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Graduado en Ingeniería Aeroespacial

Mecánica Clásica

Introducción

Jesús Peláez Álvarez

CAMPUSDE EXCELENCIAINTERNACIONAL

Mecánica Clásica. Edición 2011/2012. c© by Jesús Peláez Álvarez MC

Dynamics. IntroductionPage: 1/13

September 2, 2011

• La palabra Mecánica viene del vocablo griego μηχανικη que significa máquina. Puede definirse como la ciencia que estudia elmovimiento de los objetos materiales y las circunstancias que influyen en el mismo. La pluralidad de objetos y movimientos hace quela Mecánica se divida en diferentes ramas: Mecánica Clásica, de Fluidos, Relativista, Cuántica, de Medios Contínuos, Estadística, etc.Todas ellas estudian el movimiento de objetos materiales, pero lo hacen desde puntos de vista muy diferentes.

•Atendiendo a su tamaño, los objetos del Universo se agrupan en: microscópicos, macroscópicos y astronómicos. Son microscópicoslos objetos de tamaño atómico o subatómico; son astronómicos los de tamaño estelar o galáctico. Los objetos macroscópicos ocupanuna posición intermedia, es decir, son grandes frente a los microscópicos y, simultáneamente, pequeños frente a los astronómicos.

• Es posible distinguir, también, entre movimientos de alta y baja velocidad. En los primeros, la velocidad característica es próximaa la velocidad de la luz. En los segundos, por el contrario, es pequeña comparada con la velocidad de la luz.

• La Mecánica Clásica es la ciencia que estudia el movimiento de objetos macroscópicos a bajas velocidades. Se divide en dosgrandes apartados: Cinemática, del griego κινημα, MOVIMIENTO y Dinámica, del griego δυναμις , FUERZA. La primera pretendedescribir el movimiento, haciendo abstracción de las causas que lo provocan. La segunda, por el contrario, pretende establecer relacionesentre el movimiento y las causas que lo originan.

• Dentro de la Mecánica Clásica, los sistemas deformables complejos, como pueda ser una masa de fluido, son estudiados pordisciplinas específicas, en concreto, la Mecánica de Medios Continuos. Poseen un número infinito de grados de libertad y su movimientoestá gobernados por ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. En este curso se estudian sistemas con un número finito degrados de libertad, cuyo movimiento está gobernado por ecuaciones diferenciales ordinarias.

• El problema básico al que se enfrenta la Mecánica es: dadas las fuerzas que actúan sobre un sistema material conocido y lasligaduras a que está sometido, determinar el movimiento que las partículas adoptan respecto de una referencia galileana y las fuerzasde ligadura que se ejercen sobre el sistema, si se conocen las posiciones y velocidades de las partículas del sistema en el instanteinicial. Para resolverlo, es necesario realizar hipótesis adicionales sobre las fuerzas de ligadura.



KinematicsPage: 2/13

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• La Cinemática es la parte de la Mecánica que tiene por objeto la descripción y el estudio del movimiento de los sistemas materiales,independientemente de las causas que lo originan. En ella sólo intervienen dos magnitudes fundamentales, longitud y tiempo. Ambasson imprescindibles para describir la posición de los objetos y los cambios que dicha posición sufre en el transcurso del tiempo, estoes, las propiedades intrínsecas del movimiento. Conceptos esenciales en Mecánica, como puedan ser, masa, fuerza, energía, etc, estánausentes en la descripción cinemática de un sistema material.

• La Cinemática es, en su mayor parte, una prolongación de la Geometría. En ella aparece una nueva variable, el tiempo, ausente enla descripción geométrica del espacio. La descripción de la posición —y demás propiedades— de un sistema material en función de lavariable temporal, es esencial a la Cinemática.

• Los sistemas materiales más sencillos son el punto y el sólido rígido. Por tanto, se comenzará por la Cinemática del Punto, dondese describe con detalle el movimiento de la partícula material. Posteriormente, se estudiará la Cinemática del Sólido donde se analizaráel movimiento de un sólido. Conviene dejar claro desde el principio el concepto de sólido rígido, o simplemente, sólido. Un sólido es unasistema de partículas materiales que verifica la siguiente propiedad: la distancia entre dos cualesquiera de sus partículas permanececonstante en el transcurso del movimiento.

