GEOMETR IA ALGEBRAICA I NOTAS DE CURSO - UNAMsumano/archivos/NOTAS-INICIO.pdf · 2019. 7. 29. ·...

GEOMETRÍA ALGEBRAICA INOTAS DE CURSO

ELHOIM SUMANO RAMÍREZ

1. Anillo de polinomios en una indeterminada

Sea k un anillo conmutativo con uno (por ejemplo k es igual a Z,Q,R,C ó Z/mZ

para alguna m ∈ N). Un polinomio con coeficientes en k en una indeterminada esuna función σ : N // k tal que

{s∣∣σ(s) 6= 0} es un subconjunto finito de N (aqúı

0 denota al elemento neutro aditivo de k). Si σ es un polinomio con coeficientes

en k en una indeterminada, a σ(s) ∈ k lo llamamos el coeficiente de σ en grado s.Denotamos como k[N] al conjunto de todos los polinomios con coeficientes en k enuna indeterminada:

k[N] :={σ : N // k

∣∣∣ {s ∣∣σ(s) 6= 0} es finito}La función constante de N en k con valor 0 es llamada el polinomio cero. El grado

de un polinomio distinto del polinomio cero es denotado como grad(σ) y definido como

el elemento máximo del subconjunto no vaćıo{s∣∣σ(s) 6= 0} de números naturales.

Si σ, µ ∈ k[N] la suma de σ+ µ y el producto de σ · µ son los polinomios definidospor las fórmulas:

(1)(σ + µ

)(s) = σ(s) + µ(s) y

(σ · µ

)(s) =

∑r+t=s

σ(r) · µ(t) ,

respectivamente.

Aqúı∑

r+t=srepresenta la suma sobre todas las parejas ordenadas de números na-

turales (r, t) ∈ N× N tales que r + t = s. La expresión∑

r+t=sσ(r) · µ(t) tiene sentido

por la asociatividad y la conmutatividad de la suma en k. Por ejemplo, si s = 0, 1, 2

tenemos:

1

2 Geometŕıa algebraica I

(σ · µ

)(0) =

∑r+t=0

σ(r) · µ(t) = σ(0) · µ(0)(σ · µ

)(1) =

∑r+t=1

σ(r) · µ(t) = σ(0) · µ(1) + σ(1) · µ(0)(σ · µ

)(2) =

∑r+t=2

σ(r) · µ(t) = σ(0) · µ(2) + σ(1) · µ(1) + σ(2) · µ(0)

En general:

∑r+t=s

σ(r) · µ(t) = σ(0) · µ(s) + σ(1) · µ(s− 1) + · · ·+ σ(s− 1) · µ(1) + σ(s) · µ(0)

= σ(s) · µ(0) + σ(s− 1) · µ(1) + · · ·+ σ(1) · µ(s− 1) + σ(0) · µ(s) .

Mostremos:

Lema 1.1. Si k es un anillo conmutativo con uno, el conjunto k[N] con la suma y elproducto definidos en (1) es también un anillo conmutativo con uno. Más aún, si σ,

µ, σ + µ y σ · µ no son el polinomio cero, se tiene que:

grad(σ + µ) ≤ max(grad(σ), grad(µ)

)y grad(σ · µ) ≤ grad(σ) + grad(µ) .

Por otro lado, si k es un dominio entero k[N] también lo es, es decir si σ, µ ∈k[N] son polinomios distintos del polinomio cero entonces el polinomio σ · µ no es elpolinomio cero; en este caso grad(σ · µ) = grad(σ) + grad(µ).

Demostración. Si k es un anillo conmutativo con uno, mostremos que el conjunto k[N]con la suma y el producto definidos en (1) es también un anillo conmutativo con uno

(ver también el Ejercicio 4):

Geometŕıa algebraica I 3

(i) La suma es asociativa, es decir (σ + µ) + ν = σ + (µ+ ν) si σ, µ, ν ∈ k[N]. Enefecto si s ∈ N tenemos que:(

(σ + µ) + ν)(s) = (σ + µ)(s) + ν(s) (Definición de la suma en k[N])

=(σ(s) + µ(s)

)+ ν(s) (Definición de la suma en k[N])

= σ(s) +(µ(s) + ν(s)

)(Asociatividad de la suma en k)

= σ(s) + (µ+ ν)(s) (Definición de la suma en k[N])

=(σ + (µ+ ν)

)(s) (Definición de la suma en k[N])

(ii) La suma es conmutativa, es decir σ + µ = µ + σ si σ, µ ∈ k[N]. En efecto sis ∈ N tenemos que:

(σ + µ)(s) = σ(s) + µ(s) (Definición de la suma en k[N])

= µ(s) + σ(s) (Conmutatividad de la suma en k)

= (µ+ σ)(s) (Definición de la suma en k[N])

(iii) El neutro aditivo en k[N] es el polinomio cero σ0 ∈ k[N] definido como σ0(s) = 0para todo s ∈ N, es decir σ+ σ0 = σ para todo σ ∈ k[N]. En efecto si σ ∈ k[N]y s ∈ N tenemos que:

(σ + σ0)(s) = σ(s) + σ0(s) (Definición de la suma en k[N])

= σ(s) + 0 (Definición del polinomio cero)

= σ(s) (0 es neutro aditivo de k)

Nota que por (ii) se tiene también que σ0 + σ = σ.

(iv) El inverso aditivo de un polinomio σ ∈ k[N], es el polinomio −σ ∈ k[N] definidocomo

(− σ

)(s) = −

(σ(s)

), donde denotamos como −a al inverso aditivo de

un elemento a ∈ k; es decir σ + (−σ) = σ0. En efecto si σ ∈ k[N] y s ∈ N,


entonces:

(σ + (−σ)

)(s) = σ(s) +

(− σ

)(s) (Definición de la suma en k[N])

= σ(s) +(−(σ(s)

))(Definición de −σ)

= 0 (-a es inverso aditivo de a en k)

= σ0(s) (Definición del polinomio cero)

Por (ii) se tiene también que (−σ) + σ = 0.

(v) El producto es asociativo, es decir (σ · µ) · ν = σ · (µ · ν) si σ, µ, ν ∈ k[N]. Enefecto si s ∈ N tenemos que:

((σ · µ

)· ν)

(s)

=∑r+t=s

(σ · µ

)(r) · ν(t) (Definición del producto en k[N])

=∑r+t=s

( ∑p+q=r

σ(p) · µ(q)

)· ν(t) (Definición de la suma en k[N])

=∑r+t=s

∑p+q=r

(σ(p) · µ(q)

)· ν(t) (Distributividad en k)

=∑

(p+q)+t=s

(σ(p) · µ(q)

)· ν(t) ()

=∑

p+(q+t)=s

σ(p) ·(µ(q) · ν(t)

)()

=∑

p+r=s

∑q+t=r

σ(p) ·(µ(q) · ν(t)

)()

=∑

p+r=s

σ(p) ·

(∑q+t=r

µ(q) · ν(t)

)(Distributividad en k)

=∑

p+r=s

σ(p) ·(µ · ν

)(r) (Definición producto en k[N])

=(σ ·(µ · ν

))(s) (Definición producto en k[N])


(vi) El producto es conmutativo, es decir σ · µ = µ · σ si σ, µ ∈ k[N]. En efecto sis ∈ N tenemos que:

(σ · µ)(s) =∑r+t=s

σ(r) · µ(t) (Definición del producto en k[N])

=∑r+t=s

µ(t) · σ(r) (Conmutatividad del producto en k)

=∑t+r=s

µ(t) · σ(r) (Conmutatividad de la suma en N)

= (µ · σ)(s) (Definición del producto en k[N])

(vii) El neutro multiplicativo en k[N] es el polinomio σ1 ∈ k[N] definido como σ1(0) =1 y 1(s) = 0 para todo s ∈ N\{0}, es decir σ · σ1 = σ para todo σ ∈ k[N]. Enefecto si σ ∈ k[N] y s ∈ N tenemos que:

(σ · σ1)(s) =∑r+t=s

σ(r) · σ1(t) (Definición · en k[N])

=

∑r+t=st=0

σ(r) · σ1(t)

+∑

r+t=st6=0

σ(r) · σ1(t)

(Asociatividad + en k)=(σ(s) · 1

)+

∑r+t=st6=0

σ(r) · 0

(Definición σ1 y propiedades en N)= σ(s) + 0 (1 neutro multiplicativo de k)

= σ(s) (0 neutro aditivo de k)

Se sigue de (vi) que también σ1 · σ = σ.


(viii) El producto distribuye a la suma en k[N], es decir σ ·(µ+ ν

)= σ · µ+ σ · ν si

σ, µ, ν ∈ k[N]. En efecto si s ∈ N tenemos que:(σ ·(µ+ ν

))(s)

=∑r+t=s

σ(r) ·(µ+ ν

)(t) (Definición del producto en k[N])

=∑r+t=s

σ(r) ·(µ(t) + ν(t)

)(Definición de la suma en k[N])

=∑t+r=s

(σ(r) · µ(t) + σ(r)ν(t)

)(Distributividad en k)

=

(∑t+r=s

σ(r) · µ(t)

)+

(∑t+r=s

σ(r)ν(t)

)(Conmutatividad y asociatividad suma en k)

=(σ · µ

)(s) +

(σ · ν

)(s) (Definición producto en k[N])

Usando (iv) deducimos también que(σ + µ

)· ν = σ · ν + µ · ν.

Para mostrar la segunda parte supongamos que σ, µ ∈ k[N] son dos polinomios.Notemos primero que como (σ + µ)(s) = σ(s) + µ(s) para toda s ∈ N, entonces:{

s ∈ N∣∣σ(s) = 0 y µ(s) = 0} ⊆ {s ∈ N ∣∣σ(s) + µ(s) = 0} ,

aśı que tomando complementos en N obtenemos:

(2){s ∈ N

∣∣σ(s) + µ(s) 6= 0} ⊆ {s ∈ N ∣∣σ(s) 6= 0 ó µ(s) 6= 0} .Esto implica que si σ, µ y σ + µ no son el polinomio cero, entonces:

grad(σ + µ) = max{s ∈ N

∣∣σ(s) + µ(s) 6= 0}≤ max

{s ∈ N

∣∣σ(s) 6= 0 ó µ(s) 6= 0}= max

({s ∈ N

∣∣σ(s) 6= 0} ∪ {s ∈ N ∣∣µ(s) 6= 0})= max

(max

{s ∈ N

∣∣σ(s) 6= 0}, max{s ∈ N ∣∣µ(s) 6= 0})= max

(grad(σ), grad(µ)

).


