Gerando o Numero Atrav es do Conjunto M de Mandelbrot · conjunto M. Foi quando descobriu uma outra...
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Gerando o N´ umero π Atrav´ es do Conjunto M de Mandelbrot Ana Maria Bertone Lara Barbosa * Faculdade de Matem´ atica, UFU, 38408-100, Uberlˆ andia, MG E-mail: [email protected] [email protected] RESUMO Palavras-chave: Teoria Fractal, Sistemas Dinˆ amicos, Softwares Livres Em 1991 um estudante da Universidade de Colorado (Denver- USA), Dave Boll, descobriu como podiam ser gerados os d´ ıgitos do n´ umero π atrav´ es de ´ orbitas do conjunto M, bem conhecido como o fractal de Mandelbrot. O descobrimento, que foi s´ o casual e publicado em [1], foi finalmente provado em 2001 por Aaron Klebanoff [3]. Neste trabalho apresentamos uma simula¸c˜ ao num´ erica do conjunto M eagera¸c˜ ao do n´ umero π a trav´ es da dinˆ amica do fractal de Mandelbrot [4]. As simula¸ c˜ oes num´ ericas foram feitas com c´ odigos criados pelos autores no software livre Octave e na linguagem C , este ´ ultimo com a colabora¸ c˜ ao do Prof. Dr. Rivalino Matias J´ unior da Faculdade de Computa¸c˜ ao da UFU. Este estudo confirma a rela¸c˜ ao do n´ umero π com o n´ umero de itera¸c˜ oes descobertas por Boll, at´ e a s´ etima casa decimal, e vai al´ em da literatura em mais duas casas decimais. Este trabalho ´ e parte de uma pesquisa em assuntos da Teoria Fractal, como trabalho de finaliza¸c˜ ao (TCC) do curso de Licenciatura em Matem´ atica. 1 O Conjunto M e o n´ umero π O famoso fractal de Mandelbrot ´ e constru´ ıdo no plano de Argand–Gauss a partir de uma itera¸c˜ ao dafun¸c˜ ao complexa f c (z )= z 2 + c, com c um n´ umero complexo dado. (1) O conjunto M ´ e constitu´ ıdo pelos pontos c complexos para os quais a ´ orbita gerada pelo sistema dinˆ amico z 0 = c, z n = f c (z n-1 ), ´ e convergente. Foi provado (veja [3], por exemplo) que a sequˆ encia {zn} n∈N , gerada por c no sistema dinˆ amico anterior, ser´ a divergente se existir n 0 tal que |z n 0 | > 2. A partir desta informa¸c˜ ao, foi criado um c´ odigo no software Octave que exibe o conjunto M. Este conjunto est´ a exibido na Figura 1, junto com sua fronteira, conhecido como o conjunto de Julia, devido ao matem´ atico francˆ es Gaston Maurice Julia. E qual a rela¸c˜ ao do n´ umero π com o conjunto M? O estudante D. Boll usou o n´ umero complexo c =(-0, 75,) na dinˆ amica do conjunto M, sendo ∈{1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, ···}, (2) para tentar provar que na vizinhan¸ca do n´ umero complexo (-0.75,0) n˜ ao existem pontos do conjunto M. Foi quando descobriu uma outra surprendente propriedade. * bolsista do PET-FAMAT-UFU 742
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Gerando o Numero πAtraves do Conjunto M de Mandelbrot
Ana Maria Bertone Lara Barbosa∗
Faculdade de Matematica, UFU,
38408-100, Uberlandia, MG
E-mail: [email protected] [email protected]
RESUMO
Palavras-chave: Teoria Fractal, Sistemas Dinamicos, Softwares Livres
Em 1991 um estudante da Universidade de Colorado (Denver- USA), Dave Boll, descobriucomo podiam ser gerados os dıgitos do numero π atraves de orbitas do conjunto M, bemconhecido como o fractal de Mandelbrot. O descobrimento, que foi so casual e publicado em [1],foi finalmente provado em 2001 por Aaron Klebanoff [3].
Neste trabalho apresentamos uma simulacao numerica do conjuntoM e a geracao do numeroπ a traves da dinamica do fractal de Mandelbrot [4]. As simulacoes numericas foram feitas comcodigos criados pelos autores no software livre Octave e na linguagem C, este ultimo com acolaboracao do Prof. Dr. Rivalino Matias Junior da Faculdade de Computacao da UFU.
Este estudo confirma a relacao do numero π com o numero de iteracoes descobertas por Boll,ate a setima casa decimal, e vai alem da literatura em mais duas casas decimais. Este trabalhoe parte de uma pesquisa em assuntos da Teoria Fractal, como trabalho de finalizacao (TCC) docurso de Licenciatura em Matematica.
1 O Conjunto M e o numero π
O famoso fractal de Mandelbrot e construıdo no plano de Argand–Gauss a partir de uma iteracaoda funcao complexa
fc(z) = z2 + c, com c um numero complexo dado. (1)
O conjuntoM e constituıdo pelos pontos c complexos para os quais a orbita gerada pelo sistemadinamico
z0 = c, zn = fc(zn−1),
e convergente. Foi provado (veja [3], por exemplo) que a sequencia {zn}n∈N, gerada por cno sistema dinamico anterior, sera divergente se existir n0 tal que |zn0 | > 2. A partir destainformacao, foi criado um codigo no software Octave que exibe o conjunto M. Este conjuntoesta exibido na Figura 1, junto com sua fronteira, conhecido como o conjunto de Julia, devidoao matematico frances Gaston Maurice Julia.
