Gr 9 Wiskunde: Inhoudsarea 3 & 4

Meetkunde & Meting (2D)

ANTWOORDE

• Meetkunde van Reguitlyne

• Driehoeke: Basiese feite

• Kongruente Δe

• Gelykvormige Δe

• Vierhoeke

• Veelhoeke

Stelling van Pythagoras

Oppervlakte en Omtrek van 2D vorms

Saamgestel deur

Anne Eadie & Gretel Lampe

DIE ANTWOORD-REEKS

tel: (021) 671 0837

faks: (021) 671 2546

faxtoemail: 088 021 671 2546

www.theanswer.co.za

Antwoorde: Meetkunde van Reguitlyne

Kopiereg © Die Antwoord A1

MEETKUNDE VAN REGUITLYNE

1.1 ˆa = 43º � . . . regoorstaande øe

ˆb = ˆa . . . ooreenkomstige øe

; AB || CD

= 43º �

1.2 ˆc = 180º – (12º + 58º) . . .

= 110º �

1.3 ˆPQR = 112º . . . verwisselende øe

; PQ || SRT

â ˆd = 180º – 112º . . .

= 68º �

2. x – 9º + x – 6º + x + 15º = 360º . . .

â 3x = 360º

â x = 120º �

â Die grootste hoek = x + 15° = 135° �

3. komplementêre 3.2 360º �

4.1 ˆD + ˆF = 90º � 4.2 180º �

4.2 360º � 4.4 parallelle �

4.5 gelyk �

5. ˆ

1B (= ˆ

3B ) = 35º � . . . regoorstaande ø

e

ˆBCF = ˆ

1B . . . ooreenkomstige ø

e

; BE || CF

= 35º �

6.

ˆA = ˆ2

C . . . verwisselende øe

; AB || TC

= 43º �

ˆ

1B = ˆ

1C . . . ooreenkomstige ø

e

; AB || TC

= 65º �

ˆ

2B = 180º – ˆ

1B . . . ø

e

op 'n reguitlyn

= 115º �

7.

7.1 2x + 3x + 4x = 180º . . . øe

op 'n reguitlyn

â 9x = 180º

â x = 20º �

7.2 y (= ˆ2

Q ) = 3x . . . verwisselende øe

; PQ || RS

= 60º � . . . x = 20º in Vraag 7.1

7.3 z (= ˆ1

Q ) = 2x � . . . ooreenkomstige øe

; PQ || RS

= 40º �

8. (3x – 10º) + (x + 30º) = 180º . . .

â 4x + 20º = 180º

Trek 20º af : â 4x = 160º

Deel deur 4: â x = 40º �

9. ˆPUV = 180º – 76º . . . øe

op 'n reguitlyn

= 104º

â ˆRVW = ˆPUV

â PQ || RS � . . . ooreenkomstige øe

gelyk

ko-binne øe

supplementêr;

PS || QR

aangrensende øe

op

'n reguitlyn is saam 180º

øe

om 'n punt

is saam 360º

ko-binne øe

;

AB || CD

A

DCB

3

T

2

1 12

43°

65°

35°

A

E

CB 3

F

21

T

P Q

R Sy

1

2 3

z

2x

3x4x

Bestudeer deeglik:

'Meetkunde van Reguitlyne' (bladsy V2)

- woordeskat en feite -

en 'Nog Meetkunde van Reguitlyne' (bladsy V13)

- woordeskat en feite -

Antwoorde: Meetkunde van Reguitlyne

A2 Kopiereg © Die Antwoord

10. ˆa = 60º � . . . regoorstaande hoeke

ˆb = 35º � . . . verwisselende øe

; || lyne

ˆc = 35º � . . . basis øe

van gelykbenige Δ

ˆd = 180º – ( ˆa + ˆc ) . . . som van øe

in Δ

= 180º – (60º + 35º)

= 85º �

ˆe = ˆa – 35º . . .

= 25º �

ˆf = ( ˆb + ˆc ) . . . ooreenkomstige øe

; || lyne

= 70º �

of ˆf = ˆc + 35º . . .

