Hoofdstuk 3 - UGentmvdaele/files/statbio/studslidesh3.pdf · • Zijn de mediaan en het gemiddelde...

Hoofdstuk 3 :Numerieke beschrijving van data

Marnix Van [email protected]

Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica

Universiteit Gent

Numerieke beschrijving van data – p. 1/31

Beschrijvende maten• We beschrijven populaties en steekproeven d.m.v.

karakteristieken

• populaties worden gekenmerkt doorparameters

µ, σ, ρ, . . .

• steekproeven worden gekenmerkt doorstatistieken

x, s, r, . . .

• 3 soorten karakteristieken

• centraliteitsmatenbeschrijven de ligging (location)

• spreidingsmatenbeschrijven de spreiding (dispersion)

• vormmatenbeschrijven de vorm


Centraliteitsmaten• het rekenkundig gemiddelde

• de mediaan

• de modus

• en het meetkundig gemiddelde


Het rekenkundig gemiddeldeHet (rekenkundig) gemiddelde (mean), vanx1, x2, . . . ,xn is

x =x1 + x2 + · · · + xn

n=

1

n

n∑j=1

xj

Het gemiddelde van de waarden 1, 2, 3, 4 en 5 bedraagt

x =1 + 2 + 3 + 4 + 5

5= 3

Het gemiddelde van 1, 2, 3, 4 en 50 bedraagt

x =1 + 2 + 3 + 4 + 50

5= 12

x is gemakkelijk te berekenen maar is gevoelig voor uitschieters.

Middel tegen die gevoeligheid :trimmed meanNumerieke beschrijving van data – p. 4/31

Het rekenkundig gemiddelde

x =1

n

n∑j=1

xj f(x) =1

n

n∑j=1

f(xj)

a x + b=1

n

n∑j=1

(a xj + b)= a x + b

Bijzonder geval :x − x= 0

f(x) + g(x) =1

n

n∑j=1

(f(xj) + g(xj))

=1

n

n∑j=1

f(xj) +1

n

n∑j=1

g(xj)= f(x) + g(x)


Het rekenkundig gemiddeldeGegeven : frequentietabel

Gevraagd : bepaalx.

• discrete data : heeftxi absolute frequentieni, dan

x =1

n

n∑j=1

xj=1

n

∑i

ni xi

Voorbeeld : gemiddelde van1, 2, 1, 3 en2

x =1

5

5∑j=1

xj =1 + 2 + 1 + 3 + 2

5= 1.8

=1

5

3∑i=1

ni xi =2 × 1 + 2 × 2 + 1 × 3

5= 1.8


Het rekenkundig gemiddeldeGegeven : frequentietabel

Gevraagd : bepaalx.

• continue data : benader elkexi door het klassemiddentj

waarvoorti − ∆i

2≤ xj < ti +

∆i

2

x =1

n

n∑j=1

xj≈ 1

n

∑i

ni ti

x =1

117

117∑j=1

xj = 180.538

≈ 1

117

∑i

ni ti = 180.5385


MediaanDemediaan (median)vanx1, x2, . . ., xj, . . . , xn is de middelste

waarde als de metingen gerangschikt worden van klein naar

groot.

De mediaan van de waarden 1, 2, 3, 4 en 5 bedraagt3.

De mediaan van 1, 2, 3, 4 en 50 bedraagt3.

De mediaan is minder gevoelig dan het gemiddelde en kan ook

gebruikt worden bij ordinale data.


De modusDe modus (mode)van een verzameling meetwaarden wordt

gedefinieerd als de waarde waarvoor de frequentie het hoogst is.

In geval gewerkt wordt met klassen, spreekt men van demodale

klasse.

Gebruik :

• bij grote steekproeven de meest populaire waarde

aanduiden

• bij bimodale verdelingen


Het meetkundig gemiddeldeHetmeetkundig gemiddelde (geometric mean)van

x1, x2, . . . , xj, . . . , xn wordt gedefinieerd als

GM = n√

x1 x2 · · · xj · · · xn.

log GM=1

n

n∑i=1

log xi= log x

De logaritme van GM= het (rekenkundig) gemiddelde van de

logaritme van de waarnemingen.

