Gerilme invaryantları: ( 0 - selcuk.edu.tr Iki Eksenli Gerilme Hali 1... · σx σy τxy τyx x y...

İki Eksenli Gerilme Hali

σ1

σ2

00000

00( (

σ1 ≠ 0

σ2

σ1

σ2 ≠ 0

σ3 = 0

σ1 ≥ σ2

P

Örnek

σ2

P σ1

σ1

P

1

2

3

1

2

İki Eksenli Gerilme Hali 1

Bir cismin herhangi bir P noktasındaki asal gerilmelerden birisi sıfır ise o noktadaki gerilme hali "iki eksenli gerilme hali"dir.Düzlem gerilme hali de denir.

P noktasından geçen bütün yüzeylerdeki eğik gerilme vektörleri aynı düzlem içindedir.Gerilmelerin içinde bulunduğu düzlem, asal gerilme doğrultularından birine diktir.Bu doğrultudaki asal gerilme sıfırdır. Diğer asal gerilmeler sıfırdan farklıdır.

Literatürde genellikle böyle seçilir.

I1 ≠ 0I2 ≠ 0I3 = 0

Gerilme invaryantları:

P

Kendi düzlemi içindeki kuvvetlere maruz bir levha


1

2

3

≡

σ1 0( (0

0

0

0

0

0

σx 0( (0

0

0

0

0

0

≡

σx τxy( (0

0

0

00

σyτyx ≡

σx' τx'y'( (0

0

0

00

σy'τy'x'

1

2

3z

x

y

1

2

x

y

3z 1

2

3z'

x'y'

τx'y'

σx'

σy'

y'

τy'x'

x'

P 1

2

τxyσx

σy

τyx

P 1

2

x

y

y'

x'

P 1

2

P 1

2

x

y

σ1

Pσ1

Pσx

1

x

y

1

2

σ2 σy

σ2 σ2σy

σ1

Pσ1

Pσx

1

x1

σ2 σ2σy

σx σy ≠ τxy2 σx' σy' ≠ τx'y'

2

2

y2 2

Behcet DAĞHAN

Literatürde genellikle z-ekseni ve z'-ekseni, 3-ekseni ile çakıştırılır.

T

I2 ≠ 0

σx

σy

τxy

τyx

x

y

σxτxy

σy

τyx

σx

σy

τxy

τyx

x

y

σxτxy

σy

τyx

İşaret kabulü


(+) Pozitif gerilmelerin yönleri (−) Negatif gerilmelerin yönleri

Herhangi bir eksen takımında

τyx = τxy

Döndürülmüş eksenlerde gerilme bileşenleri (Gerilme Tansörünün Dönüştürülmesi)Asal olmayan eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum


ΣFx' = 0 σx' (A) − σx (Acosθ) cos θ − σy (Asin θ) sin θ − τxy (Acos θ) sin θ − τyx (Asin θ) cos θ = 0

AAcosθ

Asinθ

θ

x'

θ

y'

σx (Acosθ) σx' (A)

σy (Asinθ)

τyx (Asinθ)τxy (Acosθ)

τx'y' (A)

θ

σx' − σx cos2θ − σy sin2θ − τxy cosθ sinθ − τ yx sinθ cosθ = 0

→ σx' = σx cos2θ + σy sin2θ + 2 τxy cosθ sinθ

ΣFy' = 0 →

→

θ yerine θ+90o yazarak: σy' = σx sin2θ + σy cos2θ − 2 τxy cosθ sinθ

τx'y' = − σx sinθ cosθ + σy sinθ cosθ + τxy (cos2θ − sin2θ)

z-ekseni ve z'-ekseni,3-ekseni ile çakıştırılmıştır.

