1

15b SchwingungenViolin Phase (1967)

2

Zusammenfassung

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=−=mN , kkxFS

mk

mkf

kmT =←=⇔= ω

ππ

212

FrequenzAnzahl der Oszillationen eines

Systems pro Sekunde

[ ] [ ]1 1Hz 1 −== sf

PeriodeZeitdauer einer Oszillationen des Systems

[ ] [ ]sTf

T 1 ;1==

Einfache harmonische Oszillation

( )

enzKreisfrequ:elPhasenwink:

Phase:Amplitude:

cos)(igkeitOrtsabhäng

ωφ

φω

φω

+

+=

tA

tAtx

fT

ππω 22==

( )

( )

tudegungsampliBeschleuni:

cos)()(a

nOszillatioder gungBeschleuniitudegkeitsamplGeschwindi:

sin)()(v

nOszillatioder gkeit Geschwindi

2

22

2

ω

φωω

ω

φωω

A

tAtxdtdt

A

tAtxdtdt

+−==

+==

Energie der harmonischen Schwingung

constPEKEE

kxPE

mKE

=+=

=

=

2

2

21

v21Hooksches Gestez

3

Kleine esoterische Frage

Wovon hängt die Periode eines Pendels ab ?Masse, Länge, Gravitation

4

Zusammenhang

Rotation

Schwingungsbewegung

Objekt rotiert auf Scheibe

Schatten führt Oszillation aus

Kreisbewegung

5

Konstante Winkelgeschwindigkeit

( )φω += tAx cos

TtAxA

<<<<−

0für

( )φcosAx =Oszillation von x in den Grenzen

Referenzkreis

Eine einfache harmonische Schwingung kann angesehen werden als Projektion einer Kreisbewegung

auf einen Referenzkreis

Eine Kreisbewegung kann dargestellt werden als Kombination von

zwei einfachen harmonischen Schwingungen eine entlang der x-und eine entlang der y-Achse

rω=vMechanik

rrr

r²²²²va

Mechanik

ωω===

( )φωω +−= tAx sinvx-Komponente ( )φωω +−= tAx cos²a

Zusammenhang

Rotation

6

Mathematisches PendelOszillation mit geringer Amplitude unter Einfluss der Gravitation

Θ−=Θ

Θ−=Θ

=Θ

⇓

Θ−==

Θ=

sin

sin

sin

2

2

2

2

2

2

2

2

Lg

dtd

mgdtdmL

dtLdm

mgdt

sdmF

Ls

t

Bewegungsgleichung für die Tangentialkomponente

Näherungnur geringe Auslenkung

Θ−=Θ

⇓

Θ≈Θ

Lg

dtd

2

2

sin

( )φω +Θ=Θ tcosmax

verwende Lösungsansatz für harmonische Schwingung

KreisbogenNäherung

Punktmasse

Komponente der rücktreibenden Kraft

Bis auf den Sinus entspricht das schon dem Ausdruck für das Hooksche Gesetz

sehr hilfreichwird oft genutzt für geringe Amplituden

7

Mathematisches PendelOszillation mit geringer Amplitude unter Einfluss der Gravitation

Hooksches Gesetz

Θ−=Θ

Lg

dtd

2

2

( )φω +Θ=Θ tcosmax

Lösungsansatz harmonische Schwingung

( )

Lg

Lg

dtd

tdtd

=

⇓

Θ−=Θ

Θ−=+Θ−=Θ

ω

ωφωω

2

2

2max

22

2

cos

Einsetzen des Lösungsansatzes in die Differentialgleichung

gLT π

ωπ 22

==Die Frequenz und die Periode eines mathematischen Pendels

hängt nicht von der Masse sondern nur von der Länge des Fadens und der Gravitation ab. Am selben Ort (gleiches g) und

gleichem L schwingen alle Objekte mit derselben Periode!

