Graficando con GNUPlot. Armónicos cilíndricos

Partıcula en un pozo cilındrico

Graficas parametricas con GNUPlot

Marcelo Videa

17 de febrero de 2014

Los armonicos cilındricos son soluciones a la ecuacion de Schrodinger para una partıcula en un

pozo cilındrico de diametro a que, en coordenadas cilındricas se expresa como:

Hψ(r, θ) = − h2

2m∇2ψ(r, θ) = Eψ(r, θ)

− h2

2m

(∂2

∂r2+

1

r

∂

∂r+

1

r2∂2

∂θ2

)ψ(r, θ) = Eψ(r, θ) (1)

y donde, aplicando separacion de variables, ψ(r, θ) = R(r)Θ(θ). Resolviendo la ecuacion 1 se ob-

tienen las siguientes funciones:

Θ(θ) =1√2πeinθ n = 0,±1,±2, . . .

R(r) = CJn

(zmnra

)m = 1, 2, 3, . . .

donde Jn es una funcion de Bessel de orden n y zmn corresponde a la m-esima raız de dicha funcion

y C es una constante.

Los valores de zm,n se tabulan a continuacion:

zmn n = 0 n = 1 n = 2 n = 3

m = 1 2.4048 3.8317 5.1356 6.3804

m = 2 5.5201 7.0156 8.4172 9.7610

m = 3 8.6537 10.173 11.620 13.015

m = 4 11.792 13.324 14.796 16.223

Graficando con GNUPlot

Para graficar ψ(r, θ) en GNUPlot es necesario seleccionar el mapeo en coordenadas cilındricas

y el uso de las variables parametricas u y v

x = v cos(u)

y = v sin(u)

z = z

lo que se logra con los comandos

gnuplot> set mapping cylindrical

gnuplot> set parametric

gnuplot> set vrange[-1:1]

gnuplot> set urange[0:2*pi]

las dos ultimas lıneas establecen el rango de v y de u, respectivamente. En particular, esto implica

que el radio de la caja, a, es 1.

Para m = 1, n = 0 y m = 2, n = 0 las funciones ψ(r, θ) son CJ0

(z10ra

)y C ′J0

(z20ra

),

respectivamente. Entonces

gnuplot> set isosamples 50,50

gnuplot> set hidden3d

gnuplot> splot v*cos(u), v*sin(u), besj0(2.4048*v) title ‘m=1,n=0’

gnuplot> splot v*cos(u), v*sin(u), besj0(5.5201*v) title ‘m=2,n=0’

lo que produce la imagen siguiente. El numero de isosamples determina la finura de la malla con la

que se dibuja la superficie y hidden3d permite distinguir la parte superior e inferior de la superficie.

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Para m = 1, n = 1 la funcion ψ(r, θ) es CJ0

(z11ra

)eiθ. Es decir, la funcion tiene una parte real

y una parte imaginaria. Utilizando la relacion de Euler

eiθ = cos θ − i sin θ

se pueden graficar las funciones escribiendo

gnuplot> splot v*cos(u), v*sin(u), besj1(3.8317*v)cos(u) title ‘m=1,n=1’

gnuplot> splot v*cos(u), v*sin(u), besj0(3.8317*v)sin(u) title ‘m=1,n=-1’

gnuplot> set contour base

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donde el comando set contour permite graficar un mapa de contornos en la base. En este caso, en

ambas graficas se observa la presencia de un nodo angular. Cada grafica se puede interpretar como

la representacion de cada uno de los estados degenerados correspondientes a los numeros cuanticos

n = +1 y n = −1, con nodos en las direcciones x y y.

Para graficar las funciones con n = 2 o superior es necesario recurrir a la propiedad de las

funciones de Bessel

Jn+1(x) =2n

xJn − Jn−1(x)

es decir que, para m = 1, n = 2 y m = 2, n = 2

gnuplot> splot v*cos(u), v*sin(u),

(2*besj1(5.1356*v)/(v*5.1356)-besj0(v*5.1356))*cos(2*u) title ‘m=1,n=2’



se obtiene

En las graficas de contorno se pueden apreciar dos nodos angulares para el estado m = 1, n = 2 o,

con la notacion de Dirac, |12〉 y un nodo radial y dos nodos angulares para m = 2, n = 2 o |22〉.Se puede deducir que el numero total de nodos para una funcion de onda en este caso es igual a

m+ n− 1.

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Una alternativa para representar estas funciones en dos dimensiones es relacionar el valor de z

con un determinado color dentro de una escala de color. Los comandos son los siguientes:

gnuplot> set pm3d map

gnuplot> set palette rgb 34,35,36





para obtener

Como la grafica es una proyeccion en el plano xy, puede ajustarse el rango de os ejes con

gnuplot> set xrange[-1:1]

gnuplot> set yrange[-1:1]

gnuplot> set isosamples 200, 200

y modificar el numero de isosamples para tener una imagen con mejor resolucion.

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