Finalmente, notemos que para mostrar lo que falta es suficiente con demostrar que

si σ, µ ∈ k[N] son polinomios no cero tales que grad(σ) = n y grad(µ) = m, entonces:

(3)(σ · µ

)(s) =

σ(n) · µ(m) si s = n+m0 si s > n+m.En efecto, se sigue de (3) que si σ(n) · µ(m) = 0 entonces σ · µ es el polinomio

cero o grad(σ · µ) < n + m = grad(σ) + grado(µ), mientras que si σ(n) · µ(m) 6= 0entonces σ · µ no es el polinomio cero y grad(σ · µ) = n + m = grad(σ) + grado(µ).Más aún, si k es un dominio entero entonces σ(n) · µ(m) 6= 0, pues por definición delgrado de un polinomio en una indeterminada tenemos que σ(n) 6= 0 6= µ(m).

Mostremos (3). Supongamos primero que s > n + m y consideremos una pareja

ordenada (r, t) de números naturales tales que r+ t = s. Queremos mostrar que para

que esto pase se debe tener r > n ó t > m. En efecto, notemos que si r ≤ n y t ≤ mentonces sumando ambas desigualdades tendŕıamos que r + t ≤ n+m, mientras quepor hipótesis r + t = s > n + m lo cual es contradictorio. Entonces para que la

desigualdad r + t = s > n + m se cumpla, es necesario que r > n ó t > m; en cuyo

caso tendŕıamos que σ(r) = 0 ó µ(t) = 0, respectivamente. Por lo tanto, σ(r)·µ(t) = 0para toda pareja ordenada (r, t) de números naturales tales que r + t = s > n+m.

Deducimos que si s > n+m entonces:(σ · µ

)(s) =

∑r+t=s

σ(r) · µ(t) =∑r+t=s

0 = 0 .

Supongamos ahora que s = n + m y sea (r, t) una pareja ordenada de números

naturales tales que r + t = s. Mostremos que si r 6= n entonces σ(r) · µ(t) = 0.En efecto, si r > n entonces σ(r) = 0 por lo que σ(r) · µ(t) = 0. Si por otro lador < n entonces n + m = s = r + t < n + t, lo que implica que t > m, en cuyo

caso µ(t) = 0 por lo que σ(r) · µ(t) = 0. Más aún, notemos que si r = n entoncesn + m = s = r + t = n + t, lo que implica que t = m. Por lo tanto si s = n + m

tenemos que: (σ · µ

)(s) =

∑r+t=s

σ(r) · µ(t) = σ(n) · µ(m) .

�


Nota que los polinomios de grado cero son exactamente aquellas funciones σ de Nen k tales que σ(0) 6= 0 y σ(s) = 0 siempre que s 6= 0. Se sigue que la función:

(4) kσ• // k[N] definida como σa(s) =

a si s = 00 si s 6= 0tiene como imagen al conjunto de los polinomios de grado cero junto con el polino-

mio cero. La imagen de σ• en k[N] es por definición el conjunto de los polinomiosconstantes. En particular, los polinomios de grado cero son los polinomios constantes

distintos del cero.

Lema 1.2. Si k es un anillo conmutativo con uno, la función σ• de (4) es un morfismo

de anillos (con uno) el cual es inyectivo, en particular el conjunto de los polinomios

constantes es un subanillo de k[N] que podemos identificar con k.

Demostración. Mostremos que si a, b ∈ k, entonces σa + σb = σa+b y σa · σb = σa·b.En efecto, por un lado tenemos que:

(σa + σb)(0) = σa(0) + σb(0) = a+ b = σa+b(0) .

Mientras que si s 6= 0, entonces:

(σa + σb)(s) = σa(s) + σb(s) = 0 + 0 = 0 = σa+b(s) .

Por lo tanto σa + σb = σa+b.

Notemos ahora que (σa · σb)(0) =∑

r+t=0σa(r) · σb(t) = σa(0) · σb(0) = a · b pues la

única pareja (r, t) ∈ N × N que cumple que r + t = 0 es la pareja (0, 0). Además, sis 6= 0 tenemos que (σa ·σb)(s) =

∑r+t=s

σa(r) ·σb(t) = 0, pues toda pareja (r, t) ∈ N×N

tal que r + t = s ≥ 1 debe tener r 6= 0 o t 6= 0 (si r = 0 = t entonces r + t = 0 < s).Por lo que σa · σb = σa·b.

Esto muestra que σ• es un morfismo de anillos. El morfismo σ• es un morfismo

de anillos con uno, pues el neutro multiplicativo del anillo k[N] es igual al polinomio

σ1(s) =

1 si s = 00 si s 6= 0 como vimos en la prueba del Lema 1.1.


Finalmente, notemos que si σa = σb entonces σa(s) = σb(s) para todo s ∈ N. Enparticular a = σa(0) = σb(0) = b. Por lo que σ• es una función inyectiva. �

Por el Lema 1.2, es posible usar la misma letra para denotar a un elemento a ∈ ky al polinomio constante σa, es decir vamos a escribir σa = a.

El polinomio indeterminada, al cual denotamos por la letra X, es definido como

la función:

(5) N X // k tal que X(s) =

1 si s = 10 si s 6= 1 .Para el siguiente enunciado recordemos que si A es un anillo conmutativo con uno

y x ∈ A, se define de manera recursiva para m ∈ N el siguiente elemento de A:

(6) xm =

1 si m = 0xm−1 · x si m ≥ 1 .Mostremos:

Lema 1.3. Si k es un anillo conmutativo con uno, en el anillo de polinomios k[N] secumple:

1.- Si m ≥ 0 es un número entero, entonces el polinomio Xm es igual la función:

Xm(s) =

1 si s = m0 si s 6= m.2.- Si m ≥ 0 es un número entero y a ∈ k, entonces el polinomio a ·Xm es igual

a la función: (a ·Xm

)(s) =

a si s = m0 si s 6= m.En particular, si σ : N // k es un polinomio con coeficientes en k en una inde-

terminada distinto del polinomio cero, entonces:

σ =∑s∈N

σ(s) ·Xs = σ(d) ·Xd + · · ·+ σ(1) ·X + σ(0)


donde d = grad(σ).

Demostración. El número 1.- para m = 0, 1 se sigue fácilmente de las definiciones.

Supongamos que m ≥ 2 y que:

Xm−1(s) =

1 si s = m− 10 si s 6= m− 1 .Deducimos que si s ∈ N entonces:

Xm(s) =∑r+t=s

Xm−1(r) ·X(t) = Xm−1(s− 1) =

1 si s− 1 = m− 10 si s− 1 6= m− 1 ,pues X(t) = 0 si t 6= 1 y X(1) = 1.

Por otro lado, notemos que de (6) se sigue fácilmente 2.- para m = 0. Supongamos

que: (a ·Xm−1

)(s) =

a si s = m− 10 si s 6= m− 1 ,se tiene entonces que:

a ·Xm(s) =∑r+t=s

(a ·Xm−1

)(r) ·X(t)

=(a ·Xm−1

)(s− 1) =

a si s− 1 = m− 10 si s− 1 6= m− 1 .�

Una vez que hemos elegido una letra para denotar al polinomio indeterminada

definido en (5), denotamos al anillo de polinomios k[N] como k[X]. Más aún, cada vezque queramos hablar del polinomio σ : N // k definido como σ(s) = αs si 0 ≤ s ≤ dy σ(s) = 0 si s > d, denotamos a σ como:

(7) P (X) =d∑s=0

αsXs = αdX

d + · · ·+ α1X + α0

y decimos que (7) es un polinomio con coeficientes en k en una indeterminada.


Proposición 1.4. Si k es un anillo conmutativo con uno, el anillo de polinomios en

una indeterminada k[X] junto con el morfismo de anillos con uno σ• : k // k[X] y

el polinomio indeterminada X ∈ k[X], tienen la siguiente propiedad universal (ver elEjercicio 9):

Si A es un anillo conmutativo con uno, f : k //A es un morfismo de

anillos con uno y x0 ∈ A, entonces existe un único morfismo de anilloscon uno ϕ : k[X] //A tal que ϕ ◦ σ• = f y ϕ(X) = x0:

k[X] 3 Xϕ��

_

��k

σ• 33

f ,, A 3 x0

Dicho de otra manera, si A es un anillo conmutativo con uno, la siguiente función

es biyectiva:HomAnillo(k[X], A) //HomAnillo(k,A) × A

ϕ 7→(ϕ ◦ σ•, ϕ(X)

) ,donde HomAnillo denota el conjunto de morfismos de anillos con uno.

Demostración. La prueba de esta Proposición es un caso particular del Ejercicio 8

(ver también el Ejercicio 9). �

§1.1. Funciones algebraicas en una variable. Sea k un anillo conmutativo conuno.

Si vemos al conjunto{f : k → k

∣∣ f es una función} como un anillo conmutativocon uno, donde (f + g)(a) = f(a) + g(a) y (f · g)(a) = f(a) · g(a) para toda a ∈ ky para cualesquiera dos funciones f y g de k en k; se sigue de la Proposición 1.4 que

existe un único morfismo de anillos con uno:

(8) k[X]ev• //

{f : k → k

∣∣ f es una función} ,tal que:

eva : k // k es la función constante de valor a, para toda a ∈ k.


evX : k // k es la función identidad, donde X ∈ k[X] es el polinomio indeter-minada.

De la solución del Ejercicio 8 se tiene que si P (X) =d∑s=0αsX

s = αdXd + · · · +

α1X + α0 es un polinomio y a ∈ k, entonces:

evP (X)(a) =d∑s=0

αsas = αda

d + · · ·+ α1a+ α0 .

Denotamos también P (a) = evP (X)(a) si P (X) ∈ k[X] y a ∈ k.Llamamos al morfismo (8) el morfismo evaluación de k[X]. Si a ∈ k y P (X) ∈ k[X]

cumplen que P (a) = 0, diremos que a es un cero del polinomio P (X). En particular un

polinomio P (X) ∈ k[X] pertenece al núcleo del morfismo evaluación, si y solamentesi el conjunto de los ceros de P (X) es igual a k.

El anillo imagen de ev• es llamado el anillo de las funciones polinomiales sobre k en

una variable o de las funciones algebraicas sobre k en una variable. Se sigue del Primer

Teorema de isomorfismo para anillos, que el morfismo (8) induce un isomorfismo

entre el anillo de las funciones polinomiales sobre k en una variable y el cociente que

se obtiene de dividir al anillo k[X] de los polinomios con coeficientes en k en una

indeterminada, módulo el ideal ker(ev•) de los polinomios que definen la función cero

de k en k:

(9) k[X]/

ker(ev•) ∼=Anillo de las funciones

polinomiales sobre k

en una variable.

