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> Pág. 42. Parásitos y evolución Apuntes científicos uniandinos ISSN 1692-729X > N o. 03 > JUNIO DE 2004 > UNIVERSIDAD DE LOS ANDES > FACULTAD DE CIENCIAS Pág. 10. Proteínas extremas > Pág. 18. Mecánica estadística, topología y el sonido del tambor > Pág. 26. La constante universal π > Pág. 34. Khemeia y alquimia: los orígenes de la química > Pág. 42. Parásitos y evolución Facultad de Ciencias

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Hipotesis 3

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> Pág. 42. Parásitos y evolución

Apuntes científicos uniandinos

ISSN 1692-729X > N o . 0 3 > J U N I O D E 2 0 0 4 > U N I V E R S I D A D D E L O S A N D E S > F A C U L T A D D E C I E N C I A S

Pág. 10. Proteínas extremas > Pág. 18. Mecánica estadística,topología y el sonido del tambor > Pág. 26. La constanteuniversal π > Pág. 34. Khemeia y alquimia: los orígenes de laquímica > Pág. 42. Parásitos y evoluciónFacultad de Ciencias

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> Pág. 3. EditorialEste número de Hipótesis trae lectura en muchos campos paramentes inquisitivas.

> Pág. 4. Cartas del lectorNuestros lectores opinan sobre Hipótesis.

> Pág. 6. Bio-notasEl páramo, Sushi peligroso, Bacteria caníbal y Alimentos irradiados.

> Pág. 8. Problemas y rompecabezasTres problemas más para retar a los entusiastas.

> Pág. 10. Proteínas extremasProteínas que protegen a los organismos de condiciones extremas.Gina Rodríguez y Alejandro Caro.

> Pág. 18. Mecánica estadística, topologíay el sonido del tamborSe analizan los sistemas de Coulomb -salmueras y plasmas- desdepuntos de vista micro y macroscópico. Aldemar Torres y Gabriel Téllez.

> Pág. 26. la constante universal πUna de las constantes matemáticas más importantes:¿Cómo se calcula? Luz Myriam Echeverry.

> Pág. 34. Khemeia y alquimia: los orígenes de la químicaLa etimología de la palabra química cuenta su historia.Edgar Francisco Vargas.

> Pág. 42. Parásitos y evoluciónLa vida sobre la tierra y su evolución no se comprenden sin elparasitismo. Felipe Guhl, Mario Iván Ortíz Yanine, Álvaro Moncayo y Carlos Patiño.

> Pág. 50. Foro de investigaciones de estudiantes> Pág. 51. Facultad de Ciencias Áreas de investigación> Pág. 52. Graduandos de maestría y doctorado,Facultad de Ciencias

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2 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

> hipótesisapuntes científicos uniandinos

No. 3, junio de 20043000 ejemplares

ISSN 1692-792X© 2004

Prohibida la reproducción totalo parcial de esta obra

sin la autorización escrita de los editores

Director:Hernando Echeverri Dávila

Profesor asociado,Departamento de Matemáticas

Comité Editorial:José M. Rolando Roldán

Decano, Facultad de CienciasProfesor titular, Departamento de Física

Leonardo VenegasProfesor asistente,

Departamento de MatemáticasLuis Quiroga Puello

Profesor titular,Departamento de Física

Adolfo AmézquitaProfesor asistente,

Departamento de Ciencias BiológicasJ. Efraín Ruiz S.

Profesor asistente,Departamento de Química

Diseño e imagen:Alfonso F. Castañeda Feletti

Gabriela Rocca Barrenecheatels.: (57.1) 481 1847 / 232 8701

[email protected]ón de textos y correción de estilo:

Luis Rocca Lynn

UNIVERSIDAD DE LOS ANDESFacultad de Ciencias

Carrera 1a. No. 18A - 10Apartado Aéreo 4976

Bogotá, D.C., ColombiaTeléfonos: (571) 332 4533 - 339 4949 -

339 4999, Ext.: [email protected]

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Parásitos y evolución. Las momias más antiguas delmundo se encuentran en Sur América; pertenecen a lacultura chinchorro que existió hace alrededor de nuevemil años en las costas de lo que hoy es Chile. El estudiosobre estas momias y otras alrededor del mundo, en lapaleoparasitología, ha permitido a los investigadores dediferentes ramas, dar respuesta a algunas preguntas re-ferentes a la forma de vida, costumbres y las posiblescausas de muerte de estos seres humanos ancestrales.Foto: Felipe Guhl.

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En esta edición tenemos dos artícu-los para quienes gustan de la historiade la ciencia. “Khemeia y alquimia: losorígenes de la química” relata los co-mienzos de esta disciplina y explica eti-mológicamente la palabra, partiendo desus raíces en la metalurgia primitiva altiempo que señala la codicia humana altratar de obtener oro a partir de mate-riales inferiores. ¡Hasta Newton estuvotentado por esta ambición!

“La constante universal π” narra cómose desarrollaron los métodos para cal-cular esta constante con precisión: seinician con Arquímedes, antes de nues-tra era, y tienen un desarrollo especialen el siglo XX, llegando hasta el másreciente cálculo de más de un billónde cifras decimales con el equipo deKanada en el Japón.

“Parásitos y evolución” también lehace el cortejo a la historia. Nos mues-tra cómo los parásitos, que incluyenbacterias, virus y hasta moléculas, hanestado íntimamente ligados a la evo-lución de la vida en nuestro planeta,desde sus inicios. Este acompaña-miento los hace testigos de nuestrahistoria, siguiendo a los homínidos através de sus migraciones desde Áfri-ca. Parece inverosímil que su testimo-nio, en unas momias de los Andes,pueda afianzar o refutar teorías acer-ca del paso del hombre primitivo alcontinente americano.

Hay también sustancia para los intere-sados en el nivel molecular. “Proteínasextremas” nos descubre un panoramade proteínas que ayudan a ciertos or-ganismos a sobrevivir en condicionesextremas, como temperaturas inferna-les o sequías pertinaces. Interesa el es-tudio de su constitución para descifrarla estructura de los genes que las pro-ducen o expresan. Estos genes podríanproveer de mayor fortaleza a muchosproductos agrícolas.

En una escala más pequeña y de natura-leza más teórica, el artículo “Mecánicaestadística, topología y el sonido deltambor”, mezcla conceptos de estossaberes para perfeccionar las explicacio-nes del comportamiento de sistemascompuestos por iones, como las solucio-nes electrolíticas y los plasmas. En estosfenómenos, características macroscópi-cas de tipo geométrico parecen interferiren la actuación promedio de los iones anivel microscópico.Realmente, estenúmero de Hipótesis trae lectura en mu-chos campos para mentes inquisitivas.

Por otra parte, seguimos mejorandola diagramación, buscando una ima-gen fresca que, siendo juvenil y di-námica, tenga mayor limpieza visual.Queremos que complemente los ar-tículos sin distraer al lector de lostextos que pueden ser complejos.

> Editorial

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4 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

Hola, lastimosamente ahora no estoy enColombia, pero ojeé la revista por Internety me parece interesante el proyecto…Aunque sea una revista de divulgación,por algo se empieza y ¡es necesario parala Facultad promocionar lo que hace!Bueno, si algún día puedo ayudar enalgo…, ahora trabajo la tesis de maestríaen España, sobre bacterias anaerobias.Buena suerte y felicitaciones de nuevo.

Alejandro AcostaEstudiante de MaestríaDepartamento de Ciencias Biológicas

Felicitaciones por la nueva revistacientífica y muchas gracias por elejemplar que se nos envió. Encontré muyinteresantes dos artículos: “La física y laspelículas de jabón” y “Carbón activado”.

Jaime Bernal CastilloQuímico, Ph.D.Director del Departamento de QuímicaUniversidad Javeriana

Ayer en la tarde la llevé (la revista) paraleerla en mi casa y ¡me encantó! Acontinuación hago algunos comentariossobre los artículos: En primer lugar,encontré las “Bionotas” muy interesantes,

curiosas y fáciles de leer para quien, comoyo, los conocimientos de biología se basanen el gusto por admirar la naturaleza.

El artículo sobre el “pH” me hizo regresara las clases de química del colegio; lainformación sobre el “Agua de repollo”acerca la química al ámbito hogareño, ynos invita a experimentar basados en lacuriosidad.

Los problemas y rompecabezas mepusieron entretención pensando;considero a este el mejor método lúdicopara acceder al conocimiento. El “Triángulode Sierpinski” y las “Torres de Hanoi” nospusieron en familia (esposa, hijo de seisaños y yo) a explorar con el juego de sietediscos que tenemos en casa, hasta quenuestro hijo comprendió las reglas básicaspara el movimiento de la pirámide dediscos. Así mismo, nos sorprendimos conla gigantesca cifra sobre la vida de laTierra, derivada de la leyenda de las Torresde Hanoi. Por último, el “Enlace con eltriángulo de Pascal” –que me hizo volver amis primeros encuentros con el álgebra–me pareció ¡espectacular!

Conocer que el carbón activado del filtrode mi casa contiene datos tan sorprenden-tes como que en un gramo de carbónactivado, con un volumen de 0.2 cm3 deporos ¡tiene 400 metros cuadrados desuperficie!, lo hace a uno sorprender conla belleza de la naturaleza.

Por otro lado, ¡al fin entendí cómofunciona el jabón para retirar la mugregrasosa! Y así mismo, respondí a lapregunta –tantas veces planteada a mímismo– de por qué las burbujas poco apoco se van volviendo negras en la partesuperior antes de reventarse.

Finalmente, fue encantador encontrarinformación sobre la famosa investiga-ción que hace la Universidad a través delCIMPAT sobre la enfermedad de Chagas.

César Botero GuingueDirector AdministrativoUniversidad de los Andes

Soy docente de biología y química en uncolegio Distrital nocturno. Quierofelicitarlos por el interesante proyectoeditorial que es de gran ayuda pedagógicapara nosotros los maestros de Cienciasnaturales. La revista nos ayuda aactualizar nuestros conocimientos quedeben redundar en una mejor educaciónpara nuestros alumnos. Por favor, nodecaigan en el importante esfuerzo queestán haciendo.

Guillermo Guevara PardoDocenteColegio Distrital La Amistad

A través de mi hijo, estudiante deMicrobiología en esta Universidad, heconocido el primer ejemplar de la revistaHipótesis que recientemente hanempezado a publicar desde la Facultad deCiencias, y quiero ante todo felicitarlospor la idea y por la calidad en el formato,pero especialmente en el contenido.

Como Coordinadora Académica delGimnasio La Montaña y Jefe de unproyecto dirigido a Primaria denominadoNaturaleza y Sociedad, estaría muyinteresada en contar con esta publicaciónen el Colegio y poder hacer uso pedagógi-co de ella en la animación de losprofesores y estudiantes a la lecturacientífica. Por estas razones, y en caso deser posible, les agradecería me informa-ran a quién debo dirigirme.

Helena Latorre BorreroCoordinadora AcadémicaGimnasio La Montaña

Me parece importante resaltar la maneracomo se combinaron los artículos deprofesores y de estudiantes, con algunosjuegos, pues despiertan la curiosidad ymotivan a pensar en los distintos temasde la Facultad.

La presentación y la edición son realmenteatractivas y muy adecuadas al públicojuvenil. Esta revista es definitivamente un

> Cartas del lector

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logro en términos de la divulgación denuestro quehacer y con gusto colaborare-mos en su distribución entre nuestrosestudiantes y el público en general.

Mauricio LinaresDirectorDepartamento de Ciencias BiológicasUniversidad de los Andes

No quiero dejar pasar la oportunidad paraexpresarles en nombre del Departamentode Química y en el mío propio, mi mássentida felicitación por este gran logro,donde indudablemente a través de estarevista quedan plasmados esos esfuerzosque muchas veces pasan inadvertidos pornuestros científicos Uniandinos. Deseofelicitar al Comité editorial, ya que los queestamos dentro de la comunidadcientífica sabemos lo ardua y difícil quees esta labor.

Juan Carlos MorenoDirectorDepartamento de QuímicaUniversidad de los Andes

En nombre de la comunidad educativa delColegio San Carlos, me permito agradecer-les el envío de la revista Hipótesis de mayode 2003, la cual será de gran interés porlos temas que en ésta se tratan.

Betty Ordóñez P.BibliotecariaColegio San Carlos

Muchas gracias por el envío de lapublicación revista Hipótesis de suprestigiosa Universidad. Conocemos de lasgrandes dificultades que se generan parallevar al público una información de tipocientífico, pero basta con tener pacienciapara no decaer en el empeño de lograr losobjetivos planteados al inicio del proyecto.

Encuentro muy interesante todos losartículos, son de actualidad y lo que másme llama la atención es el hecho de queya los estudiantes de los programas seaventuran a escribir y lo hacen con todapropiedad, como es el caso del estudiantede Matemáticas Oscar Bernal, en buenahora dirigido por sus docentes.

La presentación es buena, y encuentroigualmente interesante las estadísticas deegresados y sus trabajos de grado.

Darío Rojas BlandónVicedecanoFacultad de Ciencias Exactas y NaturalesUniversidad de Antioquia

Estamos interesados en recibir supublicación Hipótesis, ya que a nuestrasmanos llegó el ejemplar Nº. 2 dediciembre de 2003 y consideramos quesu contenido es de gran interés paranuestros usuarios.

Por este motivo nos permitimossolicitarles nos incluyan en su lista deenvíos permanentes.

Gloria Marina Rojas de HernándezDirectoraBibliotecaPontificia Universidad Javeriana, Cali

El Departamento de Física agradece larevista enviada por la Universidad de losAndes, es muy grato saber que losmismos estudiantes de ciencias son losforjadores de un futuro mejor y el avancecientífico en Colombia. Nos gustaría quesiguieran enviando ejemplares como losque nos han llegado, ya que al analizar losdiferentes artículos se evidencia tanto lacapacidad de los estudiantes como de losprofesores para descubrir los grandesmisterios que encierra el universo.Felicitaciones.

Álvaro RugelesDirector del Programa de FísicaUniversidad de Nariño

Agradezco mucho el envío de la revistaHipótesis de la Universidad de los Andes,que es una excelente iniciativa.

Lo divulgaremos en el Observatorio deCiencia y Tecnología, y sin duda, luego leharemos llegar nuestros comentarios.

José Luis Villaveces CardosoDirector EjecutivoObservatorio Colombiano de Ciencia yTecnología

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6 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

El páramo es un ecosistema caracte-rístico de Colombia, Ecuador y Vene-zuela. Bio-geográficamente se ubicaen la cordillera de los Andes, en lafranja situada entre el bosque altoandino y las elevaciones montañosascubiertas de nieves perpetuas, es de-cir, entre 3.000 y 4.000 metros sobreel nivel del mar.

Durante los períodos interglaciares seprodujeron repetidos procesos de ais-lamiento por los cuales los páramosquedaron convertidos en “islas”. Estotuvo como consecuencia la genera-ción de procesos de especiación, de-bido a la separación geográfica de lasespecies, gracias a lo cual existe unagran cantidad de seres endémicos eneste ecosistema.

