Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015

14
Γεωμετρία Α΄ Λυκείου Επαναληπτικά Θέματα (προσομοίωσης Εξετάσεων) Ο.Ε.Φ.Ε. 2014-2015 Επιμέλεια : Χρήστος Κ.Λοΐζος Μαθηματικός https://liveyourmaths.wordpress.com/

Transcript of Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015

Page 1: Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015

Γεωμετρία Α΄ Λυκείου

Επαναληπτικά Θέματα (προσομοίωσης Εξετάσεων)

Ο.Ε.Φ.Ε. 2014-2015

Επιμέλεια : Χρήστος Κ.Λοΐζος Μαθηματικός

https://liveyourmaths.wordpress.com/

Page 2: Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 Ε_3.Γλ1(ε)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 3

ΤΑΞΗ: Α΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Ηµεροµηνία: Κυριακή 13 Απριλίου 2014

∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. ∆είξτε ότι τα εφαπτόµενα τµήµατα κύκλου (Ο, ρ), που άγονται από σηµείο Ρ εκτός αυτού, είναι ίσα µεταξύ τους.

Μονάδες 15

Α2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας,

δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη.

α) Αν δύο ευθείες, τεµνόµενες από τρίτη ευθεία σχηµατίζουν δύο εντός και επί τα αυτά µέρη γωνίες παραπληρωµατικές τότε είναι παράλληλες.

β) Οι τρεις µεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται υποχρεωτικά από το ίδιο σηµείο το οποίο λέγεται περίκεντρο του τριγώνου.

γ) Η γωνία που σχηµατίζεται από µία χορδή κύκλου και την εφαπτοµένη στο άκρο της χορδής ισούται µε την επίκεντρη που βαίνει στο τόξο της χορδής.

Μονάδες 6

Α3. Να επιλέξτε την σωστή απάντηση στις παρακάτω προτάσεις και να σηµειώστε στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση το γράµµα της σωστής απάντησης.

α) Για την διάκεντρο δύο τεµνόµενων κύκλων ισχύει:

i. Είναι πάντοτε µεσοκάθετη της κοινής χορδής.

ii. Έχει πάντοτε µεσοκάθετη την κοινή χορδή.

iii. Είναι ίση µε το άθροισµα των ακτίνων των κύκλων.

β) Ένα τετράπλευρο είναι πάντοτε εγγράψιµο αν:

i. Έχει δύο απέναντι γωνίες ίσες.

ii. Έχει δύο απέναντι γωνίες παραπληρωµατικές.

Page 3: Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 Ε_3.Γλ1(ε)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 3

iii. Οι απέναντι πλευρές έχουν σταθερό άθροισµα.

Μονάδες 4

ΘΕΜΑ Β

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ). Στη προέκταση της βάσης ΒΓ προς το Β παίρνουµε τµήµα Β∆ και στη προέκταση της ίδιας βάσης προς το Γ παίρνουµε τµήµα

ΓΕ ώστε Β∆=ΓΕ.

Β1. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο Α∆Ε είναι ισοσκελές.

Μονάδες 9

Β2. Να δειχθεί ότι οι αποστάσεις ΒΖ και ΓΗ των κορυφών Β και Γ από τις πλευρές Α∆ και ΑΕ αντίστοιχα, είναι ίσες.

Μονάδες 9

Β3. Αν οι ευθείες ΒΖ, ΓΗ τέµνονται στο Μ, να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές.

Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Γ

Σε ορθογώνιο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ η διαγώνιος ΑΓ είναι διπλάσια από την πλευρά Α∆. Αν Ο είναι το κέντρο του ορθογωνίου, Μ το µέσο της πλευράς Γ∆ και Θ

το σηµείο τοµής των ΑΜ και Β∆ και ΘΟ = α, όπου α γνωστό τµήµα, τότε:

Γ1. ∆είξτε ότι ∧

∆ΑΓ=600 και υπολογίστε τις γωνίες του τριγώνου ΑΟ∆.

Μονάδες 9

Γ2. ∆είξτε ότι το Θ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου Α∆Γ και να υπολογίστε σαν συνάρτηση του α τα τµήµατα: Θ∆, ΑΓ, Α∆.

Μονάδες 8

Γ3. Αν Ν µέσο της πλευράς ΒΓ τότε δείξτε ότι το τετράπλευρο ΒΝΜ∆ είναι

τραπέζιο µε διάµεσο ίση µε 9

2

α

.

