Geometria Analitica nello Spazio - Maths2016 Analitica nello Spazio Andrea Damiani 4 marzo 2015....
Transcript of Geometria Analitica nello Spazio - Maths2016 Analitica nello Spazio Andrea Damiani 4 marzo 2015....
Geometria Analitica nello Spazio
Andrea Damiani
4 marzo 2015
Equazione della retta - forma parametrica
Se sono dati il punto A(x0, y0, z0) e il vettore v ≡ (vx, vy, vz), ilgenerico punto P (x, y, z) appartenente alla retta r per A e di v siottiene dalla relazione
OP = OA+AP
che, tradotta in equazioni, restituiscex = x0 + λ vx
y = y0 + λ vy
z = z0 + λ vz
2
Equazione della retta - forma cartesiana
Eiminando λ dalle tre equazioni, otteniamo il sistema
x−x0vx
= y−y0vy
y−y0vy
= z−z0vz
Questo sistema rappresenta la stessa retta in forma cartesiana.
3
Equazione del piano
Come e noto, tre punti identificano univocamente un piano.Supponiamo assegnati i tre punti A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) eC(x3, y3, z3) che definiscono il piano α.Allora il generico punto P (x, y, z) ∈ α sara identificato da
OP = OA+ λAB + µAC
cioe (x2 − x1)λ+ (x3 − x1)µ = x− x1(y2 − y1)λ+ (y3 − y1)µ = y − y1(z2 − z1)λ+ (z3 − z1)µ = z − z1
4
Equazione del piano
Il sistema scritto non e compatibile se le tre equazioni sonoindipendenti; quindi deve risultare nullo il determinante dellamatrice completa A:
det
x2 − x1 x3 − x1 x− x1
y2 − y1 y3 − y1 y − y1
z2 − z1 z3 − z1 z − z1
= 0
Adesso si tratta di sviluppare questo determinante.
5
Equazione del piano
Risulta:a︷ ︸︸ ︷∣∣∣∣∣∣∣
y2 − y1 y3 − y1
z2 − z1 z3 − z1
∣∣∣∣∣∣∣(x− x1)−−b︷ ︸︸ ︷∣∣∣∣∣∣∣
x2 − x1 x3 − x1
z2 − z1 z3 − z1
∣∣∣∣∣∣∣(y − y1)+
+
c︷ ︸︸ ︷∣∣∣∣∣∣∣x2 − x1 x3 − x1
y2 − y1 y3 − y1
∣∣∣∣∣∣∣(z − z1) = 0
quindi
a(x− x1) + b(y − y1) + c(z − z1) = 0
6
Equazione del piano
Possiamo ulteriormente lavorare sull’equazione:
ax+ by + cz +
d︷ ︸︸ ︷(−ax1 − by1 − cz1) = 0
quindi, finalmente:
ax+ by + cz + d = 0
che e l’equazione canonica del piano nello spazio.
7
Il prodotto scalare in R3 (e in Rn)
E definito il prodotto scalare fra due vettori in R3 (e in Rn) comein R2:Se v ≡ (vx, vy, vz) e w = (wx, wy, wz):
v ·w := vxwx + vywy + vzwz
e in generale
v ·w :=
N∑k=1
vkwk
8
La norma di un vettore in R3 (e in Rn)
La nozione di prodotto scalare appena introdotta nello spazio Rnconsente di definire la norma o misura del vettore v come
‖v‖ := (v · v)12
Definizione ragionevole perche ‖v‖:
• non risulta mai negativa.
• e nulla se e solo se v = 0.
• rispetta la disuguaglianza triangolare (in ogni triangolo lamisura di un lato non supera la somma delle misure degli altridue).