Las plantas y animales que se encuen-tran en estas regiones representan unimpresionante ejemplo de adaptación,ya que son capaces de soportar lascondiciones extremas del páramo, ta-les como cambios meteorológicosbruscos, radiación solar intensa y altapérdida de agua por evaporación.

Actualmente, este ecosistema sufreun proceso de rápido deterioro. Suprincipal amenaza es la ampliación dela barrera agrícola, que se expande

constantemente en busca de nuevastierras para agricultura y ganadería.Por lo tanto, es de vital importancia elestablecimiento de políticas de conser-vación, prácticas y eficientes, para fre-nar la degradación de un ecosistemaque difícilmente se puede recuperar.

El pez globo, perteneciente a la familiaTetraodontidae, es mundialmente co-nocido por la capacidad que tiene dellenar su cuerpo de agua, como un glo-bo, como mecanismo de defensa. Estepez también es conocido en el Japónpor causar la muerte al 65 por cientode las personas que lo consumen.

Japón es uno de los mayores consu-midores de fugu, nombre del platotípico en el que este pescado se sir-ve crudo, como es costumbre en la co-mida japonesa. Esta es una prácticabastante peligrosa, pues si el pez sesometiera a cocción no produciría laintoxicación debida a la tetrodotoxina,TTX, acumulada en la piel, el intestino,gónadas y vesículas del pez.

La TTX se ha encontrado en algunosgéneros de ranas, caracoles y una es-pecie de pulpo, pero sólo hasta hacealgunos años se determinó que la te-trodotoxina en los peces globo es unaexotoxina, producida por bacterias.Entre estas, la más conocida es Vibriopelagius que vive en las algas rojas, ali-mento principal de estos peces. El pezno sufre al ingerirlas ya que es inmunea la toxina. Una sustancia muy similara la TTX, la saxitoxina, es producida pordinoflagelados, que también pueden seringeridos por los peces globo. Estasdos poderosísimas toxinas actúan blo-queando los canales de Na+ y K+ en laplaca neuromuscular, lo que conducea la muerte a la persona que ingiere elpez en un término que va de cuatro adoce horas.

El estudio de las toxinas es funda-mental para el tratamiento de la in-toxicación, ya que no existe unantídoto eficaz para estos casos y esurgente encontrarlo pues el consumode pez globo no parece disminuir apesar de los riesgos que implica.

Bdellovibrio sp. es un género bac-teriano, extraordinariamente capazde degradar proteínas, que se nu-tre del citoplasma de otras células.Puede atacar a organismos patóge-nos y oportunistas que se encuen-tran en el agua o en el suelo, comolo son las bacterias del géneroSalmonella sp., involucradas en in-toxicaciones alimentarias y las del

> Sushi peligrosoCarlos Alberto Hernández VélezEstudiante de Biología y Microbiología

Paisaje paramuno. Fotografía de Camilo Escallón

> Bio-notas> El páramoCamilo EscallónEstudiante de Biología

Pez globo de la familia Tetraodontidae.http://www.jdchk.org/JDCmarine/teikimemo/

030427fugu.jpg

> Bacteria caníbalJuan Camilo MedinaEstudiante de Microbiología

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género Pseudomonas sp. implica-das en infecciones sistémicas.

Se le ha bautizado con el nombre“Bdello” –que en griego significa san-guijuela–, porque inicia su ciclo de vidaadhiriéndose fuertemente a la super-ficie de algunas bacterias para pene-trarlas y degradarlas internamente conun cocktail de enzimas, y luego divi-dirse y salir de la célula hospedera.

Esta bacteria que come bacterias, esun potencial agente de saneamiento,pues se puede usar para eliminar lospatógenos humanos presentes enaguas o suelos. Se ha secuenciadotodo su genoma, lo cual posibilita lasíntesis artificial de todas sus enzi-mas a partir de la información gené-tica; estas se podrán utilizar en laindustria de alimentos para eliminarpotenciales patógenos humanos yanimales y en la medicina en el desa-rrollo de antimicrobianos de bacteriasmultirresistentes.

La irradiación a los alimentos es unanueva tecnología para reducir el ries-

go de enfermedades transmitidas porla ingestión de comidas. Consiste enexponer el producto a radiaciones io-nizantes durante un período determi-nado de tiempo. En la actualidad lafuente de energía más usada para lairradiación son los rayos gamma pro-venientes de cobalto radioactivo 60Co.

Los productos y envases irradiadosno se vuelven radioactivos debido aque los rayos gamma penetran el en-vase y el producto, pasando a travésde él, sin dejar residuo. La radiacióndestruye células de microorganis-mos, insectos y parásitos sin tenermayor efecto sobre el producto.

El beneficio proporcionado por la irra-diación sobre los alimentos es que es-tos quedan completamente asépticosdebido a que los patógenos potencia-les humanos son destruidos. Ade-más, retarda el deterioro natural delos productos, aunque no previenecontaminaciones ocurridas luego dela irradiación.

Sin embargo, debido a la generaciónde radicales libres sobre lípidos yproteínas, este procedimiento puedegenerar un olor o sabor típico a radia-

ción. El color del producto tambiénpuede afectarse, como en el oscureci-miento de carnes, y puede producirseun considerable ablandamiento en fru-tas y hortalizas. Estas alteraciones seminimizan irradiando el alimento en-vasado al vacío o en atmósferas mo-dificadas, en estado congelado o enpresencia de antioxidantes; de estaforma el olor típico decrece durante elalmacenamiento o después de cocinarel producto. La irradiación no es apro-piada para alimentos con alto conte-nido de agua, como la leche.

Símbolo “Radura”.Debe aparecer impreso en verde en eletiquetado de alimentos tratados por

irradiación. http://www.nutrinfo.com.ar/pagina/info/irrad0.html#1rap

> Alimentos irradiadosClemencia CasasEstudiante de Microbiología

E.coli encapsulada, invadida por Bdellovibriowww.fccc.edu/research/reports/ report95/bayer.html

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8 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

> Problema 1El cambio de alineamiento de las monedas, siguien-do las reglas, se puede hacer en los siguientes tresmovimientos.

> Problema 2Para partir una torta equitativamente entre tres per-sonas, se le pide a una que corte lo que crea es unatercera parte. Luego, por turnos, cada una de las otrasdos puede quitarle un pedazo a esa tercera parte, si leparece muy grande, pero puede negarse a tocarla, sino. La última persona en tocar esa tercera parte sequeda con ella y las otras dos se reparten el resto dela forma usual para dos personas, una la parte y laotra escoge. Es muy fácil generalizar este algoritmo an personas.

> Problema 3Así queda la figura al cortarla en dos partes igualescon una línea continua:

Aquí tenemos tres problemas más para retar a los entu-siastas, junto con las respuestas a los del número ante-rior de Hipótesis. Pueden comunicar sus soluciones [email protected] o enviarle otros problemas.

> Problema 1Este es un bello problema muy conocido. De dos

números del 2 al 99 se le da la suma a Sonia y el pro-ducto a Patricia. Se les pregunta si con la informaciónque tiene cada una, pueden decir cuáles son los núme-ros. Ellas tienen la siguiente conversación:

Patricia: No, yo no sé cuáles son los números.Sonia: Yo sabía que no lo sabrías.Patricia: Entonces ya sé cuáles son.Sonia: Entonces yo también sé cuáles son los números.¿Cuáles son los números? Verifique que sólo conellos se puede tener esta conversación.

> Problema 2En cuatro movimientospase de este arreglocon monedas:

Requisitos: Al mover una moneda no se puede levantary no puede mover ninguna otra; y al colocarla debe to-car a otras dos.

> Problema 3Esta es una famosa paradoja sobre la que se han escritoartículos investigativos proponiendo solución.Le presentan dos sobres cerrados. Cada sobre contieneun cheque y le explican que un cheque es por el dobledel dinero que el otro. Le piden que tome uno de estos.Cuando lo abre, usted descubre que tiene un chequepor diez millones de pesos. Ahora le dan la oportunidadde cambiarlo por el otro. ¿Qué debería hacer, quedarsecon los diez millones o arriesgarse a ganar los veinte?

> Problemas y rompecabezasCarlos MontenegroProfesor asociado del Departamento de Matemáticas

> Solución a los problemasdel número anterior

A este:

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10 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

Proteínas extremasGina Rodríguez / Alejandro Caro

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Complejo GroEL-GroES,proteína de schock térmico.

Modelo tridimensional deGina Rodríguez y Alejandro Caro

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12 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

Figura 1.Autorradiografía que muestra un abultamiento (foto superior)

en el cromosoma IV de Chironomus tentans (http://users.rcn.com/jkimball.ma.ultranet/BiologyPages/P/

Pelling50.jpg)

A principios de los años sesenta, mientras se observa-ban células de las glándulas salivares de la mosca de lafruta, Drosophila melanogaster (Ritossa, 1962), se notóque, cuando estas células se calentaban se inducía la for-mación de unos abultamientos, localizados en áreas delDNA (Figura 1), al tiempo que se incrementaba la con-centración de ciertas familias de proteínas. Así se repor-tó, por primera vez, la respuesta del shock térmico.

> Las proteínas del shock térmicoCuando un organismo se encuentra en un ambiente deestrés genera ciertas reacciones, entre las cuales se en-cuentra la respuesta del shock térmico, en la cual se pro-ducen una serie de proteínas denominadas proteínas deshock térmico o HSP (Heat Shock Proteins). Ellas –conrespecto a su función y estructura– se encuentran entrelas proteínas más conservadas en la historia evolutiva delos organismos, pues cumplen un papel similar en todoslos organismos ya sean archaea, bacterias, levaduras,plantas o animales.

> El estrésUn incremento en alrededor de 5ºC a la temperatura nor-mal de la célula desata la rápida síntesis de HSP. Se hacomprobado que si se somete una célula a este estrés,en pocos minutos, entre el 15 y el 25 por ciento de lasproteínas intracelulares son HSP. Aun cuando las proteí-nas reciben su nombre de acuerdo con la forma en quefueron descubiertas, esto no implica que la respuesta alchoque térmico sea su única función. El frío, la pérdidadel equilibrio osmótico, toxinas, presión extrema, pH ex-tremo y metales pesados, entre otros tipos de estrés, pue-den desencadenar una respuesta de shock térmico. Lascondiciones estresantes para un organismo particular sonaquellas que se salen de las fluctuaciones normales paralas funciones de ese organismo.

Por ejemplo, las plantas de la resurrección que son es-pecies desérticas que parecen resucitar luego de morir,generan un tipo de HSP –llamadas pequeñas proteínasde shock térmico o sHSP, - small Heat Shock Proteins–en sus tejidos vegetativos durante el estrés de escasezde agua. Esta reacción, se piensa, contribuye a la tole-rancia a la desecación. Los embriones del camarón de lasalmuera, Artemia, conocida como seamonkey, uno delos crustáceos que más tolera la falta de oxígeno, contie-ne grandes cantidades de una HSP que, se cree, estabili-za las proteínas durante largos períodos sin oxígeno.Algunos ejemplares de ciempiés, Lithobius, que se en-

cuentran cerca de fundidores metalúrgicos, poseen nive-les de HSP70 más altos que los colectados en áreas nocontaminadas con metales. La hormiga del desierto,Cataglyphis, posee una síntesis de HSP que continúa atemperaturas por encima de 45˚C, en cambio la hormigaforestal, Formica polyctena, que vive en climas tempera-dos a temperaturas por encima de 39˚C, inhibe la sínte-sis de HSP. Es más, las hormigas del desierto, Cataglyphis,elevan voluntariamente su temperatura a más de 50˚Cpara escapar de predadores, y se ha encontrado que losniveles de HSP70 se incrementan antes de someterse aestas altas temperaturas.

Cuando el factor estresante es eliminado, las células con-tinúan normalmente con su metabolismo. Si por el con-trario el estrés continúa aumentando, la funciónprotectora de las HSP se ve diezmada y el organismodetiene su producción y activa el programa de muertecelular autoinducida.

Las proteínas son moléculas gigantes compuestas poraminoácidos enlazados que se pliegan para formar unaestructura tridimensional, llamada conformación tercia-ria, que está relacionada con su función específica. Elestrés genera cambios en la conformación terciaria delas proteínas, desplegándolas, exponiendo al agua a susaminoácidos hidrofóbicos –adversos al agua– y causan-do la pérdida de su función. Este proceso se denominadenaturación de la proteína. Entre proteínas denaturadasocurren interacciones hidrofóbicas que hacen que se atrai-gan entre sí y se agreguen. Las HSP parecen ayudar a lacélula con las proteínas denaturadas, ya sea uniéndose aellas para evitar su agregación, marcándolas para luegodegradarlas, o manteniéndolas desplegadas en un esta-do competente, para que una vez terminado el estrés pue-dan volver a plegarse y recuperar su función normal. En

> “Proteínas extremas”Gina Rodríguez / Alejandro Caro

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Figura 2.Estructura cristalina de diferentes tipos de la pequeña proteína de

shock térmico de Methanococcus jannaschii. [3]

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14 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

el estado competente la proteína no puede llevar a cabosu función, ya que no se encuentra plegada en su formatridimensional; pero todos los aminoácidos que la com-ponen siguen unidos en su estructura primaria, listos paraser plegados de nuevo.

> Chaperonas molecularesSe ha visto que muchas HSP están siempre presentes enla célula, aunque cuando hay estrés sus niveles suben.Se cree que su función principal es asistir el plegamientode algunas proteínas recién sintetizadas –algunas se plie-gan espontáneamente–, por lo que se les denomina cha-peronas moleculares. Estas chaperonas no forman partede la estructura final de la proteína funcional, sólo se unena ella para asistir en su plegamiento, ensamblaje y trans-locación a otra parte de la célula donde la proteína cum-ple su función. Hay dos hechos que evidencian que laschaperonas asisten el plegamiento de las proteínas: pri-mero, ciertas proteínas recién sintetizadas están transi-toriamente asociadas a moléculas chaperonas, y segundo,

se ha observado a las chaperonas asistir en el plegamientode las proteínas in vitro.

Se cree también, que los distintos grupos de HSP traba-jan coordinados. Por ejemplo, una proteína como la ro-danasa, cuando se denatura, se une a la HSP70 y éstapreviene su agregación manteniéndola en el estado com-petente hasta que se una a la proteína HSP60 (Figura 3)que es la que media el paso del estado competente a laestructura plegada funcional. Los cambios de una pro-teína pueden comprometer a varias chaperonas, depen-diendo de su propia estructura y de la disponibilidad delas chaperonas.