(σ) =

σx' τx'y'

σy'τy'x'

x'

x

y

σx

σy

τxy

τyx

τx'y'

θθ

y'

σx'

τx'y'

σx'

σy'

τy'x'

σx τxy( σyτyx(

( ((σ' ) =

σx

σy

τxy

τyx

x

y

σxτxy

σy

τyx


σx' = –– (σx + σy) + –– (σx − σy) cos 2θ + τxy sin 2θ 12

12

τx'y' = 0 − –– (σx − σy) sin 2θ + τxy cos 2θ 12

σy' = –– (σx + σy) − –– (σx − σy) cos 2θ − τxy sin 2θ 12

12

σx'

τx'y'

σy' =

τxy

( –– (σx + σy)12

–– (σx − σy)12 (( ( ( (cos2θ sin2θ1

1

0

−cos2θ −sin2θ

cos2θ−sin2θ

σx' = σx cos2θ + σy sin2θ + 2 τxy cosθ sinθ

σy' = σx sin2θ + σy cos2θ − 2 τxy cosθ sinθ


σx'

τx'y'

σy' = (τxy

σx

σy (( ( ( (cos2θ sin2θ

cos2θsin2θ

cos2θ − sin2θ

2 cosθ sinθ

−2 cosθ sinθ

−cosθ sinθ cosθ sinθ

2 cosθ sinθ = sin2θ

sin2θ = –––––––––1 − cos2θ

2

cos2θ = –––––––––1 + cos2θ

2 }cos2θ − sin2θ = cos2θ

x

y

σx

σy

τxy

τyx

θθ


n

σn

τn

Yüzey normali döndürülmüş eksene paralel olan bir yüzeye etki eden gerilme bileşenlerinin iç çarpım yardımıyla bulunması

F

F

a

a→

Fa

→

Fa

Fa = F • e = (F)T (e)→ →

Bir vektörün herhangi bir doğrultuya izdüşümü, vektör ile doğrultu üzerindeki birim vektörüniç çarpımı (skaler çarpımı) ile bulunabilir.Benzer şekilde, bir tansörün bir yüzeye izdüşümü de,tansör ile yüzey normali üzerindeki birim vektörüniç çarpımı ile bulunabilir.

e = cosβ i + sinβ j→ → →

Fa = F (cosθ cosβ + sinθ sinβ)

x

y

β

θ

u = cosθ i + sinθ j→ → →

F = F u = (F) = F →→

e = (e) = →

cosθ

sinθ( (

cosβ

sinβ( (

n = cosθ i + sinθ j→ → →

(F)T = F (cosθ sinθ)

σx τyx( σyτxy(

Gerilme tansörünün, yüzey normali n olan bir yüzeye izdüşümü→

cosθ

sinθ( (

n = (n) =→cosθ

sinθ( (

T (n) = T = σn + τn = (T) = =→ → →

σx' cosθ − τx'y' sinθ( (σx' sinθ + τx'y' cosθ

T = (T) = (σ) • n = (σ)T (n) =→

τyx = τxyσx cosθ + τxy sinθ( (τxy cosθ + σy sinθ(T) = =

→

σx' = σx cos2θ + σy sin2θ + 2 τxy cosθ sinθ


σx'

τx'y'

→ →

σx' cosθ − τx'y' sinθ( (σx' sinθ + τx'y' cosθ

x'

y'

( (Tx

Ty

( (Tx

Ty

=

σx cosθ + τyx sinθ( (τxy cosθ + σy sinθ=}

Bir tansörünbir vektör ile iç çarpımı = bir vektör


x'

x

y

θ

y'

θ

x1

x2x2'

x1'

Doğrultman kosinüsleri

}θ11 = θ

θ12 = 90o − θ

θ21 = 90o + θ

θ22 = θ

Dönüştürme matrisi

Dönüştürme matrisi ortogonal bir matristir.

n21 = e2' • e1→ →

ekseniüzerindeki

birimvektör

x2'

→

x1 ekseniüzerindekibirimvektör

→

ekseni ilex1 ekseni

arasındakiaçının kosinüsü

x2'

(N) =n11( (n12

n22n21

cosθ11( (=cosθ12

cosθ22cosθ21

cosθ( (=sinθ

cosθ−sinθ

m( (=n

m−n

x2' ekseni ilex1 ekseni

arasındaki açı

İndislerin açıklaması

x' ekseni ile x ekseni arasındaki açı

x' ekseni ile y ekseni arasındaki açı

y' ekseni ile x ekseni arasındaki açı

y' ekseni ile y ekseni arasındaki açı

→

→

→

→

(N)T = (N)−1

θ21

(σ) =σx τxy( σyτyx

( σ11 σ12( σ22σ21(=

(N) =n11( (n12

n22n21

z-ekseni ve z'-ekseni, 3-ekseni ile çakıştırılmıştır.

