II Congreso Nal M Gallego y JD Jaramillo

CONSTRUCCIÓN DE ESPECTROS DE RESPUESTA DE AMENAZA UNIFORME COHERENTES1

Mauricio Gallego

(2) Juan Diego Jaramillo

(3)

RESUMEN En este trabajo se plantea la posibilidad de usar la teoría sismológica del modelo ω2 para la generación de leyes de atenuación, funciones de la magnitud y la distancia, de espectros de amplitudes de Fourier, EAF, de los movimientos sísmicos en el territorio colombiano. Se usan igualmente funciones de transferencia de osciladores y la teoría de vibraciones aleatorias para determinar los valores extremos de los EAF estimados, y determinar de esta manera las ordenadas esperadas de los espectros de respuesta en terreno firme. La extensión del problema a la derivación de espectros de respuesta en suelo blando se logra mediante funciones de transferencia que se multiplican por los EAF de roca para lograr EAF en superficie, de los que se pueden estimar espectros de respuesta sobre la superficie de suelos blandos. Con el procedimiento descrito es posible evaluar espectros de respuesta coherentes con la dinámica estructural, que contrastan con los que se deducen a partir de los espectros propuestos actualmente por algunos de los reglamentos para diseño sísmico alrededor del mundo, que incluyen suavizaciones y simplificaciones en las aceleraciones para diseño que resultan en desplazamientos espectrales monótonamente crecientes con el periodo estructural, lo que a todas luces viola los principios de la dinámica estructural y lleva a diseños equivocados.

SUMMARY the seismological theory ω2 model for developing scaling laws of Fourier Amplitude Spectra, FAS, for seismic movement on the Colombian territory is used. In a second stage, in order to determine extreme values of the considered FAS and estimate response spectrum ordinates, the oscillator transfer function and random vibrations theory are used. Further analysis include the derivation of displacement spectra on soft soils by estimating soil transfer functions. The results indicate that it is possible to estimate displacement spectrums which satisfy the structural dynamic laws. This is contrary to some aseismic design codes around the world, which estimate spectrum displacement based on acceleration spectrum. The latter include smoothings and excessive simplifications which lead to monotonic increasing in spectral displacement with the structural period, violating the structural dynamics principles and leading to erroneous designs.

1 Artículo publicado en el II Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, Medellín, noviembre, 2003 (2) Departamento de Ingeniería Binaria Ltda; Bogotá, Carrera 10 # 24-76 Of, 906 [email protected] (3) Departamento de Ingeniería Civil, Universidad EAFIT, A.A. 3300, Medellín, Colombia, [email protected]

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INTRODUCCIÓN

Tal vez la práctica de estimación de Leyes de Atenuación se inicia en la sismología con

los artículos clásicos de Haskell (1967), Aki (1969) y Brune (1970) donde se pretendía estimar los espectros de amplitudes de Fourier de desplazamiento, velocidad y aceleración que son una medida en el dominio de la frecuencia del movimiento y su intensidad, a partir de variables como el momento sísmico, caída de esfuerzos y otros parámetros por excelencia sismológicos. A nuestro modo de ver, cualquier esfuerzo que se haga para determinar el comportamiento de las intensidades sísmicas con respecto a la distancia dependiendo del tamaño de los eventos debe tener como objetivo brindar un mejor conocimiento del fenómeno para contribuir en la reducción de los riesgos sísmicos en la sociedad.

Sin embargo, esto en un principio no fue así, y los francos avances que tuvo la sismología en la estimación de los movimientos en el dominio de la frecuencia, no dejaron de ser eso: avances en la sismología. La ingeniería teórica y práctica que buscaba incorporar estas variables a la realidad de la construcción y protección de los bienes nunca usó los avances de la sismología debido a la falta de interacción de estas disciplinas. Por ejemplo, las primeras aproximaciones de estimación de variables como la aceleración máxima fueron hechas por ingenieros como Esteva, Donovan y McGuire por las mismas épocas de los avances sismológicos. En éstas, se buscaba mediante mínimo error estadístico una variable clásica del diseño de estructuras: la aceleración máxima del suelo. La razón de lo anterior se basaba en puras razones coyunturales debido a que pocos años atrás se había desarrollado la teoría formal de cuantificación de amenaza sísmica que en principio usó relaciones de atenuación de Intensidad modificada de Mercalli, variable que demostró no tener buena relación con el diseño sismorresistente de estructuras.

Los principios inerciales de diseño sísmico de estructuras, así como la facilidad de registrar la alta frecuencia de los sismos de campo cercano mediante acelerógrafos hicieron que la ingeniería casara una alianza definitiva con la aceleración máxima del suelo y los espectros de respuesta derivados de esta, para olvidarse temporalmente de la sismología y los avances en la estimación de espectros de amplitudes. En principio, los estudios formales de amenaza se realizaban solo sobre la aceleración máxima del suelo, Amax, es decir que Amax era la única variable que contaba con una evaluación rigurosa de las tasas de excedencia que es el número medio de veces en que la variable es excedida por unidad de tiempo y que define el concepto de amenaza sísmica.

A principios de los 70 a partir de la estimación de Amax se idealizaba la forma del espectro

de aceleración a partir de aproximaciones estadísticas. Por ejemplo, a partir de Amax se establecía una meseta en la zona de periodos cortos en el espectro que era dos y medio veces el valor de Amax, proporción extraída a partir de espectros normalizados sobre terreno firme de muchas regiones. El resultado del proceso anterior conducía a que todo el espectro propuesto dependía de Amax y si se incurría en un error en la estimación de esta, todo el espectro resultaba errado. Además, las ordenadas espectrales idealizadas estadísticamente ya no garantizaban una amenaza conocida, es decir, se desconocía el periodo de retorno de todos los puntos del espectro diferentes a Amax.

3

Esto inicialmente se realizó en Estados Unidos y se adoptó como criterio de diseño, por lo que muchos países que adaptaron las normas americanas hicieron lo propio y heredaron la práctica. Sin embargo, con el tiempo comenzó a volverse necesaria la avaluación de la amenaza sísmica rigurosa para muchos otros análisis, por ejemplo, para calcular las pérdidas esperadas en el futuro o evaluar los índices de confiabilidad. Además, existían problemas de diseño donde se necesitaba la velocidad o el desplazamiento espectral. Lo anterior establecía que era necesario realizar los cálculos de las tasas de excedencia de las ordenadas espectrales y además hacerlo para diversas intensidades. Fue así como nació el concepto de leyes de atenuación espectrales que empezó a aplicarse de manera detallada sobre condiciones especiales como el tipo de suelo o de fallas generadoras. De esto trata este artículo, de mostrar la utilidad de la sismología en la definición coherente de los movimientos de diseño para edificaciones. Los modelos teóricos basados en sismología y los modelos estadísticos, típicos de la ingeniería, empezaron a converger en modelos híbridos que usaban teoría sismológica de procesos estacionarios para definir los espectros de amplitud y estimación estadística de los parámetros de los modelos fuentes. El resultado de la anterior combinación fue el mejor para la sociedad ya que en los últimos años ha ocurrido un fuerte desarrollo de relaciones para diversidad de escenarios, condiciones e intensidades. De un puñado de famosas expresiones a principios de los años 80 que se usaban a nivel mundial, se paso a incontables relaciones para cada país o cada zona, para diversos tipos de fallas, para sismos superficiales o profundos, para cualquier intensidad, para ordenadas espectrales, para diversos amortiguamientos, para diversos tipos de suelo, etc.

Hoy cualquier país, inclusive Colombia, cuenta con expresiones de atenuación que en ocasiones no tienen ni siquiera ecuación ya que son generadas a partir de análisis de minimización usando teorías de control y optimización que buscan la mejor solución con el mínimo error y sesgo nulo teniendo la más completa información de registros que día a día alimenta y hace crecer bases de datos para tener una mayor confiabilidad. Esto derivó en la creación de la Ingeniería sismológica, ciencia que formó ingenieros con conocimientos absolutos de sismología, pero que además comprende toda la aplicación práctica de cada uno de los aspectos del diseño. No obstante, en nuestro país, esto no desembocó en las aplicaciones prácticas del diseño de edificaciones y se quedó en la academia por lo que nuestros estudios de amenaza vigentes siguen usando las expresiones pioneras que debido a la falta de información de la época guardan una tendencia de sobreestimación sistemática apreciable de la aceleración.

Se evalúa en este trabajo y para el caso Colombiano una propuesta para estimación de amenaza sísmica fundamentada en leyes de atenuación con base en modelos sismológicos aceptados, y uso de los datos empíricos para ajustar los parámetros de los cuales dependen estos modelos. Este esquema, paramétrico, no solo hace un mejor uso de la información disponible cuando utiliza un modelo físico para con base en él interpretar los datos, sino que, como se verá más adelante con detalle, y por provenir de modelos que respetan las leyes de la física, sus resultados son a todo nivel consistentes y coherentes.

Con los modelos tradicionales de leyes de atenuación los datos no solo se usan para definir los parámetros de tales leyes sino para definir la forma de éstas. En términos de cantidad de información, las leyes de atenuación tradicionales desprecian gran cantidad de información

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cuando no hacen uso de los modelos sismológicos aceptados y probados con base en información de zonas sismogénicas diferentes.

Durante mucho tiempo se exploraron formas rigurosas para, en zonas de escasa información, hacer uso de información de zonas sismotectónicamente similares. Entre las metodologías más exploradas está la estadística bayesiana, que permite considerar la información de zonas similares como información a priori sobre los parámetros a explorar. El uso de modelos sismológicos puede interpretarse como una forma rigurosa, transparente e ingeniosa de considerar información de zonas sismotectónicamente similares.

En lo que sigue se expone en detalle el modelo sismológico utilizado como ley de atenuación entre la magnitud y localización de la fuente, y el espectro de amplitudes de Fourier, EAF, del movimiento en el sitio de observación. Acto seguido, se expone con algún detalle la teoría de vibraciones aleatorias, TVA, que permite estimar valores máximos de una serie de tiempo a partir del EAF de ésta. Lo anterior, para mantener la tradición, absolutamente justificable, de evaluar la respuesta en términos de los valores máximos del movimiento, como desplazamientos, velocidades o aceleraciones a nivel de la superficie del suelo, o de máximos de la respuesta de sistemas de un grado de libertad, 1GDL, como son los espectros de respuesta.

Estos dos componentes, modelo sismológico como ley de atenuación sobre EAF y TVA para pasar de EAF a espectros de respuesta, se introducen dentro del esquema usual de evaluación probabilística de la amenaza sísmica, PSHA (Probabilistic Seismic Hazard Analysis), por sus siglas en inglés, para obtener espectros de respuesta de amenaza uniforme, que hemos llamado coherentes por ser consistentes entre ellos y respetar las leyes de la dinámica como se hará notar más adelante.

Después de ajustar los parámetros del modelo de fuente para el país con los registros disponibles de movimiento fuerte en Colombia, se aplican éstos para estimar espectros de respuesta de amenaza uniforme en algunos sitios de la república, que serán discutidos y analizados haciendo énfasis en sus formas y en lo que estas significan a la luz del diseño sísmico de edificaciones.