> Composición de lassHSP de organismos segúnla temperatura de su hábitatEl estudio de la composición de las HSP puede ser muyútil para comprender los mecanismos de protección uti-lizados por distintas células contra ciertos tipos de es-

PrimerAnillo deGroEL

SegundoAnillo deGroEL

DominioEcuatorial

Visagra

DominioApical

GroES

Figura 3.Estructura de HSP60 o GroEl-GroES. [11]

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Lactobacillus plantarum WCFS1Synechocystis sp. PCC6803Desulfitobacterium hafnienseFerroplasma acidarmanusMethanosarcina mazeiHalobacterium NRC-1

Termoplasma volcaniumThermoanaerobacter tengcongensisMethanothermobacter thermautrophicusSynechococcus vulcanusTermoplasma acidophilumThermosynechococcus elongatus BP-1

Thermotoga maritimaAquifex aeolicua VF5Archaeoglobus fulgidus DSM4304Carboxydothermus hydrogenoformansSulfolobus solfataricusMethanococcus jannaschii

Pyrococcus horikoshiiPyrococcus abysiiPyrococcus furiosusPyrobaculum aerophilum IM2Aeropyrum pernixMethanopyrus kandleri AV19

BacteriaBacteriaArchaeaArchaeaArchaeaArchaea

ArchaeaBacteriaArchaeaBacteriaArchaeaBacteria

BacteriaBacteriaArchaeaBacteriaArchaeaArchaea

ArchaeaArchaeaArchaeaArchaeaBacteriaArchaea

3737-3937373737

6065655555-6055

80858370-7270-8580-85

981031009890-9590-98

CAD65464.1BAA16996.1ZP_00100070.1ZP_00000183.1AAM31115.1AAG20020.1

NP_111294.1AAB85357AAM25703.1BAA32501.1CAC11993.1NP_681663.1

AAC79726.1AAC07270.1AAB89284.1AAG23578.1NP_343935.1NP_247258.1

NP_143673.1CAB49339.1AAF71367.1AAL64725.1NP_148279.1AAM01219.1

Mesófilos

Termófilos

Hipertermófilos

MuyHipertermófilos

Grupo Organismo Categoría Temperaturaóptima (ºC)

No. Acceso enGenBank

trés, lo que podría tener una aplicación clínica o indus-trial. La industria de las enzimas que poseen organis-mos que viven en condiciones extremas, llamadosextremófilos, ha tenido un auge especial en las últimasdécadas, por su aplicabilidad en procesos industrialesen condiciones extremas.

Nuestro estudio se centró en las proteínas de shock tér-mico entre extremófilos, específicamente las llamadas pe-queñas proteínas de shock térmico o sHSP. El objetivofue mostrar estadísticamente que ellas difieren significa-tivamente en sus contenidos de ciertos aminoácidos cla-ves para su estabilidad en altas temperaturas, según latemperatura del hábitat del organismo al cual pertene-cen. Los microorganismos del estudio, veinticuatro dife-rentes especies de bacterias y archaea, se dividieron encuatro grupos: los mesófilos cuya temperatura óptimaes cercana a los 37˚C, los termófilos con temperaturasóptimas entre 55˚C y 60˚C, los hipertermófilos entre 70˚Cy 85˚C, y los muy hipertermófilos con temperaturas ópti-mas mayores de 90˚C.

Se escogió estudiar las pequeñas proteínas de shock tér-mico porque son chaperonas comunes a los diferentesorganismos y son muy importantes para la superviven-cia en altas temperaturas y la adquisición de termotole-rancia. Además se eligieron organismos de los dominiosbacteria y archaea, repartidos de seis en seis en los cua-tro grupos (Tabla 1). Las archaea son microorganismosunicelulares cuyo genoma se encuentra más emparenta-do con el de los eucariontes –animales, plantas– que conel de las bacterias, siendo que morfológicamente son muysimilares y se encuentran, en ambas, adaptaciones a ran-gos de temperatura bastante amplios. Por otra parte, sonobjeto de muchas aplicaciones en procesos biotecnológicos.

Las secuencias de aminoácidos en cada proteína se en-cuentran en la base de datos de la National Center forBiotechnology Information, llamada GenBank en Internet.

> Nuestros hallazgosSe conoce que hay ciertos aminoácidos que por su natu-raleza le confieren estabilidad a las proteínas, y hay ami-

Tabla 1.Organismos de este estudio, dominio al que pertenecen y temperatura óptima de crecimiento.

Page 18: hipÓtesis 3

16 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

noácidos que se presentan más en termófilos que enmesófilos. En este estudio mostramos, en efecto, que losaminoácidos glutamato y arginina se presentan con ma-yor frecuencia en las pequeñas proteínas de shock tér-mico de los organismos que habitan en las temperaturasmayores (70-87˚C y de 90-103˚C) que en los que habitanlas temperaturas menores (37-39˚C y de 55-60˚C).

El glutamato y la arginina son aminoácidos de carga ne-gativa y positiva, respectivamente, y reportes anterioresenuncian que los hipertermófilos presentan un conteni-do de aminoácidos con carga eléctrica mayor que losmesófilos, aumentando la disposición de los puentes sa-linos que mantienen estable la estructura tridimensionalde las proteínas. Se enuncian otros quince posibles fac-tores fisicoquímicos que afectan la termoestabilidad, en-tre ellos la estabilización del dipolo de las hélices, la cualmantiene estable la estructura terciaria de la proteína [4,5].Como las sHSP contienen hélices alfa, esto explicaría, enparte, un posible mecanismo de estabilización de estasproteínas.

Por otra parte, mostramos que los aminoácidos gluta-mina, treonina y asparagina presentan una frecuenciasignificativamente reducida en los organismos hiperter-mófilos, en relación con los mesotermófilos. La gluta-mina y la asparagina tienen reacciones que desestabilizanlas proteínas, luego la reducción en el contenido de es-tos aminoácidos es un indicativo de que las diferenciasentre estos aminoácidos sí tienen un significado biológi-co, que puede estar relacionado con un tipo de estrategiapara evitar reacciones desestabilizantes.

Con respecto al aminoácido glicina, a pesar de encontrardiferencias significativas entre los cuatro grupos, no seencontró que se siguiera el orden de los rangos de tem-peraturas establecidos –de mayor a menor temperaturao viceversa–, por lo que se sugiere que el contenido deeste aminoácido que difiere entre los grupos de microor-

ganismos sigue otros criterios. En este estudio sólo seobservó la relación entre los grupos formados por ran-gos de temperatura y el contenido de aminoácidos pero,como se mencionó, la temperatura no es el único tipo deestrés que puede determinar la naturaleza de las sHSP.Hay muchos otros tipos de estrés y, siendo estos micro-organismos de una ecología tan variada, puede estar in-terviniendo un factor que no se está tomando en cuentadentro del estudio. Por ejemplo, muchas de las archaeashipertermófilas también viven en ambientes muy ácidos,luego el pH puede ser un factor no medido que estaríaafectando los resultados [5].

Aunque las sHSP son proteínas muy conservadas y exis-te una alta homología entre las de las archaea y las de lasbacterias, se quiso comprobar si había interacción entreel contenido de aminoácidos y el dominio de los micro-organismos –archaea o eubacteria–. Sólo se encontró in-teracción para la metionina, que es más abundante enlas proteínas de las archaea. Este resultado corrobora re-portes de dominios ricos en metionina en la HSP60 deThermococcus litoralis y de otras archaea [8], aunquelas razones de esta diferencia no se conocen aún.

El estudio corrobora resultados anteriores que sugierenque algunas sHSP, en su evolución, han incrementado sutermoestabilidad con cambios en el contenido de ciertosaminoácidos, como el glutamato, la arginina, la glutami-na, la treonina y la asparagina. Las sHSP son proteínasmuy importantes para mantener la viabilidad de ciertascélulas al conservar la estabilidad durante un choque tér-mico. Parecen tener actividad chaperona, que pliegan pro-teínas nuevas y denaturadas, las ayudan a mantenerseen un estado competente, durante períodos de estrés,para poder ser plegadas de nuevo, luego del shock tér-mico. De esta manera son responsables, en parte, de latermotolerancia adquirida por algunos microorganismos,aunque los mecanismos son aún desconocidos.

Page 19: hipÓtesis 3

17

> Referencias[1] Tosco A., Birolo L., Madonna S., Lolli G., Sannia G. yMarino G. “GroEL from the psychrophilic bacteriumPseudoalteromonas haloplanktis TAC 125: molecularcharacterization and gene cloning”. Extremophiles7:17-28 (2003).

[2] Gusev N.B., Bogatcheva N.V. y Marston S.B. “Structureand Properties of Small Heat Shock Proteins (sHsp)

and Their Interaction with Cytoskeleton Proteins”.Biochemistry 67: 613-623 (2002).

[3] Kyu K., Kim R. y Kim S.H. “Crystal structure of a smallheat-shock protein”. Nature 394: 595-599 (1998).

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[6] Madigan M., Martinko J. y Parker J. Brock Biología delos Microorganismos. 8ª ed. Prentice Hall, 1999.

[7] Feder M. E. “Heat-shock proteins, Molecularchaperones, and the stress response: Evolutionary andEcological Physiology”. Annual review of physiology61:243-282 (1999).

[8] Mogk A., Tomoyasu T., Goloubinoff P., Rüdiger S.,Röder D., Langen H. y Bukau B. ”Identification ofthermolabile Escherichia coli proteins: prevention andreversion of aggregation by DnaK and ClpB”. The EMBOJournal. 18: 6934-6949 (1999).

[9] Llorca O., Galán A., Carrascosa J. L., Muga A., yValpuesta J. M. “GroEL under Heat-Shock. Switchingfrom a Folding to a Storing Function”. The Journal ofBiological Chemistry. 273: 32587-32594 (1998).

[10] Johnson J. L y Craig E.A. “Protein Folding In Vivo:Minireview Unraveling Complex Pathways”. Cell.90: 201-204 (1997).

[11] Levy-Rimler G., Bell R., BenTal N., Azem A. “Type Ichaperonins: not all are created equal”. FEBS Letters. 2002.

> Reseña de los autoresGina RodríguezEstudiante de décimo semestre de Microbiolo-gía con opción en Biología.

Alejandro CaroEstudiante de noveno semestre de Microbiología.

Los autores se interesaron en el tema por susinvestigaciones para los cursos de Herramien-tas para explorar el genoma, Bioestadística yGenética molecular microbiana.

Page 20: hipÓtesis 3

18 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

Mecánica estadística,topología y el sonido del tamborAldemar Torres / Gabriel Téllez

Page 21: hipÓtesis 3

19

Plasma, un sistema de Coulomb.http://www.mit.edu/~johanna/europe/edinburgh/plasma.jpg

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20 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

Los fenómenos químicos, presentes en todas nuestrasactividades cotidianas y gracias a los cuales es posible laexistencia tal como la conocemos, consisten en la reor-ganización de las partes constituyentes de la materia: lasmoléculas y los átomos. Estos a su vez están compues-tos de partículas cargadas eléctricamente. Generalmenteestos constituyentes microscópicos son eléctricamenteneutros. Sin embargo, es posible que fenómenos físicoso químicos produzcan partículas con carga neta diferen-te de cero. El escenario de tales sistemas a nivel micros-cópico es el de muchas partículas interactuando mediantela fuerza electrostática de Coulomb. En este artículo dis-cutimos algunas propiedades de estos importantes sis-temas, en particular propiedades que dependen de suforma, o más precisamente de su topología, lo cual nospermitirá encontrar una relación interesante entre estossistemas, tan comunes en nuestras vidas, con concep-tos matemáticos que podrían pa-recer lejanos a nuestra realidad.

> Un poco de topologíaDesde nuestra niñez hemos esta-do familiarizados con las formasdel mundo que nos rodea. Es asícomo aprendemos que un trián-gulo es diferente a un círculo yestos a su vez son diferentes deun cuadrado. Probablemente, deobservaciones tan “obvias” comoestas surgió lo que conocemoscomo la geometría euclidiana. Sinembargo, no toda la matemáticaestá sustentada en observacionescomo esas. Por ejemplo, para latopología, el número de lados oángulos de un triángulo no sonrelevantes, lo que importa sonaquellas propiedades de la figuraque permanecen inalteradas bajodeformaciones. Es así como en elsentido topológico, un triángulo,un círculo y un cuadrado sonequivalentes.

Por esta razón, John L. Kelley, un cono-cido matemático del siglo XX, solía refe-rirse a los topólogos como matemáticosque no conocen la diferencia entre unadonut o rosquilla y una taza de café [1].Afortunadamente esta diferencia es ob-

via en lo concerniente a la vida práctica –¡a nadie le gus-taría masticar su tasa de café mientras agita el azúcar desu rosquilla caliente!–, sin embargo, el concepto de iden-tidad topológica no está tan lejos de nuestra realidad físi-ca como podría pensarse. En este artículo veremos unejemplo de cómo la igualdad de dos sistemas, en el sen-tido topológico, hace que ellos posean características si-milares en una propiedad física: su energía, que essusceptible de ser medida. Pero antes, permítanos el lec-tor plantearle un pequeño acertijo topológico:

Considere las estructuras de la figura 1, hechas de esfe-ras conectadas por bandas elásticas. ¿Cuáles de ellas sontopológicamente equivalentes? Encuentre las respuestasal final del artículo.

Un invariante topológico, es una cantidad que se mantie-ne invariante bajo transformacio-nes topológicas, es decir, bajodeformaciones “elásticas” quemantienen la proximidad entrepuntos vecinos [2]. Transforma-ciones como estas nos permitenconvertir una en otra las estruc-turas topológicamente equivalen-tes de la figura 1, y la forma de latasa llena de café de nuestroejemplo anterior en una donut. Endos dimensiones, el invariante to-pológico más importante se co-noce como el número de Euler yse denota por la letra griega χ(chi). Así, dos figuras topológi-camente equivalentes compartenel mismo número de Euler. La de-finición de este número es muysencilla [1,5]:

χ=2-(2 x número de asas o aga-rraderas)-(número de bordes).

Por ejemplo, una esfera no tienebordes y tampoco asas. Por otro

> Mecánica estadística,topología y el sonido del tamborAldemar Torres / Gabriel Téllez

Figura 1.Equivalencia topológica

Page 23: hipÓtesis 3

21

lado, la donut de nuestro ejemplo notiene bordes pero tiene una agarra-dera y su número de Euler es cero, elmismo que el de una taza llena decafé, la cual también tiene una aga-

rradera. Como ejercicio, ¿podría ellector encontrar el número de Eulerde los siguientes objetos de la figura2? Encuentre las respuestas al finaldel artículo.

> Un poco de mecánica estadísticaYa sea por razones culinarias o cien-tíficas, todos algunas vez en la vidahemos realizado la simple tarea dedisolver sal en agua. Pero ¿en quéconsiste el proceso de disolución?Consideremos un cristal de sal, re-cordemos que este sólido está forma-do por átomos de sodio y átomos decloro. Recordemos también que elagua es un compuesto polar, es de-cir que sus moléculas tienen un ex-tremo positivo y otro negativo.Cuando un cristal de cloruro de sodioes introducido en el agua, se produ-ce una interacción entre las molécu-las de agua y los átomos del sólido,de forma tal que estos últimos tien-den a separarse. Los átomos de cloroquedan con una carga neta negativaque atrae la parte positiva de las mo-léculas de agua. Similarmente los áto-mos de sodio, que quedan con unexceso de carga positiva, atraen la

Figura 2.Objetos con asas y bordes,

para calcular su número de Euler

1

2

3

4

5

parte negativa de las moléculas deagua, produciéndose así una solu-ción de iones como se muestra enla figura 3.