E qual a relacao do numero π com o conjunto M?O estudante D. Boll usou o numero complexo cε = (−0, 75, ε) na dinamica do conjunto M,
sendoε ∈ {1, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, · · · }, (2)
para tentar provar que na vizinhanca do numero complexo (-0.75,0) nao existem pontos doconjunto M. Foi quando descobriu uma outra surprendente propriedade.
∗bolsista do PET-FAMAT-UFU
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Figura 1: O conjunto de Mandelbrot. As regioes verdes e verdes claras representam os numerosc complexos para os quais a orbita gerada pelo sistema dinamico (1) e convergente. Os pontosem cor azul representam a fronteira do conjunto M. O ponto do “pescoco” do conjunto M e oponto relacionado com o numero π. Esta figura foi gerada por um codigo no software Octavecriado pelos autores deste estudo.
O menor natural n0 para o qual |zn| > 2, para todo n ≥ n0, e o numero que Boll tomou paraidentificar cada complexo da forma cε = (−0.75 + ε), ε > 0 de uma vizinhanca de (−0.75, 0),cuja orbita deixa a area de convergencia a partir de n0. A propriedade que Boll notou e que n0obtido dessa forma multiplicado pelo ε correspondente, da como resultado uma aproximacao donumero π, como mostramos na secao 2.
2 Resultados
Foram criados tres codigos: um na linguagem do Octave para geracao do fractal de Mandelbrote outro na mesma linguagem para recriar a dinamica do Boll. Nao ha registros de qual foi ametodologia usada por ele para obtencao da sua descoberta. O terceiro foi criago na linguagemC para obter resultados que nao aparecem na literatura (veja [2]).
O Octave teve dificuldades para calcular a oitava casa decimal do numero π via o conjuntoM, que era, em princıpio, o objetivo desse estudo. Na tentativa de obter pelo menos mais umacasa decimal do numero π, foi usado um computador de alto poder do laboratorio da FACOM,gentilmente cedido pelo Prof. Dr. Rivalino, observando-se que o resultado dava errado. Foi entaonotado que o problema nao era de hardware mas proveniente da propria estrutura do softwareOctave. Traduzido o codigo feito em Octave para a linguagem C o resultado foi surprendente emtermos de correcao e tempo de execucao. De fato, de oito horas de execucao usadas pelo Octavepara chegar a reposta incorreta no computador de alto poder, o codigo traduzido a linguagem Cem um computador normal demorou apenas 10 segundos. Este resultado impressionante podeser apreciado na Figura 2. Na mesma figura sao mostrados os dois resultados correspondentesas casas decimais 8 e 9 do numero π.
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Figura 2: O resultado na linguagem C do “contador” (numero de iteracoes para que aorbita do complexo cε deixe a circunferencia de raio 2) para os valores de ε1 = 0.00000001e ε2 = 0.000000081. O tempo de execucao nos dois casos e do numero “user” que aparece nastelas. Observe que se multiplicarmos o numero ε1 pelo numero que aparece na tela a esquerda,314159266, isto e uma aproximacao do numero π com 8 casas decimais.
No codigo de Octave o resultado do contador ate a setima casa decimal do numero π emostrado no prompt do Octave da seguinte maneira (na forma verbatim do latex)
contador =
Columns 1 through 7
3 33 315 3143 31417 314160 3141593
Column 8
31415927
3 Conclusoes
A fascinante teoria dos fractais nunca nos deixa de nos surpreender. Uma forma de achar ascasas decimais do numero π atraves do fractal de Mandelbrot e mais que um “achado”, umacoincidencia que anima qualquer estudo sobre o assunto. Nosso objetivo foi de entender essefenomeno, construindo um algoritmo em um ambiente “livre”, do software Octave. Os resultadossurpreendentes do David Boll sao comprovados ate o dıgito 7, como aparece na literatura e comuma versao traduzida a linguagem C desse mesmo codigo, foram atingidos os valores de maisduas casas decimais. A falha do Octave na resposta correspondente ao oitavo dıgito, alem dotempo consumido na obtencao da resposta, mostrou suas limitacoes na resolucao de problemasenvolvendo iteracoes bilhonarias. Tambem mostra que a simplicidade e rapidez da linguagem Cfaz dela uma ferramenta poderosa no estudo de problemas deste tipo.
4 Agradecimentos
Os autores agradecem ao Prof. Dr. Rivalino Matias Junior da Faculdade de Computacao daUFU pela invaloravel colaboracao, cedendo gentilmente seu laboratorio e super computador,assim como seu tempo e disposicao na traducao do codigo em Octave para a linguagem C. Semsua intervencao, a conclusao deste estudo nao teria sido concretizada.
Referencias
[1] D. Boll, Pi and the Mandelbrot set, https://groups.google.com/forum/?hl=en&fromgroups#!topic/sci.math/jHYDf-Tm0-8(ultima visita 15 de junho de 2013).
[2] Edgar, G., Pi and the Mandelbrot set, http://www.math.ohio-state.edu/ edgar/piand.html
[3] Klebanoff, Aaron, π in the Mandelbrot set, Boston Academic Press Professional, 2001.
[4] Mandelbrot, Benoit B., The Fractal Geometry of Nature, New York W. H. Freeman andCo., 1982.
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