(σ') = (N) (σ) (N)T

σx' τx'y'

σy'τy'x'( ( σx τxy( σyτyx

(cosθ( (sinθ

cosθ−sinθ=

cosθ( (−sinθ

cosθsinθ

σx' τx'y'


(m( (n

m−n=

m( (−n

mn

σx' τx'y'

σy'τy'x'( ((σ' ) =


veya σij' = nik njl σkl (i,j,k,l =1,2)

σij' = Σ Σ nik njl σklk=1

2

l=1

2

i = 1j = 1

σ11' = n1k n1l σkl

σ11' = n11 n11 σ11 + n11 n12 σ12 + n12 n11 σ21 + n12 n12 σ22

k = 1l = 1

k = 1l = 2

k = 2l = 1

k = 2l = 2

i = 1j = 2


σ12' = n11 n21 σ11 + n11 n22 σ12 + n12 n21 σ21 + n12 n22 σ22

i = 2j = 2


σ22' = n21 n21 σ11 + n21 n22 σ12 + n22 n21 σ21 + n22 n22 σ22

(i,j =1,2)

i = 2j = 1


σ21' = n21 n11 σ11 + n21 n12 σ12 + n22 n11 σ21 + n22 n12 σ22

(k,l =1,2)

(k,l =1,2)

(k,l =1,2)

(k,l =1,2)

İndis notasyonu ile:


(σ' ) = (N) (σ) (N)T

σx' τx'y'


(m( (n

m−n=

m( (−n

mn

σx'

τx'y'

σy'( m2 n2

mn−mn

=(σx

τxy

σy( (( (2mn

n2 m2 −2mn

m2 − n2

σij' = nik njl σkl

(σ) = (N)T (σ' ) (N)

σx' τx'y'

σy'τy'x'( (σx τxy( σyτyx

( m( (n

m−n=

m( (−n

mn

σx'

τx'y'

σy'(m2 n2

−mnmn

= (σx

τxy

σy( ( ( (−2mn

n2 m2 2mn

m2 −n2

σij = nik njl σkl'

(A) (A)−1

(i,j,k,l =1,2) (i,j,k,l =1,2)

} }τy'x' = τx'y' τyx = τxyτyx = τxy τy'x' = τx'y'


12

τx'y' = − –– (σx − σy) sin 2θ + τxy cos 2θ 12


Asal gerilmeler ve asal eksen doğrultuları

––– = 0dσx'

dθ} σx' = σmax

σx' = σmin

veyaσmax = σ1

σmin = σ2

σ1 ≥ σ2

(Literatürde genellikle böyle seçilir.)

− (σx − σy) sin 2θ + 2 τxy cos 2θ ––– = 0 =dσx'

dθ→ tan 2θ = –––––––

2 τxy

σx − σy

Asal eksenler ilex, y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı

Asal gerilmenin etki ettiği yüzeyde kayma gerilmesi yoktur. Yani τx'y' = 0 } tan 2θ = –––––––2 τxy

σx − σy

Alternatif olarak:

"Döndürülen x' ekseni ne zaman asal eksen ile çakışır?" sorusuna cevap arıyoruz.

- Asal gerilmeler normal gerilmedir.- Normal gerilmenin ekstremum değerleri asal gerilmedir.- Asal gerilme doğrultuları birbirine diktir.- Gerilme hali iki eksenli olduğu zaman iki tane asal gerilme vardır.

