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Geometria Analitica nello Spazio Andrea Damiani 4 marzo 2015

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Geometria Analitica nello Spazio

Andrea Damiani

4 marzo 2015

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Equazione della retta - forma parametrica

Se sono dati il punto A(x0, y0, z0) e il vettore v ≡ (vx, vy, vz), ilgenerico punto P (x, y, z) appartenente alla retta r per A e di v siottiene dalla relazione

OP = OA+AP

che, tradotta in equazioni, restituiscex = x0 + λ vx

y = y0 + λ vy

z = z0 + λ vz

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Equazione della retta - forma cartesiana

Eiminando λ dalle tre equazioni, otteniamo il sistema

x−x0vx

= y−y0vy

y−y0vy

= z−z0vz

Questo sistema rappresenta la stessa retta in forma cartesiana.

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Equazione del piano

Come e noto, tre punti identificano univocamente un piano.Supponiamo assegnati i tre punti A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) eC(x3, y3, z3) che definiscono il piano α.Allora il generico punto P (x, y, z) ∈ α sara identificato da

OP = OA+ λAB + µAC

cioe (x2 − x1)λ+ (x3 − x1)µ = x− x1(y2 − y1)λ+ (y3 − y1)µ = y − y1(z2 − z1)λ+ (z3 − z1)µ = z − z1

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Equazione del piano

Il sistema scritto non e compatibile se le tre equazioni sonoindipendenti; quindi deve risultare nullo il determinante dellamatrice completa A:

det

x2 − x1 x3 − x1 x− x1

y2 − y1 y3 − y1 y − y1

z2 − z1 z3 − z1 z − z1

= 0

Adesso si tratta di sviluppare questo determinante.

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Equazione del piano

Risulta:a︷ ︸︸ ︷∣∣∣∣∣∣∣

y2 − y1 y3 − y1

z2 − z1 z3 − z1

∣∣∣∣∣∣∣(x− x1)−−b︷ ︸︸ ︷∣∣∣∣∣∣∣

x2 − x1 x3 − x1

z2 − z1 z3 − z1

∣∣∣∣∣∣∣(y − y1)+

+

c︷ ︸︸ ︷∣∣∣∣∣∣∣x2 − x1 x3 − x1

y2 − y1 y3 − y1

∣∣∣∣∣∣∣(z − z1) = 0

quindi

a(x− x1) + b(y − y1) + c(z − z1) = 0

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Equazione del piano

Possiamo ulteriormente lavorare sull’equazione:

ax+ by + cz +

d︷ ︸︸ ︷(−ax1 − by1 − cz1) = 0

quindi, finalmente:

ax+ by + cz + d = 0

che e l’equazione canonica del piano nello spazio.

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Il prodotto scalare in R3 (e in Rn)

E definito il prodotto scalare fra due vettori in R3 (e in Rn) comein R2:Se v ≡ (vx, vy, vz) e w = (wx, wy, wz):

v ·w := vxwx + vywy + vzwz

e in generale

v ·w :=

N∑k=1

vkwk

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La norma di un vettore in R3 (e in Rn)

La nozione di prodotto scalare appena introdotta nello spazio Rnconsente di definire la norma o misura del vettore v come

‖v‖ := (v · v)12

Definizione ragionevole perche ‖v‖:

• non risulta mai negativa.

• e nulla se e solo se v = 0.

• rispetta la disuguaglianza triangolare (in ogni triangolo lamisura di un lato non supera la somma delle misure degli altridue).

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L’angolo fra due vettori in Rn - Definizione

Definiamo l’angolo fra due vettori attraverso il suo coseno. Inparticolare:Definiamo coseno dell’angolo θ compreso fra due vettori v e w laquantita

cos θ :=v ·w‖v‖ ‖v‖

da cui risulta −1 ≤ cos θ ≤ 1

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L’angolo fra due vettori in Rn - Proprieta

• Se due vettori sono paralleli, w = λv con λ > 0, da cui

cos(vw) =v ·w‖v‖ ‖v‖

=v · λ v

‖v‖ ‖λv‖=λ‖v‖2

λ‖v‖2= 1

• Se due vettori sono antiparalleli, w = λv con λ < 0, da cui

cos(vw) =v · λv

‖v‖ ‖λv‖=−λ‖v‖2

λ‖v‖2= −1

• Si diranno ortogonali due vettori v e w per cui si ha v ·w = 0

E facile infatti verificare che il prodotto scalare misura il prodotto fra la lunghezza di un vettore e quelladella proiezione su di esso dell’altro; risulta allora naturale associare l’angolo retto al caso in cui taleproiezione e nulla, cioe quando cos θ = 0 o v · w = 0.