Het GM van 10, 100 en 1000 bedraagt 100 vermits

GM= 3√

10 × 100 × 1000 = 100.

log10 GM=1

3

3∑i=1

log10 xi=1

3(1 + 2 + 3)= 2=⇒ GM = 102 = 100


Centraliteitsmaten : richtlijnenTwee factoren spelen een rol :

• de schaal (kwantitatief of niet-kwantitatief)

• symmetrisch- of scheef-zijn van deverdelingvan de

waarnemingen

Richtlijnen :

• x : bij kwantitatieve data en voor (min of meer)

symmetrische distributies

• mediaan : bij ordinale data en voor kwantitatieve data

waarvan de distributie scheef is

• modus : bij bimodale verdelingen

• meetkundig gemiddelde : bij observaties gemeten op een

logaritmische schaalNumerieke beschrijving van data – p. 11/31

Spreidingsmaten• minimum en maximum

• range

• standaarddeviatie en variantie

• variatiecoëfficiënt

• percentielen


De rangeDe rangevan een verzameling meetwaarden

x1, x2, . . . , xj, . . . , xn wordt gedefinieerd als het verschil

tussen de grootste en de kleinste meetwaarde.


Minimum en maximumKleinste en grootste meetwaarde

Dit geeft iets meer informatie dan de range.

Voorbeeldsteekproef :

• uit meetwaarden :min = 164 cm enmax = 196 cm, d.w.z.

range= 32 cm

• uit frequentietabel :min = 163.5 cm enmax = 196 cm,

d.w.z. range= 33 cm


ProbleemNoch de range, noch min-max kunnen verschillen detecteren

tussen volgende verdelingen :

� �0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6

� �ff

x x

(a) (b)


Spreidingsmaten

• afwijking : x − x =1

n

n∑i=1

(xi − x)

x − x =1

n

n∑i=1

xi − 1

n

n∑i=1

x = x − x = 0

• gemiddelde afwijking: |x − x| =1

n

n∑i=1

|xi − x|

• variantie: (x − x)2 =1

n

n∑i=1

(xi − x)2


SteekproefvariantieDevariantie (variance)s2

X van een verzameling vann waarden

x1, x2, . . ., xn van de grootheidX wordt gedefinieerd als het

gemiddelde van de kwadraten van de afwijkingen van de

waarden t.o.v. hun gemiddeldex :

s2X =

1

n

n∑i=1

(xi − x)2 .

De standaarddeviatie (standard deviation)of standaardafwijking

sX wordt gedefinieerd als de positieve vierkantswortel van de

variantie :

sX =√

s2X .


Verbeterde steekproefvariantieDe steekproefvariantie

s2X =

1

n

n∑i=1

(xi − x)2

is een benadering voor de populatievariantieσ2X .

Men kan aantonen dats2X systematisch een te kleine benadering

levert voorσ2X en dat een betere benadering gegeven wordt door

de zogenaamdeverbeterde steekproefvarianties′2X met

s′2X =1

n − 1

n∑i=1

(xi − x)2 =n

n − 1s2

X .


Steekproefvariantie

s2X =

1

n

n∑i=1

(xi − x)2

s2X = (x − x)2

= x2 − 2x x + x2

= x2 − 2x x + x2

= x2 − x2

s2X =

1

n

n∑i=1

x2i − x2


Steekproefvariantie van functies

s2f(X) = [f(x)]2 − f(x)

2

Toegepast opf(x) = a x + b

s2a X+b = (a x + b)2 − a x + b

2

= a2 x2 + 2 a b x + b2 − (a x + b)2

= a2 x2 + 2 a b x + b2 − (a2x2 + 2 a b x + b2)

= a2 (x2 − x2)

= a2 s2X

sa X+b = |a| sX


Ongelijkheid van ChebyshevVoor om het even welke positieve waardek geldt : minstens een

fractie1 − 1/k2 van alle meetwaarden ligt in het interval

]x − k s, x + k s[.

Bewijs : gegevenn, x ens; kiesk. Verdeel de meetwaarden in

D = {xj | |xj − x| < k s} enV = {xj | |xj − x| ≥ k s} ,

zodat#D + #V = n

n s2 =∑

xj∈D∪V

(xj − x)2≥∑xj∈V

(xj − x)2≥∑xj∈V

k2 s2= k2 s2 (#V )

⇐⇒ #V

n≤ 1

k2,

d.w.z. de fractie van den meetwaarden die totV behoren is

hoogstens1/k2 en dus ligt minstens1 − 1/k2 in D.


Ongelijkheid van ChebyshevVoor om het even welke positieve waardek geldt : minstens een

fractie1 − 1/k2 van alle meetwaarden ligt in het interval

]x − k s, x + k s[.

k ]x − k s, x + k, s[ 1 − 1k2

1 ]x − 1 s, x + 1, s[ 0 = 0%

2 ]x − 2 s, x + 2 s[ 34

= 75%

3 ]x − 3 s, x + 3 s[ 89≈ 90%

Deze regel geldt altijd, hoe het histogram er ook uitziet !

In de praktijk zijn de vermelde fracties meestal hoger !