σx τxy

σyτyx( ( σx'

σy'0

0( ((σ) = ≡

x'

x

y

σx

σy

τxy

τyx

θθ

y'

σx'

σx'

σy'

nτn = τx'y' = 0

σn = σx'

σn

σn

(σ) =σ1

σ20

0( (


→tan 2θ = –––––––

2 τxy

σx − σy

Asal eksenler ile x-y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı

x

y

1

2

θ = θp1

P

σ1 σ2

σ2 σ1

1

2

θ = θp2

σ2 σ1

P

σ1 σ2

x

y

→

θ = θp1

θ = θp2

Örnekler

veya

(σx > σy)→

→(σx < σy)

x'y' x'y'


12


sin 2θ = –––––−τxy

R

cos 2θ = –––––––––––––R

− –– (σx − σy)12 σ2 = –– (σx + σy) − [–– (σx − σy)]2 + τxy

212

12√

σx' = σ2} _________________

tan 2θ = ––––––––––


12

sin 2θ = ––––τxy

R

cos 2θ = ––––––––––R

–– (σx − σy)12 σ1 = –– (σx + σy) + [–– (σx − σy)]2 + τxy

212

12√

σx' = σ1} _________________

− –– (σx − σy)12

VEYA

–– (σx − σy)12

τxy

σm = –– (σx + σy)12

= –– (σ1 + σ2) 12

σ1 = σm + R

σ2 = σm − R

Asal gerilmeleri,x-y eksenlerindeki gerilme bileşenleri

cinsinden veren bağıntılar:

–– (σx − σy)12

–––––––––– R–– (σx − σy)12

τxy

2θ

R

R tan 2θ

R cos 2θ

R sin 2θ

τxy

R = [–– (σx − σy)]2 + τxy

2√ 21

_________________

–––––––––– R–– (σx − σy)12

τxy

R

R tan 2θ

−τxy

R cos 2θ

R sin 2θ

2θ

θ = θp1

θ = θp2

θp2 = θp1 ± 90o


λ1 = σ1

Gerilme halinin invaryantlarıGerilme tansörünün değişmezleri

(σ) =σx' τx'y'

σy'τy'x'

σx τxy( σyτyx( ( (≡≡

σ1 0( σ20 (Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen eksenler değiştikçe o noktadaki gerilme halini gösteren tansörün bileşenleride değişir. Fakat değişmeyen bazı değerler vardır. İşte bu değerlere gerilme halinin invaryantları denir.Gerilme hali, iki eksenli olduğu zaman iki tane gerilme invaryantı vardır.

Gerilme halinin invaryantlarını x-y eksenlerindeki gerilme bileşenleri cinsinden bulalım:

σx−λ τxy

σy−λτyx| | = 0 → λ2 − I1 λ + I2 = 0

Gerilme tansörününbirinci invaryantı

→ →

→ Bu ikinci dereceden denklemin kökleriasal gerilmeleri verir.

I1 = σx + σy I2 =σx τxy

σyτyx| |

λ2 = σ2

I1 = σ1 + σ2

I2 = | |

I1 ve I2 değerleri, eksen takımı değişse de değişmeyen değerlerdir.

= σx + σy = σx' + σy'

σx τxy

σyτyx| | = | |σ1 0

σ20

σx' τx'y'

σy'τy'x'

=

Gerilme tansörününikinci invaryantı

Asal gerilmelergerilme tansörünün özdeğerleridir.

= –– I1 (–– I1)2 − I2

12

12√

__________

+_σ1σ2



Kayma gerilmesinin ekstremum değerleri ve doğrultuları

–––– = 0dτx'y'

dθ} veya

− (σx − σy) cos 2θ − 2 τxy sin 2θ –––– = 0 =dτx'y'

dθ→ tan 2θ = − –––––––

2 τxy

σx − σy

Kayma gerilmesinin ekstremum olduğu yüzeylerin normali ilex, y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı

"Eksenler döndürülürken hangi yüzeyde kayma gerilmesi ekstremum olur?" sorusuna cevaparıyoruz.