= 70º �

ˆg = ˆe . . . verwisselende øe

; || lyne

= 25º �

11. x + (x + y) + y = 180º . . .

â 2x + 2y = 180º

d.w.s. â 2(x + y) = 180º

Deel deur 2: â x + y = 90º �

12. 120º + 110º + x = 2 % 180º . . .

â 230º + x = 360º

Trek 230º af : â x = 130º

buite ø van 'n Δ = die som van

die teenoorstaande binne øe

2 pare ko-binne øe

;

parallelle lyne

øe

op 'n

reguitlyn

A

C

B

120°

110°

x

NOTAS

buite ø van 'n Δ = die som van

die teenoorstaande binne øe

Antwoorde: Driehoeke

Kopiereg © Die Antwoord A3

DRIEHOEKE: BASIESE FEITE

1.1 ˆ

1T = 60º � . . . ø

e

van 'n gelyksydige Δ is almal = 60º

â ˆ2T = 120º � . . .

2. ˆ

2E + ˆ

1W = 180º – 70º . . . som van ø

e

in Δ

= 110º

Maar ˆ2E = ˆ

1W . . .

â ˆ2E (= ˆ

1W ) = 55º

â x (= ˆ2E ) = 55º � . . . verwisselende ø

e

; CS || HN

3.1 ˆ

1T = 25º � . . .

3.2 ˆ

2M = ˆP + ˆ

1T . . . buite ø van ΔMPT

= 2(25º)

= 50º �

4. 4x + 5x = 180º � . . . øe

op 'n reguitlyn

â 9x = 180º

â x = 20º

ˆEFC = ˆE + ˆD . . .

â 5x = ˆE + 3x

â ˆE = 2x

= 40º �

â Antwoord: A �

5. ˆB (= ˆC ) = x . . .

â ˆA = 180º – 2x � . . . som van øe

in Δ = 180º

6. ˆA = 110º – 50º . . .

= 60º �

â Antwoord: B �

7. In ΔABD: ˆa = ˆABD . . .

â ˆa = 1

2(180º – 72º) . . . som van ø

e

in Δ

= 1

2(108º)

= 54º �

ˆb = 72º + ˆa . . .

= 126º �

ˆc = ˆBDC . . .

ˆc = 1

2(180º – ˆb )

= 1

2(54º)

= 27º �

8.1 x = 106º – 44º . . .

= 62º

8.2 ˆa + 44º = 90º . . . som van øe

in Δ = 180º

â ˆa = 90º – 44º

= 46º �

ˆb + 28º = 44º . . .

â ˆb = 44º – 28º

= 16º �

ˆc = ˆb + 90º . . .

= 16º + 90º

= 106º �

9. x = 75º – 44º . . .

= 31º �

y = x . . . verwisselende øe

; AD || BC

= 31º �

10. ˆE = 95º – 30º . . .

= 65º �

ˆA = 180º – ˆE . . .

= 115º �

LW:

'n Binnehoek = die buiteø – die ander binneø

LW: Sien kommentaar in Vraag 6.

øe

op 'n reguitlyn is

supplementêr

AE = AW; øe

teenoor gelyke sye

in 'n gelykbenige Δ

øe

tenoor gelyke sye MT en MP

in 'n gelykbenige driehoek

buite ø van Δ

is gelyk aan

die som van die

teenoorstaande

binne øe

OF: ˆE = 5x – 3x

= 2x

øe

teenoor gelyke sye

in 'n gelykbenige Δ

buite ø van Δ = som van

teenoorstaande binne øe

øe

teenoor gelyke sye in

'n gelykbenige Δ

buiteø van Δ = som van

teenoorstaande binne øe

buiteø van ΔBDC = som van

teenoorstaande binne øe

ko-binne øe

is supplementêr

want AB || ED

buiteø van ΔDEC = som van

teenoorstaande binne øe

die basisøe

van 'n

gelykbenige Δ is gelyk

buite ø van ΔABD = die som van

die teenoorstaande binne øe

die basisøe

van 'n

gelykbenige Δ is gelyk

buiteø van Δ = som van

teenoorstaande binne øe

Dikwels, in meetkunde, is daar

verskeie moontlike metodes.