Μονάδες 8

Page 4: Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 Ε_3.Γλ1(ε)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 3 ΑΠΟ 3

ΘΕΜΑ ∆

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ∆

ΑΒΓ (ΑΒ<ΑΓ), Α∆ διχοτόµος της γωνίας ∧

Α και Μ µέσο της

πλευράς ΒΓ. Φέρνουµε την ΒΕ⊥Α∆, η οποία τέµνει την ΑΓ στο σηµείο Ζ και από το Ζ τη ΖΘ⊥ΒΓ και από το Γ την ΓΚ⊥Α∆, που τέµνει την ΑΒ στο Λ.

∆1. ∆είξτε ότι το Ε είναι µέσο της ΒΖ και ότι το τρίγωνο ∆

ΒΕΘ είναι ισοσκελές.

Μονάδες 6

∆2. Αν ΑΗ το ύψος του τριγώνου ∆

ΑΒΓ τότε δείξτε ότι το τετράπλευρο ΑΒΗΕ

είναι εγγράψιµο

Μονάδες 6

∆3. ∆είξτε ότι ΖΓ = ΒΛ. Μονάδες 6

∆4. ∆είξτε ότι το τρίγωνο EMK

είναι ισοσκελές και ότι η γωνία EMK

είναι

παραπληρωµατική της γωνίας Α.

Μονάδες 7

Page 5: Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.Γλ1(ε)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 2

ΤΑΞΗ: Α΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Ηµεροµηνία: Τετάρτη 15 Απριλίου 2015 ∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Να αποδείξετε ότι τα εφαπτόµενα τµήµατα κύκλου που άγονται από σηµείο εκτός αυτού είναι ίσα µεταξύ τους.

Μονάδες 9 Α2. Τι ονοµάζουµε ισοσκελές τραπέζιο;

Μονάδες 6 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό

σας τη λέξη "Σωστό", αν η πρόταση είναι σωστή, και "Λάθος", αν η πρόταση είναι λάθος, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν δύο τρίγωνα έχουν από δύο πλευρές και µία γωνία µία προς µία ίσες τότε είναι πάντοτε ίσα.

Σ Λβ. ∆ύο γωνίες που έχουν τις πλευρές τους κάθετες είναι πάντα ίσες.

Σ Λ

γ. Ένα παραλληλόγραµµο µε διαγώνιες ίσες και κάθετες είναι τετράγωνο. Σ Λ

δ. ∆ύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά, αν ισχύει Rδ ρ= − ,όπου δ διάκεντρος και R, ρ ακτίνες των κύκλων µε R > ρ.

Σ Λε. Αν δύο απέναντι γωνίες ενός τετραπλεύρου είναι παραπληρωµατικές, τότε αυτό είναι εγγράψιµο σε κύκλο.

Σ Λ

Μονάδες 10

Page 6: Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.Γλ1(ε)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 2

ΘΕΜΑ Β

∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ( )ΑΒΓ ΑΒ = ΑΓ . Αν οι διχοτόµοι Β∆ και ΓΕ τέµνονται στο σηµείο Μ, να δείξετε ότι:

Β1. Το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές. Μονάδες 10

Β2. ΜΕ = Μ∆ και ΑΕ = Α∆.

Μονάδες 15

ΘΕΜΑ Γ

Έστω ΑΒΓ∆ παραλληλόγραµµο µε ˆ ˆA > ∆ .Η διχοτόµος της γωνίας ∆ τέµνει την ΑΒ στο µέσο της Ε. Από το Ε φέρουµε ΕΖ κάθετη στην Γ∆.

Γ1. Να δείξετε ότι το τρίγωνο Α∆Ε είναι ισοσκελές. Μονάδες 9

Γ2. Να δείξετε ότι ΑΒ=2ΒΓ. Μονάδες 8

Γ3. Αν επιπλέον ˆ ˆ2Α = ∆ , να αποδείξετε ότι ∆Ε=2ΕΖ .

Μονάδες 8

ΘΕΜΑ ∆

Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( ˆ 90A = ° ) µε ΑΒ< ΑΓ φέρουµε το ύψος του Α∆ και την διχοτόµο της γωνίας ˆ∆ΑΒ που τέµνει την ΒΓ στο Ε. H διχοτόµος της γωνίας Γ τέµνει τις Α∆, ΑΕ, ΑΒ στα σηµεία Ζ, Κ, Λ αντίστοιχα.