• Se admite que el espacio en el que tienen lugar los fenómenos que se estudian, está caracterizado por tres propiedades básicas: esilimitado, homogéneo e isótropo. Homogéneo significa que sus puntos no presentan propiedades intrínsecas que permitan singularizarlos,esto es, todos ellos son equivalentes. Isótropo significa que no existen direcciones privilegiadas, esto es, todas las direcciones sonequivalentes. En Mecánica Clásica el espacio se describe apropiadamente con ayuda del concepto matemático de espacio afín euclídeotridimensional, esto es, un espacio afín asociado a un espacio vectorial euclídeo de dimension tres. Una propiedad característica deltiempo es su irreversibilidad; está ligada al denominado principio de causalidad según el cual, los efectos no pueden ser anteriores alas causas que los provocan. Por ello, el tiempo se considera siempre una variable real monótona creciente, la misma para todas lasreferencias, independientemente de su estado cinemático.



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CONCEPTO DE CURVA

Dada una referencia cartesiana rectangular Oxyz, una curva en elespacio se concibe como la trayectoria seguida por un puntoM enmovimiento; la posición ocupada porM en un instante cualquierat, está determinada por sus tres coordenadas (x(t), y(t), z(t)).Por tanto, y desde un punto de vista matemático, una curva esun lugar geométrico de puntos que dependen continuamentede un único parámetro a través de ecuaciones del estilo

x = x(u), y = y(u), z = z(u), u ∈ [u1, u2]

Las funciones (x(u), y(u), z(u)) deben cumplir ciertos requisitosde regularidad como enseña la Geometría Diferencial. Por ejem-plo, no pueden ser las tres constantes, pues en tal caso propor-cionarían un punto y no una curva. En general, se suele solicitarque sean funciones de clase �

3, esto es, que tengan derivadas ter-ceras continuas. Frecuentemente las ecuaciones se escriben enforma condensada como

x = x(u)

Esta ecuación recibe el nombre de ecuación vectorial de la curva.

x

y

z

x(u)

y(u)

z(u)

O

M , u

FIGURA 1.1: Curva en el espacio




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LONGITUD DE ARCO. TANGENTE

Dada una curva Γ de representación paramétrica �x = �x(u), si sonP y Q dos de sus puntos, que se obtienen para los valores u0 y u delparámetro, respectivamente, el Análisis Matemático enseña que lalongitud del segmento de curva comprendido entre P y Q está dadapor

L =

∫ Q

P

ds =

∫ u

u0

√x2 + y2 + z2du =

∫ u1

u0

| �x (u)|du

Un parámetro longitud de arco es el dado por

s(u) =

∫ u

u0

|�x(u)|du

Secante PQ: pasa por P y tiene la dirección de uno cualquiera delos dos siguientes vectores:

�x(u)− �x(u0), o bien�x(u)− �x(u0)

u− u0

Tangente en P : valor límite de la secante PQ cuando Q → P . Pasapor A y tiene la dirección de:

�x (u0) = limu→u0

�x(u)− �x(u0)

u− u0

P, u0

P, u0

Q, u

Q, u

Secante

Tangente

s

�x (u0)

FIGURA 1.2: Longitud de arco. Tangente

El vector

�t =�x

| �x | =d�x

ds

se denomina vector tangente unitario en P .




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PLANO OSCULADOR

Sea P (u0) un punto de la curva y T la recta tangente en elmismo. Sea Q(u) otro punto de la curva y π(u) el planodeterminado por la recta tangente T y el punto Q. Dosvectores de la dirección de dicho plano son el �x(u0) y el�x(u)− �x(u0). Por consiguiente, también son vectores de sudirección los siguientes

�x(u0),2

u− u0{ �x(u)− �x(u0)

u− u0− �x(u0)} (1.1)

Cuando el punto Q tiende al punto P , esto es, u → u0, elplano π(u) tiende a una posición límite; dicho plano límite sedenomina plano osculador y es fácil ver que dos vectores desu dirección son �x (u0) y �x (u0). Basta con hacer el límiteu → u0 en los vectores de (1.1).El nombre viene de osculo (beso en latín). Literalmente, elplano osculador es el plano que besa la curva. Se subraya asíel hecho de que, entre todos los planos que pasan por P , elosculador es el que tiene el mayor orden de contacto con lacurva.