Se dice entonces que los iones hanquedado solvatados, es decir rodea-dos por las moléculas del solvente.En el caso particular del agua, se diceque los iones han quedado hidrata-dos. Tal solución de iones es un ejem-plo de lo que en química se conocecomo electrolito [3]. A causa de la di-ferencia en la carga eléctrica, los io-nes interactúan entre sí mediante lafuerza de Coulomb. Los electrolitosy otros sistemas físicos formados pormuchas partículas que interactúanmediante una fuerza de este tipo seconocen genéricamente como siste-mas de Coulomb. En esta denomina-ción se incluyen además los plasmas.Estos son gases tan calientes que acausa de la agitación térmica sus mo-léculas se rompen produciéndose io-nes con diferente carga eléctrica.

Veamos ahora cómo nuestra simplesolución de sal en agua es en reali-dad un sistema físico asombrosa-mente complicado. Supongamos quedisolvemos una cucharada de sal co-mún, aproximadamente 20 gramos.Como el peso molecular de la sal es58.44 g/mol, en tal cantidad de agua

Figura 3.Solvatación de NaCl

Page 24: hipÓtesis 3

22 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

debe haber aproximadamente 13

6 1023×( ) moléculas, que alhidratarse producen el mismo número de iones de sodioy otros tantos de cloro. Suponga ahora el lector que sededicara toda su vida a contar y trabajara a toda veloci-dad, desde la edad que aprendió a contar hasta la edadde su retiro, sesenta y cinco años. Sería considerado unaestrella si alcanza a la cifra de 2 x 109. Ahora, supongaque toda la humanidad, aproximadamente 7 x 109 perso-nas se dedican a contar. Para alcanzar a contar uno poruno los iones de nuestra solución, en el régimen laboraltendría que cambiarse la edad de jubilación a 6’500.000años, lo cual seguramente disgustaría a muchos sindica-tos. Pero eso no es todo, recuerde el lector que cada ioninteractúa con todos los demás iones de la solución me-diante la fuerza de Coulomb. Así que si quisiéramos en-contrar las ecuaciones que gobiernan el movimiento delsistema tendríamos que sumar

fuerzas. Aquí hemos multiplicado por un factor 12 para

no contar dos veces la misma fuerza.

Obviamente ante semejante cifra tan monstruosa las leyesde la mecánica newtoniana o el poder de las computado-ras son inútiles. Este tipo de problemas dieron origen a loque se conoce como mecánica estadística. En esencia, lamecánica estadística nos permite hacer indirectamentetales sumas. En el mundo macroscópico la suma de esegran número de fuerzas se manifiesta como la presión y

tensión superficial del sistema. Cantidades como estasse conocen como propiedades termodinámicas y son laresultante a nivel macroscópico de las complicadas inte-racciones que ocurren a nivel microscópico en la materia.

Aunque la mecánica estadística es una herramienta po-derosa, para poder encontrar las propiedades termodi-námicas de nuestra solución de sal en agua, es necesariointroducir simplificaciones al problema. Es posible de-mostrar que si la concentración de los iones es suficien-temente baja, de forma tal que la energía de agitacióntérmica de los iones sea mayor que la energía de interac-ción electrostática, los iones ya no interactúan todos entresí sino únicamente con sus vecinos más cercanos. Talrégimen se conoce como el régimen de Debye-Hückel.En este, cada partícula del sistema crea alrededor de síuna nube de iones de carga opuesta que apantallan lainteracción de Coulomb limitándola a los iones de la nube.Así, un ion que se encuentre fuera de ésta prácticamenteno sentirá la presencia del ion apantallado.

Esta nube de apantallamiento es en realidad muy difusaa causa de la agitación térmica de los iones. Su tamañopromedio se conoce como longitud de Debye y se sim-boliza lD . Esta es una cantidad muy importante en lamecánica estadística de los fluidos iónicos y puede va-riar considerablemente dependiendo de la temperatura,la concentración y la carga de los iones [4]. Como todosestos parámetros son fáciles de controlar en el laborato-rio, la longitud de Debye es también una cantidad muyimportante en física experimental. Como veremos a con-tinuación, los sistemas con distintas longitudes de Debyemuestran marcadas diferencias en sus propiedades.

> Nuestros resultados¿Qué tiene que ver el invariante topológico χ con nues-tra solución de sal o más generalmente con los sistemasde Coulomb? Para responder esta pregunta empezare-mos considerando uno de tales sistemas en forma dedisco. La frontera del sistema está rodeada de un mate-rial conductor, un metal por ejemplo, que se mantieneconectado a tierra para que el potencial eléctrico en lafrontera del disco sea constante e igual a cero. Reciente-mente los autores desarrollaron un método para calcu-lar las cantidades termodinámicas para este sistema [5].Estas se pueden escribir convenientemente en una solaexpresión, la cual se conoce en termodinámica como elgran potencial y se denota por la letra griega Ω (omega).El gran potencial representa la máxima energía que se

Figura 4.Esfera de Debye

Page 25: hipÓtesis 3

23

puede sacar, como trabajo, de un sistema termodinámi-co. Para aclarar este concepto, consideremos el siguien-te ejemplo:

En la figura 5 vemos un sistema confinado a un ciertovolumen. Una de las paredes es un émbolo que puedemoverse libremente dependiendo de las condiciones delsistema y del ambiente que lo rodea. Supongamos queesta pared móvil está hecha de un material que permiteel paso de partículas. La pared puede moverse hacia laderecha a causa de dos mecanismos. Cuando el sistemase calienta se expande y mueve la pared. Por otro lado,partículas del exterior pueden entrar al sistema aumen-tando la presión en el interior, la cual mueve la pared. Enambos casos se produce una fuerza neta sobre la paredmóvil, la cual al moverse entrega trabajo al ambiente alcomprimirse el resorte. La máxima cantidad de trabajoque puede sacarse del sistema es la diferencia del granpotencial entre los estados inicial y final.

En el caso del sistema de Coulomb en el disco, nuestroscálculos arrojaron el siguiente resultado:

La constante kB se conoce como constante de Boltzmanny T es la temperatura del sistema. Así, k

BT es la energía

cinética promedio de uno de los iones. Esta cantidad seintroduce en la fórmula para que el gran potencial quede

expresado en estas unidades naturales de energía. En elprimer término, del lado derecho aparece el factor πR2 ,que es justamente el área de un disco de radio R. Así queel coeficiente que acompaña a este factor nos da la pre-sión del sistema. El símboloγ se conoce como la cons-tante de Euler –no confundirla con la característica deEuler χ– que tiene el valor aproximado de 0.57721. Laparte entre corchetes cuadrados es prácticamente cons-tante ya que la función logaritmo varía muy lentamenteal cambiar su argumento, pero el término

sí puede variar considerablemente al cambiar la longitudde Debye. Vemos entonces que la presión del sistemadepende fuertemente de los parámetros de los que de-pende lD , es decir de la concentración, la temperatura yla carga de los iones. El coeficiente que acompaña a 2πR,el perímetro del disco, nos da la tensión superficial. Éstatambién depende intensamente de la longitud de Debye;así, un sistema con lD pequeña mostrará una gran ten-sión superficial.

El tercer término, sin embargo, es de una naturaleza muydiferente. Este término es independiente de las propieda-des microscópicas del sistema, ya que no depende delD . Es decir, no importa si cambiamos el tipo de ionesque estamos considerando o su concentración, este tér-mino en el gran potencial siempre será el mismo. En estesentido decimos que este es un término universal en elgran potencial.

Veamos ahora qué pasa si cambiamos la forma de nues-tro sistema. Supongamos que en lugar de ser un disco,el sistema tiene forma de anillo, con frontera interior deradio R

1 y frontera exterior de radio R

2, ambas conecta-

das a tierra. En este caso nuestros cálculos del gran po-tencial arrojaron el resultado:

La presión del sistema, el coeficiente que acompaña elárea del anillo π R R2

212−( ) en el primer término, resulta

ser igual al caso del disco. La tensión superficial, el tér-mino que acompaña al perímetro total del anillo, 2π(R

1 +

R2), es también igual. Nuevamente ambas cantidades de-

penden de las propiedades microscópicas del sistema,es decir de lD . Notamos sin embargo que en este caso eltercer término, el término universal, no aparece.

Figura 5.Pared adiabática permeable dentro de un émbolo

Page 26: hipÓtesis 3

24 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

Es hora de usar nuestros conoci-mientos de topología. Recordemosque el número de Euler, χ, para undisco es uno y para un anillo es cero.¿Será posible entonces que el coefi-ciente de nuestro término universaltenga algo que ver con el número deEuler del sistema? Ciertamente un parde ejemplos no son suficientes paraafirmar tal cosa, pero la investigaciónde los autores demuestra que es así.

Para lograr probar esto fue necesa-rio encontrar el gran potencial paraun sistema de forma arbitraria. Eneste caso general, encontramos queel término universal es igual a:

Rln6χ

.

Así, en el caso de un disco χ = 1, estetoma el valor:

16

ln R

y en el caso de un anillo este térmi-no se anula lo cual concuerda connuestros resultados previos.

> Escuchando la forma de untambor: algunos detallessobre nuestro métodoComo mencionamos en la secciónanterior, para encontrar la expresióngeneral del término universal en elgran potencial, necesitamos resolverel problema para cualquier geome-tría. La solución a este problema estámuy relacionada con un problema dematemáticas famoso, que fue plan-teado y parcialmente resuelto porMark Kac en los años sesenta. Un co-lega suyo, el profesor Berg, sugirióplantear el problema en los siguien-tes términos: “¿si usted conociera lasfrecuencias del sonido de un tambor,podría averiguar la forma de su mem-brana?”, o en palabras de Kac: “¿pue-

de uno escuchar la forma de un tam-bor?” [6].

Este problema todavía no está resuel-to en su aspecto general pero, cuan-do la membrana del tambor tiene laforma de lo que los matemáticos lla-man “variedad Riemanniana”, se hapodido demostrar que es imposibledeterminar la forma exacta de lamembrana del tambor conociendosus frecuencias. Sin embargo, Kac yposteriormente McKean y Singer [7]lograron demostrar que es posibledeterminar su área superficial y suscurvaturas. Por curvaturas nos refe-rimos no sólo a la curvatura del bor-de de la membrana sino también a lacurvatura “interior”, como se ilustraen la figura 6.

¿Qué tiene que ver todo esto con elnúmero de Euler y con nuestro pro-blema de calcular el gran potencialpara un sistema de Coulomb? La re-lación con el número de Euler vieneen la forma de otro famoso teorema,el teorema de Gauss-Bonnet [8]. Esteresultado relaciona ciertas integrales,en términos de las curvaturas de una

superficie, con el número de Euler.En el lenguaje de Kac, este importanteresultado de geometría diferencialnos dice que es posible oír el núme-ro de Euler de la membrana de untambor.

La relación de este problema geomé-trico con los sistemas de Coulombtiene que ver con las frecuencias. Ma-temáticamente, estas frecuencias sonuna sucesión de números cada unode los cuales tiene asociada una fun-ción llamada “función propia”. Estasfunciones se pueden utilizar como unmolde para expresar otras en térmi-nos de una suma infinita de ellas. Ennuestro trabajo utilizamos este hechopara expresar el potencial de Coulomben términos de tales funciones pro-pias. Luego, mediante una transfor-mación utilizada en el estudio de lateoría de campos cuánticos, conoci-da como “transformación de Sine-Gordon”, logramos expresar el granpotencial como un producto infinitoen términos de las frecuencias delsistema de Coulomb, entendidocomo la membrana de un tambor.Como se explicó anteriormente, la in-

Figura 6.Membrana de un tambor en

vibración (simulaciónexagerada). La curvatura

«interior» de la membranase refiere a la que resulta de

la ondulación de lavibración

Page 27: hipÓtesis 3

25

formación sobre la geometría de la membrana está con-tenida en estas frecuencias. En nuestro caso esta geo-metría corresponde a la forma del sistema de Coulomb,por ejemplo el anillo o el disco en nuestros ejemplos an-teriores. Así, utilizando algunas funciones especiales yun procedimiento matemático conocido como “la regu-larización zeta”, para encontrar nuestro producto infini-to, logramos conectar el gran potencial con los resultadosde Kac, McKean y Singer. El lector interesado en los de-talles de este cálculo puede consultar la tesis de maes-tría de Aldemar Torres, la cual se encuentra disponibleen la Biblioteca de la Universidad de los Andes [9].

> Resumen y conclusiónHemos visto cómo una taza del café una rosquilla y unpuñado de sal disuelta en agua tienen más en comúnque ser ingredientes del desayuno de muchos de noso-tros. Los físicos teóricos frecuentemente utilizan ideasmatemáticas muy abstractas para generalizar sus teo-rías, hacerlas compatibles con otras y aplicables al ma-yor número posible de sistemas, por distintos queparezcan al escrutinio de nuestros sentidos. Detrás deesas poderosas estructuras del pensamiento está la rea-lidad física del mundo material, de las cosas que pode-mos medir y observar con nuestros sentidos o conextensiones de los mismos. De esta manera, los resulta-dos de la física teórica a veces invaden el territorio de lasmatemáticas, y la frontera entre estas ciencias se tornatan difusa como las nubes de apantallamiento de Debye.En este artículo hemos querido presentar un pequeñoejemplo de este tipo de razonamiento.

> Referencias[1] Moscovich, I. 1000 Play Thinks. Workman, 2001.

[2] Alexandrov, P. Elementary concepts of topology.Dover, 1961.

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[5] Torres, A. and Téllez, G. “Finite-Size Correctionsfor Coulomb Systems at the Debye-HückelRegime”. Journal of Physics A: Mathematical andGeneral. 37 2121-2137 (2004).

[6] Kac, M. “Can one hear the shape of a drum?”American Mathematical Monthly 73 1 (1966).

[7] McKean H. P. and Singer, I. M. “Curvature and theeigenvalues of the Laplacian”. Journal ofDifferential Geometry. 1 43 (1967).

[8] Lipschutz, M.M. Theory and Problems ofDifferential Geometry. McGraw-Hill, 1969.

[9] Torres, A. “Sine-Gordon Field Theory for theCalculation of Universal Finite Size Corrections inthe Free Energy of Coulomb Systems at theDebye-Hückel Regime”. Tesis de Magister enFísica, Universidad de los Andes, 2004.

