Grundlagen der Numerischen Str¨omungsmechanik · Grundlagen der Numerischen Str¨omungsmechanik...

of 208 /208

Embed Size (px)

Transcript of Grundlagen der Numerischen Str¨omungsmechanik · Grundlagen der Numerischen Str¨omungsmechanik...

  • Grundlagen der

    Numerischen Strömungsmechanik

    Vorlesungsskript

    Nikolaus Adams, Steffen Stolz, Philipp Schlatter,Jörg Ziefle, Carlos Härtel, Leonhard Kleiser

  • I

    Nomenklatur

    Zeit t

    räumliche Koordinaten (kartesisch) x, y, zx1, x2, x3x

    Geschwindigkeiten u, v, wu1, u2, u3u

    Wirbelstärke ω1, ω2, ω3ω = rotu

    Potential der Geschwindigkeit φu = gradφ

    Schallgeschwindigkeit a

    a2 =(∂p∂̺

    )s=const.

    = γp̺ (id. Gas)

    Dichte ̺

    Druck p

    Temperatur T

    Entropie s = cv lnp̺γ

    innere Energie e

    Enthalpie h = e+ p/̺

    Totalenergie E = e+ |u|2/2Totalenthalpie H = h+ |u|2/2

    Wintersemester 2007/2008

  • II

    Vektor der Erhaltungsgrössen U = (̺, ̺u, ̺v, ̺w, ̺E)T

    Vektoren der konvektiven Flüsse(in x1, x2, x3) F , G, H

    Vektoren der diffusiven (molekularen)

    Flüsse (in x1, x2, x3) Fd, Gd, Hd

    Wärmestrom qi = −κ ∂T∂xiq = −κ∇T

    Äussere Volumenkräfte fx, fy, fzf1, f2, f3f

    Tensor der molekularen Spannungen τij(s. Gleichungen) τ

    Konstanten und Koeffizienten

    Isentropenexponent γp̺γ = const.

    id. Gas: γ = cp/cv

    Wärmeleitfähigkeit κ

    dynamische Zähigkeit µ

    kinematische Zähigkeit ν =µ̺

    spezifische Wärme bei konstantem Volumen cv =1

    γ−1R

    spezifische Wärme bei konstantem Druck cp =γ

    γ−1R

    Gaskonstante R = cp − cv

    29. November 2007

  • III

    Kennzahlen

    Reynoldszahl Re

    Machzahl Ma

    Froudezahl Fr

    Prandtlzahl Pr =cp µκ

    Operatoren

    Ableitung ∂j =∂

    ∂xj

    Laplace-Operator ∆ = ∂2

    ∂xj∂xj= ∂j∂j

    Gradient grad = (∂x, ∂y, ∂z)T

    Rotation rotu =

    ∂yuz − ∂zuy∂zux − ∂xuz∂xuy − ∂yux

    Divergenz divφ = ∂xφ+ ∂yφ+ ∂zφ

    Betrag eines Vektors |a| =√a21 + a

    22 + a

    23

    substantielle Ableitung im Geschw.feld u DDt =∂∂t

    + uj∂∂xj

    Mathematische Symbole

    O() Landausches Ordnungssymbol a = O(x), x→ x0bedeutet: Es gibt eineKonstante K, so dass∣∣ ax

    ∣∣ ≤ K für x→ x0.

    Wintersemester 2007/2008

  • V

    Inhaltsverzeichnis

    1 Einführung 11.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Numerische Fluiddynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    2 Grundgleichungen und abgeleitete Gleichungen 112.1 Navier-Stokes-Gleichungen und Euler-Gleichungen . . . . . . . . 112.2 Laplace-Gleichung und Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . 142.3 Diffusionsgleichung und Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . 152.4 Advektionsgleichung und Wellengleichung . . . . . . . . . . . . 162.5 Typklassifizierung partieller Differentialgleichungen . . . . . . . 16

    2.5.1 Elliptische partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . 212.5.2 Parabolische partielle Differentialgleichungen . . . . . . . 232.5.3 Hyperbolische partielle Differentialgleichungen . . . . . . 26

    3 Diskretisierungsverfahren 353.1 Finite-Differenzen-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    3.1.1 Kompakte Finite-Differenzen-Verfahren . . . . . . . . . 383.1.2 Modifizierte Wellenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.3 Finite-Differenzen-Verfahren für nicht-äquidistante Gitter 41

    3.2 Finite-Volumen-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Methode der gewichteten Residuen: Spektralverfahren . . . . . . 44

    3.3.1 Grundprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.2 Wahl der Gewichtsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.3 Wahl der Ansatzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3.4 Pseudospektrale Auswertung der nichtlinearen Terme . . 55

    3.4 Finite-Elemente-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.5 Eigenschaften und Analyse von Diskretisierungsverfahren . . . . 62

    3.5.1 Konsistenz und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5.2 Stabilitätsbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.5.3 Methoden zur Stabilitätsanalyse . . . . . . . . . . . . . 73

    Wintersemester 2007/2008

  • Inhaltsverzeichnis VI

    4 Grundtypen von Lösungsverfahren 83

    4.1 Hyperbolische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    4.1.1 Wichtige Diskretisierungsschemata . . . . . . . . . . . . 83

    4.1.2 Analyse von Verfahren für lineare Gleichungen . . . . . . 86

    4.1.3 Nichtlineare Gleichungen und unstetige Lösungen . . . . 93

    4.2 Elliptische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    4.2.1 Iterative Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    4.2.2 Konvergenzbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    4.3 Parabolische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    5 Berechnung inkompressibler Strömungen 113

    5.1 Grundgleichungen in primitiven Variablen . . . . . . . . . . . . . 113

    5.2 Druckprojektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    5.3 Lösungsmethoden in primitiven Variablen . . . . . . . . . . . . 116

    5.3.1 Volldiskretisierte Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 117

    5.3.2 Einflussmatrix-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    5.3.3 Zwischenschritt-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    5.3.4 Druckkorrektur-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    5.3.5 Methode der künstlichen Kompressibilität . . . . . . . . 120

    5.4 Alternative Formulierungen der Bewegungsgleichung . . . . . . . 121

    5.4.1 Wirbelstärke-Vektorpotential-Formulierung . . . . . . . . 121

    5.4.2 Wirbelstärke-Geschwindigkeits-Formulierung . . . . . . . 123

    6 Turbulente Strömungen 125

    6.1 Direkte Numerische Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    6.2 Reynolds-gemittelte Gleichungen und Turbulenzmodelle . . . . . 130

    6.2.1 Wirbelzähigkeitsmodelle (eddy-viscosity models) . . . . . 131

    6.2.2 Reynoldsspannungs-Modelle (Second-Order Closures) . . 133

    6.3 Grobstruktur-Simulation (Large-Eddy Simulation) . . . . . . . . 133

    7 Lagrangesche Methoden 139

    7.1 Lattice-Boltzmann-Methoden - LBM . . . . . . . . . . . . . . . 140

    7.1.1 LBM für die 2D inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

    7.1.2 Analyse eines LBM-Verfahrens für die viskose Burgers-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    7.2 Smooth Particle Hydrodynamics - SPH . . . . . . . . . . . . . . 144

    29. November 2007

  • VII Inhaltsverzeichnis

    8 Übungsaufgaben 1478.1 Rundungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    8.1.1 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1478.2 Typ von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    8.2.1 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488.3 Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

    8.3.1 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498.4 Finite-Volumen-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

    8.4.1 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508.5 Finite-Elemente-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

    8.5.1 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.6 Diskretisierungsverfahren für die Advektionsgleichung . . . . . . 155

    8.6.1 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.6.2 Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

    8.7 Analyse von Finite-Differenzen-Verfahren . . . . . . . . . . . . . 1618.7.1 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

    8.8 Lösungsverfahren für elliptische Gleichungen . . . . . . . . . . . 1638.8.1 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

    8.9 Lösungsverfahren für parabolische Gleichungen . . . . . . . . . . 1658.9.1 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

    8.10 Lattice Boltzmann Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1668.10.1 Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1668.10.2 Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

    A Matrix- und Vektor-Analysis 187A.1 Vektor-Normen und Matrix-Normen . . . . . . . . . . . . . . . 187A.2 Normen für Funktionen und Gitterfunktionen . . . . . . . . . . 189

    B Finite-Differenzen-Schemata 191B.1 Finite-Differenzen-Verfahren zur Integration von gewöhnlichen

    Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191B.2 Finite-Differenzen-Schemata zur Diskretisierung von Ableitungs-

    operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192B.3 Finite-Differenzen-Schemata zur Diskretisierung der Advektions-

    gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

    C Literaturverzeichnis 197

    Wintersemester 2007/2008

  • 1

    Kapitel 1

    Einführung

    1.1 Vorbemerkung

    In Fluiddynamik, Energie- und Verfahrenstechnik spielen Transport- und Aus-tauschprozesse eine grosse Rolle. Sie erscheinen in einer unüberschaubarenVielfalt: Strömungen durch ein Triebwerk, Verdampfung und Verbrennung vonTreibstoff in einer Brennkammer, Mischen von Komponenten in einem Rühr-kessel, Blutströmung in einem künstlichen Herzen, Kristallwachstum in einerSchmelze oder Bildung von Nanopartikeln in einem Flammreaktor sind nur ei-nige Beispiele.

    Oft sind es Strömungsvorgänge, die den Austausch von Masse, Impuls undEnergie durch Konvektion und Diffusion bewerkstelligen. In anderen Fällenerfolgt der Transport durch reine Diffusion oder Wärmeleitung. Phänomenewie Turbulenz, Oberflächenspannung, Kapillarität, Präsenz mehrerer Phasen,die Phasenübergänge Schmelzen/Erstarren und Verdampfung/Kondensation,Strahlung, chemische Reaktionen (insbesondere Verbrennung), Massenkräfte,Fluid-Struktur-Wechselwirkung und viele mehr erfordern gegebenenfalls einespezielle Modellierung und können die theoretische Beschreibung wesentlich er-schweren. Oft spielen sich Phänomene gleichzeitig auf ganz unterschiedlichenLängen- und Zeitskalen ab. Zu der dynamischen Komplexität der meist nicht-linear wechselwirkenden Phänomene kommt die geometrische Komplexität derin der Praxis vorkommenden Konfigurationen.

    Trotz des im Einzelfall hohen Schwierigkeitsgrads vieler Problemstellungenund erst unzureichend gelöster Probleme bei der Modellierung hat die numeri-sche Berechnung oder Simulation in der Energie- und Verfahrenstechnik heutebereits eine grosse Bedeutung erlangt, die in der Zukunft noch weiter zuneh-men wird. Grund dafür ist der dringende Bedarf nach Analyse und Optimierungvon Geräten und Prozessen in immer kürzerer Zeit und zu erträglichen Kosten.Man erhofft sich von der numerischen Berechnung, wenn sie denn hinreichend

    Wintersemester 2007/2008

  • 1.1 Vorbemerkung 2

    zuverlässig und effizient durchgeführt werden kann, grosse Vorteile im Vergleichzu einer Entwicklung allein auf der Basis von Laborexperimenten oder gar auf-wendigen Grossanlagen.

    Die mathematische Formulierung der Aufgabenstellungen führt wie in derNumerischen Fluiddynamik oft auf ein System partieller Differentialgleichungen,das zusammen mit Rand- und ggf. Anfangsbedingungen gelöst werden muss.Dabei gibt es drei wichtige Grundtypen von Vorgängen, die anhand einfacherModellgleichungen studiert werden können und sich in ihrer mathematischenKlassifikation unterscheiden:

    • Konvektive Transportvorgänge(Modell: Advektions- oder Wellengleichung; hyperbolischer Typ)

    • Diffusive Vorgänge(Modell: Wärmeleitungsgleichung; parabolischer Typ)

    • Gleichgewichtszustände nach Abklingen von Transienten(Modell: Laplace- oder Poissongleichung; elliptischer Typ).

    Vor diesem Hintergrund befasst sich diese Vorlesung mit einer Einführung indie Methoden zur numerischen Lösung der genannten Grundaufgaben. Wir neh-men dabei meist Bezug auf Fragestellungen der Fluiddynamik oder des Wärme-transports. Die besprochenen Methoden sind jedoch universell und für eineVielzahl von Problemen der Energie- und Verfahrenstechnik einsetzbar.

    Kapitel 2 der Vorlesung rekapituliert die Grundgleichungen und ihre Typklas-sifizierung, die wichtig ist für die mathematisch sachgemässe Formulierung deszu lösenden Problems. Sodann werden in Kapitel 3 die wesentlichen Diskreti-sierungsmethoden eingeführt. Der Schwerpunkt liegt dabei auf den klassischenDifferenzenverfahren. Besonderer Wert wird gelegt auf den Stabilitätsbegriff. InKapitel 4 werden dann speziell für die einzelnen Gleichungstypen (hyperbolisch,elliptisch und parabolisch) geeignete Differenzenverfahren besprochen. IterativeVerfahren zur Lösung diskretisierter elliptischer Gleichungen werden eingeführt.Kapitel 5 befasst sich mit der Berechnung inkompressibler Strömungen, wo sichspezielle Fragen stellen bei der Behandlung der Kontinuitätsgleichung und derdamit zusammenhängenden Druckberechnung. Kapitel 6 gibt schliesslich eineÜbersicht über verschiedene Ansätze zur Modellierung der Turbulenz, die beiStrömungsberechnungen nicht selten ein grosses Problem darstellt.