Praktikumsversuch

Koeffizientenvergleich

8

Anwendung

Gravimeter

Sir Edward Sabine(1788-1883)

George Bidell Airy(1801-1892)

Versuche in Bergwerksschacht in Cornwallg-Abweichung am Boden der Mine (383 m) von 1/19286

Gesteine beeinflussen über ihre unterschiedliche Dichte den Wert von g

Pendelexpeditionen 1818-1823

Hinweise auf die Abplattung der Erde

9

Flüssigkeitsschwingung im U-Rohr

Rohrs Udes tsflächeQuerschnit:AtssäuleFlüssigkeider eGesamtläng:

MasseeSchwingend

0H2

−

⋅⋅=

URohr

URohr

URohrURohrURohr

l

lAm ρ

gxAF URohrWS OH2)2(

äuleen Wassersausgelenktder Gewichtist Kraft ndeRücktreibe

ρ=

gAkx

gxAx

Fk

URohrWS

URohrwsWS

OH

OH

2

2

2

)2(Konstante Hooksche

ρ

ρ

=

==

glT

gAgAl

T

kmT

URohrURohr

HURohr

HURohrURohrURohr

WS

URohrURohr

22

22

2

uerPeriodenda

0

0

2

2

π

ρρ

π

π

=

=

=

Schwingung unabhängig von der Masse des Schwingers

kmT π2

Oszillatoren harmonischfür Lösung

=

Gleichgewichtslage

hrlURohr 2 += π

10

Drop it!Masse fällt aus geringer Höhe auf schwingende Feder

bei Durchgang durch die GleichgewichtslageLösung des Problems

abhängig von der Position der Feder, wenn

die Masse landetAnnahme: inelastischer Stoß

x

x-KomponenteImpulserhaltung ist erfülltEnergie hat sich verringert

Mechanische Energie kurz vor dem Stoß

021 2

0

=

= <<

PE

kAE tt

also nur kinetische Energie

tt

ttt

AMk

kAME

<<

<<<

=

==

⇓

2

220

v

v21

nutzeImpulserhaltung

( )

tt

tt

mMM

mMM

<>

><

+=

+=

vv

vv

( )

00

20

20

2

0

200

Mv21v

21

v21

<>

<>>

>>

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=

+=

+=

tt

ttt

tt

EmM

ME

mMM

mMME

mME

Mechanische Energie im inelastischen Stoß

Überschussenergie Temperaturerhöhung

Stoß demnach kurz:0Stoß dem vor kurz:0

><

tt

11

Drop it!Masse fällt aus geringer Höhe auf schwingende Feder

bei Durchgang durch die Gleichgewichtslage

xVeränderte Amplitude nach dem Stoß

t

t

AmM

MA

kAmM

MkA

<=

<=

+=

+=

0

2202

1

Periode erhöht sich bei geringerer Amplitude

je größer die die Masse der stoßenden Körpers, desto geringer ist die spätere Amplitude k

mMT +== π20

00 <> += tt E

mMME

12

Drop it!Masse fällt aus geringer Höhe auf schwingende Feder

bei maximaler Amplitude

x

keine Änderung der Amplitude nach dem Stoß2000 2

1<>< == kAEE tt

Periode erhöht sich bei gleicher Amplitude

kmMT +

== π20

Schwingende Masse ist am Umkehrpunkt in RuheGesamte Energie gespeichert in elastischer Energie der Feder

x-KomponenteImpulserhaltung ist erfüllt

NULL kurz vor und kurz nach dem Stoß

allerdings auchkinetische Energie ist NULL kurz vor und kurz nachdem Stoß

13

Physikalisches Pendel

( )

