I triangoli rettangoli - Quia · Del triangolo rettangolo ABC (fig. 3) sappiamo che la misura...

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I triangoli rettangoli

Consideriamo un triangolo ABC, rettangolo in B, e indichiamo con α lamisura dell’angolo acuto in A. Tracciamo una qualsiasi retta parallelaal cateto BC, chiamiamo B ′ e C ′ i punti di intersezione con i prolunga-menti di AB e AC (fig. 1). Otteniamo un triangolo AB ′C ′, in cui l’angolo A è in comune al trian-golo ABC, B ≅ B ′ e C ≅ C ′. I triangoli ABC e AB ′C ′ sono simili per il primo criterio di similitudi-ne, perciò i lati omologhi AC e AC ′, AB e AB ′, BC e BC ′ sono in pro-porzione:

Il valore di ciascun rapporto risulta essere indipendente dalla posizione di C, C ′ purché siano alli-neati con A. Perciò è pienamente giustificata l’associazione di ciascuno dei rapporti considerati allamisura dell’angolo α. In particolare, ritroviamo le definizioni di seno, coseno e tangente che abbia-mo dato nel volume di Algebra:

Gli angoli saranno misurati sia in gradi sessagesimali sia in radianti; laddove non ci siano ambigui-tà, la scrittura α indicherà sia la misura in gradi sessagesimali sia la misura in radianti. Riproduciamo nella tabella 1 i valori di seno, coseno, tangente di alcuni angoli acuti.

Le relazioni che abbiamo riproposto sono anche espresse come teoremi sui triangoli rettangoli. Vale il seguente teorema.

Teorema sui triangoli rettangoli In un triangolo rettangolo:a) un cateto è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto;b) un cateto è uguale all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente;c) un cateto è uguale all’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo.

BCAC

B CAC

ABAC

ABAC

BCAB

B CA

= ′ ′′

= = ′′

= = ′ ′sen cosα α′′

=B

tgα

Figura 1

C

B

C ′

B′A

αBCAC

B CAC

ABAC

ABAC

BCAB

B CAB

= ′ ′′

= ′′

= ′ ′′

1

Angolo in gradi Angolo in radianti sen a cos a tg a

30°

45° 1

60° 312

32

π3

12

12

π4

13

32

12

π6

Tabella 1

2 © 2011 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce2

Facendo ricorso a questo teorema siamo in grado di risolvere qualunque triangolo rettangolo.

1. Il triangolo ABC rappresentato in figura 2, ha il ca-teto AB = 3, rispetto a una prefissata unità di misu-ra, e gli angoli acuti di 45°. Calcolare l’ipotenusa.

Applichiamo il caso b) del teorema enunciato:

AB = AC cos 45° Æ 3 = AC

AC = Abbiamo così ritrovato la ben nota relazione tra lato ediagonale del quadrato (ABC è la metà di un quadrato).Talvolta, anziché il valore di uno degli angoli acuti di un triangolo, è assegnata una del-le funzioni, come nel prossimo esempio.

2. Del triangolo rettangolo ABC (fig. 3) sappiamo chela misura dell’ipotenusa AC, rispetto a una prefissa-

ta unità di misura, è 13 e che Calco-lare le misure dei cateti.

Applicando il teorema sui triangoli rettangoli, casoa), otteniamo la misura del cateto BC:

Il cateto AB può essere immediatamente ricavato con il teorema di Pitagora e vale:AB = 12.

3. Il triangolo rettangolo ABC, rappresentato in figura4, ha il cateto AB di misura 8, rispetto a una prefissa-

ta unità di misura, e l’angolo α tale che Calcolare i lati del triangolo. Applicando il teorema sui triangoli rettangoli, caso c),otteniamo:

Per il teorema di Pitagora l’ipotenusa AC ha misura10, terzo elemento della terna pitagorica 6, 8, 10.

4. Una scala a pioli è alta 2 m. A che altezza arriva seviene appoggiata a un muro inclinata di 70° rispettoal piano orizzontale?

In figura 5 sono rappresentate schematicamente lascala AB e il muro a cui è appoggiata; la misura delcateto HB esprime l’altezza a cui arriva la scala. Applicando il teorema sui triangoli rettangoli, casoa), otteniamo:

HB = AB sen 70°

BC AB= = ⋅ =tgα 8 34

6

tgα = 34

.

BC AC= = ⋅ =sen A 5 513

5

sen A = 513

.

3 2

12

ESEMPI

C

BA

13

90°

Figura 3

C

BA

45°

Figura 2

C

BAα

8Figura 4

H

B

A

70°

2

Figura 5

3 © 2011 RCS Libri S.p.A., ETAS - Andreini, Manara, Prestipino, Saporiti - Matematica Controluce

Poiché l’angolo di 70° non corrisponde ad alcuno dei valori notevoli presenti nella ta-bella 1, calcoliamo sen 70° con la calcolatrice scientifica e trascriviamo il risultato ap-prossimato alla seconda cifra decimale: sen 70° ≈ 0,93. Dunque:

HB ≈ 2 m ⋅ 0,93 = 1,86 m

1. Un angolo acuto può avere seno maggiore di 1? E coseno? Perché? tra loro? [�S]

2. Verifica che

3. Verifica che (sen 60°)2 + (cos 60°)2 = 1.

Funzioni di angoli maggiori dell’angolo retto

Come abbiamo visto nel volume di Algebra, per calcolare le funzioni di angoli che superano l’an-golo retto è necessario inserire un sistema di riferimento cartesiano. Il vertice dell’angolo è sempreposto nell’origine degli assi O e il primo lato giace sul semiasse delle ascisse positive, come in fi-gura 6.

Possiamo pensare di aver descritto l’angolo α facendo ruotare lasemiretta r in senso antiorario a partire dalla posizione iniziale chela vede sovrapposta al semiasse delle ascisse positive.

OsservazioneIn un piano dotato di un sistema di riferimento cartesiano:

a qualunque segmento non degenere può essere associatala misura assoluta espressa da un numero positivo (cap. 8); ai segmenti situati sugli assi cartesiani, o ad essi paralleli,può essere associata anche una misura con segno, positi-vo se il segmento è descritto nel verso in cui è orientatol’asse, negativo in caso opposto.

Nel seguito della nostra trattazione avremo a che fare consegmenti di origine O, come il segmento OP di figura 7.Tracceremo le proiezioni di P sugli assi cartesiani e consi-dereremo i segmenti OH e OK:OP ha misura assoluta; OH ha misura con segno negativa;OK ha misura con segno positiva.

2

tgsencos

303030

∞ ∞∞

= .

Mettiti alla prova 1

xO

yr

α

▲Figura 6

xO

y

H

P K

Figura 7


Consideriamo un angolo ottuso α.

Indicato con P2 un punto sul secondo lato dell’angolo, sia H2 la sua proiezione sull’asse delle ascis-se (fig. 8):OP2 ha misura assoluta;OH2 ha misura con segno negativa, essendo orientato in ver-so opposto all’asse x;H2P2 ha misura con segno positiva, essendo orientato comel’asse y. Pertanto:

è un numero positivo

è un numero negativo

è un numero negativo

Si giustifica così quello che possiamo verificare anche con una calcolatrice scientifica: il seno diun angolo che varia tra 90 e 180 è positivo, mentre il coseno e la tangente dello stesso angolo risul-tano negativi.

Che cosa accade se superiamo l’angolo piatto?

Consideriamo un angolo β tale che 180° < β < 270°.Il primo lato dell’angolo β è sempre sul semiasse delle ascis-se positive, mentre il secondo lato è nel 3° quadrante (fig. 9).Proiettiamo un suo punto P3 sull’asse x in H3 e consideriamoil triangolo OH3P3; come si vede in figura 9, entrambi i cate-ti sono orientati in verso opposto a uno degli assi cartesiani,pertanto sia OH3 sia H3P3 sono negativi.

Dunque:

è negativo è negativo è positiva

Infine consideriamo un angolo γ tale che 270° < γ < 360° (fig. 10). Proiettando il punto P4 sull’asse x in H4 otteniamo il triangolo rettangolo OH4P4 che ha il catetoOH4 orientato come l’asse x e il cateto H4P4 orientato in verso opposto all’asse y. Pertanto:

è negativo

è positivo

è negativatg γ =H P

OH4 4

4

cos γ =OH

OP4

4

sen γ =H P

OP4 4

4

tgβ =H P

OH3 3

3

cosβ =OH

OP3

3

senβ =H P

OP3 3

3

tgα =H P

OH2 2

2

cos α =OH

OP2

2

sen α =H P

OP2 2

2

xO

y

H2

P2

α

Figura 8

xO

y

H3

P3

β

Figura 9

xO

y

H4

P4

γ

Figura 10


1. Calcolare sen150°, cos150°.

Rappresentiamo in un sistema cartesiano l’angolo di 150° (fig. 11), indichiamo con Pun punto qualunque sul secondo lato dell’angolo e con H la proiezione di P sull’asse x. Il triangolo OHP è rettangolo in H e ha un angolo di 30°; perciò è la metà di un trian-golo equilatero di lato OP e altezza HO.

2. È assegnato un angolo α che ha misura in radianti

Calcolare

Ricordiamo che i radianti sono un’unità di misuradegli angoli che abbiamo introdotto al capitolo 8. Osservando che disegniamo il se-condo lato dell’angolo e proiettiamo un suo puntoP sull’asse x. Otteniamo così un triangolo rettangolo OHP che è lametà del quadrato OHPK rappresentato in figura 12.I cateti del triangolo OHP sono congruenti e hannoentrambi misura negativa, perciò:

1. Calcola:a)

b) [�S]

2. Confronta il valore di tg 120° con il rapporto ; quali considerazioni suggerisce il ri-sultato ottenuto?

Prime proprietà delle funzioni goniometriche

Abbiamo ricondotto il calcolo di seno, coseno e tangente di angoli maggiori dell’angolo retto alrapporto tra cateti e ipotenusa di un opportuno triangolo rettangolo. Presentiamo ora le proprietà fondamentali delle funzioni goniometriche.

3

sencos

120120

∞∞

sen cos tg120 120 120∞ ∞ ∞, ,

sen cos tg53

53

53

π π π, ,


tg 54

1π = =HPOH

54 4

π π π= + ,

tg 54

π.

54

π.

cos150 23

32

∞ = =−

= −OHOP

OP

OP

sen150 2 12

∞ = = =HPOP

OP

OP

ESEMPI

xO

y

H

P K

π + –π4

Figura 12

xO

y

H

P

30°150°

Figura 11


Alcuni valori notevoli

a = 0° Il secondo lato dell’angolo è sul semiasse delle ascisse positive, la proiezione di qualun-que suo punto P sull’asse x cade in H ∫ P.Come si vede in figura 13, HOP = 0°, HP = 0, OH = OP;di conseguenza:

a = 90° Il secondo lato dell’angolo è sul semiasse delle ordinatepositive, la proiezione di un qualunque suo punto P cadenel vertice O dell’angolo (fig. 14).

Si ottengono i valori:sen 90° = 1cos 90° = 0tg 90° non può essere calcolata perché il rapporto ha il denominatore uguale a zero.

a = 180° Il secondo lato dell’angolo è sul semiasse delle ascisse ne-gative, abbiamo ottenuto un angolo piatto (fig. 15):OP è sempre positivo perché non è un segmento orientato;OH è un segmento orientato in verso opposto all’asse x,perciò ha misura negativa.