P, u0

P, u0

Plano π(u)

Plano π(u)

Q, u

Q, u

�x (u0)

�x(u)− �x(u0)

FIGURA 1.3: Plano definido por la tangente en P y un punto Qgenérico




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PLANO OSCULADOR

P, u0

Plano osculador

�x (u0)

�x (u0)

�b(u0)

FIGURA 1.4: Plano osculador de una curva plana

Si la curva es plana, el plano osculador en todos sus puntoses el mismo: el plano que contiene a la curva.Si la curva es alabeada, el plano osculador en un punto P (u0)contiene, en primera aproximación, a los puntos de la curvapróximos a P (u0). En efecto, el desarrrollo de Taylor permiteponer

�x(u)−�x(u0) = �x (u0)(u−u0)+1

2�x (u0)(u−u0)

2+O((u−u0)3)

PLANO NORMAL

De los infinitos planos ortogonales a la recta tangente a Γ enP (u0), el que pasa por P (u0), se denomina plano normal ala curva en P . Tiene por ecuación

�x(u0) · (�y − �x(u0)) = 0

P, u0

Plano normal

�x (u0)

FIGURA 1.5: Plano normal en P (s0)




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RECTA NORMAL PRINCIPAL

De entre todas las rectas normales a la curva en P (u0), lanormal principal es la recta intersección del plano normaly el osculador. Sus ecuaciones se obtienen cortando ambosplanos

�x(u0) · (�y − �x(u0)) = 0

(�x(u0)× �x(u0)) · (�y − �x(u0)) = 0

RECTA BINORMAL

Se denomina binormal a la recta que pasa por P (u0) y esortogonal al plano osculador. Su ecuación vectorial es

�y = �x(u0) + λ (�x(u0)× �x(u0)).

Se denomina binormal porque es una recta contenida en elplano normal, y por tanto perpendicular a la tangente, y den-tro de ese plano es normal a la normal principal.

PLANO RECTIFICANTE

El formado por las rectas binormal y tangente.

TRIEDRO INTRÍNSECO: (�t, �n, �b)

P, u0

Plano normal

Plano osculador

Plano rectificante

Recta tangente

Recta normal principal

Recta binormal

Centro de curvatura

Circunferencia osculatrizEje polar

�t(u0)

�b(u0)

�n(u0)

FIGURA 1.6: Triedro intrínseco en P (u0)




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CÁLCULO DEL TRIEDRO INTRÍNSECO

Las tres rectas, tangente, normal y binormal forman las aristasde un triedro que se denomina triedro intrínseco de la curvaΓ en el punto P .Los vectores unitarios que marcan la dirección de los tres ejesdel triedro intrínseco son (�t, �n, �b). Estos vectores unitariosreciben los nombres

�t → vector tangente unitario

�n → vector normal principal unitario�b → vector binormal unitario

Los vectores unitarios del triedro intrínseco se calculan a par-tir de las expresiones siguientes

�t =�x(u)

|�x(u)|,�b =

�x(u)× �x(u)

|�x(u)× �x(u)|,�n = �b× �t

Además de las aristas del triedro, también se consideran ele-mentos del triedro intrínseco los planos que se cortan en lasrectas anteriores.

TRIEDRO INTRÍNSECO: (�t, �n, �b)

P, u0

Plano normal

Plano osculador

Plano rectificante

Recta tangente

Recta normal principal

Recta binormal

Centro de curvatura

Circunferencia osculatrizEje polar

�t(u0)

�b(u0)

�n(u0)

FIGURA 1.7: Triedro intrínseco en P (u0)




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CURVATURA

Si el parámetro es una longitud de arco, la derivada primera del vector posiciónes el vector tangente unitario

�t = �x′(s)

Obviamente �t(s) · �t(s) = 1 ⇒ �t′(s) · �t = 0. Así, el vector �t

′(s) =

�x′′(s) pertenece al plano osculador y al plano normal; en consecuencia, tienela dirección de la normal principal.Así pues, la normal principal tiene la dirección del vector �k = �x′′(s), querecibe el nombre de vector curvatura; el vector unitario

�n =�x′′(s)|�x′′(s)|

coincide con el vector normal principal unitario.El vector �x′′(s), cuando se expresa en función de �n, adopta la forma

�x′′(s) = k(s) · �n(s) con k(s) = |�x′′(s)|

donde el escalar k(s) se denomina curvatura de la curva en el punto consid-erado. Su inverso, que tiene dimensiones de longitud, se denomina radio decurvatura R = 1/k.La curvatura de una recta es, en todos sus puntos, nula (�t es constante y portanto �t

′= �0). La curvatura de una circunferencia de radio a es constante y

vale k = 1/a. La curvatura en un punto mide la rapidez con la que la curva,en las proximidades del punto, se separa de la tangente.El vector curvatura no cambia cuando cambia el sentido de recorrido de lacurva.