∆1. Να δείξετε ότι ΓΚ ⊥ ΑΕ .

Μονάδες 6 ∆2. Να δείξετε ότι ΕΖ ΑΒ .

Μονάδες 6 ∆3. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΕΛΑ είναι ρόµβος.

Μονάδες 7 ∆4. Αν επιπλέον η παράλληλη από το Κ στην ΑΒ τέµνει την ΑΖ στο Ν, να δείξετε

ότι 2

ΕΛΝΚ = .

Μονάδες 6

Page 7: Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015

Ενδεικτικές λύσεις στην Γεωμετρία Α’ Λυκείου για τα έτη 2014-2015, χωρίς λογότυπα. Οι λύσεις, είναι από την

ίδια την Ο.Ε.Φ.Ε.

https://liveyourmaths.wordpress.com/

Page 8: Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 Ε_3.Γλ1(α)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 3

ΤΑΞΗ: Α΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Ηµεροµηνία: Κυριακή 13 Απριλίου 2014

∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Παρ. 3.5 σελ. 62, Θεώρηµα II

Α2. α) Σωστό, β) Σωστό, γ) Λάθος. A3. α. i, β. ii

ΘΕΜΑ Β

Β1. Αφού ∆Β = ΓΕ, ΑΒ = ΑΓ, ∧ ∧

ΑΒ∆ = ΑΓΕ , (σαν παραπληρωµατικές των

προσκείµενων στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, ίσων γωνιών Β και Γ)

θα είναι ∆ ∆

ΑΒ∆ = ΑΓΕ οπότε Α∆ = ΑΕ, δηλαδή ∆

Α∆Ε ισοσκελές.

Β2. Έχουµε ∆Β = ΓΕ, 90 και ο

∧ ∧ ∧ ∧

Ζ = Η = ∆ = Ε (προσκείµενες στη βάση του

ισοσκελούς τριγώνου Α∆Ε). Άρα Z

∆ ∆

∆Β = ΓΕΗ οπότε ΒΖ=ΓΗ.

Α

Ζ

Β ∆

Μ

Γ Ε

Η

Page 9: Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 Ε_3.Γλ1(α)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 3

Β3. Έχουµε ∧ ∧

ΜΒΓ =ΜΓΒ , σαν κατακορυφήν των ίσων γωνιών ∆ΒΖ και ΕΓΗ των

ίσων τριγώνων του προηγούµενου ερωτήµατος, οπότε το τρίγωνο ΒΓΜ είναι ισοσκελές.

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. Είναι ΑΓ = 2Α∆ και ∆

ΑΓ∆ ορθογώνιο στο ∆, οπότε 30ο

ΑΓ∆ = και

90 60ο ο

∧ ∧

∆ΑΓ = − ΑΓ∆ = .

Είναι 1

2ΑΟ = ΑΓ =Α∆. Αφού διχοτοµούνται και είναι ίσες οι διαγώνιες του

ορθογωνίου θα έχουµε 1 1

2 2∆Ο = ⋅∆Β = ⋅ΑΓ = Α∆ .

Άρα το τρίγωνο είναι ισόπλευρο,ΑΟ∆ δηλαδή οι γωνίες του είναι 60ο

η κάθε

µία.

Γ2. Είναι ∆Ο διάµεσος του ∆

Α∆Γ και ΑΜ διάµεσος του ∆

Α∆Γ , οπότε Θ βαρύκεντρο

του ΑΒΓ.

Άρα ∆Θ= 2 ⋅ΘΟ =2α.

και 3 3 οπότε 2 6α α∆Ο = ΘΟ = Β∆ = ∆Ο = = ΑΓ (διότι οι διαγώνιες ορθογωνίου είναι ίσες).

Όµως 1 1

6 32 2

α αΑ∆ = ΑΓ = = .

Γ3. Αφού Μ µέσο ∆Γ και Ν µέσο ΓΒ θα είναι ΜΝ//Β∆ δηλαδή ΒΝΜ∆ τραπέζιο

µε διάµεσο 6 3 9

2 2 2

α α αδ

Β∆ +ΜΝ += = = αφού το τµήµα ΜΝ είναι το µισό της

Β∆.