MODELO SISMOLÓGICO Los espectros de amplitudes de Fourier de desplazamiento de sismos reales cerca al origen muestran una tendencia decreciente con la frecuencia, por lo que algunos autores sugirieron la idea de que el decrecimiento fuera proporcional a ω-2; de esta manera, y teniendo la historia de los desplazamientos en el borde de la falla de la forma:

( )/( ) 1 taU t eG

τσβτ −= − , (1)

donde σa es el esfuerzo aparente en la falla, G es la rigidez al corte del medio (en este caso la corteza litosférica), β es la velocidad de transmisión de las ondas S, τ es el tiempo de la ruptura

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igual a L/v, donde L es la longitud de ruptura y v la velocidad de ruptura. La transformada de Fourier de la ecuación anterior permitirá observar que el espectro de amplitudes del desplazamiento es:

( )2

2

( )1

11

ti ta a

U e e dtG G

ωτωσ σ β

βτω ω

τ

∞−

−∞

= − =

+∫ , (2)

que muestra la forma de decrecimiento espectral propuesta por las tendencias de los sismos reales. Si se usa la definición estática del momento sísmico, M0, se observa que este puede determinarse con buena aproximación a partir de espectros de amplitudes de Fourier de campo lejano en bajas frecuencias, siempre que las longitudes de onda y la distancia a la fuente sean grandes. De lo anterior resulta que los espectros de amplitudes de Fourier de las ondas P en el campo lejano, cuando a cada uno de los pares se les asigna una variación en el tiempo dada por una función de Heaviside multiplicada por Mo, están dados por:

0

3

1( )

4P P

MU R

Rθφω

π ρα= , (3)

y el espectro de ondas S por:

0

3

1( )

4S S

MU R

Rθφω

π ρβ= , (4)

donde RθφP es el valor cuadrático medio del patrón de radiación de ondas P y RθφS el de las ondas S.

En 1923, Nakano mediante la teoría de la elasticidad y suponiendo una tierra elástica, infinita e isotrópica, dedujo los patrones de radiación para los modelos de par sencillo y par doble, lo que llevó a la derivación de las primeras ecuaciones de desplazamiento para el modelo de par doble. Este modelo fue corroborado mediante estudios de mecanismos basados en las componentes de las ondas S, el ángulo de polarización, y en las ondas superficiales, que permitieron establecer que el modelo de doble par de fuerzas es el que mejor describe el mecanismo focal de un terremoto.

Teniendo en cuenta todo lo anterior, Haskell (1966) definió una función de dislocación de la forma D(ζ,,t), que representa el desplazamiento de la discontinuidad a lo largo del plano de falla en el punto ζ y en el tiempo t. El plano de falla se extiende a lo largo del eje ζ (fig. 1 izquierda) y la función de dislocación es considerada como la dislocación promedio sobre el ancho w de la falla; se supone que la falla se acaba cuando ζ=L, donde L es la longitud de la falla tal y como se muestra en la fig. 1 derecha. De manera general, la dislocación que sufre una falla se genera en un segmento de la misma y no en toda su extensión; mecánicamente es imposible que se genere un sismo de gran magnitud en un punto o segmento de falla corto, entonces, cuanto mayor sea la longitud de fallamiento, mayor será la magnitud.

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No obstante, la ruptura que se observa en la superficie no necesariamente representa la extensión del plano fallado, debido a que muchas rupturas solo se extienden parcialmente hasta la superficie y la mayoría no se pueden observar del todo, pues ocurren a grandes profundidades o bajo el fondo oceánico, por lo que es necesario tener en cuenta este tipo de consideraciones. Además, los tipos de fallas establecen diferentes formas de comportamiento en la longitudes de la ruptura por lo que son necesarias relaciones para cada tipo de fuente.

Figura 1. Izquierda: Diagrama de falla rectangular de Haskell. Derecha: Sistemas de referencia

locales para una falla rectangular.

Para describir la fenomenología de la radiación de alta frecuencia provocada por temblores, Aki (1967) estudió el modelo de dislocación de Haskell (1964), en el que una ruptura bajo esfuerzo cortante se propaga a través de una falla rectangular, la cual está dentro de un espacio elástico, isótropo e infinito. Aki, basado en los trabajos de Stokes, Lamb y Haskell dedujo que los desplazamientos en campo lejano debido a las ondas P y S, se escriben, en un sistema de coordenadas esféricas tal como el mostrado en la fig. 1 derecha, como:

(2 ) ( )31 ( )

,34 0

Patron deRadiacion

Sen SenL

R CosU w D t d

R Rθ φ

β ζ θζ ζα απβ

−= −∫6447448

&

, (5)

1 ( )(2 ) ( ) ,34 0

LR Cos

U Cos Cos w D t dR

ζ θθ φ ζ ζθ βπβ

−= −∫ & , (6)

(2 ) ( )1 ( )

,34 0Patron deRadicion

Cos Sen

LR Cos

U w D t dR

θ φζ θζ ζφ βπβ

−= −∫1442443&

, (7)

donde UR, Uθ y Uφ son los desplazamientos en dirección radial, angular y longitudinal respectivamente, w es el ancho de la falla, R la distancia al hipocentro, β la velocidad de onda S, α la velocidad de onda P, L la longitud y ( , )D x t& es la función de velocidad de dislocación. Tomando el punto inicial de la falla como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas se tiene: x=Rcos(θ), y=Rsen(θ) y z=Rsen(θ)Cos(φ).

Las expresiones 5, 6 y 7 se pueden escribir de manera generalizada como:

θ

φ

w

L

Uθ Ur

Uφ

ζ

w

L

ζ

7

0

cos( , , , , ) ,

( , )

LR

U P R w D t dζ θ

θ φ α β ζ ζα β

−= −

∫ & (8)

Aplicando la transformada de Fourier para llevar la expresión anterior al dominio de la

frecuencia se obtiene:

0

cos( ) ( ) * ,

( , )

L

i t i t rU u t e dt e dt D t d

ω ω ζ θω ω ζ ζ

α β

∞ ∞− −

−∞ −∞

−= −

=∫ ∫ ∫ & (9)

donde ω es la frecuencia circular igual a 2πf.

Siguiendo el planteamiento inicial de Haskell (1966) fue necesario estimar la función de dislocación en cualquier momento t+τi y en cualquier punto ζ+xi; para lo cual se necesitó introducir una función de autocorrelación ρ(xi,ti) de D(ζ,t) de la forma:

( , ) ( , ) ( , )i i i ix t D t D x t d dtρ ζ ζ τ ζ∞

−∞

= + +∫ ∫ & & (10)

Según Haskell (1966), es posible establecer que la función temporal, es decir, la función

de autocorrelación del tiempo, decrece exponencialmente con el log(τi) y tiene la forma:

0( ) ( , ) ( , )i i i

iTkt D t D x t dt eτ

ρ ζ ζ τ ρ∞

−∞

−= + + =∫ ∫ , (11)

y la función espacial, es decir, la función de autocorrelación del espacio, tiene la forma:

/0( ) ( , ) ( , )

i i i

i i iL Tk x k x vx D t D x t dx e

τρ ζ ζ τ ρ

∞

−∞

− − −= + + =∫ ∫ , (12)

donde v es la velocidad de dislocación y v=kT/kL.. Usando las funciones espaciales y temporales de autocorrelación descritas, Aki(1967) dedujo que el espectro de amplitudes de Fourier del desplazamiento provocado por las ondas S en el campo cercano puede expresarse como:

1 0( ) 3 2 224 ( ) 11 1

wD LU

R Cos

v k kL T

ωπρβ θ ω ω

β

=

+ − +

, (13)

donde D0 es el desplazamiento promedio de la falla. Aki estudió igualmente el caso particular cuando θ=0 y además considerando la definición estática de momento sísmico como

0 0M GwLD= ,

y pudo definir el espectro de amplitudes de desplazamiento como:

8

23

1( )

41

Espectro de Brune = S(f)

c

R MoU f

Rff

φ

πρβΘ=

+

64748

, (14)

donde Mo es el momento sísmico (dinas-cm, ergios), f es la frecuencia natural (Hz), Rθφ es el valor cuadrático medio del patrón de radiación resultante de los productos de senφcos2θ, sen2θsenφ y cos2θcosφ; ρ es la densidad de masa del material (la corteza litosférica ≈ 2.8 gr/cm3), β es la velocidad de ondas de corte (≈ 3.5 km/s) y fc es la llamada frecuencia de esquina.

El término 1/R modela la atenuación geométrica de las ondas de cuerpo en el campo lejano; después se verá cómo este varía a medida que se aleja de la fuente para reflejar mejor la atenuación de las ondas a grandes distancias.

El espectro propuesto contiene una parte plana en la zona de bajas frecuencias cuya

amplitud es proporcional a Mo. Para altas frecuencias, el espectro decae como función de f2 ( por lo que se denominó modelo “omega cuadrada”, en ingles, “omega square”) y, las dos zonas del espectro se cortan aproximadamente en la frecuencia de esquina. Esta frecuencia se relaciona con la dimensión del radio equivalente de la fuente de la siguiente forma: (Brune, 1970)

0 2.34c

rβω

= , (15)

donde r0 es el radio equivalente de una falla circular para la caída de esfuerzos y el momento sísmico que se considera, y ωc=2πfc. El espectro de la ec. 14, al ser multiplicado por ω2 dará como resultado el espectro de amplitudes de Fourier de aceleraciones, que puede ser evaluado mediante la siguiente expresión:

A f CR S fR

( ) ( )= Θφ1, (16)

donde C es un término constante que depende de las propiedades del material, dado por:

C =43

π

ρβ (17)

El termino S(f), llamado espectro de fuente de Brune (1970), se expresa mediante la

siguiente relación:

S fMo f

f

fc

( ).

=

+

2

1

2 (18)

9

Brune (1970), con base en un modelo de falla circular encontró relaciones entre la frecuencia de esquina, el momento sísmico y la dimensión de la falla, de tal forma que la frecuencia de esquina para el modelo se escribe:

fcMo

= 4.9 106 3* *βσ∆, (19)

donde ∆σ es la caída de esfuerzos medida en bares, β está dada en km/seg y Mo en dinas-cm.

El termino A(f) de la ec. 16 representa el espectro de aceleraciones en un medio ideal; las condiciones bajo las cuales se va modificando este espectro a medida que el movimiento avanza se describen a continuación:

Atenuación Regional. Este parámetro toma en cuenta la energía disipada por procesos viscosos, comportamiento no lineal de la roca o disipación por calor. Se ha visto que una forma apropiada de representar este tipo de atenuación es mediante la multiplicación de A(f) por un término exponencial decreciente de la forma e-πfR/βQ, donde Q es el factor de calidad de la corteza litosférica en la región de estudio (Knopoff, 1964) y suele depender de la frecuencia aproximadamente en la forma Q=Qof

ε, donde Qo y ε son constantes para una zona de la corteza en análisis. En Colombia se necesita estudiar con detalle el factor de calidad de la corteza.

Decaimiento de la alta frecuencia. Como se aprecia en la ec. 16, el espectro de Brune predice amplitud constante para f>>fc, lo que resulta absurdo. En primer lugar por consideraciones energéticas, y además porque, como se observa en los espectros reales, a medida que se avanza en distancia, las altas frecuencias se van filtrando y las amplitudes de la aceleración van decayendo de una forma más rápida que lo predicho por la atenuación regional. Dicho decaimiento se ha atribuido tanto a efectos de fuente como a efectos de las capas superficiales. Boore (1983) utiliza la frecuencia de corte introducida por Hanks (1982), fmax, para modelar el abrupto decaimiento de la energía de alta frecuencia mediante un filtro Butterworth pasabajas. Singh et al. (1982) encontraron que este decaimiento podía ser representado mediante una expresión exponencial de la forma e-πfk, donde κ es un factor que depende del sitio y que será motivo de calibración en la zona en estudio. Además, se ha visto que el parámetro κ tiene variación con la distancia de la forma κ=κ1+R/Q1.