Si ottengono allora i valori:sen 180° = 0 cos 180° = −1tg 180° = 0

a = 270° Il secondo lato dell’angolo è sul semiasse delle ordinate negative e la proiezione di unqualunque suo punto cade in O (fig. 16). Riguardo alle misure dei segmenti OP e HP vale una considerazione analoga a quellafatta nel caso dell’angolo piatto:OP ha misura positiva;HP ha misura negativa perché è orientato in verso oppostoall’asse y.

Procedendo nel calcolo si ottengono i valori:sen 270° = −1 cos 270° = 0 tg 270° non si può calcolare

Figura 16

x

y

P

H ≡ O270°

Figura 15

xO

y

180°

H ≡ P

Figura 14

HPOH

x

y

H ≡ O

90°

P

Figura 13

xO

y

H ≡ P

tg0 0∞ = =HPOH

cos0 1∞ = =OHOP

sen 0 0∞ = =HPOP


a = 360° Il secondo lato dell’angolo ha fatto un giro completo, è cosìritornato alla posizione iniziale, come si vede in figura 17.

Perciò valgono le uguaglianze:sen 360° = sen 0° = 0 cos 360° = cos 0° = 1 tg 360° = 0

Riassumiamo nella tabella 2 i valori delle funzioni calcolate e accompagniamo la misurain radianti degli angoli a quella in gradi.

Limitatezza

Quali valori possono assumere il seno e il coseno di un angolo? Se riguardiamo i valori raccolti nella tabella 1, quelli ottenuti negli esempi e i valori notevoli su cuici siamo appena soffermati, riconosciamo che sia per il seno sia per il coseno di un angolo non ab-biamo mai ottenuto valori maggiori di 1 e minori di –1. Infatti, sia la definizione di seno sia quelladi coseno fanno calcolare il rapporto tra un cateto e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo; pertanto,poiché sappiamo che in tali triangoli l’ipotenusa è il lato maggiore, valgono le disuguaglianze:

−1 £ sen α £ 1 e −1 £ cos α £ 1

Quali valori può assumere la tangente di un angolo? Riguardo a tg α, si dimostra invece che non è soggetta a limitazioni, pertanto può assumere qualun-que valore reale.

Identità fondamentale o prima identità

Considerato un angolo di ampiezza arbitraria, come nelle figure 18.a e 18.b, indichiamo con P unpunto sul secondo lato dell’angolo e lo proiettiamo in H sull’asse x.

x

y

P

O H

Figura 18.b

x

y

P

O

α

H

Figura 18.a

x

y

PH ≡ O360°

Figura 17

Angolo in gradi Angolo in radianti sen a cos a tg a

0° 0 0 1 0

90° 1 0 non esiste

180° π 0 –1 0

270° –1 0 non esiste

360° 2π 0 1 0

32

π

π2

Tabella 2


Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo OHP:

HP 2 + OH 2 = OP 2 [1]

Dividiamo primo e secondo membro della [1] per OP2:

In tale uguaglianza riconosciamo:

OsservazioneÈ consuetudine alleggerire la scrittura dell’identità fondamentale adottando la seguente con-venzione: nella scrittura di (sen α)2 si omette la parentesi e per indicare che l’esponente 2 nonè attribuito all’angolo ma al seno dell’angolo lo si scrive tra sen e α, così: sen2 α. Adottandouna scrittura analoga anche per il coseno si esprime l’identità fondamentale nella forma:

sen2 α + cos2 α = 1

e si legge “seno al quadrato di alfa più coseno al quadrato di alfa uguale a uno” o, più spedi-tamente, “sen quadro alfa più cos quadro alfa uguale a uno”.

Seconda identità I valori di seno, coseno e tangente di un angolo non sono indipendenti l’uno dall’altro, purché latangente possa essere calcolata. Esploriamo questo legame.Riferendoci ancora alla figura 18, in cui α è diverso sia da 90° sia da 270°, scriviamo:

dividiamo numeratore e denominatore per OP

La relazione

è nota come seconda identità e vale se α π 90°, α π 270°

1. Di un angolo acuto a si sa che Calcolare cos α e tg α.

Nell’identità fondamentale sen2 α + cos2 α = 1 sostituiamo a sen α il valore noto, cosìotteniamo:

Æ

L’equazione di secondo grado ha due radici ± , ma una sola è accettabile.

Poiché il coseno di un angolo acuto è positivo, allora cos α = 25

25

45

2 =cos α15

12+ =cos α

sen α 15

.

tgsencos

α αα

=

= =HPOPOHOP

sencos

αα

tgα = =HPOH

(sen α)2 + (cos α)2 = 1

HPOP

OHOP

OPOP

⎛⎝

⎞⎠ + ⎛

⎝⎞⎠ = ⎛

⎝⎞⎠

2 2 2

→

→

ESEMPI


Per calcolare la tangente applichiamo la seconda identità:

2. Dell’angolo α rappresentato in figura 19 si sa che Calcolare sen α e tg α.

Applichiamo ancora l’identità fondamentale e sostituiamo a cos α il valore noto:

Æ

L’equazione di secondo grado ha due radici

Per decidere quale delle due è accettabile guardiamo lafigura 19, in cui si vede che il segmento HP è orientatoin verso opposto all’asse y.Pertanto il seno dell’angolo α è negativo e vale:

Per calcolare il valore della tangente basta applicare laseconda identità:

Dalle relazioni tra gli angoli alle relazioni tra le funzioni

Alcune simmetrie ci guideranno nella scoperta della relazio-ne tra le funzioni di alcuni angoli. In questo paragrafo misu-reremo sempre gli angoli in radianti perché è bene conoscerele relazioni che introdurremo nella loro forma definitiva. I primi angoli che prendiamo in considerazione sono gli an-goli associati. Ricordando che la misura in radianti dell’angolo piatto è π eche quella dell’angolo giro è 2π, rappresentiamo in figura 20,gli angoli:

β supplementare di α, β = π − αγ, che differisce da α per un angolo piatto, γ = π + αδ esplementare di α, δ = 2π − α

Tali angoli sono detti angoli associati a a.

Angoli supplementari Dalla costruzione si deduce che OP e OP1 sono simmetrici rispetto all’asse y, perciò i punti H, Ksono equidistanti da O; tenendo conto dei versi dei segmenti valgono le relazioni HP = KP1 eOK = − OH. Di conseguenza:

sen sen senβ π α α= − = = =( )KP

OPHPOP

2

1

4

tgsencos

α αα

= = − ⋅ = −513

1312

512

sen α = − 513

± 513

.

sen2 25169

α =sen2 144169

1α + =

cos α = 1213

.

tgsencos

α αα

= = = ⋅ =

15

25

15

52

12

x

y

P

O H

α

Figura 19

xα

β

γ

δ

y

P

P1 P

2

K O H

P3

Figura 20


In modo analogo, guardando la figura 20, si ricavano le seguenti altre relazioni.

Angoli che differiscono per un angolo piatto sen (π + α) = − sen αcos (π + α) = − cos αtg (π + α) = tg α

Angoli esplementari sen (2π − α) = − sen αcos (2π − α) = cos αtg (2π − α) = − tg α

Negli esempi che seguono calcoleremo le funzioni di angoli assegnati, riconoscendoli co-me associati a un angolo acuto.

1.

2.

3. In figura 21 è rappresentato un angolo acuto α di cui si sa che Calcoliamo il coseno e il seno del sup-

plementare di α.

Come abbiamo visto, noto il coseno di un angolo, se necalcola il seno applicando l’identità fondamentale:

Sostituiamo il valore noto ottenendo:

L’equazione di secondo grado ha due radici: ma è accettabile

solo quella positiva perché stiamo calcolando il seno di un angolo ottuso.

è il valore cercato. sen( )π α− = 45

± 45

,sen2 1625

( )π α− =

sen2 925

1( )π α− + =

− 35

sen cos2 2 1( ) ( )π α π α− + − =

cos cos( )π α α− = − = − 35

cos α = 35

.

tg 116

tg tg6

π π π π= −⎛⎝

⎞⎠ = − = −2

613

cos 43

cos cos3

π π π π= +⎛⎝

⎞⎠ = − = −

312

sen 43

sen sen3

π π π π= +⎛⎝

⎞⎠ = − = −

33

2

tg tgsencos

sencos

tgβ π α ββ

αα

α= − = =−

= −( )

cos cos cosβ π α α= − = = − = −( ) OKOP

OHOP

1

ESEMPI

x

y

Oα

π – a

Figura 21


Angoli complementari Due angoli α, β sono complementari se la loro somma è un angolo retto:

Disponiamo gli angoli in un sistema di assi

cartesiani con il primo lato di entrambi gli angoli sul semias-se delle ascisse positive (fig. 22); a, b sono le semirette delsecondo lato, rispettivamente, di α e β.

Indicati con P, P ′ due punti di a e b equidistanti da O, proiet-tiamo P sull’asse x e P ′ sull’asse y in H, K, rispettivamente. Itriangoli POH e P ′OK sono congruenti per il 2° criterio dicongruenza, perché sono rettangoli, hanno l’ipotenusa con-gruente e gli angoli α e ● congruenti perché differenza di an-goli congruenti. Pertanto, tra i cateti sussistono le relazioni:

KP ′ ≅ HP e OK ≅ OH

Consideriamo le funzioni dell’angolo

Angoli che differiscono di un angolo retto In figura 23 rappresentiamo gli angoli

Non conduciamo la dimostrazione per esteso, facciamo solonotare che i cateti KP ′ e HP sono congruenti ma hanno misu-re di segno opposto. Da questa osservazione e dalla con-gruenza dei triangoli OHP e OKP ′ si ricava:

1. Riportare all’angolo α l’espressione:

Esprimerla in modo che contenga solo la funzione coseno.

Sostituendo le relazioni tra angoli e funzioni ricaviamo l’espressione:

Applichiamo l’identità fondamentale:

− sen2 α + cos α = − (1 − cos2 α) + cos α = −1 + cos2 α + cos α

= − +sen cosα α2

sen cos cos sen sen( ) ( ) ( )π α π α π α α α− ⋅ +⎛⎝

⎞⎠ + − = ⋅ −

22 ++ =cos α

sen cos cos( ) ( ).π α π α π α− ⋅ +⎛⎝

⎞⎠ + −

22

tgtg

π αα2

1+⎛⎝

⎞⎠ = −

cos senπ α α2

+⎛⎝

⎞⎠ = −

sen cosπ α α2

+⎛⎝

⎞⎠ =

α β π αe = +2

tgsen

cos

cossen

π α

π α

π α

αα2

2

2

−⎛⎝

⎞⎠ =

−⎛⎝

⎞⎠

−⎛⎝

⎞⎠

= = 11tgα

cos senπ α α2

−⎛⎝

⎞⎠ = ′

′= =KP

OPHPOP

sen cosπ α α2

−⎛⎝

⎞⎠ =

′= =OK

OPOHOP

β π α= −2

:

α β π αe = −2

α β π+ =2

xα

β

y

P′

P

K

O H

a

b

Figura 22

xα

β

y

P′

P

K

O H

a

b

Figura 23

ESEMPI


2. α è un angolo acuto tale che Calcolare il seno, il coseno e la tangente del-l’angolo β complementare di α.