    29. November 2007

  • 3 1 Einführung

    1.2 Numerische Fluiddynamik

    Die Numerische Fluiddynamik (engl. Computational Fluid Dynamics, CFD) be-fasst sich mit der Berechnung von Strömungen auf der Basis der grundlegendenErhaltungsgleichungen der Fluiddynamik. Diese Erhaltungsgleichungen werdennumerisch diskretisiert und mit Hilfe eines Computers näherungsweise gelöst.Neben analytischer Theorie und dem Experiment stellt die Numerische Fluiddy-namik heute eine eigenständige Methode zur Erforschung und Vorhersage vonStrömungsvorgängen dar, die sich seit etwa 1970 rasch entwickelt und heuteeine zentrale Bedeutung gewonnen hat, in der Forschung ebenso wie in prak-tischen Anwendungen. Diese Entwicklung schreitet weiter rasch voran. Gründedafür liegen zum einen in dem seit mehreren Jahrzehnten anhaltenden expo-nentiellen Wachstum der verfügbaren Rechnerleistungen, siehe Bild 1.1. Derweltweit schnellste Grossrechner leistete Anfang 2003 ca. 70 Tflop/s nominelleSpitzenleistung und ca. 30 Tflop/s für Anwendungsprogramme. Man rechnetbis zum Ende dieses Jahrzehnts mit Leistungen von 1Pflop/s (1015 flop/s).Wenn auch dem einzelnen Ingenieur an seinem Arbeitsplatz nur ein Bruchteileiner solch extremen Spitzenleistung zur Verfügung steht, steigt die für ihnverfügbare Leistung (z.B. ca. 1 Gflop/s auf einem Laptop) doch mit dersel-ben Geschwindigkeit an. Ebenso bedeutend ist aber auch die Verbesserung dernumerischen Techniken, siehe Bild 1.2.

    Abbildung 1.1: Entwicklung der Rechnerleistung in flop/s (floating point operationsper second). N=1: Rechenleistung des weltweit schnellsten installierten Rechners,N=500: Rechenleistung des 500-schnellsten installierten Rechners, SUM: Summe der500 schnellsten Rechner (siehe http://www.top500.org/)

    Wintersemester 2007/2008

  • 1.2 Numerische Fluiddynamik 4

    Abbildung 1.2: Entwicklung der Effizienz von numerischen Verfahren (aus [Sch99])

    Ein wesentlicher Grund für den Einsatz von CFD in der industriellen Pra-xis liegt darin, dass CFD wesentlich schneller und kostengünstiger ist als etwaherkömmliche Verfahren, die sich auf Laborexperimente mit eigens angefertig-ten Modellen abstützen. Geometrische Konfigurationen und Strömungsparame-ter können in der Simulation leicht variiert werden. Es lassen sich oft auchParameterbereiche erschliessen, die sich im Labor gar nicht realisieren lassen.

    Berechnungen dreidimensionaler, reibungsbehafteter Strömungen in realisti-schen Konfigurationen sind heute möglich geworden, wobei aber noch wesentli-che Einschränkungen gemacht werden müssen. CFD nach dem heutigen Standist immer noch keine ausgereifte Technologie, sondern ein

    ”Handwerk“, des-

    sen sachgerechte Ausübung viel Verständnis und Erfahrung erfordert, und zwargleichermassen für die Strömungsvorgänge wie auch für die numerischen Metho-den. Die Anwendung der Numerischen Fluiddynamik für komplexe Strömungs-probleme ist notorisch schwierig, und es gibt noch gravierende grundlegendeProbleme zu lösen. Dementsprechend sind die Ergebnisse heutiger praktischerStrömungsberechnungen oft noch unsicher.

    Es gibt mehrere Ursachen für die Schwierigkeiten mit CFD. Zum einen liegensie an unvollkommenen theoretisch/mathematischen Modellen für wesentlicheStrömungsphänomene oder die Strömung beeinflussenden Prozesse, z. B.

    • Turbulenzmodellierung, inbesondere bei Strömungen mit Ablösung, Drall,laminar-turbulentem Übergang oder Instationarität

    • Mehrstoff- und Mehrphasenströmungen

    29. November 2007

  • 5 1 Einführung

    • Strömungen mit chemischen Reaktionen (z. B. Verbrennung)

    und viele mehr. Zum anderen gibt es auch numerisch-technische Probleme:

    • Gittererzeugung

    • Effizienz und Robustheit der iterativen Lösungsverfahren

    • Der erforderliche Aufwand: Insbesondere bei dreidimensionalen (3-D) underst recht bei instationären Problemen können die verfügbaren Ressourcen(Speicher, Rechenzeit) schnell um Grössenordnungen überstiegen sein.

    Zwar gibt es heute vielfältige, auch kommerziell erhältliche CFD-Software,doch kann diese in der Regel nicht einfach im Sinn von

    ”black-box tools“ ein-

    gesetzt werden. Das Wissen um den sachgerechten Einsatz von CFD-Softwareist das eigentliche

    ”Know-How“ eines Anwenders. Solches Erfahrungswissen

    wird auch teilweise bereits systematisch gesammelt und publiziert, siehe [ERC]und [QNE].

    Zur numerischen Lösung eines Strömungsproblems sind grundsätzlich mehrereSchritte notwendig, von der Definition des Problems bis hin zu der Auswertungder Ergebnisse. In Abbildung 1.3 sind schematisch die wichtigsten Aufgabendargestellt. Diese werden im folgenden näher erläutert.

    • Definition des StrömungsproblemsAls erstes muss das Strömungsproblem genau definiert werden. Hierbeimüssen die Geometrie, die Randbedingungen, ggf. Anfangsbedingungenund die Parameter festgelegt werden. Experimentelle Erkenntnisse be-ziehungsweise Erfahrungen aus bestehenden numerischen Simulationengeben Aufschluss, welche Strömungsphänomene zu erwarten sind und inBetracht gezogen werden müssen.

    • Physikalische ModellierungGewisse Eigenschaften des Fluids, insbesondere die Schubspannungen,müssen modelliert werden. Häufig wird für die Schubspannungen ein New-tonscher Ansatz verwendet, d. h. die Schubspannung ist proportional zurScherrate und die Viskosität ist eine Stoffgrösse des Fluids. Für kom-plexere Fluide wie Polymere, Suspensionen, etc. müssen jedoch derenrheologische Eigenschaften berücksichtigt werden. Das Verhalten solcher

    Wintersemester 2007/2008

  • 1.2 Numerische Fluiddynamik 6

    Physikalishes StromungsproblemPhysikalishes ModellMathematishes ModellAlgebraishes GleihungssystemLosungsalgorithmusRehenprogrammNumerishe LosungFehlerabshatzung ValidierungSensibilitatsanalyseStromungsphysikalishes Ergebnis

    Experimenteller EinblikErfahrung / Optimierungphysikalishe Modellierungmathematishe ModellierungDiskretisierungAlgorithmisierungProgrammierungFinitisierung, Rehnung

    AuswertungAbbildung 1.3: Schritte zur numerischen Lösung eines Strömungsproblems

    Fluide ist Gegenstand der Forschung in der Rheologie [Böh81]. Die Stoff-grössen wie Viskosität, Wärmeleitfähigkeit, etc. hängen im allgemeinenvon Druck und Temperatur ab. Für viele Strömungsprobleme kann dieseAbhängigkeit allerdings vernachlässigt oder mit einfachen Gesetzen be-schrieben werden.

    Bei reibungsbehafteten Strömungen unter Verwendung des Newton-

    29. November 2007

  • 7 1 Einführung

    schen Schubspannungsansatzes spricht man von den Navier-Stokes-Gleichungen. Für Strömungen, bei denen Reibung eine untergeordneteRolle spielt, z. B. im ferneren Aussenbereich bei der Umströmung einesKörpers, kann die Reibung (Schubspannungen) vernachlässigt werden. Indiesem Falle löst man die Euler-Gleichungen. Für drehungsfreie und rei-bungsfreie Strömungen kann man die Gleichungen weiter vereinfachenund die Strömung mit Hilfe eines Potentials beschreiben.

    Für kleine Strömungsgeschwindigkeiten im Verhältnis zur Schallgeschwin-digkeit, d. h. für kleine Mach-Zahlen Ma, kann das Fluid als inkom-pressibel und die Dichte ρ als konstant angenommen werden. Im Fal-le grösserer Mach-Zahlen, insbesondere für Strömungsgeschwindigkeitennahe der oder grösser als die Schallgeschwindigkeit, ist eine kompressibleBeschreibung unter Berücksichtigung der Energiegleichung und Zustands-gleichung erforderlich.

    Man beobachtet grundsätzlich verschiedene Strömungsformen, z. B. lami-nare, transitionelle und turbulente Strömungen. Insbesondere für die Be-rechnung turbulenter Strömungen müssen in der Regel modifizierte Glei-chungen mit entsprechenden Modellen zur Behandlung der Turbulenz ver-wendet werden, wie z. B. Reynolds-gemittelte Navier-Stokes-Gleichungen(Reynolds-Averaged Navier-Stokes Equations, RANS) oder gefilterte Glei-chungen für die Grobstruktursimulation (Large-Eddy Simulation, LES).Aufwendiger, und nur für einfache modellhafte Strömungsprobleme beiniedrigen Reynoldszahlen durchführbar, sind Direkte Numerische Simula-tionen (Direct Numerical Simulations, DNS), bei denen alle turbulentenSkalen aufgelöst werden und kein Turbulenzmodell notwendig ist.

    • Mathematische ModellierungDas physikalische Modell muss mathematisch formuliert werden. Dafürsind passende Grundgleichungen heranzuziehen, zum Beispiel im Fal-le inkompressibler Strömungen die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen (Massen- und Impulserhaltung) für die Strömungsgeschwin-digkeiten und den Druck. Insgesamt besteht das mathematische Modellin der Regel aus einem Anfangs-Randwert-Problem für ein nichtlinearesSystem von partiellen Differentialgleichungen für die Strömungsgrössen(Geschwindigkeiten, Druck, Dichte usw.) mit stoffabhängigen Parameternoder Zusatzbedingungen. Die sachgemässe Formulierung des mathemati-schen Modells erfordert besondere Aufmerksamkeit.

    Wintersemester 2007/2008

  • 1.2 Numerische Fluiddynamik 8

    • DiskretisierungFür die numerische Lösung muss ein endliches Rechengebiet definiert unddieses gegebenenfalls auf ein einfacher zu behandelndes Gebiet transfor-miert werden. In diesem Rechenbereich wird ein Gitter erzeugt, auf demdie zunächst kontinuierlichen Gleichungen näherungsweise diskret gelöstwerden. Dazu sind die Grundgleichungen mit einem geeigneten numeri-schen Verfahren, z. B. Finite-Differenzen- oder Finite-Volumen-Verfahren,zu diskretisieren. Man erhält so ein grosses, i. a. nichtlineares algebraischesGleichungssystem für die diskretisierten Grössen. In Abhängigkeit von derGitterfeinheit kann das Gleichungssystem sehr gross werden (bis zu vielenMillionen von Unbekannten).

    • LösungsverfahrenDas aus der Diskretisierung erhaltene Gleichungssystem muss mit Hilfeeines Algorithmus entweder direkt, oder iterativ bis zum Erreichen ei-nes Abbruchkriteriums, näherungsweise gelöst werden. Um eine effizienteBerechnung zu ermöglichen, muss die Auswahl der Algorithmen auf dieeinzusetzende Rechnerarchitektur abgestimmt werden.

    • ProgrammierungVor der eigentlichen Programmierung des gesamten numerischen Prozes-ses ist ein Konzept (Programmstruktur) festzulegen. Aufgrund der gros-sen Menge an zu speichernden Daten (oft Gigabytes bis Terabytes) ist eswichtig, eine passende Datenstruktur sowohl für Daten im Hauptspeicherals auch für auf Massenspeichern (Festplatte, Band, etc.) zu speicherndeDaten zu verwenden.

    • Finitisierung, RechnungDie Darstellung der reellen Zahlen mit einer finiten Menge an Maschi-nenzahlen und das Abbrechen von unendlichen Reihen durch endlichviele Auswertungen (etwa zur Repräsentation elementarer Funktionen)kann man unter dem Begriff Finitisierung zusammenfassen. Insbesonderekommt hier der Einfluss von Rundungsfehlern ins Spiel.