Lema 1.5. Si k = Z/pZ donde p es un número primo, entonces el núcleo del mor-

fismo (8) es igual al ideal generado por el polinomio Xp − X ∈ Z/pZ[X]. Por lo

que:

Z/pZ[X]

/〈Xp −X

〉 ∼= Anillo de las funcionespolinomiales sobre Z/pZen una variable.

Demostración. Como(Z/pZ)×

=(Z/pZ)∖{

0}

es un grupo multiplicativo con p−1

elementos, se sigue que todos los elementos de(Z/pZ)×

son ceros del polinomio


Xp−1−1 ∈ Z/pZ[X]. Por lo tanto todos los elementos de Z

/pZ son ceros del polinomio

Xp −X ∈ Z/pZ[X]. Dicho de otro modo, Xp −X ∈ ker(ev•).

Supongamos ahora que P (X) ∈ Z/pZ[X] es un polinomio en el núcleo del mor-

fismo evaluación. Recordemos que como Z/pZ es un campo, el anillo Z

/pZ[X] tiene

un algoritmo de la división, en particular existen únicos polinomios Q(X), R(X) ∈Z/pZ[X] tales que:

(10)

P (X) = (Xp −X) ·Q(X) +R(X) y(R(X) = 0 ó 0 ≤ grad

(R(X)

)< p).

Más aún, el algoritmo de la división en Z/pZ[X] también implica (ver la prueba

del Corolario 1.7) que si S(X) ∈ Z/pZ[X], entonces el número de los ceros de S(X)

en Z/pZ es menor o igual al grado de S(X). Como supusimos que P (X) está en el

núcleo del morfismo evaluación, se sigue en particular de (10) que si R(X) no es el

polinomio cero, entonces R(X) seŕıa un polinomio de grado menor que el número de

sus ceros. Ya que esto es contradictorio concluimos que en (10) el polinomio R(X) es

cero, es decir P (X) ∈〈Xp −X

〉. Por lo tanto ker(ev•) ⊆

〈Xp −X

〉. �

Observación 1.6. Si n es un número compuesto, en Z/nZ[X] se puede encontrar

un polinomio de grado menor que n en el núcleo del morfismo evaluación (8). Por

ejemplo R(X) = X5 −X3 ∈ Z/

8Z[X] define la función cero de Z/

8Z en Z/

8Z.

Para dominios enteros infinitos la situación es distinta:

Corolario 1.7. S k es un dominio entero infinito, la función (8) es inyectiva; es

decir, en este caso el anillo de las funciones polinomiales sobre k en una variable es

isomorfo al anillo de polinomios k[X].

Demostración. Recordemos que si k no es un campo, entonces k[X] no tiene un algo-

ritmo de la división. Sin embargo se puede mostrar:

Lema 1.8. Sea k un anillo conmutativo con uno. Si P (X) = adXd+ · · ·+a1X+a0 es

un polinomio con coeficientes en k en una indeterminada, entonces para todo a ∈ kexiste un polinomio Q(X) tal que P (X) = (X − a)Q(X) + P (a).


Usando inducción matemática y el Lema 1.8, se deduce que si k es un dominio

entero y p(X) ∈ k[X]\{0}, entonces:

#{a ∈ k

∣∣P (a) = 0} ≤ grad(P (X)) .En particular, si k es un dominio entero infinito y P (X) ∈ k[X] está en el núcleo

del morfismo evaluación, es decir{a ∈ k

∣∣P (a) = 0} = k; entonces P (X) debe ser elpolinomio cero. �

2. Anillo de polinomios en varias indeterminadas

Sea k un anillo conmutativo con 1 y n ≥ 1 un número natural. Definimos unpolinomio con coeficientes en k en n indeterminadas como una función σ : Nn // k ,tal que el subconjunto

{s = (s1, . . . , sn)

∣∣σ(s) 6= 0} del producto cartesiano Nn esfinito. En este caso llamamos a σ(s) ∈ k el coeficiente de σ en grado s. El conjuntode todos los polinomios con coeficientes en k en n indeterminadas es denotado como

k[X1, . . . , Xn].

Si σ, µ ∈ k[X1, . . . , Xn] son polinomios, la suma de σ y µ es el polinomio σ + µdefinido como

(σ + µ

)(s) = σ(s) + µ(s) para toda s = (s1, . . . , sn) y el producto es el

polinomio σ · µ definido como:

(11)(σ · µ

)(s) =

∑r+t=s

σ(r) · µ(t)

para toda s = (s1, . . . , sn), donde r + t = (r1 + t1, . . . , rn + tn) si r = (r1, . . . , rn) y

t = (t1, . . . , tn).

Lema 2.1. Si k es un anillo conmutativo con uno, el conjunto k[X1, . . . , Xn] con la

suma y el producto definidos arriba forman un anillo conmutativo con uno.

Demostración. Este es el caso particular del Ejercicio 4 cuando M es el monoide

N× · · · × N︸︷︷︸n

con la suma coordenada a coordenada. �


Consideremos la función σ• : k // k[X1, . . . , Xn] definida como

(12) σa(s1, . . . , sn) =

1 si (s1, . . . , sn) = (0, . . . , 0) ,0 si (s1, . . . , sn) 6= (0, . . . , 0) .Los polinomios de la forma σa para alguna a ∈ k son llamados los polinomios

constantes.

Lema 2.2. Para todo anillo conmutativo con uno y todo número natural n ≥ 1,la función definida arriba σ• : k // k[X1, . . . , Xn] es un morfismo inyectivo de ani-

llos con 1. En particular el conjunto de los polinomios constantes es un subanillo de

k[X1, . . . , Xn] al que podemos identificar con k, es decir si a ∈ k escribimos σa = a.

Demostración. Este enunciado es un caso particular del Ejercicio 6. �

Para cada número natural 1 ≤ i ≤ n definimos al polinomio i-ésima indeterminadaXi como la función de Nn en k definida por:

Xi(s) =

1 si s = ei = (0, . . . , 0, 1i , 0, . . . , 0) ,0 si s 6= ei .Lema 2.3. Si k es un anillo conmutativo con uno, en el anillo k[X1, . . . , Xn] se

cumple:

1.- Si m ≥ 0 e 1 ≤ i ≤ n son números naturales, entonces el polinomio Xmi esigual a la función definida como:

(13) Xmi (s) =

1 si s = mei = (0, . . . , 0,mi , 0, . . . , 0) ,0 si s 6= mei .2.- Si m1, . . . ,mn ≥ 0 e 1 ≤ i ≤ n, el polinomio Xm11 · · ·Xmnn es igual a la función

definida como:

(14) Xm11 · · ·Xmnn (s) =

1 si s = (m1, . . . ,mn) ,0 si s 6= (m1, . . . ,mn) .


3.- Si m1, . . . ,mn ≥ 0 e 1 ≤ i ≤ n son números naturales, se tiene que para todoa ∈ k el polinomio aXm11 · · ·Xmnn es igual a la función definida como:

(15) aXm11 · · ·Xmnn (s) =

a si s = (m1, . . . ,mn) ,0 si s 6= (m1, . . . ,mn) .Se sigue en particular que si σ : Nn // k es un polinomio con coeficientes en k

en n indeterminadas, entonces:

σ =∑

(s1,...,sn)∈Nnσ(s1, . . . , sn)X

s11 · · ·Xsnn =

∑s∈Nn

σ(s)Xs .

De ahora en adelante escribimos también P (X1, · · · , Xn) =∑α(s1,...,sn)X

s11 · · ·Xsnn =∑

αsXs para denotar al polinomio con coeficientes en k en n indeterminadas, que

como función σ : Nn // k es definida por σ(s) = αs (en particular, se supone siempreque la suma sobre s sea finita).

Proposición 2.4. Si k es un anillo conmutativo con uno y n ≥ 1 es un número na-tural, el anillo de polinomios con coeficientes en k en n indeterminadas k[X1, . . . , Xn]

junto con el morfismo de anillos con uno σ• : k // k[X1, . . . , Xn] y los n polinomios

indeterminada X1, . . . , Xn ∈ k[X1, . . . , Xn], tienen la siguiente propiedad universal(ver el Ejercicio 9):


anillos con uno y x1, . . . , xn ∈ A son n elementos de A, entonces existeun único morfismo ϕ : k[X1, . . . , Xn] //A tal que ϕ◦σ• = f y ϕ(Xi) = xipara 0 ≤ i ≤ n:

k[X1, . . . , Xn] 3 Xiϕ��

_

��k

σ• 33

f ++ A 3 xi

Dicho de otra manera, la siguiente función es biyectiva:

HomAnillo(k[X1, . . . , Xn], A) //HomAnillo(k,A) × An

ϕ 7→(ϕ ◦ σ•, ϕ(X1), . . . , ϕ(Xn)

) ,


donde HomAnillo denota el conjunto de morfismos de anillos con uno.

Demostración. Esta Proposición es el caso particular del Ejercicio 8 dondeN es el

monoide Nn con la suma coordenada a coordenada (ver también el Ejercicio 9). �

Se deduce:

Corolario 2.5. Si k es un anillo conmutativo con uno, n ≥ 2 un número natural yρ ∈ Sn, existe un único isomorfismo de anillos con uno:

k[X1, . . . , Xn]ϕ //

(k[Y1, . . . , Yn−1]

)[Yn]

tal que ϕ(a) = a para toda a ∈ k y ϕ(Xi) = Yσ(i) para toda 1 ≤ i ≤ n.

§2.1. Funciones algebraicas en varias variable. Sea k un anillo conmutativocon uno y consideremos al conjunto

{f : kn → k

∣∣ f es una función} como un anilloconmutativo con uno, donde (f + g)(a) = f(a) + g(a) y (f · g)(a) = f(a) · g(a) paratoda a = (a1, . . . , an) ∈ kn y para cualesquiera dos funciones f y g de kn en k.

Notemos que por la Proposición 1.4 existe un único morfismo de anillos con uno:

(16) k[X1, . . . , Xn]ev• //

{f : kn → k

∣∣ f es una función}tal que:

eva : kn // k es la función constante de valor a, para toda a ∈ k.

evXi : kn // k es la i-ésima proyección para toda 1 ≤ i ≤ n.

Se sigue que si P (X1, · · · , Xn) =∑αsX

s =∑α(s1,...,sn)X

s11 · · ·Xsnn es un

polinomio en n indeterminadas y a = (a1, . . . , an) ∈ kn, entonces:

evP (a) = P (a) = P (a1, . . . , an) =∑

αsas =

∑α(s1,...,sn) a

s11 · · · asnn .