Applicando l’identità fondamentale otteniamo:

perciò

Le relazioni sugli angoli complementari danno:

Applicando la seconda identità calcoliamo

3. È dato il triangolo rettangolo AB, i cui cateti sono AB = 9 e BC = 6 (fig. 24). Calcolarela tangente dell’angolo formato dalla semiretta r e dal lato AB del triangolo.

È richiesto il calcolo di

Le relazioni sui triangoli rettangoli danno:

Perciò:

Teoremi fondamentali

La geometria gioca un ruolo fondamentale nella definizione delle funzioni trigonometriche e, a suavolta, acquista un nuovo strumento di indagine; si arricchisce così di nuove relazioni tra angoli esegmenti. In questo volume impariamo a risolvere un triangolo in casi più generali di quelli sin quistudiati. All’inizio del nostro studio abbiamo detto che per definire un triangolo è sufficiente asse-gnare tre elementi, dei quali almeno uno sia un lato. Risolvere il triangolo significa determinare glielementi mancanti. Oltre alla risoluzione dei triangoli rettangoli, come abbiamo visto nei precedenti paragrafi, sappia-mo risolvere anche triangoli di altro tipo se si presentano particolari condizioni. Consideriamo, per esempio, il triangolo isoscele ABC di base BC, rappresentato in figura 25. Sono dati: il lato obliquo AB, che ha misura 10 rispetto a un’assegnata unità di misura,

e .

Se tracciamo l’altezza AH otteniamo un triangolo rettangolo ABH acui applichiamo il teorema sui triangoli rettangoli, calcolando cosìmetà base:

BH AB A C= ⋅ = ⋅ =cos B 10 35

6

A C =cos B 35

5

tgtg

π αα2

1 32

+⎛⎝

⎞⎠ = − = −

tgα = =69

23

tgtg

π αα2

1+⎛⎝

⎞⎠ = −

tgsencos

β ββ

= = =

15

25

12

cos senβ α= = 25

senβ = 15

.cos senα α= − = − ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=1 1 25

15

22

sen sen cosβ π α α= −⎛⎝

⎞⎠ =

2

sen α = 25

.

αA B

C

9

r

6

Figura 24

β

A

B H C

10

Figura 25


Calcoliamo ora la base: BC = 2BH = 12. Abbiamo così determinato tutti i lati del triangolo.

Per determinare l’angolo al vertice ci serviamo della calcolatrice. Indicato con β l’angolo alla base, calcoliamo il suo valore approssimato in gradi sessagesimali conuna calcolatrice scientifica. Dopo aver controllato che la calcolatrice sia disposta su D, in modo da misurare gli angoli in gradi

sessadecimali, digitiamo SHIFT (o INV) cos (l’ordine in cui digitare può differire da calcolatrice

a calcolatrice) e otteniamo come risultato 53,130...°, che è la misura sessadecimale dell’angolo allabase β. Infine calcoliamo l’angolo al vertice α = 180° − 2β = 180° − 2 ⋅ 53,130° = 73,74°. Passia-mo ora alla misura in gradi sessagesimali (digitare ° ′ ′′): α = 73°44′.

Risalire dal coseno all’angolo vuol dire invertire la funzione coseno.

Il triangolo risolto è isoscele, ma siamo in grado di risolvere triangoli qualsiasi, comunque si presen-tino?

Rispondono al problema alcuni importanti teoremi di questo ramo della matematica detto trigono-metria.Partiamo da un teorema che, sotto opportune ipotesi, consente di risolvere un triangolo genericosuddividendolo in due triangoli rettangoli a cui applicare il teorema di Pitagora.

Teorema 139 (Teorema di Carnot) In un triangolo ABC, dati due lati b, c e l’angolo αtra essi compreso, per il terzo lato a vale:

a2 = b2 + c2 – 2bc ⋅ cos α

In figura 26 sono rappresentati due possibili triangoli che soddisfano le ipotesi del teore-ma, in uno l’angolo α è acuto (fig. 26.a) mentre nell’altro è ottuso (fig. 26.b). Condurre-mo la dimostrazione solo del caso a), lasciando la dimostrazione del caso b) comeesercizio.

Dimostrazionea è un angolo acutoPer dimostrare il teorema tracciamo l’altezza CH. Il triangolo ABC viene diviso in due triangoli ret-tangoli e il lato incognito BC è ipotenusa del triangolo CHB: se riusciamo a calcolarne i cateti ap-plichiamo il teorema di Pitagora e il gioco è fatto.

CH = b ⋅ sen α per il teorema sui triangoli rettangoliHB = AB − AH = c − b ⋅ cos α ancora per il teorema sui triangoli rettangoli

Figura 26.bFigura 26.a

π – α

C ′

A′H′ B′α

A BH

C

b

c

35


Ora applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo CHB indicando con a la misura dell’ipotenusa:

a2 = (b ⋅ sen α)2 + (c − b ⋅ cos α)2 = b2sen2α + c2 – 2bc ⋅ cos α + b2cos2α = = b2 (sen2α + cos2α) + c2 – 2bc ⋅ cos α

Ricordando l’identità fondamentale sen2α + cos2α = 1 otteniamo:

a2 = b2 + c2 − 2bc ⋅ cos α

Osservazioni

1. Nel caso in cui sia la tesi del teorema di Carnot si riduce al teorema di Pitagora.

Infatti: Æ a2 = b2 + c2 − 2bc ⋅ 0 = b2 + c2

È spontaneo chiedersi come mai abbiamo dimostrato il teorema di Pitagora se lo si ritrovaanche come caso particolare del teorema di Carnot. Un esame della dimostrazione del teore-ma di Carnot suggerisce immediatamente la risposta: nel corso della dimostrazione siamo ri-corsi più volte al teorema di Pitagora!

2. Illustriamo con una figura la tesi del teorema di Carnot. Rappresentiamo una semicirconferenza γ che ha diametroBC = a. Preso un punto A su γ, disegniamo il triangolo ABC (fig. 27).ABC è un triangolo rettangolo di ipotenusa BC e vale la re-lazione pitagorica a2 = b2 + c2.

Che cosa accade se prendiamo un punto A1 esterno al se-micerchio e disegniamo il triangolo A1BC? Disegniamo A1 sulla perpendicolare al diametro passanteper A (fig. 28).A1BC è un triangolo acutangolo. Confrontiamo i suoi lati con quelli di ABC:

c < c1 e b < b1

pertanto:

a2 = b2 + c2 < b12 + c1

2

coerentemente, nella relazione che esprime il teorema di Carnot per il triangolo A1BC, è pre-sente una differenza che coinvolge l’angolo α1 opposto al lato a:

a2 = b12 + c1

2 − 2 b1c1 ⋅ cos α1

E se prendiamo un punto A2 interno al semicerchio?

Per agevolare il confronto lo disegniamo allineato con A e A1, non per questo le considera-zioni che faremo perdono generalità.

cos = =π2

0

α π=2

BC CH HB2 2 2

= +

γ A

B a C

c b

Figura 27

γ A

B a C

c b

A1

b1

a1

c1

Figura 28


A2BC è ottusangolo (fig. 29); confrontando i suoi lati conquelli di ABC abbiamo:

c > c2 e b > b2pertanto

a2 = b2 + c2 > b22 + c2

2 [1]

La relazione che esprime il teorema di Carnot è:

a2 = b22 + c2

2 − 2 b2c2 ⋅ cos α 2

che, a prima vista, sembra non essere coerente con la disuguaglianza [1]. È solo un’appa-renza perché α2 è un angolo ottuso e cos α 2 < 0, perciò:

− 2 b2c2 ⋅ cos α 2 > 0

Al secondo teorema relativo ai lati di un triangolo fa da premessaun teorema sulla corda di una circonferenza, detto teorema dellacorda. Ricordiamo la relazione che sussiste tra gli angoli alla circonferen-za che sottendono la stessa corda rappresentati in figura 30.

α ≅ α′ perché insistono sullo stesso arcoβ ≅ π − α perché insistono su archi esplementari

Essendo α e β supplementari sussiste la relazione:

sen α = sen βIn sintesi:

Angoli alla circonferenza che sottendono la stessa corda sono congruenti o supplementa-ri, quindi hanno tutti lo stesso seno.

Teorema 140 (Teorema della corda) La corda di una circonferenza di raggio r ha mi-sura pari al prodotto del diametro per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonfe-renza che sottendono la corda.

DimostrazioneA partire da uno degli estremi della corda AB tracciamo undiametro AC (fig. 31); il triangolo ABC è rettangolo in B per-ché inscritto in una semicirconferenza. Indicato con γ l’angoloalla circonferenza ACB, applichiamo il teorema dei triangolirettangoli:

AB = AC sen γ Æ AB = 2r sen γGrazie alla proprietà appena ricordata, di cui godono gli angolialla circonferenza che sottendono la stessa corda, abbiamo dimo-strato la tesi del teorema.

Veniamo ora al teorema che mette in relazione i lati di un triangoli con i seni degli angoli ad essiopposti.

γ A

B a C

c b

A1

b1

b2

a1

c1

c2a2

A2

Figura 29

α

β

α′

A

B

O

C

D

C ′Figura 30

Figura 31

γ

A

B

O

C

2r


Teorema 141 (Teorema dei seni) In un triangolo il rapporto tra un lato e il seno del-l’angolo a esso opposto è costante, ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta.

Riferendoci alla figura 32, scriviamo in modo simbolico la tesi:

DimostrazioneLa dimostrazione è un’immediata applicazione del teorema della cor-da, visto che ogni triangolo è inscrittibile in una circonferenza. Se disegniamo la circonferenza circoscritta al triangolo ABC, come infigura 33, abbiamo una nuova prospettiva sui lati del triangolo che oraappaiono come corde di una stessa circonferenza.

Indicato con r è il raggio della circonferenza circoscritta al triango-lo, e con O il suo centro, applichiamo il teorema della corda a cia-scun lato:

a = 2r ⋅ sen αb = 2r ⋅ sen βc = 2r ⋅ sen γ

seguono i rapporti:

Dimostra il teorema di Carnot nel caso dell’angolo ottuso. [�S]

1. I lati di un triangolo ABC hanno, rispetto a una prefissata unità di misura, le seguentimisure: AB = 2, AC = 3 e BC = Risolvere il triangolo.