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Lo spazio metrico

• L’insieme dei vettori di Rn, con le operazioni di somma divettori e prodotto per uno scalare (un numero reale nel nostrocaso) e le proprieta che ben conosciamo, prende il nome dispazio vettoriale.

• Se in uno spazio vettoriale si introduce una norma, si parlaallora di spazio vettoriale normato.

• Attraverso la norma e possibile definire una metrica: a questopunto si parla di spazio metrico.

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Il versore normale al piano

• Definiamo direzione normale al piano α come quella delvettore che risulta perpendicolare a tutte le rette di α.

• Il versore n in tale direzione, uscente dalla faccia positiva delpiano, prende il nome di versore normale allo stesso.

• Il vettore n normale al piano ax+ by + cz + d = 0 hacomponenti a, b, c. Infatti, ∀P,Q ∈ α, il vettore PQ hacomponenti (xQ − xP , yQ − yP , zQ − zP ), e si ha

PQ · n =(xQ − xP , yQ − yP , zQ − zP ) · (a, b, c) ==a(xQ − xP ) + b(yQ − yP ) + c(zQ − zP ) ==axQ + byQ + czQ − (axP + byP + czP ) =

=− d+ d = 0

Il versore normale ha componenti

(a

a2+b2+c2, ba2+b2+c2

, ca2+b2+c2

)

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Piano per un punto di giacitura assegnata

Il piano per A(xA, yA, zA) di normale n ≡ (a, b, c) ha equazione

a(x− xA) + b(y − yA) + c(z − zA) = 0

infatti il piano passa per A ed ha per normale n.

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Condizione di parallelismo fra due piani

Figura : Piani paralleli

Due piani

a1x+ b1y + c1z + d1 = 0 e

a2x+ b2y + c2z + d2 = 0

sono paralleli se hanno la stessagiacitura, cioe la stessa direzionenormale. Allora deve essere

(a1, b1, c1) = k(a2, b2, c2) cioe

a1a2

=b1b2

=c1c2

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Condizione di perpendicolarita fra due piani

Figura : Piani ortogonali

Due piani

a1x+ b1y + c1z + d1 = 0 e

a2x+ b2y + c2z + d2 = 0

sono perpendicolari se lo sono leloro normali:

(a1, b1, c1)·(a2, b2, c2) = 0 dunque

a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

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Condizione di complanarita fra due rette

Due rette r ed s sono complanari, dunque non sghembe, se tutti ipunti dell’una appartengono ad un piano che contiene tutti i puntidell’altra. Questo accade se e solo se due punti qualunque dellaprima retta appartengono allo stesso piano di due punti qualunquedella seconda retta.Quindi il tutto si puo ricondurre ad identificare due punti sullaprima retta e due sulla seconda, e poi a verificare che i quattropunti siano complanari.A quel punto, verificata la complanarita restano due possibilita: osono parallele o sono incidenti.

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Condizione di parallelismo fra due rette

Figura : Rette parallele

Due rette s ed s′ di parametri di-rettori l1,m1, n1 ed l2,m2, n2 ri-spettivamente, sono parallele sehanno la stessa direzione, cioe se

(l1,m1, n1) = k(l2,m2, n2) cioe

l1l2

=m1

m2=n1n2

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Condizione di perpendicolarita fra due rette

Figura : Rette perpendicolari

Due rette s ed s′ di pa-rarmetri direttori l1,m1, n1 edl2,m2, n2 rispettivamente, sonoperpendicolari se

(l1,m1, n1)·(l2,m2, n2) = 0 dunque

l1l2 +m1m2 + n1n2 = 0

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Condizione di parallelismo retta-piano