Antwoorde: Kongruente Driehoeke

A4 Kopiereg © Die Antwoord

LW: Die letters moet in die korrekte volgorde

wees sodat gelyke sye en hoeke ooreenstem.

KONGRUENTE DRIEHOEKE

(Simbool: ≡)

1.1 ΔDEF � . . . SøS

2. ΔSTV � . . . SøS

3.1 SøS � â Antwoord: C �

4. In ΔABD en ΔCDB

(1) ˆ

2B = ˆ

1D = 90º . . . gegee

(2) AD = CB . . . gegee

(3) BD is gemeen

â ΔABD h ΔCDB � . . . 90º, Sk, S(RHS)

5.1 In ΔABD en ΔACD

(1) AB = AC . . . gegee

(2) BD = CD . . . gegee

(3) AD is gemeen

â ΔABD h ΔACD � . . . SSS

5.2 â ˆ1

A = ˆ2

A . . .

d.w.s. DA halveer ˆBAC �

6. In ΔKNQ en ΔMPQ

(1) NQ = PQ . . . gegee

(2) KQ = MQ . . . gegee

(3) ˆQ is gemeen

â ΔKNQ ≡ ΔMPQ � . . . SøS

7.1 BE = BD + DE

& CD = EC + DE

Maar: BD = EC . . . gegee

â BE = CD �

7.2 In ΔABE en ΔACD

(1) BE = CD . . . bewys in Vraag 7.1

(2) ˆAEB = ˆADC . . .

(3) AE = AD . . . gegee

â ΔABE h ΔACD . . . SøS

â Antwoord: ΔACD �

8.1

In ΔMPN en ΔMTN

(1) MP = MT . . . radiusse van die sirkel

(2) MN is gemeen

(3) ˆ

2N = ˆ

1N = 90º . . . gegee dat MN ⊥ PT

â ΔMPN ≡ ΔMTN � . . . RK

â PN = NT � . . .

9.1 BC = BF + FC

& EF = CE + FC

Maar: BF = CE . . . gegee

â BC = EF �

9.2 In ΔABC en ΔDEF

(1) AB = DE . . . gegee

(2) AC = DF . . . gegee

(3) BC = EF . . . bewys in Vraag 9.1

â ΔABC ≡ ΔDEF � . . . SSS

9.3 ˆB = ˆE want hulle is ooreenkomstige hoeke van die

kongruente driehoeke in Vraag 9.2 �

9.4 ˆB en ˆE is verwisselende hoeke

& ˆB = ˆE in Vraag 9.3

â AB || ED . . . omgekeerde feit

Volgorde is belangrik by die uitleg van 'n kongruensiebewys: • Die letters moet in albei driehoeke dieselfde volgorde

hê wat met die gelyke sye en hoeke van die driehoeke

ooreenstem;

• In die feite (1), (2) en (3) moet die sye en hoeke van

die eerste driehoek eerste genoem word.

Ons moet kongruente driehoeke bewys!

*ooreenkomstige øe

van

kongruente Δe

in Vraag 5.1

* Niks te doen met

ooreenkomstige øe

op || lyne nie

øe

teenoor gelyke sye in

gelykbenige ΔADE

ooreenkomstige sye van

kongruente driehoeke

M N

K

Q

1

1 2

2

P

LW: Gee altyd

redes!

LW: Gee altyd

redes!

Sien die notas oor Kongruensie

en Gelykvormigheid op bl. A5

Let Wel:

Let noukeurig op die uitleg van 'n kongruensiebewys.

Bestudeer die

bewys noukeurig!

Antwoorde: Kongruente Driehoeke

Kopiereg © Die Antwoord A5

10.1 In ΔABD en ΔACD

(1) AB = AC . . . gegee

(2) BD = CD . . . gegee

(3) AD is gemeen

â ΔABD ≡ ΔACD � . . . SSS

10.2 In ΔABE en ΔACE

(1) AB = AC . . . gegee

(2) ˆ

1A = ˆ

2A . . .

