H Mathematica στην υπηρεσία της Φυσικής

Πως μπορεί κανείς να λύσει προβλήματαΦυσικής με τη βοήθεια τηςMathematica

1Πρόβλημα 1α: Βολές 1Πρόβλημα 1β: Κινήσεις

Πλανητών

Η εντολήDo επαναλαμβάνει μια σειρά

εντολών σύμφωνα με την (τιμή μιας παραμέτρου n)

Από μέχρι με βήμα

Plot[Sin[1.00 x], {x,0,2π}]

Plot[Sin[1.25 x], {x,0,2π}]

Plot[Sin[1.50 x], {x,0,2π}]

Plot[Sin[1.75 x], {x,0,2π}]

Plot[Sin[2.00 x], {x,0,2π}]

Plot[Sin[2.25 x], {x,0,2π}]

Plot[Sin[2.50 x], {x,0,2π}]

Plot[Sin[2.75 x], {x,0,2π}]

Plot[Sin[3.00 x], {x,0,2π}]

Η παραπάνω εντολή ισοδυναμεί με την σειρά

εντολών:

11Πρόβλημα α: Βολές

Για το πρόγραμμα αυτό θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τις θέσεις Για το πρόγραμμα αυτό θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τις θέσεις , του σώματος κάποιες χρονικές στιγμές τις αντίστοιχες , του σώματος κάποιες χρονικές στιγμές τις αντίστοιχες

. ταχύτητες και τις αντίστοιχες επιταχύνσεις Η εντολή που θα . ταχύτητες και τις αντίστοιχες επιταχύνσεις Η εντολή που θα χρησιμοποιήσουμε είναι η χρησιμοποιήσουμε είναι η DoDo:

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

Με τη βοήθεια τηςDo μπορούμε να δημιουργήσουμε και μια κινούμενη

απεικόνιση της βολής καθώς προβάλλει τις διαδοχικές θέσεις του

κινητού χρησιμοποιώντας τις τιμέςx[t], y[t] .που υπολογίζονται

Show[Graphics[{PointSize[0.05],Point[{x[t],y[t]}]}]

Η εντολή Graphics υπολογίζει τη θέση ενός σημείου με {x[t], y[t]} συντεταγμένες ενώ η εντολή Show . το εμφανίζει στην οθόνη

Η εντολή PointSize[0.05] σημαίνει ότι το σημείο αυτό έχει μέγεθος ίσο με το 5% . της οθόνης Με τη βοήθεια της εντολής Do

. τοποθετούνται διαδοχικά σημεία στην οθόνη

SetOptions[Graphics, AspectRatio->1, Axes->Automatic, PlotRange->{{0,20},{-25,0}}]

• x, y PlotRange->{{xΤο εύρος των καθορίζεται από την min,xmax},{ymin,ymax}}

• Η επιλογή AspectRatio->1 ορίζει την ίδια κλίμακα και στους δύο άξονες (x, y).• Η επιλογή Axes->Automatic (σχεδιάζει αυτόματα τους δύο άξονες x, y).

Οι κινούμενες απεικονίσεις στηρίζονται στην εμφάνιση Οι κινούμενες απεικονίσεις στηρίζονται στην εμφάνιση . των διαδοχικές θέσεις του κινητού Οι εντολές που θα . των διαδοχικές θέσεις του κινητού Οι εντολές που θα

χρησιμοποιήσουμε είναι οι χρησιμοποιήσουμε είναι οι GraphicsGraphics, , PointPoint:

Διάφορες γενικές ρυθμίσεις των γραφικών ρυθμίζονται με την εντολή Set.


• H μελέτη των βολών συνήθως αναφέρεται σε σφαιρικά αντικείμενα : που εκτελούν μια σύνθετη κίνηση αποτελούμενη από δύο συνιστώσες μια οριζόντια κίνηση παράλληλη στην επιφάνεια της γης και μια

. κατακόρυφη κίνηση• Σύμφωνα με την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων η κάθε κίνηση

είναι ανεξάρτητη της άλλης και η θέση και η ταχύτητα του κινητού προκύπτουν για κάθε χρονική στιγμή από το διανυσματικό άθροισμα

. των αντίστοιχων συνιστωσών• Το σύστημα αναφοράς για τη μελέτη των βολών είναι ένα σύστημα

συντεταγμένων x-y με διεύθυνση x παράλληλη στην επιφάνεια της γης και διεύθυνση y . προς το κέντρο της γης

Αξονας x:Αξονας y:


• Ας θεωρήσουμε την απλή περίπτωση όπου ένα σώμα κινείται πάνω στον

-άξονα x ( ) παράλληλα στην επιφάνεια της γης με ταχύτητα Vx=10 m/sec

και Vy=0.

• (Το κινητό ξενικά από την αρχή των αξόνων x=0, y = 0) .

• Κίνηση στον άξονα των Κίνηση στον άξονα των x: x: Η ταχύτητα Vx είναι σταθερή αν δεν , υπάρχει η αντίσταση του αέρα οπότε αx=0.