Partición de la energía en dos componentes. Como la energía del espectro de fuente es

total, se asume una partición en dos componentes ortogonales horizontales, por lo que se

involucra el factor 21/ , suponiendo que las componentes son iguales en ambas direcciones.

Corrección por superficie libre. Se aplica un factor de 2 para predecir las amplificaciones de onda al llegar a la superficie.

Patrón de radiación. Se usarán los recomendados en la literatura internacional (Boore 1983; Boatwright, 1984) que oscilan entre 0.55 y 0.63.

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Atenuación geométrica. El término 1/R implica el predominio de ondas de cuerpo para distancias cercanas al epicentro; sin embargo, a mayores distancias el predominio es de ondas superficiales. Este efecto puede tomarse en cuenta transformando el término 1/R en (R*Rx)

-1/2, donde Rx es la distancia epicentral a partir de la cual predominan las ondas superficiales.

Una mejor manera de considerar el fenómeno que se acaba de describir debería tener en cuenta que la distancia a partir de la cual las ondas de superficie comienzan a predominar sobre las de cuerpo, por mayor atenuación de estas últimas, es una función de la profundidad de la fuente: mientras más profunda la fuente más lejano será el campo de predominio de las ondas de cuerpo. Esta relación puede considerarse aproximadamente lineal con la profundidad, H, esto es: Rx=λH, donde λ es un parámetro adicional a estimar.

Introduciendo estos efectos se puede describir el viaje de las ondas S a través del medio y

así establecer el espectro de amplitudes de aceleración en cualquier sitio particular. En estas condiciones, la ecuación original se transforma en la siguiente:

2 0

( )12 1( ) 22

1

Filtro alta frecuenciaFactor de calidad

Espectro de Brune

ParticionEnergia

Superficie

libre

R

Atenuacion Geometrica

RfR fQQof

M f e eA f R C

f

fc

θφ

π π κεβ

− − +

=

+

64474486474864748

(20)

Este modelo es llamado de fuente puntual y representa el EAF en un sitio después del

viaje de las ondas afectado por las variables mencionadas. Este modelo ha sido aplicado en muchas zonas del mundo para distancias de hasta 100 km. Después de esa distancia el movimiento deja de estar controlado por las ondas S. De esa distancia en adelante se utiliza la corrección en la atenuación por las ondas superficiales descrita en párrafos anteriores.

Se ha observado también que a distancias focales muy pequeñas, comparables con el tamaño de la ruptura, el modelo de fuente puntual falla. Por ello, se desarrolló un modelo sismológico que tiene en cuenta el tamaño finito de la zona de ruptura (Singh et. al., 1989). El modelo contempla una falla circular de radio ro que rompe con intensidad uniforme a lo largo del área. El punto de observación está situado justo arriba del foco, a una distancia Ro sobre el hipocentro. Además, se supone que la ruptura de cada elemento ocurre aleatoriamente en el tiempo. Bajo estas hipótesis, el EAF puede ser descrito en el punto de observación como:

( )( )

( ) ( )1 1

2 1122 2 22 2( ( )) 4 1 10 0 02

R fQ

eA f R C Mof E R E r Rc

ro

π κ

α αφ

− +

= − +Θ

,

(21)

donde E1( ) es la integral exponencial (Gautschi y Cahill, 1965) y α1=2π/βQo. Nótese que en el modelo de Singh el radio al epicentro, Ro, no divide la ecuación para no generar la indeterminación cuando el límite tiende a cero.

11

El modelo de fuente finita parte de la suposición de que el observador se encuentra a una

distancia cercana. Como ya se mencionó, el radio de la falla equivalente crecerá a medida que aumente la magnitud; si esto sucede, y teniendo en cuenta que las ondas sufren todos los fenómenos de atenuación descritos anteriormente, la contribución de ondas que vienen del cada vez más lejano perímetro sufrirá los procesos exponenciales de atenuación, haciendo que la aceleración no crezca de forma indefinida. Este comportamiento es el que provoca la saturación de la aceleración para magnitudes muy grandes.

En efecto, se ha observado de registros de movimientos fuertes en sitios localizados sobre la zona de ruptura de grandes temblores costeros de México, que para magnitudes grandes (M>7) las aceleraciones máximas del terreno, Amax, no crecen como lo predicen los modelos usuales de atenuación (ver por ejemplo Idriss, 1985). Esto sugiere que existe un fenómeno de saturación de Amax al aumentar la magnitud, algo que muchas de las leyes usuales de atenuación no predicen de forma adecuada.

Para la República de Colombia se encontró que una distancia Rx para la cual existe un

buen acoplamiento es de aproximadamente 100 km. Al realizar el análisis de minimización sobre estas variables para las condiciones de Colombia se procedió a construir los espectros de fuente finita y fuente puntual para cada combinación de magnitud y distancia. La fig. 2 izquierda muestra las formas típicas de este tipo de espectros. Ya que el espectro de fuente finita genera amplitud constante para las bajas frecuencias (Luco, 1985), en ese rango se usa el valor mínimo correspondiente al espectro de fuente puntual. La parte derecha de la fig. 2 muestra los EAF tomando la contribución de los modelos de fuentes finita y fuente puntual generando leyes de atenuación de EAF.

EAF, Magnitud 7.0; R=15 Km; Nacional

1

10

100

0.01 0.1 1 10 100Frecuencia (Hz.)

Am

plit

ud

(ga

l-s)

puntual

finita

EAF, Magnitud 7.0; Nacional

1

10

100

0.01 0.1 1 10 100Frecuencia (Hz.)

Am

plit

ud

(ga

l-s)

R=15 Km.

R=30 Km.

R=50 Km.

R=100 Km.

Figura 2. Izquierda: Modelos de fuente puntual y fuente finita para una combinación de

magnitud y distancia; derecha: Leyes de atenuación de EAF para diferentes distancias en una misma magnitud del mecanismo focal de fuentes Nacional.

Al realizar el mismo análisis para diferentes distancias es posible construir leyes de

atenuación de espectros de amplitudes de Fourier para diferentes magnitudes como se observa en la fig. 2 derecha. Al comparar los registros calculados y registrados y minimizar la desviación fue posible identificar los parámetros del modelo sismológico adoptado para describir el EAF según el tipo de mecanismos focal; estos se muestran en la tabla 1 (en Colombia el esquema se

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realizó por separado para las zonas de subducción y para las fallas continentales; no obstante el análisis se puede discretizar para cada fuente por separado si se cuenta con información).

Tabla 1 Resultado de la calibración de parámetros para cada caso analizado.

Mecanismo focal Q1 εεεε Qo Rθφθφθφθφ K1 σσσσ ∆σ∆σ∆σ∆σ em

Activa 3600 1.0 750 0.6 0.008 0.56 125 0.007 Subducción 3800 1.5 750 0.6 0.010 0.65 50 -0.002 Promedio nacional 3800 1.5 750 0.6 0.012 0.65 185 -0.007

em es el error medio, que se define como el promedio de los logaritmos de los cocientes entre aceleraciones observadas y calculadas; em es una medida del sesgo de la estimación. σσσσ es la desviación estándar de los logaritmos naturales. Para los sismos de fallas activas la desviación estándar es de 0.56, mientras que para subducción es de 0.65. Si se incluyen todos los sismos (“nacional”) se obtiene un valor de σσσσ =0.65. En términos generales, los errores medios son aceptablemente bajos.

El análisis de los datos disponibles en Colombia ha permitido evaluar los parámetros relevantes de un modelo sismológico y no los parámetros de leyes de atenuación mediante regresiones clásicas y aproximaciones estadísticas que para el caso de bases de datos pobres como es nuestro caso no funcionan bien. Se observa que, en general, las leyes usadas en estudios anteriores para el país tienen desviaciones estándar mayores que las determinadas en este estudio y, además, sobrestiman sistemáticamente las aceleraciones observadas.

Al comprobar con sismos pasados de los cuales se conoce su magnitud y distancia

epicentral, es posible corroborar el favorable comportamiento de las leyes de EAF encontradas a partir del análisis con sismos colombianos. El contar con buenas aproximaciones para los espectros de EAF garantiza que los valores pico generados a partir de teoría de vibraciones aleatorias de los mismos sean correctos para la estimación de los parámetros útiles en el diseño. En otras palabras, evaluar bien los EAF garantiza correcta evaluación de los espectros de respuesta.

En la fig. 3 es posible ver la buena aproximación de los EAF calculados contra lo

registrado en algunos sismos intermedios en Colombia. Al repetir el proceso para todas las distancias y magnitudes es posible generar leyes de atenuación de EAF. En este primer caso los EAF reflejan la variable de aceleración máxima del suelo; no obstante, a partir de la teoría sismológica clásica descrita con anterioridad el proceso puede extenderse a cualquier otra variable.

13

Espectros de amplitudes M=5.5; R=112

0,01

0,10

1,00

10,00

0,01 0,10 1,00 10,00 100,00frecuencia (Hz)

amp

litu

d

amplitud

calculada

σσσσ =0.523sesgo=-0.171


0,01

0,10

1,00

10,00

0,01 0,10 1,00 10,00 100,00frecuencia (Hz)

amp

litu

d

amplitud

calculada

σσσσ =0.416sesgo=-0.057

Espectros de amplitudes M=6,1; R=159

0,01

0,10

1,00

10,00

0,01 0,10 1,00 10,00 100,00

frecuencia (Hz)

amp

litu

d

amplitud

calculada

σσσσ =0.494sesgo=-0.105


0,01

0,10

1,00

10,00

0,01 0,10 1,00 10,00 100,00frecuencia (Hz)

amp

litu

d

amplitud

calculada

σσσσ =0.479sesgo=-0.172

Figura 3. Comparación de EAF registrados por la RSNC (Amplitud) contra los calculados por

medio de la teoría sismológica descrita en este artículo

TEORÍA DE VIBRACIONES ALEATORIAS

El EAF de aceleración en el sitio refleja el contenido de frecuencia del movimiento sísmico en cuestión. Sin embargo, hace falta la información de las fases del acelerograma y no hay forma de conocerla. Así las cosas, existiría una gran cantidad de señales que cumplirían con tener el mismo EAF y la misma duración de fase intensa, cada una de ellas con diferentes fases y, por tanto, con un valor diferente de aceleración máxima. Por esta razón, esta variable se vuelve aleatoria. Es necesario recurrir, entonces, a la teoría de vibraciones aleatorias para determinar esos valores extremos.

Sea a(t) una señal de aceleración cuyo EAF es A(f). Se puede demostrar (Cartwright y Longuett-Higgins, 1956) que bajo circunstancias generales, el valor esperado del máximo de a(t), está dado por: E AMax ACM FP( ) = , (22)

donde, Acm es la aceleración cuadrática media, que puede calcularse mediante el teorema de Parseval (Papoulis, 1965):

14

ACM

m

Td

=0 (23)

En esta expresión, mo es el momento estadístico de orden 0 de A(f) y Td es la duración de

la fase intensa del evento, que de acuerdo con Herrman (1985) estaría dada por:

Td fc

R= +1

0 05. (r0 en el caso de fuente finita) (24)

Puede demostrarse (Cartwright y Longuett-Higgins, 1956; Davenport, 1964) que si N no

es demasiado pequeño, la siguiente es una buena aproximación para Fp, cantidad frecuentemente llamada el “factor pico”:

FP NN

= +22

ln( )ln( )

γ, (25)

donde γ es la constante de Euler (= 0.577…) y N es el número esperado de valores extremos, que se puede definir de la siguiente forma:

NTd m

m=

π2

0, (26)

donde m2 es el momento estadístico de orden 2 del EAF.