    Die eigentliche Berechnung kann je nach Grösse des Problems, gewähl-ten Modellen, Lösungsverfahren und Rechnerleistung für einfache Fälle inwenigen Sekunden erledigt sein oder aber bis zu mehreren Stunden odergar Monaten dauern.

    • Fehlerabschätzung

    29. November 2007

  • 9 1 Einführung

    Die Analyse der numerischen Fehler bei der Diskretisierung, Algorithmi-sierung und Finitisierung gibt Anhaltspunkte dafür, wie genau die nume-rische Lösung die exakte Lösung des mathematischen Modells approxi-miert. Die Approximation kann durch Verfeinerung des Gitters oder unterUmständen durch Änderungen im numerischen Verfahren verbessert wer-den. Realistische Fehlerabschätzungen sind aber in der Regel sehr schwie-rig.

    • ValidierungDie Validierung eines neu entwickelten Berechnungsprogramms und einerspezifischen numerischen Lösung erfolgt durch den Vergleich mit Refe-renzlösungen, mit analytischen Lösungen von Testproblemen, mit Ergeb-nissen anderer Codes und/oder mit Ergebnissen aus Experimenten. Fallsnotwendig, muss das mathematische Modell und das Lösungsverfahrenangepasst oder korrigiert werden.

    • Auswertung und AnalyseDie Auswertung der numerischen Lösung erfolgt entweder parallel zurAusführung des Programms (mitlaufend) oder in einem nachgeschaltetenSchritt (

    ”post-processing“ der gespeicherten Daten). Oft sind statistische

    Grössen wie Mittelwerte und turbulente Fluktuationen von Interesse. Fallsdie Ergebnisse nicht im Gültigkeitsbereich der physikalischen Modelle lie-gen, sind die Modelle dem Problem anzupassen und das Strömungspro-blem ist mit geänderten physikalischen Modellen erneut zu simulieren. EinBeispiel hierfür wäre, dass das Modell für die Schubspannung, respektivedie Viskosität, nur in einem eingeschränkten Temperaturbereich gültig ist,jedoch die Lösung ausserhalb dieses Bereichs liegt.

    [Böh81] G. Böhme. Strömungsmechanik nicht-newtonscher Fluide. Teubner,Stuttgart, 1981.

    [ERC] ERCOFTAC. Best Practice Guidelines for Industrial ComputationalFluid Dynamics. http://www.ercoftac.org.

    [QNE] QNET-CFD. QNET-CFD Network Newsletter. http://www.qnet-cfd.net.

    [Sch99] M. Schäfer. Numerik im Maschinenbau. Springer, Berlin, 1999.

    Wintersemester 2007/2008

  • 11

    Kapitel 2

    Grundgleichungen und abgeleitete Gleichungen

    Im folgenden werden die Grundgleichungen der Fluiddynamik und einige häufi-ger benutzte abgeleitete Gleichungen zusammengestellt. Zur Herleitung wirdauf die Literatur verwiesen [TAP97, SK80, KC02]. Ferner werden Aussagenzur Typklassifizierung partieller Differentialgleichungen wiedergegeben, die fürdie sachgemässe mathematische Formulierung von Strömungsproblemen wich-tig sind.

    2.1 Navier-Stokes-Gleichungen und Euler-Gleichungen

    Man bezeichnet die differentiellen Erhaltungsgesetze für Masse, Impuls undEnergie für ein Newtonsches Fluid mit einem linearen Ansatz für die Schub-spannungen und für die Wärmeleitung (Ansatz von Fourier) oft auch generellals Navier-Stokes-Gleichungen. Manchmal wird diese Bezeichnung auch im en-geren Sinn lediglich für die Impulserhaltungsgleichungen verwendet. Die kom-pressiblen Navier-Stokes-Gleichungen lassen sich in kompakter Form schreibenals

    ∂U

    ∂t+∂(F − F d)

    ∂x1+∂(G−Gd)

    ∂x2+∂(H −Hd)

    ∂x3= f , (2.1)

    wobei mit xi die Koordinatenrichtungen bezeichnet werden. In (2.1) sind fol-gende Definitionen verwendet:

    Vektor der Erhaltungsgrössen

    U = (̺, ̺u, ̺v, ̺w, ̺E)T , (2.2a)

    konvektiver Fluss in x1

    F = (̺u, ̺u2 + p, ̺uv, ̺uw, u(E + p))T , (2.2b)

    Wintersemester 2007/2008

  • 2.1 Navier-Stokes-Gleichungen und Euler-Gleichungen 12

    konvektiver Fluss in x2

    G = (̺v, ̺vu, ̺v2 + p, ̺vw, v(E + p))T , (2.2c)

    konvektiver Fluss in x3

    H = (̺w, ̺wu, ̺wv, ̺w2 + p, w(E + p))T , (2.2d)

    diffusiver Fluss in x1

    F d = (0, τ11, τ21, τ31,∑3

    k=1 ukτk1 − q1)T , (2.2e)

    diffusiver Fluss in x2

    Gd = (0, τ12, τ22, τ32,∑3

    k=1 ukτk2 − q2)T , (2.2f)

    diffusiver Fluss in x3

    Hd = (0, τ13, τ23, τ33,∑3

    k=1 ukτk3 − q3)T , (2.2g)

    volumenspezifische Massenquelle oder -senke, volumenspezifische Mas-senkraft, volumenspezifische Energiequelle oder -senke

    f . (2.2h)

    Mit ρ wird die Dichte bezeichnet, mit u der Geschwindigkeitsvektor (u, v, w),mit E = (e+u2/2) die Totalenergie, e ist die massenspezifische innere Energie.

    Zwischen den thermodynamischen Zustandsgrössen bestehen folgende Bezie-hungen:

    Zustandsgleichung des thermisch idealen Gases

    p

    ̺= RT , (2.3a)

    Zustandsgleichung des kalorisch idealen Gases cv = 0

    e = cv T . (2.3b)

    29. November 2007

  • 13 2 Grundgleichungen und abgeleitete Gleichungen

    Für den Spannungstensor eines Newtonschen Fluids gilt unter Annahme derStokes’schen Hypothese:

    τ = µ(∇u+ (∇u)T

    )− 2

    3µ divu I . (2.4a)

    Für den Wärmeleitungsvektor gilt der Ansatz (nach Fourier)

    q = −κ∇T , (2.4b)wobei mit κ die Wärmeleitfähigkeit bezeichnet wird.

    Wenn keine Quellterme vorhanden sind, und man ausserdem die Reibungvernachlässigen kann (z. B. für Strömungen mit sehr hoher Reynoldszahl ineiniger Entfernung von festen Wänden), kann man (2.1) vereinfachen zu densogenannten Eulergleichungen

    ∂U

    ∂t+∂F

    ∂x1+∂G

    ∂x2+∂H

    ∂x3= 0 . (2.5)

    Wenn man an Ausbreitungen von kleinen Störungen eines gegebenen Grund-zustandes interessiert ist, kann man (2.5) um diesen Zustand linearisieren. Be-zeichnet man den Grundzustand als u0 = 0, p0, ρ0, die Störgrössen als u

    ′, p′, ρ′,dann erhält man (hier für eine Raumdimension) die linearisierten Eulergleichun-gen

    ∂̺′

    ∂t+ ̺0

    ∂u′

    ∂x= 0 (2.6a)

    ∂u′

    ∂t+

    1

    ̺0

    ∂p′

    ∂x= 0 (2.6b)

    1

    p0

    ∂p′

    ∂t− γ̺0

    ∂̺′

    ∂t= 0 . (2.6c)

    Man erhält aus diesen Gleichungen ausserdem eine Wellengleichung für dieGeschwindigkeitsfluktuation

    ∂2u′

    ∂t2− γ p0

    ̺0

    ∂2u′

    ∂x2= 0 . (2.7)

    Wenn die substantielle Ableitung der Dichte Dρ/Dt = ∂ρ∂t + u∇ρ = 0 ist,d. h. die Dichte eines Fluidpartikels sich entlang seiner Bahn nicht ändert, spricht

    Wintersemester 2007/2008

  • 2.2 Laplace-Gleichung und Poisson-Gleichung 14

    man von einer inkompressiblen Strömung. Nimmt man weiterhin die Stoffeigen-schaften ν und κ als konstant an, vereinfacht sich (2.1) zu

    ∇u = 0 (2.8a)

    Du

    Dt= −1

    ̺∇p+ ν∆u+ f (2.8b)

    DT

    Dt=

    κ

    ̺cp∆T (2.8c)

    mit dem Wärmeübergangskoeffizienten κ/(̺cp). Man beachte, dass nicht not-wendigerweise ∇ρ = 0. In einem inkompressiblen Fluid behält lediglich jedesFluidelement seine Dichte bei. Konvektion und Diffusion von Wärme wird durchGleichung (2.8c) beschrieben, welche über das Geschwindigkeitsfeld u und ggf.in f enthaltene Auftriebskräfte mit (2.8a), (2.8b) gekoppelt ist. Die Gleichun-gen (2.8a) und (2.8b) können jedoch unabhängig von (2.8c) berechnet werden.

    2.2 Laplace-Gleichung und Poisson-Gleichung

    Eine weitere Vereinfachung der Bewegungsgleichungen wird erreicht, wenn maneine (bis auf isolierte Punkte oder Kurven) drehungsfreie, reibungsfreie undbarotrope Strömung annimmt. In diesem Falle ist die Geschwindigkeit gleichdem Gradienten eines Potentialfeldes, u = ∇Φ (Potentialströmung). Für Φerhält man eine Form der Bernoulli-Gleichung für ein kompressibles Fluid

    ∂Φ

    ∂t+

    1

    2|∇Φ|2 +

    ∫dp

    ̺= g(t) . (2.9)

    Nimmt man an, dass ∇u = 0 (inkompressibel), erhält man die Potentialglei-chung

    ∆Φ = 0 . (2.10)

    Für den Fall einer kompressiblen, stationären Strömung kann man die um ei-ne konstante Anströmung U∞ linearisierte Potentialgleichung für Störungen φherleiten

    (1 − Ma2∞)∂2φ

    ∂x2+∂2φ

    ∂y2= 0 , (2.11)

    29. November 2007

  • 15 2 Grundgleichungen und abgeleitete Gleichungen

    wobei Ma∞ = U∞/√γp∞/ρ∞ die Machzahl der Anströmung für ein ideales

    Gas ist. Beachte, dass Gleichung (2.11) je nach Ma∞ den Gleichungstypwechseln kann (siehe auch Abschnitt 2.5):

    Elliptischer Typ: Ma∞ < 1 (Unterschallströmung)

    Hyperbolischer Typ: Ma∞ > 1 (Überschallströmung) .

    Offenbar sind die Laplace-Gleichung

    ∆φ = 0 (2.12)

    und die Poisson-Gleichung

    ∆φ = h (2.13)

    von grosser Bedeutung für die Fluiddynamik. Die Lösung der Poisson-Gleichungist ein wichtiger Bestandteil von Lösungsalgorithmen für die inkompressiblenNavier-Stokes-Gleichungen (siehe Abschnitt 5). Diese Gleichungen sind vomelliptischen Typ.

    2.3 Diffusionsgleichung und Grenzschichtgleichungen

    Gleichungen, welche Ausgleichs- oder Diffusionsprozesse beschreiben, sind meistvom parabolischen Typ. Beispiele sind die Wärmeleitungsgleichung

    ∂T

    ∂t=

    κ

    ρcp∇2T (2.14)

    mit der Wärmeleitfähigkeit κ und die Stofftransportgleichung mit dem Fick-schen Gesetz für die Diffusion

    ∂cA∂t

    = DAB∇2cA , (2.15)

    worin cA die Konzentration des Stoffes A ist und DAB den Diffusionskoeffizi-enten des Stoffes A durch den Stoff B bezeichnet.

    Für den Grenzfall Re → ∞ kann man die Prandtlschen Grenzschichtglei-chungen herleiten. Sie lauten im stationären Fall (hier um die Temperaturglei-chung (2.16d) erweitert angegeben)

    ∂u

    ∂x+∂v

    ∂y= 0 (2.16a)

    Wintersemester 2007/2008

  • 2.4 Advektionsgleichung und Wellengleichung 16

    ∂p

    ∂y= 0 (2.16b)

    u∂u

    ∂x+ v

    ∂u

    ∂y= −1

    ̺

    ∂p

    ∂x+ ν

    ∂2u

    ∂y2(2.16c)

    u∂T

    ∂x+ v

    ∂T

    ∂y=

    κ

    ̺cp

    ∂2T

    ∂y2. (2.16d)

    2.4 Advektionsgleichung und Wellengleichung

    Werden die Eulergleichungen (2.5) ohne Druckgradient mit u0 6= 0 linearisiert,bekommt man für die Impulsgleichung

    ∂u′

    ∂t+ u0

    ∂u′

    ∂x= 0 , (2.17)

    die sogenannte Advektionsgleichung. Diese Gleichung ist von eminenter Bedeu-tung als Testgleichung für numerische Verfahren zur Lösung der Euler- oderder Navier-Stokes-Gleichungen. Die Wellengleichung für die Ausbreitung vonFluktuationen einer Grösse q in einem ruhenden Medium wurde bereits in (2.7)angegeben. Man kann sie allgemein schreiben als

    ∂2q

    ∂t2− a2 ∂

    2q

    ∂x2= 0 , (2.18)

    wobei a die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellenlösung dieser Gleichung ist.