(3) AE is gemeen

â ΔABE ≡ ΔACE � . . . SøS

10.3 ˆ

1E = ˆ

2E . . .

Maar ˆ1E + ˆ

2E = 180º . . . hoeke op 'n reguitlyn

â ˆ1E = ˆ

2E = 90º �

10.4 AE ⊥ BC � [d.w.s. AE is loodreg op BC � ]

11. Die skets met al die gelyke hoeke ingevul.

(Daar is geen gelyke sye nie)

Antwoord: D � Bewys: In ΔPTS en ΔRTQ

(1) ˆ

1P = ˆ

1R . . . verwisselende ø

e

; PS æ QR

(2) ˆ

1S = ˆ

1Q . . . verwisselende ø

e

; PS æ QR

& (3) ˆPTS = ˆRTQ . . . regoorstaande øe

â ΔPTS ||| ΔRTQ � . . . øøø

Bestudeer die (maklike) logika baie noukeurig!

ooreenkomstige øe

van

kongruente driehoeke in Vraag 10.2

ooreenkomstige hoeke in

kongruente driehoeke in Vraag 10.1

P

T

Q

S

R

1 1

1 1

Kongruensie (≡) en Gelykvormigheid (|| |)

van driehoeke

Kongruente Driehoeke . . .

het dieselfde vorm en grootte.

Al 3 hoeke en al 3 sye is gelyk.

d.w.s. ΔABC ≡ ΔPQR beteken dat

ˆA = ˆP , ˆB = ˆQ en ˆC = ˆR en AB = PQ, AC = PR en BC = QR

Let op die volgorde van die letters

Gelykvormige Driehoeke . . .

het dieselfde vorm, maar nie noodwendig dieselfde

grootte nie.

Al 3 hoeke is gelyk.

d.w.s. ΔABC ||| ΔPQR beteken dat

ˆA = ˆP , ˆB = ˆQ en ˆC = ˆR

Die sye is nie noodwendig gelyk nie, maar is eweredig:

= =

AB AC BC

PQ PR QR

Let op die volgorde van

die letters

B C

A

Q R

P

B C

A

Q R

P

Twee driehoeke is kongruent as hulle die volgende het

• 3 sye dieselfde lengte . . . SSS

• 2 sye & 'n ingeslote hoek gelyk . . . SøS

• 'n reghoek, skuinssy & 'n sy gelyk . . . RHS

• 2 hoeke en 'n sy gelyk . . . øøS

≡ beteken 'is kongruent aan'

(d.w.s. dieselfde VORM en GROOTTE ) terwyl:

||| beteken 'is gelykvormig aan'

(d.w.s. dieselfde VORM maar nie noodwendig

dieselfde GROOTTE nie)

Antwoorde: Gelykvormige Driehoeke

A6 Kopiereg © Die Antwoord

Sien die notas

oor Kongruensie en

Gelykvormigheid op bl. A5

GELYKVORMIGE ΔE

(Simbool: |||)

1.1 As ΔDEF ||| ΔKLM, d.w.s. ΔDEF is gelykvormig

aan ΔKLM,

dan is DE

KL =

EF

LM =

KM

DF � . . .

â 14

7 =

x

12 . . . ( )14 2

= =7 1 12

?

â x = 24 �

2. As ΔABC ||| ΔEDF,

dan is ( )==

AB BC

ED DF

AC

EF . . .

â =

AB 15

6 10

Vermenigvuldig met 6:

â AB = ×15 6

10

â AB = 9 cm �

3.1 In ΔPQR en ΔSTR

(1) ˆP = ˆS . . . verwisselende øe

; PQ || ST

(2) ˆQ = ˆT . . . verwisselende øe

; PQ || ST

& (3) ˆPRQ = ˆSRT . . . regoorstaande øe

â ΔPQR ||| ΔSTR � . . . øøø

3.2 â ( )==

PQ PR

ST SR

QR

TR . . .

