Για τον παππού!

Ιωάννης Τζαχρήστας Ιωάννης Τζαχρήστας (Αλγόριθμος Θεωρίας Αριθμών)(Αλγόριθμος Θεωρίας Αριθμών)

Καλώς ήρθατε στο μάθημα γρίφων Καλώς ήρθατε στο μάθημα γρίφων και αλγορίθμων!και αλγορίθμων!

• Ο αλγόριθμος που παρουσιάζω αφορά την Ο αλγόριθμος που παρουσιάζω αφορά την εύρεση ενός αριθμού εύρεση ενός αριθμού κ με τον οποίο πρέπει να με τον οποίο πρέπει να πολλαπλασιαστεί ένας ακέραιος αριθμός με πολλαπλασιαστεί ένας ακέραιος αριθμός με πλήθος ψηφίων πλήθος ψηφίων ψ, ώστε να προκύψει ένας νέος ώστε να προκύψει ένας νέος ακέραιος με πλήθος ψηφίων ακέραιος με πλήθος ψηφίων ψ’=ε∙ψ, τα οποία , τα οποία είναι επανάληψη των ψηφίων του αρχικού είναι επανάληψη των ψηφίων του αρχικού αριθμού με την ίδια σειρά τόσες φορές όσες αριθμού με την ίδια σειρά τόσες φορές όσες απαιτείται από το πρόβλημα, (απαιτείται από το πρόβλημα, (ε).).

• Για να γίνει εύκολα κατανοητό, θα Για να γίνει εύκολα κατανοητό, θα χρησιμοποιήσω πρώτα μερικά παραδείγματα:χρησιμοποιήσω πρώτα μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα 1Παράδειγμα 1

• Δίνεται ο αριθμός 23 (πλήθος ψηφίων, ψ=2).• Να βρεθεί ο αριθμός κ με τον οποίο, αν

πολλαπλασιαστεί το 23, θα προκύψει ο 232323 (αριθμός επαναλήψεων, ε=3)

Απάντηση: ο ζητούμενος αριθμός κ κατασκευάζεται από τόσους «άσσους» (1) όσες είναι οι επαναλήψεις, δηλ. από ε=3 «άσσους» παρεμβάλλοντας ανάμεσα σε κάθε ζεύγος «άσσων» τόσα «μηδενικά» όσα τα ψηφία του αρχικού αριθμού πλην ένα, δηλαδή ψ-1=2-1=1 «μηδενικά».

Ο ζητούμενος αριθμός κ είναι ο 10101.Πράγματι: 23 ∙ 10101=232323

Παράδειγμα 2Παράδειγμα 2

• Δίνεται ο αριθμός 450 (πλήθος ψηφίων, ψ=3).• Να βρεθεί ο αριθμός κ με τον οποίο, αν

πολλαπλασιαστεί το 450, θα προκύψει ο 450450 (αριθμός επαναλήψεων, ε=2)

Απάντηση: ο ζητούμενος αριθμός κ κατασκευάζεται από τόσους «άσσους» (1) όσες είναι οι επαναλήψεις, δηλ. από ε=2 «άσσους» παρεμβάλλοντας ανάμεσα σε κάθε ζεύγος «άσσων» τόσα «μηδενικά» όσα τα ψηφία του αρχικού αριθμού πλην ένα, δηλαδή ψ-1=3-1=2 «μηδενικά».

Ο ζητούμενος αριθμός κ είναι ο 1001.Πράγματι: 450 ∙ 1001=450450

… … και μια ζωγραφιά του κ…όπου οι «άσσοι» και μια ζωγραφιά του κ…όπου οι «άσσοι» είναι «φρουροί» των «μηδενικών»! είναι «φρουροί» των «μηδενικών»!

… Αυτός ο κ=1001001001, αν πολλαπλασιαστεί με έναν τριψήφιο αριθμό, παράγει έναν «κλώνο» του που τα ψηφία του προέρχονται από επανάληψη των ψηφίων του αρχικού 4 φορές (π.χ. ο 324324324324 ισούται με το γινόμενο 324 ∙ κ).

⋅⋅⋅⋅

ΑΑφφιιέέρρωωσσηη

ΕξάσκησηΕξάσκηση

• Να βρεθεί ο αριθμός κ με τον οποίο, αν Να βρεθεί ο αριθμός κ με τον οποίο, αν πολλαπλασιαστεί ο 1234 θα προκύψει ο πολλαπλασιαστεί ο 1234 θα προκύψει ο 123412341234.123412341234.

• Να βρεθεί ο αριθμός κ με τον οποίο, αν Να βρεθεί ο αριθμός κ με τον οποίο, αν πολλαπλασιαστεί ο -502, θα προκύψει ο πολλαπλασιαστεί ο -502, θα προκύψει ο -502502502502.-502502502502.

• Να βρεθεί ο αριθμός κ με τον οποίο, αν Να βρεθεί ο αριθμός κ με τον οποίο, αν πολλαπλασιαστεί ο 1, θα προκύψει ο 111111.πολλαπλασιαστεί ο 1, θα προκύψει ο 111111.

Για την απόδειξη…Για την απόδειξη…

• Χρησιμοποιείστε την Ευκλείδεια Διαίρεση και Χρησιμοποιείστε την Ευκλείδεια Διαίρεση και δείτε πώς προκύπτει ο αριθμός κ.δείτε πώς προκύπτει ο αριθμός κ.