> Reseña de los autoresAldemar TorresFísico de la Universidad Nacional y Magísteren Ciencias-Físicas de la Universidad de losAndes. Su tesis de Magíster sobre Sistemasde Coulomb fue laureada en abril de 2004.Actualmente adelanta estudios de doctora-do en el Instituto de Física Teórica de la Uni-versidad de Utrecht en los Países Bajos.

Gabriel TéllezDoctor en Física Teórica de la Universidadde París XI, Francia. Profesor asociado delDepartamento de Física de la Universidad delos Andes. Su área de especialización es lamecánica estadística de sistemas de partí-culas cargadas.

> Solución a los acertijos

Figura 21) Balón, 0 asas, 0 bordes: χ = 22) Donut, 1 asa, cero bordes: χ = 03) CD, 0 asas, 2 bordes: χ = 04) Azucarera, 2 asas, 0 bordes: χ = -25) Carpeta de argollas, 3 asas, 1borde: χ = -5

Figura 1Sólo las figuras 2 y la 9son topológicamenteequivalentes.

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26 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

La constante universal πLuz Myriam Echeverry

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27

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28 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

Una de las constantes matemáticas más importantes serepresenta por la letra griega π (léase pi). Corresponde a larazón entre la longitud de una circunferencia cualquiera ysu diámetro, o a la razón entre el área del círculo y el cua-drado de su radio. Su uso y conocimiento se remontan alnacimiento de las matemáticas, ha intrigado a los mate-máticos desde entonces. Su estudio se ha revivido en losúltimos años con los computadores con los cuales se cal-cula un número cada vez mayor de cifras decimales.

La primera referencia que se conoce de π se encuentraen el papiro de Rhind, que en 1858 fue comprado en Egiptopor Alexander Henry Rhind. El papiro, también llamadode Ahmes en honor al escribano que lo copió en 1700a.C. de un documento posiblemente doscientos años másantiguo, se encuentra en el Museo Británico de Londres.En él se resuelven 85 problemas que se cree eran conoci-dos por los egipcios desde 3500 a.C. de los cuales cincotratan sobre el volumen de graneros cilíndricos. No semenciona la constante explícitamente sino que se da unmétodo para encontrar el área de las bases restándole lanovena parte al diámetro y elevando esta cantidad al cua-drado. Esto corresponde a usar un valor de 256/81=3.16049… para π.

A lo largo de la historia se han calculado diferentes aproxi-maciones para esta constante. En la Biblia, en las especi-ficaciones para construir el templo de Salomón, apareceel valor aproximado de 3.0. En Mesopotamia y Egipto,además de la de Ahmes, se usaron las aproximacionesde 31/8 = 3.125 y .

La primera aproximación teórica conocida fue hecha porArquímedes de Siracusa (287-212) quien obtuvo la aco-tación: 223/71 < π < 22/7.

Es de notar que Arquímedes no proclamó un valor exacto dela constante sino que dio un rango en donde se encuentra elvalor. Su libro Medida del círculo trae tres proposiciones:

1. El área del círculo es igual a la de un triángulo rec-tángulo en el cual uno de los catetos es igual al radioy el otro a la circunferencia del círculo.[Esto es 1/2 bh = 1/2 (2πr)r = πr 2.]2. El área de un círculo es al cuadrado del diámetrocomo 11 es a 14. [Esta proposición es probablemen-te apócrifa pues lógicamente debería ir después de latercera y además es mucho menos precisa].3. La razón de la circunferencia, de cualquier círculo, asu diámetro es menor que 31/7 pero mayor que 310/71.

La última proposición es muy interesante porque sientalos precedentes de precisión para las aproximaciones fu-turas de π. Parte de una aproximación curiosa de 3 ydel método de exhausión. En lenguaje moderno, estemétodo se presenta así: en un círculo de radio uno, seinscribe un polígono regular de 123 −× n lados, cuyo semi-perímetro (la mitad del perímetro) es q

n. Se circunscribe

otro polígono regular de 123 −× n lados, cuyo semi-perí-metro es p

n. Con n = 2 se tienen dos hexágonos, como se

muestra en la figura 1, con n = 3 se tienen dodecágonosy así se va duplicando el número de lados de los polígo-nos. Resultan dos sucesiones de números, y ,la primera decreciente y la segunda creciente. Las dos con-vergen a π que es el semi-perímetro del círculo unitario.

Usando notación trigonométrica moderna y llamando elnúmero de lados 123 −×= nM , se obtiene que los semi-perímetros son:

(1)

Arquímedes [6]

Papiro de Rhind. http://trucsmaths.free.fr/images/papyrus_gd.jpg

> La constante universal πLuz Myriam Echeverry

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29

(véase la Figura 1). Al duplicar el número de lados, elángulo central se hace la mitad del anterior, es decir π/

2M y

los polígonos se acercan más a la circunferencia. Arquí-medes usó explícitamente las razones, lado opuesto so-bre adyacente en lugar de la función tangente y ladoopuesto sobre hipotenusa para el seno, como se puedever en la traducción de Heath [2].

Arquímedes parte de triángulos equiláteros, o sea, con n = 1,los polígonos tienen M = 3 lados y los ángulos son deπ/3 radianes ó 60˚. En este caso ( ) 333/tan31 == πp

y ( ) 2/333/sen31 == πq . A la raíz de 3 la acota de lasiguiente manera sin decir cómo.

Para explicar este paso, muchos historiadores de la ma-temática han llegado a la siguiente fórmula usada parcial-mente por Herón de Alejandría:

con a = 26 y b = 1, que da:

la cual, dividida entre 15, resulta en:

Figura 1.Polígonos (hexágonos) inscritos

y circunscritos a un círculo unitario: M = 6, n = 2

Una explicación más completa se puede encontrar en laobra de Heat [2]. En los pasos siguientes, Arquímedesbiseca los ángulos, al tiempo que duplica el número delados de los polígonos, hasta llegar a polígonos regula-res de 96 lados y a la aproximación: que esprecisamente la del enunciado. La estimación entonceses muy geométrica y todos los pasos se hacen con reglay compás.

Queda muy claro del libro Medida del círculo que la aproxi-mación del valor de π está íntimamente ligada al problemaclásico griego de la cuadratura del círculo, que consistía enconstruir un cuadrado con la misma área del círculo. En latercera proposición, Arquímedes muestra cómo construir,con regla y compás, una línea poligonal que mida lo mis-mo que la circunferencia del círculo. Y en la primera pro-posición muestra que el triángulo rectángulo cuyos catetosson el radio del círculo y su circunferencia tiene la mismaárea del círculo. De ahí es muy fácil construir un rectángu-lo que tenga la misma área y por la Proposición 14 delsegundo Libro de Los Elementos de Euclides [8] se puedellegar al cuadrado de la misma área. Hay un problema, sinembargo, pues la construcción de la línea cuya longitud esla circunferencia requiere un número infinito de pasos, algoprohibido por el riguroso método de regla y compás. Sinembargo, desde un punto de vista moderno, Arquímedesdemostró la fórmula del área del círculo y la posibilidad decalcularla con la precisión que se desee.

> Fórmulas para calcular πDel trabajo de Arquímedes se puede deducir una fórmulade recurrencia para calcular π, a partir de las fórmulas (1)que para el caso n + 1 se convierten en:

De estas ecuaciones es fácil ver que se cumple:

y

Luego, despejando,

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30 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

y

Comenzando con 4641.3321 ≈=p y 31 =q , cuandoel número de lados de los polígonos es M = 6, se obtienen

y

y, así sucesivamente, se construyen las dos sucesiones:

=,....,, 321 ppp 3.4641, 3.2154, 3.1597, 3.1409,3.1427, 3.1419, 3.1417, …

=,....,, 321 qqq 3.0000, 3.1058, 3.1326, 3.1394, 3.1410,3.1415, 3.1416, … .

Ambas sucesiones convergen a π.

Ya en nuestra era, François Viète (1579) propuso un pro-ducto infinito que abre la discusión sobre la convergencia,

Otro producto infinito es de John Wallis (1650):

Otros han visto el camino por las sumas infinitas o series.Una que se encuentra en cualquier libro de cálculo se atri-buye a Madhavade Sangamagrama (India, 1400), JamesGregory (1668) y, en especial, a Gottfried Leibniz (1671):

(2)

Esta aproximación proviene de la serie de la función arcotangente, la cual se deduce, por integración, de la seriegeométrica:

con

De la misma familia son las fórmulas propuestas porJohn Machin (1706):

,

que numéricamente dan mejores resultados que la fórmulade Leibniz porque llegan más rápidamente a mejores aproxi-maciones, es decir, convergen más rápidamente.

Otra serie famosa es de Isaac Newton (1666):

En 1768, en un artículo presentado a la Academia de Ber-lín, Johann Lambert mostró, finalmente que π es irracio-nal, es decir que no se puede escribir como razón de dosenteros, y por consiguiente, que su expansión decimalno tiene repetición periódica. En 1882 Ferdinand vonLindemann mostró que π no podía ser algebraico o raízde una ecuación polinomial, por lo que no se puede cons-truir con regla y compás, método que sólo permite laconstrucción de algunas magnitudes algebraicas. Se diceentonces que π es trascendente, como lo es también e.Como nota curiosa, aún no se sabe si π + e es trascen-dente, ni siquiera se sabe si es irracional.

Ya en el siglo XX la búsqueda se concentró en la rapidezde convergencia. Unas fórmulas muy llamativas se de-ben a Srinivasa Ramanujan (1914), matemático indio quesiempre se distinguió por su intuición en el manejo delos números:

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Newton [6]

Ramanujan [6]

Kanada. www.hints.org/~kanada/

(3)

Lo interesante de la última serie, aparte de losnúmeros tan curiosos utilizados, es que agregaocho cifras significativas correctas con cada tér-mino que se suma.

Actualmente hay una gran cantidad de fórmu-las para calcular π, en las cuales se busca, ge-neralmente, rapidez de convergencia. Porejemplo, la fórmula de Leibniz es muy lenta.Para una buena lista de fórmulas se puede con-sultar P. Borwein [4]; allí también se encuentrauna tabla con los diferentes investigadores quehan calculado π, y el número de dígitos correc-tos calculados, desde los babilonios hasta 1999.

> Cálculo numérico de πA finales del siglo XIX se tenían unas 500 cifrasdecimales correctas de π. El interés por estoscálculos fue grande. Por ejemplo, en el Palaisde la Decouverte en París hay una sala redondaque tiene escrito, en la parte superior, el desa-rrollo decimal de π con 627 cifras decimales.

Hoy día, se tienen 1’240.000’000.000 cifras ofi-cialmente correctas de π, dato aceptado por lacomunidad matemática. Estas fueron calcula-das, por Yasumassa Kanada y nueve investiga-dores más del Information Technology Centerde la Universidad de Tokio. Extraoficialmentese tienen 1’241.100’000.000 cifras [5]. Usaronun super computador Hitachi durante 400 ho-ras aproximadamente, en septiembre de 2002.El equipo de Kanada trabajó durante cinco añosen el algoritmo usado en este cálculo.

Para entender el desafío que representa, hayque volver a la sección anterior y analizar losresultados con algunas de esas fórmulas. Cu-riosamente, las fórmulas de Arquímedes (1)dan una buena recursión, el décimo términoda: p

10 = 3.1415937 y q

10 = 3.1415921, lo cuales aceptable. Por el contrario, la fórmula atri-buida a Leibniz (2) tiene una convergenciamuy lenta, es decir, en cada paso no se acer-ca de manera notoria al valor de π. Por ejem-

plo, después de cien mil términos calcula-dos apenas tiene 3.141602. La segunda fór-mula de Ramanujan (3) es muy precisa, elprimer término da 3.14159273001331 y elsiguiente 3.14159265358979.

Con estos tres ejemplos sencillos se ven va-rias dificultades al querer calcular π con unnúmero arbitrario de cifras decimales correc-tas. Una de las dificultades es la rapidez deconvergencia, se busca minimizar el númerode cálculos requerido para lograr un buen re-sultado. En ese sentido la fórmula deRamanujan (3) es muy buena. Otra dificultades el manejo de las operaciones aritméticasnecesarias. Los programas usuales usan sólo32 ó 64 cifras decimales significativas. Estoimplica un esfuerzo adicional de programa-ción. Finalmente, queda por verificar la exac-titud de la respuesta. Cuando se obtiene unresultado semejante al de Kanada, no hay unvalor para compararlo ni un experimento quecorrobore los cálculos.

> Algunos problemas no resueltosTeniendo a la mano una buena cantidad decifras decimales se pueden hacer algunas pre-guntas, por ejemplo, si en la expansión deci-mal aparecen siete sietes seguidos. Ya se hanencontrado hasta doce sietes seguidos. Enesa misma dirección, se puede preguntar si πes un número normal, noción que presentóEmile Borel en 1909. Un número real x es sim-plemente normal en la base 10 si en su repre-sentación decimal los diez dígitos aparecen conla misma frecuencia, asintóticamente. Un nú-mero es normal si bloques de la misma longi-tud, de los diferentes dígitos repetidos,aparecen con la misma frecuencia.Por ejemplo, se sabe que el número0.1234567891011121314…, que se forma alcolocar consecutivamente los números ente-ros positivos, es normal (demostrado porChampernowne en 1933), en cambio, el irra-cional 0.101001000100001… definitivamen-te no es normal ni simplemente normal. Delcomportamiento de las proporciones en queaparecen los dígitos en el desarrollo decimalde π conocido hasta ahora, parece ser que

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32 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

> Referencias[1] Kline, Morris. El pensamiento matemáticode la antigüedad a nuestros días. 3 vols.Alianza Universidad, 1992.

[2] Heath, Sir Thomas. A History of GreekMathematics, vol II. New York: DoverPublications, 1981.

[3] O’Connor, J.J. y Robertson, E.F. “A historyof Pi”. MacTutor History of Mathematicsarchive. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ HistTopicsPi_through_the_ages.html

[4] Borwein, Peter. “The amazing number π”.Nieuw Archif voor Wieskunde 5/1 nr 3, sept2000. http://www.math.leidenuniv.nl/~naw/serie5/deel01 sep2000/pdf/borwein.pdf

[5] Smith, Harry J. “Declared Record:1,240,000,000,000 Decimal Digits”. (Feb. 7,2004). http://pw1.netcom.com/~hjsmith/Pi/Rec1240.html

[6] School of Mathematics and Statistics,University of St Andrews, Scotland. MacTutorHistory of Mathematics archive. http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/

[7] Wagon, Stan. “Is Pi normal?”. TheMathematical Intelligencer 7, 65.http://pi314.at/math/normal.html

[8] Euclid. Elements. http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html

[9] “The π Files Download Page” (Sept. 22,2002) http://www.geocities.com/thestarman3/math/pi/picalcs.htm

Viète [6]

Wallis [6]

Leibniz [6]

tienden a 1/10, que sería lo propiopara que sea simplemente normal,pero no se ha podido demostrar nada.

Los siguientes son problemasacerca del desarrollo decimal de πque continúan abiertos [3]:

1. ¿Aparecen todos los dígitos, 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, un númeroinfinito de veces?