9
L’angolo fra due vettori in Rn - Definizione
Definiamo l’angolo fra due vettori attraverso il suo coseno. Inparticolare:Definiamo coseno dell’angolo θ compreso fra due vettori v e w laquantita
cos θ :=v ·w‖v‖ ‖v‖
da cui risulta −1 ≤ cos θ ≤ 1
10
L’angolo fra due vettori in Rn - Proprieta
• Se due vettori sono paralleli, w = λv con λ > 0, da cui
cos(vw) =v ·w‖v‖ ‖v‖
=v · λ v
‖v‖ ‖λv‖=λ‖v‖2
λ‖v‖2= 1
• Se due vettori sono antiparalleli, w = λv con λ < 0, da cui
cos(vw) =v · λv
‖v‖ ‖λv‖=−λ‖v‖2
λ‖v‖2= −1
• Si diranno ortogonali due vettori v e w per cui si ha v ·w = 0
E facile infatti verificare che il prodotto scalare misura il prodotto fra la lunghezza di un vettore e quelladella proiezione su di esso dell’altro; risulta allora naturale associare l’angolo retto al caso in cui taleproiezione e nulla, cioe quando cos θ = 0 o v · w = 0.
11
Lo spazio metrico
• L’insieme dei vettori di Rn, con le operazioni di somma divettori e prodotto per uno scalare (un numero reale nel nostrocaso) e le proprieta che ben conosciamo, prende il nome dispazio vettoriale.
• Se in uno spazio vettoriale si introduce una norma, si parlaallora di spazio vettoriale normato.
• Attraverso la norma e possibile definire una metrica: a questopunto si parla di spazio metrico.
12
Il versore normale al piano
• Definiamo direzione normale al piano α come quella delvettore che risulta perpendicolare a tutte le rette di α.
• Il versore n in tale direzione, uscente dalla faccia positiva delpiano, prende il nome di versore normale allo stesso.
• Il vettore n normale al piano ax+ by + cz + d = 0 hacomponenti a, b, c. Infatti, ∀P,Q ∈ α, il vettore PQ hacomponenti (xQ − xP , yQ − yP , zQ − zP ), e si ha
PQ · n =(xQ − xP , yQ − yP , zQ − zP ) · (a, b, c) ==a(xQ − xP ) + b(yQ − yP ) + c(zQ − zP ) ==axQ + byQ + czQ − (axP + byP + czP ) =
=− d+ d = 0
Il versore normale ha componenti
(a
a2+b2+c2, ba2+b2+c2
, ca2+b2+c2
)
13
Piano per un punto di giacitura assegnata
Il piano per A(xA, yA, zA) di normale n ≡ (a, b, c) ha equazione
a(x− xA) + b(y − yA) + c(z − zA) = 0
infatti il piano passa per A ed ha per normale n.
14
Condizione di parallelismo fra due piani
Figura : Piani paralleli
Due piani
a1x+ b1y + c1z + d1 = 0 e
a2x+ b2y + c2z + d2 = 0
sono paralleli se hanno la stessagiacitura, cioe la stessa direzionenormale. Allora deve essere
(a1, b1, c1) = k(a2, b2, c2) cioe
a1a2
=b1b2
=c1c2
15
Condizione di perpendicolarita fra due piani
Figura : Piani ortogonali
Due piani
a1x+ b1y + c1z + d1 = 0 e
a2x+ b2y + c2z + d2 = 0
sono perpendicolari se lo sono leloro normali:
(a1, b1, c1)·(a2, b2, c2) = 0 dunque
a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
16
Condizione di complanarita fra due rette
Due rette r ed s sono complanari, dunque non sghembe, se tutti ipunti dell’una appartengono ad un piano che contiene tutti i puntidell’altra. Questo accade se e solo se due punti qualunque dellaprima retta appartengono allo stesso piano di due punti qualunquedella seconda retta.Quindi il tutto si puo ricondurre ad identificare due punti sullaprima retta e due sulla seconda, e poi a verificare che i quattropunti siano complanari.A quel punto, verificata la complanarita restano due possibilita: osono parallele o sono incidenti.
17
Condizione di parallelismo fra due rette
Figura : Rette parallele
Due rette s ed s′ di parametri di-rettori l1,m1, n1 ed l2,m2, n2 ri-spettivamente, sono parallele sehanno la stessa direzione, cioe se
(l1,m1, n1) = k(l2,m2, n2) cioe
l1l2
=m1
m2=n1n2
18
Condizione di perpendicolarita fra due rette
Figura : Rette perpendicolari
Due rette s ed s′ di pa-rarmetri direttori l1,m1, n1 edl2,m2, n2 rispettivamente, sonoperpendicolari se
(l1,m1, n1)·(l2,m2, n2) = 0 dunque
l1l2 +m1m2 + n1n2 = 0
19
Condizione di parallelismo retta-piano
La retta r di parametri direttori l,m,n e parallela al piano π dicoefficienti a,b,c se e perpendicolare alla normale al piano, cioe se
al + bm+ cn = 0
20
Condizione di perpendicolarita retta-piano
Una retta r e perpendicolare al piano π se ha la direzione del suoversore normale. Se sono l,m,n i parametri direttori della retta eda,b,c i coefficienti dell’equazione del piano, allora occorre e bastache sia
a
l=
b
m=c
n
21
Distanza fra due punti
Figura : Distanza fra duepunti
La distanza fra due punti A e B edata dalla norma del vettore AB, cioe
δAB = ‖AB‖ =
=√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2 + (zB − zA)2
che prende il nome di teorema diPitagora tridimensionale.