â =

PQ 10

3 6

Vermenigvuldig met 3:

â PQ = ×10 3

6

â PQ = 5 cm �

4.1 In ΔQPN en ΔLMN

(1) ˆN is gemeen

(2) ˆ

1P = ˆM . . . ooreenkomstige øe ; QP || LM

& (3) ˆ

1Q = ˆL . . . ooreenkomstige øe ; QP || LM

â ΔQPN ||| ΔLMN . . . øøø

4.2 â ( )==

PN QP

MN LM

QN

LN . . .

â =

PN 3

16 8

Vermenigvuldig met 16:

â PN = 3 16×

2

8

â PN = 6 cm �

5.1 In ΔABD en ΔACE

(1) ˆA is gemeen

(2) ˆA DB = ˆA EC

(3) 3de

L : ˆ1

D = ˆ1E . . . som van ø

e

in Δ

â ΔABD ||| ΔACE � . . . øøø

5.2 â ( )==

BD AD

CE AE

AB

AC . . .

â =

BD 9

21 7

Vermenigvuldig met 21:

â BD = 9 21×

3

7

â BD = 27 cm �

eweredige sye van

gelykvormige driehoeke

Let op die VOLGORDE van die letters in gelykvormige Δe

:

ΔDEF | | | ΔKLM � ˆD = ˆK , ˆE = ˆL en ˆF = ˆM

en dit bepaal die eweredige sye

eweredige sye van

gelykvormige driehoeke

eweredige sye van

gelykvormige driehoeke

eweredige sye van

gelykvormige driehoeke

L

1Q

M

P

N

1

2 2

8 cm

3 cm 16 cm

A

1

B

E

C D

1

2

2

F

7 cm

21 cm

9 cm

eweredige sye van

gelykvormige driehoeke

Kies die sye waarvan jy die lengtes het!

Kies die sye waarvandie lengtes gegee word.

Kies die sye waarvan die lengtes gegee word.

Kies die sye met bekende lengtes

Antwoorde: Vierhoeke

Kopiereg © Die Antwoord A7

VIERHOEKE

1. (x + 50º) + (2x – 20º) = 180º . . .

â 3x + 30º = 180º

Trek 30º af : â 3x = 150º

Deel deur 3: â x = 50º

â ˆA = 50º + 50º = 100º

â ˆB = 180º – 100º . . . ko-binne øe

; AC || BD

= 80º �

OF: ˆC = 2(50º) – 20º = 80º

â ˆB = 80º � . . . teenoorst.øe

van 'n ||m

is gelyk

2.1 ˆEFG = 180º – 156º . . .

= 24º �

2.2 ˆ

2F = 1

2(24º) . . .

= 12º �

2.3 ˆG = 156º � . . .

3.1 ΔATD en ΔBTC �

3.2 ˆ

2A = 60º . . . ø van gelyksydige Δ

â ˆ1

A = 30º . . . ˆDAB = 90º in vierkant

â ˆ2

D + ˆ1T = 180º – 30º . . . som van ø

e

in Δ

= 150º

Maar ˆ2

D = ˆ1T . . . ø

e

teenoor gelyke sye in ΔATD

â ˆ2

D = 75º � . . . helfte van 150º

3.3 Net so: ˆ3T = 75º

en ˆ

2T = 60º . . . ø van gelyksydige ΔATB

â ˆ4T = 360º – (75º + 60º + 75º) . . .

= 360º – 210º

= 150º �

OF: ˆ1

D = 90º – 75º . . . ˆ

2D = 75º en ˆADC = 90º

= 15º

& Net so: ˆ1

C = 15º

â ˆ4T = 180º – 2(15º) . . . som van ø

e

in ΔDTC

= 180º – 30º

= 150º �

4.

ˆQRP = ˆTRS = 60º . . . øe

van gelyksydige Δe

& ˆPRT = 90º . . . ø van vierkant

â ˆQRS = 360º – (60º + 90º + 60º) . . .

= 150º

QR = PR . . . sye van gelyksydige ΔPQR

= RT . . . sye van vierkant

= RS . . . sye van gelyksydige ΔRTS

â x = ˆRSQ . . . hoeke teenoor gelyke sye in ΔQRS

= 12

(180º – 150º) . . .