Los momentos estadísticos espectrales de los espectros de amplitudes de Fourier se pueden evaluar fácilmente a partir de:

( ) ( )4

4

4

32( ) ( )

d

m A f f A f dfT

π ∞

−∞

= ∫ (27)

( ) ( )2

2

2

8( ) ( )

d

m A f f A f dfT

π ∞

−∞

= ∫ (28)

( ) 20

2( ) ( ) cm

d

m A f A f df AT

∞

−∞

= =∫ (29)

| De las ecs. 20-29, es posible estimar Amax si se conocen el EAF y la duración de fase intensa de un sismo.

15

FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Ahora bien, ya que los movimientos definidos a partir de un solo EAF son denominados procesos estacionarios, entonces las ecuaciones diferenciales de los sistemas de un grado de libertad con rigidez k, amortiguamiento c, masa m, sometidos a cargas de valor máximo P0 modulada por senos y cosenos de frecuencia Ω son:

.

0( ) ( ) ( )mx t c x t kx t P sen t+ + = Ω&& & y (30a)

.

0( ) ( ) ( ) cosmx t c x t kx t P t+ + = Ω&& & , (30b)

donde ω=√(k/m) y ξ=c/(2mω), de las cuales se puede calcular la respuesta estacionaria del desplazamiento en el dominio del tiempo para ambos casos como: (Clough y Penzien, 1975)

( ) [ ]

( ) [ ]

2

0

2 22

1 / 2 / cos( )

1 / 2 /

sen t tPx t

k

ω ξ ω

ω ξ ω

− Ω Ω − Ω Ω=

− Ω + Ω

y (31a)

( ) [ ]

( ) [ ]

2

0

2 22

1 / 2 /( )

1 / 2 /

cos t tPt

kx

senω ξ ω

ω ξ ω

− Ω Ω − Ω Ω=

− Ω + Ω

(31b)

Suponiendo una carga estacionaria unitaria en el dominio de la frecuencia de la forma:

( ) 1 i tp t e

Ω= y siguiendo la Ley de Euler, ( )( ) 1 cosp t t isen t= Ω + Ω que muestra la forma compacta

de fuerzas con ambas funciones, la respuesta de estado estacionario del desplazamiento armónico combinado con frecuencia Ω puede ser expresada entonces por medio de ( ) ( ) i t

ux t H e

Ω= Ω donde

Hu(Ω) es una variable a determinar denominada función de transferencia. Para encontrar la velocidad y la aceleración del sistema bastaría derivar con respecto al tiempo para encontrar que:

( ) ( ) i t

ux t i H e

Ω= Ω Ω& y (32a)

2( ) ( ) i t

ux t H e

Ω= −Ω Ω&& (32b)

Reemplazando las ec. 30 y 32 en las ecuaciones originales de movimiento 30 encontramos

una forma común para ambos casos de carga seno y coseno como sigue:

( )2( ) i t i t

uH e m i c k e

Ω ΩΩ −Ω + Ω + = (33)

cancelando los terminos eiΩt a ambos lados de la ecuación 33y dividiendo por la masa m,

se llega a:

16

( )2( )

1 1

1 / 2 /u

Hk iω ξ ω

Ω = − Ω + Ω

, (34)

que expresa la función de transferencia en términos de la frecuencia natural del sistema, ω.

La ec. 34 contiene la respuesta estacionaria del desplazamiento para los casos de cargas seno y coseno y, si se reemplaza en la ec. 32 se obtiene:

( ) [ ]2( )

1 1

1 / 2 /

i tx t

k ie

ω ξ ωΩ=

− Ω + Ω

, (35)

y la respuesta estacionaria de aceleración del oscilador a partir de la ec. 32 es:

( ) [ ]2

2( )1 1

1 / 2 /

i tx t

k ie

ω ξ ωΩ=

− Ω + Ω

Ω&& (36)

Ahora, si se divide esta respuesta por la aceleración del suelo es posible derivar la función

que modifica la excitación del suelo por las propiedades del oscilador; dicha función es denominada función de transferencia y para el caso de aceleración del suelo a seudoaceleración espectral del oscilador con frecuencia ω y amortiguamiento ξ, toma la forma:

1( , , ) 2

1 2

HA

i

ω ξω ωξ

Ω =

− +Ω Ω

(37)

Nótese que el valor máximo de la función de transferencia se presenta en la frecuencia de

resonancia que es la misma del oscilador que se desee. Asimismo, el valor máximo será de 1/2ξ. Para el caso de velocidad, siguiendo el mismo procedimiento se obtiene:

( ) 2 2, ,

2V

iH

i

ωω ξ

ω ξ ωΩ = −

Ω − + Ω (38)

Si el EAF deducido por medio de la teoría sismológica que describe el movimiento en el

dominio de la frecuencia del terreno es multiplicado punto a punto por la función de transferencia de un sistema con periodo y amortiguamiento conocido, se obtiene el EAF de los sistemas estructurales en condiciones lineales para el movimiento en la base descrito por el EAF. En la fig. 4 se muestra en el lado izquierdo un EAF calculado a partir del modelo ω-2. En el centro, las funciones de transferencia de osciladores para diferentes periodos y relación de amortiguamiento con respecto al crítico, ξ=5%. Nótese que el pico se encuentra en la frecuencia del oscilador conforme a la resonancia que se presenta, y el valor máximo es 1/(2*0.05)=10. Al multiplicar el EAF del movimiento del terreno por cada una de las funciones de transferencia se obtienen (ver

17

fig. 4 derecha) los EAF de osciladores de periodo y amortiguamiento conocido ante el movimiento en la base descrito por los EAF.

Espectro de Amplitud de Aceleraciones para fallas continentales Ml=6.2; R= 15Km

0.1

1

10

100

1000

0.01 0.1 1 10 100

Frecuencia (Hz)

Am

plit

ud (g

al-s

)

Función de Transferencia de osciladores de diferente periodo estructural ξξξξ =0.05

0.1

1

10

100

1000

0.01 0.1 1 10 100

Frecuencia (Hz)

Am

plit

ud

T =0.5 seg

T =1.0 seg

T =2.0 seg

T =3.0 seg

EAF, M=7.0, R= 15 Km, osciladores de ξξξξ=5%

0.1

1

10

100

1000

0.0 0.1 1.0 10.0 100.0

Frecuencia (Hz))

Am

plit

ud (

gal

-s)

T=0.5 seg

T= 1.0 seg

T=2.0 seg

T= 3.0 seg

Figura 4. Izquierda: EAF del movimiento en el suelo para M=6.2, R=15 Km. Centro: Funciones de Transferencia de diferentes periodos estructurales. Izquierda: EAF de la respuesta de los

sistemas estructurales.

Estos EAF pueden ser tratados con la Teoría de Vibraciones Aleatorias descrita y encontrar los valores espectrales máximos asociados. Si el proceso se repite sistemáticamente para todas las combinaciones de magnitud y distancia, al evaluar los máximos en todos los casos se están derivando leyes de atenuación espectral que resultan útiles en la evaluación de la amenaza en términos, en este caso, de la aceleración. Sin embargo, si la función de transferencia es de velocidad o desplazamiento, el procedimiento es perfectamente valido para evaluar la variable de interés sin ningún problema.

Nótese que no son necesarias leyes de atenuación adicionales sobre otros parámetros del

movimiento para estimar los desplazamientos o las velocidades máximas en la superficie del suelo, o los espectros de respuesta de desplazamientos y velocidades, y es aquí precisamente donde radica una de las fortalezas del procedimiento y de donde nace la coherencia o consistencia ya mencionada: es una ley de atenuación sobre el movimiento completo descrito en términos del EAF.

Hay ocasiones en donde se presentan depósitos de suelo en el viaje de las ondas hacia la superficie. En este caso, es necesario evaluar la función de transferencia del suelo (un aspecto que depende de las propiedades del medio transmisor y de la dinámica de suelos) y multiplicarla punto a punto por los EAF de osciladores en terreno firme evaluados antes, para así llegar a los EAF de osciladores de periodo y amortiguamiento conocido teniendo en cuenta las condiciones de suelo, tal y como se describe en la fig. 5. El procedimiento descrito de Teoría de Vibraciones Aleatorias sigue siendo valido en este caso, haciendo posible la generación de leyes de atenuación teniendo en cuenta las condiciones locales de suelo en un sitio.

18

EAF, M=7.0, R= 15 Km, osciladores de ξξξξ=5%

0.1

1

10

100

1000

0.0 0.1 1.0 10.0 100.0

Frecuencia (Hz))

Am

plit

ud (

gal

-s)

T=0.5 seg

T= 1.0 seg

T=2.0 seg

T= 3.0 seg

Función de Transferencia Lineal del sitio Universidad del Quindio

0.1

1

10

100

1000

0.01 0.1 1 10 100

Frecuencia (Hz)A

mp

litu

d

EAF de osciladores de ξξξξ =0.05 para fallas continentales Ml=6.2, R=15 Km en Uniquindio

0.1

1

10

100

1000

0.01 0.1 1 10 100

Frecuencia (Hz)

Am

plit

ud

(ga

l-s)

Amplitud

T =0.5 seg

T =1.0 seg

T =2.0 seg

T =3.0 seg

Figura 5. Izquierda: EAF de la respuesta de osciladores de ξ=5% en roca y para M=6.2, R=15 Km. Centro: Función de Transferencia del suelo en el sitio Uniquindío. Derecha: EAF de sistemas estructurales sobre el suelo Uniquindío durante el sismo del 25 de enero de 1999.

RESULTADOS

A continuación, en la fig 6 se muestra el EAF estimado para una falla continental, para Ml=6.2 y R=15 km en las condiciones de suelo presentes y se compara con el EAF registrado en la Universidad del Quindío con ocasión del sismo de Armenia de 1999. El ajuste en este caso es muy bueno y habla muy bien del modelo y los parámetros utilizados.

EAF para fallas continentales Ml=6.2, R=15 Km en Uniquindio

10

100

1000

0.1 1 10 100

Frecuencia (Hz)

Am

plit

ud

(ga

l-s)

Calculado

Registrado

Figura 6. EAF estimado para una falla continental, Ml=6.2, R=15 km y EAF registrado en la

Universidad del Quindío con ocasión del sismo de Armenia de 1999

En la fig 7, se comparan esta vez los espectros de respuesta de aceleraciones y de desplazamientos, estimados para los mismos parámetros del caso anterior y registrados en la Universidad del Quindío con ocasión del sismo de Armenia de 1999. Era de esperarse un ajuste igualmente bueno al que se presentó con los EAF. En el espectro de respuesta de desplazamiento es importante notar una amplificación o pico coincidente con el periodo fundamental del depósito de suelo, una caída pronunciada después de este pico que se estabiliza luego al desplazamiento máximo registrado en el suelo.

19

Registro de la Universidad del Quindio25 de enero de 1999, Ml=6.2 R= 15 Km

0

500

1000

1500

2000

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Periodo (seg)

Pse

ud

oace

lera

ción

(ga

l) Registrado

calculado

Registro de la Universidad del Quindio25 de enero de 1999, Ml=6.2 R= 15 Km

0

5

10

15

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Periodo (seg)

Des

pla

zam

ien

to (

cm) Registrado

Calculado

Figura 7. Espectros de respuesta de seudoaceleración y desplazamiento estimados y registrados

en la Universidad del Quindío durante el sismo de Armenia de 1999.