Si σ = P (X1, . . . , Xn) ∈ k[X1, . . . , Xn] es un polinomio, un elemento a = (a1, . . . , an) ∈kn es llamado un cero de P si se cumple que evσ(a) = P (a1, . . . , an) = 0.

El anillo imagen del morfismo ev• es llamado el anillo de las funciones polinomiales

sobre k en n variables o de las funciones algebraicas sobre k en n variables. Por el


Primer Teorema de isomorfismo para anillos, el morfismo (16) induce un isomorfismo

entre el anillo de las funciones polinomiales sobre k en n variables y el cociente que

se obtiene de dividir al anillo k[X1, . . . , Xn] de los polinomios con coeficientes en k en

n indeterminadas, módulo el ideal ker(ev•) de los polinomios que definen la función

cero de kn en k:

(17) k[X1, . . . , Xn]/

ker(ev•) ∼=Anillo de las funciones

polinomiales sobre k

en n variables.

Proposición 2.6. Si k es un dominio entero infinito (16) es una función inyectiva;

es decir, en este caso el anillo de las funciones polinomiales dobre k en n variables

es isomorfo al anillo de los polinomios k[X1, . . . , Xn].

Tarea 1

1.- Verifica las fórmulas (13), (14) y (15) del Lema 2.3 (puedes usar el ejercicio 5).

2.- Si k es un dominio entero, deduce del Lema 1.1 y del Corolario 2.5 que para

n ≥ 1 el anillo de polinomios k[X1, . . . , Xn] es un dominio entero.

3.- Si σ ∈ k[X1, . . . , Xn] es un polinomio distinto del cero, definimos el grado totalde f como el número natural:

grad(σ) = max{s1 + · · ·+ sn

∣∣σ(s1, . . . , sn) 6= 0} .Muestra:

a) grad(σ) = 0 si y solamente si σ es un polinomio constante.

b) grad(σ · µ) ≤ grad(σ) + grad(µ) si σ, µ ∈ k[X1, . . . , Xn] son polinomios nonulos.

4.- Sea k un anillo conmutativo con uno y M un monoide abeliano. Un M -

polinomio con coeficientes en k es una función σ : M // k tal que{s ∈M

∣∣σ(s) 6=0}

es un subconjunto finito de M . Denotamos como k[M ] al conjunto de todos


los M -polinomios con coeficientes en k. Muestra que k[M ] =(k[M ],+, ·

)es un

anillo conmutativo con uno donde(σ + µ

)(s) = σ(s) + µ(s):(

σ · µ)(s) =

∑r+t=s

σ(r) · µ(t)

para todo s ∈M y donde el uno es el polonomio (ver el Ejercicio 6):

1 = σ1(s) =

1 si s = e (el elemento neutro de M) ,0 si s 6= e .5.- Sea ` ≥ 2 un número natural. Si σ1, . . . σ` ∈ k[M ] muestra que el producto

(σ1 · · · σ`) ∈ k[M ] cumple:(σ1 · · · σ`

)(s) =

∑r1+···+r`=s

σ1(r1) · · ·σ`(r`)

para cada s ∈M , donde la suma está indexada sobre las `-ádas (r1, · · · , r`) deelementos de M tales que r1 + · · ·+ r` = s.

6.- Verifica que la función σ• : k // k[M ] definida como:

σa(s) =

a si s = e (el elemento neutro de M) ,0 si s 6= e .es un morfismo de anillos con uno inyectivo.

7.- Sea X(•) : M // k[M ] la función definida en t ∈M como el M -polinomio:

X(t)(s) =

1 si s = t ,0 si s 6= t .Muestra que X(•) es un morfismo de monoides inyectivo, donde k[M ] es vistocomo monoide multiplicativo.


8.- Si k es un anillo conmutativo con uno y M un monoide conmutativo, el anillo

k[M ] junto con el morfismo de anillos con uno σ• : k // k[M ] y el morfismo

de monoides X(•) : M // k[M ] de los Ejercicios 6 y 7 respectivamente, tienenla siguiente propiedad universal (ver el Ejercicio 9):


anillos con uno y g : M //A es un morfismo de monoides (donde A

es visto como un monoide multiplicativo), entonces existe un único

morfismo de anillos con uno ϕ : k[M ] //A tal que ϕ ◦ σ• = f y ϕ ◦X(•) = g:

k[M ]

ϕ��

k

σ• 22

f..

M

X(•)ll

gppA

Dicho de otra manera, la siguiente función es biyectiva:

HomAnillo(k[M ], A) //HomAnillo(k,A) × HomMonoide(M,A)ϕ 7→

(ϕ ◦ σ•, ϕ ◦X(•)

) ,donde HomMonoide denota el conjunto de morfismos de monoides.

9.- Sea k un anillo conmutativo con uno y M un monoide conmutativo. Muestra

que si Ω es un anillo conmutativo con uno, f : k //Ω es un morfismo de anillos

con uno y g : k //Ω es un morfismo de monoides (Ω visto como monoide

multiplicativo), los cuales cumplen que para todo anillo conmutativo con uno

A la siguiente función es biyectiva:

HomAnillo(Ω, A) //HomAnillo(k,A) × HomMonoide(M,A)ψ 7→ (ψ ◦ f, ψ ◦ g)

entonces el único morfismo de anillos con uno ϕ : k[X] //Ω tal que ϕ ◦σ• = fy ϕ ◦X(•) = g, es un isomorfismo.


10.- Sea L un monoide conmutativo y n ≥ 1 un número natural. Muestra que setiene una biyection:

HomMonoide(Nn, L) // Ln

ϕ 7→(ϕ(e1), . . . , ϕ(en)

)donde HomMonoide denota al conjunto de los morfismos de monoides y Nn esvisto como monoide por la suma coordenada a coordenada.

11.- Muestra que si L es un monoide conmutativo (multiplicativo) y n,m ≥ 1 sonnúmeros naturales, la función:

HomMonoide(Nn, L)× HomMonoide(Nm, L) F //HomMonoide(Nn+m, L)

definida como F (ϕ, ψ)(s1, . . . , sn, t1, . . . , tm) = ϕ(s1, . . . , sn) · ψ(t1, . . . , tm), esbiyectiva.

12.- Si L es un monoide conmutativo (multiplicativo) con elemento neutro e y n ≥ 1es un número natural, demuestra que las siguientes funciones son biyectivas:

HomMonoide(Z, L) //{

(x, y) ∈ L2∣∣∣x · y = e}

ϕ 7→(ϕ(1), ϕ(−1)

) ,HomMonoide(Z, L) //

{x ∈ L

∣∣∣ existe y ∈ L con x · y = e}ϕ 7→ ϕ(1)

y HomMonoide(Z/nZ, L) //{x ∈ L

∣∣∣xn = e}ϕ 7→ ϕ(1)

donde Z y Z/nZ son considerados como monoides con la suma.

13.- Muestra que el anillo k[Z] es isomorfo al anillo que se obtiene de dividir alanillo de polinomios k[X, Y ] en dos indeterminadas módulo el ideal generado

por el polinomio XY − 1.


14.- Muestra que el anillo k[Z/nZ] es isomorfo al anillo de los polinomios k[X] enuna indeterminada módulo el ideal generado por el polinomio Xn−1. ¿Cuántoselementos tiene el anillo Z/2Z[Z/2Z]?

15.- Muestra la Proposición 2.6.

3. Topoloǵıa de Zariski

Si X es un espacio topológico denotemos como C0R(X ) al conjunto de las funcionescontinuas de X en R. Notemos que el conjunto C0R(X ) tiene la estructura de un anilloconmutativo con uno con las operaciones definidas puntualmente:(

ϕ+ ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x) y

(ϕ · ψ

)(x) = ϕ(x) · ψ(x) para todo x ∈ X .

Cuando X es un espacio compacto (de Hausdorff), existe un procedimiento pararecuperar a X (el conjunto de puntos y su topoloǵıa) a partir del conjunto parcial-mente ordenado de los ideales del anillo conmutativo con uno CR(X ). En efecto, paraconsideremos las funciones:

(18)

{Subconjuntos

del anilloC0R(X )

}Z //

{Subconjuntos

delespacio X

},

Ioo

definidas en S ⊆ C0R(X ) como el subconjunto de X :

Z(S) ={x ∈ X

∣∣ϕ(x) = 0 para toda ϕ ∈ S}y en un subconjunto Ω ⊆ X como subconjunto de C0R(X ):

I(Ω) ={ϕ ∈ C0R(X )

∣∣ϕ(x) = 0 para toda x ∈ Ω} .Notemos primero:

Lema 3.1. Las funciones en (18) tienen las siguientes propiedades:

(i) Si S ⊆ S ′ ⊆ C0R(X ) son subconjuntos, entonces Z(S ′) ⊆ Z(S).


(ii) Si Ω ⊆ Ω′ ⊆ X son subconjuntos, entonces I(Ω′) ⊆ I(Ω).

(iii) Si Ω ⊆ X es un subconjunto, entonces I(Ω) es un ideal del anillo C0R(X ).

(iv) Si S ⊆ C0R(X ) es un subconjunto y 〈S〉 es el ideal generado por S, entonces setiene que Z(S) = Z

(〈S〉).

Se sigue de (iii) que las funciones en (18) inducen por restricción:

(19)

{Ideales

del anilloC0R(X )

}Z //

{Subconjuntos

delespacio X

},

Ioo

además por (iv) la imagen de Z en (19) es igual a la imagen de Z en (18).Mostremos el siguiente enunciado:

Lema 3.2. Si X es un espacio topológico, entonces:

(i) Z(a) es un subconjunto cerrado de X para todo ideal a ⊆ C0R(X ).

(ii) Si Ω ⊆ X es un subconjunto arbitrario, se tiene que Ω ⊆ Z(I(Ω)

). Más aún, si

X es compacto (de Hausdorff) y Ω es un cerrado de X entonces Z(I(Ω)

)= Ω.

En particular, si X es un espacio topológico compacto (de Hausdorff) un subcon-junto Ω ⊆ X es cerrado si y solamente si Z

(I(Ω)

)= Ω.

Demostración. Para mostrar (i) notemos que Z(a) =⋂f∈a

f−1(0) es una intersección

de conjuntos cerrados f−1(0). En particular Z(a) ⊆ X siempre es un subconjuntocerrado.

Si Ω ⊆ X es un subconjunto arbitrario, se verifica fácilmente que Ω ⊆ Z(I(Ω)

).