CIRCULO OSCULADOR. CENTRO DE CURVATURA

El círculo de radio R = 1/k, contenido en el plano osculador y cuyo cen-tro está en la normal principal en el semiespacio al que apunta el vector cur-vatura �k, se denomina círculo osculador de la curva en P . Es el que tienenun contacto de mayor orden con la curva. Su centro se denomina centro decurvatura de la curva en P . Finalmente, la recta que pasa por el centro decurvatura y es paralela a la binormal se denomina eje polar de la curva en P .El cálculo de la curvatura se lleva a cabo como sigue

k(s) = |�x′′(s)| = |�x′(s)× �x′′(s)|

pues los vectores �x′(s) y �x′′(s) son ortogonales y el primero es unitario.Ahora bien

�x′(s) =�x(u)

|�x(u)|⇒ �x′′(s) =

d

du(�x(u)

|�x(u)|)du

ds

y desarrollando el segundo miembro de esta expresión se obtiene sin dificultadel valor de la curvatura

k =|�x(u)× �x(u)|

|�x(u)|3.

Tal como se ha definido la curvatura, k = |�x′(s)| es un escalar positivo, yel vector normal principal unitario �n tiene el mismo sentido que el vectorcurvatura �k.




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TORSIÓN

De la condición �b(s) · �b(s) = 1 ⇒ �b′(s) · �b(s) = 0. Por tanto

�b′= α�t+ β �n.

De la condición �b(s) ·�t(s) = 0 ⇒ �b′(s) ·�t(s) = −�b(s) ·�t′(s). Es decir

α = �b′(s) · �t(s) = −�b(s) · �t′(s) = −k(s)�b(s) · �n(s) = 0.

En consecuencia �b′(s) sólo tiene componente sobre la normal principal. Es

costumbre expresar dicha derivada en la forma

d�b

ds= �b

′= −τ �n

donde el escalar τ recibe el nombre de torsión de la curva en el punto con-siderado; su inverso, que tiene dimensiones de longitud, T = 1/τ recibe elnombre de radio de torsión.En una curva plana el vector �b es constante y ortogonal al plano de la curva.

En consecuencia la torsión de una curva plana es nula (�b′= �0). El recíproco

no es cierto, en general, debido a casos patológicos (una curva plana con unpunto de inflexión —por ejemplo, y = x3; se puede girar 90◦ media curvaalrededor de la tangente en el punto de inflexión y pasa a ser alabeada. Lacurva resultante tendría torsión nula pero no sería plana). Estos casos pa-tológicos se evitan si la curvatura de la curva no se anula: si una curva tienetorsión nula en todos sus puntos, y su curvatura no se anula en ninguno, esuna curva plana.

CÁLCULO DE LA TORSIÓN

La torsión de una curva en un punto P es una medida de la rapidez conque la curva se separa del plano osculador en las proximidades de P .Si se admite que se dispone de una representación paramétrica en términos deun parámetro longitud de arco de la curva, la torsión se calcula como sigue

τ = −�n · �b′ = −�n · {�t × �n}′ = −�n · {�t × �n′} =

= −[�n, �t, �n′] = [�t, �n, �n′]

ahora bien

�n× �n′ =�x′′

k× { �x

′′′

k− �x′′ k′

k2} =

1

k2(�x′′ × �x′′′)

y, en definitiva, se obtiene

τ =1

k2[�x′, �x′′, �x′′′] =

[�x′, �x′′, �x′′′]|�x′′|2 .

Si se dispone de un representación paramétrica en términos de un parámetrocualquiera, no es difícil, mostrar que la torsión está dada por

τ =[�x(u), �x(u),

...�x(u)] |�x(u)|3

|�x(u)× �x(u)|2




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FÓRMULAS DE FRENET

Las ecuaciones de Frenet se obtienen al expresar las derivadasrespecto del arco de los vectores del triedro intrínseco,(�t, �n, �b), como combinación lineal de los vectores del pro-pio triedro intrínseco.La condición �n(s) · �n(s) = 1 ⇒ �n′(s) · �n(s) = 0.Por ello,

�n′ = α�t+ β�b.