I tre segmenti assegnati soddisfano la disuguaglianza triangolare, come si può facil-mente verificare. Per il terzo criterio di congruenza definiscono un unico triangolo. Per risolvere il triangolo restano da determinare solo gli angoli. Indicato con α l’angolo di vertice A (fig. 34), applichiamo altriangolo ABC il teorema di Carnot:

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2AB ⋅ AC ⋅ cos α

Sostituendo i valori noti otteniamo:

Æ

Ricordando i valori notevoli raccolti nella tabella 1 e che l’ango-lo interno di un triangolo è minore di 180°, scriviamo: α = 60°

12

=cos α7 4 9 2 2 3= + − ⋅ ⋅ ⋅ cos α

7.


a b c rsen sen senα β γ

= = = 2


= = = 2

Figura 32

Figura 33

A B

3

C

2

α β

γ

7

Figura 34

ESEMPI

γ

A

B

C

β

αa

b

c

γ

A

B

O

C

β

αa

b

c


Ricaviamo anche l’angolo β applicando il teorema di Carnot:

AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2AB ⋅ BC ⋅ cos β

Sostituiamo i valori noti:

Æ

Questo non è un valore notevole, perciò calcoliamo il valore di β, approssimato ai pri-mi, con la calcolatrice: β ≈ 79° 6′.Per differenza calcoliamo: γ = 180° − (α + β) ≈ 40° 54′

2. Una circonferenza γ ha raggio r = 10 cm. Calcolare la mi-sura della corda AB sottesa da un angolo α = 40°. In figura 35 è rappresentata una corda AB sottesa da un an-golo di 40°. Applichiamo il teorema della corda:

AB = 2 ⋅ 10 cm ⋅ sen 40° ≈≈ 20 cm ⋅ 0,64 = 12,8 cm

3. Data una circonferenza γ di raggio r, tutte le corde che sono sottese da angoli alla cir-conferenza di 60° o di 120° hanno misura

In figura 36 sono rappresentate una circonferenza γ di raggio r e una corda AB sottesada un angolo alla circonferenza α di 60°. Gli angoli ottusi che sottendono la corda ABsono i supplementari di α, quindi misurano 120°. Se applichiamo il teorema della cor-da otteniamo:

Consideriamo, in particolare, il triangolo isoscele ABCdi base AB, inscritto nella circonferenza γ (fig. 36). Nonsolo l’angolo di vertice C misura 60°, ma anche gli an-goli alla base, perciò ABC è un triangolo equilatero in-scritto in γ. Abbiamo ritrovato un risultato già ottenutoper via geometrica: tutti i triangoli equilateri inscritti inuna circonferenza di raggio r hanno lato di misura

4. Un triangolo ABC ha i lati BC = 4, AC = 3 rispetto a una prefissata unità di misura, el’angolo ABC = 30°. Risolvere il triangolo.

Per costruire il triangolo disegniamo un segmento BC di mi-sura 4 e una semiretta r che ha origine in B e forma un an-golo di 30° con BC. Il terzo vertice del triangolo deve averedistanza 3 da C, e deve essere situato sulla semiretta r. Lootteniamo come punto di intersezione tra r e la circonferen-za che ha centro in C e raggio 3. Come si vede in figura 37,i punti di intersezione sono due, perciò sono due i triangoliche soddisfano le condizioni assegnate.

Veniamo ora al calcolo delle misure del terzo lato e dei rimanenti due angoli.

r 3.

AB r r r r2 60 2 120 2 32

3= = = =sen sen∞ ∞

r 3.

cosβ == 12 7

9 4 7 2 2 7= + − ⋅ ⋅ ⋅ cosβ

A

B

O

40°

C Figura 35

B C

3

4

3r

A2

A1

30°

Figura 37

120°

60°

60°B

A

C

γ

Figura 36


Visto che l’angolo assegnato è opposto a uno dei lati di misura nota, applichiamo il teo-rema dei seni, indicando con α l’angolo opposto a BC:

Æ Æ

Con la calcolatrice scientifica calcoliamo l’angolo α che ha seno uguale a otteniamo:

α ≈ 41,81° ≈ 41°48 ′che corrisponde all’angolo acuto di vertice A1 disegnato in figura 37.Questo è l’unico risultato che dà la calcolatrice, per ottenere anche l’altro angolo che ha seno uguale a ricordiamo che due angoli supplementari hanno lo stesso seno; ab-biamo così:

α′ ≈ 180° − 41,81° ≈ 138,18° ≈ 138°11′è questo l’angolo di vertice A2.Attraverso l’applicazione del teorema dei seni e delle relazioni tra angoli e rispettivoseno, ritroviamo il risultato ottenuto mediante la costruzione: sono due i triangoli chesoddisfano le condizioni assegnate!La misura del terzo angolo di ciascuno dei due triangoli si ottiene per differenza dallasomma degli angoli interni di un triangolo:

γ ≈ 180° − (41,81° + 30°) ≈ 108°11′γ ′ ≈ 180° − (138,18° + 30°) ≈ 11°49′

Infine ricaviamo il terzo lato di ciascuno dei due triangoli applicando il teorema deiseni:

Æ Æ

Per l’altro triangolo:

Æ Æ A B2

1 2≈ ,A B

2

0 20312

=,

A B A C2 2

30sen sen′=

γ ∞

A B1

5 7≈ ,A B

1

0 95312

=,

A B A C1 1

30sen senγ=

∞

23

sen α = 23

;

sen α = 23sen α

=312

4AC BCsen senβ α

=


PROVA DI STUDIO1 (sino al paragrafo 11.3 incluso)

1. Quanto misurano gli angoli acuti di un triangolo rettangolo che ha i cateti AB = 4 cm eBC = 8 cm? (calcolare il valore approssimato in gradi sessagesimali)

2. Un rettangolo ABCD ha il lato AB = 6 cm e la diagonale AC = 10 cm. Calcolare la misu-ra degli angoli che la diagonale forma con ciascuno dei lati. (calcolare il valore appros-simato in gradi sessagesimali)

3. Rappresentare in un sistema di riferimento cartesiano l’angolo che ha misura in radian-

ti . Calcolare il seno e il coseno dell’angolo.

4. L’angolo α è un angolo ottuso. Quali tra le affermazioni che seguono sono vere?a. sen α > 1b. sen α £ 1c. cos α = − sen αd. cos α = sen αe. cos α £ 0

5. Quali, tra le espressioni che seguono, non possono essere calcolate?

a.

b. sen 180°c. tg 90°d. 1 + cos 180°e. cos 90° − sen 90°

6. Calcolare il valore dell’espressione:

7. Calcolare il valore dell’espressione:

tg 60° + tg 180° + tg 30°

8. Un angolo α è tale che Quali, tra le affermazioni che seguono, sono vere?

a. sen α < 0

b.

c. 90° < α < 270°d. sen α > 1

e.

9. Un angolo acuto α è tale che Calcolare cos α e tg α.

10. Un angolo α è tale che 270° < α < 360° e Calcolare cos α e tg α. sen α = − 35

.

sen α = 310

.

FVtg α = − 43

FV

FV

FVsen α = 45

FV

cos α = − 35

.

sen cos cosπ π π2 3

24

+ +

1180sen ∞

FV

FV

FV

FV

FV

74

π


PROVA DI STUDIO2 (dal paragrafo 11.4 alla fine)

1. Calcola i valori delle espressioni:

a.

b.

c.

2. Due angoli che differiscono per un angolo piatto hanno:a. seno oppostob. coseno oppostoc. tangente reciprocad. tangente oppostae. lo stesso seno

3. α e β sono tali che Allora:

a. sen β = − cos αb. sen β = cos αc. − cos β = sen αd. tg α ⋅ tg β = −1e. tg α = − tg β

4. Calcola il valore dell’espressione:

5. Un triangolo ABC ha i lati AB = 3 cm, AC = e l’angolo CAB = 45°. Calcola la misura del terzo lato del triangolo.

6. Un triangolo ABC ha il lato AB = e gli angoli ACB = 60°, ABC = 45°. Calcola AC.

7. Esiste il triangolo ABC che ha i lati AB = 10 cm, BC = 7 cm e l’angolo BAC di 100°?Giustifica la risposta che hai dato.

8. Due angoli alla circonferenza che sottendono la stessa corda hanno:a. uguale cosenob. uguale tangentec. uguale seno d. coseno opposto e. seno opposto FV

FV

FV

FV

FV

16 3 cm

6 2 cm

cos sen sen cosπ α π α π α π α2 2

−⎛⎝

⎞⎠ ⋅ + + −⎛

⎝⎞⎠ ⋅ +( ) ( )

FV

FV

FV

FV

FV

β π α= +2

.

FV

FV

FV

FV

FV

tg tgπ π π π−⎛⎝

⎞⎠ + +⎛

⎝⎞⎠ =

6 6.... . . . . . . . .

cos cosπ π π π−⎛⎝

⎞⎠ + +⎛

⎝⎞⎠ =

3 3.... . . . . . . . .

sen senπ π π π+⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ =

4 4.... . . . . . . . .


? DI CHE COSA ABBIAMO PARLATOValori notevoli

Identità fondamentale sen2α + cos2α = 1

Seconda identità tgsencos

se cosα αα

α= ≠( )0

gradi radianti seno coseno tangente

0° 0 0 1 0

30°

45°

60°

90° non esiste

120°

135°

150°

180° π 0 −1 0

210°

225°

240°

270° –1 0 non esiste

300°

315°

330°

360° 2π 0 1 0

13

−32

12

−116

π

1−12

12

−74

π

3−12

32

−53

π

32

π

312

−32

−43

π

112

−12

−54

π

13

32

−12

−76

π

13

−32

−12

56

π

1−12

−12

34

π

3−12

−32

23

π

01π2

312

32

π3

112

12

π4

13

32

12

π6


?Teorema sui triangoli rettangoli In un triangolo rettangolo:a) un cateto è l’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto; b) un cateto è l’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente;c) un cateto è uguale all’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al primo.

Relazioni tra angoli e funzioni

Teorema di Carnot In un triangolo ABC, dati due lati b, c e l’angolo α tra essi compreso, peril terzo lato a vale: a2 = b2 + c2 − 2bc ⋅ cos α.

Teorema della corda La corda di una circonferenza diraggio r ha misura pari al prodotto del diametro per il senodi uno qualunque degli angoli alla circonferenza che sotten-dono la corda:

AB = 2r ⋅ sen α = 2r ⋅ sen β

Teorema dei seni In un triangolo il rapporto tra un lato e ilseno dell’angolo a esso opposto è costante, ed è uguale aldiametro della circonferenza circoscritta:

γ

A

B

C

β

αa

b

c


= = = 2

α

β

α′

A

B O

C

D

C ′

αA BH

C

b

c

π – α

C ′

A′H′ B′

ba a

c

angoli seno coseno tangente

tgtg

π αα2

1+⎛⎝

⎞⎠ = −cos senπ α α

2+⎛

⎝⎞⎠ = −sen cosπ α α

2+⎛

⎝⎞⎠ =differiscono di

un angolo retto

tgtg

π αα2

1−⎛⎝

⎞⎠ =cos senπ α α

2−⎛

⎝⎞⎠ =sen cosπ α α

2−⎛

⎝⎞⎠ =complementari

tg tg( )2π α α− = −cos cos( )2π α α− =sen sen( )2π α α− = −esplementari

tg tg( )π α α+ = −cos cos( )π α α+ = −sen sen( )π α α+ = −differiscono diun angolo piatto

tg tg( )π α α− = −cos cos( )π α α− = −sen senπ α α− =( )supplementari


Valori notevoli Calcolare le espressioni utilizzando i valori delle funzioni riportati nella tabella 1.

a. sen 30° + sen 60° b. sen (30° + 60°)

a. sen 30° + cos 30° b. sen 60° + cos 60°

a. sen 45° + cos 45° b. sen 45° − cos 45°

a. b.

a. b.

a. tg 30° + sen 60° b. tg 30° − cos 30°

a. cos 45° + tg 45° b. tg 45° − sen 45°

a. b.

a. b.

a. b.

Triangoli rettangoli

I problemi dal n. 11 al n. 21 richiedono l’applicazione dei teoremi sui triangoli rettangoli.

Un triangolo rettangolo ABC ha l’ipotenusa AC = 20 cm, l’angolo α ad essa adiacente ha

Calcolare il perimetro del triangolo. [48 cm]

Un triangolo rettangolo ABC ha il cateto AB = 6 cm, l’angolo α ad esso adiacente ha

Calcolare il perimetro del triangolo.