• Κίνηση στον άξονα των Κίνηση στον άξονα των y: y: Η επιτάχυνση είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας g=9.8 m/s2


Clear[x,Vx, y, Vy];

ti=0;tf=2;Δt=1/10;

x[ti]=0; Vx[ti]=10; y[ti]=0; Vy[ti]=0; g= -9.8;

Do[Vx[t+Δt]=Vx[t];

x[t+Δt] = x[t] + Vx[t+Δt]*Δt;

Vy[t+Δt] = Vy[t] + g*Δt;

y[t+Δt] = y[t] + Vy[t+Δt]*Δt, {t,ti,tf,Δt}]

Πρόγραμμα για τον υπολογισμό της κίνησης για ένα χρονικό 2 διάστημα sec:

Κάθεφορά που εκτελείται η εντολή Do το πρόγραμμα υπολογίζει την νέα θέση του

.κινητού


data=Table[{x[t],y[t]},{t,ti,tf,Δt}];ListPlot[data, AxesLabel{"x","y"}, PlotStyle->PointSize[0.015]]

5 10 15 20x

-20

-15

-10

-5

y

Τα δεδομένα x[t] και y[t] για να γίνουν γραφική παράσταση πρώτα χρησιμοποιείται η εντολή Table (function) για να

δημιουργηθεί μια λίστα δεδομένων και στη συνέχεια η εντολήListPlot .για να εμφανιστεί το γράφημα


Μπορείτε εύκολα να δημιουργήσετε μια ρεαλιστική , απεικόνιση της βολής αν είχατε διαδοχικάφωτογραφικά

στιγμιότυπα της βολής

SetOptions [Graphics, AspectRatio 1, Axes->Automatic, PlotRange {{0,20},{-25,0}}];

Do[Show[Graphics[{PointSize[0.05], Point[{x[t],y[t]}]}]], {t, ti,tf,Δt}];

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20

-25

-20

-15

-10

-5To πρόγραμμα αυτό δημιουργεί

μια κινούμενη απεικόνιση της

βολής καθώς προβάλλει τις

διαδοχικές θέσεις του κινητού

χρησιμοποιώντας τις τιμές

x[t], y[t] που υπολογίστηκαν

.προηγουμένως


1. Να εμφανίσετε το διάγραμμα x-y καθώς και την κινούμενη :απεικόνιση για ελεύθερη πτώση με τις εξής παραμέτρους

2. Να εμφανίσετε το διάγραμμα x-y καθώς και την κινούμενη :απεικόνιση για πλάγια βολή με τις εξής παραμέτρους


Mathematica Επειδή η ArcSin υπολογίζει τη συνάρτηση σε ακτίνια (180/ ) πρέπει να πολλαπλασιάσετε με π για να βγει το αποτέλεσμα

. σε μοίρες

Για συνιστώσες αρχική ταχύτηταςVx = 10 m/sec και Vy = 15 m/sec

υπολογίστε τη γωνία θ και την αρχική ταχύτητα V

To πρόβλημα μπορεί να υπολογιστεί και αντίστροφα με δεδομένη την αρχική ταχύτητα και την γωνία θ


Το πρόγραμμα αυτό υπολογίζει την τροχιά του

κινητού σε πλάγια βολή με δεδομένα εισόδου την

αρχική ταχύτητα V και τη γωνία θ

data = Table[{x[t],y[t]}, {t,ti,tf,Δt}];ListPlot[data, AxesLabel->{"x","y"}, PlotStyle->PointSize[0.02]]

2 4 6 8x

0.1

0.2

0.3

0.4

y

Ενώ η τροχιά του κινητού εμφανίζεται με τις

παρακάτω εντολές

3. Στην συγκεκριμένη βολή το σώμα . δεν φθάνει στο έδαφος

Ρυθμίζοντας το tf από τις αρχικές παραμέτρους μπορείτε να κάνετε

;το σώμα να φθάνει στο έδαφος


4. Το βεληνεκές μιας πλάγιας βολής είναι η οριζόντια απόσταση

. που διανύει το κινητό μέχρι να ακουμπήσει το έδαφος

10Δοκιμάζοντας διάφορες γωνίες από ο 90ως ο να συμπληρώσετε

τον παρακάτω πίνακα υπολογίζοντας γραφικά το βεληνεκές και βάζοντας στο tf την κατάλληλη τιμή ώστε το σώμα να φθάνει κάθε

. φορά στο έδαφος Σε ποιο διάστημα γωνιών βρίσκεται το μέγιστο

;βεληνεκέςθ 10o 20o 30o 40o 50o 60o 70o 80o 90o

Βεληνεκές


Πως μπορεί κανείς να λύσει προβλήματαΦυσικής με τη βοήθεια τηςMathematica

1Πρόβλημα 1α: Βολές 1Πρόβλημα 1β: Κινήσεις

Πλανητών

11Πρόβλημα β: Κινήσεις Πλανητών

F GmA mBr2

G=6.67 10-11 Ν m2/kg2

• O νόμος της βαρύτητας ανακαλύφθηκε από τον Νεύτωνα και . εφαρμόζεται σε όλα τα αντικείμενα που έχουν μάζα

• Η δύναμη αυτή είναι ελκτική και βρίσκεται πάνω στην ευθεία .που ενώνει τα κέντρα των δύο μαζών

• Η περίπτωση mA>>mB είναι πιο απλή καθώς η κίνηση της μάζας mB έχει μικρή επίδραση στην κίνηση της μάζας mA.