Imgd

t

Imgd

dtd

IdtdImgd

=

⇓

+Θ=Θ

Θ−=Θ−=Θ

⇓

=Θ

=Θ−

Θ≈Θ

ω

φω

ω

α

cosatzLösungsans

sin

max

22

2

sin

2

2

BewegungsgleichungNewtonsche Mechanik

Drehmoment τ bewirkt, dass sich der Schwerpunkt bewegt

ατ I=

mgdIT π

ωπ 22

==

Periode des physikalischen Pendels

gd

mgdmdT

mdI

ππ 222

2

==

⇓

=Masse konzentriert in einem Punkt

Das ist die Lösung für das physikalische

Pendel

AnwendungBestimmung eines

Trägheitsmonents aus der Periodendauer

Aufhängepunkt

Trägheitsmoment

ατrrrr

I=↔=

↔

amF

Rotation Linear ngZusammenha

14

Physikalisches Pendelschwingender Stab

2

31 MLI =

Trägheitsmoment eines Stabes

gLT

LMg

IT

322

2

2

π

π

=

=

Periode dieses physikalischen Pendels

Drehpunkt

15

Länge des Dinisaurierbeins L=3 m

Wie schnell bewegen sich Dinosaurier?Anwendung Physikalisches Pendel

Erinnerung an Kapitel RotationTrägheitsmoment eines Zylinders

2

31 MLIStab =

s 84.2

s²m9.81

m 3322

322

2

31

2

TRex

2

TRex

==

==

π

ππ

T

gL

LMg

MLT

Physikalisches Pendel

Abstand der Fußabdrücke A=4 m

hkm5

sm1.41

s2.84m 4v

Saurier desgkeit Geschwindi

TRex ====TA

16

Turmspringerin

Auflagepunkt

Feder

vereinfachtes ModellStab mit Länge L

Neue Situation verglichen mit den Problemen aus der Mechanikveränderliches Drehmoment, da auch die Kraft (-kx) sich ändert

LkxmL

LFmL

mL

ILF

−=

=

=

=°=

α

α

ατ

αττ

2

2

2

3131

31

90sin

Hebelarm L Trägheitsmoment eines Stabes

Bewegungsgleichung

Rotation Linear

xxmk

dxxdaLkxa

LmL

La

raLr

t

22

22 331 ω

α

α

−=−==→−=

=

⇓

==

Ergebnis aus Kapitel

Rotationr entspricht der Länge des Hebelarms

kmT

Tmk

342

3

22 ππ=⇔⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

Flugzeit und Auflagepunkt

je länger die Turmspringerin in der Luft ist, desto

geringer muss die Federkonstate des Brettes sein

17

Machsches Pendel

d: Abstand der Achse zum Schwerpunkt dCM

um diese Achse schwingt das Pendel

Machsches Pendel in geneigter Position

Position der Masse A kann verändert werden

mgdIT π2=

Schwingungsperiode

( )WWAA

WWAA

WA

WWAACM

WWAA

dMdMgdMdMT

MMdMdMd

dMdMI

−+

=

⇓

+−

=

+=

22

22

2π

Spezialfall

∞→⇓

==

T

ddMM

WA

WA

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⇓Θ

≈

Θ→⇓

≠Θ

−2

1cos

cos

cos

0

Tconstg

constT

gg

Winkelabhängigkeit

Periode vergrößert sich bei Neigung der Achse

Messung von g möglich

Annahme Punktmassen

Schwerpunkt

MachschesPendel

Periode des MachschenPendels

18

Torsionspendel

Θ−=Θ

Θ−=Θ

⇓

Θ−=

Idtd

dtdI

κ

κ

κτ

2

2

2

2

Lösung ist identisch zu den anderen Fällen

κπ

κω

IT

I

2=

⇓

=

Im Gegensatz zu den anderen Fällen gibt es keine Einschränkung auf geringe Auslenkungen. Es muss nur erfüllt sein, dass das

elastische Limit des Drahtes nicht überschritten wird.

WICHTIGDie Rückstellkonstante hängt von der Länge des Drahtes ab!