22
Il prodotto vettoriale - Definizione
Dati i due vettori v e w, si definisce il loro prodotto vettoriale come
v×w =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k
vx vy vz
wx wy wz
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
= (vywz − vzwy )i+ (vzwx − vxwz)j + (vxwy − vywx)k
Si tratta adesso di capire che caratteristiche ha questo vettore eperche si e scelto di definirlo in questa maniera.
23
Il prodotto vettoriale - Conseguenze della definizione
Alcune conseguenze dirette:
• Il prodotto vettoriale e anticommutativo: v×w = −w× v.
• Vale ∀v, v× v = 0
• E distributivo rispetto alla somma: a× (b+ c) = a×b+ a× c
• E compatibile col prodotto per uno scalare: λa× b = a× λb
• Non e associativo (quindi chiamarlo prodotto e in qualchemodo fuorviante: il prodotto e tipicamente associativo).
24
Il prodotto vettoriale - Direzione
Dimostriamo che il prodotto vettoriale a = v×w e ortogonale aentrambi i vettori, e quindi al piano che li contiene. Infatti,
v · (v×w) = v · (vywz − vzwy )i++ (vzwx − vxwz)j + (vxwy − vywx)k
sviluppando,
vxvywz − vxvzwy + vyvzwx − vyvxwz + vzvxwy − vzvywx = 0
e analogamente perw · (v×w) = 0
25
Il prodotto vettoriale - Modulo
Dimostriamo che e
‖v×w‖2 = (1− cos2 θ)‖v‖2 ‖w‖2 = ‖v‖2 ‖w‖2 − (v ·w)2
Primo membro:
(vywz − vzwy)2 + (vzwx − vxwz)2 + (vxwy − vywx)2 == v2yw
2z + v2zw
2y + v2zw
2x + v2xw
2z + v2xw
2y − v2yw2
x+
−2vyvzwywz − 2vxvzwxwz − 2vxvywxwy
26
Il prodotto vettoriale - Modulo (cont.)
Secondo membro:
(v2x + v2y + v2z)(w2x + w2
y + w2z)− (vxwx + vywy + vzwz)
2 =
= v2xw2x + v2xw
2y + v2xw
2z + v2yw
2x + v2yw
2y+
+v2yw2z + v2zw
2x + v2zw
2y + v2zw
2z+
−v2xw2x − v2yw2
y − v2zw2z+
−2vyvzwywz − 2vxvzwxwz − 2vxvywxwy
Che e uguale al primo membro. Resta cosı dimostrato che
‖v×w‖ =√
1− cos2 θ‖v‖ ‖w‖
La funzione√1− cos2 θ prende il nome di sin θ.
27
Il prodotto vettoriale - Modulo (cont.)
che, dopo opportune semplificazioni, e
(v2x + v2y + v2z)(w2x + w2
y + w2z)− (vxwx + vywy + vzwz)
2 =
= v2xw2x + v2xw
2y + v2xw
2z + v2yw
2x + v2yw
2y+
+v2yw2z + v2zw
2x + v2zw
2y + v2zw
2z+
−v2xw2x − v2y
−2vyvzwywz − 2vxvzwxwz − 2vxvywxwy
uguale al primo membro. Resta cosı dimostrato che
‖v×w‖ =√
1− cos2 θ‖v‖ ‖w‖
La funzione√1− cos2 θ prende il nome di sin θ.
28
Il prodotto vettoriale - Proprieta
Figura : La regoladella mano destra
Restano quindi dimostrati alcuni fatti:
• Il prodotto vettoriale e un vettoreortogonale al piano degli altri due.
