hessiano orlado
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Breve sobre el “Hessiano Orlado” * AlejandroLugon 4 de noviembre de 2009 1. Preliminares Si estamos analizando los ´ optimos de la funci´ on f (x) bajo las restricciones g j (x) = c j con x ∈ R n , j = 1,...,m, m < n. Construimos el lagrangiano: L(x, λ) = f (x) − m j=1 λ j (g j (x) − c j ) las condiciones de primer orden son: ∂L ∂x i (x, λ) = 0 (1) para todo i = 1,...,n, adem´as de las restricciones g j (x) = c j para j = 1,...,m. Bajo la cali ficaci ´ on de las restricciones estas condiciones son necesarias, es decir seleccionan los posibles ´ optimos y, quiz´ as, otros puntos. Para ser suficientes se necesitan condiciones de concavidad-convexida de las funciones. En caso no se pueda concl uir nada globa lmen te para un punto que satisfac e las condicio nes necesari as de primer orden (1), un paso adicional es usar el “ Hessiano Orlado ” para clasificar los puntos obtenidos, este criterio es solo local. El Hessiano Orlado est´ a cercanamente relacionado al Hessiano del Lagrangiano pero con algunos cambios de signo y de orden de las variables: ˜ H = 0 ··· 0 ∂g1 ∂x1 ··· ∂g1 ∂xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 ··· 0 ∂gm ∂x1 ··· ∂gm ∂xn ∂g1 ∂x1 ··· ∂gm ∂x1 ∂ 2 L ∂x 2 1 ··· ∂ 2 L ∂x1∂xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∂g1 ∂xn ··· ∂gm ∂xn ∂ 2 L ∂xn∂x1 ··· ∂ 2 L ∂x 2 n Esquem´ aticamente: H = 0 ∇g ∇g T L xx donde 0 = Ma tr iz m × m de ceros ∇g = Gradientes de las restricciones como filas ∇g T = Gradi ent es de las r estri ccio nes como columnas L xx = Ma tr iz n × n de segundas derivadas del Lagrangiano respecto de x * Basado en:Optimal Control Theory and Static Optimization in Economics, Daniel L´ eonard and Ngo Van Long, Cambridge University Press 1992. (Secci´ on 1.2.2, pp. 26-31) 1
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Breve sobre el “Hessiano Orlado”*
AlejandroLugon
4 de noviembre de 2009
1. Preliminares
Si estamos analizando los optimos de la funcion f (x) bajo las restricciones gj(x) = cj con x ∈ Rn, j = 1, . . . , m
m < n.Construimos el lagrangiano:
L(x, λ) = f (x)−m
j=1
λj(gj(x)− cj)
las condiciones de primer orden son:∂L
∂xi
(x, λ) = 0 (1)
para todo i = 1, . . . , n, ademas de las restricciones gj(x) = cj para j = 1, . . . , m.Bajo la calificacion de las restricciones estas condiciones son necesarias, es decir seleccionan los posibles optimos
y, quizas, otros puntos. Para ser suficientes se necesitan condiciones de concavidad-convexida de las funciones.En caso no se pueda concluir nada globalmente para un punto que satisface las condiciones necesarias de primer
orden (1), un paso adicional es usar el “Hessiano Orlado ” para clasificar los puntos obtenidos, este criterio es sololocal.
El Hessiano Orlado esta cercanamente relacionado al Hessiano del Lagrangiano pero con algunos cambios de signoy de orden de las variables:
H =
0 · · · 0 ∂g1∂x1
· · ·∂g1∂xn
.... . .
......
. . ....
0 · · · 0 ∂gm∂x1
· · ·∂gm∂xn
∂g1∂x1
· · ·∂gm∂x1
∂ 2L∂x2
1
· · ·∂ 2L
∂x1∂xn
.... . .
......
. . ....
∂g1∂xn
· · ·∂gm∂xn
∂ 2L∂xn∂x1
· · ·∂ 2L∂x2n
Esquematicamente:
H =
0 g
gT Lxx
donde
0 = Matriz m ×m de cerosg = Gradientes de las restricciones como filasgT = Gradientes de las restricciones como columnasLxx = Matriz n × n de segundas derivadas del Lagrangiano respecto de x
*Basado en:Optimal Control Theory and Static Optimization in Economics, Daniel Leonard and Ngo Van Long, CambridgeUniversity Press 1992. (Seccion 1.2.2, pp. 26-31)
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2. Caso general
Las condiciones sobre el Hessiano Orlado son:
Maximo Si (x∗, λ∗) cumple las condiciones de primer orden (1) y los ultimos n−m menores principales dominantesdel Hessiano Orlado evaluado en (x∗, λ∗) tienen signos alternados empezando en (−1)m+1 entonces x∗ es un
maximo local de la funcion f (x) bajo las restricciones gj(x) = cj
Mınimo Si (x∗, λ∗) cumple las condiciones de primer orden (1) y los ultimos n−m menores principales dominantesdel Hessiano Orlado evaluado en (x∗, λ∗) tienen todos el signo de (−1)m entonces x∗ es un mınimo local de lafuncion f (x) bajo las restricciones gj(x) = cj
3. Caso con dos variables de eleccion y una restriccion
En este caso tenemos n = 2 y m = 1, el Hessiano Orlado toma la forma:
H =
0 ∂g∂x
∂g∂y
∂g∂x
∂ 2L∂x2
∂ 2L∂x∂y
∂g∂y
∂ 2L∂y∂x
∂ 2L∂y2
y en este caso hay que examinar solo n−m = 2− 1 = 1 determinante, es decir el determinante del Hessiano OrladoDe manera precisa:
Maximo Si (x∗, y∗, λ∗) cumple las condiciones de primer orden (1) y el determinante del Hessiano Orlado evaluadoen (x∗, y∗, λ∗) tiene signo positivo entonces (x∗, y∗) es un maximo local de la funcion f (x, y) bajo la restricciong(x, y) = c.
Mınimo Si (x∗, y∗, λ∗) cumple las condiciones de primer orden (1) y el determinante del Hessiano Orlado evaluadoen (x∗, y∗, λ∗) tiene signo negativo entonces (x∗, y∗) es un mınimo local de la funcion f (x, y) bajo la restricciong(x, y) = c.
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