Anwendung zusätzlichesunbekanntes Trägheitsmoment

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

↓

+=

1''

'1''

'2'

2

2

'

TTII

II

III

TT

IIT

TT

κπ Periode

verkürzt sich

Winkel der Auslenkung

Torsionskonstante

19

Reise zum Mittelpunkt der Erde(Science Fiction diesmal aber nicht Jules Verne)

From Pole To Poleby George Griffith

An Account of a Journey Through the Axis of the EarthCollated From the Diaries of the Late Professor Haffkin and His Niece, Mrs. Arthur Princeps

The Windsor Magazine Oktober 1904

Ergänzung zum Kapitel GravitationNewtons Schalentheorem für Objekte innerhalb der Erde

Ein gleichförmige Schale von Materie übt keine Kraft auf einen Körper innerhalb aus

rF

rGmrrGmF

rVM

rmMGF

insideinside

insideinsideinsideinside

inside

≈

==

==

=

ρπρπ

ρπρ

34

34

34

2

3

3

2

Gravitationskraft verschwindet im Zentrum der Erde

20

Fahrstuhl zum Mittelpunkt der ErdeGeorge Griffith (1857-1906) - From pole to pole

rRg-

dtrd

Rrga

r²Rga

ee

e

=⇔−=

=

2

2

2

Erdeder innerhalbnskraft Gravitatio

Erdeder ausserhalbnskraft Gravitatio

min84THROHROPeriode einefür Zeit

s 5060

s²m9.81

m106.3722

2

6

=→

⇓

=⋅

==

=→=

ππ

ωπω

gRT

TRg

e

e

tenErdsatelli fliegenden niedrig einesgkeit Geschwindi kritischesm107.91v

v

gkeitGeschwindi Maximale

3max

max

⋅=

=== ee

ee gRRgRRω

Geschwindigkeitsamplitude

21

Hooksches Gesetzeinfacher Ansatz für globale Probleme

Für geringe Auslenkungen ist die rücktreibende Kraft F proportional zur Auslenkung x

Hooksches Gesetz

Für größere Auslenkung aus der Gleichgewichtslage ist diese einfache lineare Beziehung nicht notwendigerweise erfüllt

Für nahezu ALLE physikalischen Systeme in der Natur, die in irgendeiner Weise aus ihrer

Gleichgewichtslage bewegt werden, kann in erster Näherung ein Ansatz zur Beschreibung gewählt werden, der dem Hookschen Gesetz

entspricht. Man muß sich aber darüber klar sein, dass

diese Näherung möglicherweise nur in einem engen Bereich gültig ist.

Einige Beispiele außerhalb der Mechaniksiehe Beginn dieses Kapitels

Vibration von Molekülen akustische Schwingungen im Festkörper (Phononen),

Metallische Elektronen in MetallenElektronen in einem Plasma

Schwingungen der Kernbausteine (Protonen und Neutronen)u.v.a.m.

22

Harmonische Näherung

In der Nähe der Gleichgewichtslage entspricht die Potentialkurve einer Parabel

Typischer Potentialverlauf

23

Anwendung Lennard-Jones Potential für Moleküle

Harmonisches Potential

Lennard-Jones Potential

von einfach zu komplex

Wechselwirkungspotential zwischen zwei Molekülen

Wechselwirkungspotential zwischen vielen Atomen wie zum Beispiel im Festkörper

24

Gedämpfte Schwingungen

Beispiel für einen gedämpften Oszillator Beschreibung der Dämpfung erfolgt über einen

zusätzlichen Reibungsterm in der Bewegungsgleichung

vbR −=

xdtdbkxx

dtd

bkxxdtd

−−=

−−=

2

2

2

2

vneue Form der Bewegungsgleichung

( )φω +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= tt

mbAx cos

2exp

So sieht der Lösungsansatz aus

Reibungsterm ebenfalls negativ, da stets der Geschwindigkeit des Objektes

entgegengerichtet

25

Gedämpfter harmonischer Oszillator

xdtdbkxx

dtd

−−=2

2 ( )φω +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= tt

mbAx cos

2exp

22

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

mb

mkω

Bei geringer Dämpfung oszilliert das System mit der Frequenz

mk

=0ω

Allerdings nimmt die Amplitude mit der Zeit ab und zwar mit der Zeitkonstante

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− t

mb

2exp

Lösung der DifferentialgleichungDifferentialgleichung

220 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

mbωωEigenfrequenz

geringe Verschiebung der Schwingungsfrequenz

26

Gedämpfter harmonischer Oszillator Fallunterscheidung

220 2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

mbωω

kAbR <= maxmax v

Nahezu ungedämpfte Schwingung

0

2 0

→⇓

=

ω

ωmbKritisch gedämpft

Wie beeinflusst die Reibung das Abklingverhalten?

vbR −=

Reibungsterm

0

maxmax

2 undv

ωmbkAbR

>>=

überkritisch gedämpfte Schwingung

1 Fall

2 Fall

3 Fall

vbkxa −−= 202

0 22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

mmωωω

27

Autofederungunterkritisch, kritisch oder überkritisch?