2. ¿Aparece el primer millón de dígitos,314159256358979…, repetido en otra parte exactamenteen el mismo orden?

3. ¿Es π normal? Si esta pregunta se responde afirmativa-mente, automáticamente las dos primeras preguntas ante-

riores tendrían respuesta afirmativa.

4. ¿En algún lugar aparecen mil ce-ros consecutivos? (Brouwer).

Como se puede ver, π ha acompa-ñado el desarrollo de las matemáti-cas a lo largo de su historia; es laconstante más constante. La aproxi-mación de Arquímedes fue sufi-ciente para los cálculos de la EdadMedia y no son muchas las cifrasdecimales que se necesitan paralos actuales, con unas veinte es

más que suficiente. Las millones de cifras conocidas nisiquiera han ayudado a responder la pregunta sobre sunormalidad. La explicación de la gran cantidad de cifrasdecimales que se ha calculado no está en su utilidad, esun reto intelectual que ha generado preguntas tan desa-fiantes como “inútiles”. Y sin embargo, esta investiga-

ción milenaria ha dado sus frutosen el desarrollo de métodos de in-tegración y otros algoritmos. En losúltimos años, con el uso del com-putador, ha sido un campo deaprendizaje para el desarrollo de al-goritmos cada vez más rápidos yeficientes. Los resultados tambiénse emplean para hacer el diagnós-tico de nuevos computadores ycompiladores al comparar sus cál-

culos de π con los ya conocidos. En conclusión, es real-mente sorprendente lo que puede encerrar un conceptogeométrico sencillo que se relaciona con áreas tan dife-rentes como las series y la algorítmica.

> Reseña de la autoraLuz Myriam EcheverryMatemática de la Universidad de losAndes con doctorado de tercer ciclo de laUniversidad Pierre y Marie Curie, ParísVI. Profesora asociada del Departamentode Matemáticas de la Universidad de losAndes. Su área de especialización es elAnálisis Numérico.

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34 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

Khemeia y alquimia: losorígenes de la química

Edgar Francisco Vargas

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Cuando se unen el león/sol y la serpiente/luna.Grabado: Stolcenberg, Viridarium chymicum, Francfort, 1624.

Tomado de «Alquimia & mística» el Museo hermético. AlexanderRoob. Taschen, pp 370. 2001

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36 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

> El descubrimiento de los metalesDentro del grupo de los metales no-bles –aquellos que se conocen en laquímica como los que no forman óxi-dos espontáneamente en condicionesestándar [1]– se encuentran el plati-no, el paladio, el iridio, el rutenio, elosmio, el rodio, la plata y el oro. Noes de extrañarse que estos dos últi-mos, conocidos desde la antigüedad,hayan despertado curiosidad, fascina-ción y una fuerte dosis de misticismoen el hombre primitivo que conformólos primeros asentamientos humanosen lo que hoy conocemos como la“media luna fértil”, 8000 años antesde Cristo (ver figura 1).

Con el descubrimiento de los demáselementos de la antigüedad: cobre, es-taño, mercurio, plomo, hierro y azufre1,las cualidades de estabilidad, brillo ycolor del oro y de la plata se hacen másllamativas. Ejemplo de esto son las aso-ciaciones de estos con los astros, don-de el oro era la representación del Sol yla plata la de la Luna. Se sabe que en

Grecia esta analogía, producto de laherencia sumeria, ya era clara.

> Khemeia: el arte de la extracciónde los metalesEl oro y la plata se asocian entoncescon las principales deidades, y el artede trabajar estos y los demás meta-les se convierte en una de las activi-dades más nobles del mundo antiguo,atribuyendo sus orígenes a la ense-ñanza de los dioses. Son los forjado-res de metales quienes hacia el año3800 a.C., en el antiguo Egipto, enpleno florecimiento de la culturaamratiense, y hacia el año 3500 a.C.,en Sumer, en el período uruk, logranobtener técnicamente cobre a partirde un tipo especial de piedras azules2.Son también estos artistas, hacia el2800 a.C., los que logran dominar elarte de obtener bronce –un tipo es-pecial de aleación formada por cobrey estaño–, un material con mejorespropiedades mecánicas que el cobrey al que Homero hace referencia ensu poema que narra la guerra de Tro-

ya. Serían también ellos, quienes per-mitirían la expansión del imperio hiti-ta, 1500 años a.C., al dominar el artede obtener el hierro; ese material delque se tenía referencia desde milesde años atrás gracias a lo que un hom-bre primitivo debió llamar “un regalodel cielo”, ya que hacía parte de losmeteoritos. Era evidente la importan-cia que tuvo el forjador de metalesen las edades de Cobre, Bronce y Hie-rro, ya que sus conocimientos imita-ban el trabajo de los dioses y la obrade la naturaleza.

Es interesante mencionar que es laextracción de los metales el arte quede acuerdo a ciertas teorías da origena la palabra khemeia, del vocablo grie-go khumos, arte de extraer jugos y queen analogía con los metales podría ex-tenderse al arte de extraer metales oarte de la metalurgia [3]. Resulta reve-lador entonces que sea khemeia el ori-gen de la palabra química tal como lohace notar Asimov [3].

> La teoría de los opuestosUna vez el hombre domina el arte dela extracción de los metales, su aten-ción se centra en encontrar respues-tas a la pregunta de cómo estáconstituida la materia, es decir, cuá-les son los componentes fundamen-tales de las sustancias.

Cabe esperar que en sentido figura-do y en sentido literal, la respuesta ala pregunta anterior –toma importan-cia bien sea en el plano filosóficocomo en el netamente tecnológico–,como forma de explicar el mundo ocomo procedimiento para convertirmetales bajos en metales superiores:oro y plata.

La manera como es abordado el pro-blema de saber la constitución de lamateria lleva a varias culturas a de-sarrollar la doctrina de los dos con-trarios, que en su forma general, y talcomo la describe Davis, se comportacomo filosofía y ciencia, como reli-

> khemeia y alquimia:los orígenes de la químicaEdgar Francisco Vargas

Figura 1.El nacimiento de la civilización

McKay J., Hill B., Buckler J. A History of Western Society. 5a. Ed. Houghton Mifflin, 1995

1 Se tiene noticia del conocimiento de metales como el antimonio 4000 años a.C. en Sumer [2].2 De hecho se encuentra como piritas, como la calcopirita.

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gión y teoría de la naturaleza y como concepto del mundo, que prevaleció enEgipto desde los tiempos antiguos para aparecer en China en el cuarto otercer siglo a.C. [4]. Es la doctrina de la unión de lo positivo y lo negativo, elprincipio masculino con el principio femenino, el yin y el yang; en consecuen-cia es la unión de los dos principios contrarios.

Herederos de esta doctrina, Zósimo de Panópolis, en el siglo III d.C., describeal azufre como el material positivo y al mercurio como el material negativo ylos metales como las combinaciones de mercurio y azufre [4]; y Jabir IbnHayyan al-Sufi, conocido en Occidente como Geber, cinco siglos después, laadopta dando cualidades de caliente y seco al azufre, y frío y húmedo al mer-curio. Una representación al respecto nos la muestra también Davis en elsiguiente comentario a la figura 3, respecto a los siete metales conocidos:cobre, cinc, estaño, plomo, mercurio, plata y oro.

“El Sol y la Luna representan los principios positivo y negativo… azufre ymercurio de los cuales los siete metales son producidos… al mismo tiemporepresentan el oro y la plata y los otros cinco metales son representados porlas estrellas… los siete metales son representados por las siete figuras hu-manas… el triángulo hacia arriba representa el azufre o principio positivo…el triángulo hacia abajo el principio negativo, mercurio…”. [4]

La concepción de los griegos dominó el pensamiento acerca de la constitu-ción de la materia hasta los tiempos de la Revolución Francesa, cuandoLavoisier mostró sus inconsistencias demostrando, entre otras cosas, que alcalentar el agua esta no se transforma en tierra. Esta concepción tuvo suinicio 600 años a.C., cuando el hombre creía que la Tierra era plana y flotabasobre un mar infinito, por qué no pensar entonces, tal como lo planteó Talesde Mileto –aquel hombre que predijo el eclipse solar en el 585 a.C. [5]–, queel elemento fundamental esel agua; al fin y al cabo sinella la vida sería imposible.Pero bastarían cien años paraque la concepción del mun-do diera un nuevo giro y laTierra fuera representada poruna esfera que estaría a suvez rodeada por la gran esfe-ra celeste, lo que lleva a plan-tear a Anaxímenes de Miletoy a Diógenes de Apolonia queel elemento fundamental esel aire y no el agua [6]; al finy al cabo es lo que debe ocu-par el espacio dejado entrela Tierra y la esfera celeste.Por otra parte, parecía tam-bién razonable ya que algu-nos sólidos al calentarse seconvertían en aire o líquidoy este último se podía tam-bién convertir en aire. Pero,¿cómo explicar el fuego?,Figura 2.

Correspondencias de los metales con los astros.http://www.alchemywebsite.com/val_symb.html

Figura 3.La teoría de los opuestos [4]

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38 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

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esa sustancia que segúnHeráclito de Éfeso estaba encontinua mutación, siempre di-ferente a sí misma [3]. Así enun período de ciento cincuen-ta años se planteaban tres ele-mentos fundamentales, o talcomo lo describe Greenberg,la esencia de toda la materia.

Sería Empédocles de Agrigento,el que hacia el siglo IV a.C. leatribuyera a la luz una veloci-dad finita –y que como diceHull, “fue sólo un disparo en laoscuridad”. [6]–, quien planteaque los cuatro elementos fun-damentales eran agua, aire, fue-go y tierra y que todas las cosas eran el producto de lacombinación en diferentes proporciones de estos. Es deesperarse que su teoría fuera muy aceptada, ya que en con-texto general era similar a las ideas que se tenían de laconstitución de la materia en Egipto, India y China [5]. Naceentonces en la Atenas de siglo IV a.C. la “Teoría de los cua-tro elementos”, adoptada por el que se convertiría en tutorde Alejandro Magno, Aristóteles, pensador que planteó queel diseño del universo se basaba en las figuras perfectas: laesfera y el círculo [6]. Sin embargo, su concepción difierede la de Empédocles al considerar que los cuatro elemen-tos son el producto de la combinación de dos pares decualidades opuestas o contrarias, humedad y sequedad,calor y frío. (Esta relación se presenta en la figura 4).

De esta manera, Aristóteles crea una imagen del universodonde el elemento más pesado, la tierra, se localiza en elcentro, ubicándose después el agua, el aire y el fuego ydando cabida después a los astros los cuales están sus-pendidos en una sustancia incorruptible y eterna, el quin-to elemento de Aristóteles, el éter, la quintaesencia, comose observa en la figura 5.

En el contexto griego, también es importante resaltar queentre 480 y 370 a.C. dos filósofos de la escuela milesianaestuvieran construyendo las bases de la teoría atómica mo-derna: Demócrito y su maestro Leucipo, una teoría quepermaneció olvidada y que fue retomada por Dalton en elsiglo XVIII, químico y físico que enunció la ley de las pro-porciones múltiples.

> Alejandría y el origen dela alquimiaCon la expansión del imperiode Alejandro Magno, Grecia,Persia, Egipto y parte de In-dia se reúnen bajo un soloreino. Se inicia así una mez-cla de culturas que daría gran-des frutos durante tres siglos,es esta la época alejandrina,aquella en donde Ptolomeo,el general de Alejandro, orde-na construir el Museo, una delas primeras universidadesdel mundo. En este mismoperíodo Euclides da a cono-cer sus trabajos, al tiempo enque Eratóstenes mide con

gran exactitud el diámetro de la tierra, y es el momentoen que el gran Arquímedes grita ¡eureka!

Para los alejandrinos la concepción de que las sustan-cias se originan mediante la unión de pares opuestoscontinúa vigente. Es Zósimo, como ya se mencionó,quien la retoma como teoría y se interesa por recopilarel saber de la khemeia de los siglos anteriores, fun-dando así una escuela donde parece seguir los princi-pios de Aristóteles [2].

Zósimo no es el primer alejandrino en escribir sobrekhemeia; ya hacia el 200 a.C., Bolos de Mendes, en sulibro Physica kai mystica, describía la fabricación de laplata y de piedras preciosas, la obtención de púrpura yel proceso de transmutación. Este proceso, tal comolo afirman Arribas Jimeno [7] y Asimov [3], estaba ini-cialmente más relacionado con la producción de mate-riales que tuvieran el mismo color del oro y de la plata,que con la obtención del oro como elemento. Sin em-bargo, la pregunta queda para alquimistas posteriores.¿Acaso era factible de acuerdo con la teoría de losopuestos que se lograra tal unión que pudiese produ-cir oro de la mezcla de dos metales que fueran ricos enprincipio negativo y positivo?, ¿una mezcla perfectaque produjera el metal por excelencia?

El progreso de la khemeia no fue tan afortunado, ya queel misticismo oriental se fundió con la filosofía griega ycon la experiencia egipcia, dando como resultado una extra-ña unión entre religión, ciencia y misticismo, lo que ocasio-na un retraso en el avance del conocimiento. Esto dio origen,tal como lo describe Asimov, a que “el pueblo llano recelaraa menudo de quienes lo practicaban, considerándolos adep-tos de artes secretas y partícipes de un saber peligroso” [3].

Figura de la izquierda.Ilustración del texto inglés The ordinallof alchemy de Thomas Norton, sigloXVI. http://special.lib.gla.ac.uk/exhibns/treasures/alchemy.htmlUniversidad de Glasgow

Figura 4.Relación entre los elementos y sus cualidades

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40 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

Este recelo por las artes propias de lakhemeia alcanzó su cenit cuando el em-perador romano Dioclesano –que llevólas riendas del imperio romano entre el285 y el 305 d.C.– ordenó la destruc-ción de los libros relacionados con lakhemeia, temiendo que la producción,por transmutación, de oro y plata afec-tara a la devaluada economía romana.Las cosas no podrían ser peor; con laadopción del cristianismo como religiónoficial del imperio, la khemeia se con-virtió en arte pagano, iniciándose la per-secución de sus practicantes.

Llegarían entonces al panorama de lahistoria los árabes, herederos de la cien-cia desarrollada en Grecia, Egipto y enla que en su tiempo se llamó la nuevaAtenas, Alejandría. Serían ellos los hom-bres que entre el 622 y el 750 d.C., con-quistarían Asia Menor, Siria, Persia, Egipto,África del Norte y España y que en Siria yPersia encontrarán a los nestorianos, quehuyeron de Constantinopla por ser consi-derados herejes al no aceptar a la VirgenMaría como madre de Dios [6]. Son losintegrantes de esta secta cristiana losque llevaron consigo valiosas copias delos escritos de los pensadores griegosy también son responsables de salvarel pensamiento y la ciencia desarrolla-da hasta ese momento. Con este en-cuentro se inicia la traducción de lostextos al árabe, lengua que sería exclu-siva de la ciencia como antes lo fue elgriego, luego el latín y hoy el inglés.