Un triangolo rettangolo ABC ha il cateto AB = 12 cm, l’angolo γ ad esso opposto ha

Calcolare il perimetro del triangolo. [48 cm]

Un triangolo rettangolo ABC ha il cateto AB = 10 cm, l’angolo α ad esso adiacente ha tg α = 2.Calcolare l’area del triangolo. [100 cm2]

Un triangolo rettangolo ABC ha il cateto AB = 50 cm, l’angolo γ ad esso opposto ha

Calcolare l’area del triangolo. [500 cm2]

tg γ = 52

.15

14

sen γ = 35

.13

15 3 5+( )⎡⎣ ⎤⎦cm

cos .α = 23

12

cos .α = 45

11

a. b.3 32

23

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥tg

3

cos3

cos6

ππ

π−sen

3

tg3

tg4

ππ

π+10

a. b.43

0;⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

tg3

tg4

tg6

ππ

π−tg

3

tg6

tg3

ππ

π+9

a. b.3 32

32

;⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

tg3π − cos3tg

3 6π π+ cos8

a. b.2 22

2 22

+ −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

;7

a. b.5 36

36

; −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

6

a. b.12

23

;⎡⎣⎢

⎤⎦⎥tg

4 3π π+ costg

4 3π π− cos5

a. b.3 1;⎡⎣ ⎤⎦sen6 3π π+ cossen

3 6π π+ cos4

a. b.2 0;⎡⎣ ⎤⎦3

a. b.e 1 32

+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

2

a. b.1 32

1+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

;1

ESERCIZI


Un trapezio isoscele ha le basi di misura,rispettivamente, 4 cm e 12 cm, gli angoli adiacenti alla base maggiore hanno tangen-

te uguale a Calcolare l’area del trapezio.[8 cm2]

Un trapezio isoscele ha le basi di misura,rispettivamente, 4 cm e 16 cm, gli angoli adiacenti alla base maggiore hanno coseno

uguale a Calcolare il perimetro del tra-pezio. [36 cm]

Un trapezio rettangolo ABCD ha la base mi-nore AD = 20 cm, la base maggiore BC = 80

cm e tgBCD Calcolare l’area del tra-pezio. [4000 cm2]

= 43

.

18

34

.

17

14

.

16 Con una pedana inclinata di 25° rispetto alpiano orizzontale si superano due gradini,ciascuno dei quali è alto 30 cm. Quanto èlunga la pedana? [≈142 cm]

Un triangolo ABC ha il lato AC = 2 cm, l’an-golo CAB = 45° e l’angolo ABC tale che

tg ABC Calcolare l’area del triangolo.

(Si consiglia di tracciare l’altezza relativaal lato AB). [3 cm2]

Un triangolo ABC ha il lato AC = 8 cm, l’an-golo CAB = 60° e l’angolo ABC tale che

sen ABC Calcolare il perimetro del triangolo.

28 4 13+( )⎡⎣ ⎤⎦cm

= 34

.

21

= 12

.

20

19

Angoli maggiori dell’angolo retto

Riferendosi alla figura, completare:

a. è negativo il seno degli angoli ………………… e ………….……… .

b. è positivo il coseno degli angoli ………………… e ………….……… .

c. è negativa la tangente degli angoli ………………… e ………….……… . [a. α, γ ; b. β, γ ; c. γ, δ]

Un triangolo isoscele ha gli angoli alla base di 40°, che segno hanno il seno e il coseno dell’ango-lo al vertice? [seno positivo, coseno negativo]

α, β‚ γ, sono gli angoli interni di un triangolo ottusangolo e γ è il maggiore dei tre angoli. Chesegno ha il coseno di ciascuno dei tre angoli? [solo cos γ è negativo]

Rappresentare in un sistema di riferimento cartesiano l’angolo di 210°. Calcolare sen 210°, cos 210°,tg 210°. (Nota: 210° = 180° + 30°)

Rappresentare in un sistema di riferimento cartesiano l’angolo di 330°. Calcolare sen 330°, cos 330°,tg 330°. (Nota: 330° = 360° − 30°)

Rappresentare in un sistema di riferimento cartesiano l’angolo che ha misura in radianti Cal-

colare − −

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

32

12

3; ;sen 4

3cos 4

3tg 4

3π π π, , .

43

π .27

− + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

32

33

; ;

26

− − +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

32

33

; ;

25

24

23

xO

y

δ

xO

y

γ

xO

y

βxO

y

α

22


Rappresentare in un sistema di riferimento cartesiano l’angolo che ha misura in radianti Cal-

colare

Rappresentare in un sistema di riferimento cartesiano l’angolo che ha misura in radianti

Calcolare

Un rombo ha gli angoli acuti di 60°. Calcolare il seno e il coseno dei due angoli ottusi.

Un trapezio rettangolo ha l’angolo acuto di 45°. Calcolare il seno e il coseno dell’angolo ottuso.

Gli angoli adiacenti alla base maggiore di un trapezio isoscele misurano 30°. Quanto valgono ilseno e il coseno degli angoli adiacenti alla base minore?

Gli angoli adiacenti alla base maggiore di un trapezio isoscele misurano 60°. Quanto valgono ilseno e il coseno degli angoli adiacenti alla base minore?

In figura è rappresentato un vettore v che ha modulo 10 rispetto a una prefissata unità di misura, eforma un angolo di 160° con la direzione positiva dell’asse x. Calcolare le componenti del vettore.

Ricordiamo che:• i componenti di un vettore v lungo gli assi cartesiani sono i vettori proiezioni di v sugli assi. In figu-

ra sono i vettori, in rosso, di origine O ed estremi H, K. • le componenti dello stesso vettore v sono due numeri con segno:

− il valore assoluto di ogni componente è uguale al modulo del corrispondente componente;− il segno di ogni componente è positivo se il corrispondente componente è orientato come l’asse

cartesiano su cui giace, negativo in caso contrario.

Nel nostro caso la componente OH è negativa mentre lacomponente OK è positiva. Ricordando che:

e

otteniamo:

OH = OA · cos 160°

OK = OA · sen 160°

Sostituendo il valore noto di OA e calcolando il seno e il coseno di 160° (approssimati alla secondacifra decimale), abbiamo i valori delle componenti di v.

OH ≈ 10 · (−0,94) = −9,4

OK ≈ 10 · 0,34 = 3,4

sen160° = HAOA

cos160° = OHOA

xO

y

H

K

v→

160°

A

ESERCIZIO GUIDA

32

12

; −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

33

+ −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

32

;

32

+ −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

12

;

31

32

12

; −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

30

− + −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

12

1; ;sen 7

4cos 7

4tg 7

4: 7

4 4π π π π π π, , . Nota = −( )2

74

π.29

+ − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

12

1; ;sen 3

4cos 3

4tg 3

4: 3

4 4π π π π π π, , . Nota = −( )

34

π.28


Negli esercizi dal n. 34 al n. 40 calcolare lecomponenti di ciascuno dei vettori rappresentati,sapendo che tutti i vettori hanno modulo 10.

xO

y

250°

39

xO

y

20°

38

xO

y

340°

37

xO

y

70°

36

xO

y

115°

35

xO

y

195°

34

Prime proprietà delle funzioni

Calcolare il valore delle seguenti espressioni.

cos 0° + tg 180° [1]

sen 90° + cos 180° [0]

tg 0° + sen 270° [−1]

sen 180° + sen 360° [0]

cos 360° + cos 0° [2]

sen 270° + cos 180° [− 2]

cos 90° − sen 90° [−1]

sen 180° − cos 360° [−1]

cos 270° − sen 270° [1]

tg 360° + cos 90° [0]

[−1]

sen π – cos π [1]

tg 2π + tg π [0]

[−1]

cos 2π + cos [1]

cos 0 – cos π [2]

sen 2π + tg 2π [0]

tg π + cos π [−1]

[−1]

[2]sen2

sen 32

π π−60

sen2

cos 32

3 π π+59

58

57

56

π2

55

sen 32

tgπ + 054

53

52

cos 32

senπ π−2

51

50

49

48

47

46

45

44

43

42

41

xO

y

290°

40


Quali, tra i valori che seguono, possono rap-presentare il seno di un angolo?

a) c)

b) d) 1 [�S]

Quali, tra i valori che seguono, possono rap-presentare il coseno di un angolo acuto?

a) c)

b) d) [�S]

Quali, tra i valori che seguono, possono rap-presentare il coseno di un angolo ottuso?

a) c)

b) d) [�S]

L’angolo α soddisfa le limitazioni 180° < α < 270°

Quali tra i valori che seguono possono rap-presentare il suo coseno?

64

32

− 45

− 76

− 35

63

34

− 32

43

12

62

− 25

253

61 a) 0 c) 1

b) –1 d) [�S]

L’angolo α soddisfa le limitazioni 180° £ α £ 270°

Quali tra i valori che seguono possono rap-presentare il suo seno?

a) –1 c)

b) 0 d) 1 [�S]

L’angolo α soddisfa le limitazioni 270° £ α £ 360°

Quali tra i valori che seguono possono rap-presentare il suo seno? a) 1 c) 0

b) –1 d) [�S]

L’angolo α soddisfa le limitazioni 270° < α < 360°

Quali tra i valori che seguono possono rap-presentare il suo coseno? a) 0 c) –1

b) d) [�S]52

15

67

− 12

66

− 32

65

− 25

1. Determinare per quali valori del parametro reale k ha significato la relazione:

sen α = 5 – k 0° £ α £ 90°

La limitazione sull’angolo α fa sì che sen α sia non negativo; inoltre per qualunque angolo deveessere soddisfatta la limitazione –1 £ sen α £ 1.Poniamo a sistema le due condizioni:

Æ

Le soluzioni del sistema sono: 4 £ k £ 5

2. Determinare per quale valore del parametro reale k ha significato la relazione:tg α = k + 1 0° < α < 90°

Ricordando che la tangente può assumere qualunque valore reale e che è positiva se l’angolo èacuto, l’unica condizione da porre è:

k + 1 > 0 Æ k > −1

Determinare per quali valori del parametro reale k hanno significato le relazioni indicate.

sen α = 3k – 1 0° < α < 90°

90° < α < 180° [k < −1]

sen α = 4k 180° £ α £ 270°

270° < α < 360° [k < − 2]sen α =+1

1k71

− ≤ ≤⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

14

0k70

sen α = +1 1k

69

13

23

< <⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

k68

kk

≤≤ ≤

⎧⎨⎩

54 6

5 01 5 1− ≥

− ≤ − ≤⎧⎨⎩

kk

ESERCIZIO GUIDA


0° < α < 90°

90° < α < 180°

270° < α < 360°

sen α = 0 180° £ α £ 270°

180° < α < 270°

270° < α < 360°

0° < α < 90°cos α = 23

93

32

2π α π< <sen α = − 513

92

02

< <α πsen α = − 35

91

02

< <α πsen α = −5 1

490

02

< <α πsen α = 23

89

sen α = −1 288

sen α = −1 54

87

86

sen α = − 1213

85

sen α = 25

84

sen α = −2 183 0° < α < 90°

270° £ α £ 360°

90° < α < 180°

cos α = 1 0° £ α £ 90°

90° < α < 180°

α π< <02

cos α = 1213

103

π α π< <2

cos α = − 513

102

32

2π α π< <cos α = 14

101

π α π< < 32

cos α = − 35

100

02

< <α πcos α = −5 14

99

cos α = − 15

98

97

cos α = −1 54

96

cos α = 513

95

cos α = −2 194

90° < α < 180° [per ogni valore di k]

cos α = 5k + 2 0° £ α £ 90°

90° < α < 180° [k < − 3]

180° < k < 270° [1 < k < 2]

cos α = 8k 270° < k < 360°

270° < k < 360° [per nessun valore di k]

tg α = 6k – 2 0° < α < 90°

tg α = k2 – 1 90° < α < 180° [− 1 < k < 1]

180° < α < 270° [k < 0 ∨ k > 2]

tg α = k2 180° < α < 270° [k π 0]

270° < α < 360°

Assegnata una funzione trigonometrica dell’angolo, è richiesto di calcolare le rimanenti utilizzandola prima e la seconda identità.