Supongamos por otro lado que Ω ⊆ X es un subconjunto cerrado. Recordemos quesi x /∈ Ω existe f ∈ C0R(X ) tal que f(x) = 1 y f(y) = 0 para todo y ∈ Ω, pues Ω escerrado y X es compacto (de Hausdorff). En particular f ∈ I(Ω) y f(x) = 1, por loque x /∈ Z

(I(Ω)

). Es decir X\Ω ⊆ X\Z

(I(Ω)

). �


Notemos que otra forma de leer el Lema 3.2 es la siguiente: Si Ω ⊆ X es unsubconjunto arbitrario de un espacio topológico compacto (de Hausdorff) X , entoncesΩ es un cerrado si y solamente si existe un ideal a ⊆ C0R(X ) tal que Z(a) = Ω. Enparticular, la topoloǵıa de un espacio compacto (de Hausdorff) X la podemos deducirde los ideales del anillo conmutativo con uno C0R(X ).

Veamos ahora cómo se recupera al conjunto de puntos de un espacio compacto (de

Hausdorff) a partir del conjunto parcialmente ordenado de los ideales del anillo C0R(X ).Para ello notemos que si x ∈ X es un punto de un espacio topológico arbitrario, elideal de las funciones continuas de X en R que se anulan en x:

mxdef= I

({x})

={f ∈ C0R(X )

∣∣ f(x) = 0}es un ideal máximo del anillo C0R(X ).

En efecto, esto es una consecuencia de que el morfismo evaluación en x:

C0R(X )evx //R

f 7→ f(x)

induce un isomorfismo del anillo cociente C0R(X )/mx en el campo de los números

reales.

Mostremos:

Lema 3.3. Si X es un espacio topológico compacto (de Hausdorff), la función:

(20) X m• //{

Ideales máximos de C0R(X )}

x 7→ mx ={f∣∣ f(x) = 0}

es biyectiva.

Demostración. Si x ∈ X se verifica fácilmente que x ∈ Z(mx). Por otro lado, si y ∈ X

es un punto distinto de x sabemos que existe una función continua f : X //R tal quef(x) = 0 y f(y) = 1, es decir f ∈ mx y f(y) 6= 1. Dicho de otro modo y /∈ Z

(mx),

por lo que {x} = Z(mx). Esto implica en particular que m• es una función inyectiva.


Consideremos ahora m ⊆ C0R(X ) un ideal máximo. Notemos que si x ∈ Z(m),

entonces:

m ⊆ I(Z(m))⊆ mx ⊆ C0R(X ) ,

por lo que m = mx.

Supongamos por el contrario que Z(m)

= ∅. Dicho de otro modo, para todopunto x ∈ X existe una función continua fx : X //R en m tal que fx(x) 6= 0. Sesigue de la compacidad de X que existen funciones f1, . . . , fs ∈ m, con la propiedadque f−11

(R\{0}

), . . . , f−1s

(R\{0}

)son una cubierta abierta de X .

Sea f = f 21 + · · · + f 2s ∈ m. Notemos que si z ∈ X entonces existe 1 ≤ i ≤ stal que z ∈ f−1i

(R\{0}

), en particular fi(z) 6= 0, es decir f 2i (z) > 0. Por lo tanto

f(z) = f 21 (z) + . . . f2s (z) ≥ f 2i (z) > 0, es decir f(z) 6= 0. Por lo tanto f : X //R es

una función continua que no se anula en ningún punto de X . En particular podemosconsiderar la función continua 1/f : X //R . Por lo tanto 1 = (1/f)(f) ∈ m, lo cuales una contradicción. Entonces Z

(m)6= ∅. �

3.1. Sea k un anillo conmutativo con uno y n ≥ 1. Si S ⊆ k[X1, . . . , Xn] es unafamilia de polinomios con coeficientes en k en n indeterminadas, denotamos como

Z(S) al conjunto de ceros de S, es decir:

Z(S) ={a = (a1, . . . , an) ∈ kn

∣∣∣P (a) = 0 para todo P ∈ S } .Denotamos también Z(S) = Z(P1, . . . , P`) si S =

{P1, . . . , P`

}es un conjunto finito

de polinomios.

Rećıprocamente si Ω ⊆ kn es un subconjunto arbitrario, el ideal de Ω es el sub-conjunto de k[X1, . . . , Xn] de los polinomios que se anulan en Ω:

I(Ω) ={P (X) ∈ k[X1, . . . , Xn]

∣∣∣ P (a) = 0 para todo a = (a1, . . . , an) ∈ Ω} .Lema 3.4. Las funciones:

(21)

{Subconjuntos

del anillok[X1, · · · , Xn]

}Z //

{Subconjuntosdel producto

cartesiano kn

},

Ioo

tienen las siguientes propiedades:


1.- Z(R) ⊆ Z(S) siempre que S ⊆ R.

2.- I(Ω) ⊆ I(Ω′) siempre que Ω′ ⊆ Ω.

3.- Z(S) = Z(〈S〉) donde 〈S〉 es el ideal generado por S.

4.- I(Ω) es un ideal del anillo k[X1, . . . , Xn].

5.- Ω ⊆ Z(I(Ω)

)si Ω ⊆ kn es un subconjunto arbitrario.

6.- S ⊆ I(Z(S)

)si S ⊆ k[X1, . . . , Xn] es un subconjunto arbitrario.

7.- Z(∅) = Z(0) = kn y Z(k[X1, · · · , Xn]) = Z(1) = ∅.

8.- I(∅) = k[X1, . . . Xn] y si k es un dominio entero infinito entonces I(kn) = 0.

9.-⋂α∈ΛZ(Sα) = Z(

⋃α∈Λ

Sα) si{Sα}α∈Λ es una familia de subconjuntos Sα ⊆ k[X1, . . . , Xn].

10.-⋂α∈ΛI(Ωα) = I(

⋃α∈Λ

Ωα) si{

Ωα}α∈Λ es una familia de subconjuntos Ωα ⊆ k

n.

11.-⋃α∈λZ(Sα) ⊆ Z(

⋂α∈λ

S) y Z(S)∪Z(R) ⊆ Z(S ·R) donde S ·R denota el producto

de subconjuntos de un anillo S ·R ={P ·Q

∣∣P ∈ S y Q ∈ R}. Más aún si k esun dominio entero entonces Z(S) ∪ Z(R) = Z(S ·R).

12.-∑α∈ΛI(Ωα) ⊆ I(

⋂α∈Λ

Ωα) si{

Ωα}α∈Λ es una familia de subconjuntos Ωα ⊆ k

n.

Definición 3.5. Si k es un dominio entero y n ≥ 1, un subconjunto X ⊆ kn de laforma X = Z(S) para algún subconjunto S ⊆ k[X1, . . . , Xn] es llamado un cerrado deZariski de kn. Se sigue de las propiedades 7, 9 y 11 del Lema 3.4 que los cerrados de

Zariski de kn son los cerrados de una topoloǵıa en kn llamada la topoloǵıa de Zariski

en kn.

Mostremos:

Lema 3.6. Si k es un dominio entero y n ≥ 1, la topoloǵıa de Zariski en kn contienea la topoloǵıa cofinita de kn, es decir todo subconjunto finito de kn es un cerrado de


Zariski. Más aún, si n = 1 la topoloǵıa de Zariski en k es exactamente la topoloǵıa

cofinita; en particular si k es un dominio entero finito, es decir si k es un campo

finito, la topoloǵıa de Zariski de k es la topoloǵıa discreta.

Demostración. Como la unión finita de conjuntos algebraicos es un conjunto algebrai-

co, basta notar que Z(X1 − a1, . . . , Xn − an) ={

(a1, . . . , an)}

si (a1, . . . , an) ∈ kn esun punto.

Rećıprocamente, supongamos que n = 1 y sea S ⊆ k[X]. Si S = ∅ o S = {0}entonces Z(S) = kn. Si por otro lado P ∈ S es un polinomio no cero, se sigue queZ(S) ⊆ Z(P ). Como k es un dominio entero la cardinalidad de Z(P ) está acotadapor el grado de P , por lo tanto Z(S) es un conjunto finito. �

Si k es un anillo normado (por ejemplo k = R con el valor absoluto) entoncesla topoloǵıa de Zariski de kn está contenida en la topoloǵıa métrica de kn (ver el

Ejercicio 17 abajo). En general esta contención es propia (ver el Ejercicio 26 abajo).

4. El caso: k campo y n = 1

4.1. Divisibilidad en un dominio entero. Sea A un dominio entero. Si a y b

son elementos de A, decimos que a divide b o que b es múltiplo de a si existe x ∈ Atal que a · x = b. En este caso escribimos a | b. Se muestra sin dificultad:

Lema 4.1. Si A es un dominio entero se tienen las siguientes propiedades:

1.- a | a para todo elemento a de A.

2.- Si a | b y b | c entonces a | c.

3.- a |x para todo elemento a ∈ A si y solamente si x = 0, el neutro aditivo de A.

4.- x | a para todo elemento a ∈ A si y solamente si x es una unidad de A.

5.- a | b y b | a si y solamente si existe una unidad u ∈ A tal que a = u · b.

6.- a | b si y solamente si a · u | b · v para cualesquiera u, v unidades de A


7.- Si a | b entonces a · c | b · c para todo c ∈ A.

8.- Si a | b y a | c entonces a | (b · z + c · w) para cuales quiera z, w ∈ A.

En particular el conjunto A con la relación de divisibilidad es un conjunto pre-

ordenado (ver 1 y 2 del Lema 4.1), pero no es un conjunto parcialmente ordenado si

A× 6= {1}, donde A× denota al conjunto de las unidades de A (ver 5 del Lema 4.1).Dos elementos a y b de un dominio entero A son llamados asociados si a | b y

b | a. No es dif́ıcil demostrar que ser asociado es una relación de equivalencia en A.Si a ∈ A entonces la clase de equivalencia de a por esta relación de equivalencia esigual al conjunto a ·A× =

{a · u

∣∣u unidad de A} (ver 5 del Lema 4.1). Denotamoscomo A/A× al conjunto cociente que obtenemos de A módulo asociados. Nota que

el conjunto A/A× hereda una relación de divisibilidad la cual es un orden parcial

(ver 6 del Lema 4.1). La clase de equivalencia del neutro aditivo 0 · A× ={

0}

es la cota superior de A/A× y la clase del neutro multiplicativo 1 · A× = A× ={u∣∣u unidad de A} la cota inferior (ver 3 y 4 del Lema 4.1).Notemos que la función:

(22) A〈 · 〉

//{

Ideales de A}

a 7→ 〈a〉

que a cada elemento a de A asocia 〈a〉 ={xa ∈ A

∣∣x ∈ A} el ideal generado por a,tiene la propiedad:

a | b si y solamente si (b) ⊆ (a).