El modelo propuesto en este trabajo sigue las tendencias descritas en el registrado para todas las ordenadas espectrales de aceleración, pero con la diferencia que después de la caída vuelve a subir para volverse asintótico en un desplazamiento máximo del terreno mayor al desplazamiento registrado en el periodo fundamental del sitio. La diferencia entre los espectros de respuesta de desplazamientos estimados y medidos en los dos casos documentados puede deberse a los filtros pasa altos utilizados en el proceso de integración de la señal de aceleración registrada, que pueden atenuar las verdaderas amplitudes del movimiento en bajas frecuencias.

Un comportamiento similar al del espectro de desplazamientos estimado con el modelo que aquí se presenta se predice también con un modelo semejante al utilizado en este caso; modelo sismológico para el espectro de amplitudes de Fourier y uso de teoría de vibraciones aleatorias para estimación de los espectros de respuesta, usado en ese caso para estimar los espectros de diseño en las zonas homogéneas de Medellín (Jaramillo, 2003), (ver fig. 8).

E sp e c tro d e a c e le ra c io n e s p a ra d is e ñ o

ZONA 1 2

0 .0 0

0 .2 0

0 .4 0

0 .6 0

0 .8 0

0 1 2 3 4

T (s eg )

Sa( g)

Espec tro d e desp la zam ien to s p a ra d iseño

ZONA 12

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4

T (seg )

Sd(cm)

PROPUESTA JARAMILLO, 2002 REGLAMENTO ACTUAL

Figura 8. Espectros de repuesta de seudoaceleración propuestos, medidos y reglamentados actualmente, para la zona homogénea 12 de Medellín, (Jaramillo, 2003)

Es muy notable, que en suelos blandos como los que se están analizando, el espectro de

seudoaceleraciones cae muy rápidamente después del periodo fundamental del sitio, muy diferente a lo que estamos acostumbrados a ver en los reglamentos, caracterizados por caídas

20

inversamente proporcionales al periodo en el mejor de los casos. Estas caídas pronunciadas predichas por el modelo propuesto son coherentes con los espectros de desplazamientos analizados, y de no ser así, resultarían como efectivamente ocurre con los espectros de los reglamentos actuales, espectros de desplazamientos que crecen indefinidamente con el periodo, violando los principios de la dinámica cuando se predicen desplazamientos infinitos del terreno.

Las caídas pronunciadas de los espectros de seudoaceleraciones son características de los

suelos blandos y son producidas no por la amenaza regional sino por las funciones de transferencia de los depósitos de suelo, que en algunos casos son bastante estrechas y picudas.

Las caídas no tan pronunciadas de los espectros de seudoaceleración en el basamento

rocoso se ilustran en la fig. 9, en donde se muestran los espectros de respuesta de seudoaceleraciones y desplazamientos estimados y registrados durante el sismo de Armenia, 1999, en dos estaciones acelerográficas desplantadas en terreno firme, pero a una distancia apreciable del epicentro. Estos espectros de respuesta se parecen mucho a los sugeridos por nuestros reglamentos, con caídas aproximadamente inversas al periodo en el espectro de seudoaceleración, y tendencias crecientes aproximadamente lineales y hasta periodos altos de los espectros de desplazamiento.

Sismo de Armenia, Filadelfia 100 km

0.

10.

20.

30.

40.

50.

0.0 1.0 2.0 3.0

periodo (seg)

Pse

udoa

cele

raci

ón (

gal)

registrado

calculado

Sismo de Armenia, Filadelfia 100 km

0.0.

0.5.

1.0.

1.5.

2.0.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

periodo (seg)

Des

plaz

amie

nto

(cm

) registrado

calculado

Sismo de Armenia, Prado 117 km

0.

10.

20.

30.

0.0 1.0 2.0 3.0

periodo (seg)

Pse

udoa

cele

raci

ón (

gal)

registrado

calculado

Sismo de Armenia, Prado 117 km

0.0.

0.5.

1.0.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

periodo (seg)

Des

plaz

amie

nto

(cm

) registrado

calculado

Figura 9. Espectros de respuesta de seudoaceleración y desplazamiento estimados y registrados

en dos estaciones en terreno firme durante el sismo de Armenia de 1999.

Para estudiar la influencia en las formas espectrales de respuesta, del tipo de fuente, en la fig 10 se muestran los espectros de seudoaceleración para la misma distancia pero producidos por diferentes magnitudes generadas en fallas activas superficiales o generadas por procesos de

21

subducción. De la fig. 10 es claro que los procesos de subducción, aunque generados por la misma magnitud y a la misma distancia, producen movimientos más ricos en baja frecuencia que los producidos por fallas activas superficiales. En el modelo propuesto esta característica la define la caída de esfuerzos, ∆σ, ver ec. 19, que es menor para sismos de subducción, generando frecuencias de esquina, fc, (ver ec. 19) más bajas, es decir, EAF con más contenido de energía en periodos altos.

Espectros de Atenuación; Activas; R=15 Km

0

200

400

600

800

1000

1200

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Periodo (Segundos)

Pse

ud

oace

lera

ción

(ga

l)

M=4

M=5

M=6

M=7

M=8

Espectros de Atenuación; Subducción; R=15 Km

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Periodo (Segundos)

Pse

ud

oace

lera

ción

(ga

l)

M=4

M=5

M=6

M=7

M=8

Figura 10. Espectros de respuesta de seudoaceleración estimados a una distancia de 15 km para diferentes magnitudes y por procesos de fallas activas superficiales y de subducción.

En la fig. 11, normalizados a la aceleración máxima, Amax, y al desplazamiento máximo,

Dmax, se muestran los espectros de respuesta de amenaza uniforme para diferentes periodos de retorno y para procesos de fallas activas superficiales y de subducción, separadamente. Si se considera únicamente un proceso generador de eventos, en los espectros de seudoaceleración no se aprecia una influencia definitiva del periodo de retorno en la forma espectral, pero, nuevamente, y con los espectros normalizados, es muy clara la influencia del tipo de fuente en las formas espectrales de aceleración. Igualmente, es muy notable de la fig. 11 el corrimiento hacía la derecha del punto de amplificación de la aceleración espectral máxima para fuentes de subducción respecto a las fallas activas superficiales, en las que las primeras adicionalmente están más lejanas, aproximadamente 150 km vs 15 km, lo que comparativamente incrementa el contenido de baja frecuencia en las señales de las fuentes de subducción por atenuación anelástica.

De la fig. 11 llama la atención también que el factor de amplificación de la aceleración espectral máxima respecto a la aceleración máxima en la superficie del terreno es prácticamente el mismo, aproximadamente 2.35 veces, independientemente del proceso de generación del movimiento. Este factor es muy cercano al que durante tanto tiempo ha definido la meseta de los espectros de diseño de nuestros reglamentos y los de muchos países del mundo: 2.5 veces, lo cual es valido únicamente para espectros con amortiguamiento de 5% y en el basamento rocoso.

En este punto es importante dejar claro nuevamente que se están analizando espectros de

respuesta en terreno firme. En párrafos anteriores se discutió algo de las formas espectrales en suelos blandos, y volviendo a ellos (ver figs. 7 y 8) en relación con el factor de amplificación

22

sobre Amax para alcanzar la aceleración espectral máxima, en estos casos se registran factores cercanos a 3.0, producto de la función de transferencia del suelo que puede llegar a ser muy estrecha y elevada, generando espectros de respuesta a nivel de la superficie del suelo con factores de amplificación de hasta 4.5 veces.

Amenaza Medellín Falla Romeral

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Periodo (seg)

Pse

ud

o ac

eler

ació

n/A

max

100 años

250 años

500 años

1000 años

1500 años

Amenaza Medellín Subducción

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Periodo (seg)

Pse

ud

o ac

eler

ació

n/A

max

100 años

250 años

500 años

1000 años

1500 años

Amenaza Medellín Falla Romeral

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Periodo (seg)

Des

pla

zam

ien

to/D

max

100 años

250 años

500 años

1000 años

1500 años

Amenaza Medellín Subducción

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Periodo (seg)

Des

pla

zam

ien

to/D

max

100 años

250 años

500 años

1000 años

1500 años

Figura 11. Espectros de respuesta normalizados y de amenaza uniforme en Medellín producidos por el sistema de fallas Romeral o por la subducción, separadamente, y para diferentes periodos

de retorno.

Del trabajo de Jaramillo, 2003, en donde se estudiaron paramétricamente muchas posibilidades del modelo de dislocación descrito en este trabajo, se concluye que el factor de amplificación sobre Amax para alcanzar la aceleración espectral máxima si está, en bajo grado, correlacionado con el periodo de amplificación máxima del espectro en terreno firme, de tal manera que al aumentar el periodo se aumenta igualmente el factor de amplificación. Para dar una idea, en Jaramillo, 2003, se propone que cuando el periodo de amplificación máxima alcanza 0.4s, el factor de amplificación alcanza un valor de 3.5.

23

En cuanto a los espectros de desplazamientos mostrados en la fig. 11, se nota una

dependencia más clara de sus formas como función de los periodos de retorno, pero nada concluyente todavía. Si es de destacar la tendencia aproximadamente lineal del espectro de desplazamientos a partir del periodo que marca la caída del espectro de seudoaceleraciones, lo que indica, como ya se hizo notar, una caída aproximadamente inversa al periodo de los espectros de aceleración en terreno firme. Para los casos analizados, a partir de aprox. 2.0s estos espectros son asintóticos al desplazamiento máximo del terreno, indicando que a partir de este periodo el espectro de aceleraciones cae inversamente proporcional al periodo al cuadrado. Estas tendencias, coincidentes con lo que cabe esperar de un análisis cualitativo del fenómeno, es lo que hemos llamado espectros coherentes, que se insiste deberían reflejarse en las normas para diseño sísmico de edificaciones.

En la fig. 12 se muestran los espectros de respuesta normalizados y de amenaza uniforme para Medellín considerando esta vez todas las fuentes sismogénicas que la afectan. Aunque no decisivamente, el periodo de retorno afecta la forma del espectro de aceleraciones. Lo anterior es claro que se debe al hecho de que, por ejemplo para Medellín, la fuente que controla los movimientos para periodos de retorno del orden de 100 años es la subducción y la llamada zona de Benioff del Viejo Caldas, produciendo espectros más ricos en periodos altos, que los producidos por el sistema de fallas Romeral, que controla los movimientos para periodos de retorno de más de 500 años. La diferencia en las formas espectrales de aceleración podría ser mayor en casos en donde fuera más clara y definitiva la influencia de determinadas fuentes y para determinados periodos de retorno. En el caso de Medellín, lo que se puede afirmar es que en los movimientos asociados a diferentes periodos de retorno hay fuentes que contribuyen más que otras pero no de manera definitiva.

Para el cruce de estas formas espectrales de aceleración en un periodo cercano a 2.5s no hay una explicación satisfactoria hasta el momento. No es la distancia, por que para el caso de Medellín las fallas activas superficiales son muy cercanas (15 km), lo que incrementaría el contenido de alta frecuencia en estos casos por la mayor atenuación anelástica relativa de la alta frecuencia, comparativamente a lo que pasaría con las fuentes de subducción, distantes cerca de 150 km de la ciudad. El hecho descrito, por el contrario reforzaría la idea de que los espectros de respuesta de periodos de retorno altos (> 500 años) producidos por las fuentes cercanas, deberían permanecer por debajo de los espectros de respuesta de periodos de retorno cortos producidos por las fuentes de subducción más lejanas.