− < <⎡⎣ ⎤⎦5 5ktg α =−7

5 2k82

81

tg α =−3

2k

k80

79

k >⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1378

cos α = +52

2k77

0 18

< <⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

k76

cos α = −1 2k

75

cos α =+

12 5k

74

− ≤ ≤ −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

25

15

k73

sen α =+1

52k72


Dalle relazioni tra gli angoli alle relazioni tra le funzioni

Indicare a piacere un angolo acuto e deciderequali tra le relazioni proposte sono vere e quali false.

Vero o falso?

Il supplementare di α ha:a) lo stesso seno di αb) lo stesso coseno di αc) lo stesso seno di α e coseno

opposto a quello di αd) la stessa tangente di α

L’angolo che differisce da α per un angolopiatto ha:a) lo stesso seno di αb) coseno opposto a quello di αc) la stessa tangente di αd) tangente opposta a quella di α

Il complementare di α ha:a) seno uguale al coseno di αb) coseno opposto al seno di αc) tangente opposta alla tangente

di αd) tangente reciproca della tangente

di α

L’angolo che differisce da α per un angoloretto ha:a) seno uguale al coseno di αb) coseno opposto al seno di αc) tangente reciproca della tangente

di αd) tangente uguale alla tangente di α

L’angolo esplementare di α ha:a) seno opposto a quello di αb) coseno uguale a quello di αc) tangente uguale a tg αd) tangente opposta a tg α

Riportare all’angolo a le seguenti espressioni,che presentano relazioni solo sugli archiassociati.

sen (2π – α) + sen (π – α) [0]

sen α ⋅ sen(π + α) [–sen2α]

[–1]sensen

( )( )

π απ α

+−111

110

109

FV

FV

FV

FV108

FV

FV

FV

FV

107

FV

FV

FV

FV106

FV

FV

FV

FV

105

FV

FV

FV

FV104

[–1]

sen(π + α) + sen(π – α) + sen(2π – α)[–sen α]

cos (π + α) – cos (2π – α) [–2cos α]

cos (π – α) cos α [–cos2α]

[1]

[–1]

cos (π + α) + cos (π – α) + cos (2π – α)[–cos α]

tg (π + α) + tg (π – α) [0]

tg α – tg (2π – α) [2tg α]

[–1]

tg (π – α) ⋅ tg (2π – α) [tg 2α]

tg (π + α) + tg (π – α) + tg (2π – α) [–tg α]

Riportare all’angolo a le seguenti espressioni,che presentano tutte le relazioni introdotte.

[0]

[–2senα]

[cos2α]

[sen2α]

[2sen α]

[–2sen α]

[–cos2α]

[–cos2α]sen cosπ α π α2

+⎛⎝

⎞⎠ +( )131

sen cosπ α π α2

+⎛⎝

⎞⎠ +( )130

cos senπ α π α2

2+⎛⎝

⎞⎠ + −( )129

cos senπ α π α2

−⎛⎝

⎞⎠ + −( )128

cos senπ α π α2

−⎛⎝

⎞⎠ ⋅ −( )127

sen cosπ α π α2

2−⎛⎝

⎞⎠ ⋅ −( )126

sen cos( )π α π α+ + +⎛⎝

⎞⎠2

125

sen cosπ α π α2

+⎛⎝

⎞⎠ + −( )124

123

122

tgtg

( )( )

π απ α

+−2

121

120

119

118

coscos

( )( )2π α

π α−

−117

coscos

( )( )

π απ α

+−116

115

114

113

sensen

( )( )

π απ α

−−2

112


[2cosα + sen α]

[cos α]

[tg α]

[cos α]

[–sen α]

[–1/tg α]

[–3sen α]

[2 sen α + 2cos α]

[sen2α + sen α]

[–3sen2α]

[–cos α – 3cos2α]

[cos2α + cos α]

[–sen2α – 2sen α]

[cos α – 6cos2α ]

[–sen α cos α − 3sen2α]

[cos2α − 7sen α cos α]

[1 + cos α]

Riportare all’angolo a ed esprimere attraverso la sola funzione coseno le seguenti espressioni.

[cos2α – 1]

[cos2α]sen sen( ) ( )π α π α+ − + 1150

cos cosπ α π α2 2

+⎛⎝

⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠149

tg tg cos( ) ( )π α π α π α− +⎛⎝

⎞⎠ + −

22148

cos cos sen sen( ) ( ) ( )π α π α π α π α+ − + +⎛⎝

⎞⎠ +7

2147

sen cos cos sen( ) ( ) ( )2 2 32

π α π α π α π α− − + −⎛⎝

⎞⎠ +146

sentg

sen cos( )( )

( )π απ α

π α π α+−

+ −⎛⎝

⎞⎠ +1 6

2145

cos tg cos sen( ) ( ) ( )π α π α π α π α− + −⎛⎝

⎞⎠ − −

22144

sen sen tg senπ α π α π α π α2 2 2

−⎛⎝

⎞⎠ +⎛

⎝⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ −( )143

cos tg sen cosπ α π α π α π α2 2

32

2+⎛⎝

⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠ − +⎛

⎝⎞⎠ −( )142

sen tg cos sen2π α π α π α π α2 2

4−⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ − −( ) ( )141

sen cos cos tg( ) ( ) ( )π α π α π α π α+ +⎛⎝

⎞⎠ + + −

2140

cos sen senπ α π α π α2

22

−⎛⎝

⎞⎠ + − + +⎛

⎝⎞⎠( )139

sen cos cosπ α π α π α2

32

−⎛⎝

⎞⎠ + − + +⎛

⎝⎞⎠( )138

tg tg tg( ) ( )π α π α π α+ + +⎛⎝

⎞⎠ + −

22137

cos cos cos( ) ( )π α π α π α− + +⎛⎝

⎞⎠ + −

22136

sen sen sen( ) ( )π α π α π α− + +⎛⎝

⎞⎠ + −

22135

tg tg tgπ α π α π α2 2

+⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ + +( )134

cos cos senπ α π α π α2 2 2

+⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠133

sen sen cosπ α π α π α2 2 2

+⎛⎝

⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠ + −⎛

⎝⎞⎠132


[cos2α – 2]

[2 – cos2α]

[cos2α – 1]

[cos2α – 1]

2 + sen (2π – α) · sen (π – α) [1 + cos2α]

sen (π + α) · tg α cos (π + α) [1 – cos2α]

1 + sen (π – α) tg α · cos (π – α) [cos2α]

[cos2α]

tg (π – α) cos (2π – α) sen (2π – α) [1 – cos2α]

tg (2π − α) cos (π – α) sen (π + α) [cos2α – 1]

[cos2α]

[cos2α – cos α – 1]

[9cos2α + cos α – 9]

[2cos2α – cos α – 2]

tg (π + α) tg (π – α) cos2(π – α) + 2cos (π + α) [cos2α – 2cos α – 1]

[cos2α – 4cos α – 1]

[cos2α – cos α – 1]

[2cos2α – 1]

Riportare all’angolo a ed esprimere attraverso la sola funzione seno le seguenti espressioni.

[1 – sen2α]

cos (π + α) cos (π − α) + 1 [2 – sen2α]170

sen senπ α π α2 2

+⎛⎝

⎞⎠ ⋅ −⎛

⎝⎞⎠169

sen cos

cossen

2

( )

cos

π α π α

π α α

π+ ⋅ −⎛

⎝⎞⎠

+⎛⎝

⎞⎠ +

+2

22 22 2

−⎛⎝

⎞⎠ ⋅ +⎛

⎝⎞⎠α π αsen168

cos cossentg

π α π α π απ α2 2

−⎛⎝

⎞⎠ ⋅ +⎛

⎝⎞⎠ − −

+( )

( )167

4 cos

tgsen cos

π α

π απ α π α2

2 2

−⎛⎝

⎞⎠

−+ − +⎛

⎝⎞⎠( )

( )166

165

sentg

cos sen( )( )

( )π απ α

π α π α++

+ −⎛⎝

⎞⎠ −2

22164

sentg

sen cos( )( )

( )π απ α

π α π α−+

+ − −⎛⎝

⎞⎠9 2

2163

sen sen cos tg( ) ( )π α π α π α π α+ − + +⎛⎝

⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠2 2

162

sen tg senπ α π α π α2 2

+⎛⎝

⎞⎠ −⎛

⎝⎞⎠ −( )161

160

159

12

+ + +⎛⎝

⎞⎠ +tg sen sen( ) ( )π α π α π α158

157

156

155

cos senπ α π α2

+⎛⎝

⎞⎠ −( )154

cos senπ α π α2

−⎛⎝

⎞⎠ +( )153

1 22

+ − +⎛⎝

⎞⎠sen cos( )π α π α152

sen cos( )22

1π α π α− −⎛⎝

⎞⎠ −151


cos (2π – α) cos (π + α) [sen2α – 1]

[sen2α]

[1+ sen2α]

[1 + sen2α]

[–sen2α]

2 + cos (2π – α) cos (π – α) [1 + sen2α]

[1 – sen2α]

[2 – sen2α]

[2 – sen2α]

[sen2α – 1]

[1 – sen2α]

[2sen2α – sen α – 2]

[sen2α − sen α – 1]

cos (2π – α) cos α + 5cos (π – α) tg (π + α) [1 – sen2α – 5sen α]

[6sen2α + sen α – 6]

[–4 sen2α – 3sen α + 4]

[7 sen2α – sen α – 7]

[2sen2α – 1]

Calcolare il valore dell’espressione:cos(π − 2) ⋅ cos(π + 2) − sen(π + 2) ⋅ sen(π − 2) [1]

189

cos ( ) sen

sen sen ( )2 2

α π π α

π α π α

+ ⋅ +⎛⎝

⎞⎠

+⎛⎝

⎞⎠ + +

−2

2

ccos sen (2 )π α π α2

−⎛⎝

⎞⎠ ⋅ −188

72

sen ( ) tg cos sen ( )π α π α α π α+ ⋅ −⎛⎝

⎞⎠ ⋅ + +187

4 32

cos ( ) cos ( ) tg ( ) senπ α π α π α π α+ ⋅ − + − ⋅ +⎛⎝

⎞⎠186

tg ( ) cos ( ) sen cos ( )π α π α π α π α− ⋅ + + −⎛⎝

⎞⎠ ⋅ −6

2185

184

sen ( ) tg cos (2 ) cosπ α π α π α π α+ + +⎛⎝

⎞⎠ ⋅ − ⋅ −⎛

⎝⎞⎠2 2

183

tg ( ) sen cos (2 ) cos ( )π α π α π α π α− ⋅ +⎛⎝

⎞⎠ + − ⋅ +

22182

cos tg cos ( )π α π α π α2 2

+⎛⎝

⎞⎠ ⋅ −⎛

⎝⎞⎠ ⋅ −181

tg sen (2 ) cos (2 )π α π α π α2

−⎛⎝

⎞⎠ ⋅ − ⋅ −180

12 2

+ +⎛⎝

⎞⎠ ⋅ −⎛

⎝⎞⎠ ⋅ +tg cos cos ( )π α π α π α179

12

+ − ⋅ +⎛⎝

⎞⎠ ⋅ −cos ( ) tg sen ( )π α π α π α178

cos ( ) tg sen ( )π α π α π α+ ⋅ −⎛⎝

⎞⎠ ⋅ +

2177

176

cos (2 ) senπ α π α− ⋅ −⎛⎝

⎞⎠ −

21175

22

+ − ⋅ +⎛⎝

⎞⎠cos ( ) senπ α π α174

22

+ +⎛⎝

⎞⎠ ⋅ −sen cos ( )π α π α173

12

+ −⎛⎝

⎞⎠ ⋅ +sen cos ( )π α π α172

171


Un angolo ottuso α ha coseno uguale a .