= 12

(30º)

= 15º �

5. In ΔADB en ΔCBD:

ˆ

1D = ˆ

2B . . . aangrensende ø

e

; AD || BC in parallelogram

ˆ

1B = ˆ

2D . . . verwisselende ø

e

; AB || DC in parallelogram

BD = BD . . . gemene sy

â ΔADB ≡ ΔCBD . . . øøS

â AD = BC � . . .

& AB = DC �

6. D reghoek �

ko-binne øe

;

AB || CD

ko-binne øe

;

DE || GF in ruit

die hoeklyne van 'n ruit

halveer die øe

van die ruit

teenoorstaande øe

van 'n ruit

(of ||m

) is gelyk

. . . AT = AB . . . sye van gelyksydige Δ

= AD . . . sye van vierkant & Net so: BT = AB = BC

som van øe

om

'n punt = 360º

som van øe

om

'n punt = 360º

ø van gelykbenige Δ ;

som van øe

in Δ = 180º

Let Wel: Deur kongruensie te gebruik, het ons nou

net bewys dat albei pare teenoorstaande

sye van 'n parallelogram gelyk is in lengte.

As een hoek gelyk is aan 90º, dan, vanweë ko-binnehoeke

en parallelle lyne, sal die ander ook gelyk aan 90º wees.

Dus het ons 'slegs een hoek gelyk aan 90º nodig.'

ooreenkomstige sye

van kongruente Δe

C

A B

D

T

1

3

2

2

1

1

1

2

4

30°

60°

60°

60°

Q

60°

60° 60°

60°

60°

60°

W T

S

RP

x

Antwoorde: Vierhoeke

A8 Kopiereg © Die Antwoord

7.1 Iets nuuts om te ervaar!

( ˆ1

B + ˆ2

B ) + ( ˆ1

C + ˆ2

C ) = 180º

. . .

Laat ˆ1

B = ˆ2

B = x en ˆ1

C = ˆ2

C = y . . .

. . . gegee dat die hoeke halveer is

â 2x + 2y = 180º

d.w.s. 2(x + y) = 180º

Deel deur 2: â x + y = 90º

â In ΔBTC: ˆ1

B + ˆ1

C = 90º

â ˆ2T = 90º . . . som van ø

e in Δ

7.2 ΔTCP �

ˆTPC = 180º – 90º = 90º . . . hoeke op 'n reguitlyn

In ΔBCT en ΔTCB:

1) ˆ

1C = ˆ

2C (= y)

2) ˆ

2T = ˆTPC (= 90º)

3) â ˆ1

B = ˆ1T . . . 3

de ø

van Δ

â ΔBCT ||| ΔTCP � . . . øøø

7.3 â ⎞= ⎟⎠

= ⎛⎜⎝

CBT BC

TP TC

T

CP . . .

â =

BT 2TC

4 TC

Vermenigvuldig met 4:

â BT = 2 % 4

= 8 cm �

8. Antwoord: C ΔAEB ≡ ΔDEC �

In ΔAEB en ΔDEC:

1) AE = BE . . . gegee

2) EB = EC . . . gegee

3) ˆAEB = ˆDEC . . . regoorstaande øe

â ΔAEB ≡ ΔDEC . . SøS

9.

(a + i + h) + (b + g + f) + (c + d + e)

= 3 % 180º

= 540º

â Elke ø = °540

5 = 108º

â Antwoord: D �

10.

Die som van die øe

van die heksagoon

= 4 % 180º

= 720º

â Elke ø = °720

6 = 120º

â Antwoord: B �

'n Baie nuttige

tegniek in

meetkunde!

eweredige sye van

gelykvormige driehoeke

ko-binne øe ;

AB || DC in

parallelogram

bc d

e

f

gh

a

i

A

C

B

D

1

1

2

2

1

2 3

T

P

x

x

y

y

NOTAS

Kies die sye waarvan die lengtes gegee word.

Antwoorde: Stelling van Pythagoras

Kopiereg © Die Antwoord A9

STELLING VAN PYTHAGORAS

1. AC = 13 cm . . . 5 : 12 : 13 Pythagoras 'trio'

OF: In ΔABC: AC2 = AB

2 + BC

2 . . .