24

Amenaza Medellín Todas las fuentes

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Periodo (seg)

Pse

ud

o ac

eler

ació

n/A

max

100 años

250 años

500 años

1000 años

1500 años

Amenaza Medellín Todas las fuentes

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Periodo (seg)

Des

pla

zam

ien

to/D

max

100 años

250 años

500 años

1000 años

1500 años

Figura 12. Espectros de respuesta normalizados y de amenaza uniforme en Medellín integrando

todas las fuentes y para diferentes periodos de retorno.

En cuanto a los espectros de desplazamiento normalizados que se muestran en la fig. 12, se nota más claramente que antes, que se presentan valores de desplazamiento espectral mayores al desplazamiento máximo del terreno para periodos de retorno bajos (< 250 años). Este comportamiento, sobre el que no tenemos una explicación, no parece deberse al tipo de proceso generador del sismo, puesto que este mismo comportamiento se advierte en la fig. 11 para las fallas activas superficiales y no se presenta en los procesos de subducción, contrario a lo que muestra la fig. 12 cuando señala que el fenómeno se presenta en periodos de retorno bajos, que para el caso de Medellín están controlados por los procesos de subducción.

Para el caso de la variación de los amortiguamientos estructurales, en la fig. 13 se pueden

observar espectros de roca y suelo para diferentes relaciones de amortiguamiento. En la parte derecha la figura muestra los espectros normalizados a Amax y se observa que, para amortiguamientos de 2% el valor máximo de Sa llega a superar 4 veces el de Amax. Asimismo, para 10% de amortiguamiento la amplificación no supera el valor de 2. En el caso de los suelos, el comportamiento es mucho más errático y no es posible usar las recomendaciones antiguas del ATC al respecto. En cada caso las curvas de descenso son diferentes dependiendo del amortiguamiento, es decir, que los valores recomendados por normas actuales representan condiciones particulares bastante restringidas sobre las que no se tiene control. Este efecto del amortiguamiento es importante para edificaciones sobre suelos blandos que presentan interacción inercial apreciable, este efecto incrementa el amortiguamiento total de la estructura, por lo que son útiles espectros de amortiguamiento mayor a los que se usan convencionalmente.

25

Espectros Roca M=7, R=40

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Periodo (seg)

Pse

udo

acel

erac

ion

(ga

l)

ξ=2 %ξ=2 %ξ=2 %ξ=2 %ξ=5 %ξ=5 %ξ=5 %ξ=5 %ξ=7 %ξ=7 %ξ=7 %ξ=7 %ξ=10 %ξ=10 %ξ=10 %ξ=10 %ξ=15 %ξ=15 %ξ=15 %ξ=15 %

Espectros Roca M=7, R=40

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Periodo (seg)

Pse

ud

oace

lera

cion

/Am

ax


Espectros Suelos M=7, R=40

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Periodo (seg)

Pse

udo

acel

erac

ion

(ga

l)


Espectros Suelos M=7, R=40

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Periodo (seg)

Pse

udoa

cele

raci

on/A

max


Figura 13. Izquierda: Espectros de Roca y suelo para una combinación de magnitud y distancia;

Derecha: Espectros de roca y suelo de Izquierda normalizados con respecto a Amax

Otro análisis de sensibilidad se puede hacer en términos de la distancia para diferentes

escenarios de sismos. Por ejemplo, la fig. 14 muestra a la izquierda la distribución de la amenaza sísmica en términos de la aceleración máxima del suelo para sismos de subducción, y al lado derecho para sismos en las fallas del sistema Frontal.

Para la subducción la fig. 15 muestra en su parte izquierda los espectros de

seudoaceleración para diferentes capitales de departamento y para ξ = 5%. En la parte derecha la fig. 15 muestra los mismos espectros normalizados con respecto a Amax.

26

Figura 14. Izquierda: Escenarios de amenaza subducción; Derecha: Escenario para sismos en la

Falla Frontal Es notable que ciudades como Quibdó y Cali, cercanas a la subducción, tienen espectros

con mayor contribución en las altas frecuencias; conforme la distancia aumenta, las ciudades más alejadas muestran espectros con mayor contribución de bajas frecuencias, de tal manera que un sismo de subducción sobre Cali a 75 km de distancia muestra ondas predominantes en los 0.2 seg de periodo, mientras que para Bogotá a 500 km el mismo sismo tiene predominio en 0.5 seg. Esto introduce cambios en la forma de los espectros con respecto a la distancia al epicentro.

Sismo en Subducción Tr= 500 años

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 1 2 3Periodo (seg)

Pse

udoa

cele

raci

ón (g

al

Quibdó 50 kmCali 75 kmManizales 120 kmIbagué 190 kmNeiva 300 kmBogotá 500 kmS. J. Guaviare 700 km

Sismo en Subducción Tr= 500 años

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Pse

udoa

cele

raci

ón/A

max

Quibdó 50 kmCali 75 kmManizales 120 kmIbagué 180 kmNeiva 300 kmBogotá 500 km S. J. Guaviare

Figura 15: Espectros de Subducción sobre ciudades y espectros normalizados

Los espectros de un escenario sobre el sistema Frontal son mucho más variables con la

distancia ya que establecen un filtro de altas frecuencias más pronunciado. En este caso, los cambios en la formas espectrales son mucho más severos que en el caso de la subducción para los periodos altos, aunque, el valor tope de amplificación de 2.5 para ξ=5% se mantiene. Las ciudades cercanas tienen descensos rápidos tal y como es el caso del sismo de Armenia en los registros de estaciones cercanas, pero las ciudades lejanas muestran las tendencias suavizadas que se manejan actualmente en los reglamentos y que como se vio atrás coinciden con la realidad de

Quibdó

Cali

Manizales

Ibagué

Neiva

Bogotá

SJ Guaviare

Quibdó

Cali

Manizales

Ibagué

Neiva

Bogotá

Villavicencio

27

registros de largas distancias. No obstante, los sismos destructores de fuentes intraplaca se presentan siempre a distancias cercanas al lugar.

Sismo en Frontal Tr= 500 años

0

100

200

300

400

500

600

700

800


Pse

udoa

cele

raci

ón (g

al

Quibdó 300 kmCali 250 kmManizales 200 kmIbagué 150 kmNeiva 25 kmBogotá 30 kmVillavicencio 10 km

Sismo en Frontal Tr= 500 años

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


Pse

udoa

cele

raci

ón/A

max

Quibdó 300 kmCali 250 kmManizales 200 kmIbagué150 kmNeiva 25 kmBogotá 30 kmVillavicencio 10 km

Figura 16. Espectros del sistema Frontal sobre ciudades y espectros normalizados

OBSERVACIONES SOBRE SUELOS BLANDOS Y DE PIEDEMONTE A pesar de todo lo anterior, la respuesta sísmica de los suelos siempre ha estado asociada a la relación en el dominio de la frecuencia de los espectros de amplitudes, esto no es otra cosa que las funciones de transferencia de amplio uso a nivel mundial. No obstante, en Colombia muchos olvidaron esto o no lo tuvieron en cuenta; el hecho es que la respuesta de los suelos en las microzonificaciones se ha tomado en función de los espectros de respuesta de aceleración que afloran en superficie, algo que obviamente tiene un rigor, por mucho, inferior a lo necesario ya que los espectros de respuesta representan los valores máximos asociados a la historia de cada movimiento, mientras que las funciones de transferencia representan punto a punto el filtro lineal o no lineal que establecen los suelos, esta función de transferencia muestra con rigor la respuesta del suelo y no los espectros de respuesta que muestran una cantidad bastante limitada de información. Las condiciones mostradas para suelos son bastante especiales con respecto a las de roca, ya que las funciones de transferencia de estos suelen tener características no-lineales que se activan conforme mayor son las intensidades sísmicas. En la fig. 17 se observan funciones de transferencia, FTs, de suelos de Piedemonte (similares a los de la zona 12 de Medellín) y suelos blandos típicos de las condiciones de Bogotá. Las FTs de la fig 17 muestran los valores de amplificación sobre la frecuencia predominante, que en el caso de los suelos corresponde al periodo natural. En ambos casos de suelo se encuentran condiciones de Índice de Plasticidad bajos, por lo que el comportamiento no lineal es grande. De manera sistemática en este ejemplo las FTs reducen la frecuencia (incrementan el periodo) y reducen la amplitud con mayor nivel de aceleración, reconociendo el efecto no-lineal típico de las curvas de Gmax con respecto a la deformación unitaria. Este hecho sucede en casos de suelo y de piedemonte, sin embargo, en estos últimos es menos reconocible.

28

En la fig. 17, la función de mayor amplitud corresponde a una aceleración de 0.05g, que corresponde a cierta combinación de magnitud y distancia. Conforme aumenta la intensidad las amplitudes de las FTs disminuyen sistemáticamente. Además, los picos de las mismas se van corriendo hacia las bajas frecuencias, esto es, un incremento en los periodos fundamentales del depósito. Las figuras siguientes muestran la distribución con la profundidad de los diferentes parámetros dinámicos que hacen parte del modelo de proyecto de referencia.

El fenómeno de las funciones de transferencia se vuelve más relevante a medida que la aceleración aumenta hasta el valor máximo de 0.6g, donde los efectos de la no linealidad llevan las amplitudes de la FT a los niveles más bajos. Asimismo, el desfase de los periodos con respecto a los iniciales también es máximo. En muchos casos para frecuencias muy altas se llega a presentar deamplificación (amplitudes menores que 1); esto quiere decir que la amplitud de las ondas que llegarán a la superficie en los bajos períodos será menores que la incidente en la base del depósito debido al alto amortiguamiento y baja rigidez que exhiben dichos suelos para altas intensidades. Sobre este aspecto pueden existir variaciones adicionales debido a la convergencia del método usado y al empleo de amortiguamiento viscoso adicional al histerético.

F. T. Piedemonte

0

1

2

3

4

5

0.1 1.0 10.0

Frecuencia (Hz)

Am

plit

ud

Amax = 0.05 g

Amax = 0.10 g

Amax = 0.20 g

Amax = 0.40 g

Amax = 0.60 g

F. T. Suelos Blandos

0

1

2

3

4

5

0.1 1.0 10.0

Frecuencia (Hz)

Am

plit

ud

Amax = 0.05 g

Amax = 0.10 g

Amax = 0.20 g

Amax = 0.40 g

Amax = 0.60 g

Figura 17. Funciones de Transferencia de suelos de Piedemonte y de suelos blandos de Bogotá.

Este comportamiento de las Funciones de Transferencia es heredado de forma genética a

las leyes de atenuación que se construyan con ellas de forma directa y así, los espectros de intensidades bajas tendrán una forma diferente a los hechos para intensidad alta, ya que a los primeros corresponderán FTs lineales, mientras que los segundos llevarán FTs degradadas. La fig. 18 muestra una ley de atenuación espectral para una distancia fija de 40 Km. y varias magnitudes, generada con las FTs de suelos mostradas anteriormente para suelos blandos. En la parte izquierda de la fig. 18 se muestran los valores espectrales de la Ley, mientras que la parte derecha muestra los espectros normalizados con respecto a Amax mostrando el efecto de no-linealidad; para el caso de magnitudes bajas los espectros muestran tendencias de sismos sobre roca, pero a medida que se presentan magnitudes mayores existe un cambio gradual de la forma de los espectros hacia condiciones de suelo.