    2.5 Typklassifizierung partieller Differentialgleichungen

    Man definiert ein sachgemäss gestelltes Problem für ein System von (i.a. parti-ellen) Differentialgleichung folgendermassen.

    Definition 1. Ein System von Differentialgleichungen und die dazugehörigenZusatzbedingungen (Rand- und Anfangsbedingungen) konstituieren ein (im ma-thematischen Sinne) sachgemäss gestelltes Problem (engl. well-posed problem),wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:

    (1) Es existiert eine Lösung.

    (2) Die Lösung ist eindeutig.

    29. November 2007

  • 17 2 Grundgleichungen und abgeleitete Gleichungen

    (3) Die Lösung hängt stetig von den Anfangs- und Randdaten ab.

    Wenn die sachgemässe Stellung eines Problems untersucht werden soll, istes erforderlich, den Typ der zugrundeliegenden Differentialgleichung zu bestim-men. Dieser entscheidet darüber, wie Anfangs- bzw. Randbedingungen sach-gemäss zu stellen sind.

    Lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung

    Betrachten wir zunächst die lineare partielle Differentialgleichung erster Ord-nung für eine skalare Grösse u(x, t)

    A∂u

    ∂t+B

    ∂u

    ∂x= C . (2.19)

    Wählt man eine Parametrisierung s einer Kurve in der (x, t)-Ebene, also x =x(s), t = t(s), so erhält man für die Ableitung von u entlang der Kurve

    du

    ds=∂u

    ∂t

    dt

    ds+∂u

    ∂x

    dx

    ds. (2.20)

    Wählt man z. B. als Parametrisierung der Kurve die Variable t, so geht (2.20)über in

    du

    dt

    ∣∣∣∣x(t)

    =∂u

    ∂t+∂u

    ∂x

    dx

    dt. (2.21)

    Vergleicht man die Gleichung (2.21) mit der Ausgangsgleichung (2.19), so findetman, dass wenn

    dx

    dt=B

    A(2.22a)

    ist, auch

    du

    dt

    ∣∣∣∣x(t)

    =C

    A(2.22b)

    gilt. Die Ableitung dx/dt definiert die charakteristische Kurve oder Charakte-ristik x(t) der Gleichung (2.19). Die partielle Differentialgleichung 1. Ordnung,Gl. (2.19), wurde somit in ein System von zwei gewöhnlichen Differentialglei-chungen 1. Ordnung (2.22) überführt.

    Wintersemester 2007/2008

  • 2.5 Typklassifizierung partieller Differentialgleichungen 18

    Lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung

    Wir betrachten nun die lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnungfür u(x, y) in den zwei unabhängigen Variablen x, y

    A∂2u

    ∂x2+ B

    ∂2u

    ∂x∂y+ C

    ∂2u

    ∂y2+ H = 0 . (2.23)

    In Gleichung (2.23) sind A,B,C gegebene Koeffizienten, der Term H enthältalle Differentiale, deren Ordnung kleiner als zwei ist. Sei nun durch yc(x) ei-ne Kurve in der (x, y)-Ebene gegeben, deren Steigung dyc/dx = λ beträgt.Differenziert man die partiellen Ableitungen (∂u/∂x) und (∂u/∂y) längs dieserKurve, so ergibt sich nach Kettenregel:

    d(∂u/∂x)

    dx=

    ∂2u

    ∂x2+

    ∂2u

    ∂x∂yλ (2.24a)

    d(∂u/∂y)

    dx=

    ∂2u

    ∂x∂y+∂2u

    ∂y2λ . (2.24b)

    Mit Hilfe dieser beiden Beziehungen lassen sich die Terme (∂2u/∂x2) und(∂2u/∂y2) in Gleichung (2.23) eliminieren, und man erhält

    ∂2u

    ∂x∂y

    [Aλ2 −Bλ+ C

    ]−{[A

    d(∂u/∂x)

    dx+ H

    ]λ + C

    d(∂u/∂y)

    dx

    }= 0 .

    (2.25)

    Wird die Kurve yc(x) derart gewählt, dass ihre Steigung λ die quadratischeGleichung

    Aλ2 −Bλ+ C = 0 (2.26)

    erfüllt, so reduziert sich (2.25) auf[A

    d(∂u/∂x)

    dx+ H

    ]λ + C

    d(∂u/∂y)

    dx= 0. (2.27)

    Die aus den beiden Lösungen λ1,2 von (2.26) entstehenden Kurvenscharenyc1,2(x) werden die Charakteristiken der Gleichung (2.25) genannt. Die par-tielle Differentialgleichung (2.23) kann durch die Einführung dieser Charak-teristiken in ein System von zwei gekoppelten gewöhnlichen Differentialglei-chungen für (∂u/∂x) und (∂u/∂y) längs der Kurven yc(x) überführt werden.

    29. November 2007

  • 19 2 Grundgleichungen und abgeleitete Gleichungen

    Anhand der Charakteristiken lässt sich die Typunterscheidung der Differential-gleichung (2.23) vornehmen.

    Definition 2. Die partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung (2.23) ist

    (1) hyperbolisch, wenn zwei reelle Charakteristiken existieren (B2−4AC > 0)

    (2) parabolisch, wenn eine reelle Charakteristik existiert (B2 − 4AC = 0)

    (3) elliptisch, wenn die Charakteristiken komplex sind (B2 − 4AC < 0).

    System linearer partieller Differentialgleichungen erster Ordnung

    Wir betrachten nun das System linearer partieller Differentialgleichungen ersterOrdnung in den zwei Variablen x, y mit n× n-Matrizen A, B

    A∂u

    ∂x+ B

    ∂u

    ∂y= c . (2.28)

    Gegeben sei eine Kurve f(x, y) = 0 in der (x, y)-Ebene mit der Parametrisierungs, also x = x(s), y = y(s). Dann erhält man für die Ableitung von u entlangdieser Kurve

    du

    ds=∂u

    ∂x

    dx

    ds+∂u

    ∂y

    dy

    ds. (2.29)

    Wählt man als Parametrisierung der Kurve s = x, so geht das System (2.29)entlang der Kurve f(x, y) = 0 über in

    du

    dx

    ∣∣∣∣f

    =∂u

    ∂x+

    dy

    dx

    ∣∣∣∣f

    ∂u

    ∂y. (2.30)

    Das Differentialgleichungssystem (2.28) wird dann

    (B − λA)∂u∂y

    = −A dudx

    ∣∣∣∣f

    + c , (2.31)

    wobei

    λ =dy

    dx

    ∣∣∣∣f

    .

    Wintersemester 2007/2008

  • 2.5 Typklassifizierung partieller Differentialgleichungen 20

    Man sucht nun nach solchen Kurven, in deren Umgebung die Lösung u nichteindeutig durch die Kenntnis von u entlang der Kurve bestimmt ist. Das ist derFall, wenn mit der Kenntnis von du/dx|f der Wert von ∂u/∂y nicht eindeutigaus Gleichung (2.31) bestimmt werden kann. Aus Gleichung (2.31) erkenntman, dass dies der Fall ist, wenn λ so gewählt wird, dass

    Det(B − λA) = 0 . (2.32)

    Dann hat Gleichung (2.31) entweder beliebig viele Lösungen oder keine Lösung,je nach Beschaffenheit der rechten Seite.

    Die Kurven f(x, y) = 0 mit dy/dx = λ nennt man die Charakteristikendes Systems (2.28), wenn Gleichung (2.32) erfüllt ist. Infolge der Unbestimmt-heit von ∂u/∂y nach Gleichung (2.31) entlang der Charakteristiken kann dieLösung u eine Unstetigkeit über eine Charakteristik hinweg aufweisen. Eine Cha-rakteristik kann daher zum Beispiel einen Bereich mit konstanter Lösung voneinem Bereich mit einer nichtkonstanten Lösung trennen. Dieses Verhalten ei-ner Lösung nennt man hyperbolisch. Lösungen von hyperbolischen Gleichungenhaben Wellencharakter, d. h. sie verhalten sich qualitativ ähnlich zu der Lösungder Wellengleichung.

    Die Ordnung der charakteristischen Gleichung (2.32) entspricht der Dimen-sion n der Koeffizientenmatrizen, es gibt also n Eigenwerte.

    Definition 3. Man unterscheidet für die Gleichung (2.28) folgende Fälle unddefiniert aufgrund der Eigenwerte von Gleichung (2.32):

    (1) Es gibt n reelle Eigenwerte und n linear unabhängige Eigenvektoren. Dannnennt man (2.28) hyperbolisch.

    (2) Es gibt n reelle Eigenwerte und weniger als n linear unabhängige Eigen-vektoren. Dann nennt man (2.28) parabolisch.

    (3) Es gibt n komplexe (nicht reelle) Eigenwerte. Dann nennt man (2.28)elliptisch.

    (4) Wenn reelle und komplexe Eigenwerte vorliegen, dann ist (2.28) vomgemischten Typ. Sei z. B. n = 3 und λ1 = 1, λ2 = i, λ3 = −i, dannist (2.28) vom Typ gemischt hyperbolisch/elliptisch.

    Lösungen elliptischer Gleichungen sind in der Regel stetig. Sie haben kei-nen Ausbreitungscharakter, sondern Potentialcharakter, d. h. eine lokale Störungwirkt sich sofort im ganzen Lösungsgebiet aus. Parabolische Gleichungen haben

    29. November 2007

  • 21 2 Grundgleichungen und abgeleitete Gleichungen

    Wärmeleitungscharakter, stellen also einen ausgleichenden, nicht wellenartigenAusbreitungsprozess dar.

    Wenn das auftretende partielle Differentialgleichungssystem quasilinear ist,d. h. wenn A und B ausser von x und y auch von u (aber nicht von den Ablei-

    tungen von u) abhängen, dann überträgt man obige Überlegung unmittelbar,indem man nur die Lösung in einer Umgebung eines Punktes (x, y) betrach-tet (man linearisiert das Gleichungssystem). λ wird dann im allgemeinen eineFunktion von u. Die Klassifikation entspricht unmittelbar derjenigen für lineareSysteme aus Definition 3.

    In den folgenden Abschnitten betrachten wir elliptische, parabolische undhyperbolische Differentialgleichungen und ihre Anfangs- und Randbedingungen.

    2.5.1 Elliptische partielle Differentialgleichungen

    Statische physikalische Phänomene können oft durch elliptische Differentialglei-chungen beschrieben werden. Die wichtigsten Beispiele elliptischer Differential-gleichungen in zwei Dimensionen sind die Poisson-Gleichung

    ∂2u

    ∂x2+∂2u

    ∂y2= f (2.33)

    und die Laplace-Gleichung oder Potentialgleichung

    ∂2u

    ∂x2+∂2u

    ∂y2= 0 . (2.34)

    Die Lösungen der Laplace-Gleichung bezeichnet man auch als harmonischeFunktionen oder Potentialfunktionen (siehe Funktionentheorie). In zwei Dimen-sionen sind die Lösungen der Laplace-Gleichung gegeben durch die Realteile(oder Imaginärteile) analytischer Funktionen der komplexen Variable z = x+iy.

    Folgende Typen von Randbedingungen können auf dem Rand ∂G oder aufAbschnitten des Randes vorgeschrieben werden, wobei in jedem Randpunktgenau eine Randbedingung vorgeschrieben sein muss (siehe Figur 2.1):

    Dirichlet-Randbedingung

    u|∂G = gD(x, y), (2.35)

    Neumann-Randbedingung

    ∂u

    ∂n

    ∣∣∣∣∂G

    = gN (x, y), (2.36)

    Wintersemester 2007/2008

  • 2.5 Typklassifizierung partieller Differentialgleichungen 22

    o)

    x

    x

    G

    G

    1

    2

    n

    G

    ∂GCCWn

    Abbildung 2.1: Definitionsbereich G mit Rand ∂G.

    Robin-Randbedingung (gemischte Randbedingung)

    (∂u

    ∂n+ αu

    )∣∣∣∣∂G

    = gR(x, y) . (2.37)

    Um eine physikalische Analogie zu Hilfe zu nehmen, kann man sich vorstel-len, Gleichung (2.33) beschreibe eine Temperaturverteilung, die sich unter demEinfluss der Wärmequellen oder -senken f und der Randtemperatur g1 oder desWärmeflusses g2 über den Rand bei stationären Randbedingungen nach langerZeit einstellt.