Calcolare il seno e la tangente del supple-mentare di α.




Calcolare il seno e la tangente dell’esple-mentare di α.

Un angolo acuto α ha tangente uguale a .

Calcolare la tangente dell’angolo che diffe-risce di un angolo retto da α.

Un angolo acuto α ha tangente uguale a .

Calcolare la tangente dell’angolo che diffe-risce di un angolo piatto da α.

53

194

53

193

53

192

− 34

191

− 14

190 Un angolo acuto α ha tangente uguale a .

Calcolare la tangente dell’angolo esplemen-tare di α.

Un angolo acuto α ha coseno uguale a .



Calcolare il seno e la tangente dell’angoloche differisce da α di un angolo retto.


Calcolare il seno e la tangente dell’angoloche differisce da α di un angolo piatto.


Calcolare il seno e la tangente dell’angoloesplementare di α.

23

199

23

198

23

197

23

196

23

195

Nella figura sono rappresentati un triangolo rettangolo ABC che, rispetto a una prefissata unità di misura, ha il cateto BC = 1 e l’ipotenusa AC , e un triangolo ABD che ha il lato AD = 1 per-pendicolare ad AC. Calcolare il seno e il coseno dell’angolo DAB e l’area del triangolo ABD.

Posto α = CAB e β = DAB, i due angoli sono legati dalla relazione

Pertanto . Applicando la definizione si ricava:

Æ

Veniamo ora all’area del triangolo ABD. Una base possibile è il segmento AB, facilmente calcola-bile applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABC.

L’altezza relativa al lato AB è il segmento DH = h, cateto del triangolo rettangolo DHA di cui cono-sciamo l’ipotenusa. Per calcolare sen HAD osserviamo che:

quindi

Pertanto il triangolo ABD ha area:A = ⋅ ⋅ =1

22 2

525

h AD H D= ⋅ = ⋅ =sen A 1 25

25

sen senH DA = −⎛⎝

⎞⎠ = =π α α

225

cos

H DA = − = − +⎛⎝

⎞⎠ = −π β π π α π α

2 2

D

αB

1 1

AH

h

C

5

AB AC BC= − = − =2 2

5 1 2

β = − 15

cossen α = 15

cos cosβ π α α= +⎛⎝

⎞⎠ = −

2sen

β π α= +2

.

= 5

ESERCIZIO GUIDA


Un triangolo rettangolo ABC ha i cateti AB = 12 cm, BC = 5 cm. Calcolare il cose-no dell’angolo che ciascuno dei cateti formacon il prolungamento dell’ipotenusa.

Un trapezio isoscele ABCD ha base maggio-re AB = 20 cm, base minore CD = 10 cm ealtezza 12 cm. Calcolare il coseno di ciascu-no degli angoli del trapezio.

, tutti gli angoli hanno lo stesso seno;

Riferendosi alla figura, calcolare il cosenodell’angolo che la semiretta r forma con ilcateto AB.

Un trapezio rettangolo ABCD ha la base mi-

nore DC lunga il lato obliquo CB di

5 cm e Calcolare l’areadel trapezio. [15 cm2]

Un trapezio rettangolo ABCD ha la diagona-le AC perpendicolare al lato obliquo BC e tg CAB = 2. Calcolare:a) la tangente dell’angolo che AC forma con

l’altezza AD;b) la tangente dell’angolo che BC forma con

la base minore CD.

Riferendosi alla figura, calcolare tg CAH etg BAK.

tg tgC H B KA A= − = −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

34

43

,

4

3A

C

B

K

H

205

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

12

12

;a. b.

204

cos .B DC = − 15

5 cm,203

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

35

4

3A

B

r

C

202

cos cos cos cosA B C D= = = = − ⎤⎦⎥

513

513

,

sen A =⎡⎣⎢

1213

201

− −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

513

1213

;

200 Data una semicirconferenza γ che ha diametroAB = 12 cm, tracciare la corda AC = 9 cm ela retta t tangente a in C. Calcolare il senodell’angolo che t forma con AC.

È assegnato un triangolo rettangolo ABCche ha i cateti AB = 8 cm e AC = 4 cm.Tracciata la retta r perpendicolare all’ipote-nusa BC in C, indicare con D il punto in cuir interseca il prolungamento di AB. Calcolareil coseno degli angoli del triangolo ACD.

Un triangolo isoscele ABC ha base AB = 8cm e gli angoli alla base α, β che hanno tan-

gente uguale a

a) Dimostrare che ABC è un triangolo ottu-sangolo.

b) Tracciare la semiretta di origine C per-pendicolare al lato obliquo BC e indica-re con D il suo punto d’intersezione conla base AB. Calcolare la misura di BD.

[b. l’altezza CH = 4 cm ⋅ tgβ = 3 cm,

perciò CBH < 45°, HD = 3 cm ⋅ tgβ, BD

Data una semicirconferenza di diametro AB = 20 cm, inscrivere in essa il trapezioisoscele ABCD che ha i lati obliqui di misu-ra cm. Calcolare il seno di ciascunodegli angoli del trapezio.

[tracciata una diagonale…, il seno di ciascuno

degli angoli del trapezio vale

Risoluzione di un triangolo con il teorema di Carnot (Teoria a pag. 400)

È dato un triangolo ABC di lati AB = 5 cm,BC = 7 cm, AC = 3 cm. Risolvere il triango-lo. [BAC = 120°, ABC ≈ 21°47′]

È dato un triangolo ABC di lati AB = 5 cm,

BC cm, AC = 1 cm. Risolvere iltriangolo. [BAC ≈ 36°52′, ABC ≈ 8°7′]

È dato un triangolo ABC di lati ABcm, BC = 1 cm, AC = 2 cm. Risolvere iltriangolo.

[BAC ≈ 26°33′, ABC ≈ 63°26′, ACB = 90°]

= 5212

= 3 2

211

210

25

⎤

⎦⎥

4 5

209

= ⎤⎦⎥

254

cm

34

.

208

cos cos cosC A D= = =⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

25

0 15

; ;

207

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

34

206


È dato un triangolo ABC di lati AB = 4 cm,BC cm, AC = cm. Risolvere iltriangolo. [BAC = 30°, ABC ≈ 100°53′]

È dato un triangolo ABC di lati AB = 7 cm,AB cm, AC = 2 cm. Risolvere iltriangolo. [BAC = 41°24′, ABC ≈ 13°31′]

È dato un triangolo ABC tale che AC = 4 cm,AB cm, BAC = 135°. Risolvere iltriangolo.

È dato un triangolo ABC tale che BC = 3 cm,AB cm, ABC = 45°. Risolvere iltriangolo.

È dato un triangolo ABC tale che BC = 4 cm,AB cm, ABC = 135°. Risolvere iltriangolo.

È dato un triangolo ABC tale che AC = 4 cm,BC = 3 cm, ACB = 60°. Risolvere il trian-golo.

È dato un triangolo ABC tale che AB = 1 cm,BC = 5 cm, ABC = 120°. Risolvere il trian-golo.

È dato un triangolo ABC tale che AB = 6 cm,AC = 8 cm, BAC = 60°. Risolvere il trian-golo.

Teorema della corda (Teoria a pag. 402)

La corda AB di una circonferenza di raggior è sottesa da un angolo alla circonferenzache ha misura 45°. Calcolare AB.



La corda AB di una circonferenza di raggior è sottesa da un angolo alla circonferenzache ha misura 30°. Calcolare AB. [r]

La corda AB di una circonferenza di raggior è sottesa da un angolo alla circonferenzache ha misura 150°. Calcolare AB. [r]

225

224

r 3⎡⎣ ⎤⎦

223

r 2⎡⎣ ⎤⎦

222

r 2⎡⎣ ⎤⎦

221

BC A C= ≈⎡⎣ ⎤⎦2 13 73 53cm, B ∞ ¢

220

AC B A= ≈⎡⎣ ⎤⎦31 8 56cm, C ∞ ¢

219

AB B C= ≈⎡⎣ ⎤⎦13 46 6cm, A ∞ ¢

218

AC B A= ≈⎡⎣ ⎤⎦2 10 18 26cm, C ∞ ¢

= 2 2217

AC B A= ≈⎡⎣ ⎤⎦5 63 26cm, C ∞ ¢

= 2 2216

BC A C= ≈ ′⎡⎣ ⎤⎦4 5 26 33cm, B ∞

= 4 2215

= 4 2214

3 3= 7213 La corda AB = di una circonferenza è

sottesa da un angolo alla circonferenza di60°. Quanto misura il raggio della circonfe-renza? [10 cm]

La corda AB = 10 cm di una circonferenza èsottesa da un angolo alla circonferenza di120°. Quanto misura il raggio della circon-ferenza?

La corda AB = 8 cm di una circonferenza èsottesa da un angolo alla circonferenza di45°. Quanto misura il raggio della circonfe-renza?

La corda AB = 12 cm di una circonferenza èsottesa da un angolo alla circonferenza di135°. Quanto misura il raggio della circon-ferenza?

La corda AB = 6 cm di una circonferenza èsottesa da un angolo alla circonferenza di30°. Quanto misura il raggio della circonfe-renza? [6 cm]

La corda AB = 20 cm di una circonferenza èsottesa da un angolo alla circonferenza di150°. Quanto misura il raggio della circon-ferenza? [20 cm]

Sia AB = 15 cm la corda di una circonferenzache ha raggio 10 cm. Calcolare il seno e ilcoseno degli angoli alla circonferenza che sot-tendono AB.

In figura sono rappresentati due degli angolialla circonferenza che sottendono la corda AB.

α è un angoloacuto come tutti gliangoli ACB chehanno il vertice sulmaggiore dei duearchi AB.β è un angolo ottu-so come tutti gliangoli ADB chehanno il vertice sul minore dei due archi AB.La relazione α + β = π implica:

sen β = sen αcos β = − cos α

Se applichiamo il teorema della corda otteniamo:

AB = 2r ⋅ sen α

C

A

BD

α

β

ESERCIZIO GUIDA

231

2306 2 cm⎡⎣ ⎤⎦

2294 2 cm⎡⎣ ⎤⎦

228

103

cm⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

227

10 3226


Sostituendo i valori assegnati, si ha:

15 cm = 20 cm ⋅ sen α

Per calcolare cos α applichiamo l’identità fon-damentale:

(α è un angolo acuto,perciò il suo seno è positivo)

Quindi:

In una circonferenza di raggio 20 cm è trac-ciata una corda AB = 5 cm. Qual è il valoredel seno degli angoli alla circonferenza chesottendono la corda AB?