Α

Β

Θ

Μ

Ο Ν

Γ

Page 10: Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 Ε_3.Γλ1(α)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 3 ΑΠΟ 3

ΘΕΜΑ ∆

∆1. Αφού ΑΕ είναι διχοτόµος και ύψος στο ∆

ΑΒΖ θα είναι ∆

ΑΒΖ ισοσκελές και ΑΕ

διάµεσος, δηλαδή Ε µέσο του ΒΖ και ΒΕ = ΕΖ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ∆

ΖΘΒ

η ΘΕ είναι διάµεσος στην υποτείνουσα ΒΖ, άρα 2

ΒΖΕΘ = = ΒΕ , οπότε το

τρίγωνο ΒΕΘ είναι ισοσκελές.

∆2. Το τετράπλευρο ΑΒΗΕ είναι εγγράψιµο αφού η πλευρά ΑΒ φαίνεται από τις

κορυφές Η και Ε µε ίσες γωνίες 90ο

∧ ∧

ΒΗΑ = ΒΕΑ = .

∆3. Τα τρίγωνα ∆

ΑΒΖ και ∆

ΑΛΓ είναι ισοσκελή αφού η διχοτόµος της γωνίας Α

ταυτίζεται µε τα αντίστοιχα ύψη τους. Άρα ΑΒ = ΑΖ και ΑΛ = ΑΓ οπότε αφαιρώντας τις ισότητες κατά µέλη προκύπτει ΒΛ = ΖΓ.

∆4. Τα Ε και Μ είναι µέσα των πλευρών ΒΖ και ΒΓ του τριγώνου ΒΖΓ οπότε

ΕΜ = / /2

ΖΓ και τα Μ και Κ είναι µέσα των πλευρών ΒΓ και ΛΓ του τριγώνου

ΓΒΛ οπότε ΜΚ = //2

ΒΛ. Αφού ΒΛ = ΓΖ θα είναι και ΕΜ = ΜΚ, δηλαδή το

τρίγωνο ΕΜΚ είναι ισοσκελές και από τις προηγούµενες παραλληλίες έχουµε ∧ ∧

ΕΜ∆ = Γ (εντός – εκτός και επί τα αυτά µέρη) και ∧ ∧

ΒΜΚ = Β (εντός εναλλάξ),

οπότε 180ο

∧ ∧ ∧ ∧

ΕΜΚ = Γ+Β = − Α .

Page 11: Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.Γλ1(α)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 1 ΑΠΟ 4

ΤΑΞΗ: Α΄ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Ηµεροµηνία: Τετάρτη 15 Απριλίου 2015 ∆ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Βλέπε απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 62, Θεώρηµα II.

Α2. Βλέπε ορισµό σχολικού βιβλίου σελίδα 113.

Α3. α.→Λ, β.→Λ, γ.→Σ, δ.→Λ, ε.→Σ

ΘΕΜΑ Β

Page 12: Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.Γλ1(α)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 2 ΑΠΟ 4

Β1. Επειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές ισχύει:

ˆ ˆΒ = Γ (1).Επίσης 1 2

ˆˆ ˆ

2

ΒΒ = Β = και 1 2

ˆˆ ˆ

2

ΓΓ = Γ = .

Άρα (1)

1 1

ˆ ˆˆ ˆ

2 2

Β ΓΒ = = = Γ .

Οπότε ΜΓ =ΜΒ και έτσι το τρίγωνο ΒΜΓ είναι ισοσκελές.

Β2. Συγκρίνουµε τα τρίγωνα ΒΜΕ και ΓΜ∆. Αυτά έχουν: ΜΒ = ΜΓ (λόγω Β1.)

ˆ ˆΒΜΕ = ΓΜ∆ (ως κατακορυφήν)

2 2ˆ ˆΒ = Γ Από το κριτήριο Γ–Π–Γ τα τρίγωνα είναι ίσα. Οπότε και τα υπόλοιπα κύρια στοιχεία τους είναι ίσα. Άρα ΜΕ = Μ∆ και ΒΕ = Γ∆ (2).Όµως ΑΒ = ΑΓ (3). Αφαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (3) και (2) έχουµε

ΑΒ−ΒΕ = ΑΓ −Γ∆⇔ ΑΕ = Α∆ .

ΘΕΜΑ Γ

Γ1. Γνωρίζουµε από υπόθεση ότι 1 2

ˆˆ ˆ

2

∆∆ = ∆ = . (1)

Επίσης ισχύει 2ˆ ˆ∆ = ΑΕ∆ (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ΑΒ και Γ∆ µε

τέµνουσα τη ∆Ε ). (2) Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε ότι 1

ˆ ˆ∆ = ΑΕ∆ . Άρα Α∆ = ΑΕ , οπότε το τρίγωνο Α∆Ε είναι ισοσκελές.