    Wird nur eine Neumann-Randbedingung vorgeschrieben, dann erfordert dieExistenz einer Lösung, dass die Integrabilitätsbedingung

    G

    fdV =

    ∂G

    gNdS (2.38)

    erfüllt ist (Beweis mit dem Gauss’schen Integralsatz). Ausserdem ist die Lösungu dann nur bis auf eine additive Konstante bestimmt. Man kann diese Beobach-tungen mithilfe der physikalischen Analogie so verstehen, dass Wärmequellen inG so mit dem Wärmefluss über den Rand im Gleichgewicht stehen müssen, dasseine stationäre Temperaturverteilung existiert. Wenn nur Wärmequellen und derWärmefluss über den Rand gegeben sind, dann kann die Temperaturverteilungin G nur bis auf eine Konstante bestimmt sein.

    29. November 2007

  • 23 2 Grundgleichungen und abgeleitete Gleichungen

    Ein Merkmal der Lösungen u elliptischer Gleichungen ist, dass u glatter istals f oder gD, gN , gR: z. B. wenn f ∈ Cs, dann ist u ∈ Cs+2 für eine Glei-chung zweiter Ordnung. Lösungen der Laplace-Gleichung sind sogar beliebig oftdifferenzierbar (f ∈ Cs bedeutet, dass f s-mal stetig differenzierbar ist).

    Alle oben genannten Randbedingungen erzeugen im allgemeinen”gutmütige“

    Lösungen auch für allgemeinere elliptische Differentialgleichungen in der Nähevon glatten Abschnitten der Berandung. In Randpunkten, in denen der Typ derRandbedingung wechselt, oder in denen die Berandung nicht glatt ist, könnensich Singularitäten in der Lösung bzw. ihren Ableitungen ausbilden.

    Für lineare elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung gilt ein Ma-ximumprinzip: betrachtet man die Poisson-Gleichung (2.33), und erfüllt u dieBedingung

    ∂2u

    ∂x2+∂2u

    ∂y2≥ 0

    auf einem beschränkten Bereich G, dann nimmt u sein Maximum auf demRand ∂G an. Dies ist eine Verallgemeinerung der Aussage, dass eine Funktionu(x) einer Variablen mit u′′(x) > 0 auf einem abgeschlossenen Intervall ihrMaximum an einem Intervallende annimmt.

    2.5.2 Parabolische partielle Differentialgleichungen

    Ausgleichsvorgänge werden in der Physik oft durch parabolische Differentialglei-chungen beschrieben. Die Wärmeleitungsgleichung ist das wichtigste Beispiel:

    ∂u

    ∂t= b

    ∂2u

    ∂x2, (2.39)

    wobei b eine positive Konstante ist. Die Lösung des reinen Anfangswertpro-blems für (2.39) auf dem unendlichen Intervall −∞ < x < ∞ veranschaulichtwichtige allgemeine Eigenschaften der Lösungen parabolischer Gleichungen. Siewird erhalten durch Separation der Variablen und lautet

    u(x, t) =1√2π

    ∫ +∞

    −∞

    e−ξ2bt

    ︸ ︷︷ ︸Dämpfungsterm

    û0(ξ) eiξx dξ , (2.40)

    worin û0(ξ) die Fouriertransformierte der Anfangsbedingung u(x, 0) = u0(x)ist und ξ die Wellenzahl (Fourier-Dualvariable). Offenbar wird die Fouriertrans-formierte û(ξ) mit t → ∞ exponentiell gedämpft, und zwar umso stärker, je

    Wintersemester 2007/2008

  • 2.5 Typklassifizierung partieller Differentialgleichungen 24

    grösser ξ2 ist. Kurzwellige Lösungsanteile (mit grosser Wellenzahl ξ) klingenalso zeitlich schnell ab, sie werden

    ”dissipiert“. Dasselbe kann man auch er-

    kennen, wenn man die Fouriertransformation in (2.40) invertiert, wodurch manerhält

    u(x, t) =1√4πbt

    ∫ +∞

    −∞

    e−(x−x′)2/(4bt)u0(x

    ′)dx′ . (2.41)

    Zum Verhalten der Lösung für wachsendes t siehe Abbildung 2.2. Man erkennt

    -10 -5 0 5 10

    t=1

    t=5

    0.1

    0.2

    0.3

    Abbildung 2.2: Lösung von (2.39) mit b = 1 und der Anfangsbedingung u0(x) = δ(x)(Dirac’sche δ-Funktion) zu den Zeiten t = 1 und t = 5.

    anhand von (2.40) und (2.41), dass u(x, t) ∈ C∞ auf der Halbebene IR×(0,∞).Für ein endliches x-Intervall benötigt ein korrekt gestelltes Problem eine An-

    fangsbedingung

    u(x, 0) = u0(x) (2.42a)

    auf G und jeweils eine Randbedingung auf dem im Endlichen gelegenen Rand∂Z des Zylinders Z = G×[0, tmax] (siehe Abbildung 2.3). Die Randbedingungenkönnen in Dirichlet-, Neumann- oder Robin-Formulierung gegeben sein, es muss

    29. November 2007

  • 25 2 Grundgleichungen und abgeleitete Gleichungen

    )o

    )o

    x

    x

    t

    G

    G

    S

    S

    1

    2

    Abbildung 2.3: Definitionsbereich G mit Rand ∂G.

    aber eine Verträglichkeitsbedingung der Anfangs- und Randbedingungen erfülltsein

    (∂u

    ∂n+ αu

    )∣∣∣∣∂S

    = g(x, t)|∂S (2.42b)

    und(∂u0∂n

    + αu0

    )∣∣∣∣∂G

    = g(x, 0) . (2.42c)

    Ein weiteres Beispiel einer parabolischen Differentialgleichung ist dieAdvektions-Diffusions-Gleichung

    ∂u

    ∂t+ a

    ∂u

    ∂x= b

    ∂2u

    ∂x2, a, b konstant, b > 0 . (2.43)

    Sie dient oft als Modellgleichung zum Studium von numerischen Verfahren zurStrömungsberechnung (vgl. Advektionsgleichung), da sie die beiden dafür we-sentlichen Terme (Advektionsterm und Reibungs- oder Diffusionsterm) enthält.

    Wintersemester 2007/2008

  • 2.5 Typklassifizierung partieller Differentialgleichungen 26

    Mittels der Transformation

    ξ := x− at , w(ξ, t) := u(ξ + at, t)

    kann (2.43) auf die Wärmeleitungsgleichung

    ∂w

    ∂t= b

    ∂2w

    ∂ξ2(2.44)

    in einem mit der konstanten Geschwindigkeit a bewegten Koordinatensystemzurückgeführt werden.

    Es gilt auch hier ein Maximumprinzip: die Lösung einer linearen homogenenparabolischen Differentialgleichung 2. Ordnung, betrachtet auf dem beschränk-ten Gebiet (x, t) ∈ [a, b] × [0, T ], nimmt ihr Maximum auf den Linien t = 0,x = a, x = b an. Entsprechendes gilt für das Minimum.

    2.5.3 Hyperbolische partielle Differentialgleichungen

    Hyperbolische partielle Differentialgleichungen beschreiben Ausbreitungs-vorgänge mit Wellencharakter, bei denen keine Diffusion auftritt. Wichtige Bei-spiele sind:

    (1) Lineare Advektionsgleichung:

    ∂u

    ∂t+ a

    ∂u

    ∂x= 0 , a = const.

    (2) Wellengleichung:

    ∂2u

    ∂t2− b2 ∂

    2u

    ∂x2= 0 , b = const.

    (3) Lineares Differentialgleichungssystem:

    ∂tu+A

    ∂xu = 0 ,

    wobei die n× n-Matrix A n reelle Eigenwerte hat.

    29. November 2007

  • 27 2 Grundgleichungen und abgeleitete Gleichungen

    (4) Nichtlineare Differentialgleichung der Form:

    ∂u

    ∂t+∂f(u)

    ∂x= 0

    (Erhaltungssatz, engl. conservation law), z. B. die Burgers-Gleichung mit

    f(u) =u2

    2.

    2.5.3.1 Reines Anfangswertproblem für die lineare Advektionsgleichung

    Das Anfangswertproblem (auch Cauchy-Problem genannt) lautet

    ∂u

    ∂t+ a

    ∂u

    ∂x= 0 , u(x, 0) = u0(x) , −∞ < x < +∞ (2.45)

    Mit der Anfangsbedingung ergibt sich die Lösung der Differentialgleichung so-fort als

    u(x, t) = u0(x− at) . (2.46)

    Man erkennt, dass sich die Lösung des Anfangswertproblems (AWP) entlang derCharakteristiken x = x + at mit der Advektionsgeschwindigkeit a verschiebt,siehe Bild 2.4. Desweiteren hängt die Lösung nur von der Variablen ξ = x− atab. Führt man wieder die Variablentransformation

    t

    x

    u

    u

    x

    x = x+ at

    Abbildung 2.4: Lösung der linearen Advektionsgleichung mittels Charakteristiken

    ξ := x− at , w(ξ, t) := u(ξ + at, t) = u0(ξ)

    Wintersemester 2007/2008

  • 2.5 Typklassifizierung partieller Differentialgleichungen 28

    durch, ergibt sich für die zeitliche Änderung von w bei festem ξ

    w

    t

    ∣∣∣ξ

    =∂u

    ∂t+ a

    ∂u

    ∂x= 0 . (2.47)

    Die Lösung u(x, t) ist also konstant auf den Charakteristiken ξ = const. DurchVergleich mit der Advektionsgleichung (2.45) erhält man die gewöhnlichen Dif-ferentialgleichungen

    dx

    dt

    ∣∣∣∣Ch

    = a , x(t = 0) = x

    und

    du

    dt= 0 , u(t = 0) = u0(x) ,

    mit den Lösungen

    x(t) = x+ at , u(t) = u0(x) .

    Bemerkungen zum reinen Anfangswertproblem für die lineare Advektionsglei-chung:

    (1) Wenn die Anfangsverteilung stetig ist, dann ist die Lösung überall stetig.

    (2) Unstetigkeiten können sich für eine lineare Advektionsgleichung nur ent-lang der Charakteristiken ausbreiten.

    2.5.3.2 Anfangs-Randwert-Problem für die lineare Advektionsgleichung

    Betrachten wir nun das Anfangs-Randwert-Problem (ARWP) für die lineareAdvektionsgleichung auf einem endlichen Bereich,

    ∂u

    ∂t+ a

    ∂u

    ∂x= 0 , x0 ≤ x ≤ x1 (2.48)

    mit der Anfangsbedingung

    u(x, 0) = u0(x) , x0 ≤ x ≤ x1 .

    Im Falle a > 0 ist die Randbedingung am linken Rand vorzugeben,

    u(x0, t) = g(t)

    29. November 2007

  • 29 2 Grundgleichungen und abgeleitete Gleichungen

    t

    xx0 1x

    AB

    RB

    x = x0 + at

    Abbildung 2.5: Charakteristiken für das ARWP zur linearen Advektionsgleichung mita > 0. An den schraffierten Rändern ist die Lösung vorzuschreiben.

    . Die Gleichung der Charakteristiken ist wieder

    dx

    dt

    ∣∣∣∣Ch

    = a ,

    und es gilt du/dt = 0 entlang der Charakteristiken (siehe Figur 2.5). Die Lösunglautet

    u(x, t) =

    {u0(x− at) x ≥ x0 + atg(t− x−x0a ) x < x0 + at .

    Im Falle a < 0 (linkslaufende Charakteristiken) wären die Randbedingungenanalog am rechten Rand x = x1 vorzuschreiben.

    2.5.3.3 Lineares Differentialgleichungssystem

    Wir betrachten das lineare System von zwei partiellen Differentialgleichungen

    ∂t

    (u1u2

    )+

    (a b

    b a

    )∂

    ∂x

    (u1u2

    )= 0 (2.49)

    für 0 ≤ x ≤ 1. Die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix ergeben sich als λ± =a±b. Dieses System kann man durch Einführen der charakteristischen Variablen

    w+ = u1 + u2 , w− = u1 − u2

    Wintersemester 2007/2008

  • 2.5 Typklassifizierung partieller Differentialgleichungen 30

    in zwei entkoppelte skalare Gleichungen in den charakteristischen Variablen w+,w− überführen:

    ∂w+

    ∂t+ (a+ b)

    ∂w+

    ∂x= 0 (2.50a)

    ∂w−

    ∂t+ (a− b)∂w

    ∂x= 0 . (2.50b)

    Entlang der Charakteristiken Ch+

    dx

    dt= a+ b gilt

    dw+

    dt= 0 ,

    entsprechend entlang der Charakteristiken Ch−

    dx

    dt= a− b , dw

    dt= 0 .