• Il modulo e il prodotto dei moduli per ilseno dell’angolo tra essi compreso.
• Il verso positivo e quello destrorso, che siindividua mediante la regola della manodestra.
29
Il prodotto vettoriale - Interpretazione geometrica
Figura : Il prodotto vettoriale
L’espressione ‖a‖ ‖b‖ sin θ rappre-senta il doppio dell’area del triangolodeterminato dai vettori a e b.
Ma allora si ha
|a×b| = area del parallelogramma di lati a e b.
Figura : Il prodottovettoriale
30
Il prodotto misto
Figura : Il prodotto misto
Definiamo il prodotto misto
a · (b× c) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ax ay az
bx by bz
cx cy cz
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣che, preso in modulo, consente di cal-colare il volume del parallelepipedoidentificato dai tre vettori.
31
La distanza fra un punto e una retta
Figura : Distanza fra un punto e una retta
Stiamo cercando ‖PP ′‖, cate-to del triangolo AP ′P , di ipo-tenusa AP . Allora ‖PP ′‖ =
|AP | sin PAP ′, dunque
δP,r = |AP × b|
dove b e il versore della retta r edA e un qualsiasi punto su r.
32
La distanza fra un punto e un piano
Figura : Distanza tra un punto e un piano
E sufficiente prendere un puntoB ∈ π a caso e poi osservare chela distanza cercata e la proiezio-ne di BP sulla normale al piano,per cui
δP,π = |PB · n|
33
la distanza fra due rette
Figura : Distanza fra due rette
Se le rette sono incidenti, la distanza e0. In tutti gli altri casi (sghembe o pa-rallele), la distanza si calcola proiettan-do scegliendo un punto P ed uno Q acaso su ciascuna retta, e poi calcolandoil modulo del prodotto scalare
δr,s = |PQ · n|
Come trovare il versore normale ad en-trambe le rette? Se conosciamo duevettori a e b che hanno le direzioni delledue rette, allora
n =a× b
‖a× b‖34
La distanza fra una retta e un piano
Figura : Distanza fra una retta e un piano
Molto semplice: se la retta inter-seca il piano la loro distanza e nul-la. In caso contrario, se la rettae parallela al piano, basta prende-re a caso un punto A su di essae calcolare la distanza tra A e ilpiano:
δA,π = |AB · n|
35
La distanza fra due piani
Figura : Distanza fra due piani
Ancora una volta, se i piani so-no incidenti la distanza e nulla.Altrimenti, cioe se sono paralleli,si prende un punto a caso A sulprimo ed uno B sul secondo e sicalcola
δπ1,π2 = |AB · n|
36
Il teorema delle tre perpendicolari
Figura : Il teorema delle tre perpendicolari
E’ data una retta r normale al pia-no π e chiamiamo H il piede di rsu π. Sempre su π prendiamo unaretta arbitraria t. Per H condu-ciamo la retta s perpendicolare at. Allora il piano α delle rette red s e perpendicolare a t.
37
Il teorema delle tre perpendicolari - Dimostrazione
Scegliamo la retta r coincidente con l’asse z e π sia il piano Oxy,di equazione z = 0. La retta arbitraria t passa per P ≡ (xP , yP , 0)ed ha parametri direttori (l,m, 0). Per H, conduciamo s ⊥ t,quindi i suoi parametri saranno (m,−l, 0). Un vettore nperpendicolare sia ad r che ad s e normale ad α:
n =
∣∣∣∣∣∣i j k
0 0 1
m −l 0
∣∣∣∣∣∣ = l i+m j
quindi n ≡ (l,m, 0). Ma si tratta proprio degli stessi parametridirettori di t. Quindi t risulta normale al piano α, che e quanto sivoleva dimostrare.
38
Il teorema di Carnot
Figura : Il teorema di Carnot
Dato il triangolo qualunque ABC,calcoliamo il quadrato della lunghez-za del lato BC:
BC2 = ‖w− v‖2 == w ·w + v · v− 2v ·w =
= ‖v‖2 + ‖w‖2 − 2‖v‖‖w‖ cos θ == AB2 +AC2 − 2ABAC cos θ
che e proprio l’espressione del teorema di Carnot.
39