Fue entonces cuando Bagdad y Córdobase convirtieron en los principales focosde cultura, cuando la khemeia se convir-tió en al-kimiya: donde al es el prefijo co-rrespondiente al artículo “la”. Estevocablo que se adoptaría luego en Euro-pa como alquimia [3], nombre que per-duraría hasta el siglo de Newton en el queBoyle escribe El químico escéptico y de-cide suprimir la partícula “al” de la pala-bra alchemist para convertirla en chemist[3]. ¿Es este el nacimiento de la quími-ca? o entre khemeia, alquimia y química,¿la relación es cuestión de etimología?

> Referencias[1] Shriver, D. F. and Atkins, P. W., Inorganic Chemistry, 3rd Ed.Oxford University Press, Oxford, 1999.

[2] Reichen, C. A., Historia de la química, Editorial Continente,Madrid, 1965.

[3] Asimov, I., Breve historia de la química, Alianza Editorial,Madrid, 1979.

[4] Davis, T. L., Pictorial Representations of Alchemical Theory, Isis, 28,1938, 73-86.

[5] Greenberg, A., A Chemical History Tour, Wiley-Interscience,New York, 2000.

[6] Hull, L. W. H., History and Philosophy of Science, Longmans,Green and Co. Ltd, London, 1959.

[7] Arribas Jimeno, S., La fascinante historia de la alquimia,Universidad de Oviedo, 1991.

> Reseña del autorEdgar Francisco VargasDoctor en Ciencias de la Universidad Nacional de Colom-bia, actualmente es Profesor asistente del Departamentode Química de la Universidad de los Andes. Su área de in-terés es la termodinámica de soluciones, adelantando pro-yectos de investigación sobre el comportamiento de solutospolares en solventes acuosos y no acuosos. Así mismoestá interesado en el estudio de la historia de la químicacon gran énfasis en el desarrollo de las ideas conceptualesde la alquimia.

Figura 5.En el centro del universoaristotélico se encuentra laTierra con sus mares (tierray agua), en la segundaesfera, el aire y luego elfuego. Las esferassiguientes, de los planetasy los astros, estáncompuestas dequintaesencia.http://www.thespacesite.com/space/images/geocentric_lg.jpg

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Laboratorio de Alquimia.http://www.library.wisc.edu/libraries/

SpecialCollections/khunrath/labdetail1750.html

Page 44: hipÓtesis 3

42 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

Parásitos y evoluciónFelipe Guhl / Mario Iván Ortíz Yanine / Álvaro Moncayo / Carlos Patiño

La vida sobre la tierra fue únicamenteposible como consecuencia del para-sitismo molecular. El parasitismo esinherente a la vida y se desarrolló comouna estrategia de multiplicación y di-versificación molecular y celular, parapermitir su replicación y perpetuación.

Aún antes de la aparición de las pri-meras células, ya existía una relaciónparasítica entre moléculas. Las evi-dencias de parásitos moleculares es-tán presentes en todos los seresvivos. En los seres humanos encon-tramos retrotransposones y priones;

los últimos son los responsables del«mal de las vacas locas». Tambiénse encuentran moléculas satélites enlos virus, transposones en bacteriasy genes saltarines en plantas. Se po-dría decir que estas moléculas sonparásitos del mismo ADN (Véase lafigura 1). Además, estas moléculaspueden ser parasitadas por otras. Porejemplo, unas secuencias del ADN,denominadas Alu, utilizan la trans-criptasa reversa de los retrotranspo-sones para su supervivencia; en otraspalabras, son parásitos de parásitos.

La foto muestra un cuerpo humano momificadoespontáneamente, perteneciente a la cultura

chinchorro. Foto: Felipe Guhl

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43

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44 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

En la evolución de la vida a nivel mo-lecular, las asociaciones –o reaccio-nes– entre moléculas orgánicaspermitieron el establecimiento de me-canismos que aseguraron una máseficiente transferencia de informaciónentre ellas. Esto condujo al apareci-miento de un lenguaje genético mo-lecular basado en las relaciones entreel ADN, el ARN y las proteínas, lo quefinalmente llevó al establecimiento dela vida. Estas relaciones moleculares enlos comienzos de la evolución de la vidapueden ser interpretadas adecuadamen-te como relaciones de parasitismo.

Las células eucariotas, aquellas quecuentan con un núcleo y una estructu-ra de organelos, constituyen un buenejemplo del resultado del parasitismointercelular en la evolución de las pri-meras células. De acuerdo con la hipó-tesis endosimbiótica, que tiene yamucha aceptación, las primeras célu-las eucariotas surgieron de simbiosisentre células, entre las cuales unas ter-minaron transformadas en los organe-los de las otras. (Véase la figura 2).

Debido a esta nueva visión sobre elparasitismo, se puede y se ha defini-do al parásito como cualquier formade vida o cualquier molécula orgáni-ca capaz de multiplicarse, que en-cuentre su nicho ecológico en otra

Figura 1.Los transposones son elementos cortos de ADN móvil, presentes en

células procariotas y eucariotas, que se insertan por acción enzimáticaen el ADN huésped. (Imagen simulada de transposones en acción).

http://beckmancenter.ahc.umn.edu/Images/transposon.gif

Todas lasasociacionesinterespecíficascomocomensalismo,mutualismo ysimbiosis, sondistintasmanifestaciones deun mismofenómeno: elparasitismo.

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45

forma viva [1]. De esta manera, el fetopuede entenderse como parásito de lamadre; en este caso sería intra-especí-fico. Además, todas las asociacionesinter-específicas caben dentro de la de-finición, como el comensalismo, en elcual un organismo se beneficia de otrosin perjudicarlo ni ayudarlo; el mutua-lismo, en que ambos se benefician; y lasimbiosis, en la cual la relación es másíntima. Se estima que en la naturalezaexiste un número de especies parási-tas diez veces superior al número deespecies de vida libre.

El establecimiento, la dispersión y evo-lución de los organismos parásitos, fueun proceso evolutivo continuo, quedivergió probablemente cuando lasmasas continentales actuales se sepa-raron del supercontinente Pangea hacecien millones de años. Al igual que to-das las especies animales, los pará-sitos compartieron los hábitats encontinentes separados, o se convir-tieron en especies endémicas ocupan-do nichos específicos y guardandociclos de huésped-parásito bastantedefinidos. Muchas de estas entida-des parasitarias lograron eficientesmétodos de dispersión, como porejemplo, a través de insectos vecto-res y de varios tipos de instrumen-

tos mecánicos –agua, aire, y trans-porte pasivo en general– convirtien-do a muchas de las especies animalesy vegetales en sus reservorios.

Estos ciclos de transmisión, tomaronmiles de años para establecerse y enla gran mayoría de ellos se logró unequilibrio huésped-parásito, el cual sevio alterado por acción de los prime-ros humanos, que intervinieron elmedio ambiente circundante paraconstruir viviendas, cazar y obtenerrecursos energéticos para su subsis-tencia. Debido a estas alteraciones enel ambiente, este equilibrio fue roto,y las primeras enfermedades en hu-manos hicieron su aparición.

> PaleoparasitologíaEstos descubrimientos son los resulta-dos de una nueva ciencia llamada pa-leoparasitología que se dedica areconstruir la historia del parasitismoen todas las especies. Combina los co-nocimientos de la biología con los de lahistoria, la antropología, la medicina, lapaleontología, la epidemiología, la pali-nología, la geografía y la genética enun ejemplo de diálogo ágil entre diver-sas disciplinas. La aplicación de técni-cas de microscopía, inmunología ybiología molecular ha permitido a los

investigadores determinar cuáles de es-tas moléculas o microorganismos afec-taron a nuestros antepasados, cuál erasu distribución y cuál su relación conlos parásitos actuales, así como el po-sible origen y evolución de los parási-tos y las parasitosis contemporáneas.

La paleoparasitología humana se enfo-ca en el hallazgo y la identificación delos parásitos presentes en restos hu-manos, incluyendo sus coprolitos –he-ces fosilizadas–, brindando datos sobrela manera como evolucionan los pará-sitos y sobre el origen y las migracio-nes del hombre primitivo. Desde hacealgunas décadas se vienen llevando acabo investigaciones sobre este tema,

Las dobles membranas pueden haberseoriginado cuando una célula englobó a otra

Membrana de unacélula más grande

Membrana de lacélula pequeña

Doblemembrana

Figura 2. Representación esquemática de parasitismo intracelular que dio origen a ciertos organelos en células

eucariotas, como cloroplastos y mitocondrias.(Tomado de VIDA Purves et al. Sexta edición Ed. Med. Panamericana Pág. 70)

La cienciallamadapaleoparasitologíase dedica araeconstruir lahistoria delparasitismo entodas lasespecies.

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46 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

generando resultados que empiezan a dar una visión másclara acerca de las parasitosis, del hábitat y del modusvivendi de nuestros antepasados. El estudio se enriquececon datos de la etnografía y la epizootiología, además de losobtenidos en el ADN fósil de los coprolitos y las momias.

Cuando pensamos en momias, lo primero que imagina-mos es una momia egipcia llena de polvo, encerrada enun oscuro cuarto. Muy pocas veces asociamos esta pala-bra con nuestra propia realidad y con nuestra cultura. Aligual que en Egipto, en nuestro país y en nuestro conti-nente también se practicó la momificación. Más aún, lasmomias más antiguas del mundo se encuentran en SurAmérica; pertenecen a la cultura chinchorro que existióhace alrededor de nueve mil años en las costas de lo quehoy es Chile. (Véase la figura 3). El estudio sobre estasmomias y otras alrededor del mundo, así como de copro-litos, ha permitido a los investigadores de diferentes ra-mas, dar respuesta a algunas preguntas referentes a laforma de vida, costumbres y las posibles causas de muertede estos seres humanos ancestrales. Estas causas sonmuy variables e incluyen traumas, enfermedades heredita-rias, condiciones ambientales y enfermedades infecciosas.

> América, ¿un continente libre de parásitos?Al igual que nosotros, nuestros antepasados fueron pa-rasitados por moléculas y organismos, algunos de loscuales causaron enfermedades infecciosas, que aún hoydía nos afectan. Al principio se creyó que América era unterritorio libre de parásitos y que las lombrices que blo-quearon intestinos, o los protozoos que destruyeron célu-las, habían llegado al Nuevo Mundo con los colonizadoreseuropeos durante la época de la Conquista. Sin embar-go, Karl Reinhard y otros investigadores, demostraronque varios parásitos autóctonos de América, les dieronla bienvenida a los nuevos pobladores cuando llegaronal Nuevo Mundo, causándoles enfermedades debilitan-tes y mortales.

El examen de diversos restos humanos, entre los que seencuentran cazadores de focas de Alaska, prehistóricospintores de cuevas en Norte América y agricultores in-cas en el Perú, ha llevado al hallazgo de una serie deparásitos propios de América [2]. Estos tienen varios orí-genes, como se explica a continuación. (Véase la figura 4).

Algunos vinieron desde el Viejo Mundo a través del es-trecho de Bering, durante el Pleistoceno, mucho antesde la llegada de los europeos a América, soportando elfrío que enfrentaron los primeros inmigrantes humanos.Entre ellos se encuentran los pequeños gusanos delgénero Trichinella que invadieron los músculos y hastael corazón de los americanos primitivos, y las lombri-ces de cabeza espinosa pertenecientes al grupo de losacantocéfalos, que perforaron las paredes intestinalesde los antiguos habitantes de la Gran Cuenca de Esta-dos Unidos [2]. En la región Andina, protozoos pertene-cientes al género Leishmania ulceraron gargantas ybocas, y otros, pertenecientes al género Trypanosomacausaron daños cardíacos y provocaron deformacionesen el tracto digestivo de sus víctimas y muertes súbitaspor falla cardíaca.

Varios parásitos han acompañado al hombre desde susorígenes en África y pueden considerarse como marcado-res homínidos. Entre ellos se encuentran los nematodos

Figura 3.La foto muestra un cuerpo humano

momificado espontáneamente,

Figura 4.Mapa de las diferentes rutas de migración humana. Copyright 1996

George Philip Limited en Atlas of Exploration (London: OctopusPublishing Group, 1996)

perteneciente a la culturachinchorro. Foto: Felipe Guhi

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del género Enterobius que, aunque nocausan infecciones mortales, produ-cen severas molestias a sus huéspe-des aún hoy. Estos parásitos se hanencontrado en restos de al menos diezmil años de antigüedad y son men-cionados en el Codex florentino, es-crito por médicos aztecas y recopiladoen 1550 [3].

Las costumbres alimentarias denuestros antepasados también lescausaron graves problemas de salud:el hábito de comer carne y la falta decombustible para cocinarla en el Ár-tico, permitieron que los primerosamericanos se infectaran con gusa-nos del género Trichinella [3], que en

gran número pueden causar la muer-te produciendo terribles doloresmusculares, además de inflamacio-nes alrededor de los ojos y hemo-rragias debajo de las uñas. La carnede oso polar cruda, consumida porestos hombres, puede contener losquistes de una especie de Trichinellallamada T. nativa que infecta al osopolar debido a su hábito de comerhuevos de aves. Estas aves, a su vez,comen roedores infectados con elparásito y debido a su rápido meta-bolismo, al defecar, expulsan, sindigerir, pedazos de la carne del roe-dor en los que se encuentran losquistes del parásito. Estas avesusualmente defecan encima de sushuevos, por lo que el oso se infectaal ingerir los huevos y transmite elparásito posteriormente al hombre.

> Hombres, perros y parásitosLas relaciones sociales del hombreentre sí y con animales, muy posi-blemente llevaron al establecimientode parásitos y de las enfermedadesque algunos de estos ocasionan enel hombre. Tal es el caso de la trico-cefalosis que muy posiblemente pudoevolucionar a partir de parásitos exis-tentes en el perro que poco a poco

fueron adaptándose al hombre, has-ta llegar a desarrollar una parasito-sis que aunque no es mortal puedeser bastante grave en niños. Muy se-guramente este parásito debido a susresistentes huevos y a su longevidad(5-10 años) acompañó al hombre y asus perros en sus viajes a través deBering. Huevos de este parásito hansido encontrados en restos precolom-binos de Perú, Chile y Brasil [3].

Hasta la moda o el estilo del peinadoque utilizaban nuestros antepasadospudo influir en las parasitosis que losafectaban; por ejemplo los miembrosde la cultura chiribaya en Perú, su-frieron de infestaciones por piojos–Pediculus humanus– muy proba-blemente debido al estilo de su pei-nado el cual era alto y recogido enla mayoría de los casos [4].

Otras evidencias de la existencia deparasitosis en la América prehispá-

Algunos parásitoshan acompañadoal hombre desdesus orígenes enÁfrica y puedenconsiderarse comomarcadoreshomínidos.