De las condiciones �n(s) · �t(s) = 0 y �n(s) · �b(s) = 0 sededucen sin mayor dificultad los valores de α y β.En definitiva, se obtienen las siguientes ecuaciones

d�t

ds= �t

′= k �n

d�n

ds= �n′ = −k�t + τ�b

d�b

ds= �b

′= −τ �n

que reciben el nombre de ecuaciones de Frenet de las curvasalabeadas.

TEOREMA FUNDAMENTAL

Las ecuaciones que proporcionan la curvatura y la torsion de unacurva en función de un parámetro longitud de arco

k = k(s), τ = τ(s) (1.2)

se denominan ecuaciones intrínsecas de la curva.A partir de un representación paramétrica de una curva, pueden de-ducirse sus ecuaciones intrínsecas calculando su curvatura, torsión ylongitud de arco. Las ecuaciones intrínsecas son únicas y no depen-den de la representación paramétrica de la que se parta. Las ecua-ciones intrínsecas de una circunferencia de radio a son k = 1/a,τ = 0, independientemente de su posición en el espacio.Teorema fundamental de las curvas alabeadas: dadas las ecua-ciones intrínsecas (1.2), si las funciones k(s) �= 0 y τ(s) verificanciertos requisitos de continuidad, entonces definen una única curvaen el espacio, salvo traslaciones y giros.Las ecuaciones intrínsecas k(s) = 1/a, τ(s) = 0 con a constante,definen una circunferencia de radio a, salvo traslaciones y giros en elespacio. Ni el plano de la circunferencia ni su centro están determi-nados, es decir, las ecuaciones intrínsecas no determinan la posiciónde la curva en el espacio, pero determinan unívocamente la curva deque se trata.




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CURVAS PLANAS

P

θ�t�n

�k

�i

�j

O x

y

FIGURA 1.8: Curvas planas

En una curva plana se tiene:

�t = (cos θ, sin θ) = (dx

ds,dy

ds)

Por tanto

dx = ds cos θ

dy = ds sin θ

El vector curvatura es

�k = �t′=

dθ

ds(− sin θ, cos θ) = (

d2x

ds2,d2y

ds2)

En curvas alabeadas la curvatura k = |�x′′| es siempre positiva y elvector normal unitario �n se elige con el sentido de �k.En curvas planas, sin embargo, es mejor usar un criterio diferente; losvectores intrínsecos (�t, �n) se eligen de forma que tengan la misma ori-entación que los vectores (�i, �j) de la referencia cartesiana Oxy. Así, lacurvatura está dada por la expresión

k =dθ

ds

y tiene signo positivo cuando el sentido de �n coincide con el de �k; encaso contrario, tiene signo negativo. Si se conoce la ecuación intrínsecak = k(s), una integración proporciona:

θ(s) = θ0 +

∫ s

0k(s) ds

y una representación paramétrica de la curva será:

x(s) = x0 +

∫ s

0cos θ(s) ds

y(s) = y0 +

∫ s

0

sin θ(s) ds




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EJERCICIO

Calcúlese el triedro intrínseco, en un punto genérico, de la hélice circularde representación paramétrica �x = (a cos u, a senu, bu)

SOLUCIÓN: Los vectores �x(u) y �x(u) resultan ser

�x(u) = (−a senu, a cos u, b)

�x(u) = (−a cos u,−a senu, 0)

por tanto, los vectores del triedro intrínseco serán

�t = (− cosα senu, cosα cos u, senα)

�n = (− cos u,− sen u, 0)

�b = (senα senu,− senα cos u, cosα)

donde el ángulo constante α esta definido por

cosα =a√

a2 + b2, senα =

b√a2 + b2

.

Nótese que la tangente a la hélice en uno cualquiera de sus puntos formaun ángulo α con el plano Oxy.La longitud de arco s, la curvatura k y la torsión τ resultan ser:

s =√

a2 + b2 u, k =a

a2 + b2, τ =

b

a2 + b2

O

α

u

x

y

z

�t�n

�b

FIGURA 1.9: Hélice circular



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