Observa que la imagen de la función (22) es el conjunto de los ideales principales

de A; además, dos elementos a, b ∈ A cumplen que (a) = (b) si y solamente si a y b sonasociados. Por lo tanto el conjunto parcialmente ordenado A/A× con la divisibilidad

es isomorfo al conjunto parcialmente ordenado opuesto de los ideales principales de

A con la contención.

Si a1, . . . , an son elementos de A, decimos que a1, . . . , an tienen un máximo común

divisor o un mcd (resp. mı́nimo común múltiplo o mcm) si existe un elemento w de

A tal que:


1.- w | a1, · · · , w | an(resp. a1 |w, · · · , an |w

).

2.- Si z es un elemento de A tal que z | a1, · · · , z | an(resp. a1 | z, · · · , an | z

)entonces z |w

(resp. w | z

).

En este caso decimos que w es un máximo común divisor o un mcd (resp. mı́nimo

común múltiplo o mcm) de los elementos a1, . . . , an y escribimos:

w =(a1, . . . , an

) (resp. w =

[a1, . . . , an

]).

Se demuestra sin dificultad que si w,w′ ∈ A y w es un mcd (resp. mcm) de loselementos a1, . . . , an de A, entonces w

′ también es un mcd (resp. mcm) de a1, . . . , an

si y solamente si, w y w′ son asociados. Más aún, w es un mcd (resp. mcm) de

los elementos a1, . . . , an de A si y solamente si, el ideal principal 〈w〉 es la mı́nimacota superior (resp. máxima cota inferior) de los ideales 〈a1〉, . . . , 〈an〉 en el conjuntoparcialmente ordenado de los ideales principales de A. En particular a1, . . . , an tienen

un mcd (resp. mcm) si y solamente si el ideal suma 〈a1〉 + · · · + 〈an〉(resp. el ideal

intersección 〈a1〉 ∩ · · · ∩ 〈an〉)

es un ideal principal de A; en este caso:

〈a1〉+ · · ·+ 〈an〉 =〈(a1, . . . , an

)〉 (resp. 〈a1〉 ∩ · · · ∩ 〈an〉 =

〈[a1, . . . , an

]〉).

Recordemos por último que si a1, . . . , an ∈ A, decimos que los elementos a1, . . . , anson primos relativos si el neutro multiplicativo de A es un mcd de los elementos

a1, . . . , an de A, es decir siempre que w ∈ A cumple que w | a1, · · · , w | an entonces wes una unidad. De manera equivalente a1, . . . , an son primos relativos si y solamente

si A = 〈a1〉+ · · ·+ 〈an〉.

Corolario 4.2. Si A es un dominio de ideales principales, es decir si A es un dominio

entero tal que la función (22) es sobreyectiva, cualesquiera elementos a1, . . . , an ∈ Atienen un mcd y un mcm.

Si a es un elemento de un dominio entero, decimos que a es primo si a no es

una unidad y siempre que a∣∣xy se tiene que a ∣∣x o a ∣∣ y. Notemos que si a y b son

asociados, entonces a es primo si y solamente si b es primo. Por otro lado, se sigue


de la definición que a es un elemento primo de A, si y solamente si el ideal principal

〈a〉 ⊆ A es primo y propio (es decir 〈a〉 6= A y si xy ∈ 〈a〉 entonces x ∈ 〈a〉 o y ∈ 〈a〉).Entonces a ∈ A es primo si y solamente si A

/〈a〉 es un dominio entero (donde 1 6= 0).

Un elemento a de A es llamado irreducible si a 6= 0, a no es una unidad y siempreque a = x ·y entonces x es una unidad o y es una unidad. No es dif́ıcil mostrar que si ay b son asociados entonces a es irreducible si y solamente si b es irreducible. Más aún

un elemento a de A es irreducible si y solamente si, 〈a〉 es un ideal propio, no trivialde A el cual es máximo en el conjunto parcialmente ordenado (por la contención)

de los ideales principales de A (es decir 〈a〉 6= A, 〈a〉 6= 〈0〉 y si 〈a〉 ⊆ 〈x〉 entonces〈x〉 = 〈a〉 ó 〈x〉 = A).

Corolario 4.3. Si A es un dominio entero, todo elemento primo distinto de cero es

irreducible. Por otro lado, si A es un dominio de ideales principales todo elemento

irreducible es primo no cero.

Recordemos que el anillo de los enteros Z y el anillo de los polinomios en unavariable k[X] con coeficientes en un campo, son ejemplos de dominios de ideales prin-

cipales. Esto es una consecuencia de que en Z y en k[X] (donde k es un campo) existeuna división euclidiana, es decir son dominio euclidianos. Notemos que los elementos

irreducibles de Z son los llamados números primos 2, 3, 5, 7, . . . y sus inversos aditivos−2,−3,−5,−7, . . . . Por otro lado:

Lema 4.4. Si k es un dominio entero, los polinomios αX + β ∈ k[X] donde α 6= 0son elementos irreducibles del dominio entero k[X].

Más aún, si k = C los únicos polinomios irreducibles son los de la forma αX+β ∈C[X] donde α 6= 0, y si k = R los elementos irreducibles de R[X] son los polinomios:{α(X−a)

∣∣∣ a ∈ R y α ∈ R\{0}}t{α(X2−(2a)X+(a2+b2)) ∣∣∣ a+ ib ∈ C\R y α ∈ R\{0}} .4.2. Dominios de factorización única.

Definición 4.5. Un dominio de factorización única (DFU) es un dominio entero A

tal que


a) Si a ∈ A no es una unidad y no es cero entonces:

a = p1 · · · ps donde p1, . . . , ps son irreducibles y s ≥ 1.

b) Si p1 · · · ps = q1 · · · pt donde p1, . . . , ps, q1, . . . , qt son elementos irreducibles deA y s, t ≥ 1 entonces s = t y existe una permutación σ de

{1, 2, . . . , s

}tal que

pi = qσ(i) para todo 1 ≤ i ≤ s.

Se puede demostrar:

Proposición 4.6. Si A es un dominio de ideales principales, entonces A es un do-

mino de factorización única. En particular, el anillo de los enteros Z y el anillo depolinomios k[X] con coeficientes en un campo, son dominios de factorización única.

Si A es un dominio de factorización única, p ∈ A es un elemento irreducible ya ∈ A\{0}, definimos la valuación p-ádica de a o la multiplicidad de a en p como elnúmero natural:

νp(a) = multp(a) = max{s ∈ N

∣∣ ps | a} .Para mostrar que la valuación p-ádica está bien definida, hay que notar que si

a ∈ A es un unidad entonces{s ∈ N

∣∣ ps | a} = {0}, mientras que si a ∈ A noes una unidad ni cero entonces se sigue de las propiedades de la Definición 4.5 que{s ∈ N

∣∣ ps | a} es un subconjunto acotado superiormente de N.Por ejemplo si A = k[X] donde k es un campo, x0 ∈ k y P (X) ∈ k[X], entonces

P (x0) = 0 si y solamente si νX−x0(P (X)

)6= 0. El número νX−x0

(P (X)

)es mejor

conocido como la multiplicidad del cero x0 de P (X).

Las siguientes son algunas propiedades de las funciones valuación:

Lema 4.7. Sea A un dominio de factorización única, entonces:

1.- Si p, q ∈ A son irreducibles entonces p y q son asociados si y solamente siνp(a) = νq(a) para todo a ∈ A\{0}.

2.- a | b si y solamente si νp(a) = νp(b) para todo p ∈ A irreducible.


3.- Si a ∈ A\{0}, entonces a es una unidad si y solamente si νp(a) = 0 para todoelemento irreducible p de A.

4.- νp(a · b) = νp(a) + νp(b) para cualquier p ∈ A irreducible y cualesquiera a, b ∈A\{0}.

5.- νp(a + b) ≥ min(νp(a), νp(b)

)para cualquier elemento irreducible p ∈ A y

cualesquiera a, b ∈ A\{0} tales que a+ b 6= 0.

6.- Si a ∈ A\{0} y ` ≥ 1, entonces a es una `-ésima potencia de A (a = x` paraalgún x ∈ A) si y solamente si ` | νp(a) para todo elemento irreducible p de A.(Nota que el caso ` = 0 es el enunciado 3).

En un dominio de factorización única A se puede mostrar la existencia de un

máximo común divisor y un mı́nimo común múltiplo de cualquier familia finita de

elementos de A :

Lema 4.8. Sea A un dominio de factorización única. Si P ⊆ A es una familia deelementos irreducibles de A con la siguiente propiedad: Para todo p ∈ A irreducibleexiste un único elemento q ∈ P tal que p y q son asociados1, entonces:

1.- Si a ∈ A\{0} existe un única unidad u ∈ A tal que:

a = u ·(∏p∈P

pνp(a)).

2.- Si a1, . . . , an ∈ A\{0} entonces:∏p∈P

pmin(νp(a1),...,νp(an)

)y

∏p∈P

pmax(νp(a1),...,νp(an)

)son un máximo común divisor y un mı́nimo común múltiplo de los elementos

a1, . . . , an de A, respectivamente.

1Se puede tomar a P como el conjunto de los elementos máximos del conjunto parcialmente ordenado de los idealesprincipales propios de A ordenado por contención (ver 1 del Lema 4.7).


Por ejemplo, si A = Z se suele tomar a P en el Lema 4.8 como el conjunto delos números primos {2, 3, 5, 7, . . . }. Un máximo común divisor (resp. mı́nimo comúnmúltiplo) de los enteros −150 = (−1)2 · 3 · 52 y 40 = 23 · 5 seŕıa el número 10 = 2 · 5(resp. 600 = 23 · 3 · 52). Por otro lado si A = C[X] se toma a P como el conjunto{X−z0

∣∣ z0 ∈ C}. Un máximo común divisor (resp. mı́nimo común múltiplo) de unafamilia finita de polinomios P1(X), . . . , Pn(X) ∈ C[X] es igual al producto:∏

z0∈ ∩1≤i≤n

Ωi

(X − z0)min(νX−z0(P1),...,νX−z0(Pn)

)resp. ∏

z0∈ ∪1≤i≤n

Ωi

(X − z0)max(νX−z0(P1),...,νX−z0(Pn)

)donde Ωi =

{z0 ∈ C

∣∣Pi(z0) = 0} es el conjunto de ceros de Pi para 1 ≤ i ≤ n.Por último, nota que si A = R[X] se puede tomar a P como el conjunto de

polinomios:{X − a

∣∣∣ a ∈ R} t {X2 − (2a)X + (a2 + b2) ∣∣∣ a+ ib ∈ C\R} ,el cual está en correspondencia biyectiva con los elementos de C.