Figura 5.Dibujos originales de herbalistas aztecas que

muestran dos plantas utilizadas comoantihelmínticos y aún no identificadas. Códice San

Martín de la Cruz, Tlatelolco D.F. 1552. InstitutoNacional de Antropología e Historia, Los códices deMéxico (México: Museo Nacional de Antropología,

1979). Página 119

Page 50: hipÓtesis 3

48 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

América antes de la llegada del hom-bre en el Pleistoceno, se adaptaron ala presencia de los nuevos primatesextremadamente curiosos y entrome-tidos, llegando a establecer relacio-nes parasíticas con ellos. Es el casode unos gusanos aplanados pertene-cientes al género Diphyllobothriumque pueden llegar a medir hasta cin-co metros de longitud y que se alojanen el intestino delgado de sus hués-pedes. (Véase figura 6). Estos pará-sitos existían en América mucho antesde la llegada del hombre y se encon-traban en animales como peces y,como huésped final, en el león mari-no, Otaria byronia. Debido al consu-mo de pescado crudo por parte de loshombres recién llegados, éstos seconvirtieron en huéspedes finales al-ternativos. sufriendo una enfermedada veces bastante grave y debilitanteque incluye anemia perniciosa.

Esta relación parásito-animal-hombre,ha permitido desarrollar nuevas ideasacerca de la evolución de los parási-tos. Anteriormente, se creía que losparásitos se iban especializando pocoa poco a un solo huésped. Ahora sepropone que los parásitos utilizan másbien una estrategia especialista-generalista [2], mediante la cual el pa-rásito se especializa en un huéspedparticular, pero saca también ventaja dela mutua variedad morfológica y fisio-lógica, para poder adaptarse a unagama más amplia de huéspedes. Es elcaso del Diphyllobothrium pacificum,que se adaptó al hombre cuando éstellegó a América sin dejar a su huéspedoriginal. Luego, cuando el hombre em-pezó a cocinar la carne de pescado, elparásito pudo subsistir en su huéspedoriginal hasta nuestros días. Ahora, de-bido a la costumbre, otra vez en auge,de comer pescado crudo, han vuelto apresentarse casos en humanos.

> El ADN y la paleoparasitologíaEn los últimos años, los métodosusados en biología molecular se es-tán aplicando con éxito en la paleopa-rasitología. Se ha logrado analizarADN de momias y de coprolitos, am-plificándolo por medio de la técnicade Reacción en Cadena de la Polime-rasa, RCP1, permitiendo la identifica-ción precisa de parásitos en muestrasantiguas [4]. Este ADN ancestral,aADN permite la caracterización mo-lecular de parásitos que infectaron alos antiguos pobladores [4], gene-rando la posibilidad de establecer re-laciones filogenéticas entre lasdiferentes especies de parásitos queexisten en la actualidad, y de formu-lar hipótesis sobre sus posibles orí-genes. La disponibilidad de aADN yde las técnicas de biología molecularpermiten un estudio más exacto y ri-guroso de las muestras, pues los pro-cedimientos antes utilizados, comomicroscopía de luz y electrónica, de-jan dudas sobre los resultados ob-tenidos y no permiten una totalidentificación de las muestras [3].

Con estas técnicas, Guhl et al han ob-tenido resultados importantes en lapaleoparasitología de la enfermedad deChagas, logrando reacciones positivasde RCP para Trypanosoma cruzi en te-jidos de cuatro mil años de antigüedadpertenecientes a momias de la culturachinchorro, confirmando la antigüedadde esta enfermedad [5]. Una publica-ción reciente de un trabajo interdisci-plinario, ha demostrado la presencia deT. cruzi en cuerpos de momias chile-nas aún más antiguas, que datan denueve mil años de antigüedad [6].

Figura 6.Imagen de Diphyllobotrium. Muy angosto y

aplanado, puede medir hasta cinco metros de largo.http://cal.vet.upenn.edu/paralab/labs/lab7.htm

nica, provienen de la paleofarmaco-logía que ha llevado a establecer po-sibles tratamientos utilizados pornuestros antepasados para tratar lasparasitosis. Por parte de los aztecas,se ha establecido el uso de plantas–para el tratamiento de helmintosisintestinales–, que se cocinaban paraproducir “medicina que mata gusa-nos”, según las palabras de los her-balistas aztecas [3]. Algunas de estasplantas no se han podido identificarcompletamente, otras son conocidasen la actualidad por tener propieda-des antihelmínticas, como el caso deEchinopodium sp. (Véase figura 5).

> Nuevas teoríasLa búsqueda de respuestas sobre lapresencia de ciertos parásitos en elNuevo Mundo ha llevado a la formu-lación de nuevas teorías sobre el po-blamiento de América. Este es el casode las uncinarias, que afectaron a se-res humanos antes del contacto conlos conquistadores.

La presencia de estos parásitos enmuestras prehispánicas ha generadouna gran controversia. Al ser parási-tos tropicales, muy seguramente nohabrían podido realizar la travesía através del Ártico debido a las bajastemperaturas. Para responder a estaincógnita, se ha propuesto que la pre-sencia de estos parásitos es una evi-dencia del contacto transpacíficoentre América y culturas asiáticas. Sinembargo, últimamente se ha dadootra explicación con el fenómeno bio-lógico conocido como “hipobiosis”.Este consiste en que los organismospasan largos períodos de tiempo enun estado “durmiente” o latente du-rante el cual detienen su desarrollohasta que las condiciones vuelvan aser óptimas. El fenómeno ha sido ob-servado en uncinarias y muy posible-mente les permitió sobrevivir a lamigración trans-Beringia [1].

Por otra parte, varios parásitos de ani-males que ya estaban presentes en

1 Véase «Detectives del Chagas» por Carlos Jaramilloy Adriana Díaz, Hipótesis 1 (mayo 2003): 42-49

Page 51: hipÓtesis 3

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[1] Hawdon J y Johnston S. “Hookworm in theAmericas: An alternative to transpacificcontact”. Proceedings of the II World Congresson Mummy Studies (Cárdenas-Arroyo, Rodríguez-Martin C.). (February 1995):207-211.

[2] Pringle H. “La enfermedad de las momias” ,Discover en Español, (enero 1999): 23-29.

[3] Kliks M. “Helminths as Heirlooms andSouvenirs: A Review of New WorldPaleoparasitology”. Parasitology Today, 6(4):93-100 (1990).

[4] Araujo A, Janse A, Bouchet F, Reinhard K yFerreira L. “Parasitism, the Diversity of Life, andPaleoparasitology”. Mem Inst Oswaldo Cruz, 9(Suppl. I): 5-11 (2003).

[5] Guhl F, Jaramillo C, Yockteng R, Vallejo GA,Arroyo FC. “Trypanosoma cruzi DNA in humanmummies”. The Lancet, 349: 1379 (1997).

[6] Aufderheide A, Salo W, Madden M, Streitz J,Buikstra J, Guhl F, Arriaza B, Renier C, LorentzW, Fornacieri G and Allison M. “A 9000-yearrecord of Chagas disease”. Proceedings of theNational Academy of Sciences. 101 (7) : 2034-2039 (February 2004).

Felipe GuhlEgresado de la Universidad de los Andes de losprogramas Biología (1972), Microbiología (1974) yMagíster en Microbiología/Parasitología (1974).Es profesor titular del Departamento de CienciasBiológicas desde 1976. Director del Centro deInvestigaciones en Microbiología y ParasitologíaTropical-CIMPAT desde 1977. Manager Task Force onOperacional Research on Chagas Disease. WorldHealth Organization. Julio 2001- enero 2002. Directordel Departamento de Ciencias Biológicas 1982-1994.Vicedecano de la Facultad de Artes y Ciencias de 1981a 1982. Miembro del Scientific and Technical AdvisoryPanel for Parasitic Diseases, World HealthOrganization, Geneva. 2002-2005. Académicoasociado de la Academia Nacional de Medicina.Coordinador científico del proyecto Latinoamericano“Chagas Disease Intervention Activities CDIA-EC.<[email protected]>

Álvaro Moncayo MedinaEs médico egresado de la Pontificia UniversidadJaveriana y especialista en Salud Pública de laUniversidad de Antioquia. Epidemiólogo del Center forDisease Control, Estados Unidos. Ex funcionario de laOrganización Mundial de la Salud, jefe de la Divisiónde Control e Investigación de la enfermedad deChagas, Ginebra, Suiza de 1979 a 2001. Se vinculó alCentro de Investigaciones en Microbiología yParasitología Tropical, CIMPAT, desde 2001 como

Investigador asociado. Elegido Miembro de Número dela Academia Nacional de Medicina. 2003. NombradoCoordinador para América Latina de la Red Latinoame-ricana de Control de Vectores RELCOV. 2003. <[email protected]>

Mario Ortíz YanineBiólogo egresado de la Universidad de La Habana.Realizó el curso “Inmunología de EnfermedadesInfecciosas” en la Escuela de Salud Pública deHarvard, Escuela de Medicina de Harvard, OMS/TDR,Instituto de Medicina Tropical “Pedro Kouri” 2001.Estudiant-e de Maestría en Parasitología, vinculado alCentro de Investigaciones en Microbiología yParasitología Tropical, CIMPAT. Asistente graduado,Departamento de Ciencias Biológicas.<[email protected]>

Carlos Aurel Patiño-EcheverriBiólogo de la Pontificia Universidad Javeriana, 1998.Master en Enfermedades Parasitarias Tropicales.Universidad de Valencia, España, 2002. Candidato aMagíster en Microbiología y Parasitología Tropical,vinculado al Centro de Investigaciones en Microbiolo-gía y Parasitología Tropical, CIMPAT. Asistentegraduado Departamento de Ciencias Biológicas.<[email protected]>

> Etnografía: Rama de las ciencias cuyo objetivo es elestudio descriptivo de las etnias o grupos humanos, ac-tuales o desaparecidos.> Epizootiología: Rama de las ciencias que se encarga deestudiar el mantenimiento y transmisión de las enfermedadesque afectan a los animales.> Enfermedad de Chagas: Enfermedad parasitaria propia deAmérica, producida por el microorganismo Trypanosomacruzi que afecta principalmente el corazón y tracto digestivo,transmitida por insectos triatominos hematófagos.>Leishmaniasis: Grupo de enfermedades parasitarias, cau-sadas por protozoos del género Leishmania, con diferentesmanifestaciones clínicas que van desde úlceras en la piel ymucosas hasta daños de tipo visceral. Transmitidas por lapicadura de insectos hematófagos -flebótomos-.> Difilobotriasis: Enfermedad producida por el céstodoDiphyllobothrium pacificum y varias especies más descritasen Japón y otros países orientales, donde la costumbre decomer pescado crudo es muy difundida. El parásito utilizaparte de la vitamina B12 del huésped causando anemia.> Triquinelosis: Enfermedad causada por el nematodoTrichinella spiralis y otras especies que produce complica-ciones graves a nivel de músculos afectados, pudiendo cau-sar conjuntivitis y dolor en los músculos estriados. Estaenfermedad se transmite principalmente por el consumode carne de cerdo cruda o mal cocida.> Tricocefalosis: Enfermedad producida por el nematodoTrichuris trichiura y que se transmite por la ingestión dehuevos del parásito, causando severos problemas intes-tinales y digestivos.

> Referencias

> Reseña de los autores

> Glosario

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50 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

El Consejo de la Facultad de Ciencias a través del Comité deInvestigaciones y Postgrado, ha abierto convocatorias parafinanciar la investigación a estudiantes de postgrado que es-tén elaborando su tesis o estén colaborando en un proyectoque beneficie la producción investigativa de la Facultad.

Los resultados de estos proyectos se presentan en un foroque organiza semestralmente el Comité de Investigacionesy Postgrado. Este evento permite la divulgación de los re-sultados a través de carteles y exposiciones orales realiza-das por los mismos estudiantes. Los trabajos son evalua-dos por un jurado que está conformado por los Coordina-dores de Postgrado de los departamentos de la Facultad.

El Primer Foro para la Presentación de Resultados de Pro-yectos de Investigación de Estudiantes de Postgrado sellevó a cabo entre el 15 y el 19 de septiembre de 2003 conla participación de estudiantes de los departamentos de

Ciencias Biológicas, Física y Matemáticas. El premio almejor cartel fue otorgado a la estudiante María de la Mer-ced Torres1, del doctorado en Ciencias-Biología, por sucartel sobre el proyecto “El ADN en el descubrimiento delcontinente americano”.

El Segundo Foro se realizó del 25 al 27 de febrero de 2004con la participación de estudiantes de Ciencias Biológicasy Química. En esta ocasión, el premio al mejor cartel fueentregado a Paola Andrea Vargas Gallego2, estudiante deMaestría en Microbiología, por su proyecto “Selección yaislamiento de bacterias resistentes a cromo y diseño pre-liminar del biosensor”.

1 Laboratorio de Genética Humana.2 Centro de Investigaciones Microbiológicas, CIMIC.

> Foro de investigaciones de estudiantes

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> Facultad de CienciasÁreas de investigación> Departamento de Ciencias Biológicas

1. Biología Molecular de Parásitos y Vectores.2. Biología Molecular de Plantas.3. Botánica Sistemática.4. Ecofisiología del Comportamiento y Herpetología.5. Genética de Poblaciones y Filogeografía.6. Genética Humana.7. Micología.8. Microbiología Ambiental.9. Microbiología de Alimentos.10. Microbiología Molecular.11. Parasitología Tropical.12. Zoología y Ecología Animal.

> Departamento de Física

1. Física de Altas Energías (partículas elementales). Experimental y Teórica.2. Materia Condensada Teórica.3. Biofísica.4. Mecánica Cuántica y Física de la Información.5. Radioastrofísica Solar.

> Departamento de Matemáticas

1. Lógica.2. Combinatoria.3. Computación Teórica.4. Geometría Diferencial.5. Ecuaciones Diferenciales.6. Análisis Funcional.7. Análisis Numérico.8. Probabilidad.9. Procesos Estocásticos.10. Estadística.11. Optimización y Control.12. Metodología de la Enseñanza de las Matemáticas.

> Departamento de Química

1. Sólidos Porosos y Calorimetría.2. Reología de Polímeros.3. Ciencias Agroalimentarias (CALIM).4. Termodinámica de Soluciones.5. Hidrología y Química del Medio Ambiente.6. Nuevos Materiales.

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52 HIPÓTESIS / APUNTES C IENT ÍF ICOS UNIANDINOS

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> Pág. 42. Parásitos y evolución

Apuntes científicos uniandinos

ISSN 1692-729X > N o . 0 3 > J U N I O D E 2 0 0 4 > U N I V E R S I D A D D E L O S A N D E S > F A C U L T A D D E C I E N C I A S

Pág. 10. Proteínas extremas > Pág. 18. Mecánica estadística,topología y el sonido del tambor > Pág. 26. La constanteuniversal π > Pág. 34. Khemeia y alquimia: los orígenes de laquímica > Pág. 42. Parásitos y evoluciónFacultad de Ciencias