• , Σε αυτή την περίπτωση είναι πιο εύκολο να χρησιμοποιήσουμε ένα σύστημα συντεταγμένων όπως η μάζα mA βρίσκεται στο

. κέντρο του συστήματος• Η mB (x, y) είναι η μόνη μάζα που κινείται και βρίσκεται στη θέση

.όπως φαίνεται στο σχήμα

Επίσης η ταχύτητα της γης χρειάζεται σαν αρχική. συνθήκη

Θεωρώντας την τροχιά της γης ως κυκλική με ακτίνα

r = 1.5 x 1011 m :μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση

fy t

rV

2

: Στο πρόγραμμα αυτό οι αρχικές συνθήκες είναιx[0]=1.0 m και y[0]=0.0 m,

και αρχική ταχύτητα Vy[0]=0.7 m/sec και Vx[0]=0.

Πρόβλημα 11β: Κινήσεις Πλανητών

Ας κάνουμε ένα πρόγραμμα υπολογισμού Ας κάνουμε ένα πρόγραμμα υπολογισμού της τροχιάς ενός πλανήτη της τροχιάς ενός πλανήτη

: Θεωρείστε τις παρακάτω τιμές για τα φυσικά μεγέθη : G = 6.67 x 10η σταθερά της παγκόσμιας έλξης -11 N m2/kg2, mη μάζα του ήλιου A = 2.0 x 1030 kg, mη μάζα της γης B = 6.0 x 1024

kg. Ο χρόνος για μια πλήρη περιφορά της γης γύρω από τον ήλιο

tf: 1 = 365 = 3.1 x 107 sec , tέτος μέρες και το χρονικό βήμα =tf/500.

Επομένως ο πλανήτης αρχικά βρίσκεται στη δεξιά πλευρά του άξονα x και κινείται προς τα

. πάνω

Plot[Sin[1.00 x], {x,0,2π}]

Plot[Sin[1.25 x], {x,0,2π}]

Plot[Sin[1.50 x], {x,0,2π}]

Plot[Sin[1.75 x], {x,0,2π}]

Plot[Sin[2.00 x], {x,0,2π}]

Plot[Sin[2.25 x], {x,0,2π}]

Plot[Sin[2.50 x], {x,0,2π}]

Plot[Sin[2.75 x], {x,0,2π}]

Plot[Sin[3.00 x], {x,0,2π}]

Η παραπάνω εντολή ισοδυναμεί με την σειρά

εντολών:


Η εντολήDo επαναλαμβάνει μια σειρά

εντολών σύμφωνα με την (τιμή μιας παραμέτρου n)

Από μέχρι με βήμα

Για το πρόγραμμα αυτό θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τις θέσεις Για το πρόγραμμα αυτό θα χρειαστεί να υπολογίσουμε τις θέσεις , του σώματος κάποιες χρονικές στιγμές τις αντίστοιχες , του σώματος κάποιες χρονικές στιγμές τις αντίστοιχες

. ταχύτητες και τις αντίστοιχες επιταχύνσεις Η εντολή που θα . ταχύτητες και τις αντίστοιχες επιταχύνσεις Η εντολή που θα χρησιμοποιήσουμε είναι η χρησιμοποιήσουμε είναι η DoDo:


Με τη βοήθεια της εντολής Do υπολογίστε τις παρακάτω ποσότητες

Και τις εξής αρχικές συνθήκες

Στο συγκεκριμένο πρόβλημα έχουμε τις εξής:σχέσεις


Αν θέλω η Do να επαναλάβει περισσότερες από μία εντολές

Το n είναι η παράμετρος που παίρνει τιμές από 0 μέχρι 600 (θα υπολογίσω τις διάφορες παραμέτρους 600 φορές)ο χρόνος ανεβαίνει κάθε φορά κατά το 1/600 της περιόδου περιφοράς της γης.

data = Table[{x[n],y[n]}, {n,0,Steps}];ListPlot[data, AxesLabel->{"x","y"},AspectRatio->1.0]

-1.5 1011-11011-51010 51010 110111.5 1011x

-1.5 1011

-11011

-51010

51010

11011

1.5 1011

y

Η τροχιά του πλανήτη εμφανίζεται με την παρακάτω σειρά: εντολών

1. Να υπολογίσετε με τη βοήθεια της εντολής Do : τις παραστάσεις

VV και aa ( όπως υπολογίσατε την r).

2. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις V-rV-r, a-ra-r.

3. Να υπολογίσετε από το διάγραμμα τις μέγιστες τιμές ταχύτητας και επιτάχυνσης

καθώς και σε ποιες θέσεις αυτές.εμφανίζονται


H Mathematica στην υπηρεσία της Φυσικής

Documents

Transcript of H Mathematica στην υπηρεσία της Φυσικής