Kayma gerilmesinin ekstremum olduğu yüzeylerde normal gerilme, genellikle, sıfır değildir.Bu normal gerilmenin değeri:

σx' = σm = –– (σx + σy) = –– I112

Ortalama gerilme

→

τx'y' = (τx'y')max

τx'y' = (τx'y')min

12


→

x

y

1

2

θp1

P

σ2 σ1

→

θ = (θs)max

veyatan 2θ = − –––––––2 τxy

σx − σy

Kayma gerilmesinin ekstremum olduğu yüzeylerin normali ilex-y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı

tan2θp tan2θs = −1

σm

2θp ± 2θs = 90o

θ = θsmin

σm

θp ± θs = 45o


1

2

θp1

σ1

P

σ2

x

y

P

θ = θsmax

x'

y'

x'

y'

Örnekler

θ = (θs)min


(τx'y')min

(τx'y')max

45o45o

P


cos 2θ = ––––R

sin 2θ = ––––––––––R

–– (σx − σy)12

(τx'y')min = − [–– (σx − σy)]2 + τxy21

2√} _________________

VEYA

−τxy


tan 2θ = − –––––––––––– (σx − σy)12

τxy

cos 2θ = ––––R

sin 2θ = ––––––––––––R } (τx'y')max = [–– (σx − σy)]2 + τxy

212√

_________________


− –– (σx − σy)12

τxy

(τx'y')min = − –– (σ1 − σ2)12

(τx'y')max = –– (σ1 − σ2)12



Kayma gerilmesinin ekstremum değerlerini, x-y eksenlerindeki gerilme bileşenlericinsinden veren bağıntılar:

Kayma gerilmesinin ekstremum değerlerini,asal gerilmeler cinsinden veren bağıntılar:

R = [–– (σx − σy)]2 + τxy21

2√_________________

2θ

R

R tan 2θ

τxy R cos 2θ

R sin 2θ

− –––––––––– R–– (σx − σy)12

τxy

− ––(σx−σy)12

2θ

R

R tan 2θ

−τxy

R cos 2θ

R sin 2θ

––(σx−σy)12

(τx'y')max = R

(τx'y')min = − R

θ = (θs)max

θ = (θs)min

(θs)max = (θs)min ± 90o

− –––––––––– R–– (σx − σy)12

τxy


σθθ

τ

n

Mohr çemberine mahsus işaret kabulü

σn

τn

σx

σy

τxy

τyx

x

y

σx > 0τxy > 0

σy

τyx

(+) Pozitif gerilmelerin yönleri (−) Negatif gerilmelerin yönleri

Örnekler

σx

σy

τxy

τyx

y

σxτxy

σy > 0

τyx > 0

x

σθθ

τ

n

σn

τn

σ > 0τ < 0

σ > 0

τ > 0

Bazı kaynaklarda bunun tersi seçilir. Bu seçim keyfidir.

τ = −τxy

Mohr çemberi üzerinde bir noktaya karşılık gelen bir yüzeye etki eden gerilme bileşenleri için

σ = σx

τ = τyx

σ = σy

n

n

τ = τn

σ = σn

Mohr çemberi

x'

x

y

σx

σy

τxy

τyx

τx'y'

θθ

y'


12

τx'y' = 0 − –– (σx − σy) sin 2θ + τxy cos 2θ 12σx'


σn

σn

τn τ < 0

Mohr çemberine mahsus işaret kabulümüze ve şekle göre bu gerilmenin işareti negatiftir.