    Damit das ARWP sachgemäss gestellt ist, muss auf jedem Rand die Anzahlder Randbedingungen gleich der Anzahl der dort in das Gebiet eintretendenCharakteristiken sein. Im Fall 0 < b < a laufen beide Charakteristiken Ch+ undCh− nach rechts. In diesem Fall sind beide Komponenten der Lösung, u1 undu2, am linken Rand x = 0 vorzuschreiben, während am rechten Rand x = 1keine Vorgabe gemacht werden darf.

    In dem im weiteren betrachteten Fall 0 < a < b läuft die CharakteristikCh+ nach rechts und Ch− nach links, siehe Abbildung 2.6. Also braucht manauf jedem der beiden Ränder genau eine Randbedingung, die so formuliert seinmuss, dass die Lösung im Gebiet 0 ≤ x ≤ 1 eindeutig ist.

    Das ARWP mit 0 < a < b ist mit Randbedingungen der Form

    w+(0, t) = α0(t)w−(0, t) + β0(t) für x = 0 (2.51a)

    und

    w−(1, t) = α1(t)w+(1, t) + β1(t) für x = 1 (2.51b)

    sachgemäss gestellt. Die Koeffizienten α0(t) und α1(t) können Konstanten oderFunktionen der Zeit sein. Betrachten wir zum Beispiel den Fall mit der Rand-bedingung für u1 am linken Rand x = 0

    u1(0, t) =1

    2β0(t) (2.52a)

    29. November 2007

  • 31 2 Grundgleichungen und abgeleitete Gleichungen

    t

    x

    x = 1x = 0

    Ch+

    Ch-

    Abbildung 2.6: Anfangs- (AB) und Randbedingungen für das ARWP mit 0 < a < b.RB+AB für Ch+; RB+AB für Ch−; � RB in x = 0; • RB in x = 1; �

    AB.

    und der Randbedingung für u2 am rechten Rand x = 1

    u2(1, t) =1

    2β1(t) . (2.52b)

    Die entsprechenden Randbedingungen für die charakteristischen Variablenw+ = u1 + u2 und w

    − = u1 − u2 lauten

    w+(x = 0) = u1(0, t) + u2(0, t) = −w−(x = 0) + β0(t) (2.53a)

    sowie

    w−(x = 1) = u1(1, t) − u2(1, t) = +w+(x = 1) − β1(t) . (2.53b)

    2.5.3.4 Nichtlineare Differentialgleichung

    Die bereits erwähnte Differentialgleichung (Erhaltungssatz)

    ∂u

    ∂t+

    ∂xf(u) = 0 (2.54)

    mit einer nichtlinearen, differenzierbaren Funktion f(u) kann stets auch in derquasilinearen Form

    ∂u

    ∂t+ f ′(u)

    ∂u

    ∂x= 0 (2.55)

    Wintersemester 2007/2008

  • 2.5 Typklassifizierung partieller Differentialgleichungen 32

    geschrieben werden. Die Anfangsbedingung sei u(x, 0) = u0(x). Die Wellenge-schwindigkeit

    a(u) := f ′(u)

    hängt nun von der Lösung u ab. Charakteristiken x(t) werden analog wie imlinearen Fall definiert durch

    dx

    dt= a(u(x, t)) , x(t = 0) = x . (2.56)

    Die Lösung u entlang einer Charakteristik ist wieder konstant, wie man durchBetrachtung der Zeitfunktion

    v(t) := u(x(t), t)

    und Berücksichtigung von (2.55) erkennt:

    dv

    dt=

    dx

    dt· ∂u∂x

    +∂u

    ∂t=∂u

    ∂t+ f ′(u)

    ∂u

    ∂x= 0 .

    Es folgt, dass die Charakteristiken (2.56) auch in diesem nichtlinearen Fall Ge-raden sind,

    x(t) = x+ f ′(u0(x)) · t, (2.57)

    deren Steigung durch die Anfangsdaten bestimmt ist. Abhängig von den An-fangsdaten kann es vorkommen, dass sich Charakteristiken nach einer endlichenZeit t = tb schneiden: die Eindeutigkeit der Lösung geht dann verloren, die

    ”Welle bricht“, es bildet sich eine Unstetigkeit (Stoss).Ein Beispiel für die Burgers-Gleichung mit f(u) = u2/2 und stückweiser

    linearer Anfangsverteilung u0(x) ist in Abbildung 2.7 gezeigt. In diesem spe-ziellen Fall schneiden sich die in dem x-Intervall mit du0/dx < 0 startendenCharakteristiken alle gleichzeitig zu einer Zeit t = tb.

    2.5.3.5 Abhängigkeits- und Einflussbereich

    Charakteristisch für eine hyperbolische Gleichung zweiter Ordnung oder ein Sy-stem von hyperbolischen Differentialgleichungen in den Variablen x, t ist, dassdie Lösung u(x, t) in einem Punkt (x, t) nur von den Werten in einem endlichenx-Intervall zu einem gewählten Anfangszeitpunkt t < t abhängt. Dieser Bereich

    29. November 2007

  • 33 2 Grundgleichungen und abgeleitete Gleichungen

    bt

    bu(x,t )t

    x

    xx0

    u(x,0)

    Abbildung 2.7: Anfangsverteilung, Charakteristiken und Ausbildung einer Unstetigkeitin der Lösung der Burgers-Gleichung nach endlicher Zeit tb.

    wird als Abhängigkeitsbereich des Punktes (x, t) bezeichnet (Bild 2.8). Der Be-reich der x−t−Ebene, welcher von der Lösung im Punkt (x, t) beeinflusst wird,heisst Einflussbereich des Punktes (x, t). Abhängigkeitsbereich und Einflussbe-reich werden durch die durch (x, t) gehenden Charakteristiken beschrnkt. Fürmehr als zwei unabhängige Variable gilt dies analog, der Abhängigkeitsbereichwird dann der Schnitt zum Anfangszeitpunkt durch einen sogenannten Monge-Kegel, der Einflussbereich ist ebenfalls ein Monge-Kegel. Im Fall der linearenEuler-Gleichungen spricht man auch vom Mach-Kegel.

    x

    t P(x,t)

    t

    x0

    Abhangigkeitsbereich

    Einflussbereich

    Abbildung 2.8: Abhängigkeits- und Einflussbereich eines Punktes P (x, t).

    Wintersemester 2007/2008

  • 2.5 Typklassifizierung partieller Differentialgleichungen 34

    [KC02] P. K. Kundu and I. M. Cohen. Fluid Mechanics. Academic Press, 2nd

    edition, 2002.

    [SK80] H. Schade and E. Kunz. Strömungslehre. de Gruyter, 1980.

    [TAP97] J. C. Tannehill, D. A. Anderson, and R. H. Pletcher. ComputationalFluid Dynamics and Heat Transfer. Taylor & Francis, Washington,London, 2nd edition, 1997.

    29. November 2007

  • 35

    Kapitel 3

    Diskretisierungsverfahren

    Die numerische Lösung von Strömungsproblemen erfordert eine Diskretisierungdes Berechnungsgebietes und der Erhaltungsgleichungen. Für die erstgenannteThematik der Gittergenerierung wird auf die einschlägige Literatur verwiesen.Einige wichtige Methoden für die Diskretisierung der Erhaltungsgleichungenwerden in diesem Kapitel behandelt. Schliesslich werden allgemeine Grundbe-griffe von Diskretisierungsverfahren wie Konvergenz, Konsistenz und Stabilitätdiskutiert.

    3.1 Finite-Differenzen-Verfahren

    Bei Finite-Differenzen-Verfahren werden Ableitungen einer Funktion u(x) in ei-nem Punkt xi mit Hilfe von Funktionswerten uj = u(xj) auf einem diskretenGitter mit der, wenn nicht anders vermerkt, als konstant angenommenen Gitter-weite h an der Stelle xj in der Umgebung des Punktes xi approximiert. Formelnzur Approximation von Ableitungen lassen sich durch Taylorentwicklungen her-leiten. Für reine Anfangswertprobleme definiert man das Rechengitter oft ein-fach als xj = jh mit j = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .. Funktionen wie uj = u(xj),die nur auf den Gitterpunkten xj definiert sind, nennt man Gitterfunktionen.Die nachfolgend definierten Operatoren D−, D+ und D0 sind Approximationenfür die 1. Ableitung von u,

    Dui ≈ u′(xi) =∂u

    ∂x

    ∣∣∣∣xi

    .

    Man spricht von einem Differenzenschema n-ter Ordnung, wenn für den Ap-proximationsfehler gilt (jeweils für den Grenzübergang h→ 0):

    Dui − u′(xi) = O(hn) ,

    d. h. der Fehler geht gegen Null mit der n-ten Potenz von h.

    Wintersemester 2007/2008

  • 3.1 Finite-Differenzen-Verfahren 36

    D−: Linksseitiges Differenzenschema erster Ordnung:

    D−ui :=ui − ui−1

    h= u′(xi) + O(h) (3.1)

    D+: Rechtsseitiges Differenzenschema erster Ordnung:

    D+ui :=ui+1 − ui

    h= u′(xi) + O(h) (3.2)

    D0: Zentrales Differenzenschema zweiter Ordnung:

    D0ui =ui+1 − ui−1

    2h= u′(xi) + O(h2) . (3.3)

    Beispiel 1. Approximationsfehler für das zentrale Differenzenschema zweiterOrdnung

    [D0u− u′]xi =u(xi + h) − u(xi − h)

    2h− ∂u∂x

    ∣∣∣xi

    (3.4)

    Mit der Taylorreihe für u um xi ergibt sich

    u(xi + h) = u(xi) + h∂u

    ∂x

    ∣∣∣xi

    +1

    2h2∂2u

    ∂x2

    ∣∣∣xi

    +1

    6h3∂3u

    ∂x3

    ∣∣∣xi

    + . . .

    u(xi − h) = u(xi) − h∂u

    ∂x

    ∣∣∣xi

    +1

    2h2∂2u

    ∂x2

    ∣∣∣xi

    − 16h3∂3u

    ∂x3

    ∣∣∣xi

    + . . .

    und damit der Approximationsfehler

    [D0u− u′]xi =1

    6h2∂3u

    ∂x3

    ∣∣∣xi

    + . . . = O(h2). (3.5)

    Das zentrale Differenzenschema ist 2. Ordnung in h, d. h. der Fehler der Ap-proximation wird 4 mal kleiner, wenn h halbiert wird.

    Der Ableitungsoperator D kann als Matrix geschrieben werden. Es gilt damitfür die Vektoren der Ableitungs- bzw. Stützstellenwerte:

    u′num = D u. (3.6)

    Die Matrix D ist für Finite-Differenzen-Verfahren i. A. (ohne Betrachtung vonRandbedingungen) eine Bandmatrix.

    29. November 2007

  • 37 3 Diskretisierungsverfahren

    Die Differenzenapproximationen (3.1) - (3.3) lassen sich als Sekanten-steigungen interpretieren, siehe Abb. 7.1. Abb. 3.2 und Tabelle 3.1 zeigen Bei-spiele für den typischen Verlauf des Fehlers der Approximation von Dui ≈u′(xi). Man erkennt, dass der Fehler beim Verfahren 2. Ordnung bei Reduzie-rung der Schrittweite h schneller abnimmt.

    xi−h xi xi+h

    u(x)

    D0ui

    D+ui

    D−ui

    u

    x

    Abbildung 3.1: Verschiedene Approximationen von u′(xi) interpretiert als Sekanten-steigungen.

    h D+ D− D0

    0.1 −4.2939 · 10−2 4.1138 · 10−2 −9.0005 · 10−40.05 −2.1257 · 10−2 2.0807 · 10−2 −2.2510 · 10−40.025 −1.0574 · 10−2 1.0462 · 10−2 −5.6280 · 10−50.0125 −5.2732 · 10−3 5.2451 · 10−3 −1.4070 · 10−5

    Tabelle 3.1: Fehler der verschiedenen Finite-Differenzen-Approximationen von u′(xi).

    Weitere Finite-Differenzen-Schemata sind in Anhang B.1 angegeben. Beson-ders wichtig sind die zentralen Differenzenschemata für die zweite Ableitung.

    Wintersemester 2007/2008

  • 3.1 Finite-Differenzen-Verfahren 38

    10 100

    10−4

    10−3

    10−2

    10−1

    D+

    D−

    D0D3

    Du

    i−u′ (x

    i)

    1/h

    Abbildung 3.2: Fehler für D0ui, D+ui und D−ui dargestellt über 1/h in einem dop-peltlogarithmischen Diagramm.

    3.1.1 Kompakte Finite-Differenzen-Verfahren

    Bei den Standard-Finite-Differenzen-Verfahren erzielt man eine Erhöhung derGenauigkeit (Ordnung) des Verfahrens dadurch, dass man die Anzahl der be-nutzten Punkte zur Berechnung der Ableitung erhöht. Dadurch erhält man beider Diskretisierung von Differentialgleichungen weitere Nebendiagonalen in derAbleitungsmatrix, was wiederum zu Problemen an den Rändern, insbesondereWänden, des Rechenbereichs führt.