Lo anterior influye directamente sobre la evaluación de la amenaza sísmica y genera un efecto no-lineal fuerte en la estimación de espectros de diferente periodo de retorno. En otras palabras, los espectros para periodos de retorno bajo tendrán tendencias elásticas y con formas de suelo firme, y los espectros de periodo de retorno alto tendrán tendencias de suelo blando. Esto

29

se ha reconocido en estaciones de suelo que ante pequeños eventos muestran espectros de alta frecuencia y que posteriormente presentan formas diferentes conforme al tamaño de cada evento por separado de una forma que se había considerado errática hasta el momento, pero que puede ser explicado a la luz del modelo propuesto.

Ley de atenuación, Suelo, 40 km.

0

100

200

300

400

500

600

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Período (seg.)

Seu

doa

cele

raci

ón(g

al)

M=4.0

M=5.0

M=6.0

M=7.0

M=8.0

Ley de atenuación, Suelo, 40 km.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0Período (seg.)

Seu

doa

cele

raci

ón/A

max

M=4.0

M=5.0

M=6.0

M=7.0

M=8.0

|

Figura 18. Ley de Atenuación espectral en condiciones de depósitos de suelo

Las leyes de atenuación mostradas permiten construir espectros de amenaza uniforme, como se muestran en la fig. 19, para los casos de consideración en piedemonte y suelos en la condición de 475 años de periodo de retorno y 5% de amortiguamiento. En la parte inferior de la fig 19 se observan los respectivos espectros de desplazamiento para cada caso. Para efectos de comparación se observan, además, los espectros de la zona correspondiente en la microzonificación vigente y el resultado de 8 simulaciones de registros asociados al periodo de retorno mediante técnicas de funciones empíricas de Green para cada uno de los casos.

De los espectros de piedemonte se puede concluir que los niveles de las ordenadas espectrales en periodos bajos son, por mucho, superiores a lo propuesto en la legislación actual y que la meseta presentada en este caso es producto de un corte que no corresponde a niveles reales de amenaza presentes en el sitio donde aparece; existe en este caso como comparación, un espectro de sismo real como el de Armenia en la estación Uniquindío y se nota que este tipo de suelos corresponde a condiciones similares en muchas zonas del país, incluyendo la zona 12 de Medellín.

Es decir, de manera paradójica y aunque la naturaleza ya nos ha demostrado que es capaz

de generar estos movimientos, para fines de diseño la amenaza no representa condiciones reales. En la parte baja se muestran los espectros de desplazamiento, los cuales para periodos superiores a 1 segundo presentan sobreestimación sistemática de los desplazamientos espectrales, algo que impacta de forma directa la estimación de las distorsiones de entrepiso o derivas.

30

Espectros de Piedemonte Elásticos

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

Ace

lera

ción

(g'

s)

acun subun

acbi subbi

corral frontallejano Uniquindío

Microz 475 años

Espectros de suelos Elásticos

0.0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

Ace

lera

ción

(g'

s)

Cad1 Cad2Cad3 Cad4Cad5 Cad6Cad7 Cad8475 años Microzon

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Periodo (seg)

Des

pla

zam

ien

to (

cm)

acun subun acbi subbi

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Periodo (seg)

Des

plaz

amie

nto

(cm

)

Cad1 Cad2 Cad3 Cad4

Figura 19. Espectros de aceleración y desplazamiento en piedemonte y suelos blandos de Bogotá

comparados con simulaciones de funciones de Green y espectros de microzonificación.

En el caso de los suelos blandos, la fig. 19 muestra que la microzonificación estipula un nivel de ordenadas espectrales de aceleración aproximado a la tendencia general hasta 1.5 segundos, de allí en adelante la parte plana sobreestima la seudoaceleración apreciablemente teniendo en cuenta las condiciones de resistencia necesaria para edificaciones de periodo largo. El precio de esta consideración se paga por el lado de los desplazamientos espectrales ya que la microzonificación muestra que para edificaciones de 13 pisos (1.5 segundos), en promedio, y mayores, es imposible cumplir con la deriva o distorsión de entrepiso debido a que el espectro de desplazamiento sigue creciendo de manera exponencial, algo que no corresponde con el modelo de amenaza uniforme para los 475 años y las simulaciones de Green, donde se observan tendencias asintóticas que estabilizan el desplazamiento espectral en valores admisibles.

CONSIDERACIONES INELÁSTICAS La reducción de resistencia lateral debido al comportamiento inelástico de la estructura Rµ, está definida como el cociente de la demanda de resistencia lateral elástica entre la demanda de resistencia lateral inelástica asociada a una demanda de ductilidad prescrita.

Para un evento dado y una demanda de ductilidad máxima tolerable, el problema consiste

en calcular la resistencia lateral inelástica vy(µ=µi), que debe tener la estructura para evitar que la demanda de ductilidad µi sea mayor que la prescrita µ. Esto quiere decir que si la estructura tiene menor resistencia la demanda de ductilidad será mayor que la admisible.

31

El diseño sísmico parte de la premisa que los desplazamientos elásticos que se obtendrían con un sistema lineal para la resistencia ve son iguales a los desplazamientos de un sistema con demanda de ductilidad prescrita y resistencia vy, por ello se puede definir la relación entre ve y vy para una demanda de ductilidad como:

veRvyµ = , (39)

donde Rµ, es el factor de reducción de resistencia por demanda de ductilidad. Ha sido práctica también calcular estos factores de reducción para sistemas de un grado de libertad y amortiguamiento preescrito y definirlos como la relación entre la resistencia necesaria para mantener el oscilador en el rango elástico sobre la resistencia necesaria para mantener el oscilador en una demanda de ductilidad prescrita de la forma:

( ,1)( )

( , )v T

R Tv Tµ µ

= , (40)

donde T es el periodo estructural. De este modo, si se conoce Rµ(T); la resistencia necesaria para mantener una demanda de ductilidad preescrita µ, se puede calcular vy mediante la división del espectro elástico por el factor de reducción Rµ(T), esto es:

ay

mSv

Rµ

= (41)

También, es posible calcular el espectro de desplazamientos inelásticos para una demanda

de ductilidad preescrita y espectro de desplazamiento elástico mediante:

( , ) ( ,1)( )

D T D TR T

µµµ

= , (42)

donde, D(T,1) es el espectro de desplazamiento elástico. Desde principios de los años 60’s Newmark y Veletsos reconocieron el efecto no lineal de las estructuras durante sismos intensos de forma cuantitativa; lo anterior se debió a la pregunta de porque las estructuras se mantenían en pie a pesar de haber sido diseñadas para resistir menores demandas a las solicitadas. Desde entonces se reconoce la reducción de los espectros elásticos para obtener las resistencias de diseño que generan una demanda de ductilidad prescrita.

Newmark y Hall (1973) desarrollaron un factor de reducción para sistemas elastoplasticos de un grado de libertad con relaciones de amortiguamiento de 0.5, 1, 2, 3, 5, 7, 10 y 20%, basados en tres sismos y excitaciones en forma de pulso, para demandas de ductilidad µ<10 que tomaron la siguiente forma:

32

1

1 1 1

1 1

1 1

1

1 2

11 max max 1

2 max max

110

2 14 10 4

2 110 4

2 /( );2 1

2 /( )

ev g ea g

ed g ea g

TT

T T TT

T

T TTR

TT T T

T

T T T

TT v a T

donde

T d v

µ

µ

µ

µ

µ

µπφ φ

µ

πφ φ

→ ≤

− → ≤ ≤

− → ≤ ≤=

′→ ≤ ≤

→ ≤ ≤

′= = − =

dgmax, vgmax, agmax son los desplazamientos, velocidades y aceleraciones máximas del suelo y φed=2.73-0.45lnξ, φev=3.38-0.67lnξ y φea=4.38-1.04lnξ, donde ξ es la relación de amortiguamiento con respecto al crítico. Este factor R de forma simplificada es el usado en la Ley 400 de 1997 para el diseño no-lineal de edificaciones.

En el momento del diseño lo que se realiza es el método inverso, que pretende descifrar la

resistencia elástica para una demanda de ductilidad prescrita y condiciones de peligro conocida de la forma:

mS va evy R Rµ µ= = , ……(43)

donde Sa es la ordenada espectral de seudoaceleraciones.

El valor del factor de reducción depende fuertemente de la capacidad de disipación de energía que a su vez depende de la capacidad dúctil.

Los factores de reducción para sistemas elastoplásticos tienen límites impuestos por la dinámica estructural; así, en períodos bajos cuando T→0, Rµ(T)→1. Además, en el caso contrario, cuando T→∝, entonces Rµ(T)→µ para todas las ductilidades y amortiguamientos. Al calcular la relación entre el espectro elástico y cada uno de los espectros de resistencia para cada periodo, es posible, como se muestra en el ejemplo, encontrar los factores de reducción para una demanda de ductilidad de 4. De la fig. 20 se puede comprobar, en el sismo de Armenia y bajo condiciones de suelo, que efectivamente los factores toman valor de 1 en periodos bajos y tienden a la ductilidad prescrita µ en periodos largos. La diferencia con los factores de reducción de Newmark y Hall que son los usados en la NSR98 son apreciables en los periodos intermedios donde la realidad muestra que los factores de reducción son mucho mayores que lo propuesto en el caso de suelos blandos. Desafortunadamente, lo anterior se presenta de forma sistemática y los factores de reducción que se emplean en los reglamentos de construcción actuales de Colombia y otros países se basan en la regla de Newmark y Hall, que solo garantiza precisión en los periodos extremos antes mencionados.

33

Armenia, Altolibare µµµµ=4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Periodo(seg)

Rµµ µµ

µ=4µ=4µ=4µ=4

Newmark y Hall

Figura 20. Comparación de factores de reducción en sismos

Rosas et al (1989) conociendo lo anterior establecieron aproximaciones para calcular el

factor de reducción en periodos característicos en el valle de México. Miranda (1991) amplió lo anterior para cualquier periodo y reconociendo diferentes tipos de suelo y origen de los mismos. Ordaz, Pérez Rocha y Meli (1993), reconocieron que cuando el periodo estructural es igual al periodo del suelo, el factor de reducción se incrementa con respecto al de suelos firmes. Fue identificado, entonces, el efecto de que en ciertos periodos intermedios los valores de Rµ tienden a ser mucho mayores que los propuestos por Newmark y Hall sobretodo en suelos blandos. Por todo lo anterior, Ordaz y Pérez Rocha (1998) desarrollaron factores dependiendo de las condiciones de suelo usando 445 registros de la red acelerografica de Guerrero y analizando sistemas elastoplasticos de amortiguamiento con respecto al crítico de 5% y demandas de ductilidades, µ=1.5, 2, 4 y 8. La expresión propuesta, la cual es independiente de las condiciones de suelo, tiene la siguiente forma:

( )

( )( , ) 1 ( 1)

g

x TR T

xMAX

β µ

µ µµ

= + − , (44)

0.173( ) 0.388( 1)β µ µ= −

El modelo que reconoce la rigidez de postfluencia de las estructuras, αy, para la extensión

al caso bilineal del factor de reducción de Ordaz y Pérez Rocha (1998) tiene la forma: (Gallego, 2000)

( )5

( )( , , ) 1 ( 1) 1 ( 1)

max

0.1730.388( 1) ( 1)5

y

x TR T yy xg

y

µ

βµ α α µ µ α µ

β µ α µ

= + − + − − −

= − +

(45)

donde xgmax es el desplazamiento máximo del terreno (T→∞) para un sismo de magnitud y distancia epicentral conocido. Este puede ser calculado a partir del EAF de desplazamiento y posterior uso de la teoría de vibraciones aleatorias (TVA). Para el caso bilineal se realizaron

34

cálculos sobre 50 registros de terreno blando y 50 registros de terreno firme de sismos de México y Colombia. En la tabla 2 se presenta el valor de la desviación de logaritmos naturales para los diferentes suelos en varias ductilidades y rigideces de postfluencia.