In una circonferenza di raggio 12 cm è trac-ciata una corda AB = 9 cm. Qual è il valoredel seno degli angoli alla circonferenza chesottendono la corda AB?

In una circonferenza di raggio 20 cm è trac-ciata una corda AB = 32 cm. Qual è il valo-re del seno degli angoli alla circonferenzache sottendono la corda AB?

In una circonferenza di raggio 25 cm è trac-ciata una corda AB = 10 cm. Qual è il valo-re del seno degli angoli alla circonferenzache sottendono la corda AB?

In una circonferenza di raggio 8 cm è trac-

ciata una corda AB = cm. Quanto mi-surano gli angoli alla circonferenza che sot-tendono la corda AB? [45°, 135°]

In una circonferenza di raggio 10 cm è trac-ciata una corda AB = 12 cm. Qual è il valo-re del coseno degli angoli alla circonferenzache sottendono la corda AB?

In una circonferenza di raggio 10 cm è trac-

ciata una corda AB = cm. Qual è ilvalore del coseno degli angoli alla circonfe-renza che sottendono la corda AB?

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

25

25

,

4 5238

− +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

45

45

,

237

8 2236

15

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

235

45

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

234

38

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

233

18

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

232

cos cosβ α= − = − 74

= − =1 916

74

cos senα α= − =1 2

sencmcm

α = =1520

34

In una circonferenza di raggio 25 cm è trac-ciata una corda AB = 15 cm. Qual è il valo-re del coseno degli angoli alla circonferenzache sottendono la corda AB?

In una circonferenza di raggio 10 cm è trac-ciata una corda AB = 8 cm. Qual è il valoredel coseno degli angoli alla circonferenzache sottendono la corda AB?

In una circonferenza di raggio 16 cm è trac-ciata una corda AB = 8 cm. Qual è il valoredel coseno degli angoli alla circonferenzache sottendono la corda AB?

Una corda AB = 10 cm è sottesa da un an-golo alla circonferenza α tale che

Calcolare il raggio della circonferenza.


Calcolare il raggio della circonferenza. [15 cm]


Calcolare il raggio della circonferenza. [26 cm]


Calcolare il raggio della circonferenza.[52 cm]


Calcolare il raggio della circonferenza.[30 cm]

cos α = − 45

246

cos α = 1213

245

cos α = − 513

244

cos α = 35

243

5 52

cm⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

cos α = − 15

242

− +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

154

154

,

241

− +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

215

215

,

240

− +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

9110

9110

,

239


La risoluzione di un triangolo anche con il teorema dei seni (Teoria a pag. 403)

Discutiamo l’esistenza di un triangolo nel caso in cui sono assegnati due lati e l’angolo adiacente auno di essi, distinto dall’angolo compreso tra i due lati.

1. È possibile costruire il triangolo ABC che ha lati BC AC = 1 cm e l’angolo ABC di 60°?

Per rispondere alla domanda disegniamo il lato BC e la semiretta r che ha origine B e forma unangolo di 60° con BC. Il terzo vertice A è il punto di r che ha distanza 1 cm da C; per individuar-lo disegniamo la circonferenza γ che ha centro C e raggio 1cm, come in figura. Dalla figura si vede che non ci sono inter-sezioni tra r e γ; ma, come sappiamo, un disegno non costitui-sce una dimostrazione.Indicata con H la proiezione di C su r, calcoliamo la misuradi CH.Applicando il teorema sui triangoli rettangoli otteniamo:CH = BC ⋅ sen 60° =

Confrontiamo CH con CA : 1,5 cm > 1 cm, dunque la semiretta r ha distanza dal centro maggio-re del raggio, perciò non ci sono punti d’intersezione tra r e γ. Dal calcolo segue che non esistono triangoli che soddisfano le condizioni assegnate.

2. È possibile costruire il triangolo ABC che ha lati BC AC = 2 cm e l’angolo ABC di 60°?

Siamo di fronte a dati dello stesso tipo del problema prece-dente, ma è aumentata la misura del lato AC. Come prima,partiamo dalla costruzione grafica del triangolo. Come si vede in figura, la circonferenza, che ha raggio 2 cm,interseca la semiretta r in un punto: questo è il terzo vertice Adel triangolo. E il calcolo cosa dice? La distanza di C da r è:CH = BC ⋅ sen 60° =

Ma 1,5 cm < 2 cm quindi la distanza di C da r è minore del raggio di γ, perciò γ interseca r in unpunto che indichiamo con A.

Generalizziamo i risultati raggiunti.Discutiamo l’esistenza di un triangolo ABC che ha i lati BC = a, AC = b e l’angolo ABC = β. È necessario distinguere tre casi.1. β è un angolo acuto.

L’esistenza e l’unicità della soluzione dipendono, come abbiamo iniziato a vedere negli esempi,dall’esistenza e unicità delle intersezioni tra la circonferenza γ che ha centro C e raggio b e lasemiretta r che forma un angolo β con il lato BC:− se b < asen β, non esiste il triangolo ABC (fig. a);− se b = asen β, il triangolo ABC è rettangolo in A (fig. b);

H

B

γ

C

r

2 cm

A

60°

= ⋅ = =3 32

1 5cm 32

cm cm,

= 3 cm,

H

B

γ

C

r

1 cm

60°

= ⋅ = =3 32

1 5cm 32

cm cm,

= 3 cm,

ESERCIZIO GUIDA


− se b > a, il triangolo ABC è unico (fig. c);− se asen β < b < a, ci sono due triangoli ABC e A′BC che soddisfano le condizioni assegnate

(fig. d ).

2. β è un angolo ottuso Si presentano due casi:− se b < a, il triangolo non esiste perché ad angolo maggiore è opposto lato maggiore (fig. a)− se b > a, il triangolo esiste ed è unico (fig. b).

3. Se β è un angolo retto, in forza del teorema di Pitagora, esiste il triangolo ABC ed è unico se b > a.

B

γ

Ca

β

B

γ

Caβ

bA

rr

a senβH

B

γ

C

r

b

a

β

a senβ

A

H

B

γ

C

r

b

aβ

A

A′

H

B

γ

C

r

b

a

β

a senβH

B

γ

C

r

b

a

βa senβ

c) d )

a) b)

a) b)


Discutere l’esistenza dei triangoli chesoddisfano le condizioni assegnate. Se esistono, risolverli.

Sono assegnati i lati BC = 4a,e l’angolo ABC di 120°.

Sono assegnati i lati

e l’angolo ABC di 60°. [esiste ed è unico]

Sono assegnati i lati , AC = a e

l’angolo ABC di 120°.[non esiste]

Sono assegnati i lati , AC = 4a e

l’angolo ABC di 120°.[esiste ed è unico]

Sono assegnati i lati BC = 6a, AC = 4a el’angolo ABC di 60°.

[non esiste]

Sono assegnati i lati BC = 8a, el’angolo ABC di 60°.

[esistono due triangoli]


[esiste ed è unico]






[non esiste]

Sono assegnati i lati BC = 2a, AC = 3a, l’an-

golo ABC è acuto e sen


Sono assegnati i lati BC = 2a,

l’angolo ABC è tale che cos


A CB = − 15

.

AC a= 52

,258

A CB = 35

.

257

256

255

254

253

AC a= 152

252

251

BC a= 3250

BC a= 3249

BC a AC a= =3 85

,248

A C= = = −( )⎡⎣ ⎤⎦45 15 2 3 1∞ ∞, , AB a

AC a= 2 6247

È dato un triangolo ABC tale che BC = 4 cm,l’angolo BAC è di 30° e l’angolo ABC è di 45°.Risolvere il triangolo.

Del triangolo ABC, rappresentato in figura, èimmediato calcolare il terzo angolo.

ACB = 180° − ( 30° + 45°) = 105°

Restano da trovare due lati, partiamo dal latoAC. Applichiamo il teorema dei seni:

Sostituiamo i valori noti:

Per calcolare la misura del terzo lato possiamoseguire due strade:

a) applicare il teorema di Carnot, noti AC, BCe l’angolo tra essi compreso;

b) applicare il teorema dei seni.

Seguiamo la seconda strada e scriviamo:

Sostituendo i valori noti passiamo a:

Otterremo un risultato approssimato perché cal-coliamo sen 105° con la calcolatrice e approssi-miamo il risultato delle operazioni alla secondacifra decimale:

AB ª 7,72 cm

AB = 8 cm ⋅ sen 105°ÆABsen

cm105

412

∞=

AB BCsen sen105 30∞ ∞

=

AB BCsen senC A

=

AC = 4 2 cm

AC cm12

412

=ÆAC BCsen sen45 30∞ ∞

=

AC BCsen senB A

=

30°

BA 45°

C

4 cm

ESERCIZIO GUIDA


È dato un triangolo ABC tale chel’angolo BAC è di 60° e l’an-

golo ACB è di 45°. Risolvere il triangolo.

È dato un triangolo ABC tale chel’angolo ABC è di 60° e l’an-

golo ACB è di 45°. Risolvere il triangolo.

È dato un triangolo ABC tale chel’angolo BAC è di 120° e

l’angolo ABC è di 45°. Risolvere il trian-golo.


l’angolo ABC è di 45°. Risolvere il trian-golo.


l’angolo ACB è di 60°. Risolvere il trian-golo.

È dato un triangolo ABC tale che AC = 10 cm,l’angolo BAC è acuto e il suo seno vale

l’angolo ABC è di 30°. Risolvere il

triangolo. [BC = 15 cm, AB ≈ 19,60 cm, C ≈ 101°24′ ]

34

,

264

B = = ≈⎡⎣ ⎤⎦75 3 3 5 79∞, , ,AB ACcm cm

BC = 3 2 cm,263

C = = ≈⎡⎣ ⎤⎦15 4 2 2 07∞, , ,AC ABcm cm

BC = 4 3 cm,262

C = = ≈⎡⎣ ⎤⎦15 8 3 4 14∞, , ,BC ABcm cm

AC = 8 2 cm,261

A = = ≈⎡⎣ ⎤⎦75 6 2 11 60∞, , ,AB BCcm cm

AC = 6 3 cm,260

B = = ≈⎡⎣ ⎤⎦75 8 3 15 45∞, , ,BC ACcm cm

AB = 8 2 cm,259 È dato un triangolo ABC tale che

l’angolo BAC è acuto e il

suo seno vale l’angolo ABC è di 60°.

Risolvere il triangolo. [BC = 20 cm, AB ≈ 51,57 cm, C ≈ 97°22′ ]




È dato un triangolo ABC tale che BC = 12 cm,l’angolo BAC è acuto e il suo seno vale


triangolo. [AC = AB ≈ 27,04 cm, C ≈ 42°32′ ]




È dato un triangolo ABC tale chel’angolo BAC è acuto e il

suo seno vale l’angolo ABC è di 45°.

Risolvere il triangolo. [BC = 6 cm, AC ≈ 9,90 cm, B ≈ 98°07′ ]

35

,

AB = 5 2 cm,269

15

,

268

20 3 ,cm

310

,

267

45

,

266

513

,

AC = 26 3 cm,265

I triangoli rettangoli - Quia · Del triangolo rettangolo ABC (fig. 3) sappiamo che la misura...

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