= 52 + 12

2

= 25 + 144

= 169

â AC = 13 cm

2.1 In ΔABC: x = 10 cm � . . .

2.2 In ΔABD: BD = 15 cm . . . Pythag 'trio': 8 : 15 : 17

â y = 15 cm – 6 cm

= 9 cm �

OF: 2.1 x2 = 8

2 + 6

2, ens.

2.2 BD2 = 17

2 – 8

2, ens.

3.1 ×TU 12

2 = 30 . . .

h × b

2 = oppervlakte van 'n Δ

Vermenigvuldig met 2: . . .

â TU % 12 = 60

Deel deur 12:

â TU = 5 cm �

3.2 TW = 13 cm . . . Pythag 'trio' 5 : 12 : 13

â Die omtrek van ΔTUW = 5 cm + 12 cm + 13 cm

= 30 cm �

4.1 Die lengte van die leer = 13 m � . . .

OF: (lengte van die leer)2

= 52 + 12

2, ens.

5. Antwoord: B 6 cm �

In ΔADC: DC = 8 cm . . . teenoorst. sye van reghoek â AD = 6 cm . . .

6.

AC2 = 15

2 = 225

& AB2 + BC

2 = 9

2 + 12

2 = 81 + 144 = 225

â AC2 = AB

2 + BC

2

â ˆB = 90° . . . die omgekeerde van die

Stelling van Pythagoras

Stell. van Pythag.; ˆB = 90º

Pythag 'trio':

3 : 4 : 5 = 6 : 8 : 10

Pythag 'trio':

3 : 4 : 5 = 6 : 8 : 10

*

. . . Stelling van Pythag.

Pythag 'trio':

5 : 12 : 13

OF: × TU 12

6

2

= 30

â 6 % TU = 30

Deel deur 6:

â TU = 5 cm �

NOTAS

12 m

5 m

Let Wel: By die toepassing van die Stelling van

Pythagoras is daar 'n paar baie bekende

'drietalle' wat nuttig is om te ken en gebruik

eerder as lang berekeninge. bv. 3

2 + 4

2 = 9 + 16 = 25 = 5

2

52 + 12

2 = 25 + 144 = 169 = 13

2

82 + 15

2 = 64 + 225 = 289 = 17

2

Dus is: die DRIETALLE: 3 : 4 : 5 ; 5 : 12 : 13 ; 8 : 15 : 17 en veelvoude, soos:

6 : 8 : 10

*

Hierdie som vereis die toepassing van die omgekeerde van

die Stelling van Pythagoras, d.w.s. Indien die kwadraat op een sy van 'n driehoek gelyk is

aan die som van die kwadrate op die ander twee sye,

is die hoek teenoor die eerste sy 'n regte hoek.

Antwoorde: Meting: 2D

A10 Kopiereg © Die Antwoord

METING: 2D

1.1 Radius, r = 1

2 % middellyn = 6 cm

â Oppervlakte = �r2 = 3,14 % 6

2

= 113,04 cm2 �

1.2 Die omtrek van die (volle) sirkel = 2�r

â Die 'omtrek' van die semi-sirkel = �r = 3,14 % 6

= 18,84 cm â Die omtrek van die vorm ACB

= 18,84 cm + 12 cm = 30,84 cm � . . . middellyn, AB = 12 cm

2. Die oppervlakte van 'n vierkant = s2 = (0,12)

2 = 0,0144 cm

2

â Antwoord: D �

3.1 Die omtrek van die baan

= 2 % 100 m + 2 % halfsirkels

= 200 m + 2 % 3,14 % 30 m . . .

= 388,4 m

â Aantal rondtes = 4 000 m

388,4 m = 10,298 . . .

â 11 rondtes � . . . vir 'n minimum van 4 km!

