Geoelettrica

Principi fisici: la Legge di Ohm

RIV

Georg Ohm [1827]

Geoelettrica

Principi fisici: Resistenza, resistività e conduttività elettrica

Legge di Ohm

I = corrente elettrica [A]

= differenza di potenziale elettrostatico [V]

R = resistenza elettrica [Ω]

ρ = resistività elettrica [Ωm]

σ = 1/ρ

σ = conduttività elettrica [S/m]

V

IRV

S

lR

proprietà del materiale

Geoelettrica

Principi fisici: La resistività elettrica delle rocce

la resistività delle rocce secche diminuisce all’insorgere dei primi processi di fusione dei minerali intorno ai 500-600°C

Geoelettrica

Principi fisici: La resistività elettrica delle rocce

la resistività delle formazioni rocciosedipende soprattutto dal contenuto dei fluidi e della conduttività elettrica dei fluidistessi

La legge di Archie [1942] è una leggeempirica, originariamente sviluppataper formazioni sature:

esempio:

Curva 1: a = 1.0; m = 2.3Curva 2: a = 1.0; m = 2.0Curva 3: a = 0.62; m = 1.9Curva 4: a = 1.4; m = 1.4Curva 5: a = 1.0; m = 1.4Curva 6: a = 3.0; m = 1.0

wmw

aF

dove:

ρ = resistività complesiva della roccia

ρw = resisitività del fluido (soluzione acquosa che satura i pori)

= porosità della roccia

a, m = costanti empiriche

F = fattore di formazione

Geoelettrica

Principi fisici: La resistività elettrica delle rocce

Nel caso più generale la legge di Archie [1942] si può estendere a formazioni parzialmente sature in acqua

wnmw S

aF

dove:

S = saturazione in acqua = Vw/Vpor

n = costante empirica di solito = 2

Nota che la legge di Archie si può esprimere anche in termini di conduttività elettrica:

gwnmS

a

1

Ove σg identifica, se presente, la conduttività elettrica delle superfici dei grani (p.es. in presenza di una elevata frazione argillosa)

Geoelettrica

Principi fisici: La resistività elettrica delle rocce

Geoelettrica

Principi fisici: La resistività elettrica delle rocce

Sono state spesso tentate correlazioni empiriche fra la resisitività o la conduttività elettrica di una formazione e la sua conduttività idraulica

Queste relazioni empiriche sono estremamente incerte. Si basano sull’idea che la connettività dei pori (tortuosità) che determina la conduttività idraulica sia anche alla base della conduttività elettrica tramite il moto di ioni.

Tuttavia è chiaro che mentre la conduttività idraulica si basa sul moto complessivo del fluido nel sistema di pori interconnessi, la conduttività elettrica dipende dal moto degli ioni entro un fluido (acqua) che può anche essere fondamentalmente immobile (come nell’argille).

Per cui la relazione fra le due grandezze non è per nulla stabilita.

Geoelettrica

Il flusso di corrente continua in un mezzo conduttore è descritto nella forma di un’equazione differenziale alle derivate parziali che coinvolge le variabili spaziali (x,y,z) e temporale (t) da cui dipende il flusso.

L’equazione è derivata sulla base di due principi base:

(1) la conservazione della carica elettrica(2) la validità della legge di Ohm

Si consideri un volume infinitesimo di mezzo poroso, detto “volume di controllo”, che sia comunque grande abbastanza da rappresentare le caratteristiche del mezzo poroso (un “representative elementary volume” o REV).

xy

zdy

dx

dz

Geoelettrica

j (e le sue componenti) è espresso in termini di carica unità di area trasversale per unità di tempo. Il flusso di carica elettrica in base al quale si definisce la legge di Ohm è di solito I, che è il prodotto di j per l’area della sezione di flusso A.

xy

zdy

dx

dz

jy

jx

jz

Si assuma che il sistema sia omogeneo ed isotropo. Sia j il flusso di carica elettrica per unità di area attraverso il REV considerato. Le componenti di j nelle tre direzioni del sistema di riferimento sono jx, jy e jz. La posizione cui si riferisce j è (x,y,z) – il punto blu nella figura.

j = Q/(At)