4.3. La función (21) si k campo y n = 1. ................

5. Ideales radicales

Sea k un anillo conmutativo con uno y n ≥ 1 un número natural. Consideremoslas funciones:

(23)

{Ideales

del anillok[X1, · · · , Xn]

}Z //

{Conjuntosalgebraicos

contenidos en kn

},

Ioo

inducidas por restricción de las funciones (21). Notemos:

Lema 5.1. Si X ⊆ kn es un conjunto algebraico, entonces X = Z(I(X )

). En parti-

cular en (23) la función I es inyectiva y Z es sobreyectiva.


Demostración. Esto es una consecuencia de la definición de conjunto algebraico y de

las contenciones Ω ⊆ Z(I(Ω)

)y S ⊆ I

(Z(S)

)válidas para cualesquiera Ω ⊆ kn y

S ⊆ k[X1, . . . , Xn] (ver las propiedades 5 y 6 del Lema 3.4). �

Se sigue del Lemma 5.1 que el conjunto parcialmente ordenado que forman los

conjuntos algebraicos contenidos en kn, se puede identificar con un subconjunto del

conjunto parcialmente ordenado (con la contención opuesta) de los ideales del anillo

k[X1, . . . Xn] (I invierte la contención). Queremos mostrar que cuando k es un dominioentero la imagen de esta inclusión está contenida en los llamados ideales radicales.

Recordemos primero:

Definición 5.2. Si A es un anillo conmutativo con uno y S ⊆ A es un subconjunto,el radical de S es el conjunto de las ráıces de los elementos de S es decir:

√S =

{a ∈ A

∣∣ a` ∈ S para alguna ` ≥ 1}.El nilradical de A es por definición el conjunto:

Nil(A) =√

0 ={a ∈ A

∣∣ a` = 0 para alguna ` ≥ 1}de los elementos nilpotentes de A.

Esta construcción tiene las siguientes propiedades:

Lema 5.3. Sea A un anillo conmutativo con uno, entonces:

a) Si S ⊆ R ⊆ A entonces√S ⊆√R.

b) S ⊆√S y

√√S =√S para cualquier subconjunto S ⊆ A.

c)√a es un ideal si a ⊆ A es un ideal. En particular el conjunto de los elementos

nilpotentes Nil(A) =√

0 es un ideal de A.

d)√a = π−1

(Nil(A/a)

)para todo ideal a ⊆ A donde π : A //A/a es el morfismo

canónico.

e) Si p ⊆ A es un ideal primo entonces √p = p.


f) Si a1, . . . , at ⊆ A es una familia de ideales, entonces:

√a1 · · · at =

√t∩s=1

as =t∩s=1

√as.

donde a ·b ={∑

α∈Λ aα · bα∣∣aα ∈ a, bα ∈ b y Λ es finito} denota el producto de

ideales de un anillo.

g) Si p1, . . . , pt ⊆ A es una familia de ideales primos y `1, . . . `t ≥ 1 son númerosnaturales, entonces

√p`11 · · · p

`tt =

t∩s=1

ps. En particular√

p`11 · · · p`tt = p1 · · · pt

siempre que p1, . . . , pt sean ideales coprimos entre si, es decir tales que pi+pj =

A para 1 ≤ i 6= j ≤ t.

h) Si a ⊆ A es un ideal, entonces√a =

⋂a⊆p

p primo

p.

Demostración de f), g) y h): De las contenciones a1 · · · at ⊆t∩s=1

as ⊆ as deducimos:

√a1 · · · at ⊆

√t∩s=1

as ⊆t∩s=1

√as.

Por otro lado si a ∈t∩s=1

√as, es decir a cumple que para toda 1 ≤ s ≤ t existe

`s ≥ 1 tal que a`s ∈ as, entonces a`1+···+`s = a`1 · · · a`s ∈ a1 · · · as es decir a ∈√a1 · · · at.

Esto muestra f).

g) se deduce de f) por un método estándar (ver Ejercicio 29).

Para mostrar h) notemos que por d) es suficiente verificar que la intersección de

todos los ideales primos de A es igual al conjunto de sus elementos nilpotentes. La

contención Nil(A) =√

0 ⊆⋂p⊆Ap primo

p se sigue fácilmente de que 0 es un elemento de

todo ideal primo de A. Para mostrar la otra contención veremos que si x ∈ A noes nilpotente entonces existe un ideal primo p ⊆ A que no contiene a x, es decirmostremos que A\Nil(A) ⊆

⋃p⊆Ap primo

(A\p) = A\( ⋂p⊆Ap primo

p).

En efecto sea x ∈ A\Nil(A) y consideremos el siguiente conjunto:

Γ ={a ⊆ A

∣∣ a ideal y x` /∈ a para toda ` ∈ N}.


Notemos que el ideal cero pertenece a Γ pues x no es un nilpotente de A. Más aún

si a1 ⊆ a2 ⊆ · · · ⊆ as ⊆ · · · es una cadena de ideales en Γ, se verifica fácilmente que⋃i∈N

ai es un elemento de Γ. Por el Lema de Zorn existe un elemento p de Γ, máximo

en Γ respecto de la contención. En particular x /∈ p pues p ∈ Γ. Mostremos que pes un ideal primo de A. Para ello supongamos que a, b ∈ A\p, es decir p p + (a)y p p + (b). Se sigue que existen `,m ∈ N tales que x` ∈ p + (a) y xm ∈ p + (b),digamos x` = z1 + az2 y x

m = w1 + bw2 donde z1, w1 ∈ p. Entonces x`+m = x`xm =(z1 + az2)(w1 + bw2) = (z1w1 + z1bw2 + az2w1) + abz2w2 ∈ p + (ab). Por lo tantop p + (ab) pues x`+m /∈ p, lo que implica que ab /∈ p. �

Definición 5.4. Un ideal radical de A es un ideal a ⊆ A tal que a =√a. Se sigue de

la propiedad c) del Lema 5.3 que los ideales primos son ejemplos de ideales radicales.

Mostremos finalmente:

Lema 5.5. Si k es un anillo conmutativo con uno tal que Nil(k) =√

0 = 0 (por

ejemplo si k es un dominio entero) y Ω ⊆ kn es un subconjunto arbitrario, entoncesel ideal I(Ω) es un ideal radical del anillo de polinomios k[X1, . . . , Xn]. En particularI(X ) ⊆ k[X1, . . . , Xn] es un ideal radical para todo cerrado de Zariski X ⊆ kn sobreun dominio entero k.

Demostración. Supongamos que k es un anillo conmutativo con uno con la propiedad

que x` = 0 para x ∈ k y ` ≥ 1 implica que x = 0. Si Ω ⊆ kn y f ∈√I(Ω) se sigue

que existe ` ≥ 1 tal que(f(a)

)`= f `(a) = 0 para toda a ∈ Ω. Entonces f(a) = 0

para toda a ∈ Ω, es decir f ∈ I(Ω). Por lo tanto I(Ω) =√I(Ω). �

Tarea 2

16.- Sea X un espacio topológico compacto (de Hausdorff). Si C0R(X ) es el anillo delas funciones continuas de X en R con las operaciones puntuales, denotemoscomo Specm

(C0R(X )

)al conjunto de los ideales máximos de C0R(X ).

Si a ⊆ C0R(X ) es un ideal, definimos V(a) ⊆ Spec(C0R(X )

)como el conjunto de

los ideales máximos m de C0R(X ) tales que a ⊆ m. Muestra:


a) Los conjuntos de la forma V(a) donde a ⊆ C0R(X ) es un ideal, son loscerrados de una topoloǵıa en Spec

(C0R(X )

).

b) La función biyectiva (20) definida más arriba:

(24) X m• // Specm(C0R(X )

).

es un homeomorfismo con la topoloǵıa en a).

17.- Un anillo normado k = (k, | · |) es un anillo (conmutativo con uno) k junto conuna función | · | : k //R verificando las propiedades:

(i) |a| ≥ 0 para todo a ∈ k y |a| = 0 si y solamente si a = 0.

(ii) |a+ b| ≤ |a|+ |b| y |a b| ≤ |a| |b| para cualesquiera a, b ∈ k.

Si k es un anillo normado y n ≥ 1, el producto cartesiano kn es un espaciométrico con la distancia definida por la fórmula:

d(a, b) =

√√√√ n∑i=1

|ai − bi|2 donde a = (a1, . . . , an), b = (b1, . . . , bn) ∈ kn.

Muestra que si k es anillo normado el cual es un dominio entero, entonces todo

cerrado de Zariski X ⊆ kn es un cerrado de la topoloǵıa métrica.

18.- Si P y Q son conjuntos parcialmente ordenados, una función monótona decre-ciente (resp. monótona creciente) es una función F : P //Q tal que F (B) ≤F (A) (resp. F (A) ≤ F (B)) siempre queA ≤ B sean objetos de P . Si F : P //Qy G : Q //P son dos funciones monótonas decrecientes, muestra que las si-guientes propiedades son equivalentes:

(i) Si A es un objeto de P y X es un objeto de Q entonces X ≤ F (A) si ysolamente si A ≤ G(X).

(ii) Si A es un objeto de P y X es un objeto de Q entonces A ≤ G(F (A)

)y

X ≤ F(G(X)

).


Una conexión de Galois es una pareja F : P //Qoo : G de funciones monótonasdecrecientes que verifica las propiedades equivalentes de arriba. Por ejemplo,

las funciones (21) son una adjunción de Galois (para todo anillo conmutativo

con uno k).

Si F : P //Qoo : G es una conexión de Galois muestra los siguientes enunciados:

a) FA = F(G(FA)

)y G(X) = G

(F (GX)

)si A es un objeto de P y X es un

objeto de Q.

b) G(Q) ={A ∈ P

∣∣A = GF (A)} y F (P) = {X ∈ Q ∣∣X = FG(X)}.c) F y G inducen por restricción un isomorfismo (decreciente) entre los con-

juntos parcialmente ordenados G(Q) ⊆ P y F (P) ⊆ Q.

19.- Si k es un dominio entero y Ω ⊆ kn es un subconjunto arbitrario, muestraque Z

(I(Ω)

)es la cerradura de Ω en kn respecto de la topoloǵıa de Zariski.

En particular, deduce que X ⊆ kn es un cerrado de Zariski si y solamente siX = Z

(I(X )

)(ver el inciso a) del Ejercicio 18).

