Geometrie Begriffe und Formeln Ebene Geo · PDF fileBezeichnungen: A, B, C Eckpunkte a, b, c...

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  • Ebene Geometrie Formeln und Begriffe

    MMag. Martina Greiler-Zauchner 1

    Geometrie Begriffe und Formeln

    Geometrie setzt sich aus den beiden griechischen Wrtern geo (Erde) und metrein (messen) zu-sammen, bedeutet ursprnglich Erdvermessen. Alle Gegenstnde unseres Universums sind dreidi-mensionale Krper. Krper werden durch Flchen begrenzt; Flchen stoen in Kanten aufeinander, welche durch gerade oder gekrmmte Linien gebildet werden; Kanten laufen in Ecken (= Punkte) zusammen.

    Ebene Geometrie

    Grundbegriffe Grundbegriffe der ebenen Geometrie sind ein Punkt, eine Gerade und eine Ebene. Diese Begriffe Punkt, Gerade und Ebene werden nicht definiert, es werden grundlegende Stze (Axiome) angegeben, die diese Begriffe zuei-nander in Beziehung setzen. Strahl (oder auch Halbgerade): Ein Strahl ist ein einseitig begrenztes Geradenstck, er be-sitzt einen Anfangspunkt P.

    Strecke: Eine Strecke ist ein zweiseitig be-grenztes Geradenstck, sie hat zwei Endpunk-te. AB bezeichnet die Strecke mit den End-punkten A und B, bezeichnet ihre Lnge.

    Parallele Geraden: Zwei Geraden g und h hei-en parallel, wenn sie keinen Punkt gemein-sam haben oder zusammenfallen. Man schreibt g || h. Flcheninhalt: Der Flcheninhalt A ist ein Ma fr die Gre einer Flche. Der Flcheninhalt A wird oft Flche A genannt. Das Formelzei-chen A leitet sich vom Lateinischen "area" ab und bedeutet Grundflche. Die Einheiten ei-ner Flche sind z.B. m, cm, mm etc. 1 Quadratzentimeter ist der Flcheninhalt eines Quadrates mit der Seitenlnge 1 cm. 1 Quadratdezimeter ist der Flcheninhalt ei-nes Quadrates mit der Seitenlnge 1 dm. 1 Quadratmeter ist der Flcheninhalt eines Quadrates mit der Seitenlnge 1 m. Usw Rechtwinkeliges (kartesisches) Koordinaten-system: Ein rechtwinkliges Koordinatensys-tem besteht aus zwei Geraden, die aufeinan-der normal stehen. Die horizontal liegende Gerade wird als x-Achse oder auch

    als Abszisse (vom lateinischen Wort abscisus = abgebrochen) bzw. als 1. Koordinatenachse bezeichnet. Die senkrecht liegende Gerade wird als y-Achse oder auch als Ordinate (vom lateinischen Wort ordinatus = geordnet) bzw. als 2. Koordinatenachse bezeichnet.

    Winkel: Zwei Strahlen mit gemeinsamen An-fangspunkt S bestimmen einen Winkel. Die beiden Strahlen heien Schenkel, S heit Scheitel des Winkels. Bezeichnung: CAB oder durch griechische Kleinbuchstaben: , , ...

    Winkelpaare:

    Es gilt: Nebenwinkel betragen zusammen 180. Scheitelwinkel sind gleich gro. Parallelwinkel: Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise parallel sind, nennt man Parallel-

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    winkel.

    Normalwinkel: Zwei Winkel, deren Schenkel paarweise aufeinander normal stehen heien Normalwinkel.

    Es gilt: Parallelwinkel und Normalwinkel sind gleich gro oder supplementr. Komplementrwinkel betragen zusammen 90. Supplementrwinkel betragen zusammen 180. Kongruenzabbildung: Unter ei-ner Kongruenzabbildung versteht man ei-ne geometrische Abbildung, bei der Form und Gre von beliebigen geometrischen Figuren nicht verndert werden, das heit jede Figur wird dabei auf eine zu ihr kongruente (=deckungsgleich) abgebildet. Es gibt folgende Kongruenzabbildungen: Achsenspiegelung

    Drehung

    Punktspiegelung (Drehwinkel = 180)

    Parallelverschiebung oder Translation

    Schubspiegelung: Schubspiegelungen setzen sich aus einer Verschiebung und einer Achsen-spiegelung zusammen. Die Reihenfolge ist dabei egal.

    Symmetrie Eine ebene Figur heit symmetrisch, wenn es eine nichtidentische Kongruenzabbildung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird Eine Figur heit achsensymmetrisch, wenn es eine Achsenspiegelung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird. Die Gerade heit Symmetrieachse oder Spiegelungsachse.

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    Eine Figur heit punktsymmetrisch oder zent-ralsymmetrisch, wenn es eine Punktspiege-lung an einem Punkt Z gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird.

    Eine Figur heit drehsymmetrisch, wenn es eine Drehung um einen Punkt Z mit einem Drehwinkel 360 gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird.

    Eine Figur heit verschiebungssymmetrisch, wenn es eine Verschiebung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird.

    Eine Figur heit schubspiegelsymmetrisch, wenn es eine Schubspiegelung gibt, bei der die Figur auf sich selbst abgebildet wird.

    Das Dreieck Allgemeines Dreieck

    Bezeichnungen: A, B, C Eckpunkte a, b, c Seiten , , Innenwinkel 1, 1, 1 Auenwinkel Fr jedes Dreieck gilt: Dreiecksungleichungen: Die Summe zweier Seiten ist immer grer als die dritte: a + b > c b + c > a a + c > b Winkelsummensatz: Die Summe der Innenwinkel betrgt 180.