Vuistregel voor belvormige verdelingen

• ongeveer 68 % ligt in]x − s, x + s[ =]3.128, 7.091[

• ongeveer 95 % ligt in]x − 2 s, x + 2 s[=]1.146, 9.073[

• bijna alle metingen liggen in

]x − 3 s, x + 3 s[=] − 0.836, 11.055[

ni

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

4

8

12

16

20

.......................... ......................

........................

......................

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

..

........

........

........

........

........

........

........

........

.....

........

........

........

........

........

........

........

........

.....

................................................................................................................... ............................................................................................. ......................2 sx

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x = 5.109

s = 1.981


Dez-score van een meetwaardeAls de meetwaardenxj uitgedrukt zijn in bvb. meter, dan

• is x ook in meter

• is s2X in vierkante meter

• is sx in meter

Transformatie :zj =xj − x

sX

zj is dimensieloos met waarden in[−3, 3]

Deze transformatie fungeert als

een soort standaardisatie van de meetwaarden.


VariatiecoëfficiëntDe variatiecoëfficiënt (variation coefficient)van een verzameling

niet-negatieve meetwaardenx1, x2, . . . , xi, . . . , xn van de

grootheidX wordt gedefinieerd als

s

x.


Spreidingsmaten : richtlijnen• sX : alsx wordt gebruikt, d.i. bij min of meer symmetrische

kwantitatieve data.

• Percentielen en interquartielen :

• wanneer de mediaan wordt gebruikt : bij ordinale data of bij

scheef-verdeelde kwantitatieve data

• wanneerx wordt gebruikt, maar als het de bedoeling is

individuele waarnemingen te vergelijken met een

verzameling normen

• interquartiele range : voor de beschrijving van de centrale 50 %

van een distributie, onafhankelijk van de vorm

• range : bij kwantitatieve data als het de bedoeling is de nadruk te

leggen op extreme waarden

• variatiecoëfficiënt : indien kwantitatieve verdelingen op

verschillende schalen worden vergelekenNumerieke beschrijving van data – p. 26/31

Vormmaten• x − x = 0

• (x − x)2 : variantie (spreidingsmaat)

• (x − x)3 : scheefheid

• (x − x)4 : kurtosis

scheefheid en kurtosis zijn vormmaten


ScheefheidDe scheefheid (skewness)vanx1, x2, . . . , xj, . . . , xn wordt

gedefinieerd als

1

n

n∑j=1

(xj − x)3

s3

(a) (b)

(d)(c)

(a) negatief scheef (b) positief scheef

(c) en (d) symmetrischNumerieke beschrijving van data – p. 28/31

ScheefheidVerband met ligging van mediaan en gemiddelde

• Zijn de mediaan en het gemiddelde gelijk, dan is de

distributie min of meer symmetrisch.

• Is het gemiddelde groter dan de mediaan, dan is de

distributie positief scheef.

• Is het gemiddelde kleiner dan de mediaan, dan is de

distributie negatief scheef.


KurtosisDekurtosis (curtosis)vanx1, x2, . . . , xj, . . . , xn wordt

gedefinieerd als

1

n

n∑j=1

(xj − x)4

s4 .

(a)

(b) (c)(a) leptokurtisch (b) platykurtisch en(c) kurtosis≈ 3


Een voorbeeldDescriptives-----------------------------------------------------------------------| | GESLACHT | Statistic | Std. Err| ------- | -- | ----------------- | ----------- | --------- | -------| GEWICHT | m | Mean | 68,87 | ,79| | | ----------------- | ----------- | --------- | -------| | | 95% Confidence | Lower Bound | 67,30 || | | Interval for Mean | ----------- | --------- | -------| | | | Upper Bound | 70,44 || | | ----------------- | ----------- | --------- | -------| | | 5% Trimmed Mean | 68,72 || | | ----------------- | ----------- | --------- | -------| | | Median | 68,00 || | | ----------------- | ----------- | --------- | -------| | | Variance | 73,320 || | | ----------------- | ----------- | --------- | -------| | | Std. Deviation | 8,56 || | | ----------------- | ----------- | --------- | -------| | | Minimum | 52 || | | ----------------- | ----------- | --------- | -------| | | Maximum | 90 || | | ----------------- | ----------- | --------- | -------| | | Range | 38 || | | ----------------- | ----------- | --------- | -------| | | Interquartile Range | 12,50 || | | ----------------- | ----------- | --------- | -------| | | Ske ness | 296 | 224


Hoofdstuk 3 - UGentmvdaele/files/statbio/studslidesh3.pdf · • Zijn de mediaan en het gemiddelde...

Documents

Transcript of Hoofdstuk 3 - UGentmvdaele/files/statbio/studslidesh3.pdf · • Zijn de mediaan en het gemiddelde...