A

I=jA = Q/t

Geoelettrica

Consideriamo quindi il flusso che entra nel REV lungo l’asse x:

x

zdy

dx

dz

dxdydzjx

dydzjOUT xxx

dydzjIN xx

Il flusso netto lungo la direzione x è dunque:

dxjx

j xx

xj

mentre il flusso che esce dal REV lungo l’asse x, utilizzando un’espansione in serie di Taylor del flusso di massa x:

dxdydzjx

OUTIN xxx

Geoelettrica

che corrisponde alla variazione nell’unità di tempo della massa d’acqua contenuta nel REV.

x

zdy

dx

dz dxj

xj xx

xj

dxdydzjz

jy

jx

OUTIN zyx

zj

yj

dyjy

j yy

dzjz

j zz

Dal momento che simili componenti sono calcolabili per le altre direzioni, si ha in totale:

Geoelettrica

L’operatore si chiama NABLA ed è un operatore differenziale vettoriale composto dalle tre derivate spaziali

0

dxdydzjz

jy

jx

OUTIN zyx

0 j

Dal momento che lavoriamo in corrente continua, NON c’è accumulo di cariche da nessuna parte, per cui:

Questo si può anche scrivere in forma compatta come:

zyx

,,

Il prodotto scalare indicato dal punto si chiama DIVERGENZA e implica che

0,,,,

z

j

y

j

x

jjjj

zyxj zyx

zyx

Ovvero la conservazione della carica implica per j che la sua DIVERGENZA = 0

Geoelettrica

A questo punto si utilizza la legge di Ohm (nel caso più generale, anisotropa, con assi paralleli agli assi principali di anistropia) per esprimere il flusso di corrente elettrica:

y

Vj yy

z

Vj zz

x

Vj xx

0

z

V

zy

V

yx

V

x zyx

da cui infine risulta l’equazione differenziale che descrive il flusso stazionario (ovvero in corrente continua) in un mezzo 3D non omogeneo e anisotropo:

Geoelettrica

che è l’equazione di base per il calcolo delle soluzioni analitiche dell’equazione di corrente continua. Siccome la soluzione =0 è di non interesse, in generale si scrive:

0

z

V

zy

V

yx

V

x

Nel caso di un sistema isotropo, si ha ovviamente x=y=z=, per cui:

02 V

e nel caso di un sistema omogeneo ed isotropo, la conduttività elettrica si può estrarre dalle derivate spaziali:

02

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

V

ove il Laplaciano è la somma delle derivate seconde rispetto allo spazio.2

Geoelettrica

E quindi per un sistema omogeneo ne deriva la classica equazione di Laplace:

02

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

V

02 V

la natura dell’equazione di Laplace getta luce in generale sulla natura delle equazioni precedenti.

Si tratta in generale di equazioni Paraboliche (se in presenza di derivata prima rispetto al tempo) o Ellittiche (in assenza di questa). Sono equazioni della DIFFUSIONE.

ovvero:

Geoelettrica

Principi fisici: Equazioni del flusso di corrente continua

Combinando le tre equazioni viste:

VE

02

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

V

0)( V

Se il mezzo è omogeneo, ovvero se σ è uniforme nello spazio il potenziale soddisfa l’equazione di Laplace:

02 V

EJ è l’equazione che governa il flusso di corrente in un mezzo a conduttività elettrica σ variabile nello spazio

0 J

che p.es. in coordinate cartesiane ortogonali si scrive:

Geoelettrica

Analogo fisico: Equazioni del flusso in un mezzo poroso saturo

02

2

2

2

2

2

z

h

y

h

x

h

0)( hK

Se il mezzo è omogeneo, ovvero se σ è uniforme nello spazio il potenziale soddisfa l’equazione di Laplace:

02 h

hKQ è l’equazione che governa il flusso di acqua in un mezzo poroso a conduttività idraulica K variabile nello spazio

0 Q

che p.es. in coordinate cartesiane ortogonali si scrive:

Legge di Darcy

conservazione della massa (volume) d’acqua

Geoelettrica

Analogo fisico: Equazioni della conduzione termica

02

2

2

2

2

2

z

T

y

T

x

T

0)( T

Se il mezzo è omogeneo, ovvero se σ è uniforme nello spazio il potenziale soddisfa l’equazione di Laplace:

02 T

TQ

0 Q

che p.es. in coordinate cartesiane ortogonali si scrive:

Legge di Fourier

conservazione dell’energia (termica)

è l’equazione che governa il flusso termico per conduzione in un mezzo poroso a conduttività termica variabile nello spazio

Geoelettrica

Condizioni al contorno

Condizioni di primo tipo (o di Dirichlet, o di valore imposto)

Condizioni di secondo tipo (o di Neumann, o di flusso)

Condizioni di terzo tipo (o di Robin, o miste di valore e flusso)

00 VxxV

0

0

Ix

V

xx

00

0

Vx

VxxV

xx

xx0

contornosu cui è definitala condizione

Geoelettrica

Condizioni al contorno per l’equazione di flusso di carica elettrica in corrente continua

Servono per ogni dimensione del problema (x,y,z) tante condizioni quant’è l’ordine più elevato di differenziazione in quella direzione.

p.es.

richiede 2 condizioni al contorno in direzione x, 2 in direzione y, 2 in direzione z.