20.- Supongamos que k es un dominio entero. Si f : k // k es una función biyectiva,

muestra que f y f−1 son continuas respecto de la topoloǵıa de Zariski.

Más aún, si X ⊆ kn y Y ⊆ km son cerrados de Zariski muestra que X × Y ⊆kn+m es un cerrado de Zariski.

21.- Si A es un anillo conmutativo con uno, muestra que las siguientes condiciones

son equivalentes:

a) Si a ⊆ A es un ideal entonces existen a1, . . . , am ∈ A tales que a =〈a1, . . . , am〉.

b) Si a1 ⊆ a2 ⊆ · · · ⊆ as ⊆ · · · ⊆ A es una sucesión de ideales, entonces existen ∈ N tal que an = as para toda s ≥ n.

c) Todo conjunto no vaćıo de ideales de A admite un elemento máximo (res-

pecto de la contención).


Un anillo neteriano es un anillo conmutativo con uno verificando las propie-

dades equivalentes de arriba. Si k es un anillo neteriano se puede mostrar que

el anillo de polinomios en una indeterminada k[X] es un anillo neteriano.

22.- Muestra que si k es un anillo neteriano y X ⊆ kn es un cerrado de Zariski,entonces existen un número finito de polinomios f1, . . . fm ∈ k[X1, . . . , Xn] talesque X = Z(f1, · · · , fm) (ver el Ejercicio 21).

23.- Si a = (a1, . . . , an) ∈ kn muestra que I(a) = 〈X1 − a1, . . . , Xn − an〉, el idealgenerado por los polinomios X1 − a1, . . . , Xn − an.

Si k es un dominio entero, muestra que I(a) es un ideal primo para todo a ∈ k.Más aún, verifica que I(a) es un ideal máximo para algún a ∈ kn si y solamentesi, I(b) es un ideal máximo para todo b ∈ kn si y solamente si, k es un campo.

24.- Muestra que si k es un dominio entero, a ∈ k e 1 ≤ i ≤ n entonces el idealprincipal 〈Xi− a〉 ⊆ k[X1, . . . , Xn] es primo. Más aún, si k es infinito entoncesse tiene que I

(Z(Xi − a)

)= 〈Xi − a〉.

25.- Sea f(X) ∈ k[X] un polinomio. Si k es un dominio entero muestra que el idealprincipal 〈Y − f(X)〉 ∈ k[X, Y ] es primo. Más aún, si el dominio entero k esinfinito entonces I

(Z(Y − f(X))

)= 〈Y − f(X)〉.

26.- Supongamos que k es un dominio entero, S ⊆ k es un subconjunto infinito yf(X) ∈ k[X] un polinomio. Consideremos Ω =

{ (a, f(a)

)∈ k2

∣∣ a ∈ S }.Muestra que I(Ω) = 〈Y − f(X)〉 ⊆ k[X, Y ]. En particular se tiene queZ(I(Ω)

)= Z(Y − f(X)) = “Gráfica de f(X)” ⊆ k2. Deduce que Ω es un

cerrado de Zariski de k2 si y solamente si S = k (ver el Ejercicio 19).

27.- Determina un dominio entero k, un número n ≥ 1 y una familia{Xi}i∈N de

cerrados de Zariski de kn tales que⋃i∈NXi no sea un cerrado de Zariski de kn.

28.- Supongamos que k es un dominio entero, f ∈ k[X, Y ] es un polinomio no cerode grado total igual a n y considera g ∈ k[X, Y ] el polinomio g = Y − αX − β


donde α, β ∈ k. Si X = Z(f) ⊆ k2 y L = Z(g) ⊆ k2 son los conjuntos de cerosde f y g respectivamente. Muestra que L ⊆ X si y solamente si f ∈ I

(Z(g)

).

Más aún si el dominio entero k es infinito y L * X muestra que la intersecciónL ∩ X ⊆ k2 es un conjunto finito de cardinalidad menor o igual a n.

29.- Sea A un anillo conmutativo con uno. Muestra:

a) Si a, b ⊆ A son ideales de A entonces a · b ⊆ a ∩ b ⊆ a + b.

b) Si a + b = A entonces a · b = a ∩ b.

c) Si a1, . . . , as ⊆ A es una familia finita de ideales tales que ai + aj = Asiempre que 1 ≤ i 6= j ≤ s entonces

s∩i=1

ai = a1 · · · as. (Ayuda: Pruebaprimero que la hipótesis implica que para toda 2 ≤ i ≤ s se tiene que(a1 · · · ai−1

)+ ai = A).

30.- Si k es un anillo conmutativo con uno y n ≥ 1, muestra las siguientes propie-dades:

a) Si{ai}i∈A es una familia de ideales, entonces Z

(∑i∈A

ai

)=⋂i∈AZ(ai).

b) Si k no tiene elementos nilpotentes distintos del cero Nil(k) =√

0 = {0},entonces Z(a) = Z(

√a) para todo ideal a.

c) Si k es un dominio entero entonces Z(a ∩ b) = Z(a · b) = Z(a) ∪ Z(b).

31.- Sea A un anillo conmutativo con uno. Si a y b son ideales de A, muestra que:

√a ∩ b =

√a ∩√b y

√a + b =

√√a +√b .

32.- Sea A un dominio de factorización única (por ejemplo el anillo de los enteros

Z o el anillo de polinomios k[X] con coeficientes en un campo). Si a = 〈a〉 ⊆ Aes un ideal y a = p`11 · · · p`ss donde `1, . . . , `s ≥ 1 son números naturales yp1, . . . , ps ∈ A son elementos irreducibles no asociados dos a dos, muestrausando solamente la definición del radical de un ideal que

√a = 〈p1 · · · ps〉.


33.- Si k es un anillo conmutativo con uno sin elementos nilpotentes distintos del

cero, verifica que√〈X`, Y m〉 = 〈X, Y 〉 en k[X, Y ] para cualesquiera `,m ≥ 1.

34.- Supongamos que k es un dominio entero infinito tal que el elemento 2 = 1 + 1

sea una unidad de k. Si f(X) ∈ k[X] es un polinomio consideremos los idealesprincipales a = 〈Y − f(X)〉 y b = 〈Y + f(X)〉 de k[X, Y ].

a) Demuestra que a + b = 〈Y − f(X), Y + f(X)〉 = 〈Y, f(X)〉.

b) Si f(X) tiene una única ráız en k, es decir f(a) = 0 para un único a ∈ k.Muestra que I

(Z(a + b)

)= 〈X − a, Y 〉.

c) Si f(X) = X` donde ` ≥ 2, muestra que√a +√b (√a + b (ver el Lema

5.5 y los Ejercicios 25 y 33).

35.- Supongamos que k es un dominio entero y sea Ω ⊆ kn un subconjunto arbi-trario. Si f : Ω // k es una función, decimos que f es una función polinomial,

una función algebraica o una función regular de Ω en k, si existe un polino-

mio P (X1, . . . , Xn) ∈ k[X1, . . . , Xn] tal que P (a) = f(a) para todo a ∈ Ω.Denotemos como k[Ω] al conjunto de las funciones polinomiales de Ω en k, con

la estructura de un anillo conmutativo con uno definida con las operaciones

puntuales.

a) Muestra que la función evΩ• : k[X1, . . . , Xn] // k[Ω] definida por evΩP (a) =

P (a) para todo a ∈ Ω, determina un isomorfismo de anillos k[X1, . . . , Xn]/I(Ω) ∼=

k[Ω].

b) Si X = Z(I(Ω)

)es la cerradura de Ω en kn respecto de la topoloǵıa de

Zariski (ver el Ejercicio 19), muestra que el morfismo de anillos con uno

k[X ] // k[Ω] definido por restricción, es un isomorfismo de anillos.

c) Muestra que si X es un cerrado de Zariski, las funciones:

(25)

{Ideales

del anillok[X ]

}ZX //

{Cerrados

de Zariski de kn

contenidos en X

},

IXoo


definidas como ZX (a) ={a ∈ X

∣∣ f(a) = 0 para toda f ∈ a} si a ⊆ k[X ]es un ideal e IX (Y) =

{f ∈ k[X ]

∣∣ f(a) = 0 para todo a ∈ Y } si Y ⊆ Xes un cerrado de Zariski relativo, están bien definidas.

d) Si Y ⊆ X ⊆ kn son cerrados de Zariski, muestra que:

(26) π−1 ◦ ϕ−1(IX (Y)

)= I(Y) ,

donde π : k[X1, . . . , Xn] // k[X1, . . . , Xn]/I(X ) es el morfismo cociente canóni-

co y ϕ : k[X1, . . . , Xn]/I(X ) // k[X ] es el isomorfismo del inciso a). Por otro

lado, si a ⊆ k[X ] es un ideal, verifica que:

ZX(a)

= Z(π−1 ◦ ϕ−1(a)

).

36.- Si k es un dominio entero infinito, demuestra lo siguiente:

a) Si X = kn entonces k[X ] ∼= k[X1, , . . . , Xn].

b) Si a ∈ k, 1 ≤ i ≤ n y X = Z(Xi − a) ⊆ kn es un hyperplano paralelo a losejes, entonces k[X ] ∼= k[X1, . . . , Xi−1, Xi+1, . . . , Xn].

c) Si f(X) ∈ k[X] es un polinomio y X = Z(Y − f(X)

)⊆ k2 es la gráfica de

f(X) en el plano, entonces k[X ] ∼= k[X].

37.- Sea k un dominio entero y X ⊆ kn un cerrado de Zariski. Si τ es una topoloǵıaen X muestra la siguiente propiedad: La topoloǵıa de Zariski inducida en Xestá contenida en τ si y solamente si, las funciones polinomiales de X en k soncontinuas con respecto de la topoloǵıa τ y la topoloǵıa de Zariski en k.

38.- Supongamos que k es un dominio entero. Si F : X // Y es una función entredos cerrados de Zariski X ⊆ kn y Y ⊆ km, decimos que F es una funciónpolinomial, una función algebraica o una función regular de X en Y , si existenpolinomios f1, · · · , fm ∈ k[X1, . . . , Xn] tales que F (a) =

(f1(a), · · · , fm(a)

)para todo a ∈ X .

a) Muestra que toda función polinomial es una función continua respecto de

las topoloǵıas de Zariski inducidas en X y Y .


b) Si F : X // Y es una función polinomial muestra con un contraejemplo queF (X ) no es necesariamente un conjunto algebraico.

c) Demuestra que la composición de funciones polinomiales es una función

polinomial.

d) Si F : X // Y es una función polinomial, muestra que la fórmula F ∗(f) =f ◦ F define un morfismo de anillos F ∗ : k[Y ] // k[X ] .

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