resolución

a) Y = 3Sen + 4 Amplitud (|A|) = |3| = 3

Periodo ( t ) =

b) Posición en el Eje y: 4

Cambio de Fase ()

Luego como el periodo es igual , lo dividiremos entre 4 para saber donde

crece y decrece la función: .

Luego graficamos:

“La gráfica Y = 3Sen ”

Trigonometría 69

C6

x03

x2

Y

-1

D = -3

-5

X1 23

1 25

1 27

1 29

1 2

23

6 6

Y = 2Cos(3x - )-3 4

2 = |A |

Desfasaje

6 6

(Periodo)


b) y = 2Cos Amplitud (A) = |2| = 2

Periodo (T) =

Posición en el Eje Y (D) = -3

Cambio de Fase ():

Luego Dividimos al periodo en 4 partes:

Procedemos a Graficar:

Trigonometría 70

C12

x04

x3


“La gráfica Y = 2Cos -3

Nota: Si A es ( - ) entonces: la gráfica se invierte:

Trigonometría 71

Y = Cos2x

Y = Sen2x

X

Y

72

-3

X

Y

Y = ACosBx

X

Y



01. ¿Cuántas son verdaderas? a) El coseno es decreciente en el IVC.b) El Seno es decreciente en el IIC.c) El coseno es creciente en el IIIC.d) El seno es creciente en el IIIC.e) El Seno es decreciente en el IC.

Rpta.:

02. Determinar el área de la región sombreada.

Rpta.:

03. El gráfico adjunto corresponde a la función:

04. ¿En cuántos puntos corta la gráfica Y = Senx a la gráfica

Y = Cosx en ] o ; n[ (n Z+)

Rpta.:

05. Graficar:a) Y = 3Cosxb) Y = 4Cosxc) Y = -3Cosxd) Y = -4Cosxe) Y = 5Cosx

Rpta.:

06. Hallar el área de la región triangular sombrea (B > 0).

Rpta.:

07. Señale (V) o Falso (F)

I) En la función coseno crece de -1 a 0

II) En el IIC la función seno decrece,

III) En la función tangente decrece.

Rpta.:

Trigonometría 72

3

2

-4

X

Y

53

Y = Sen(2x)

6

3 S e nX2

Y

Y = - 12

X

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año08. Determinar la función

correspondiente al siguiente gráfico:

09. Determinar el área de la región sombreada.

Rpta.:

10. Determinar el periodo de la siguiente función trigonométrica:F(x) = 3Sen(11x)+4Cos(7x)

Rpta.:

11. Indicar el periodo de cada función trigonométrica, y dar como resultado la suma de los mismos.

a) Y = 3Sen -3

b) Y = 4Cos + 1

c) Y = 2Sen + 10

Rpta.:

12. Si T1 es el periodo de F(x) = |Senx| - |Cosx| y T2 es el periodo de G(x) = CosCalcular T1 + T2

Rpta.

13. De la gráfica mostrada, calcular el área de la región sombreada.

Rpta.:

14. Determinar el Área de la región sombreada:

Trigonometría 73

Q = 3; -4Q

236

7

1X

Y


Rpta.: 15. Determinar la gráfica de la siguiente función trigonométrica

Rpta.:

16. Sea la función F(x) = aSen(bx) calcular ab si:

Rpta.:

17. Determinar la ecuación del coseno mostrado:

Rpta.:

18. Determinar:El par ordenado (x;2) es un punto de la función:

Trigonometría 74

Y

5

-3

X

Y

2

-2

F(X)

PG(X)23

X


F(x) = |Vers(x)|+|Cov(x)| Calcular el valor de M = Sen2x + Cos4x

si X ] 0 ; [

Rpta.:

19. Si F(x) – aSenKX, G(x) = aCosKx. Hallar las coordenadas del punto P:

Rpta.:

20. Determinar la ecuación de la gráfica mostrada.

Rpta.:

Trigonometría 75

Y

X

Y = ASenCx ( c > 0 )

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X



01. ¿Cuántas son verdaderas?a) El seno es creciente en el

IVC.b) La secante es decreciente

en el IIIC.c) La tangente es

decreciente en el IIC.d) la cosecante es creciente

en el IC.e) La cotangente es

creciente en el IIC.

a) 2 b) 1 c) 4d) 5 e) 3

02. Determinar el Área de la región sombreada.

03. Si T1 es el periodo de F(x) = |Senx| + |Cosx| y T2 es el periodo de:

G(x) = Cos .