28

Brainstorming

29

Erzwungene Schwingungen

tFkxdtdxb

dtdxm

kxdtdxbtF

dtdxm

maF

ω

ω

sin

sin

02

2

02

2

=++

−−=

=∑ treibende Kraft der Oszillation

Lösung für diesen Fall

( )

( )2

220

2

0 1cos

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−

=

+=

mbm

FA

tAx

ωωω

φω

mk

=0ω

Eigenfrequenz des Oszillators

ohne Dämpfung, d.h. b=0

Amplitude steigt stark an, wenn

0ωω →Der Dämpfungsterm senkt den Wert der Amplitude.

Ohne Dämpfung geht der Wert von A in Resonanz

gegen eine unendlich hohe Amplitude

30

Getriebener harmonischer OszillatorWarum maximale Amplitude bei Anregung nahe der Eigenfrequenz?

Starker Anstieg der Amplitude, wenn das System in der Nähe der

Eigenfrequenz des ungedämpften Oszillators angeregt wird.

Betrachte die erste Ableitung

( )

( )φωω

φω

+−==

+=

tAdtdx

tAx

sinv

cos

tFF ωsin0=

Geschwindigkeit

Treibende Kraft

Geschwindigkeit und Krafteintrag von außen haben die gleiche zeitliche Form

Man sagt die treibende Kraft ist in Phase mit der Geschwindigkeit

Berechne die Arbeit von außen an dem Oszillator

vrrFW =

Wenn treibende Kraft und Geschwindigkeit in Phase kann die maximale Arbeit ins System gepumpt werden

31

Resonanzen im menschlichen Körper

32

Nimitz Freeway CollapseLoma Prieta Earthquake, Oakland 17 Oktober 1989

Laterale Auslenkung circa 8 cm

Einsturz erfolgte nur auf nicht kompaktiertem Bereich A-B

Stärke des Erdbebens 7.9 auf der Richterskala

(logarithmische Skala in der Amplitude!)stärkstes Beben in 37 Jahren

33

Nimitz Freeway CollapseOakland 1989

Seismisches Signal des Erbebens, das zum Einsturz der Nimitz Freeways führte

Zeit (s)

Gravitationsbeschleunigung (9.81 m/s²)

Laterale (WE) Amplitude in der Nähe des Epizentrums 0.6 gVertikale Amplitude in der Nähe des Epizentrums nur 0.1 g

Oszillationsperiode etwa 1 Sekunde zusätzliche Frequenzkomponente von 2.6 Hz

maximale Amplitude am Nimitz Freeway 0.26 g

Laterale Auslenkung circa 8 cm

Mögliche Ursachen für den EinsturzA (statisch, nicht resonant ) untere Fahrbahnebene wird beschleunigt. Die Säulen sind nicht in der Lage das obere Deck in gleicher Weise zu beschleunigen (Designwert von 0.2 g überschritten )B (dynamisch, resonant) Oszillationperiode des lokeren Bodenbereichs entspricht einer Resonanzfrequenz zwischen oberem und unterem Deck (2.6 Hz)C zusätzlicher Beitrag durch Dominoeffekt

34

Milleniums Bridge London

Selbstsynchronisation der Schrittfolge der Fußgänger (blau rechtes, rot linkes Bein)

Amplituder der Brückenschwingung

Zeit

35

BrückeneinsturzTacoma Narrows Bridge

Schwingungsanregung der Brücke durch stetigen Wind, die die Brücke in die Torsions-Resonanzfrequenz treibt

1940