    Bei kompakten Finite-Differenzen-Verfahren, auch Padé-Verfahren genannt,hängen die Werte der Ableitungen u′num von den Funktionswerten u in allenPunkten ab. Dies wird mittels einer impliziten Formulierung der Ableitungen inder Form

    A · u′num = B · u (3.7)

    ermöglicht. Ein einfaches zentrales Schema 4. Ordnung ist gegeben durch

    1

    6u′i−1,num +

    2

    3u′i,num +

    1

    6u′i+1,num =

    ui+1 − ui−12h

    . (3.8)

    Die Ableitungsmatrizen A und B sind in diesem Fall tridiagonal, während einStandard-Finite-Differenzen-Verfahren 4. Ordung eine pentadiagonale Ablei-

    29. November 2007

  • 39 3 Diskretisierungsverfahren

    tungsmatrix aufweist, siehe Gl. (B.11). Tridiagonale lineare Gleichungssyste-me können besonders effizient (Aufwand O(N)) mit dem Thomas-Algorithmusgelöst werden; für pentadiagonale Systeme gibt es ebenfalls effiziente Lösungs-methoden.

    3.1.2 Modifizierte Wellenzahl

    Eine einfache und aufschlussreiche Möglichkeit, die Genauigkeit eines Finite-Differenzen-Verfahrens zu analysieren, ist das Prinzip der modifizierten Wel-lenzahl oder Fourier-Analyse. Man betrachtet hierzu eine einzelne Fouriermodeeiner mit 2π periodischen Funktion u(x),

    u(x) = ûeiξx , (3.9)

    mit der Wellenzahl ξ und der (im allgemeinen komplexen) Amplitude û. Dieerste Ableitung nach x ist gegeben durch

    u′(x) = iξûeiξx . (3.10)

    Eine numerische Approximation der Ableitung an xj wird ebenso mittels einerFouriermode dargestellt,

    Duj = ûDeiξx =: iξ̃ûeiξx . (3.11)

    Unter Verwendung von h = 2π/N (N sei die Anzahl der Gitterpunkte) ergibtsich z.B. für ein Finite-Differenzen-Verfahren für Duj die modifizierte Wellen-

    zahl ξ̃ dieses Verfahrens durch

    ξ̃(ξ) = −iξDeiξx

    eiξx. (3.12)

    Für eine exakte Differentiation ist also ξ̃(ξ) = ξ.

    Beispiel 2. Zentrale Differenzen 2. Ordnung für die 1. Ableitung:Einsetzen von Gl. (3.9) in das Differenzenschema ergibt

    D0uj =u(xj + h) − u(xj − h)

    2h=

    2h

    (eiξ(xj+h) − eiξ(xj−h)

    )

    = ûD0eikx = i

    hsin ξh .

    (3.13)

    Wintersemester 2007/2008

  • 3.1 Finite-Differenzen-Verfahren 40

    Aus Gln. (3.10) und (3.12) erhält man desweiteren

    ξ̃(ξ)h = sin (ξh)

    Oft ersetzt man ξ′ = ξh, ξ̃′ = ξ̃h und erhält somit ξ̃ = sin ξ .

    Beispiel 3. Analog findet man für das kompakte zentrale Differenzenschema4. Ordnung mit Gl. (3.9)

    u′(xj + h) + u′(xj − h)

    6+

    2u′(xj)

    3=

    u(xj + h) − u(xj − h)2h

    iξ̃û

    (1

    6(eiξh + e−iξh) +

    2

    3

    )=

    2h

    (eiξh − e−iξh

    ).

    Die modifizierte Wellenzahl ist dann

    ξ̃′ =3 sin ξ′

    cos ξ′ + 2.

    0 0.2π 0.4π 0.6π 0.8π π0

    0.2π

    0.4π

    0.6π

    0.8π

    π

    ξ̃h

    ξh

    Abbildung 3.3: Modifizierte Wellenzahl zentraler Finite-Differenzen-Schemata;explizites Verfahren 2. Ordnung, explizites Verfahren 4. Ordnung undkompaktes Verfahren 4. Ordnung, exakte Differentiation.

    Die modifizierte Wellenzahl für das explizite zentrale Finite-Differenzen-Schema 2. und 4. Ordnung nach Gleichungen (B.10) bzw. (B.11) sowie fürdas kompakte Finite-Differenzen-Schema nach Gl. (3.8) ist in Abbildung 3.3dargestellt. Die Abweichung von ξ̃ von der exakten Differentiation ξ̃ = ξ ist einMass für den Diskretisierungsfehler. Das explizite Verfahren 2. Ordnung appro-ximiert für ξh ≤ 0.2π, das explizite Verfahren 4. Ordnung für ξh ≤ 0.4π und

    29. November 2007

  • 41 3 Diskretisierungsverfahren

    das kompakte Verfahren für ξh ≤ 0.6π die Ableitung mit guter Näherung. Fürnicht-zentrale Verfahren ist die modifizierte Wellenzahl komplex.

    Beispiel 4. Für die linksseitige Differenzen 1. Ordnung erhält man

    ξ̃′ = 1 − e−iξ′ = 1 − cos ξ′ + i sin ξ ∈ C| .

    Man kann einen Zusammenhang zwischen der Ordnung des Approximations-fehlers und der modifizierten Wellenzahl herleiten. Dazu betrachtet man einenFourieransatz für u, die exakte Ableitung u′ex und die numerische Approximationder Ableitung u′num

    u = ûeiξx

    u′ex = û′exe

    iξx = iξûeiξx

    u′num = û′nume

    iξx = iξ̃ûeiξx ,

    welcher in die Gleichung für den Approximationsfehler n-ter Ordnung

    u′num − u′ex = O(hn) = Chndn+1u

    dxn+1

    eingesetzt wird. Man erhält daraus

    iξ̃ûk − iξû = Chn(iξ)n+1ûξ̃

    ξ= 1 + Chninξn = 1 + O(ξn) ,

    d. h. das führende Glied der Taylorentwicklung von ξ̃/ξ − 1 hat die Ordnungdes Approximationsfehlers.

    3.1.3 Finite-Differenzen-Verfahren für nicht-äquidistante Gitter

    Zur numerischen Berechnung einer Strömung kann es von Vorteil sein, nicht-äquidistante Gitter zu verwenden. Dadurch kann das Gitter z. B. in den wand-nahen Gebieten verfeinert und die dort auftretenden hohen Gradienten könnenbesser aufgelöst werden, als es mit äquidistantem Gitter bei ähnlicher Anzahlan Gitterpunkten möglich wäre. Umgekehrt kann durch eine angepasste Ko-ordinatentransformation (engl. mapping) unnötig hohe Auflösung in Gebieten,wo sie nicht notwendig ist, vermieden werden. Finite-Differenzen-Verfahren sind

    Wintersemester 2007/2008

  • 3.1 Finite-Differenzen-Verfahren 42

    i.a. jedoch für äquidistante Gitter konstruiert und können für nicht-äquidistanteGitter nicht ohne Anpassung angewandt werden. Häufig wird daher der nicht-äquidistante physikalische Raum in einen äquidistanten Rechenraum transfor-miert, siehe Abbildung 3.4. Eine Koordinate x im physikalischen Raum wird als

    hi+1������������

    ������������

    ����������������������������������������������������������

    xhi

    ������������

    ������������

    h= const. ξ

    physikalischer Raum

    Rechenraum

    Abbildung 3.4: Transformation nicht-äquidistanter Gitter im physikalischen Raum inäquidistante im Rechenraum.

    Funktion der Koordinaten x′ des Rechenraums dargestellt,

    x = x(x′) . (3.14)

    Die Ableitung einer Funktion nach xi formt man dann mit Hilfe der Kettenregelum, so dass für einen allgemeinen 3D-Fall

    ∂(·)∂xi

    =∂(·)∂x′1

    ∂x′1∂xi

    +∂(·)∂x′2

    ∂x′2∂xi

    +∂(·)∂x′3

    ∂x′3∂xi

    (3.15)

    gilt.

    Beispiel 5. Transformation der ersten Ableitung (1D):

    ∂Φ

    ∂x=∂Φ

    ∂x′∂x′

    ∂x. (3.16)

    Beispiel 6. Transformation der zweiten Ableitung (1D):

    ∂2Φ

    ∂x2=

    ∂x

    (∂Φ

    ∂x′∂x′

    ∂x

    )=∂2Φ

    ∂x′2

    (∂x′

    ∂x

    )2+∂Φ

    ∂x′∂2x′

    ∂x2. (3.17)

    Die Transformation x(x′) zwischen physikalischem Raum und Rechenraumsollte glatt sein, d. h. die Schrittweite hi sollte sich kontinuierlich ändern, da-mit die Genauigkeitsordnung des Verfahrens im Rechenraum erhalten bleibt.Sprunghafte Änderungen der Schrittweite hi reduzieren die Genauigkeit des

    29. November 2007

  • 43 3 Diskretisierungsverfahren

    Verfahrens bezüglich x. Aus diesem Grund werden häufig trigonometrische oderhyperbolische Funktionen (z. B. sin, cos oder tanh) als Abbildungsfunktionenverwendet, da diese beliebig oft differenzierbar sind. Verwendet man ein nicht-äquidistantes Gitter ohne Transformation, reduziert sich im Allgemeinen dieformale Genauigkeitsordnung des numerischen Verfahrens bezüglich x ebenfalls.

    Beispiel 7. Man betrachte das zentrale Differenzenschema 2. Ordnung

    Dui =ui+1 − ui−1xi+1 − xi−1

    .

    Der Approximationsfehler ergibt sich mit hi = xi − xi−1 zu

    [Du − u′]xi =h2i+1 − h2i

    2(hi+1 − hi)∂2u

    ∂x2

    ∣∣∣∣i

    + O(h2i ) .

    Sei nun hi+1 = rhi. Es folgt für den Approximationsfehler

    [Du − u′]xi =(1 − r)

    2hi

    ∂2u

    ∂x2

    ∣∣∣∣i

    + O(h2i ) .

    Bei einem äquidistanten Gitter ist r = 1 und damit der ApproximationsfehlerO(h2i ). Für ein nicht-äquidistantes Gitter mit r 6= 1 ergibt sich jedoch fürden Approximationsfehler O(hi). Weiter kann man erkennen, dass für nahezuäquidistante Gitter (r ≈ 1) der Einfluss des Terms mit O(hi) kleiner ist als fürdas links- oder rechtsseitige Differenzenschema 1. Ordnung.

    3.2 Finite-Volumen-Methode

    Das gesamte Gebiet G, auf dem die Gleichungen gelöst werden, wird in dis-junkte Teilbereiche (Kontrollvolumina) Gj unterteilt, siehe Abbildung 3.5. Dieintegrale Form der Erhaltungsgleichung wird nun für die einzelnen Kontroll-volumina (KV) formuliert [VM95]. Die KV können sehr flexibel gestaltet undangeordnet werden, z. B. quaderförmig oder als Tetraeder, strukturierte oderunstrukturierte Gitter, adaptive Gitter, etc. Die integrale Form der Erhaltungs-gleichung entspricht einer Integration der Grundgleichungen in Erhaltungsform(konservative Form) über die KV, wobei die Volumenintegrale in Oberflächen-integrale nach dem Gauss’schen Satz umgeschrieben werden (u ist eine skalare

    Wintersemester 2007/2008

  • 3.3 Methode der gewichteten Residuen: Spektralverfahren 44

    Erhaltungsgrösse):

    ∂u

    ∂t+ divF (u) = 0

    ∣∣∣∣∫

    Gj

    dVj (3.18)

    d

    dt

    Gj

    udV +∮

    ∂Gj

    F (u) · n dS = 0 . (3.19)

    Die Erhaltungsgleichungen sind bei dem Finite-Volumen-Verfahren (FVM) auchim diskreten Sinne erfüllt. Die Oberflächenintegrale

    ∮F (u) · n dS sind zu dis-

    kretisieren, was z. B. mit der Trapez- oder Simpson-Regel geschehen kann. AlsRechenvariable wählt man das Volumenmittel

    uj =1

    Vj

    Gj

    udV , Vj :=∫

    Gj

    dV .

    ������������������������������������������

    ������������������������������������������

    Gj∂Gj→

    Abbildung 3.5: Schematische Darstellung der Finite-Volumen-Methode.

    3.3 Methode der gewichteten Residuen: Spektralverfahren

    3.3.1 Grundprinzip

    Gegeben sei das Anfangs-Randwert-Problem einer Differentialgleichung

    P (u) = 0 im Gebiet G (3.20)

    für eine Funktion u(x, t) mit der Randbedingung B(u) = 0 auf dem Rand∂G des Gebietes G und der Anfangsbedingung u(x, 0) = u0(x) zum Zeitpunktt = 0.