Entonces calcular T1 – T2

a) b)

c) 0 d)

e) 2

04. Determinar la gráfica de la

función F(x) =

a) b)

c) d)

e)

a) B b) A c) E

Trigonometría 76

X

Y

3Y = C tg x

-3


d) D e) C05. Hallar el área de la región

sombreada.

a) 2 b) 3 c) 5d) 6 e) 4

06. Señale (V) o (F):

a) FVFV b) VFVF c) VVFFd) FFVV e) VFFV

07. Indicar el periodo de las siguientes funciones y dar como respuesta la suma de ellos:

a) 3Tg2(3x + /6) - 3b) 4Csc4(2x-/3) + 5c) 2Sen5(4x- /3) + 2

a) 2/3 b) c) 5/3 d) 2 e) 4/3

Trigonometría 77

Y

2

-2

X4

-3

3

42

M N

32

Y = S e nx

X

YY = C o sx

Y

2

-2

X

122512

-1

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año08. El gráfico adjunto corresponde

a la función Y = 2ACos(3BX). Hallar: A + B:

a) -7/6 b) 7/6 c) 7/6

d) 6/5 e) 6/7

09. En cuántos puntos la función Y = Senx corta a la gráfica de Y = Cosx en ] 0 ; 11[

a) 9 b) 10 c) 12d) 11 e) 13

10. Indicar la suma de las ordenadas de los puntos M y N en la gráfica adjunta:

a) b)

c) d) -

e)

11. Determinar el área de la región sombreada:

a) b)

c) d)

e)

12. Indicar la función correspondiente a la gráfica mostrada.

Trigonometría 78

X

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año13. Determinar (V) o (F):

I. La Tangente es una F.T. Continua.

II. La Secante es continua en

III. La Cosecante es continua

en

a) VVF b) VFVc) FFV d) FFFe) VVV

14. Hallar el periodo de la función

F(x) = Cos

a) /3 b)

c) /2 d) /5

e) /4

15. Graficar: Y = Sen2x.Cscx para

X ] 0 ; 2 [

A) B)

C) D)

E)

Trigonometría 79


TEMA: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Este capitulo es muy extenso y

muy importante a su vez por que

va a servir como base para

capítulos posteriores, está

considerado como clave dentro de

la trigonometría, y definitivamente

tendremos que demostrar las

razones por las cuales se les

considera de gran importancia en

el desarrollo de la asignatura.

Obs:

- La Igualdad (x - 2)(x + 2) = 0; Es

cierto si solamente si; cuando x

= 2 ó x = -2

A este tipo de igualdad se le

denomina “Ecuación Condi-

cional”

- En cambio la igualdad (x – 2) (x

+ 2) x² -9, cumple para todo

valor de “x”

A este tipo de igualdad se le

denomina “Identidad”

- Recordar que no existe la

división entre cero

- Para indicar una identidad, se

utiliza el símbolo ““ que se lee:

“Idéntico a”

Definición:

Una Identidad Trigonométrica es

una igualdad que contienen

expresiones trigonométricas que

se cumplen para todo valor

admisible del ángulo:

Por Ejemplo: La Identidad ‘sen²

+ cos² = 1", Comprobemos la

valides de la Identidad:

Para = 37° Sen²37+ cos²37 = 1

Trigonometría 80

Y

X

C .T.

0

1

T


Identidades Fundamentales:

Las identidades trigonométricas

fundamentales, sirven de base par

la demostración de otras

identidades mas complejas

se clasifican en:

1.- Por cociente

2.- Reciprocas

3.- Pitagóricas

Para obtener dichas identidades,

hacemos uso de la circunferencia

trigonométrica.

1. Identidades por Cociente:

Sabemos que PT = | Sen|

OT = |Cos| , (en el ejemplo

ambos (+) ya que I C. y en el

triángulo Rec. POT: Tg =

Tg =

Tg = Demostrado

De la misma manera se

demuestra: Cot =

En Resumen: Las identidades por

cociente son:

Se observa que:

Tg =

Trigonometría 81

Y

P

X

C .T.

0

1

T Y

PB

X

C .T.