Tabla 2: Desviación del factor de reducción para sistemas bilineales

Suelo firme suelo blando

σσσσ σσσσ

αy µ=2µ=2µ=2µ=2 µ=3µ=3µ=3µ=3 µ=4µ=4µ=4µ=4 µ=2µ=2µ=2µ=2 µ=3µ=3µ=3µ=3 µ=4µ=4µ=4µ=4

0.00 0.21 0.21 0.23 0.21 0.26 0.26

0.10 0.20 0.21 0.22 0.20 0.22 0.17

0.20 0.18 0.22 0.26 0.14 0.16 0.24

0.30 0.16 0.22 0.25 0.16 0.22 0.25

0.50 0.14 0.20 0.21 0.12 0.21 0.32

La aplicación rigurosa de este factor de reducción se muestra en la fig. 21, donde se

observan espectros de resistencia para demanda de ductilidad constante de 2 en registros de suelo del sismo de Armenia. El resultado como se ve muestra una correlación bastante buena para representar las condiciones no-lineales de los espectros de resistencia.

Filandia; 25/01/1999; µµµµ =2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Periodo (seg)

Res

iste

ncia

/m

Registrado

Calculado

Pereira; 25/01/1999; µµµµ =2

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Periodo (seg)

Res

iste

ncia

/m

Registrado

Calculado

Figura 21. Espectros de resistencia para registros de suelo de sismo de Armenia Los factores de reducción de resistencia Rµ calculados adecuadamente en sitios con

efectos de suelo permiten establecer una confiabilidad en los resultados apreciable como se muestra en la fig. 22, donde se observan para los mismos registros de la fig. 21 en estaciones de suelo y roca y para diferentes demandas de ductilidad la forma real de los factores Rµ y lo lejos que se encuentran actualmente de la realidad. Al parecer las mesetas obligadas en los periodos bajos de los espectros de amenaza obedecen a un problema en la estimación real de la capacidad estructural a través de factores de reducción adecuados.

35

R - Estación Filandia CFLAN 25/01/99µ=4µ=4µ=4µ=4

1

10

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Periodo (seg)

Rµµ µµ

R registrado R Código R calculado

R - Estación Pereira CPER2 25/01/99µ=3µ=3µ=3µ=3

1

10

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Periodo (seg)

Rµµ µµ

R registrado R Código R calculado

Figura 22. Espectros de factores de reducción para registros de suelo del sismo de Armenia En todo este proceso, la calibración y corroboración con los datos es indispensable para la

adaptación de estas técnicas al ambiente local. Los espectros de desplazamiento inelástico son perfectamente calculables a partir del procedimiento propuesto para contar con evaluaciones coherentes de deriva y control de la misma. La fig. 22 muestra los espectros de factores de reducción calculados rigurosamente comparados con la aproximación propuesta y con el factor de Newmark y Hall. De esta figura se observan valores mayores a los prescritos normalmente en los periodos intermedios para sismos colombianos en condiciones de suelo.

Aplicando esta misma teoría a los espectros de amenaza uniforme en los sitios de suelos

blandos y de piedemonte es posible estimar los factores de reducción que se observan en la fig. 23. En estos se observa que donde la amenaza es mayor, mayores son los valores de los factores de reducción. En el caso de piedemonte, el factor real es mucho mayor en los periodos bajos que es la zona en donde se presentan más altos valores de ordenadas espectrales tal y como se observa en la fig. 19. Para el caso de los suelos blandos, los factores de reducción presentan estimaciones mayores en los periodos intermedios de las zonas de mayor amenaza en este caso.

Espectros de Piedemonte µµµµ = 3

1.0

10.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Periodo (seg)

Rµµ µµ

acun subun acbilsubbi frontal corrallejano Uniquindío Microzon475 años

Espectros de Suelo µµµµ = 3

1.0

10.0

0.0 1.0 2.0 3.0Periodo (seg)

Rµµ µµ

Cad1 Cad2 Cad3Cad4 Cad5 Cad6Cad7 Cad8 MicrozonTr= 475 años

Figura 23. Espectros de factor de reducción para diferentes tipos de suelo.

36

Si se aplican los factores de reducción evaluados rigurosamente de la fig. 23 a los espectros de amenaza de la fig 19, se obtienen los espectros de resistencia asociados. En la fig. 24 se evaluaron los espectros de resistencia paso a paso para las simulaciones de Green propuestas en ambos casos y se comparan con los espectros de resistencia de microzonificación y con los espectros de resistencia de 475 años de periodo de retorno. En la fig. 24 Se observan los espectros de resistencia para los sitios propuestos con demandas de ductilidad, µ= 2 y una sobrerresistencia nominal de 2 lo que brinda un factor R de código de aproximadamente 4.

Espectros de Piedemonte R=4

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Periodo (seg)

Res

iste

ncia

/m

acun subunacbi subbicorral frontallejano Uniquindío475 años Microzon

Espectros de suelo R=4

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

0.0 1.0 2.0 3.0

Periodo (seg)

Res

iste

ncia

/m

Cad1 Cad2Cad3 Cad4Cad5 Cad6Cad7 Cad8Tr= 475 años Microzon

Figura 24. Espectros de resistencia para sitios de piedemonte y suelos.

El resultado muestra en el caso de piedemonte una envolvente aceptable que es similar a

la de la microzonificación en periodos bajos y menor para periodos mayores de 1 segundo. Lo anterior a pesar de que se partió de un espectro de amenaza uniforme que llegaba hasta 1.5g en el mayor de los casos.

Cuando se analiza el problema para µ=3 los coeficientes básales se reducen hasta 0.2g en

el mayor valor que corresponde a periodos bajos donde no es difícil suministrar dicha resistencia; lo anterior corresponde a dividir por un factor de 8. En el caso de suelos blandos la fig. 24 muestra la sobreestimación de la resistencia constante, y esto, debido a que los factores de reducción funcionan mejor para el caso de suelos más blandos. Para todos los casos, el desplazamiento espectral inelástico es sobreestimado de forma apreciable en las condiciones actuales de diseño con respecto a lo mostrado en este análisis; esto influye negativamente en la estimación adecuada de la distorsión de entrepiso o deriva.

En la fig. 24 los espectros de resistencia para una demanda de ductilidad prescrita son comparados con las respuestas teóricas de modelos propuestos para condiciones de suelo, observándose en todos los casos una correlación aceptable. Esto quiere decir que espectros con altos valores de aceleración como los que se presentan en la realidad pueden ser representados por la amenaza real para diseño ya que existe un comportamiento estructural diferente que resulta favorable en el desempeño estructural. Se advierte, además, que cuanto mayor es la rigidez de postfluencia en los sistemas estructurales, el factor de reducción crece, mayores son las reducciones y por ende las resistencias se reducen aún más. Las rigideces de postfluencias varían entre 3 y 7% y se pueden evaluar a partir de análisis de “Push-Over”.

37

De estas comparaciones se deducen disminuciones dramáticas de los niveles de resistencia admisibles para el diseño, lo que indica que actualmente existe un problema en la evaluación de la capacidad estructural de las edificaciones sobre suelo y que es posible mostrar la amenaza real para el diseño siempre y cuando se tenga buena aproximación de los factores de reducción. Se muestra, como fuertes espectros de amenaza al ser modificados por el factor R consistente, resultan en espectros de resistencia o coeficientes de diseño que funcionan económicamente para diseño. Lo anterior significa que a partir de espectros reales de amenaza sísmica que pueden parecer muy altos, se pueden evaluar espectros de resistencia asociados a demandas de ductilidad constante de forma consistente y sin ambigüedades.

CONCLUSIONES

El procedimiento propuesto y explorado en este trabajo para estimación de amenaza sísmica en el caso colombiano, basado en modelos sismológicos aceptados, es definitivamente más eficiente en el manejo de la información registrada, cuando se utiliza ésta sólo para estimar los parámetros de un modelo físico que señala las variables involucradas y, además, comportamientos muy claros. El modelo igualmente permite un manejo transparente de los efectos locales a través de la inclusión de funciones de transferencia que multiplican el EAF en el basamento rocoso, convirtiéndose en otra función correctora del modelo de ruptura propuesto.

Al ser el EAF del movimiento el objetivo del procedimiento, posibilita, a través de la Teoría de Vibraciones Aleatorias, la estimación de cualquier respuesta, particularmente máximas, del suelo o de las edificaciones: desplazamientos y velocidades máximas del terreno, espectros de respuesta, EAF de la respuesta de una estructura particular descrita a través de su función de transferencia, etc. Esta generalidad evita la estimación de leyes de atenuación para cada respuesta máxima que quiera ser estimada, y hace coherentes todas las respuesta entre si por venir de un mismo modelo basado en los mismos parámetros físicos.

Los espectros de respuesta de amenaza uniforme calculados y discutidos como aplicación

del modelo propuesto son explicables en la mayoría de sus características basados en el modelo propuesto: proceso de ruptura, transmisión de las ondas y atenuación de las mismas. Esta percepción se considera fundamental en el proceso de estimación de amenaza sísmica, plagado de decisiones, en donde no queda otro camino que basarlas en una comprensión detallada del proceso. El modelo propuesto ofrece explicaciones a la mayoría de las particularidades halladas en la respuesta.

Es muy claro de los resultados presentados que los espectros de respuesta de amenaza

uniforme no son invariables en forma como se propone actualmente, sus factores de amplificación, tasas de decaimiento, periodos de amplificación máxima son propios de cada sitio y dependen entre otros, de los procesos que generan estos movimientos, de las distancias a las que se encuentran las fuentes sismogénicas, y por último, de los periodos de retorno seleccionados para estimar estos espectros. Se presenta igualmente un procedimiento coherente para estimación de espectros de demandas de resistencia asociadas a demandas de ductilidades prescritas. En el procedimiento presentado, las

38

reglas de reducción son función de los desplazamientos máximos del terreno, que son estimados a partir de los EAF y la TVA para cada magnitud, distancia, proceso sismogénico y tipo de suelo, lo que convierte la regla para reducción del espectro elástico en otra especie de función de transferencia sobre el espectro de respuesta. Estas reglas de reducción muestran desviaciones sobre los datos mucho menores que las propuestas actualmente en la mayoría de reglamentos para diseño sísmico.

Por último, estas reglas muestran que existe una influencia directa entre los espectros de R y los espectros de respuesta elástica en el sitio, que incluyen obviamente los efectos del suelo local. También, existe variación de la capacidad dúctil con la interacción suelo estructura y con el amortiguamiento estructural. En el caso de los suelos blandos como los de la ciudad de Bogotá el R resulta mucho más favorable para el comportamiento estructural de lo planteado actualmente, lo que sin duda contribuiría a reducir coherentemente los valores de las construcciones actuales en algunas zonas de la ciudad.

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