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1.1

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

PROVE TRIASSIALIPROVE TRIASSIALI

1.2

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Tipologie di provaTipologie di prova1

2

3

1

3

3

1

2

1

1

1

1

Compressionetriasiale vera

Stato piano di compressione

Compressione isotropa

Compressione cilindrica(triassiale)

Compressione semplice

1.3

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Tensore della tensioneTensore della tensione

=

=

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

z

y

x

jjii

nnn

ttt

nt

y

z

x

tr

nr

Tetraedro di Cauchy

1.4

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Tensioni principaliTensioni principali

2

3

1

Stato tensionale piano

Stato tensionale isotropo

Stato tensionale assialsimmetrico

1.5

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Convenzioni di segno per le tensioniConvenzioni di segno per le tensioni

y

z

x

yyz

yxxyxz

x

zyz

zx

y

z

x

yyz

yxxyxz

x

zyz

zx

Meccanica dei solidi Meccanica dei terreni

1.6

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Invarianti del tensore delle tensioniInvarianti del tensore delle tensioni

( ) ( )[ ]

3213

13322122

2

3211

det

21

==

++===

++===

I

trtrI

trI

ijijjjii

ii

1.7

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Decomposizione del tensore della tensioneDecomposizione del tensore della tensione

+

=

pp

p

pp

p

zyzxz

zyyxy

zxyxx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

000000

331 1Ip ii ==

ijijij sp +=

tensore dellapressione media

deviatore di tensione

Pressione media

1.8

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Tensione ottaedrica (1)Tensione ottaedrica (1)

( )( )( )

=

=

333

313131

00

0000

3

2

1

3

2

1

zoct

yoct

xoct

ttt

2

3

1,3

1,3

1nr

3

1

octtr

oct

oct

( )32131 ++== ntoctoct

rr

222octoctoct tr

=+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2132322212321232221 31

91

31 ++=++++=oct

1.9

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Tensione ottaedrica (2)Tensione ottaedrica (2)

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 031

31

31

222

321

=++=

++=++=

pppppp

ppp

oct

oct

Per il tensore della pressione media:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )213232221

321

31

031

++=

=++=

oct

oct ppp

Per il deviatore delle tensioni:

oct controllata dalla componente isotropa del tensore delle tensioneoct controllata dalla componente isotropa del tensore delle tensione

1.10

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Tensione ottaedrica (3)Tensione ottaedrica (3)

( )

221133221

23

22

21

1321

332

32

331

II

I

oct

oct

=++=

=++=

Le tensioni ottaedriche sono invarianti di tensione

( )

( ) ( ) ( )213232221

321

21

23

31

++==

++==

oct

oct

q

p

Possiamo introdurre altri due invarianti di tensione legati alle tensioni ottaedriche:

1.11

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Stati di tensione assialsimmetrici Stati di tensione assialsimmetrici

q

3+

p,p

3+

3+

3 3+ 3 3+

uw=cost.

uw.

q

3

p,p

3+

3

3 3+/3 3 3+/3

uw=cost.

uw.

( )

( )

qq

upp

p

w

===

+=+=

+=

3131

31

31

'''

'231

'2'31'

1.12

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

CerchioCerchio di Mohrdi Mohry

xyx

yx

y

x

n

n

(x,xy)

n

n

(y,yx)

(y,yx)

P=polo

n positiva se suggerisce rotazioneantioraria

1.13

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

StatiStati tensionalitensionali pianipiani

13 ,

13

u

2

2

2'''

2'''

31

31

31

31

=

+=

=

+=

t

s

t

s (raggio)

(centro)

''ttuss

=+=

t

s

1.14

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

TensoreTensore delladella deformazionedeformazione

=

=

zyx

sss

xs

zyzxz

zyyxy

zxyxx

z

y

x

jjii

21

21

21

21

21

21

y

z

x

sr

xr

1.15

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

InvariantiInvarianti di di deformazionedeformazione

( ) ( )[ ]

3213

13322122

2

3211

det

21

==

++===

++===

I

trtrI

trI

ijijjjii

ii

1.16

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Decomposizione del tensore della Decomposizione del tensore della deformazionedeformazione

+

=

321

21

21

321

21

21

3

300

03

0

003

21

21

21

21

21

21

vzyzxz

zyv

yxy

zxyxv

x

v

v

v

zyzxz

zyyxy

zxyxx

1Iiiv ==

ijijv

ij e+= 3

tensore isotropo deviatore di deformazione(distorsione)

Deformazione volumetrica

1.17

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Deformazione ottaedrica (1)Deformazione ottaedrica (1)

( )( )( )

=

=

333

313131

00

0000

3

2

1

3

2

1

zoct

yoct

xoct

sss

2

3

1,3

1,3

1nr3

1

octsr

oct

(1/2)oct

( )321311 ++== nsoctoct

rr

222

4111 octoctoct s

r=

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2132322212321232221 32

91

312 ++=++++=oct

31,

31,

31xr

1.18

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Deformazione ottaedrica (2)Deformazione ottaedrica (2)

( )

03333333

2

31

33331

222

321

=

+

+

=

++=

++=

vvvvvvoct

vvvoct

Per il tensore della deformazione media:

( ) ( ) ( )213232221

321

32

03333

1

++=

=

+

+

=

oct

vvvoct

Per il deviatore della deformazione:

oct controllata dalla componente isotropa del tensore delle deformazionioct controllata dalla componente isotropa del tensore delle deformazioni

1.19

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Deformazione ottaedrica (3)Deformazione ottaedrica (3)

( )

221133221

23

22

21

1321

33

223

2233

1

II

I

oct

oct

=++=

=++=

Le deformazioni ottaedriche sono invarianti di deformazione

( ) ( ) ( )213232221

321

32

21

3

++==

++==

octq

octv

Possiamo introdurre altri due invarianti di tensione legati alle tensioni ottaedriche:

1.20

Universit degli Studi di Trento - Facolt di IngegneriaGeotecnica A / Geotecnica B (Dr. A Tarantino)

Lavoro di deformazione (terr