In ogni direzione almeno una condizione deve essere di Dirichlet (valore fissato sul contorno)

02

2

2

2

2

2

z

V

y

V

x

V

Geoelettrica

Principi fisici: elettrodo singolo

Si consideri un singolo punto di immissione di corrente I in un mezzo omogeneo 3D esteso all’infinito

Vale L’equazione di Laplace che in coordinate sferiche centrate sull’elettrodo diviene:

Si dimostra che in questo caso il potenziale che soddisfa l’equazione si può scrivere:

02 V

Ove A e B sono costanti determinate dalle condizioni al contorno:

02

2

2

r

V

rr

V

Br

AV

0)( rV 0B

Mentre a r=0 va immessa una corrente I tale per cui (data la simmetria e la legge di Ohm):

22222 4444

r

Ar

dr

dVrErJrI

da cui:

44

IIA

r

IV

4

Geoelettrica

Principi fisici: Elettrodo singolo alla superficie

Se l’elettrodo (puntiforme) è posto alla superficie di un semispazio omogeneo la corrente I si distribuisce solo su ½ volume e quindi la densità di corrente J è doppia, da cui:

22

1

r

I

dr

dVEJ

r

IV

2

La densità di corrente è

Due elettrodi alla superficie

L’equazione di Laplace è lineare, per cui posso sovrapporre gli effetti di più elettrodi per calcolare il campo complessivo.

Geoelettrica

Principi fisici: configurazione a 4 elettrodi

21211

11

222 rr

I

r

I

r

IVp

Potenziale all’elettrodo P1

Potenziale all’elettrodo P2

43432

11

222 rr

I

r

I

r

IVp

Da cui risulta:

4321

1111

2 rrrr

IV

P1 P2

Geoelettrica

Perché si usano 4 elettrodi?

A causa della resistenza di contatto degli elettrodi col suolo, resistenza talora molto elevata (~ decine di KOhm) e sempre incognita.

Usando 4 elettrodi, la differenza di potenziale fra gli elettrodi di potenziale non è influenzata dalla resistenza di contatto agli elettrodi di corrente.

A

Rcontatto Rcontatto

Rterra

V

A

V

Geoelettrica

Perché si usano 4 elettrodi?

A causa della resistenza di contatto degli elettrodi col suolo, resistenza talora molto elevata (~ decine di KOhm) e sempre incognita.

Usando 4 elettrodi, la differenza di potenziale fra gli elettrodi di potenziale non è influenzata dalla resistenza di contatto agli elettrodi di corrente.

A

V

Rcontatto Rcontatto

Rterra

A

Rcontatto Rcontatto

Rterra

V

Geoelettrica

Distribuzione della corrente in profondità

a metà strada fra gli elettrodi

21

11

2 rr

IVp

x

VPJ p

x

)(

2/322 4/2)(

Lz

LIPJ x

Integrando si ottiene la corrente totale fino alla profondità z:

L

z

I

I z 2arctan

2

123

4

5

6

Linea % di I1 17 2 32 3 434 495 516 57

P

A

L

r1 r2z

x

Geoelettrica

Distribuzione della corrente in profondità

Man mano che si allontanano gli elettrodi di corrente si ottiene che la corrente penetra sempre più in profondità.