0

1

T A

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoA continuación veremos las

identidades recíprocas

2. Identidades Recíprocas:

Sabemos que PT = | Sen| y

también OT = |Cos|

Luego: En el triangulo POT, se

observa:

Csc =

y

Sec =

(sen y cos (+) ya que Ic)

Por lo tanto:

y

En resumen:

Las identidades recíprocas son:

3. Identidades Pitagóricas:

Recordemos que: P = P (cos;

sen) es decir: PT = |Cos| y

también: OT = |sen| y en el

triángulo rec. POT: por el teorema

de Pitágoras.

(OP)2 = (OT)2 + (PT)2

12 = (|Sen|)2 + (|Cos|)2

1 = Sen2 + Cos2 … (I)

Demostrado

Con la identidad (I), demostramos

también:

Trigonometría 82

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año1 + Tg2 = Sec2 y 1 + Cot2

= Csc2

De la siguiente manera

Sen2 + Cos2 =1

Dividimos ambos miembros entre

(Sen2):

Finalmente:

De las identidades por división:

Y de la identidad por cociente:

Reemplazamos:

(1)2 + (Ctg)2 = (Csc)2

1 + Ctg2 = Csc2

De similar manera se demuestra:

1 + Tg2 = Sec2

De similar manera se demuestra:

1 + Tg2 = Sec2

En resumen las identidades

pitagóricas son:

- Sen2 + Cos2 = 1

- 1 + Tg2 = Sec2

- 1 + Ctg2 = Csc2

Identidades Recíprocas

Donde n Z

Identidades por Cociente

Identidades Pitagóricas

Trigonometría 83

2

Sen12

SenSen2

SenSen


Algunas Identidades Auxiliares

Sen4 + Cos4 = 1 – 2Sen2 Cos2

Tg + Ctg = Sec.Csc Sen6 + Cos6 = 1

– 3Sen2.Cos2 Sec2 + Csc2 = Sec2 . Csc2

Los ejercicios sobre

identidades son de 4 tipos:

a) Demostraciones:

Para demostrar una identidad,

implica que el primer miembro o

viceversa ó que cada miembro por

separado se pueda reducir a una

misma forma.

Ejm:

- Demostrar que : Csc - Ctg .

Cos = Sen

Resolución:

Csc - Ctg . cos = sen

Trigonometría 84

1

co s ² ²

sen

sen

sensen


Sen = Sen. Demostrado

b)Demostrar que:

Resolución

Utilizamos artificios:

Luego se tendría

. (Demostrado)

c) Simplificaciones:

Lo que se busca es una

expresión reducida de la

planteada con ayuda de las

identidades fundamentales y/o

auxiliares. Utilizar transforma-

ciones algebraicas.

Ejms.

1) Simplificar:

(2Cos2-1)2 + 4Sen2Cos2

Resolución:

(2Cos2-1)2 + 4Sen2 Cos2

(2cos² - 2(2cos²)(1) + 1 +

4sen² Cos²

4cos²cos² - 4cos² + 1 +

4sen²cos²

4cos² [cos² - 1 + sen²] + 1

4cos² [(cos² + sen²) - 1] + 1

4cos² [1 - 1] + 1

4cos²(0) + 1 = 1

2) Simplificar:

(1 - cosx) (Cscx + Ctgx)

Resolución:

(1-Cosx)

(1-Cosx)

Trigonometría 85

SenxSenx

xxSen

Senx

x2Cos1

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Añod) Condicionales:

Si la condición es complicada

debemos simplificarla y así

llegar a una expresión que

pueda ser la pedida o que nos

permita hallar lo que nos piden.

Si la condición es sencilla se

procede a encontrar la

expresión pedida.

Ejms.

a) Si Sen + Csc = a.

Calcular el valor de

E = Sen2 + Csc2

Resolución

Si: sen + Csc = a (Elevemos al

cuadrado)

(Sen + Csc = a²

Sen² + 2(Sen)(Csc + Csc²

= a²

Sen² + 2 + Csc² = a²

Sen² + Csc² = a² - 2

E = a² - 2

b) Si: senx - cosx = m .

Hallar el valor de:

D = 1 -2senxcosx

Resolución

senx - cosx = m (elevemos al

cuadrado)

(Senx cosx)² = m²

sen²x - 2senx Cosx + Cos²x = m²

Sen²x + Cos²x - 2senxcosx = m²

1 - 2senxcosx = m²

D = m²

e) Eliminación del Ángulo:

Estos ejercicios consisten en que a

partir de ciertas relaciones

trigonométricas debemos hallar

relaciones algebraicas en la cual no

aparezca el ángulo. Nos ayudaremos

de identidades como por Ejem.