La retta r di parametri direttori l,m,n e parallela al piano π dicoefficienti a,b,c se e perpendicolare alla normale al piano, cioe se

al + bm+ cn = 0

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Condizione di perpendicolarita retta-piano

Una retta r e perpendicolare al piano π se ha la direzione del suoversore normale. Se sono l,m,n i parametri direttori della retta eda,b,c i coefficienti dell’equazione del piano, allora occorre e bastache sia

a

l=

b

m=c

n

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Distanza fra due punti

Figura : Distanza fra duepunti

La distanza fra due punti A e B edata dalla norma del vettore AB, cioe

δAB = ‖AB‖ =

=√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2

che prende il nome di teorema diPitagora tridimensionale.

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Il prodotto vettoriale - Definizione

Dati i due vettori v e w, si definisce il loro prodotto vettoriale come

v×w =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k

vx vy vz

wx wy wz

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

= (vywz − vzwy )i+ (vzwx − vxwz)j + (vxwy − vywx)k

Si tratta adesso di capire che caratteristiche ha questo vettore eperche si e scelto di definirlo in questa maniera.

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Il prodotto vettoriale - Conseguenze della definizione

Alcune conseguenze dirette:

• Il prodotto vettoriale e anticommutativo: v×w = −w× v.

• Vale ∀v, v× v = 0

• E distributivo rispetto alla somma: a× (b+ c) = a×b+ a× c

• E compatibile col prodotto per uno scalare: λa× b = a× λb

• Non e associativo (quindi chiamarlo prodotto e in qualchemodo fuorviante: il prodotto e tipicamente associativo).

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Il prodotto vettoriale - Direzione

Dimostriamo che il prodotto vettoriale a = v×w e ortogonale aentrambi i vettori, e quindi al piano che li contiene. Infatti,

v · (v×w) = v · (vywz − vzwy )i++ (vzwx − vxwz)j + (vxwy − vywx)k

sviluppando,

vxvywz − vxvzwy + vyvzwx − vyvxwz + vzvxwy − vzvywx = 0

e analogamente perw · (v×w) = 0

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Il prodotto vettoriale - Modulo

Dimostriamo che e

‖v×w‖2 = (1− cos2 θ)‖v‖2 ‖w‖2 = ‖v‖2 ‖w‖2 − (v ·w)2

Primo membro:

(vywz − vzwy)2 + (vzwx − vxwz)2 + (vxwy − vywx)2 == v2yw

2z + v2zw

2y + v2zw

2x + v2xw

2z + v2xw

2y − v2yw2

x+

−2vyvzwywz − 2vxvzwxwz − 2vxvywxwy

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Il prodotto vettoriale - Modulo (cont.)

Secondo membro:

(v2x + v2y + v2z)(w2x + w2

y + w2z)− (vxwx + vywy + vzwz)

2 =

= v2xw2x + v2xw

2y + v2xw

2z + v2yw

2x + v2yw

2y+

+v2yw2z + v2zw

2x + v2zw

2y + v2zw

2z+

−v2xw2x − v2yw2

y − v2zw2z+

−2vyvzwywz − 2vxvzwxwz − 2vxvywxwy

Che e uguale al primo membro. Resta cosı dimostrato che

‖v×w‖ =√

1− cos2 θ‖v‖ ‖w‖

La funzione√1− cos2 θ prende il nome di sin θ.

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Il prodotto vettoriale - Modulo (cont.)

che, dopo opportune semplificazioni, e

(v2x + v2y + v2z)(w2x + w2

y + w2z)− (vxwx + vywy + vzwz)

2 =

= v2xw2x + v2xw

2y + v2xw

2z + v2yw

2x + v2yw

2y+

+v2yw2z + v2zw

2x + v2zw

2y + v2zw

2z+

−v2xw2x − v2y

−2vyvzwywz − 2vxvzwxwz − 2vxvywxwy

uguale al primo membro. Resta cosı dimostrato che

‖v×w‖ =√

1− cos2 θ‖v‖ ‖w‖

La funzione√1− cos2 θ prende il nome di sin θ.

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Il prodotto vettoriale - Proprieta

Figura : La regoladella mano destra

Restano quindi dimostrati alcuni fatti:

• Il prodotto vettoriale e un vettoreortogonale al piano degli altri due.