La corrente totale sotto la profondità z è:

Il problema ha nella distanza L la sua dimensione di lunghezza fondamentale

L

z

I

I z 2arctan

211

Geoelettrica

Principi fisici: condizioni al contorno, campo elettrico

Se ci sono discontinuità in σ, allora ci sono anche discontinuità anche in E.

t

BE

0)( 21 EEn 21 tt EE

0 J 0)( 2211 EEn

(la componente tangenziale di E rimane costante)

(la componente normale della densità di corrente J rimane costante)

2211 nn EE ovvero 21 nn JJ

111 nn EJ

222 nn EJ 2E

2nE1E

1nE

1

2

n

1E

2E2tE

1tE

Geoelettrica

Principi fisici: eterogeneità e rifrazione, campo elettrico

Le condizioni al contorno generano rifrazione delle linee di corrente all’interfaccia

2211 tt JJ 21 tt EE

2211 nn EE 21 nn JJ

22

21

1

1 n

t

n

t

J

J

J

J

1

2

2

1

1

2

tan

tan

Legge delle tangenti

1

2

n

Ma essendo:1

11tan

n

t

J

J

2

22tan

n

t

J

J

1

2

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Principi fisici: eterogeneità e rifrazione, campo elettrico

(1) se 21 12 tantan 12

(2) se 21 12 tantan 12

Da questi risultati si vede come la corrente tenda a evitare le zone ad alta resistività ed a preferire quelle a bassa resistività, scegliendo il percorso a resistenza minima.

1

22

1

22

1

1

1

2

1

21 21

1

2

1

Geoelettrica

Principi fisici: mezzi stratificati

In un mezzo stratificato, la distribuzione di corrente nel sottosuolo viene distorta per rifrazione alle interfacce fra mezzi diversi.

Questa distorsione è responsabile del segnale che possiamo misurare alla superficie, dal quale cercheremo di ricostruire la struttura del sottosuolo. In particolare per un mezzo stratificato cercheremo:

(1) La profondità di tutte le interfacce (ovvero lo spessore degli strati) (z1, z2 , …, zn-1)

(2) La resistività di ciascun strato (ρ1, ρ2 , …, ρn-1)

Geoelettrica

Definizione di resistività apparente

Data una configurazione elettrodica in un mezzo non omogeneo, è sempre possibile rappresentare la risposta del sistema nei termini della resistività equivalente di un mezzo omogeneo. Dalla disposizione di elettrodi misureremo I e ΔV. Utilizzando la formula generale per un sistema a 4 elettrodi:

4321

1111

2 rrrr

IV

possiamo invertire l’equazione e trovare l’espressione per la ρ equivalente di un sistema omogeneo che produrrebbe gli stessi valori di I e ΔV, che chiameremo ρ apparente ρa:

P1 P2

ove K è il fattore geometrico dell’array di elettrodi che stiamo considerando, R è la resistenza complessiva vista dall’array.

KRI

VK

I

V

rrrra

1

4321

11112

Geoelettrica

Principi fisici: mezzi stratificati, profondità in funzione della spaziatura fra elettrodi.

spaziatura tra elettrodi di corrente

resi

stiv

ità

appa

rent

e

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Principi fisici: mezzi stratificati, profondità in funzione della spaziatura fra elettrodi.

spaziatura tra elettrodi di corrente

resi

stiv

ità

appa

rent

e

Geoelettrica

Principi fisici: Elettrodo singolo in mezzo stratificato

Data la simmetria del problema, vale l’equazione di Laplace in coordinate cilindriche:

La soluzione si trova per separazione di variabili, per cui il potenziale nello stesso strato j è dato in generale nella forma:

01

2

2

2

2

z

V

r

V

rr

V

)()(1 jjjj dzVdzV

drJeBeAzrV zj

zjj )()()(),( 0

0

Sottoposto a condizioni alle interfacce:

)(

1

)(

1

1

11

jj dz

j

jdz

j

j z

V

z

V

Con n strati si hanno 2n+2 equazioni in 2n+2 incognite

ρ1

ρ2

ρ3

ρn-1

ρn

.

.

.

I

r

Z=0

Z=d1

Z=d2

Z=d3

Z=dn-2

Z=dn-1

Geoelettrica

Principi fisici: Elettrodo singolo in mezzo stratificato

Agli scopi pratici interessa il valore del potenziale nel primo strato (è dove si misura) in conseguenza dell’iniezione di corrente I all’elettrodo. Risulta:

Ove K(λ) è funzione della variabile di integrazione ma dipende dalla resistività e spessore di tutti gli strati. Per due strati:

12

12

1

1

1)(

d

d

ek

ekK

drJKrr

IzrV )()(21

2),( 0

0

11

è il coeff. di riflessione12

211

K

Nota che l’integrale (detto di Stefanescu) rappresenta il potenziale di disturbo rispetto alla soluzione per un mezzo omogeneo di resistività ρ1.

ρ1

ρ2

ρ3

ρn-1

ρn

.

.

.