Tgx.Ctgx = 1

Senx.Cscx = 1

Cosx.secx = 1

Sen²x + cos²x = 1

Sec²x - Tg²x = 1

Csc²x - Ctg²x = 1

Trigonometría 86

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoEjm.:

1. Eliminar “” de:

Csc = m + n …(1)

Ctg = m – n …(2)

Resolución:

Csc = m + n

Ctg = m – n

Csc2 = (m+n)2 = m2+2mn+n2 (-)

Csc2 = (m+n)2 = m2 -2mn+n2

1 = 4mn

2. Eliminar “” de:

Resolución:

De la expresión 1

aSen Cos - bSen2 = 1 …(3)

De la expresión 2

(XCos)

aSenCos - bCos2 = K …(4)

Restamos (4) menos (3)

b = x - 1

K = b + 1

Recomendación:

Cuando en un problema de

identidades trigonométricas estés

frente a esta expresión:

E = (senx ± cosx) y se te pide

“senx.cosx”, se recomienda que

eleves al cuadrado ambos

miembros para obtener:

Trigonometría 87

(Elevamos ambas expresiones al

cuadrado)

)2n2mn-2(m - 2n2mn2m 2Ctg-2Csc

)Cos(Cos

k)bSenaSen(Cos

12bSenCosaSen)(k2bCosCosaSen

xSenSenSen

1bSenaCosSen

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto AñoE² = (senx ± cosx)² = sen² ±

2senxcosx - cos²x

E² = Sen²x + Cos²x ± 2Senx.Cosx

E² = 1 ± 2 SenxCosx

Lo que se pide

Identidad Importante:

(1 ± sen ± cos)² =

2 (1± sen)(1± cos)

Demostración: Recordemos

(a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 +

2(ab+bc+ac)

(1± sen ± cos)² = 1² + (±sen)² +

(±cos)² + 2[1(±sen) + 1(±cos)+

(±sen)(±cos)]

= 1 + sen² + cos² + 2[1(±sen) +

1(±cos) + (±sen)(±cos)

Agrupamos nuevamente

2 + 2[1(±sen)+ 1 (±cos) +

(±sen)(±cos)]

= 2[1 + (±sen) + (±cos) + (±sen)

(±cos)]

= 2[(1 ± (±sen) + (±cos(1 +

(±sen))]

= 2[(1± (±sen)[1 + (± cos)]

(1 ± sen ± cos)² = 2(1± sen)

(1 ± cos) ………...(Demostrado)

Trigonometría 88


Trigonometría 89



01. Simplificar la sgte. expresión:

Rpta.:

02. Reducir la siguiente expresión:

Rpta.:

03. Si aSenx + bCosx = a.

Calcular el valor de la Sgte.

Expresión:

G = aCosx - bSenx

Rpta.:

04. Eliminar el ángulo de las

Sgtes. expresiones.

aCos2 + bSen2 = C … (I)(b-c) Tg2 + (c-a)Ctg2 = d … (II)

Rpta.:

05. Calcular el valor de “m”

Si:

Rpta.:

06. Si se cumple que:

Hallar: B/A

Rpta.:

07. Siendo:

Hallar M: (A+B) (A-1+B-1)

Rpta.:

08. Si:

Trigonometría 90


Es una identidad, calcular el valor de:

Rpta.:

09. Elimiar “”

a(1-Sen) = bSen … (I)

a(1-Cos) = bCos … (II)

Rpta.:

10. De las siguientes relaciones eliminar :

Cos6 + Sen6 = m … (I)Tg + Ctg = n … (II)

Rpta.