• Διαιρέστε, για παράδειγμα, τον 234234 με τον Διαιρέστε, για παράδειγμα, τον 234234 με τον 234.234.

• Εύκολα θα φτάσετε στη γενίκευση του Εύκολα θα φτάσετε στη γενίκευση του κατασκευαστικού αλγορίθμου για το αριθμό κ, ο κατασκευαστικού αλγορίθμου για το αριθμό κ, ο οποίος τώρα θα είναι το πηλίκο σας….οποίος τώρα θα είναι το πηλίκο σας….

• Διαιρέστε, για παράδειγμα, τον 4747 με τον 2323.Διαιρέστε, για παράδειγμα, τον 4747 με τον 2323.• Τι παρατηρείτε;Τι παρατηρείτε;• Αν χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμό μου, θα δείτε τον ίδιο αριθμό κ=101 να Αν χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμό μου, θα δείτε τον ίδιο αριθμό κ=101 να

συμμετέχει ως παράγοντας τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή του συμμετέχει ως παράγοντας τόσο στον αριθμητή όσο και στον παρονομαστή του κλάσματος 4747/2323.κλάσματος 4747/2323.

• Δηλαδή: Δηλαδή: 4747/2323=(4747/2323=(4477∙∙κ)/(23κ)/(23∙∙κ)=47/23κ)=47/23, όπου κ=101≠0., όπου κ=101≠0.• Όμοια: Όμοια: 474747/232323=(474747/232323=(4477∙∙κ’)/(23κ’)/(23∙∙κ’)=47/23κ’)=47/23, όπου κ’=10101≠0. , όπου κ’=10101≠0. • Όμοια: Όμοια: 134134134134/201201201201=(134134134134/201201201201=(134134∙∙10010010011001001001))//

(201(201∙∙1001001001)=134/201,1001001001)=134/201,

53925392/43764376=(539253925392/43764376=(5392∙∙10001)/10001)/((43764376∙∙10001)=5392/437610001)=5392/4376 κ.ο.κ. κ.ο.κ.• Παρατηρούμε ακόμη ότι: Παρατηρούμε ακόμη ότι: ……

47474747/23232323=474747/232323=4747/2323=47/23.47474747/23232323=474747/232323=4747/2323=47/23. • Το πόρισμα αυτό γενικεύεται σε όλα τα κλάσματα των οποίων οι όροι είναι Το πόρισμα αυτό γενικεύεται σε όλα τα κλάσματα των οποίων οι όροι είναι

«ισοεπαναληπτικές» παραθέσεις «ισοψήφιων» μοτίβων.«ισοεπαναληπτικές» παραθέσεις «ισοψήφιων» μοτίβων.• (… και τώρα ένα μυστικό μου: Οδηγήθηκα στον αλγόριθμο ξεκινώντας από ένα (… και τώρα ένα μυστικό μου: Οδηγήθηκα στον αλγόριθμο ξεκινώντας από ένα

τέτοιο κλάσμα!!!)τέτοιο κλάσμα!!!)

Με τη χρήση του αλγορίθμου αυτού γίνεται εύκολα η απλοποίηση κάποιων κλασμάτων…

Αξιοσημείωτη παρατήρηση - πόρισμαΑξιοσημείωτη παρατήρηση - πόρισμα

Ο παρακάτω κώδικας υλοποιεί την κατασκευή του αριθμού κ του αλγορίθμου.(Εδώ το ε ονομάστηκε φ για προγραμματιστικούς λόγους.)

Για να δοκιμάσετε τον παραπάνω κώδικα, κατεβάστε ελεύθερα το Διερμηνευτή της Γλώσσας από το:

http://alkisg.mysch.gr/downloads/

Κατόπιν, κάντε διπλό κλικ στο αρχείο Γλώσσα.exe, αντιγράψτε και επικολλήστε εκεί τον παραπάνω κώδικα και εκτελέστε τον με F9.

ΚωδικοποίησηΚωδικοποίηση

Αλγόριθμος Γιάννηςκ←1γινόμενο←0Εμφάνισε 'Δώστε έναν ακέραιο:'Διάβασε μοτίβοΕμφάνισε 'Πόσα είναι τα ψηφία του;'Διάβασε ψΕμφάνισε 'Πόσες επαναλήψεις του (>1) θέλετε;'Διάβασε φΓια μετρητής από 1 μέχρι φ-1προσθετέος←10^(μετρητής*ψ)κ←κ+προσθετέοςγινόμενο←κ*μοτίβοΤέλος_επανάληψηςΕμφάνισε 'Θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον ', κΕμφάνισε 'Θα προκύψει έτσι ο ', γινόμενοΤέλος Γιάννης

Πηγές – Βιβλιογραφία - Πηγές – Βιβλιογραφία - linkslinks

http://alkisg.mysch.gr/downloads/

Η εργασία αυτή αποτελεί επινόησή μου.Η εργασία αυτή αποτελεί επινόησή μου.

Για την κωδικοποίηση του αλγορίθμου χρησιμοποιήθηκε το ελεύθερο λογισμικό Για την κωδικοποίηση του αλγορίθμου χρησιμοποιήθηκε το ελεύθερο λογισμικό από το παρακάτω από το παρακάτω linklink::

Σας ευχαριστώ για την Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας!προσοχή σας!

Καλή εφαρμογή!Καλή εφαρμογή!