I

r

Z=0

Z=d1

Z=d2

Z=d3

Z=dn-2

Z=dn-1

ρ1

I

ρ2

d1

Geoelettrica

Teorema di Slichter-Langer (1933)

Se la resistività del suolo varia solo con la profondità, essa può essere determinata univocamente dalla conoscenza del potenziale alla superficie creato da un elettrodo puntiforme.

Si tenga presente che:

(1) la resistività varia solo con la profondità

(2) il potenziale deve essere noto su tutta la superficie

(3) non ci sono errori nella misura del potenziale

ρ1

ρ2

ρ3

ρn-1

ρn

.

.

.

I

r

Z=0

Z=d1

Z=d2

Z=d3

Z=dn-2

Z=dn-1

Geoelettrica

Il concetto di equivalenza

Gli errori di misura rendono l’inversione dei dati geoelettrici non univoca, nonostante la univocità teorica garantita dal teorema di Slichter-Langer. Si parla perciò di un problema mal posto ambiguità di interpretazione

La resistenza del blocco è:

equivalenza caso (a): mh

lR

e rimane la stessa se il rapporto ρ/h non cambia

La resistenza del blocco è:

equivalenza caso (b): ml

hR

e rimane la stessa se il rapporto ρh non cambia

Geoelettrica

Conduttanza longitudinale e resistenza trasversa (parametri di Dar Zarrouk)

I due casi di equivalenza possono essere generalizzati d una sequenza di strati, definendo due parametri rispetto a cui la geoelettrica dà risultati “quasi” equivalenti:

conduttanza longitudinale

(somma di conduttanze in parallelo)

n

i i

ihS

1

resistenzatrasversa

(somma di resistenze in serie)

n

iiihT

1

Il concetto di soppressione

Se uno strato è molto sottile e con resistività non estrema , il suo effetto sulla resistività apparente alla superficie può risultare del tutto trascurabile, e quindi lo strato può risultare invisibile (soppressione dello strato).

0

Geoelettrica

L’equivalenza nelle curve di resistività apparente

Vediamo alcuni esempi di curve calcolate per una sequenza di tipo K;

il valore della resistività del primo e del terzo strato è uguale a 10 (Ωm);

Il valore dello spessore del primo strato è uguale a 10 (m).

I valori sono:

1) ρ2 = 100 h2 = 10 T = 1000

2) ρ2 = 50 h2 = 20 T = 1000

3) ρ2 = 25 h2 = 40 T = 1000

4) ρ2 = 12.5 h2 = 80 T = 1000

Geoelettrica

L’equivalenza nelle curve di resistività apparente

Vediamo alcuni esempi di curve calcolate per una sequenza di tipo H;

il valore della resistività del primo e del terzo strato è uguale a 10 (Ωm);

Il valore dello spessore del primo strato è uguale a 10 (m).

I valori sono:

1) ρ2 = 8 h2 = 80 S = 10

2) ρ2 = 4 h2 = 40 S = 10

3) ρ2 = 2 h2 = 20 S = 10

4) ρ2 = 1 h2 = 10 S = 10

Geoelettrica

L’equivalenza nelle curve di resistività apparente

Esempio in cui, a parità di dati di campagna, con procedimenti di calcolo semi-automatico si ottengono tre diverse interpretazioni che definiscono strutture del sottosuolo differenti.

Qui le diverse interpretazioni nascono dall’avere assunto differenti valori di resistività degli strati intermedi e finali.

Lo strato finale, come spesso avviene, non è ben definito nelle curve sperimentali.

Geoelettrica

L’equivalenza nelle curve di resistività apparente

Esempio in cui l’interprete ha assunto, a differenza dall’esempio precedente, gli stessi valori di resistività per il primo e per l’ultimo strato, ma ha considerato tra questi:

nel primo caso, uno solo strato

nel secondo, due strati

Anche qui le interpretazioni sono tecnicamente corrette, nel senso che la coincidenza tra i dati sperimentali e la curva teorica è ottima in entrambi i casi, ma, ovviamente, il significato geologico è diverso.

Geoelettrica

ρ1 = 42 Ohm-m , h1 = 5 m;

ρ2 = 480 Ohm-m, h2 = 16 m;

ρ3 = 33 Ohm-m, h3 = 75 m;

ρ4 = 500 Ohm-m, h4 non determinabile.

Fitting automatico

),...,1,,( njhL jj min

),...,1,(),,(),...,1,,(2

1

misGdihsfnjhL i

m

ijjijj