σ = –– (σx + σy) + –– (σx − σy) cos 2θ + τxy sin 2θ 12

12

τ = 0 + –– (σx − σy) sin 2θ − τxy cos 2θ 12

→

→

[σ − –– (σx + σy)]2 = [–– (σx − σy) cos 2θ + τxy sin 2θ]21

212

τ 2 = [–– (σx − σy) sin 2θ − τxy cos 2θ]212+

[σ − –– (σx + σy)]2 + τ 2 = [–– (σx − σy)]2 + τxy21

212τ = 0 → tan 2θ = –––––––

2 τxy

σx − σy

İşaret kabulüne ve şekle göre bu gerilmenin işareti pozitiftir.τ = −τx'y'

Mohr çemberi üzerinde bir noktayakarşılık gelen yüzey

→

Mohr çemberinin denklemiAsal eksenler ile x, y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı

Mohr çemberiAsal olmayan eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum

Yüzey normali döndürülmüş eksene paralel olan bir yüzeydeki gerilme bileşenleriniasal olmayan gerilmeler cinsinden veren bağıntılar

{

→

Asal olmayan ve sabit tutulan x, y eksenleri keyfi olarak seçilebilir veya problemde verilmiş olabilir.

→- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen her bir yüzeydeki gerilme bileşenleri σ ve τ değer çiftlerine σ-τ eksen takımında karşılık gelen noktaların geometrik yeridir.

Mohr çemberi nedir?

- Bir cismin herhangi bir P noktasındaki gerilme halinin grafik gösterilimidir.

- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen her bir yüzeydeki gerilmeyi ve bileşenlerini veren grafiktir.

- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen ve döndürülen eksenlerdeki gerilme bileşenlerini veren grafiktir (x'-y' eksenleri döndürülen eksenlerdir).

(σ − σm)2 + τ 2 = R2

R = τmax = [–– (σx − σy)]2 + τxy

2√ 2

τmin = − –– (σ1 − σ2)12

τmax = –– (σ1 − σ2)12

σm = –– (σx + σy)12

1

[σ − –– (σx + σy)]2 + τ 2 = [–– (σx − σy)]2 + τxy21

212

σm = –– (σ1 + σ2) 12

σ1 = –– (σx + σy) + [–– (σx − σy)]2 + τxy21

212√

σ2 = –– (σx + σy) − [–– (σx − σy)]2 + τxy21

212√

σmax = σ1 = σm + R

σmin = σ2 = σm − R

↓

θp1

θp2

↓


tan 2θ = –––––––2 τxy

σx − σy

θs ± θp = 45o

tan2θp tan2θs = −1

→

→

tan 2θ = − –––––––2 τxy

σx − σy

↓

(θs)max ↓

(θs)min

→

→

Mohr çemberinin denklemi

Behcet DAĞHAN

σx

σy

τxy

τyx

x

y

σxτxy

σy

τyx

σx

σy

τxy

τyx

x

y

σxτxy

σy

τyx

στ < 0

x'

y' x'

y'

στ > 0

τx'y' > 0

x'

x

yτx'y'

σx'

n

σy'

σx

σy

τxy

τyx

y'

σn

τn

τy'x'

τσ

θθ


(σ,τ)

τn

σn

(σ = σx , τ=−τxy)

(σ = σ1 , τ=0)

(σ = σy , τ=τyx)

τ

σ

τx'y'

σx'

2θ

(σ − σm)2 + τ 2 = R2

(σx' = σx , τx'y' =τxy)

(σx' ,τx'y')(σx' = σy , τx'y' =−τyx)

(σx' = σ1 , τx'y' =0)(σx' =σ2 ,τx'y' = 0)

τx'y' = −τ

σx' = σ

(σ=σ2 ,τ=0)

n

n

(σ = σm , τ=τmin)(σx' = σm , τx'y' =( τx'y')max)

(σ = σm , τ=τmax)(σx' = σm , τx'y' =( τx'y')min)

τx'y' < 0

Behcet DAĞHAN

C (σ,τ)

τn

σn

B (σ = σ1 ,τ = 0)E (σ = σ2 ,τ = 0)

D (σ = σy ,τ = τyx)

τ

σ

τx'y'

σx'

