Homogeneisation symplectique

C. Viterbo

Laurent Schwartz

CMLS-21/10/2009

A. Origines du probleme1) Auto-resonance (Ben Amar-Boudaoud-Couder 1999)Corde vibrante avec une bille coulissante : on observe un phenomened’auto-resonance.

Frequence de resonanceω = ωj

Frequence de resonanceω = ωj(ξ)

La position d’equilibre de ξ

« resout » ω = ωj(ξ∞)

Energie :

E(ξ, u) =∫ T0

∫ L0

[|ξ|2 + (1 + µδξ(x))|ut(t, x)|2 −

1

εa(x, ξ)|ux(t, x)|2 + f cos(ωt)u(t, x)

]dtdx

(version non-lineaire : ajouter F (x, u) dans l’ integrale)ξ = µ′(x− ξ)

∫ L0|∂tu(t, x)|2

(1 + µ(x− ξ))∂ttu =1

ε∂x(a(x, ξ)∂xu(t, x))− f cos(ωt)− F ′u(x, u)

Comportement de ξ(t) lorsque ε tend vers 0 :ξ(t) tend vers la solution de ξ(t) +∇W (ξ) = 0 ou W (ξ) est le minimumdu Lagrangien du systeme avec ξ fixe. Il se trouve que cela correspondaussi a un maximum pour l’energie du systeme (a ξ fixe).

2) Homogeneisation des equations de Hamilton-Jacobi (Lions-Papanicolaou-Varadhan, 1986)

(HJk)∂

∂tu(t, x) +H(k · x,

∂u

∂x(t, k · x)) = 0;u(0, x) = f(x)

Soit uk ”la” solution de (HJk). Alors

limk→∞

uk(t, x) = v(x)

solution de∂

∂tv(t, x) +H

(∂v

∂x(x)

)= 0

H est le Hamiltonien effectif.

Questions : en quel sens H(k · x, p) converge vers H(p) ? Que se passet il par changement de variable symplectique ? Y a t il convergence dyna-mique (des flots)

3) Geodesiques d’une metrique homogeneisee. (Acerbi-Buttazzo, 1984)

Soit 〈g(x)p, p〉 metrique sur Tn.

Metrique renormaliseee : gk(x) = g(kx).

La distance pour gk, dk, converge vers d, associee a une metrique Finsle-rienne g.

Est ce que les flots geodesiques convergent ?

Est ce que la longueur des geodesiques non minimisantes converge ?

La metrique g et la metrique g2

La metrique g4

B. Probleme general

H(q, p) Hamiltonien de flot ϕt(q, p)

Peut-on decrire Hk(q, p) = H(k · q, p) lorsque k tend vers +∞

Le flot devient ϕtk

p = k ·∂

∂qH(k · q, p), q = −

∂

∂pH(k · q, p)

If ρk(q, p) = (k · q, p), on a alors ϕtk = ρ−1k ϕktρk

En dynamique Hamiltonienne

Homogeneisation= Perturbation Singuliere = Etude du flot en temps long

Question analogue lorsqu’on homogeneise par rapport a p :H(x, pε) ( ε −→ 0)

ou en cas d’homogeneisation partielle

H(kx, y, px, py)

(dynamique Hamiltonienne lente-rapide)

B. Resultat principal

Theoreme : Il existe un projecteur non-lineaire

A : C20([0,1]× T ∗Tn,R) −→ C0

0(Rn,R)

tel que(1) la suite H(kθ, p) c-converge vers H(p) (ou A(H) = H) . De meme

pour les flots associes ϕtk = ρkϕktρk c-converge vers ϕ (et ϕ est le flot

de H)(2) A s’etend par continuite en une application

C00([0,1]× T ∗Tn,R) −→ C0

0(Rn,R)

(3) A est symplectiquement invariant (i.e.A ◦ ψ = A)(4) A(H) ne depend que de ϕ1.(5) A(H +K) = A(H) +A(K) si {H,K} = 0

C. Remarques

a) Dans le cas convexe, ces resultats relevent en grande partie Γ-convergence.La fonction H est alors la fonction α de Mather.

b) La phrase « ϕ est le flot de H »a un sens, bien que H ne soit que C0....

c) Les solutions pour HJ ne sont pas des solutions de viscosite sauf si Hest convexe en p. Elles ont cependant les memes proprietes (en particulierde continuite), sauf la propriete de semi-groupe.

d) On ne discute pas les implications de cette construction relevant dela topologie symplectique, bien qu’elles permettent parfois de calculer H.Exemple : si H est a support dans ]0,1[n×Rn on a H = 0

E. Applications

1) Homogeneisation pour les solutions variationnelles d’equations d’Hamilton-Jacobi.Homogeneisation pour les Hamiltoniens non-coercifs (et meme a supportcompact).Extension au cas general de l’invariance symplectique de l’homogeneise,demontre par Patrick Bernard dans le cas visqueux-convexe.

2) Convergence de presque tous les invariants variationnels de Hkvers lesinvariants of H.

3) Candidats pour les nombres de rotation des mesures invariantes : ρ(µ) ∈∂H(p)

F. A propos de la demonstration.

La metrique c a les proprietes suivantesProperties :a) Hν

C0−→ H entraıne Hν

c−→ H et ϕtνC0−→ ϕt implies ϕtν

c−→ ϕt.b) L’application H −→ ϕH est continue pour la topologie definie par c.Consequence :1. L’ensemble des Hamiltoniens completes pour c, contient tous les Hamil-toniens continus et leurs flots (voir les travaux de V. Humiliere).Ceci constitue le bon cadre pour l’homogeneisation symplectique

2. Le complete de C20([0,1] × Tn × Rn)pour la metrique c contient les

Hamiltoniens continus, et l’application H −→ ϕH est bien definie (mais avaleur dans le complete).

Ingredients de la demonstration : Le Hamiltonien homogeneise Hse devine facilement.Montrer que Hk c-converge vers H est la partie difficile.

La demonstration de cette convergence utilise deux ingredients

– Topologie symplectique : lorsqueL decrit les Lagrangiens contenus dansTn × Dn, c(L) reste borne.

– Fonctions generatrices et une methode “astucieuse” de franchissementd’obstacles

Let α, β ∈ π1(Tn) ' Zn

`(gk, α) = inf{long(γ) | γ ∈ α}

`(gk, α, β) = inf{ sups∈S1

long(γs) | γs ∈ α, γs(0) ∈ β}

On a

`(gk, α) = inf{dk(x, x+ α) | x ∈ [0,1]n}

Donc limk→∞ `(gk, α) = `(g, α)

On veut demontrer

limk→∞

`(gk, α, β) = `(g, α, β) = `(g, α)

Mauvais passage d’obstacles

Bon passage des obstacles

Autres questions :

Description d’autres compacts pour c?

Lien avec Aubry-Mather dans le cas non-convexe ?

Conjecture : Il existe une mesure invariante de nombre de ro-

tation α des qu’il existe p tel que α ∈ ∂H(p)

Y a t il une version quantique (semi-classique) ? (travail avec

T. Paul)

Merci !