Page 13: Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.Γλ1(α)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 3 ΑΠΟ 4

Γ2. Από το ερώτηµα Γ1 ισχύει Α∆ = ΑΕ . Στο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ ισχύει ότι Α∆ = ΒΓ . Άρα ΑΕ = ΒΓ .

Όµως το Ε είναι µέσο της ΑΒ οπότε ισχύει 2

ΑΒΑΕ = .

Εντέλει 22

ΑΒΒΓ = ⇔ ΑΒ = ΒΓ .

Γ3. Στο παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ ισχύει: ˆ ˆ 180Α+ ∆ = °

Όµως ˆ ˆ2Α = ∆ ⇔ ˆ ˆ3 180 60∆ = °⇔ ∆ = ° .Άρα 2

ˆˆ 30

2

∆∆ = = ° .

Έτσι στο ορθογώνιο τρίγωνο ∆ΕΖ ισχύει ότι 22

∆ΕΕΖ = ⇔ ∆Ε = ΕΖ .

ΘΕΜΑ ∆

Page 14: Geometry a lykeiou_themata_lyseis_2014_2015

ΟΜΟΣΠΟΝ∆ΙΑ ΕΚΠΑΙ∆ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ∆ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β΄ ΦΑΣΗ

Ε_3.Γλ1(α)

ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ∆ΑΣ ΣΕΛΙ∆Α: 4 ΑΠΟ 4

∆1.

• Γνωρίζουµε από υπόθεση ότι: 1 2

ˆˆ ˆ

2

ΓΓ = Γ = (1) και 1 2

ˆˆ ˆ

2

∆ΑΒΑ = Α = (2)

• Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: ˆ ˆ90οΓ = −Β (3). • Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒ∆ ισχύει: ˆ ˆ90∆ΑΒ = −Β

(4).

Από τις σχέσεις (1),(2),(3),(4) έχουµε: 1 2 1 2

ˆˆ ˆ ˆ ˆ

2

ΓΑ = Α = Γ = Γ = (5).

• Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΓΖ∆ ισχύει:(5)

2ˆ ˆ90 90

2

ΓΓΖ∆ = − Γ = −

.

Όµως ˆ ˆΓΖ∆ = ΑΖΚ (ως κατακορυφήν).

Άρα ˆ

ˆ 902

ΓΑΖΚ = −

.

Έτσι στο τρίγωνο ˆΑΖΚ ισχύει: 1

ˆ ˆˆ ˆ 90 90

2 2

Γ ΓΑ + ΑΖΚ = + − =

Οπότε ˆ 90ΑΚΖ = .Ώστε ΓΚ ⊥ ΑΕ .

∆2. Στο τρίγωνο ΑΓΕ ισχύει ότι τα ΑΚ,Α∆ είναι ύψη του. Οπότε το σηµείο Ζ είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου. Έτσι η ΕΖ είναι ο φορέας του τρίτου ύψους του. Άρα ΕΖ ⊥ ΑΓ .Όµως ΑΒ ⊥ ΑΓ και έτσι ΕΖ ΑΒ .

∆3. Εφόσον η ΓΚ είναι ύψος και διχοτόµος του τριγώνου ΑΓΕ, το τρίγωνο ΑΓΕ είναι ισοσκελές και έτσι η ΓΚ είναι διάµεσος. Άρα το Κ είναι µέσο της ΑΕ. Οµοίως η ΑΚ είναι ύψος και διχοτόµος του τριγώνου ΑΖΛ. Οπότε το τρίγωνο ΑΖΛ είναι ισοσκελές. Έτσι το Κ είναι µέσο της ΖΛ. Άρα οι διαγώνιοι του τετραπλεύρου ΖΕΛΑ διχοτοµούνται και λόγω του ερωτήµατος ∆1 είναι κάθετες. Ώστε το τετράπλευρο ΖΕΛΑ είναι ρόµβος.

∆4. Στο τρίγωνο ΑΖΛ το Κ είναι το µέσο της ΖΛ και ισχύει ΚΝ ΑΛ .

Άρα το Ν είναι µέσο της ΑΖ. Έτσι ΚΝ =2 2

ΑΛ ΕΛ= .

Εναλλακτικά στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΚΖ, η ΚΝ είναι διάµεσος.

Οπότε ΚΝ =AZ

2 2

ΕΛ= .