    180

    Die Summe der Auenwinkel betrgt 360. 360111

    Formeln fr den Flcheninhalt:

    222

    cba hchbhaA

    r

    cbaA

    4

    csbsassA

    (Formel von Heron) sA

    sin2

    sin2

    sin2

    acbcab

    A

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    Einteilung von Dreiecken Nach der Seitenlnge:

    ungleichseitig abc

    gleichschenkelig a,b Schenkel cBasis a=bc =

    gleichseitig a=b=c ===60 Nach den vorkommenden Winkeln:

    spitzwinkelig

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    Fa, Fb, FcHhenfupunkte HHhenschnittpunkt = Schnittpunkt der Hhen Er liegt beim spitzwinkeligen Dreieck innerhalb, beim stumpfwinkeligen Dreieck auerhalb der Dreiecksflche. Beim rechtwinkeligen Dreieck ist er der Scheitel des rechten Winkels. Seitensymmetralen, Umkreismittelpunkt, Umkreisradius

    maSeitensymmetrale der Seite a mb Seitensymmetrale der Seite b mc Seitensymmetrale der Seite c Ma, Mb, McMittelpunkte der Seiten a, b, c UUmkreismittelpunkt = Schnittpunkt der Seitensymmetralen Er liegt beim spitzwinkeligen Dreieck innerhalb, beim stumpfwinkeligen Dreieck auerhalb der Dreiecksflche. Beim rechtwinkeligen Dreieck ist er der Mittelpunkt der Hypotenuse.

    r= AU = BU = CU =

    Umkreisradius

    (A=Flcheninhalt des Dreiecks) Schwerlinien, Schwerpunkt

    sa, sb, scSchwerlinien Jede Schwerlinie teilt das Dreieck in zwei flchengleiche Teile.

    Ma, Mb, McMittelpunkte der Seiten a, b, c SSchwerpunkt = Schnittpunkt der Schwerlinien Er liegt stets innerhalb des Dreieckes und teilt jede Schwerlinie innen im Verhltnis 2:1

    (z.B.: AS : SMa = 2:1)

    Winkelsymmetralen, Inkreismittelpunkt, Inkreisradius

    wWinkelsymmetrale des Winkels w Winkelsymmetrale des Winkels w Winkelsymmetrale des Winkels D, E, FBerhrungspunkte des Inkreises mit den Seiten des Dreiecks: a=y+z, b=x+z, c=x+y IInkreismittelpunkt = Schnittpunkt der Winkelsymmetralen Er liegt stets innerhalb des Dreiecks

    = DI = EI = FI =

    Inkreisradius (

    , A = Dreiecksflche)

    Kongruenz Vielecke, die nicht nur in der Form, sondern auch in der Gre bereinstimmen, heien kongruent (=deckungsgleich). Kongruenzstze Dreiecke sind kongruent, wenn sie ber-einstimmen

    in einer Seite und zwei Winkeln oder

    in zwei Seiten und dem eingeschlos-senen Winkel oder

    in zwei Seiten und dem der greren Seite gegenberliegenden Winkel o-der

    in den drei Seiten.

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    hnliche Vielecke Vielecke sind hnlich, wenn sie im Verhltnis entsprechender Seiten oder in den entspre-chenden Winkeln bereinstimmen. Symbol: (~) hnlichkeitsstze Zwei Dreiecke ABC und DEF (ABC DEF) sind hnlich, wenn sie bereinstimmen

    in zwei Winkeln oder

    im Verhltnis zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel oder

    im Verhltnis zweier Seiten und dem Gegenwinkel der greren Seite oder

    im Verhltnis der drei Seiten. hnliche Dreiecke werden durch entspre-chende Hhen oder Winkelhalbierenden oder Seitenhalbierenden in hnliche Dreiecke zer-legt. In hnlichen Dreiecken verhalten sich entsprechende Hhen, Winkelhalbierenden und Seitenhalbierenden wie ein Paar entspre-chender Seiten. Die Umfnge hnlicher Drei-ecke verhalten sich wie ein Paar entsprechen-der Strecken (Seiten, Hhen, Seitenhalbieren-den usw.):

    kccbbaauu 21212121 ::::

    (hnlichkeitsverhltnis, Linearvergrerung) Die Flcheninhalte hnlicher Dreiecke verhal-ten sich wie die Quadrate zweier entspre-chender Strecken (Seiten, Hhen, Seitenhal-bierenden usw.).

    222

    21

    22

    21

    22

    2121 :::: kccbbaaAA (k

    siehe oben!) hnlichkeitslage hnliche Vielecke sind in hnlichkeitslage, wenn entsprechende Seiten parallel sind und entsprechende Punkte auf Strahlen eines Strahlenbschels liegen. Der Scheitel S des Strahlenbschels heit hnlichkeitspunkt.

    Strahlenstze 1. Strahlensatz: Werden die Strahlen eines Strahlenbschels von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf einem Strahl wie die gleichliegenden Abschnitte auf jedem anderen Strahl.

    321

    321321

    ::

    ::::

    SCSCSC

    SBSBSBSASASA

    32211

    3221132211

    CC:CC:SC

    BB:BB:SBAA:AA:SA

    2. Strahlensatz: Werden die Strahlen eines Strahlenbschels von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf den Paral-lelen wie die entsprechenden Scheitelstrecken auf irgendeinem Strahl.

    321332211

    321332211

    ::::

    ::::

    SCSCSCCBCBCB

    SASASABABABA

    usw.

    Stze ber das rechtwinkelige Dreieck Rechtwinkliges Dreieck:

    rechtwinkelig =90 a,bKatheten cHypotenuse p,qHypotenusenabschnitte =90

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    D