A

Dθ = 90o

τxyσx

στxy

σx

τyx

σy

τyx

σy

τxyσx

σ

τxy

σx

τyx

σy

τyx

σy

στxy

σx

τyx

σy

B

θ = 0

θ = θp1

θσ

τxy

σx

τyx

σy

C θ

σ1

θ

στxy

σx

τyx

σy

Eθ = θp2

σ2 σ

x

x'

x

x'

x'

x

x

x

x'

x'

2θ

θ = θp1

θ = θp2


A (σ = σx , τ=−τxy)

τ< 0

τ> 0

n

n

n

n

n

τ> 0

Behcet DAĞHAN

0 0

x

y

12

x'y'

45o

n

45ox'

x'y'

45o

=

=

= 90o

= 0


Kutup

n

n

_

nn

x'

x'y'

x

x'

x'

n

ny

x

x'

y'n

n

n

x

xx'

n

x'x'y'

y'

x'ny

xy'

(σx ,−τxy)

(σ1 ,0)(σ2 ,0)

(σy ,τyx)τ

σ2θp1

tan 2θ = –––––––2 τxy

σx − σy

σx

σy

τxy} verilenler ise →

θp1 veya θp2

→

tan 2θ > 0σx > σy

τxy > 0→ θ > 0

0 < θ < 45o

→

x

y

1

2

θ = θp1

45o

θ = θp1

P

Behcet DAĞHAN

σ1 σ2

σ2 σ1

θ < 0

2θ < 0


σx > σy →

(σx ,– τxy)

(σ1 ,0)

(σy ,τyx)

τ

σ

2θp1

tan 2θ < 0σx > σy

τxy < 0→ θ < 0

– 45o < θ < 0

→1

2

θ = θp1

45o

σ2 σ1

P

σ1 σ2

Behcet DAĞHAN

θ > 0

2θ > 0

(σ2 ,0)

x

yσx

σy


→


tan 2θ = –––––––2 τxy

σx − σy

θp1 veya θp2

θ = θp1σx > σy →

τ

σ

2θp2

1

2

θ = θp2

45o

σ2 σ1

P

σ1 σ2

Behcet DAĞHAN

(σy ,τyx)

(σ1 ,0)(σ2 ,0)

σx

σy


→

x

y


tan 2θ = –––––––2 τxy

σx − σy

(σx ,– τxy)

σx < σy

τxy < 00 < θ < 45o

tan 2θ > 0 → θ > 0→

θp1 veya θp2

θ = θp2σx < σy →

τ

σ2θp2

y

12

θ = θp2

45o

σ1 σ2

P

σ2 σ1

x

Behcet DAĞHAN

(σy ,τyx)

(σ1 ,0)(σ2 ,0)

σx

σy


→


(σx ,– τxy)

tan 2θ = –––––––2 τxy

σx − σy

tan 2θ < 0σx < σy

τxy > 0→ θ < 0→

– 45o < θ < 0

θp1 veya θp2

θ = θp2σx < σy →

(σ − σm)2 + τ 2 = R2

(σ,τ)

(σx ,−τxy)

(σ1 ,0)(σ2 ,0)

(σm ,τmax)

(σy ,τyx)

(σm ,τmin)

τ

σ2θ

σ1 > 0

σ2 > 0

σ1

σ2

00000

00( (σ1 ≠ 0

σ2 ≠ 0

σ3 = 0

(σ3 ,0)


σ1 ≥ σ2


(σ,τ)

(σx ,− τxy)

(σ1 , 0)(σ2 , 0)

(σm , τmax)

(σy , τyx)

(σm , τmin)

τ

2θ

σ1 > 0

σ2 < 0

σ

(σ − σm)2 + τ 2 = R2

σ1 ≠ 0

σ2 ≠ 0

σ3 = 0

(σ3 , 0)

σ1

σ2

00000

00( (

σ1 ≥ σ2



σ

(σ,τ)

(σx ,− τxy)

(σ1 , 0)(σ2 , 0)

(σm ,τmax)

(σy , τyx)

(σm , τmin)

τ

2θ

σ1 < 0

σ2 < 0

(σ − σm)2 + τ 2 = R2

σ1 ≠ 0

σ2 ≠ 0

σ3 = 0

(σ3 , 0)