• Il modulo e il prodotto dei moduli per ilseno dell’angolo tra essi compreso.

• Il verso positivo e quello destrorso, che siindividua mediante la regola della manodestra.

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Il prodotto vettoriale - Interpretazione geometrica

Figura : Il prodotto vettoriale

L’espressione ‖a‖ ‖b‖ sin θ rappre-senta il doppio dell’area del triangolodeterminato dai vettori a e b.

Ma allora si ha

|a×b| = area del parallelogramma di lati a e b.

Figura : Il prodottovettoriale

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Il prodotto misto

Figura : Il prodotto misto

Definiamo il prodotto misto

a · (b× c) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ax ay az

bx by bz

cx cy cz

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣che, preso in modulo, consente di cal-colare il volume del parallelepipedoidentificato dai tre vettori.

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La distanza fra un punto e una retta

Figura : Distanza fra un punto e una retta

Stiamo cercando ‖PP ′‖, cate-to del triangolo AP ′P , di ipo-tenusa AP . Allora ‖PP ′‖ =

|AP | sin PAP ′, dunque

δP,r = |AP × b|

dove b e il versore della retta r edA e un qualsiasi punto su r.

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La distanza fra un punto e un piano

Figura : Distanza tra un punto e un piano

E sufficiente prendere un puntoB ∈ π a caso e poi osservare chela distanza cercata e la proiezio-ne di BP sulla normale al piano,per cui

δP,π = |PB · n|

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la distanza fra due rette

Figura : Distanza fra due rette

Se le rette sono incidenti, la distanza e0. In tutti gli altri casi (sghembe o pa-rallele), la distanza si calcola proiettan-do scegliendo un punto P ed uno Q acaso su ciascuna retta, e poi calcolandoil modulo del prodotto scalare

δr,s = |PQ · n|

Come trovare il versore normale ad en-trambe le rette? Se conosciamo duevettori a e b che hanno le direzioni delledue rette, allora

n =a× b

‖a× b‖34

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La distanza fra una retta e un piano

Figura : Distanza fra una retta e un piano

Molto semplice: se la retta inter-seca il piano la loro distanza e nul-la. In caso contrario, se la rettae parallela al piano, basta prende-re a caso un punto A su di essae calcolare la distanza tra A e ilpiano:

δA,π = |AB · n|

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La distanza fra due piani

Figura : Distanza fra due piani

Ancora una volta, se i piani so-no incidenti la distanza e nulla.Altrimenti, cioe se sono paralleli,si prende un punto a caso A sulprimo ed uno B sul secondo e sicalcola

δπ1,π2 = |AB · n|

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Il teorema delle tre perpendicolari

Figura : Il teorema delle tre perpendicolari

E’ data una retta r normale al pia-no π e chiamiamo H il piede di rsu π. Sempre su π prendiamo unaretta arbitraria t. Per H condu-ciamo la retta s perpendicolare at. Allora il piano α delle rette red s e perpendicolare a t.

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Il teorema delle tre perpendicolari - Dimostrazione

Scegliamo la retta r coincidente con l’asse z e π sia il piano Oxy,di equazione z = 0. La retta arbitraria t passa per P ≡ (xP , yP , 0)ed ha parametri direttori (l,m, 0). Per H, conduciamo s ⊥ t,quindi i suoi parametri saranno (m,−l, 0). Un vettore nperpendicolare sia ad r che ad s e normale ad α:

n =

∣∣∣∣∣∣i j k

0 0 1

m −l 0

∣∣∣∣∣∣ = l i+m j

quindi n ≡ (l,m, 0). Ma si tratta proprio degli stessi parametridirettori di t. Quindi t risulta normale al piano α, che e quanto sivoleva dimostrare.

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Il teorema di Carnot

Figura : Il teorema di Carnot

Dato il triangolo qualunque ABC,calcoliamo il quadrato della lunghez-za del lato BC:

BC2 = ‖w− v‖2 == w ·w + v · v− 2v ·w =

= ‖v‖2 + ‖w‖2 − 2‖v‖‖w‖ cos θ == AB2 +AC2 − 2ABAC cos θ

che e proprio l’espressione del teorema di Carnot.

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