11. Hallar ; en la identidad sgte.:

Rpta.:

12. En la siguiente Igualdad hallar “m+n+p”.

Sen6 + Cos6 + Sen4 + Cos4 + 5Sen2 - 7 = mCos2(n+pCos2)

Rpta.:

13. Simplificar:

Rpta.:

14. Determinar (V) o (F):I) Tgx+Ctgx=SecxCscx; x RII) (1 + Senx - Cosx)2 =

2(1+Senx)(1-Cosx); x RIII) Sec2x – Csc2x = Sec2xCsc2x;

x RIV) Tg2x – Sen2x = Sen2x Tg2x ;

x R

Rpta.:

15. Eliminar el ángulo ; en:

Vers2 + Cov2 = m … (I)

Tg + Ctg = n … (II)

Trigonometría 91


Rpta.: 16. Simplificar la siguiente expresión:

Rpta.:

17. Sabiendo que:

2Sen2x.Cos2y = Cos2x+Cos2y

Hallar “A” en la siguiente expresión:

Tg2X + A = Tg2Y

Rpta.:

18. Simplificar “R” tal que “” al IC.

Rpta.:

19. Eliminar el ángulo “ ” en las

siguientes expresiones:

Tg + Ctg = m … (I)Csc + Sen = n … (II)Sec - Cos = p … (III)

Rpta.:

Trigonometría 92

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “San antonio” Quinto Año20. Si se tiene que:

Senx = (Sen+Sen)(Cos+Cos)

Cosx = Sen.Tg+SenTg

Determine el equivalente de:

P = Cos Ctg + Cos Ctg

Rpta.:



a) 1 b) 2

c) 3 d) 4

e) 5

02. Hallar una relación entre a y

b independiente de “”

(eliminar “”) a partir de:

Sen + Cos = a ... (I)

… (II)

a) a + 2 = b2

b) a +

c) b + 3

d) a2 +

e) a +

03. Eliminar “” en las

ecuaciones::

Sen + Ctg = a ... (I)

Tg + Ctg = b … (II)

a) b2 - a2 = 2b

b) b2 – a2 = 2b3

c) a2 + b2 = 2a3

d) a2 + b2 = 2b3

Trigonometría 93


e) a2 + b2 = 2ab

04. Simplificar la siguiente

expresión:

Tal que ( IC)

a) Sec2x b) Csc²x c) Tg²x

d) Ctg² e) Cos²x


a) ½ b) 1

c) 2 d) 3

e) 4

06. Si: Tg - Ctg = 1; Calcular el

valor de la sgte expresión:

N = Tg4 - Ctg4

07. La expresión:

L = 2 + Senx – 4Cosx – Cosx Senx – Cosx

Es idéntico a:mSenx – nCosx+1

Calcular: m + n

a) 0 b) -2 c) -4

d) 4 e) 1

08. Eliminar “” en las ecuaciones

dadas:

Sen - Cos = … (I)Sec + Csc = b … (II)

a) b2 (1+a2) = 4(2a)

b) b2(1+a)2 = 4(2+a)

c) b2(1-2)2 = 4(2+a)

d) b2(1-2)2 = 4(2-a)

e) a2 (1-b)2 = 4(1+b)

09. Reducir la Sgte. expresión:

Trigonometría 94


a) ½ Senx b) ½ Cosx

c) ½ Tgx d) ½ Sen2x

e) ½ Cos2x

10. Eliminar “” en las siguientes

relaciones:

a) m2 + n2 = m2n2

b) m2 + n2 = 4m2n2

c) m2 + n2 = 3m2 + n2

d) m2 + n2 = 2m2 + n2

e) m2 + n2 = mn

11. Reducir la expresión que se presenta:

a) Secx b) Cscx c) 1

d) Senx e) Cosx

12. Reducir la Sgte expresión.

a) 2 b) c) -

d) 1 e) 0

13. Si sabemos que: Sec y Csc

son las raíces de la ecuación:

ax2 + bx + c = 0

Relacionar a, b y c

a) b + c = 2ac

b) a + b + c = 1

c) b2 – c2 = 2ac

d) b – c = 2a

e) b2 + c2 = 2ac

14. Si se cumple que:

Calcular: a + b-1

Trigonometría 95


a) 1 b) 3 c) 5

d) 7 e) 9

15. Simplificar la siguiente expresión: a) 1,5 b) 3,5

c) 4,5 d) 5,5

e) 2,5

Trigonometría 96

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Reino de los Cielos”Quinto Año

INDICE

Reducción al I cuadrante …………………. 03

Circunferencia Trigonométrica …………… 13

Funciones Trigonométricas ………………. 32

Gráfica de Funciones Trigonométricas ….. 42

Identidades Trigonométricas ……………… 65

Trigonometría 97

II TRIM 5°

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