σ1

σ2

00000

00( (


σ1 ≥ σ2


x'

τx'y'

τ σθ

θ

y'

σx'

[σ − –– (σ1 + σ2)]2 + τ 2 = [–– (σ1 − σ2)]212

12

σ = –– (σ1 + σ2) + –– (σ1 − σ2) cos 2θ12

12

τ = 0 + –– (σ1 − σ2) sin 2θ12

σ1

σ2

1x

2 y

σx = σ1

τxy = 0

σy = σ2

(σ,τ)

(σ1 ,0)(σ2 ,0)

τ

σ

τx'y'

σx'

2θ

σx

σy


θ

x-y eksenleri, asal eksenler ile çakıştırılırsa:

n

σ1

T

φ


Behcet DAĞHAN

Tmax

σ1

θT

1

2

σ1

σ1

σ2

θ

σ2

σ2

σ2

φ

θ = 0φ = 0

σ1

σ2

σ2

θ = 90o

φ = 0

σ1

1

2

T σ

τ

Tmin

[σ − –– (σ1 + σ2)]2 + τ 2 = [–– (σ1 − σ2)]212

12

TmaxTmin

T 2 = σ 2 + τ 2

1

2

σ = T cosφ

τ = T sinφ

σ1

T

1

2

σ2

φ

σ

τ

θ = 90o

θ = –90o

Eksenler döndürüldükçe eğik gerilmenin değişimiAsal eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum

n

n

n

n

√ σ12 cos2 θ + σ2

2 sin2θcosφ = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––

σ1 cos2 θ + σ2 sin2θ

(σ1 ,0)(σ2 ,0)

τ

σ


θ > 0 θ = 0

θ = 90o

θ = –90o

θ = 180o

θ = –180o

θ = 90o

θ = –90o

θ = 45

o

θ = 135 o

θ = –45 o

θ = –

135

o

θ < 0θ = 0

Döndürülen yüzeyin normalinin asal eksenler ile yaptığı açının Mohr çemberi üzerindeki yerleri

(σm ,τmax)

(σm , τmin)

σ1

T


Behcet DAĞHAN

Tmax

σ1

σ2

θ

σ2

σ2

σ1

T σ

τ

T

θ

Tθ

θ = 0

θ = 90o

Tmax= σ1

θ = –90o

θ = 180o Tmax= σ1

Tmin = σ2

Tmin = σ2

T 2 = σ12 cos2 θ + σ2

2 sin2θ

T

Kutup

T

T

TmaxTmin

A

D

A

B

C

H

F

H

1

2

θ = 90o

θ = –90o

θ = –180o

E

F

G

D

B

C

E

G

θ = 90o

θ = –90o

θ = 0

σ1

σ2

σ2

σ11

2

Tmin

Tmax

σ1

σ2

σ2

σ1

2

Eksenler döndürüldükçe eğik gerilmenin değişimi

Polar koordinatlarda- T, ekstremum değerlerini etki ettiği yüzeye dik olduğu zaman almaktadır.- T, yüzeye dik olduğu zaman asal gerilme adını alır.- T, yüzeye dik olduğu zaman σ ya eşit olur.- σ, T nin dik bileşeni olduğu için T den büyük olamaz.Dolayısıyla:

- Asal gerilmeler normal gerilmedir.- Normal gerilmenin ekstremum değerleri asal gerilmedir.

n

n

n

- Asal gerilme doğrultuları birbirine diktir.- Gerilme hali iki eksenli olduğu zaman iki tane asal gerilme vardır. Üçüncüsü sıfırdır.

Gerilme invaryantları: ( 0 - selcuk.edu.tr Iki Eksenli Gerilme Hali 1... · σx σy τxy τyx x y...

Documents

Transcript of Gerilme invaryantları: ( 0 - selcuk.edu.tr Iki Eksenli Gerilme Hali 1... · σx σy τxy τyx x y...