    29. November 2007

  • 45 3 Diskretisierungsverfahren

    Bei der Methode der gewichteten Residuen (MGR) wird eine NäherungslösunguN(x, t) der Differentialgleichung als kontinuierliche Funktion angesetzt undwie folgt als endliche Reihe geschrieben

    uN (x, t) = uR(x, t) +

    N∑

    k=0

    ak(t) · φk(x) , (3.21)

    mituN (x, t) die Näherungslösung;uR(x, t) eine (i. a. leicht zu findende) Funktion,

    welche die Randbedingungen B(uR) = 0 erfüllt;φk(x) gegebene Ansatzfunktionen (”

    trial functions“),welche homogene Randbedingungen erfüllen;

    ak(t) die gesuchten Entwicklungskoeffizienten.

    Die Ableitungen der Funktion uN kann man direkt gewinnen aus (hier füruR = 0)

    ∂p

    ∂xpuN =

    N∑

    k=0

    ak(t) ·dp

    dxpφk(x) .

    Entwickelt man die Ableitungen wieder nach den Ansatzfunktionen, so benutztman die Schreibweise

    ∂p

    ∂xpuN =

    N ′∑

    k=0

    a(p)k (t) · φk(x)

    (N ′ kann von N verschieden sein).

    Definition 4. Residuum.Der Fehler, der sich beim Einsetzen des Ansatzes (3.21) in die Differentialglei-chung (3.20) ergibt, wird als Residuum R(x, t) bezeichnet, d. h.

    R(x, t) := P (uN (x, t)) . (3.22)

    Zur Bestimmung der noch unbekannten Koeffizienten ak wird bei der MGRverlangt, dass das mit N + 1 linear unabhängigen Gewichtsfunktionen (

    ”test

    Wintersemester 2007/2008

  • 3.3 Methode der gewichteten Residuen: Spektralverfahren 46

    functions“) wj(x) gewichtete Residuum bei Integration über G verschwindet,d. h. dass gilt

    G

    wj(x) ·R(x, t) dx = 0 , j = 0, ..., N . (3.23)

    oder kürzer geschrieben unter Verwendung des Skalarproduktes für reelleFunktionen f und g (f, g) =

    ∫G f · g dx

    (R,wj) = 0 , j = 0, ..., N

    Es wird damit gefordert, dass das Residuum zu allen Testfunktionen orthogonalist.

    3.3.2 Wahl der Gewichtsfunktionen

    Galerkin-Verfahren:

    Beim Galerkin-Verfahren werden in Gleichung (3.23) als Gewichtsfunktionen wjdie Ansatzfunktionen φj gewählt:

    wj = φj , j = 0, ..., N .

    Kollokations-Verfahren:

    Hier werden in G N + 1”Kollokationspunkte“ x0, ..., xN gewählt und es wird

    verlangt, dass das Residuum an den Kollokationspunkten verschwindet:

    R(xj) = 0 , j = 0, ..., N .

    Die zugehörigen Gewichtsfunktionen in (3.23) haben hier also die Form

    wj = δ(x − xj) , j = 0, ..., N ,

    wobei δ die Diracsche Deltafunktion bezeichnet.

    29. November 2007

  • 47 3 Diskretisierungsverfahren

    Methode der kleinsten Fehlerquadrate:

    Es werden diejenigen Koeffizienten bestimmt, für die das Quadrat des Residu-ums integriert über G minimal wird:

    G

    R2dx!= min

    {aj}, j = 0, ..., N .

    Die Gewichtsfunktionen in (3.23) lassen sich dann in der Form

    wj =∂R

    ∂aj, j = 0, ..., N

    schreiben.

    Teilbereichsmethode:

    Für das Gebiet G wird eine Zerlegung: G = G0∪G1∪G2∪ ...∪GN in (nicht not-wendig disjunkte) Teilgebiete Gj vorgenommen. Die Gewichtsfunktionen wj(x)in Gleichung (3.23) sind definiert als

    wj(x) =

    {1 für x ∈ Gj0 sonst

    für j = 0, ..., N .

    Das Residuum soll also in jedem der Teilgebiete verschwinden,

    Gj

    R(x)dx = 0 , j = 0, ..., N .

    Beispiel 8. Linearer FallLineare Differentialgleichungen lassen sich auf die Form

    P (u) = Lu− r

    bringen. Dabei stellt L einen linearen Operator und r, die Inhomogenität, einenicht von u abhängige Funktion dar. Setzt man das zugehörige Residuum

    R(x) = LuN − r

    Wintersemester 2007/2008

  • 3.3 Methode der gewichteten Residuen: Spektralverfahren 48

    in Gleichung (3.23) ein und entwickelt u gemäss Gleichung (3.21), so erhält manfür den Vektor der Koeffizienten a = (a0, ..., aN)

    T das lineare Gleichungssystem

    N∑

    k=0

    ak

    G

    wj · Lφk(x) dx =∫

    G

    wj · (r − LuR) dx , j = 0, ..., N (3.24)

    oder in abgekürzter Schreibweise: Aa = s mit

    Ajk =

    G

    wj · Lφk(x) dx ; sj =∫

    G

    wj · (r − LuR) dx .

    A und s nehmen für die verschiedenen Verfahren die folgenden Formen an:

    Galerkin-Verfahren: Ajk =∫φj Lφk dx sj =

    ∫φj(r − LuR) dx

    Kollokations-Verfahren: Ajk = Lφk(xj) sj = r(xj) − LuR(xj)Kleinste Fehlerquadrate: Ajk =

    ∫Lφj Lφk dx sj =

    ∫Lφj · (r − LuR) dx

    Teilbereichsmethode: Ajk =∫Gj

    Lφk dx sj =∫Gj

    (r − LuR) dx .

    3.3.3 Wahl der Ansatzfunktionen

    Bei Spektralmethoden wählt man als Ansatzfunktionen typischerweise glatte(meist beliebig oft differenzierbare), globale, d. h. in ganz G definierte Funktio-nen [CHQZ88].

    3.3.3.1 Beispiele für häufig verwendete Reihenansätze

    Fourier-ReihenZur Approximation von periodischen Funktionen u(x) = u(x + L) eignen sichFourier-Reihen besonders. Die Entwicklung erfolgt hierbei nach trigonometri-schen Funktionen. Mit der Definition der Grundwellenzahl α := 2π/L erhältman

    uN (x) =∑

    |k|≤K

    ckeikαx , wobei ck ∈ C. (3.25)

    In der Summe treten 2K+1 Summanden auf. Eine alternative Bezeichnung derSummengrenzen ist |k| ≤ N/2 mit N = 2K. Für reelles uN gilt c−k = c∗k (z∗

    29. November 2007

  • 49 3 Diskretisierungsverfahren

    ist die zu z konjugierte komplexe Zahl) und (3.25) ist äquivalent zur reellenSchreibweise

    uN (x) =a02

    +

    K∑

    k=1

    (ak cos kαx + bk sin kαx)

    mit ak = (c+k + c−k) , bk = i (c+k − c−k) .

    Chebyshev-PolynomeDie Chebyshev-Polynome sind für |x| ≤ 1 definiert durch

    Tk(x) = cos(k arccosx) , k = 0, 1, 2, ...

    Die ersten vier Polynome sind:

    T0(x) = 1 T1(x) = x

    T2(x) = 2x2 − 1 T3(x) = 4x3 − 3x .

    Es gilt die Rekursionsformel:

    Tk+1(x) + Tk−1(x) = 2 xTk(x) , k ≥ 1 . (3.26)

    -1 -0.5 0.5 1

    -1

    -0.75

    -0.5

    -0.25

    0.25

    0.5

    0.75

    1

    Abbildung 3.6: Die Chebyshev-Polynome T1 bis T6.

    Einige wichtige Eigenschaften von Tk sind:

    Wintersemester 2007/2008

  • 3.3 Methode der gewichteten Residuen: Spektralverfahren 50

    • Die Polynome sind – in Abhängigkeit von k – gerade oder ungerade Funk-tionen, d. h.

    Tk(−x) = (−1)k Tk(x) .

    • Insbesondere gilt für die Randpunkte −1,+1: Tk(±1) = (±1)k .• Die Polynome sind bezüglich des Skalarprodukts

    (f, g) :=

    1∫

    −1

    f(x)g(x)√1 − x2

    dx

    im Intervall [−1,+1] orthogonal. Es gilt

    (Tk, Tl) =

    1∫

    −1

    Tk(x)Tl(x)√1 − x2

    dx =π

    2ck δk,l ; k, l = 0, 1, 2, ...

    mit c0 ≡ 2, ck ≡ 1 für k ≥ 1 , wobei δk,l das Kroneckersymbol bezeichnet.Für die Auswertung einer endlichen Chebyshev-Reihe

    uN (x) =

    N∑

    k=0

    ak Tk(x) (3.27)

    bei gegebenen ak gilt der (numerisch stabile) Algorithmus:

    BN+1 := 0 , BN := aN

    Bk := ak + 2xBk+1 −Bk+2 , k = N−1, ..., 1uN(x) = a0 −B2 +B1 x .

    Die sogenannten Gauss-Lobatto-Stützstellen sind gegeben durch

    xj = cosπj

    N. (3.28)

    Bezüglich dieser Stützstellen kann die diskrete Ableitungsmatrix in u′N = D uN ,also u′N (xi) =

    ∑j DijuN (xj), angegeben werden als

    Dij =

    cicj

    (−1)i+j

    xi−xj, i 6= j

    − xi2(1−x2

    i), 1 ≤ i = j ≤ N − 1

    2N2+16 , i = j = 0

    − 2N2+16 , i = j = N

    , (3.29)

    29. November 2007

  • 51 3 Diskretisierungsverfahren

    wobei

    cν =

    {2 , ν = 0, N1 , 1 ≤ ν ≤ N − 1 .

    Hinweis: Es empfiehlt sich, die Dij in doppelter Genauigkeit zu berechnen.

    Beispiel 9. Vergleich zwischen Chebyshev-Spektral- und Finite-Differenzen-Verfahren

    Wir betrachten eine Modellgleichung

    u′′(x) −H2 · u(x) = −1 , |x| ≤ 1 (3.30)

    mit den Randbedingungen u(±1) = 0 . Die exakte Lösung ist gegeben durch

    u(x) =

    (1 − coshHx

    coshH

    )/H2 (3.31)

    und hat für H ≫ 1 eine dünne Grenzschicht der Dicke O(1/H), siehe Abbil-dung 3.7.

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    u(x)u(0)

    x

    H=1

    H=3

    H=10

    H=30

    H=100

    Abbildung 3.7: Exakte Lösung der Modellgleichung (3.30) für verschiedene H .

    Der maximale Fehler ǫmax für das Chebyshev-Kollokations-Verfahren (KOL),das Finite-Differenzen-Verfahren 2. Ordnung mit äquidistantem Gitter (FD)sowie mit nicht-äquidistantem angepasstem Gitter (FDV) ist in Abbildung 3.8dargestellt. Das Chebyshev-Verfahren zeigt eine deutlich höhere Konvergenzord-nung (log(ǫmax) ∝ −N2/H) als die Finite-Differenzen-Verfahren (log(ǫmax) ∝

    Wintersemester 2007/2008

  • 3.3 Methode der gewichteten Residuen: Spektralverfahren 52

    − logN2). Man spricht bei dem Chebyshev-Verfahren von exponentieller oderspektraler Konvergenz. Mit äquidistantem Gitter ist der Fehler des Finite-Differenzen-Verfahrens in diesem Fall stets grösser als mit dem Chebychev-Verfahren. Auf einem angepassten, nicht-äquidistanten Gitter kann der Fehlerdes FDV allerdings im Vergleich zu FD deutlich reduziert werden und ist füreine sehr kleine Punkteanzahl gar geringer als bei dem Chebychev-Verfahren.

    10-5

    KOL

    10-4

    10-3

    10-2

    10-1

    FD

    single precision

    double precision

    FDV

    1

    M 2∼

    Chebyshev-SM

    102

    103

    104

    10

    ǫmax

    NAbbildung 3.8: Qualitatives Verhalten des maximalen Fehles ǫmax für ein generischesModellproblem; KOL: Chebyshev-Kollokation, FD: Finite Differenzen mit äquidistan-tem Gitter, FDV: Finite Differenzen mit nicht-äquidistantem, angepasstem Gitter.

    Legendre-PolynomeDie Legendre-Polynome sind für |x| ≤ 1 definiert durch die Rekursionsformel:

    kLk(x) = (2k − 1)xLk−1(x) − (k − 1)Lk−2(x) , k ≥ 2 .

    Die ersten drei Polynome sind gegeben durch

    L0(x) = 1

    L1(x) = x

    L2(x) =1

    2(3x2 − 1) . (3.32)

    29. November 2007

  • 53 3 Diskretisierungsverfahren

    -1 -0.5 0.5 1

    -1

    -0.75

    -0.5

    -0.25

    0.25

    0.5

    0.75

    1

    Abbildung 3.9: Die