3.2 Die oppervlakte van die baan

= oppv. van reghoek + oppv. van 2 halfsirkels

= (100 % 60)m2 + �.30

2 m

2 . . . Oppv. van sirkel = �r

2

= 6 000 m2 + �.900 m

2

l 8 827,43 m2 �

4.1 In ΔAPS: PS2 = 5

2 – 2

2 . . . Stelling van Pythagoras

= 25 – 4

= 21

â PS = 21

l 4,58 m �

4.2 PT = 3 % AB = 3 % 4 m = 12 m �

4.3 'n Vlieër � . . . 2 pare aangrensende sye gelyk

4.4 Metode 1: Gebruik die formule

Die oppervlakte = 1

2 die produk van die hoeklyne

= 1

2 (PT % AB)

= 1

2 (12 % 4)

= 24 m2 �

Metode 2: Sonder die formule

Die oppervlakte = ΔPAT + ΔPBT

= 2 % ΔPAT . . .

= 21

2×

PT AS⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

= 12 m % 2 m

= 24 m2 �

5.1 In ΔABT: AT = 4 cm � . . . Pythag 'trio' : 3 : 4 : 5

OF: AT2 = 5

2 – 3

2 . . . Stelling van Pythagoras

= 25 – 9

= 16

â AT = 4 cm �

5.2 Die oppervlakte van parallelogram ABCT

= basis % hoogte

= BC % AT

= AD % 4 cm

= 12 cm % 4 cm

= 48 cm2

5.3.1 DC = AB = 5 cm . . . teenoorstaande øe van ||

m

TC = BC – BT = 12 cm – 3 cm = 9 cm

â Die omtrek van trapesium ADCT

= AD + DC + TC + AT

= 12 cm + 5 cm + 9 cm + 4 cm

= 30 cm �

Beskou noukeurig:

(0,12)2 =

212

100

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= 12 12 144

100 100 10 000× = = 0,0144

Omtrek van sirkel

= 2�r

Sien hoe ΔABT skuif

(soos aangedui) :

Parallelogram ABCD = reghoek ATSD

& Oppervlakte van reghoek ATSD

= lengte % breedte

= 12 cm % 4 cm

= 48 cm2

12 cm

5 cm

3 cm

A

B T C

D

S

want die 2 Δe

is kongruent

Antwoorde: Meting: 2D

Kopiereg © Die Antwoord A11

5.3.2 Metode 1: Gebruik die formule

Die oppervlakte van trapesium ADCT

= 1

2 (som van die || sye) % die afstand tussen hulle

= 1

2(AD + TC) % AT

= 1

2(12 + 9) % 4

= 42 cm2 �

Metode 2: Sonder 'n formule

Die oppervlakte van trapesium ADCT

= Oppervlakte van ΔATC + Oppervlakte van ΔADC

= 1

2(9 % 4) +

1

2(12 % 4)

= 18 + 24

= 42 cm2 �

6. Laat die oppervlakte van die oorspronklike reghoek = ℓ % b

As die lengte verdubbel, dan sal die oppervlakte van die

vergrote reghoek = 2ℓ % b

= 2(ℓb)

â k = 2 �

7. Die omtrek van 'n sirkel, 2�r = 52 cm

â r = π

52

2 =

π

26

â Die oppervlakte van die sirkel

= �r2 = � %

⎛ ⎞⎜ ⎟π⎝ ⎠

2

26

= � % π

2

2

26

= π

226

l 215,18 cm2 � . . . korrek tot 2 desimale plekke

8.1 Die omtrek van 'n sirkel = 2�r

â Die omtrek van die kleiner sirkel

= 2 % � % 20

l 125,66 cm �

8.2 Die oppervlakte van die geskakeerde oppervlakte

= die oppervlakte van die volle sirkel – die oppervlakte

van die binneste sirkel

= �302 – �20

2

l 1 570,80 cm2 �

9.1 Die oppervlakte van die geskakeerde ring

= die oppervlakte van die volle sirkel – die oppervlakte

van die binneste ring

= �R2 – �r

2

= �(R2 – r

2) �

9.2 Oppervakte van die geskakeerde ring = �(142 – 8

2)

= 132� cm2 �

Let wel : Gee die antwoord 'in terme van �'

*

1

2. ( 9 + 12) .4, soos die formule hierbo!*

b

ℓ

4 cm

9 cm

A

T C

D12 cm

NOTAS